章末检测（三） 排列、组合与二项式定理
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设n∈N*，且n＜20，则（20－n）（21－n）…（100－n）等于（ ）
A. B.
C. D.
2.4位男生和2位女生排成一排，男生有且只有2位相邻，则不同排法的种数是（ ）
A.72 B.96
C.144 D.240
3.有4个不同书写形式的“迎”字和3个不同书写形式的“新”字，如果一个“迎”字和一个“新”字能配成一套，则不同的配套方法共有（ ）
A.7种 B.12种
C.64种 D.81种
4.第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京开幕.为保证冬奥会顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好.现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，则不同的安排方法有（ ）
A.840种 B.140种
C.420种 D.210种
5.（1＋2x2）的展开式中，含x2的项的系数是（ ）
A.－40 B.－25
C.25 D.55
6.旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为（ ）
A.24 B.18
C.16 D.10
7.十一期间，某景区筹备办要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事文艺表演、宣传导游、文明督导、维护秩序四项不同的工作.若小张和小赵只能从事后两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A.36种 B.12种
C.18种 D.48种
8.有1，2，3，4共4个数字，排成2行2列，要求每行数字之和不能为5，则不同的排法的种数为（ ）
A.8 B.10
C.12 D.16
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.若＞3，则m的取值可能是（ ）
A.6 B.7
C.8 D.9
10.对任意实数x，有（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋a3（x－1）3＋…＋a9（x－1）9.则下列结论成立的是（ ）
A.a2＝－144 B.a0＝1
C.a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1 D.a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39
11.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）
A.若任意选择三门课程，选法总数为
B.若物理和化学至少选一门，选法总数为
C.若物理和历史不能同时选，选法总数为－
D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为－
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.为了迎接一年一度的元宵节，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同.记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 秒（用数字作答）.
13.已知a∈N，二项式展开式中含有x2项的系数不大于240，记a的取值集合为A，则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共有 个.
14.如图，在排成4×4方阵的16个点中，中心4个点在某一圆内，其余12个点在圆外，在16个点中任取3个点构成三角形，其中至少有1个顶点在圆内的三角形共有 个（用数字作答）.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问：
（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？
（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6 763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
16.（本小题满分15分）的展开式中前三项的系数之和为15.
（1）展开式中是否有常数项？说明理由；
（2）求展开式中系数最大的项.
17.（本小题满分15分）在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
已知（2x－1）n＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn（n∈N*），若（2x－1）n的展开式中， .
（1）求n的值；
（2）求｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题满分17分）5名男生，2名女生站成一排照相.求在下列约束条件下，有多少种站法？
（1）女生不站在两端；
（2）女生相邻；
（3）女生不相邻；
（4）站成两排，前排3人，后排4人.
19.（本小题满分17分）平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上（4个点之间的距离各不相等），此外任何三点不共线.
（1）过每两点连线，可得几条直线？
（2）以每三个点为顶点作三角形，可作几个三角形？
（3）以一点为端点，作过另一点的射线，这样的射线可作出几条？
（4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量？
章末检测（三） 排列、组合与二项式定理
1.C 2.C 3.B 4.C 5.B 6.D 7.A
8.D 先给元素“1”找位置，有4种选择；再给元素“4”找位置，有2种选择；最后2个元素“2”“3”安排在剩余的2个位置上，有种排法，所以共有4×2×＝16（种）排法.
9.BC 根据题意，对于＞3，有0≤m－1≤8且0≤m≤8，则有1≤m≤8，若＞3，则有＞3×，变形可得m＞27－3m，解可得m＞，综合可得＜m≤8，则m＝7或8.
10.ACD 对任意实数x，有（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋a3（x－1）3＋…＋a9（x－1）9＝[－1＋2（x－1）]9，∴a2＝－×22＝－144，故A正确；令x＝1，可得a0＝－1，故B不正确；令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，故C正确；令x＝0，可得a0－a1＋a2－…－a9＝－39，故D正确.
11.ABD 若任意选择三门课程，选法总数为，故A错误；若物理和化学至少选一门，选法总数为＋，故B错误；若物理和历史不能同时选，选法总数为－＝－，故C正确；若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为＋－，故D错误.
12.1 195 解析：由题意知，不同的闪烁共有＝120（种），而每一个闪烁要完成5个闪亮需用时5秒钟，共有120×5＝600（秒），每两个闪烁之间需间隔5秒钟，闪烁间隔共有120－1＝119（个），用时119×5＝595（秒），故总用时至少是600＋595＝1 195（秒）.
