一、数学抽象
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统.对基本计数原理、排列问题及组合问题的理解是数学抽象的学科素养在本章中的体现.
培优一 排列问题
【例1】 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有 种.
尝试解答
培优二 组合问题
【例2】 （2023·新高考Ⅱ卷3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）
A.·种 B.·种
C.·种 D.·种
尝试解答
二、数学运算
在数学运算核心素养的形成过程中，能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯，形成一丝不苟、严谨求实的科学精神.
培优三 排列数的简单计算
【例3】 求证：（1）＝·；
（2）＝1·3·5·…·（2n－1）.
尝试解答
培优四 二项式定理的应用
【例4】 （1）（x＋y）5的展开式中x3y3的系数为（ ）
A.5 B.10
C.15 D.20
（2）（2023·天津高考11题）在（2x3－）6的展开式中，x2的系数是 ；
（3）二项展开式（1＋2x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝ ，a1＋a3＋a5＝ .
尝试解答
三、直观想象
直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段.本章内容中的染色与杨辉三角问题就是利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.
培优五 染色问题
【例5】 如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为（ ）
A.24 B.48
C.96 D.120
尝试解答
培优六 杨辉三角问题
【例6】 西方著名的莱布尼茨三角形要比中国的杨辉三角晚400多年.如图是莱布尼茨三角形，它和杨辉三角也有着极其密切的联系，在莱布尼茨三角形中，第（n＋1）行第k列（n∈N，k≤n＋1且k∈N*）的数为 .
……
尝试解答
四、逻辑推理
在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出命题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程.本章中逻辑推理素养主要体现在利用排列、组合的知识解决综合性的实际问题中.
培优七 排列、组合的综合应用
【例7】 （1）用数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）；
（2）（2023·新高考Ⅰ卷13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）.
尝试解答
培优八 构造排列、组合模型
【例8】 某幢楼房从2楼到3楼共10个台阶，上楼可以一步上1个台阶，也可以一步上2个台阶.若规定从2楼到3楼用8步走完，则上楼的方法有（ ）
A.14种 B.16种
C.21种 D.28种
尝试解答
章末复习与总结
【例1】 36 解析：将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三件产品进行全排列，共有种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两件产品进行全排列，共有种方法.于是符合题意的排法共有－＝36（种）.
【例2】 D 由题意知，从初中部抽取学生的人数为60×＝40，从高中部抽取学生的人数为60×＝20.完成这件事情分两步：第一步，从初中部400名学生中抽取40名学生，有种方法；第二步，从高中部200名学生中抽取20名学生，有种方法.根据分步乘法计数原理，得共有·种不同的抽样结果.故选D.
【例3】 证明：（1）·＝·（n－m）！＝n！＝，故原等式成立.
（2）＝
＝
＝
＝1·3·5·…·（2n－1），故原等式成立.
【例4】 （1）C （2）60 （3）80 122
解析：（1）（x＋y）5展开式的通项公式为Tr＋1＝x5－ryr（r∈N且r≤5），
所以的各项与（x＋y）5展开式的通项的乘积可表示为：xTr＋1＝xx5－ryr＝x6－ryr和Tr＋1＝x5－ryr＝x4－ryr＋2.
在xTr＋1＝x6－ryr中，令r＝3，可得：xT4＝x3y3，该项中x3y3的系数为10，
在Tr＋1＝x4－ryr＋2中，令r＝1，可得：T2＝x3y3，该项中x3y3的系数为5.
所以x3y3的系数为10＋5＝15.故选C.
（2）（2x3－）6的展开式的通项为Tr＋1＝（2x3）6－r·（－）r＝26－r（－1）rx18－4r（r＝0，1，2，…，6）.令18－4r＝2，解得r＝4.所以T5＝22·（－1）4x2＝60x2，故x2的系数为60.
（3）（1＋2x）5的通项为Tr＋1＝（2x）r＝2rxr，令r＝4，则T5＝24x4＝80x4，故a4＝80；a1＋a3＋a5＝21＋23＋25＝122.
【例5】 C 若A，D颜色相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有1种涂法，共有4×3×2×1＝24（种）涂法；若A，D颜色不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相同时，C有2种涂法，当B和D不同时，B，C只有1种涂法，共有4×3×2×（2＋1）＝72（种）涂法，根据分类加法计数原理可得，共有24＋72＝96（种）涂法，故选C.
【例6】 解析：将莱布尼茨三角形中第二行每个数乘2，第三行每个数乘3，……，第n行每个数乘n，得到如图所示的三角形数阵，再把每个数取倒数就得到了杨辉三角.杨辉三角中第（n＋1）行第k列的数为，倒数是，除以（n＋1）就是.
