第一课时 二项式定理及二项式系数的性质
1.若（1＋）4＝a＋b（a，b均为有理数），则a＋b等于（ ）
A.33 B.29
C.23 D.19
2.展开式中的常数项为（ ）
A.80 B.－80
C.40 D.－40
3.在（1＋x）6（1＋y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3，0）＋f（2，1）＋f（1，2）＋f（0，3）＝（ ）
A.45 B.60
C.120 D.210
4.设复数x＝（i是虚数单位），则x＋x2＋x3＋…＋x2 024＝（ ）
A.i B.－i
C.0 D.－1－i
5.（多选）若的展开式中存在常数项，则n的取值可以是（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
6.的展开式中x2y2项的系数是 .
7.已知（2x－1）（x＋a）6的展开式中x5的系数为24，则a＝ .
8.9192除以100的余数是 .
9.已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等.
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有二项式系数的和；
（3）求展开式中所有的有理项.
10.在（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）11的展开式中，x2的系数是（ ）
A.55 B.66
C.165 D.220
11.（多选）二项式（x＋）n（n∈N*）的展开式中至少有2项的系数为有理数，则n的可能取值为（ ）
A.6 B.7
C.8 D.9
12.已知m，n是正整数，f（x）＝（1＋x）m＋（1＋x）n的展开式中x的系数为7.
（1）试求f（x）中的x2的系数的最小值；
（2）对于使f（x）的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；
（3）利用上述结果，求f（0.003）的近似值.（精确到0.01）
13.已知多项式（x－1）3＋（x＋1）4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝ ；a2＋a3＋a4＝ .
14.某地区现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（ 粮食单产＝，人均粮食占有量＝）
第一课时 二项式定理及二项式系数的性质
1.B ∵（1＋）4＝（）0＋（）1＋（）2＋（）3＋（）4＝17＋12＝a＋b，∴a＝17，b＝12，∴a＋b＝29，故选B.
2.C 展开式的通项为Tr＋1＝（x2）5－r·＝（－2）rx10－5r，令10－5r＝0，得r＝2，此时常数项为（－2）2＝40.
3.C 根据二项式定理得，（1＋x）6的展开式中第r＋1项为Tr＋1＝xr，（1＋y）4的展开式中第r＋1项为Tr＋1＝yr，
∴f（3，0）＝＝20，f（2，1）＝＝60，f（1，2）＝＝36，f（0，3）＝＝4，
∴f（3，0）＋f（2，1）＋f（1，2）＋f（0，3）＝20＋60＋36＋4＝120.故选C.
4.C x＝＝＝－1＋i，
x＋x2＋x3＋…＋x2 024＝（1＋x）2 024－1＝i2 024－1＝0.
5.BD 因为的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝xn－r（－1）rx－r＝（－1）rxn－2r，
若的展开式中存在常数项，则只需n－2r＝0，即n＝2r，又n∈N*，r∈N，所以n只需为正偶数即可，故A、C排除，B、D可以取得.故选B、D.
6.420 解析：表示8个因式的乘积，要得到展开式中含x2y2的项，则其中有2个因式取2x，有2个因式取－，其余的4个因式都取1，可得含x2y2的项.故展开式中x2y2项的系数是·22···＝420.
7.1或－ 解析：根据题意，（x＋a）6的展开式的通项为Tr＋1＝x6－rar，其中当r＝1时，有T2＝x5a，当r＝2时，有T3＝x4a2，则（2x－1）（x＋a）6的展开式中x5的系数为－a＋2a2＝－6a＋30a2，则有－6a＋30a2＝24，可得5a2－a－4＝0，
∴（a－1）（5a＋4）＝0，即a＝1或a＝－.
8.81 解析：法一 9192＝（100－9）92＝×10092－×10091×9＋×10090×92－…－×100×991＋×992.
展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数，由992＝（10－1）92＝×1092－×1091＋×1090－…＋×102－×10＋1.
前91项均能被100整除，后两项和为－919，可从前面数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81.
∴9192被100除所得的余数为81.
法二 9192＝（90＋1）92＝×9092＋×9091＋×9090＋…＋×902＋×90＋1.
前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，8 281除以100所得余数为81.
9.解：展开式的通项为Tr＋1＝·xn－r·＝··（r＝0，1，2，…，n）.
（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得·＝·，即n＝·，解得n＝5或n＝0（舍去）.
（2）展开式中所有二项式系数的和为＋＋＋＋＋＝32.
（3）二项展开式的通项为Tr＋1＝·x5－r·＝··（r＝0，1，2，…，5），
当r＝0，2，4时，对应项是有理项，
所以展开式中所有的有理项为T1＝··x5＝x5，T3＝··x5－3＝x2，T5＝··x5－6＝.