13.18 解析：二项式展开式的通项公式为Tr＋1＝·（a＋1）r·x6－2r，令6－2r＝2，求得r＝2，可得展开式中含有x2项的系数为·（a＋1）2＝15（a＋1）2.再根据含有x2项的系数不大于240，可得15（a＋1）2≤240，求得－4－1≤a≤4－1.再根据a∈N，可得a＝0，1，2，3，即A＝{0，1，2，3}，则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共·＝3×3×2＝18.
14.312 解析：分为三类：①3个顶点在圆内的三角形有＝4（个）；②2个顶点在圆内的三角形有＝60（个）；③1个顶点在圆内的三角形有（－4）＝248（个）.所以至少有1个顶点在圆内的三角形共有4＋60＋248＝312（个）.
15.解：（1）一个字节共有8位，每位上有2种选择，
根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示28＝256个不同的字符.
（2）由（1）知，用一个字节能表示256个字符，因为256＜6 763，所以一个字节不够；
根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示256×256＝65 536个不同的字符，
因为65 536＞6 763，所以每个汉字至少要用2个字节表示.
16.解：（1）展开式的通项为Tr＋1＝（－1）r，所以由已知得，1－＋＝15，解得n＝7或n＝－4（舍），
所以Tr＋1＝（－1）r（r＝0，1，2，…，7），
因为7－＝0无整数解，所以展开式中无常数项.
（2）由Tr＋1＝（－1）r知，展开式中各项系数的绝对值即二项式系数，所以展开式中的第5项为系数最大的项，即T5＝35x.
17.解：（1）选择条件①，
若（2x－1）n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则＝5，∴n＝10.
选择条件②，
若（2x－1）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则＝，∴n＝10；
选择条件③，
若（2x－1）n的展开式中所有二项式系数的和为210，则2n＝210，∴n＝10.
（2）由（1）知n＝10，则（2x－1）10＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10，
令x＝0，得a0＝1，
令x＝－1，则310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝1＋｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜a10｜，
∴｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜a10｜＝310－1.
18.解：（1）法一 先考虑两端站的人，再考虑其他位置，不同的站法种数为·＝2 400.
法二 先考虑女生应站的位置，再考虑其他元素，不同的站法种数为·＝2 400.
（2）将相邻元素捆绑，当作一个元素，与其他元素一起全排列，不同的站法种数为·＝1 440.
（3）分两步：第一步，先排男生，有种站法；
第二步，将2名女生插入男生所形成的6个空隙（包括两端）中，有种站法，由分步乘法计数原理共有·＝3 600种站法.
（4）无论分成多少排，实质都是在七个不同位置上排七个不同元素（即分排问题直排处理），因此，共有＝5 040种站法.
19.解：（1）－＋1＝31（条）.
（2）－＝80（个）.
（3）不共线的五点可连得条射线，共线的四点中，外侧两点各可作出1条射线，内部两点各可作出2条射线，而在不共线的五点中取一点，共线的四点中取一点而形成的射线有条，故共有＋2×1＋2×2＋＝66（条）射线.
（4）任意两点之间，可有方向相反的2个向量，则可有＝72个向量.
3 / 3(共37张PPT)
章末检测（三）
排列、组合与二项式定理
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设 n ∈N*，且 n ＜20，则（20－ n ）（21－ n ）…（100－ n ）等于
（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由题意可得，共有（100－ n ）－（20－ n ）＋1＝81
项，所以（20－ n ）（21－ n ）…（100－ n ）＝ ，故选C.
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2. 4位男生和2位女生排成一排，男生有且只有2位相邻，则不同排法
的种数是（ ）
A. 72 B. 96 C. 144 D. 240
解析： 从4位男生中选2位捆绑在一起，和剩余的2位男生插入到
2位女生所形成的3个空隙中，所以共有 ＝144种不同的排
法.故选C.
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3. 有4个不同书写形式的“迎”字和3个不同书写形式的“新”字，如
果一个“迎”字和一个“新”字能配成一套，则不同的配套方法共
有（ ）
A. 7种 B. 12种
C. 64种 D. 81种
解析： 要完成配套，分两步：第一步，取“迎”字，有4种不
同取法；第二步，取“新”字，有3种不同取法，故有4×3＝12
（种）不同的配套方法.故选B.
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4. 第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京开幕.为保证冬奥会顺利
进行，组委会需要提前把各项工作安排好.现要把甲、乙、丙、丁
四名志愿者安排到七天中服务，每天一人，甲两天，乙三天，丙和
丁各一天，则不同的安排方法有（ ）
A. 840种 B. 140种
C. 420种 D. 210种
解析： 由题可知：甲两天，乙三天，丙和丁各一天，所以不同
的安排方法有 · · ＝420种.故选C.