1
1 1
1 1
1 1
1 1
……
【例7】 （1）180 （2）64 解析：（1）个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数可分为以下两类：
第一类，个位、十位和百位上的数字为3个偶数，即个位、十位和百位上的数字由2，4，6构成，共有种排法.千位数字只能从1，3，5中选，所以有种选法.
故本类包含个数.
第二类，个位、十位和百位上的数字为1个偶数和2个奇数，先选出这个偶数有种选法，然后选2个奇数，有种选法，将3个数排序得到四位数的个位、十位和百位，有种排法.最后选千位数字，从余下的3个数中选，有种选法.
故本类包含个数.
综上，根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有＋＝180（个）.
（2）由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案.综上，不同的选课方案共有＋＋＝64（种）.
【例8】 D 法一 由于10÷8的余数为2，所以可以肯定一步1个台阶共6次，一步2个台阶共2次.选定在这8步中一步1个台阶的位置或一步2个台阶的位置，则上楼的方法有＝＝28种.
法二 从结果入手，设计“插入法模型”，构建组合数求解.问题就是将6个1和2个2组合，不同的组合方案就构成了不同的走法，分两类完成.①若2个2不相邻，则先排6个1构成7个空位，在7个空位中选出2个插入2，有种方法；②若2个2相邻，则先排6个1构成7个空位，在7个空位中选出1个插入2个2，有种方法，因此上楼的方法共有＋＝28（种）.
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章末复习与总结
一、数学抽象
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映
了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.数学
抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系
统.对基本计数原理、排列问题及组合问题的理解是数学抽象的学科
素养在本章中的体现.
培优一 排列问题
【例1】 把5件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品
A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有 种.
解析：将产品 A 与 B 捆绑在一起，然后与其他三件产品进行全排列，
共有 种方法，将产品 A ， B ， C 捆绑在一起，且 A 在中间，然后
与其他两件产品进行全排列，共有 种方法.于是符合题意的排法
共有 － ＝36（种）.
36
培优二 组合问题
【例2】 （2023·新高考Ⅱ卷3题）某学校为了解学生参加体育运动的
情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高
中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和
200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）
A. · 种 B. · 种
C. · 种 D. · 种
解析： 由题意知，从初中部抽取学生的人数为60× ＝40，
从高中部抽取学生的人数为60× ＝20.完成这件事情分两步：
第一步，从初中部400名学生中抽取40名学生，有 种方法；第二
步，从高中部200名学生中抽取20名学生，有 种方法.根据分步乘
法计数原理，得共有 · 种不同的抽样结果.故选D.
二、数学运算
在数学运算核心素养的形成过程中，能够通过运算促进数学思维
发展，养成程序化思考问题的习惯，形成一丝不苟、严谨求实的科学
精神.
培优三 排列数的简单计算
【例3】 求证：（1） ＝ · ；
证明： · ＝ ·（ n － m ）！＝ n ！＝ ，故
原等式成立.
（2） ＝1·3·5·…·（2 n －1）.
证明：
＝
＝
＝
＝1·3·5·…·（2 n －1），
故原等式成立.
培优四 二项式定理的应用
【例4】 （1） （ x ＋ y ）5的展开式中 x3 y3的系数为
（ C ）
A. 5 B. 10
C. 15 D. 20
C
解析： （ x ＋ y ）5展开式的通项公式为 Tr＋1＝ x5－ ryr （ r
∈N且 r ≤5），
所以 的各项与（ x ＋ y ）5展开式的通项的乘积可表示
为： xTr＋1＝ x x5－ ryr ＝ x6－ ryr 和 Tr＋1＝ x5－ ryr ＝ x4
－ ryr＋2.
在 xTr＋1＝ x6－ ryr 中，令 r ＝3，可得： xT4＝ x3 y3，该项中 x3
y3的系数为10，
在 Tr＋1＝ x4－ ryr＋2中，令 r ＝1，可得： T2＝ x3 y3，该项
中 x3 y3的系数为5.
所以 x3 y3的系数为10＋5＝15.故选C.
（2）（2023·天津高考11题）在（2 x3－ ）6的展开式中， x2的系数
是 ；
解析： （2 x3－ ）6的展开式的通项为 Tr＋1＝ （2 x3）6－
r （－ ） r ＝ 26－ r （－1） rx18－4 r （ r ＝0，1，2，…，6）.令
18－4 r ＝2，解得 r ＝4.所以 T5＝ 22·（－1）4 x2＝60 x2，故 x2
的系数为60.
