第二课时 杨辉三角
1.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于（ ）
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
5 11 14 11 5
· · · · · ·
a b · · · · ·
A.20 B.21
C.22 D.23
2.（2x－1）10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为（ ）
A. B.
C. D.－
3.已知的展开式中各项系数的和为32，则该二项展开式中系数最大的项为（ ）
A.270x－1 B.270x
C.405x3 D.243x5
4.已知－4＋42－43＋…＋（－1）n4n＝729，则＋＋…＋的值等于（ ）
A.64 B.32
C.63 D.31
5.（多选）已知（x－1）5＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a5（x＋1）5，则（ ）
A.a0＝－32
B.a2＝－80
C.a3＋4a4＝0
D.a0＋a1＋…＋a5＝1
6.已知（x＋1）10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak（1≤k≤11，k∈Z）是一个单调递增数列，则k的最大值是 .
7.已知a∈R，若二项式（a＋1）n的展开式中二项式系数和是16，所有项系数和是81，则n＝ ，含x项的系数是 .
8.（a＋x）（1＋x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝ .
9.（1＋2x）n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
10.已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，记展开式中系数最大的项为第k项，则k＝（ ）
A.6 B.7
C.6或7 D.5或6
11.（多选）关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A.奇数项的二项式系数和为32
B.所有项的系数和为－1
C.只有第3项的二项式系数最大
D.含x项的系数为－80
12.“纵横路线图”是一类有趣的数学问题.如图是某城市的部分街道图，纵横各有5条路，从A处走到B处且路径最短，共有多少种不同的走法？
13.若函数f（x）＝64x6表示为f（x）＝a0＋a1（2x－1）＋a2（2x－1）2＋…＋a6（2x－1）6，其中a0，a1，a2，a3，…a6为实数，则a5＝ ，a2＋a4＋a6＝ .
14.已知展开式的第5项的系数与第3项的系数的比值为30.求：
（1）展开式中的所有有理项；
（2）n＋6＋36＋…＋6n－1的值；
（3）系数的绝对值最大的项.
第二课时 杨辉三角
1.C 根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是其“两肩”上相邻两个数的和，当a＝7时，b的“两肩”上的第一个数为6，第二个数为16，所以b＝6＋16＝22.
2.B 设（2x－1）10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a10①，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10②，①－②，整理可得，a1＋a3＋…＋a9＝.故选B.
3.B 令x＝1，得（a－1）5＝32，解得a＝3.
的展开式的通项为Tr＋1＝·（3x）5－r·＝（－1）r·35－r··x5－2r.
当r＝0时，35＝243；
当r＝2时，33·＝270；
当r＝4时，3·＝15.
所以该二项展开式中第3项的系数最大，故该二项展开式中系数最大的项为270x.
4.C 因为－4＋42－43＋…＋（－1）n4n＝729，所以（1－4）n＝36，所以n＝6，因此＋＋…＋＝2n－＝2n－1＝26－1＝63，故选C.
5.ABC 因为（x－1）5＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a5（x＋1）5，
则[（x＋1）－2]5＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a5（x＋1）5，
由二项式定理得：[（x＋1）－2]5展开式的通项为Tr＋1＝（－2）r（x＋1）5－r，
令5－r＝2，得r＝3，则a2＝（－2）3＝－80，故B正确；
令5－r＝4，得r＝1，则a4＝（－2）1＝－10，
令5－r＝3，得r＝2，则a3＝（－2）2＝40，所以a3＋4a4＝0，故C正确；
令x＝－1，得（－1－1）5＝a0，得a0＝－32，故A正确；
令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝（－1）5＝－1，故D错误.故选A、B、C.
6.6 解析：（x＋1）n展开式的各项系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.
7.4 24或96 解析：二项式（a＋1）n的展开式中二项式系数和是16，即2n＝16，解得n＝4.所有项系数和是81，令x＝1，可得：（a＋1）4＝81，解得a＝2或－4.a＝2时，T3＝（2）2＝24x，a＝－4时，T3＝（－4）2＝96x，含x项的系数是24或96.
8.3 解析：设f（x）＝（a＋x）（1＋x）4，
则其所有项的系数和为f（1）＝（a＋1）×（1＋1）4＝（a＋1）×16，
又奇数次幂项的系数和为[f（1）－f（－1）]，f（－1）＝0，∴×（a＋1）×16＝32，∴a＝3.
9.解：Tr＋1＝2rxr，依题意有×25＝×26，∴n＝8，
∴（1＋2x）8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝（2x）4＝1 120x4.
设第r＋1项的系数最大，则
∴5≤r≤6，
∵0≤r≤8，r∈N，∴r＝5或r＝6.