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5. （1＋2 x2） 的展开式中，含 x2的项的系数是（ ）
A. －40 B. －25
C. 25 D. 55
解析： 二项式 的展开式中，通项公式为 Tk＋1＝ x6－ k
＝（－1） k x6－2 k ，含 x2的项的系数为（－1）2 ＋2×
（－1）3 ＝－25.
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6. 旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区
进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和
丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为（ ）
A. 24 B. 18
C. 16 D. 10
解析： 分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有 种可
选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有 · 种可选的路
线，所以小李可选的旅游路线数为 ＋ · ＝10.故选D.
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7. 十一期间，某景区筹备办要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名
志愿者中选派四人分别从事文艺表演、宣传导游、文明督导、维护
秩序四项不同的工作.若小张和小赵只能从事后两项工作，其余三
人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A. 36种 B. 12种
C. 18种 D. 48种
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解析： 除小张、小赵外，其余三名志愿者能够从事所有的
工作，因此，可以以小张、小赵是否都参加这一活动为分类标
准进行分类.
第一类，小张、小赵只有一人参加，有 种不同的选派方
案；
第二类，小张、小赵都参加，有 种不同的选派方案.
所以不同的选派方案共有 ＋ ＝24＋12＝36
（种）.
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8. 有1，2，3，4共4个数字，排成2行2列，要求每行数字之和不能为
5，则不同的排法的种数为（ ）
A. 8 B. 10
C. 12 D. 16
解析： 先给元素“1”找位置，有4种选择；再给元素“4”找
位置，有2种选择；最后2个元素“2”“3”安排在剩余的2个位置
上，有 种排法，所以共有4×2× ＝16（种）排法.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若 ＞3 ，则 m 的取值可能是（ ）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
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解析： 根据题意，对于 ＞3 ，有0≤ m －1≤8且0≤ m
≤8，则有1≤ m ≤8，若 ＞3 ，则有 ＞3×
，变形可得 m ＞27－3 m ，解可得 m ＞ ，综合可得
＜ m ≤8，则 m ＝7或8.
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10. 对任意实数 x ，有（2 x －3）9＝ a0＋ a1（ x －1）＋ a2（ x －1）2＋
a3（ x －1）3＋…＋ a9（ x －1）9.则下列结论成立的是（ ）
A. a2＝－144
B. a0＝1
C. a0＋ a1＋ a2＋…＋ a9＝1
D. a0－ a1＋ a2－ a3＋…－ a9＝－39
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解析： 对任意实数 x ，有（2 x －3）9＝ a0＋ a1（ x －1）＋
a2（ x －1）2＋ a3（ x －1）3＋…＋ a9（ x －1）9＝[－1＋2（ x －
1）]9，∴ a2＝－ ×22＝－144，故A正确；令 x ＝1，可得 a0＝
－1，故B不正确；令 x ＝2，可得 a0＋ a1＋ a2＋…＋ a9＝1，故C正
确；令 x ＝0，可得 a0－ a1＋ a2－…－ a9＝－39，故D正确.
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11. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门
课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）
A. 若任意选择三门课程，选法总数为
B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为
C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为 －
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为 －
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解析： 若任意选择三门课程，选法总数为 ，故A错误；
若物理和化学至少选一门，选法总数为 ＋ ，故B错误；
若物理和历史不能同时选，选法总数为 － ＝ － ，故
C正确；若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，
选法总数为 ＋ － ，故D错误.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 为了迎接一年一度的元宵节，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的
顺序不固定.每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜
色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同.记这5个彩灯有序地各闪
亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪
亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的
闪烁，那么需要的时间至少是 秒（用数字作答）.
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解析：由题意知，不同的闪烁共有 ＝120（种），而每一个闪
烁要完成5个闪亮需用时5秒钟，共有120×5＝600（秒），每两个
闪烁之间需间隔5秒钟，闪烁间隔共有120－1＝119（个），用时
119×5＝595（秒），故总用时至少是600＋595＝1 195（秒）.
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13. 已知 a ∈N，二项式 展开式中含有 x2项的系数不大于
240，记 a 的取值集合为 A ，则由集合 A 中元素构成的无重复数字
的三位数共有 个.
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解析：二项式 展开式的通项公式为 Tr＋1＝ ·（ a ＋
1） r · x6－2 r ，令6－2 r ＝2，求得 r ＝2，可得展开式中含有 x2项的
系数为 ·（ a ＋1）2＝15（ a ＋1）2.再根据含有 x2项的系数不大
于240，可得15（ a ＋1）2≤240，求得－4－1≤ a ≤4－1.再根据 a
∈N，可得 a ＝0，1，2，3，即 A ＝{0，1，2，3}，则由集合 A 中
元素构成的无重复数字的三位数共 · ＝3×3×2＝18.