60
（3）二项展开式（1＋2 x ）5＝ a0＋ a1 x ＋ a2 x2＋ a3 x3＋ a4 x4＋ a5 x5，
则 a4＝ ， a1＋ a3＋ a5＝ .
解析： （1＋2 x ）5的通项为 Tr＋1＝ （2 x ） r ＝2 r xr ，
令 r ＝4，则 T5＝24 x4＝80 x4，故 a4＝80； a1＋ a3＋ a5＝21
＋23 ＋25 ＝122.
80
122
三、直观想象
直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手
段.本章内容中的染色与杨辉三角问题就是利用图形描述、分析数学
问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题
的思路.
培优五 染色问题
【例5】 如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个
端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种
数为（ ）
A. 24 B. 48
C. 96 D. 120
解析： 若 A ， D 颜色相同，先涂 E 有4种涂法，再涂 A ， D 有3种涂
法，再涂 B 有2种涂法， C 只有1种涂法，共有4×3×2×1＝24（种）
涂法；若 A ， D 颜色不同，先涂 E 有4种涂法，再涂 A 有3种涂法，再
涂 D 有2种涂法，当 B 和 D 相同时， C 有2种涂法，当 B 和 D 不同时，
B ， C 只有1种涂法，共有4×3×2×（2＋1）＝72（种）涂法，根据
分类加法计数原理可得，共有24＋72＝96（种）涂法，故选C.
培优六 杨辉三角问题
【例6】 西方著名的莱布尼茨三角形要比中国的杨辉三角晚400多
年.如图是莱布尼茨三角形，它和杨辉三角也有着极其密切的联系，
在莱布尼茨三角形中，第（ n ＋1）行第 k 列（ n ∈N， k ≤ n ＋1且 k
∈N*）的数为 .
……
解析：将莱布尼茨三角形中第二行每个数乘2，第三行每个数乘
3，……，第 n 行每个数乘 n ，得到如图所示的三角形数阵，再把每个
数取倒数就得到了杨辉三角.杨辉三角中第（ n ＋1）行第 k 列的数为
，倒数是 ，除以（ n ＋1）就是 .
1
1 1
1 1
1 1
1 1
……
1 1
四、逻辑推理
在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出命
题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程.本章中逻辑推理素养
主要体现在利用排列、组合的知识解决综合性的实际问题中.
培优七 排列、组合的综合应用
【例7】 （1）用数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位
数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共
有 个（用数字作答）；
180
解析： 个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数可
分为以下两类：
第一类，个位、十位和百位上的数字为3个偶数，即个位、十位
和百位上的数字由2，4，6构成，共有 种排法.千位数字只能
从1，3，5中选，所以有 种选法.
故本类包含 个数.
第二类，个位、十位和百位上的数字为1个偶数和2个奇数，先
选出这个偶数有 种选法，然后选2个奇数，有 种选法，将3
个数排序得到四位数的个位、十位和百位，有 种排法.最后
选千位数字，从余下的3个数中选，有 种选法.
故本类包含 个数.
综上，根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有
＋ ＝180（个）.
（2）（2023·新高考Ⅰ卷13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺
术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选
修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数
字作答）.
64
解析： 由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术
类选修课各选修1门，有 种方案；第二类，在体育类选修
课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有 种方案；第
三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1
门，有 种方案.综上，不同的选课方案共有 ＋ ＋
＝64（种）.
培优八 构造排列、组合模型
【例8】 某幢楼房从2楼到3楼共10个台阶，上楼可以一步上1个台
阶，也可以一步上2个台阶.若规定从2楼到3楼用8步走完，则上楼的
方法有（ ）
A. 14种 B. 16种
C. 21种 D. 28种
解析： 法一 由于10÷8的余数为2，所以可以肯定一步1个台阶共
6次，一步2个台阶共2次.选定在这8步中一步1个台阶的位置或一步2
个台阶的位置，则上楼的方法有 ＝ ＝28种.
法二 从结果入手，设计“插入法模型”，构建组合数求解.问题就
是将6个1和2个2组合，不同的组合方案就构成了不同的走法，分两类
完成.①若2个2不相邻，则先排6个1构成7个空位，在7个空位中选出2
个插入2，有 种方法；②若2个2相邻，则先排6个1构成7个空位，
在7个空位中选出1个插入2个2，有 种方法，因此上楼的方法共有
＋ ＝28（种）.
谢 谢 观 看！