10.D （1＋x）2的展开式中x2项的系数是，（1＋x）3的展开式中x2的系数是，…，（1＋x）11的展开式中x2的系数是，故展开式中x2的系数为＋＋…＋＝＝220.
11.ACD （x＋）n的展开式的二项式通项为Tk＋1＝（x）n－k（）k＝（）n－kxn－k.结合选项，若n＝6或8，则当k＝0和6时，项的系数均为有理数；若n＝7，则只有当k＝3时，项的系数为有理数，不满足题意；若n＝9，则当k＝3和9时，项的系数均为有理数.故选A、C、D.
12.解：（1）根据题意，得＋＝7，即m＋n＝7， ①
f（x）中的x2的系数为＋＝＋＝.
将①变形为n＝7－m，代入上式得x2的系数为m2－7m＋21＝＋，
故当m＝3或m＝4时，x2的系数的最小值为9.
（2）当m＝3，n＝4时，x3的系数为＋＝5；
当m＝4，n＝3时，x3的系数为＋＝5.
（3）f（0.003）＝（1＋0.003）4＋（1＋0.003）3≈＋×0.003＋＋×0.003≈2.02.
13.5 10 解析：（x－1）3展开式的通项Tr＋1＝x3－r·（－1）r，（x＋1）4展开式的通项Tk＋1＝x4－k，则a1＝＋＝1＋4＝5；a2＝（－1）1＋＝3；a3＝·（－1）2＋＝7；a4＝（－1）3＋＝0.所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
14.解：设耕地平均每年减少x公顷，该地区现有人口数为P，粮食单产为M吨/公顷，依题意得不等式：
≥·（1＋10%），
化简得x≤103×.
∵103×＝103×［1－×（1＋×0.01＋×0.012＋…＋×0.0110）］
≈103×≈4.1，
∴x≤4.
即按规划，耕地平均每年至多只能减少4公顷.
2 / 2第一课时 二项式定理及二项式系数的性质
新课程标准解读 核心素养
1.理解用组合的知识推导二项式定理，弄清其适用范围 逻辑推理
2.理解通项的意义并会灵活运用 数学抽象
3.能正确区分某一项的系数与二项式系数 数学抽象
4.掌握二项式定理的性质及应用 数学运算
牛顿善于在日常生活中思考，于是他取得了科学史上一个又一个重要的发现.有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住了姑娘的手，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛的姑娘大叫，离他而去.
【问题】 （1）我们在初中学习了（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导（a＋b）3，（a＋b）4的展开式.
（2）你能用组合的观点说明（a＋b）4是如何展开的吗？
（3）能用类比方法写出（a＋b）n（n∈N*）的展开式吗？
知识点一 二项式定理
概念 公式 称为二项式定理
二项式系数 各项的系数（k＝0，1，2，…，n）
二项展开式 an＋an－1b＋an－2b2＋…＋an－kbk＋…＋bn
展开式通 项公式 an－kbk是展开式中的第 项，可记作Tk＋1＝an－kbk
提醒 k是满足0≤k≤n的自然数.
知识点二 二项式系数的性质
1.（a＋b）n的展开式的各二项式系数的和为2n，即 .
2.奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 ＝ ＝ .
提醒 （1）展开式中第k＋1项的二项式系数与第k＋1项的系数的概念不同.
（2）通项公式中含有a，b，n，k，Tk＋1五个量，只要知道其中的四个量，就可以求出第五个量.
【想一想】
1.（a＋b）n的二项展开式中的通项an－kbk表示的是展开式的第k项吗？
2.“因为（a＋b）n＝（b＋a）n恒成立，所以（a＋b）n的二项展开式中的通项也能表示为Tk＋1＝bn－kak”这句话正确吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）（a＋b）n展开式中共有n项.（ ）
（2）在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响.（ ）
（3）an－rbr是（a＋b）n展开式中的第r项.（ ）
（4）（a－b）n与（a＋b）n的二项式展开式的二项式系数相同.（ ）
2.已知的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之比为64，则n等于（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
3.在（1－2x）6的展开式中，x2的系数为 （用数字作答）.
4.求的展开式.
题型一 二项式定理的逆用
【例1】 （1）化简：（x－1）5＋5（x－1）4＋10（x－1）3＋10（x－1）2＋5（x－1）；
（2）设n为正整数，化简：4n－1＋4n－2＋4n－3＋…＋40＋4－1.
尝试解答
通性通法
逆用二项式定理化简的策略
将一个展开式合并成（a＋b）n的形式体现了二项式定理的逆用，求解此类问题时，要注意分析所给展开式中项的项数特点、各项的次数规律，与（a＋b）n的展开式相对照，从而确定该展开式中a，b，n的值，以便准确地逆用公式.