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14. 如图，在排成4×4方阵的16个点中，中心4个点在某一圆内，其余
12个点在圆外，在16个点中任取3个点构成三角形，其中至少有1
个顶点在圆内的三角形共有 个（用数字作答）.
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解析：分为三类：①3个顶点在圆内的三角形有 ＝4（个）；②
2个顶点在圆内的三角形有 ＝60（个）；③1个顶点在圆内
的三角形有 （ －4）＝248（个）.所以至少有1个顶点在圆
内的三角形共有4＋60＋248＝312（个）.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）电子元件很容易实现电路的通与断、电位的
高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机
内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制.为了
使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用
一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计
量单位，每个字节由8个二进制位构成.问：
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（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？
解： 一个字节共有8位，每位上有2种选择，根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示28＝256个不同的字符.
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（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6 763个汉字，一个汉字
为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多
少个字节表示？
解： 由（1）知，用一个字节能表示256个字符，因为
256＜6 763，所以一个字节不够；
根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示256×256＝
65 536个不同的字符，
因为65 536＞6 763，所以每个汉字至少要用2个字节表示.
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16. （本小题满分15分） 的展开式中前三项的系数之和为
15.
（1）展开式中是否有常数项？说明理由；
解： 展开式的通项为 Tr＋1＝（－1） r ，所以由
已知得，1－ ＋ ＝15，解得 n ＝7或 n ＝－4（舍），
所以 Tr＋1＝（－1） r （ r ＝0，1，2，…，7），因为
7－ ＝0无整数解，所以展开式中无常数项.
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（2）求展开式中系数最大的项.
解： 由 Tr＋1＝（－1） r 知，展开式中各项系数
的绝对值即二项式系数，所以展开式中的第5项为系数最大
的项，即 T5＝35 x .
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17. （本小题满分15分）在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项
与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为210，这三
个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两
个问题.
已知（2 x －1） n ＝ a0＋ a1 x1＋ a2 x2＋ a3 x3＋…＋ anxn （ n ∈N*），
若（2 x －1） n 的展开式中， .
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（1）求 n 的值；
解： 选择条件①，
若（2 x －1） n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则
＝5，∴ n ＝10.
选择条件②，
若（2 x －1） n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相
等，则 ＝ ，∴ n ＝10；
选择条件③，
若（2 x －1） n 的展开式中所有二项式系数的和为210，则2 n
＝210，∴ n ＝10.
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（2）求｜ a1｜＋｜ a2｜＋｜ a3｜＋…＋｜ an ｜的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解： 由（1）知 n ＝10，则（2 x －1）10＝ a0＋ a1 x1＋ a2
x2＋ a3 x3＋…＋ a10 x10，
令 x ＝0，得 a0＝1，
令 x ＝－1，则310＝ a0－ a1＋ a2－ a3＋…＋ a10＝1＋｜ a1｜
＋｜ a2｜＋｜ a3｜＋…＋｜ a10｜，
∴｜ a1｜＋｜ a2｜＋｜ a3｜＋…＋｜ a10｜＝310－1.
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18. （本小题满分17分）5名男生，2名女生站成一排照相.求在下列约
束条件下，有多少种站法？
（1）女生不站在两端；
解： 法一 先考虑两端站的人，再考虑其他位置，不
同的站法种数为 · ＝2 400.
法二 先考虑女生应站的位置，再考虑其他元素，不同的站法种数为 · ＝2 400.
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解：将相邻元素捆绑，当作一个元素，与其他元素一起全排列，不
同的站法种数为 · ＝1 440.
解：分两步：第一步，先排男生，有 种站法；
第二步，将2名女生插入男生所形成的6个空隙（包括两端）中，有
种站法，由分步乘法计数原理共有 · ＝3 600种站法.
（2）女生相邻；
（3）女生不相邻；
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解：无论分成多少排，实质都是在七个不同位置上排七个不同元素
（即分排问题直排处理），因此，共有 ＝5 040种站法.
（4）站成两排，前排3人，后排4人.
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19. （本小题满分17分）平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上
（4个点之间的距离各不相等），此外任何三点不共线.
（1）过每两点连线，可得几条直线？
解： － ＋1＝31（条）.
（2）以每三个点为顶点作三角形，可作几个三角形？
解： － ＝80（个）.
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（3）以一点为端点，作过另一点的射线，这样的射线可作出
几条？
解： 不共线的五点可连得 条射线，共线的四点中，
外侧两点各可作出1条射线，内部两点各可作出2条射线，而
在不共线的五点中取一点，共线的四点中取一点而形成的射
线有 条，故共有 ＋2×1＋2×2＋ ＝66
（条）射线.
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（4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量？
解： 任意两点之间，可有方向相反的2个向量，则可有
＝72个向量.
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