∴系数最大的项为T6＝1 792x5或T7＝1 792x6.
10.B 因为的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，所以n＝4＋7＝11，第r＋1项系数为Tr＋1＝·（－1）r，当r＝6时，Tr＋1最大，故展开式中系数最大的项为第7项，故选B.
11.BD 的展开式中奇数项的二项式系数和为24＝16，选项A不正确；
中，令x＝1，可得（1－2）5＝－1，选项B正确；
的展开式通项为：Tk＋1＝（x2）5－k·＝（－1）k2k（x）10－3k，＝＝10，
所以第三项和第四项的二项式系数最大，选项C不正确；
令10－3k＝1，得k＝3，此时T4＝（－1）323（x）10－3×3＝－80x，所以含x项的系数为－80，选项D正确.故选B、D.
12.解：我们把题图以B为中心，顺时针旋转45度，然后在交叉点标上杨辉三角对应的数，如图.
一般地，每个交点上的数就是从A处到达该点的方法数，故从A处走到B处且路径最短，共有70种不同的走法.
13.6 31 解析：∵函数f（x）＝64x6表示为f（x）＝a0＋a1（2x－1）＋a2（2x－1）2＋…＋a6（2x－1）6，
∴a0＋a1（2x－1）＋a2（2x－1）2＋…＋a6（2x－1）6＝64·＝[1＋（2x－1）]6，则a5＝＝6.
a2＋a4＋a6＝＋＋＝31.
14.解：展开式的通项Tr＋1＝（）n－r·＝·（－2）r（r＝0，1，…，n），
由于展开式的第5项的系数与第3项的系数的比值为30，则＝30，化简，得n2－5n－84＝0，解得n＝12或n＝－7（舍去）.
（1）展开式的通项Tr＋1＝（－2）r·（r＝0，1，2，…，12），当r＝0，6，12时，为整数，则有理项为T1＝x6，T7＝26x＝59 136x，T13＝212x－4＝4 096x－4.
（2）n＋6＋36＋…＋6n－1
＝＋6＋36＋…＋611
＝（1＋6＋62＋63＋…＋612）－
＝×（1＋6）12－＝.
（3）设第r＋1项的系数的绝对值最大，
因为Tr＋1＝（－2）r·（r＝0，1，2，…，12），
则即解得≤r≤，
所以r＝8，
所以系数的绝对值最大的项为T9＝28＝126 720.
1 / 2第二课时 杨辉三角
新课程标准解读 核心素养
1.了解杨辉三角，并探索其中的规律 逻辑推理
2.掌握“赋值法”并会灵活运用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 数学运算
同学们根据二项式定理写出（a＋b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的二项式系数.可以写成如下形式：
这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”.在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就.
【问题】 （1）从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
（2）计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？
（3）二项式系数的最大值有何规律？
知识点一 杨辉三角的性质
1.每一行都是对称的，且两端的数都是1.
2.从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和.
知识点二 二项式系数的性质
利用二项式系数的对称性可知，二项式系数，，，…，，，，是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大.
【想一想】
如何理解“赋值法”？
1.二项式（1＋x）17的展开式中，系数最大的项为（ ）
A.第9项
B.第10项
C.第8项或第9项
D.第9项或第10项
2.设（1＋x）8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8，则｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜＋｜a8｜＝ .
3.若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项为 .
4.在的展开式中，各项系数的和是 ，二项式系数最大的项是 .
题型一 与“杨辉三角”有关的问题
【例1】 如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，第 行中从左到右第14个与第15个数的比为2∶3.
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
… …
尝试解答
通性通法
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
【跟踪训练】
将三项式（x2＋x＋1）n展开，当n＝1，2，3，…时，得到如图①所示的展开式.
（x2＋x＋1）0＝1
（x2＋x＋1）1＝x2＋x＋1
（x2＋x＋1）2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1
（x2＋x＋1）3＝x6＋3x5＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1
（x2＋x＋1）4＝x8＋4x7＋10x6＋16x5＋19x4＋16x3＋10x2＋4x＋1
……
图①
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图②所示的广义杨辉三角形，其构造方法：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k（k∈Z）行共有（2k＋1）个数.若在（1＋ax）（x2＋x＋1）5的展开式中，x8项的系数为75，则实数a的值为 .
题型二 二项式系数性质的应用
【例2】 已知在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大.
（1）求n；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.
尝试解答
通性通法
二项展开式中系数最大的项的求解方法
求展开式中系数最大的项不同于求二项式系数最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项的系数分别为A0，A1，A2，…，An，并设第（r＋1）项的系数最大，则有利用组合数的公式展开解此不等式组，确定r的值，即可得出系数最大的项.