【跟踪训练】
如果1＋2＋22＋…＋2n＝2 187且n∈N*，则＋＋＋…＋＝ .
题型二 二项展开式的特定项、项的系数的求解
【例2】 （1）在（－2）5的展开式中，x2的系数为（ ）
A.－5 B.5
C.－10 D.10
（2）的展开式中常数项是 （用数字作答）.
尝试解答
通性通法
求展开式中特定项的方法
（1）依据条件写出第r＋1项；
（2）根据特定项的指数特征，列出关于r的方程；
（3）求出r值；
（4）代回第r＋1项即可.
提醒 （1）Tr＋1是第r＋1项；
（2）若求第m项，则令k＋1＝m，直接代入二项式通项求解.
【跟踪训练】
已知二项式.
（1）求展开式中第4项的二项式系数；
（2）求展开式中第4项的系数；
（3）求第4项.
题型三 二项式定理破解多项问题
【例3】 求的展开式的常数项.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）（x2＋2）的展开式的常数项是（ ）
A.－3 B.－2
C.2 D.3
2.（变条件，变设问）在（x－1）（x－2）（x－3）·（x－4）（x－5）的展开式中，含x4的项的系数是（ ）
A.－15 B.85
C.－120 D.274
通性通法
多项式展开问题的求解方法
（1）若多项式恰好能转化为完全平方的形式，则多项式即可转化为二项式的展开问题，利用相关方法求解即可；
（2）若不能直接用完全平方公式转化为二项式的展开问题，则通常有以下两种方法：
①利用项与项的结合转化为二项式展开问题，这时往往要利用两次展开式的通项公式进行求解，其中项与项结合时要注意合理性与简捷性；
②借鉴推导二项式定理中各项的系数的生成法，利用生成法求多项展开式的特定项.
【跟踪训练】
（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（ ）
A.10 B.20
C.30 D.60
1.若（1＋3x）n（n∈N*）的展开式中，第3项的二项式系数为6，则第4项的系数为（ ）
A.4 B.27
C.36 D.108
2.（1＋x）5（x－2）的展开式中x2的系数为（ ）
A.25 B.5
C.－15 D.－20
3.展开式中常数项为 .
4.二项式（x＋y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是 （用数字作答）.
5.求（－）9的展开式中的有理项.
第一课时 二项式定理及二项式系数的性质
【基础知识·重落实】
知识点一
（a＋b）n＝an＋an－1b＋an－2b2＋…＋an－kbk＋…＋bn（n∈N*） k＋1
知识点二
1.＋＋＋…＋＝2n
2.＋＋＋… ＋＋＋… 2n－1
想一想
1.提示：不是，表示的是展开式的第k＋1项.
2.提示：不正确，二项展开式的通项是在特定的条件下确定的，即（a＋b）n的二项展开式的通项只能表示为Tk＋1＝an－kbk，而Tk＋1＝bn－kak只能表示（b＋a）n的展开式的第k＋1项.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）× （4）√
2.C 令x＝1得各项系数的和为4n，各二项式系数的和为2n，则＝64，解得n＝6.
3.60 解析：二项展开式的通项为Tk＋1＝（－2）kxk，当k＝2时，x2的系数为（－2）2＝60.
4.解：法一 ＝1＋＋＋＋＝1＋＋＋＋.
法二 ＝（x＋1）4＝（x4＋x3＋x2＋x＋1）＝1＋＋＋＋.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）原式＝（x－1）5＋（x－1）4＋（x－1）3＋（x－1）2＋（x－1）1＋（x－1）0－1＝[（x－1）＋1]5－1＝x5－1.
（2）原式＝（4n＋4n－1＋4n－2＋…＋41＋40）＝（4＋1）n＝.
跟踪训练
128 解析：1＋2＋22＋…＋2n＝20＋21＋22＋…＋2n＝（1＋2）n＝2 187，所以n＝7，故＋＋＋…＋＝27＝128.
【例2】 （1）C （2）240 解析：（1）（－2）5展开式的通项公式为：Tr＋1＝（）5－r（－2）r＝（－2）r，令＝2，可得r＝1，则x2的系数为（－2）1＝（－2）×5＝－10，故选C.
（2）展开式的通项Tr＋1＝（x2）6－r＝2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，所以常数项为24＝240.
跟踪训练
解：的展开式的通项是Tr＋1＝（3）10－r·＝310－r·（r＝0，1，2，…，10）.
（1）展开式中第4项（r＝3）的二项式系数为＝120.
（2）展开式中第4项的系数为37＝－77 760.
（3）展开式中第4项为T4＝T3＋1＝－77 760.