【跟踪训练】
已知（1＋x）n的展开式中，唯有x3的系数最大，则（1＋x）n的系数和为 .
题型三 赋值法求展开式的系数和
【例3】 已知（1－2x）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：
（1）a1＋a2＋…＋a7；
（2）a1＋a3＋a5＋a7；
（3）｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a7｜.
尝试解答
通性通法
二项展开式中各项的系数和问题的求解——赋值思想
一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则
（1）各项系数和为a0＋a1＋a2＋…＋an＝f（1）；
（2）奇数项系数和为a0＋a2＋a4＋…＝；
【跟踪训练】
已知x3＋x10＝a0＋a1（x＋1）＋…＋a9（x＋1）9＋a10（x＋1）10.求：
（1）a0＋a1＋…＋a9＋a10的值；
（2）a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10的值；
（3）a0.
1.（1＋x）n（n∈N*）的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于（ ）
A.7 B.8
C.10 D.11
2.若（1－2x）2 025＝a0＋a1x＋…＋a2 025x2 025（x∈R），则＋＋…＋的值为（ ）
A.2 B.0
C.－1 D.－2
3.（2x－3）的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）
A.－73 B.－61
C.－55 D.－63
4.在的展开式中，各项系数之和与二项式系数之和的比为32∶1，则x2的系数为（ ）
A.50 B.70 C.90 D.120
5.已知（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则（a0＋a2＋a4）·（a1＋a3＋a5）的值等于 .
第二课时 杨辉三角
【基础知识·重落实】
想一想
提示：“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.
自我诊断
1.D 二项式（1＋x）17的展开式中，各项的系数是展开式中二项式系数，∴展开式中共有18项，系数最大的项为第9项或第10项.
2.28 解析：由题意知｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a7｜＋｜a8｜表示（1＋x）8的展开式中各项系数的和，令x＝1，得｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a7｜＋｜a8｜＝28.
3.1 120 解析：∵2n＝256，∴n＝8，则Tr＋1＝（2x）8－r·＝28－rx8－2r，令8－2r＝0，得r＝4，
∴展开式中的常数项为T5＝24＝1 120.
4.1 －160 解析：的展开式中，令x＝1，则各项系数的和为（2－1）6＝1.二项式系数最大的项是T4＝（2）3·＝－160.
【典型例题·精研析】
【例1】 34 解析：由“杨辉三角”知，
第1行中的数是，；
第2行中的数是，，；
第3行中的数是，，，；
……
第n行中的数是，，，…，.
设第n行中从左到右第14个与第15个数的比为2∶3，
则∶＝2∶3，解得n＝34.
跟踪训练
2 解析：（x2＋x＋1）5展开式中系数为1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，所以在（1＋ax）（x2＋x＋1）5的展开式中，x8项的系数为15＋30a＝75 a＝2.
【例2】 解：（1）∵展开式中只有第6项的二项式系数最大，
∴n是偶数且第6项为中间项，所以＋1＝6，解得n＝10.
（2）展开式的通项Tk＋1＝·（－1）k·2－k·，
假设第r＋1项的系数的绝对值最大，即·2－r最大，则∴
∴≤r≤.
∵r∈N*，∴r＝3.
因此展开式中系数绝对值最大的项是第4项，
即T4＝－×2－3×＝－15.
系数最大的项，首先其系数应该大于0，因此k取偶数0，2，4，6，8，10时，各项分别为x5＝x5，×2－2＝，×2－4＝，×2－6x4＝x4，×2－8＝，×2－10×＝.
所以展开式中系数最大的项是第5项，即.
跟踪训练
64 解析：由题意知，
则
解得5＜n＜7，又n∈N，因此n＝6.设（1＋x）6＝a0x6＋a1x5＋a2x4＋…＋a5x＋a6，令x＝1，则（1＋x）6的系数和为a0＋a1＋a2＋…＋a6＝26＝64.
【例3】 解：（1）当x＝1时，等号左边为（1－2）7＝－1，等号右边为a0＋a1＋a2＋…＋a7，∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.
当x＝0时，a0＝1.
∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2.
（2）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1， ①
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37， ②
①－②，得2（a1＋a3＋a5＋a7）＝－1－37，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝－＝－1 094.
（3）由展开式，知a1，a3，a5，a7均为负数，a0，a2，a4，a6均为正数，
∴｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a7｜＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7.
由（2）可知，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37，
∴｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a7｜＝37＝2 187.
跟踪训练
解：（1）令x＋1＝1，即x＝0，得0＝a0＋a1×1＋…＋a9×19＋a10×110，即a0＋a1＋…＋a9＋a10＝0.