【例3】 解：法一 由二项式定理得＝［＋］5＝·＋··＋··（）2＋··（）3＋··（）4＋·（）5.
其中为常数项的有··中的第3项：··；
··（）3中的第2项：··（）3；展开式的最后一项·（）5.
综上可知，常数项为··＋··（）3＋·（）5＝.
法二 原式＝＝·[（x＋）2]5＝·（x＋）10.求原式中展开式的常数项，转化为求（x＋）10的展开式中含x5的项的系数，即·（）5.所以所求的常数项为＝.
母题探究
1.D 的展开式的通项为Tk＋1＝·（－1）k，
则第一个因式取2，第二个因式取（－1）5，得2×（－1）5＝－2；
第一个因式取x2，第二个因式取，得1×（－1）4＝5，
因此，（x2＋2）的展开式的常数项是5＋（－2）＝3.
2.A 根据分类加法、分步乘法计数原理，得－5x4－4x4－3x4－2x4－x4＝－15x4，所以原式的展开式中，含x4的项的系数为－15.
跟踪训练
C 法一 （x2＋x＋y）5＝[（x2＋x）＋y]5，易知通项Tr＋1＝（x2＋x）5－ryr，令r＝2，则T3＝（x2＋x）3y2，对于二项式（x2＋x）3，其通项Tt＋1＝（x2）3－txt＝x6－t，令t＝1，可得x5y2的系数为＝30.
法二 （x2＋x＋y）5表示5个因式（x2＋x＋y）的连乘积，要得到x5y2项，只需先从5个因式中选2个因式中的y，再在其余3个因式中选1个x即可，故x5y2的系数为＝30.
随堂检测
1.D （1＋3x）n展开式的通项Tr＋1＝（3x）r，
由＝6得n＝4，从而T4＝（3x）3，
故第4项的系数为×33＝108.
2.C （1＋x）5（x－2）＝（1＋x＋x2＋x3＋x4＋x5）（x－2），则展开式中含x2的项为x·x＋x2·（－2）＝5x2－20x2＝－15x2.
3.－4 解析：的展开式的通项Tr＋1＝（x3）4－r·＝（－1）rx12－4r，令r＝3得常数项为T4＝（－1）3＝－4.
4.10 解析：（x＋y）5展开式的通项是Tk＋1＝x5－kyk，
令k＝3得T4＝x2y3＝10x2y3，
故二项式（x＋y）5展开式中含x2y3项的系数是10.
5.解：Tr＋1＝·（）9－r·（－）r＝（－1）r··.
则∈Z，即4＋∈Z，且r＝0，1，2，…，9，
∴r＝3或r＝9.
当r＝3时，＝4，T4＝（－1）3··x4＝－84x4；
当r＝9时，＝3，T10＝（－1）9··x3＝－x3.
∴（－）9的展开式中的有理项是第4项－84x4和第10项－x3.
4 / 4(共59张PPT)
第一课时
二项式定理及二项式系数的性质
新课程标准解读 核心素养
1.理解用组合的知识推导二项式定理，弄清其适用范
围 逻辑推理
2.理解通项的意义并会灵活运用 数学抽象
3.能正确区分某一项的系数与二项式系数 数学抽象
4.掌握二项式定理的性质及应用 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
牛顿善于在日常生活中思考，于是他取得了科学史上一个又一个重要
的发现.有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中
只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住了姑娘的手，错误地把它当成
通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛的姑娘大叫，离他而去.
【问题】 （1）我们在初中学习了（ a ＋ b ）2＝ a2＋2 ab ＋ b2，试用
多项式的乘法推导（ a ＋ b ）3，（ a ＋ b ）4的展开式.
（2）你能用组合的观点说明（ a ＋ b ）4是如何展开的吗？
（3）能用类比方法写出（ a ＋ b ） n （ n ∈N*）的展开式吗？
知识点一 二项式定理
概念 公式
称为二项
式定理
二项式系数 各项的系数 （ k ＝0，1，2，…， n ）
二项展开式 an ＋ an－1 b ＋ an－2 b2＋…＋ an－ kbk ＋…＋
bn
展开式通项 公式 an－ kbk 是展开式中的第 项，可记作 Tk＋1
＝ an－ kbk
提醒 k 是满足0≤ k ≤ n 的自然数.
（ a ＋ b ） n ＝ an ＋ an－1 b ＋ an－2 b2
＋…＋ an－ kbk ＋…＋ bn （ n ∈N*）
k ＋1
知识点二 二项式系数的性质
1. （ a ＋ b ） n 的展开式的各二项式系数的和为2 n ，即
.
2. 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即
＝ ＝ .
＋ ＋
＋…＋ ＝2 n
＋ ＋ ＋…
＋ ＋ ＋…
2 n－1
提醒 （1）展开式中第 k ＋1项的二项式系数 与第 k ＋1项的系数的
概念不同.