（2）令x＋1＝－1，即x＝－2，得（－2）3＋（－2）10＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，即a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10＝1 016.
（3）令x＋1＝0，即x＝－1，得a0＝0.
随堂检测
1.C （1＋x）n（n∈N*）的二项展开式中，各项系数即二项式系数，分别为，，…，.二项展开式中只有一项的二项式系数最大，则n为偶数，二项式系数最大.则x5的系数最大，故＝5，n＝10.
2.C 令x＝，则由（1－2x）2 025＝a0＋a1x＋…＋a2 025x2 025，得＝a0＋＋＋…＋＝0，令x＝0，得a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.
3.A 令x＝1，得（2－3）×＝（－1）·26＝－64，而常数项为－3×＋2×＝9，故展开式中剔除常数项的各项系数和为－64－9＝－73，故选A.
4.C 在中，令x＝1，得（1＋3）n＝4n，即展开式中各项系数之和为4n；展开式中的二项式系数之和为2n.
由题意得＝2n＝32，解得n＝5.的展开式的通项为Tr＋1＝x5－r＝·3r，令5－r＝2，得r＝2，则x2的系数为·32＝90.
5.－256 解析：令x＝1，得（1－1）5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，
∴a0＋a2＋a4＝－（a1＋a3＋a5），
又令x＝－1，得25＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，
∴a0＋a2＋a4＝－（a1＋a3＋a5）＝16.
则（a0＋a2＋a4）·（a1＋a3＋a5）＝－256.
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第二课时 杨辉三角
新课程标准解读 核心素养
1.了解杨辉三角，并探索其中的规律 逻辑推理
2.掌握“赋值法”并会灵活运用二项式定理解决与二
项展开式有关的简单问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
同学们根据二项式定理写出（ a ＋ b ） n （ n ＝1，2，3，4，5，
6）的二项式系数.可以写成如下形式：
这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一
书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本
书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”.在欧洲，这个表被认
为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左
右，由此可见我国古代在数学方面的成就.
【问题】 （1）从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
（2）计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？
（3）二项式系数的最大值有何规律？
知识点一 杨辉三角的性质
1. 每一行都是对称的，且两端的数都是1.
2. 从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相
邻的两数之和.
知识点二 二项式系数的性质
利用二项式系数的对称性可知，二项式系数 ， ， ，…，
， ， ，是先逐渐变大，再逐渐变小的，当 n 是偶数时，
中间一项的二项式系数最大，当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数
相等且最大.
【想一想】
如何理解“赋值法”？
提示：“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题
目要求，灵活赋给字母不同值.一般地，要使展开式中项的关系变为
系数的关系，令 x ＝0可得常数项，令 x ＝1可得所有项系数之和，令 x
＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.
1. 二项式（1＋ x ）17的展开式中，系数最大的项为（ ）
A. 第9项
B. 第10项
C. 第8项或第9项
D. 第9项或第10项
解析： 二项式（1＋ x ）17的展开式中，各项的系数是展开
式中二项式系数，∴展开式中共有18项，系数最大的项为第9项
或第10项.
2. 设（1＋ x ）8＝ a0＋ a1 x ＋…＋ a7 x7＋ a8 x8，则｜ a0｜＋｜ a1｜＋｜
a2｜＋…＋｜ a7｜＋｜ a8｜＝ .
解析：由题意知｜ a0｜＋｜ a1｜＋｜ a2｜＋…＋｜ a7｜＋｜ a8｜表
示（1＋ x ）8的展开式中各项系数的和，
令 x ＝1，得｜ a0｜＋｜ a1｜＋…＋｜ a7｜＋｜ a8｜＝28.
28
3. 若 的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该
展开式中常数项为 .
解析：∵2 n ＝256，∴ n ＝8，则 Tr＋1＝ （2 x ）8－ r · ＝28－ r
x8－2 r ，令8－2 r ＝0，得 r ＝4，
∴展开式中的常数项为 T5＝ 24＝1 120.
1 120
4. 在 的展开式中，各项系数的和是 ，二项式
系数最大的项是 .
解析： 的展开式中，令 x ＝1，则各项系数的和为（2
－1）6＝1.二项式系数最大的项是 T4＝ （2 ）3· ＝－
160.
1
－160
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 与“杨辉三角”有关的问题
【例1】 如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，
第 行中从左到右第14个与第15个数的比为2∶3.
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
34
第5行 1 5 10 10 5 1
… …
解析：由“杨辉三角”知，
第1行中的数是 ， ；
第2行中的数是 ， ， ；
第3行中的数是 ， ， ， ；
……
第 n 行中的数是 ， ， ，…， .
设第 n 行中从左到右第14个与第15个数的比为2∶3，
则 ∶ ＝2∶3，解得 n ＝34.
通性通法
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
【跟踪训练】
将三项式（ x2＋ x ＋1） n 展开，当 n ＝1，2，3，…时，得到如图①
所示的展开式.
（ x2＋ x ＋1）0＝1
（ x2＋ x ＋1）1＝ x2＋ x ＋1
（ x2＋ x ＋1）2＝ x4＋2 x3＋3 x2＋2 x ＋1
（ x2＋ x ＋1）3＝ x6＋3 x5＋6 x4＋7 x3＋6 x2＋3 x ＋1
（ x2＋ x ＋1）4＝ x8＋4 x7＋10 x6＋16 x5＋19 x4＋16 x3＋10 x2＋4 x ＋1
……
图①
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图②所示的广
义杨辉三角形，其构造方法：第0行为1，以下各行每个数是它头上与
左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第 k （ k ∈Z）
行共有（2 k ＋1）个数.若在（1＋ ax ）（ x2＋ x ＋1）5的展开式中， x8
项的系数为75，则实数 a 的值为 .
解析：（ x2＋ x ＋1）5展开式中系数为1，5，15，30，45，51，45，
30，15，5，1，所以在（1＋ ax ）（ x2＋ x ＋1）5的展开式中， x8项的
系数为15＋30 a ＝75 a ＝2.
2
题型二 二项式系数性质的应用
【例2】 已知在 的展开式中，只有第6项的二项式系数
最大.
（1）求 n ；
解： ∵展开式中只有第6项的二项式系数最大，
∴ n 是偶数且第6项为中间项，所以 ＋1＝6，解得 n ＝10.
（2）求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.
解： 展开式的通项 Tk＋1＝ ·（－1） k ·2－
k · ，
假设第 r ＋1项的系数的绝对值最大，即 ·2－ r 最大，则
∴∴ ≤ r ≤ .
∵ r ∈N*，∴ r ＝3.
因此展开式中系数绝对值最大的项是第4项，
即 T4＝－ ×2－3× ＝－15 .
系数最大的项，首先其系数应该大于0，因此 k 取偶数0，2，4，
6，8，10时，各项分别为 x5＝ x5， ×2－2 ＝ ，
×2－4 ＝ ， ×2－6 x4＝ x4， ×2－8 ＝
， ×2－10× ＝ .
所以展开式中系数最大的项是第5项，即 .
通性通法
二项展开式中系数最大的项的求解方法
求展开式中系数最大的项不同于求二项式系数最大的项，一般采
用待定系数法.设展开式中各项的系数分别为 A0， A1， A2，…， An ，
并设第（ r ＋1）项的系数最大，则有利用组合数的公式
展开解此不等式组，确定 r 的值，即可得出系数最大的项.
【跟踪训练】
已知（1＋ x ） n 的展开式中，唯有 x3的系数最大，则（1＋ x ） n 的系
数和为 .
解析：由题意知， 则
64
解得5＜ n ＜7，又 n ∈N，因此 n ＝6.设（1＋ x ）6＝ a0 x6＋ a1 x5＋ a2 x4
＋…＋ a5 x ＋ a6，令 x ＝1，则（1＋ x ）6的系数和为 a0＋ a1＋ a2＋…＋
a6＝26＝64.
题型三 赋值法求展开式的系数和
【例3】 已知（1－2 x ）7＝ a0＋ a1 x ＋ a2 x2＋…＋ a7 x7.求：
（1） a1＋ a2＋…＋ a7；
解： 当 x ＝1时，等号左边为（1－2）7＝－1，等号右边为
a0＋ a1＋ a2＋…＋ a7，
∴ a0＋ a1＋ a2＋…＋ a7＝－1.
当 x ＝0时， a0＝1.
∴ a1＋ a2＋…＋ a7＝－1－1＝－2.
（2） a1＋ a3＋ a5＋ a7；
解： 令 x ＝1，得 a0＋ a1＋ a2＋…＋ a7＝－1， ①
令 x ＝－1，得 a0－ a1＋ a2－ a3＋ a4－ a5＋ a6－ a7＝37， ②
①－②，得2（ a1＋ a3＋ a5＋ a7）＝－1－37，
∴ a1＋ a3＋ a5＋ a7＝－ ＝－1 094.
（3）｜ a0｜＋｜ a1｜＋…＋｜ a7｜.