（2）通项公式中含有 a ， b ， n ， k ， Tk＋1五个量，只要知道其中的
四个量，就可以求出第五个量.
【想一想】
1. （ a ＋ b ） n 的二项展开式中的通项 an－ kbk 表示的是展开式的第 k
项吗？
提示：不是，表示的是展开式的第 k ＋1项.
2. “因为（ a ＋ b ） n ＝（ b ＋ a ） n 恒成立，所以（ a ＋ b ） n 的二项展
开式中的通项也能表示为 Tk＋1＝ bn－ kak ”这句话正确吗？
提示：不正确，二项展开式的通项是在特定的条件下确定的，即
（ a ＋ b ） n 的二项展开式的通项只能表示为 Tk＋1＝ an－ kbk ，而 Tk
＋1＝ bn－ kak 只能表示（ b ＋ a ） n 的展开式的第 k ＋1项.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）（ a ＋ b ） n 展开式中共有 n 项. （ × ）
（2）在公式中，交换 a ， b 的顺序对各项没有影响. （ × ）
（3） an－ rbr 是（ a ＋ b ） n 展开式中的第 r 项. （ × ）
（4）（ a － b ） n 与（ a ＋ b ） n 的二项式展开式的二项式系数相同.
（ √ ）
×
×
×
√
2. 已知 的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和
之比为64，则 n 等于（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
解析： 令 x ＝1得各项系数的和为4 n ，各二项式系数的和为2 n ，
则 ＝64，解得 n ＝6.
3. 在（1－2 x ）6的展开式中， x2的系数为 （用数字作答）.
解析：二项展开式的通项为 Tk＋1＝ （－2） kxk ，当 k ＝2时， x2
的系数为 （－2）2＝60.
4. 求 的展开式.
解：法一 ＝1＋ ＋ ＋ ＋ ＝1
＋ ＋ ＋ ＋ .
60
法二 ＝ （ x ＋1）4＝ （ x4＋ x3＋ x2＋ x ＋
1）＝1＋ ＋ ＋ ＋ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 二项式定理的逆用
【例1】 （1）化简：（ x －1）5＋5（ x －1）4＋10（ x －1）3＋10
（ x －1）2＋5（ x －1）；
解： 原式＝ （ x －1）5＋ （ x －1）4＋ （ x －1）3
＋ （ x －1）2＋ （ x －1）1＋ （ x －1）0－1＝[（ x －1）
＋1]5－1＝ x5－1.
（2）设 n 为正整数，化简： 4 n－1＋ 4 n－2＋ 4 n－3＋…＋ 40
＋ 4－1.
解： 原式＝ （ 4 n ＋ 4 n－1＋ 4 n－2＋…＋ 41＋
40）＝ （4＋1） n ＝ .
通性通法
逆用二项式定理化简的策略
将一个展开式合并成（ a ＋ b ） n 的形式体现了二项式定理的逆
用，求解此类问题时，要注意分析所给展开式中项的项数特点、各项
的次数规律，与（ a ＋ b ） n 的展开式相对照，从而确定该展开式中
a ， b ， n 的值，以便准确地逆用公式.
【跟踪训练】
如果1＋2 ＋22 ＋…＋2 n ＝2 187且 n ∈N*，则 ＋ ＋
＋…＋ ＝ .
解析：1＋2 ＋22 ＋…＋2 n ＝ 20＋ 21＋ 22＋…＋ 2 n
＝（1＋2） n ＝2 187，所以 n ＝7，故 ＋ ＋ ＋…＋ ＝27＝
128.
128
题型二 二项展开式的特定项、项的系数的求解
【例2】 （1）在（ －2）5的展开式中， x2的系数为（ C ）
A. －5 B. 5
C. －10 D. 10
解析： （ －2）5展开式的通项公式为： Tr＋1＝
（ ）5－ r （－2） r ＝（－2） r ，令 ＝2，可得 r ＝
1，则 x2的系数为（－2）1 ＝（－2）×5＝－10，故选C.
C
（2） 的展开式中常数项是 （用数字作答）.
解析： 展开式的通项 Tr＋1＝ （ x2）6－ r ·
＝ 2 rx12－3 r ，令12－3 r ＝0，解得 r ＝4，所以常数项为 24＝
240.
240
通性通法
求展开式中特定项的方法
（1）依据条件写出第 r ＋1项；
（2）根据特定项的指数特征，列出关于 r 的方程；
（3）求出 r 值；
（4）代回第 r ＋1项即可.
提醒 （1） Tr＋1是第 r ＋1项；
（2）若求第 m 项，则令 k ＋1＝ m ，直接代入二项式通项求解.