解： 由展开式，知 a1， a3， a5， a7均为负数， a0， a2，
a4， a6均为正数，
∴｜ a0｜＋｜ a1｜＋…＋｜ a7｜＝ a0－ a1＋ a2－ a3＋ a4－ a5＋ a6
－ a7.
由（2）可知， a0－ a1＋ a2－ a3＋ a4－ a5＋ a6－ a7＝37，
∴｜ a0｜＋｜ a1｜＋…＋｜ a7｜＝37＝2 187.
通性通法
二项展开式中各项的系数和问题的求解——赋值思想
一般地，若 f （ x ）＝ a0＋ a1 x ＋ a2 x2＋…＋ anxn ，则
（1）各项系数和为 a0＋ a1＋ a2＋…＋ an ＝ f （1）；
（2）奇数项系数和为 a0＋ a2＋ a4＋…＝ ；
（3）偶数项系数和为 a1＋ a3＋ a5＋…＝ .
特别地，若 f （ x ）的展开式不是以上形式，此时要对 f （ x ）中
的 x 合理赋值，使 ai （ i ＝1，2，…， n ）的系数为1或出现要求
的结构.
【跟踪训练】
已知 x3＋ x10＝ a0＋ a1（ x ＋1）＋…＋ a9（ x ＋1）9＋ a10（ x ＋1）
10.求：
（1） a0＋ a1＋…＋ a9＋ a10的值；
解： 令 x ＋1＝1，即 x ＝0，得0＝ a0＋ a1×1＋…＋ a9×19
＋ a10×110，即 a0＋ a1＋…＋ a9＋ a10＝0.
（2） a0－ a1＋ a2－ a3＋…－ a9＋ a10的值；
解： 令 x ＋1＝－1，即 x ＝－2，得（－2）3＋（－2）10＝
a0－ a1＋ a2－ a3＋…－ a9＋ a10，
即 a0－ a1＋ a2－ a3＋…－ a9＋ a10＝1 016.
（3） a0.
解： 令 x ＋1＝0，即 x ＝－1，得 a0＝0.
1. （1＋ x ） n （ n ∈N*）的二项展开式中，若只有 x5的系数最大，则 n
等于（ ）
A. 7 B. 8
C. 10 D. 11
解析： （1＋ x ） n （ n ∈N*）的二项展开式中，各项系数即二
项式系数，分别为 ， ，…， .二项展开式中只有一项的二
项式系数最大，则 n 为偶数，二项式系数 最大.则 x5的系数 最
大，故 ＝5， n ＝10.
2. 若（1－2 x ）2 025＝ a0＋ a1 x ＋…＋ a2 025 x2 025（ x ∈R），则 ＋
＋…＋ 的值为（ ）
A. 2 B. 0
C. －1 D. －2
解析： 令 x ＝ ，则由（1－2 x ）2 025＝ a0＋ a1 x ＋…＋ a2 025 x2
025，得 ＝ a0＋ ＋ ＋…＋ ＝0，令 x ＝0，
得 a0＝1，所以 ＋ ＋…＋ ＝－1.
3. （2 x －3） 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为
（ ）
A. －73 B. －61
C. －55 D. －63
解析： 令 x ＝1，得（2－3）× ＝（－1）·26＝－64，
而常数项为－3× ＋2× ＝9，故展开式中剔除常数项的各项
系数和为－64－9＝－73，故选A.
4. 在 的展开式中，各项系数之和与二项式系数之和的比为
32∶1，则 x2的系数为（ ）
A. 50 B. 70
C. 90 D. 120
解析： 在 中，令 x ＝1，得（1＋3） n ＝4 n ，即展开式
中各项系数之和为4 n ；展开式中的二项式系数之和为2 n .
由题意得 ＝2 n ＝32，解得 n ＝5. 的展开式的通项为 Tr＋
1＝ x5－ r ＝ ·3 r ，令5－ r ＝2，得 r ＝2，则 x2的系
数为 ·32＝90.
5. 已知（1－ x ）5＝ a0＋ a1 x ＋ a2 x2＋ a3 x3＋ a4 x4＋ a5 x5，则（ a0＋ a2
＋ a4）·（ a1＋ a3＋ a5）的值等于 .
解析：令 x ＝1，得（1－1）5＝ a0＋ a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5，∴ a0＋
a2＋ a4＝－（ a1＋ a3＋ a5），又令 x ＝－1，得25＝ a0－ a1＋ a2－ a3
＋ a4－ a5，∴ a0＋ a2＋ a4＝－（ a1＋ a3＋ a5）＝16.则（ a0＋ a2＋
a4）·（ a1＋ a3＋ a5）＝－256.
－256
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒， a ， b 是某行的前两
个数，当 a ＝7时， b 等于（ ）
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
5 11 14 11 5
· · · · · ·
a b · · · · ·
A. 20 B. 21
C. 22 D. 23
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解析： 根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数
分别是其“两肩”上相邻两个数的和，当 a ＝7时， b 的“两肩”上
的第一个数为6，第二个数为16，所以 b ＝6＋16＝22.
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2. （2 x －1）10的展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为（ ）
A. B.
C. D. －
解析： 设（2 x －1）10＝ a0＋ a1 x ＋ a2 x2＋…＋ a10 x10，令 x ＝
1，得1＝ a0＋ a1＋ a2＋…＋ a10①，再令 x ＝－1，得310＝ a0－ a1＋
a2－ a3＋…－ a9＋ a10②，①－②，整理可得， a1＋ a3＋…＋ a9＝
.故选B.
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3. 已知 的展开式中各项系数的和为32，则该二项展开式中
系数最大的项为（ ）
A. 270 x－1 B. 270 x
C. 405 x3 D. 243 x5
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解析： 令 x ＝1，得（ a －1）5＝32，解得 a ＝3.
的展开式的通项为 Tr＋1＝ ·（3 x ）5－ r · ＝（－
1） r ·35－ r · · x5－2 r .
当 r ＝0时，35＝243；
当 r ＝2时，33· ＝270；
当 r ＝4时，3· ＝15.
所以该二项展开式中第3项的系数最大，故该二项展开式中系数最
大的项为270 x .
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4. 已知 －4 ＋42 －43 ＋…＋（－1） n 4 n ＝729，则 ＋
＋…＋ 的值等于（ ）
A. 64 B. 32
C. 63 D. 31
解析： 因为 －4 ＋42 －43 ＋…＋（－1） n 4 n ＝
729，所以（1－4） n ＝36，所以 n ＝6，
因此 ＋ ＋…＋ ＝2 n － ＝2 n －1＝26－1＝63，
故选C.
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5. （多选）已知（ x －1）5＝ a0＋ a1（ x ＋1）＋ a2（ x ＋1）2＋…＋
a5（ x ＋1）5，则（ ）
A. a0＝－32 B. a2＝－80
C. a3＋4 a4＝0 D. a0＋ a1＋…＋ a5＝1
解析： 因为（ x －1）5＝ a0＋ a1（ x ＋1）＋ a2·（ x ＋1）2
＋…＋ a5（ x ＋1）5，
则[（ x ＋1）－2]5＝ a0＋ a1（ x ＋1）＋ a2（ x ＋1）2＋…＋ a5（ x
＋1）5，
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由二项式定理得：[（ x ＋1）－2]5展开式的通项为 Tr＋1＝（－2） r
（ x ＋1）5－ r ，
令5－ r ＝2，得 r ＝3，则 a2＝（－2）3 ＝－80，故B正确；
令5－ r ＝4，得 r ＝1，则 a4＝（－2）1 ＝－10，
令5－ r ＝3，得 r ＝2，则 a3＝（－2）2 ＝40，所以 a3＋4 a4＝0，
故C正确；
令 x ＝－1，得（－1－1）5＝ a0，得 a0＝－32，故A正确；
令 x ＝0，得 a0＋ a1＋ a2＋…＋ a5＝（－1）5＝－1，故D错误.故选
A、B、C.
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6. 已知（ x ＋1）10＝ a1＋ a2 x ＋ a3 x2＋…＋ a11 x10，若数列 a1， a2，
a3，…， ak （1≤ k ≤11， k ∈Z）是一个单调递增数列，则 k 的最
大值是 .
解析：（ x ＋1） n 展开式的各项系数为其二项式系数，当 n ＝10
时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故 k 的最大值为6.
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7. 已知 a ∈R，若二项式（ a ＋1） n 的展开式中二项式系数和是
16，所有项系数和是81，则 n ＝ ，含 x 项的系数是
.
解析：二项式（ a ＋1） n 的展开式中二项式系数和是16，即2 n
＝16，解得 n ＝4.所有项系数和是81，令 x ＝1，可得：（ a ＋1）4
＝81，解得 a ＝2或－4. a ＝2时， T3＝ （2 ）2＝24 x ， a ＝－
4时， T3＝ （－4 ）2＝96 x ，含 x 项的系数是24或96.
4
24或
96
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8. （ a ＋ x ）（1＋ x ）4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为32，
则 a ＝ .
解析：设 f （ x ）＝（ a ＋ x ）（1＋ x ）4，
则其所有项的系数和为 f （1）＝（ a ＋1）×（1＋1）4＝（ a ＋1）
×16，
又奇数次幂项的系数和为 [ f （1）－ f （－1）]，
f （－1）＝0，
∴ ×（ a ＋1）×16＝32，∴ a ＝3.