【跟踪训练】
已知二项式 .
（1）求展开式中第4项的二项式系数；
（1）展开式中第4项（ r ＝3）的二项式系数为 ＝120.
解： 的展开式的通项是
Tr＋1＝ （3 ）10－ r ＝ 310－ r · （ r ＝
0，1，2，…，10）.
（2）求展开式中第4项的系数；
解：展开式中第4项的系数为 37 ＝－77 760.
（3）求第4项.
解：展开式中第4项为 T4＝ T3＋1＝－77 760 .
题型三 二项式定理破解多项问题
【例3】 求 的展开式的常数项.
解：法一 由二项式定理得 ＝ ＝ · ＋ · · ＋ · ·（ ）2＋ ·
·（ ）3＋ · ·（ ）4＋ ·（ ）5.
其中为常数项的有 · · 中的第3项： · · ；
· ·（ ）3中的第2项： · ·（ ）3；展开式的最后
一项 ·（ ）5.
综上可知，常数项为 · · ＋ · ·（ ）3＋ ·（ ）
5＝ .
法二 原式＝ ＝ ·[（ x ＋ ）2]5＝ ·（ x ＋
）10.
求原式中展开式的常数项，转化为求（ x ＋ ）10的展开式中含 x5的
项的系数，即 ·（ ）5.所以所求的常数项为 ＝ .
【母题探究】
1. （变条件）（ x2＋2） 的展开式的常数项是（ ）
A. －3 B. －2
C. 2 D. 3
解析： 的展开式的通项为 Tk＋1＝ ·（－
1） k ，
则第一个因式取2，第二个因式取（－1）5，得2×（－1）5＝
－2；
第一个因式取 x2，第二个因式取 ，得1× （－1）4＝5，
因此，（ x2＋2） 的展开式的常数项是5＋（－2）＝
3.
2. （变条件，变设问）在（ x －1）（ x －2）（ x －3）（ x －4）·（ x
－5）的展开式中，含 x4的项的系数是（ ）
A. －15 B. 85
C. －120 D. 274
解析： 根据分类加法、分步乘法计数原理，得－5 x4－4 x4－3 x4
－2 x4－ x4＝－15 x4，所以原式的展开式中，含 x4的项的系数为－
15.
通性通法
多项式展开问题的求解方法
（1）若多项式恰好能转化为完全平方的形式，则多项式即可转化为
二项式的展开问题，利用相关方法求解即可；
（2）若不能直接用完全平方公式转化为二项式的展开问题，则通常
有以下两种方法：①利用项与项的结合转化为二项式展开问
题，这时往往要利用两次展开式的通项公式进行求解，其中项
与项结合时要注意合理性与简捷性；②借鉴推导二项式定理中
各项的系数的生成法，利用生成法求多项展开式的特定项.
【跟踪训练】
（ x2＋ x ＋ y ）5的展开式中， x5 y2的系数为（ ）
A. 10 B. 20
C. 30 D. 60
解析： 法一 （ x2＋ x ＋ y ）5＝[（ x2＋ x ）＋ y ]5，易知通项 Tr＋1
＝ （ x2＋ x ）5－ ryr ，令 r ＝2，则 T3＝ （ x2＋ x ）3 y2，对于二项
式（ x2＋ x ）3，其通项 Tt＋1＝ （ x2）3－ txt ＝ x6－ t ，令 t ＝1，可得
x5 y2的系数为 ＝30.
法二 （ x2＋ x ＋ y ）5表示5个因式（ x2＋ x ＋ y ）的连乘积，要得到
x5 y2项，只需先从5个因式中选2个因式中的 y ，再在其余3个因式中选
1个 x 即可，故 x5 y2的系数为 ＝30.
1. 若（1＋3 x ） n （ n ∈N*）的展开式中，第3项的二项式系数为6，则
第4项的系数为（ ）
A. 4 B. 27
C. 36 D. 108
解析： （1＋3 x ） n 展开式的通项 Tr＋1＝ （3 x ） r ，
由 ＝6得 n ＝4，从而 T4＝ （3 x ）3，
故第4项的系数为 ×33＝108.
2. （1＋ x ）5（ x －2）的展开式中 x2的系数为（ ）
A. 25 B. 5
C. －15 D. －20
解析： （1＋ x ）5（ x －2）＝（1＋ x ＋ x2＋ x3＋ x4＋
x5）（ x －2），则展开式中含 x2的项为 x · x ＋ x2·（－2）＝
5 x2－20 x2＝－15 x2.
3. 展开式中常数项为 .
解析： 的展开式的通项 Tr＋1＝ （ x3）4－ r · ＝
（－1） r x12－4 r ，令 r ＝3得常数项为 T4＝（－1）3 ＝－4.
4. 二项式（ x ＋ y ）5的展开式中，含 x2 y3的项的系数是 （用数
字作答）.
解析：（ x ＋ y ）5展开式的通项是 Tk＋1＝ x5－ kyk ，
令 k ＝3得 T4＝ x2 y3＝10 x2 y3，
故二项式（ x ＋ y ）5展开式中含 x2 y3项的系数是10.
－4
10
5. 求（ － ）9的展开式中的有理项.
解： Tr＋1＝ ·（ ）9－ r ·（－ ） r ＝（－1） r · · .
则 ∈Z，即4＋ ∈Z，
且 r ＝0，1，2，…，9，∴ r ＝3或 r ＝9.
当 r ＝3时， ＝4， T4＝（－1）3· · x4＝－84 x4；
当 r ＝9时， ＝3， T10＝（－1）9· · x3＝－ x3.
∴（ － ）9的展开式中的有理项是第4项－84 x4和第10项－x3.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若（1＋ ）4＝ a ＋ b （ a ， b 均为有理数），则 a ＋ b 等于
（ ）
A. 33 B. 29 C. 23 D. 19
解析： ∵（1＋ ）4＝ （ ）0＋ （ ）1＋ （ ）
2＋ （ ）3＋ （ ）4＝17＋12 ＝ a ＋ b ，∴ a ＝17，
b ＝12，∴ a ＋ b ＝29，故选B.
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2. 展开式中的常数项为（ ）
A. 80 B. －80 C. 40 D. －40
解析： 展开式的通项为 Tr＋1＝ （ x2）5－ r · ＝（－2） r
x10－5 r ，令10－5 r ＝0，得 r ＝2，此时常数项为（－2）2 ＝
40.
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3. 在（1＋ x ）6（1＋ y ）4的展开式中，记 xmyn 项的系数为 f （ m ，
n ），则 f （3，0）＋ f （2，1）＋ f （1，2）＋ f （0，3）＝
（ ）
A. 45 B. 60 C. 120 D. 210
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解析： 根据二项式定理得，（1＋ x ）6的展开式中第 r ＋1项为
Tr＋1＝ xr ，（1＋ y ）4的展开式中第 r ＋1项为 Tr＋1＝ yr ，
∴ f （3，0）＝ ＝20， f （2，1）＝ ＝60， f （1，2）＝
＝36， f （0，3）＝ ＝4，
∴ f （3，0）＋ f （2，1）＋ f （1，2）＋ f （0，3）＝20＋60＋36
＋4＝120.故选C.
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4. 设复数 x ＝ （i是虚数单位），则 x ＋ x2＋ x3
＋…＋ x2 024＝（ ）
A. i B. －i C. 0 D. －1－i
解析： x ＝ ＝ ＝－1＋i，
x ＋ x2＋ x3＋…＋ x2 024＝（1＋ x ）2 024－1
＝i2 024－1＝0.
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5. （多选）若 的展开式中存在常数项，则 n 的取值可以是
（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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解析： 因为 的展开式的第 r ＋1项为 Tr＋1＝ xn－ r
（－1） rx－ r ＝ （－1） rxn－2 r ，若 的展开式中存在常数项，则只需 n －2 r ＝0，即 n ＝2 r ，又 n ∈N*， r ∈N，所以 n 只需为正偶数即可，故A、C排除，B、D可以取得.故选B、D.
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6. 的展开式中 x2 y2项的系数是 .
解析： 表示8个因式 的乘积，要得到展
开式中含 x2 y2的项，则其中有2个因式取2 x ，有2个因式取－ ，其
余的4个因式都取1，可得含 x2 y2的项.故展开式中 x2 y2项的系数是
·22· · · ＝420.
420
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7. 已知（2 x －1）（ x ＋ a ）6的展开式中 x5的系数为24，则 a ＝
.
解析：根据题意，（ x ＋ a ）6的展开式的通项为 Tr＋1＝ x6－ rar ，
其中当 r ＝1时，有 T2＝ x5 a ，当 r ＝2时，有 T3＝ x4 a2，则（2
x －1）（ x ＋ a ）6的展开式中 x5的系数为－ a ＋2 a2＝－6 a ＋
30 a2，则有－6 a ＋30 a2＝24，可得5 a2－ a －4＝0，
∴（ a －1）（5 a ＋4）＝0，即 a ＝1或 a ＝－ .
1或
－
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8.9192除以100的余数是 .
解析：法一 9192＝（100－9）92＝ ×10092－ ×10091×9＋
×10090×92－…－ ×100×991＋ ×992.
展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数，
由992＝（10－1）92＝ ×1092－ ×1091＋ ×1090－…＋
×102－ ×10＋1.