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9. （1＋2 x ） n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二
项式系数最大的项和系数最大的项.
解： Tr＋1＝ 2 rxr ，依题意有 ×25＝ ×26，∴ n ＝8，
∴（1＋2 x ）8的展开式中，二项式系数最大的项为 T5＝ （2 x ）4
＝1 120 x4.
设第 r ＋1项的系数最大，
则
∴5≤ r ≤6，
∵0≤ r ≤8， r ∈N，
∴ r ＝5或 r ＝6.
∴系数最大的项为 T6＝1 792 x5或 T7＝1 792 x6.
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10. 已知 的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，记展
开式中系数最大的项为第 k 项，则 k ＝（ ）
A. 6 B. 7 C. 6或7 D. 5或6
解析： 因为 的展开式中第5项与第8项的二项式系数
相等，所以 n ＝4＋7＝11，第 r ＋1项系数为 Tr＋1＝ ·（－1） r ，当 r ＝6时， Tr＋1最大，故展开式中系数最大的项为第7项，故选B.
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11. （多选）关于 的展开式，下列结论正确的是（ ）
A. 奇数项的二项式系数和为32
B. 所有项的系数和为－1
C. 只有第3项的二项式系数最大
D. 含 x 项的系数为－80
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解析： 的展开式中奇数项的二项式系数和为24＝
16，选项A不正确；
中，令 x ＝1，可得（1－2）5＝－1，选项B正确；
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的展开式通项为： Tk＋1＝ （ x2）5－ k ·
＝ （－1） k 2 k （ x ）10－3 k ，
＝ ＝10，所以第三项和第四项的二项式系数最大，选项C不
正确；
令10－3 k ＝1，得 k ＝3，此时 T4＝ （－1）323·（ x ）10－3×3＝
－80 x ，所以含 x 项的系数为－80，选项D正确.故选B、D.
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12. “纵横路线图”是一类有趣的数学问题.如图是某城市的部分街道
图，纵横各有5条路，从 A 处走到 B 处且路径最短，共有多少种不
同的走法？
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解：我们把题图以 B 为中心，顺时针旋转45
度，然后在交叉点标上杨辉三角对应的数，
如图.
一般地，每个交点上的数就是从 A 处到达该点
的方法数，故从 A 处走到 B 处且路径最短，共
有70种不同的走法.
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13. 若函数 f （ x ）＝64 x6表示为 f （ x ）＝ a0＋ a1（2 x －1）＋ a2（2 x
－1）2＋…＋ a6（2 x －1）6，其中 a0， a1， a2， a3，…， a6为实
数，则 a5＝ ， a2＋ a4＋ a6＝ .
解析：∵函数 f （ x ）＝64 x6表示为 f （ x ）＝ a0＋ a1（2 x －1）＋
a2（2 x －1）2＋…＋ a6（2 x －1）6，
∴ a0＋ a1（2 x －1）＋ a2（2 x －1）2＋…＋ a6（2 x －1）6＝
64· ＝[1＋（2 x －1）]6，则 a5＝ ＝6.
a2＋ a4＋ a6＝ ＋ ＋ ＝31.
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14. 已知 展开式的第5项的系数与第3项的系数的比值为
30.求：
（1）展开式中的所有有理项；
解： 展开式的通项 Tr＋1＝ （ ） n－ r ·
＝ ·（－2） r （ r ＝0，1，…， n ），
由于展开式的第5项的系数与第3项的系数的比值为30，则
＝30，化简，得 n2－5 n －84＝0，解得 n ＝12或 n ＝－7
（舍去）.
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（1）展开式的通项 Tr＋1＝ （－2） r · （ r ＝0，1，
2，…，12），当 r ＝0，6，12时， 为整数，则有理项
为 T1＝ x6， T7＝26 x ＝59 136 x ， T13＝212 x－4＝4 096 x
－4.
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（2） n ＋6 ＋36 ＋…＋6 n－1 的值；
解： n ＋6 ＋36 ＋…＋6 n－1
＝ ＋6 ＋36 ＋…＋611
＝ （1＋6 ＋62 ＋63 ＋…＋612 ）－
＝ ×（1＋6）12－ ＝ .
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（3）系数的绝对值最大的项.
解：设第 r ＋1项的系数的绝对值最大，
因为 Tr＋1＝ （－2） r · （ r ＝0，1，2，…，12），
则 即
解得 ≤ r ≤ ，所以 r ＝8，所以系数的绝对值最大的项为
T9＝28 ＝126 720 .
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谢 谢 观 看！