前91项均能被100整除，后两项和为－919，可从前面数中分离出
1 000，结果为1 000－919＝81.
∴9192被100除所得的余数为81.
81
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法二 9192＝（90＋1）92＝ ×9092＋ ×9091＋ ×9090＋…＋
×902＋ ×90＋1.
前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，8 281除以100
所得余数为81.
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9. 已知 的展开式中的第二项和第三项的系数相等.
（1）求 n 的值；
（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得 ·
＝ · ，即 n ＝ · ，解得 n ＝5或 n ＝0（舍
去）.
解： 展开式的通项为 Tr＋1＝ · xn－ r · ＝
· · （ r ＝0，1，2，…， n ）.
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（2）求展开式中所有二项式系数的和；
解：展开式中所有二项式系数的和为 ＋ ＋ ＋ ＋
＋ ＝32.
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（3）求展开式中所有的有理项.
解：二项展开式的通项为 Tr＋1＝ · x5－ r · ＝
· · （ r ＝0，1，2，…，5），当 r ＝0，2，4时，
对应项是有理项，
所以展开式中所有的有理项为 T1＝ · · x5＝ x5， T3＝
· · x5－3＝ x2， T5＝ · · x5－6＝ .
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10. 在（1＋ x ）＋（1＋ x ）2＋（1＋ x ）3＋…＋（1＋ x ）11的展开式
中， x2的系数是（ ）
A. 55 B. 66 C. 165 D. 220
解析： （1＋ x ）2的展开式中 x2项的系数是 ，（1＋ x ）3的
展开式中 x2的系数是 ，…，（1＋ x ）11的展开式中 x2的系数是
，故展开式中 x2的系数为 ＋ ＋…＋ ＝ ＝220.
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11. （多选）二项式（ x ＋ ） n （ n ∈N*）的展开式中至少有2项
的系数为有理数，则 n 的可能取值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
解析： （ x ＋ ） n 的展开式的二项式通项为 Tk＋1＝
（ x ） n－ k （ ） k ＝ （ ） n－ k xn－ k .结合选项，若 n ＝
6或8，则当 k ＝0和6时，项的系数均为有理数；若 n ＝7，则只有
当 k ＝3时，项的系数为有理数，不满足题意；若 n ＝9，则当 k ＝
3和9时，项的系数均为有理数.故选A、C、D.
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12. 已知 m ， n 是正整数， f （ x ）＝（1＋ x ） m ＋（1＋ x ） n 的展开式
中 x 的系数为7.
（1）试求 f （ x ）中的 x2的系数的最小值；
解： 根据题意，得 ＋ ＝7，即 m ＋ n ＝7， ①
f （ x ）中的 x2的系数为 ＋ ＝ ＋ ＝
.
将①变形为 n ＝7－ m ，代入上式得 x2的系数为 m2－7 m ＋21
＝ ＋ ，
故当 m ＝3或 m ＝4时， x2的系数的最小值为9.
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（2）对于使 f （ x ）的 x2的系数为最小的 m ， n ，求出此时 x3
的系数；
解： 当 m ＝3， n ＝4时， x3的系数为 ＋ ＝5；
当 m ＝4， n ＝3时， x3的系数为 ＋ ＝5.
（3）利用上述结果，求 f （0.003）的近似值.（精确到0.01）
解： f （0.003）＝（1＋0.003）4＋（1＋0.003）3≈
＋ ×0.003＋ ＋ ×0.003≈2.02.
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13. 已知多项式（ x －1）3＋（ x ＋1）4＝ x4＋ a1 x3＋ a2 x2＋ a3 x ＋ a4，
则 a1＝ ； a2＋ a3＋ a4＝ .
解析：（ x －1）3展开式的通项 Tr＋1＝ x3－ r ·（－1） r ，（ x ＋
1）4展开式的通项 Tk＋1＝ x4－ k ，则 a1＝ ＋ ＝1＋4＝5； a2
＝ （－1）1＋ ＝3； a3＝ （－1）2＋ ＝7； a4＝ （－
1）3＋ ＝0.所以 a2＋ a3＋ a4＝3＋7＋0＝10.
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14. 某地区现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加
22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为
1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公
顷）？（ 粮食单产＝ ，人均粮食占有量＝ ）
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解：设耕地平均每年减少 x 公顷，该地区现有人口数为 P ，粮食
单产为 M 吨/公顷，依题意得不等式：
≥ ·（1＋10%），
化简得 x ≤103× .
∵103× ＝103×［1－ ×（1＋ ×0.01
＋ ×0.012＋…＋ ×0.0110）］
≈103× ≈4.1，∴ x ≤4.
即按规划，耕地平均每年至多只能减少4公顷.
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谢 谢 观 看！
