4.1.1 条件概率
1.4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是（ ）
A. B.
C. D.1
2.已知A与B两个事件，P（B）＝，P（A∩B）＝，则P（A｜B）等于（ ）
A. B.
C. D.
3.投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝{两次的点数均为奇数}，B＝{两次的点数之和为4}，则P（B｜A）等于（ ）
A. B.
C. D.
4.（2023·全国甲卷6题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A.0.8 B.0.6
C.0.5 D.0.4
5.（多选）某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记A：学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场，B：学生丙第一个出场，则下列结论中正确的是（ ）
A.事件A中包括80种情况
B.P（A）＝
C.P（A∩B）＝
D.P（B｜A）＝
6.加工某种零件需要两道工序，第一道工序出废品的概率为0.4，两道工序都出废品的概率为0.2，则在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率为 .
7.某气象台统计，该地区下雨的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为.设事件A为该地区下雨，事件B为该地区刮四级以上的风，则P（B｜A）＝ .
8.一个盒子中有3个白球、2个黑球，每次从中不放回地任取1个球，连取两次，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为 .
9.盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球，玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的，木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的，现从中任取1个球，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？
10.下列说法中正确的是（ ）
A.P（A｜B）＜P（A∩B）
B.P（A｜B）＝是可能的
C.P（A∩B）＝P（A）P（B）
D.P（A｜A）＝0
11.（多选）甲罐中有4个红球、3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球、3个白球和2个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以M表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论正确的为（ ）
A.P（M）＝
B.P（M｜A1）＝
C.事件M与事件A1不相互独立
D.A1，A2，A3是两两互斥的事件
12.一个袋子中，放有大小、形状相同的小球若干，其中标号为0的小球有1个，标号为1的小球有2个，标号为2的小球有n个.从袋子中任取2个小球，取到标号都是2的小球的概率是.
（1）求n的值；
（2）从袋子中任取2个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率.
13.将三颗质地均匀的骰子各掷一次，记事件A表示“三个点数都不同”，B表示“至少出现一个6点”，则条件概率P（A｜B）＝ ，P（B｜A）＝ .
14.某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出 险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.86a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出 险次数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
（1）求该续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）已知该续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.
4.1.1 条件概率
1.B 记“第一位同学没有抽到中奖券”为事件A，P（A）＝，“最后一位同学抽到中奖券”为事件B，P（B）＝，P（A∩B）＝×＝，P（B｜A）＝＝.
2.D 由条件概率的计算公式，可得P（A｜B）＝＝＝.
3.C 由题意知，抛掷一枚质地均匀的骰子两次，有6×6＝36种情况，设A＝{两次的点数均为奇数}，B＝{两次的点数之和为4}，事件A包含3×3＝9种情况，事件A∩B有2种情况，则P（A）＝＝，P（A∩B）＝，则P（B｜A）＝＝.
4.A 法一 如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为＝＝0.8，故选A.
法二 令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，P（A∩B）＝P（A）＋P（B）－0.7＝0.4，所以P（C）＝P（A｜B）＝＝＝0.8，故选A.
5.BC 事件A中共包括＋＝78（种）情况，P（A）＝＝，P（A∩B）＝＝，则P（B｜A）＝＝＝.
6.0.5 解析：设“第一道工序出废品”为事件A，则P（A）＝0.4，“第二道工序出废品”为事件B，则根据题意可得P（A∩B）＝0.2，故在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率P（B｜A）＝＝0.5.
7. 解析：由题意知P（A）＝，P（A∩B）＝，
故P（B｜A）＝＝＝.
8. 解析：记“第一次取到黑球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B.
法一 显然，事件“第一次取到黑球，第二次取到白球”的概率P（A∩B）＝＝.
由条件概率的计算公式，得P（B｜A）＝＝＝.
法二 因为事件A的样本点有个，事件A∩B的样本点有个，
所以P（B｜A）＝＝.
9.解：由题意得球的分布如下：
玻璃 木质 总计
红 2 3 5
蓝 4 7 11
总计 6 10 16
设A：取得蓝球，B：取得玻璃球，则P（A）＝，
P（A∩B）＝＝，∴P（B｜A）＝＝＝.
10.B P（A｜B）＝≥P（A∩B），故A错误；当P（B）＝1时，P（A｜B）＝＝＝P（A），可能成立，故B正确；P（A∩B）＝P（A）P（B）当且仅当A与B相互独立时成立，故C错误；P（A｜A）＝1，故D错误.故选B.
11.BCD ∵甲罐中有4个红球、3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球、3个白球和2个黑球.
先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；
再从乙罐中随机取出一球，以M表示由乙罐取出的球是红球的事件，
对A，P（M）＝×＋×＋×＝≠，故A错误；
对B，P（M｜A1）＝＝＝，故B正确；
对C，当A1发生时，P（M）＝，当A1不发生时，P（M）＝，∴事件M与事件A1不相互独立，故C正确；
对D，A1，A2，A3不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D正确.故选B、C、D.
12.解：（1）由题意得＝＝，
解得n＝2.所以n＝2.
（2）记“一个的标号是1”为事件A，“另一个的标号也是1”为事件B，所以P（B｜A）＝＝＝.
13. 解析：由已知得P（A）＝＝，
P（B）＝1－＝，
P（A∩B）＝＝，
故P（A｜B）＝＝＝，
P（B｜A）＝＝＝.
14.解：（1）设A：该续保人本年度的保费高于基本保费，则事件A发生，即一年内出险次数大于1，故P（A）＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.
（2）设B：该续保人本年度的保费比基本保费高出60%，
则事件B发生，即一年内出险次数大于3，故P（B）＝0.1＋0.05＝0.15.
又因为P（A∩B）＝P（B），故P（B｜A）＝＝＝＝，因此该续保人本年度保费比基本保费高出60%的概率为.
2 / 24.1.1 条件概率
新课程标准解读 核心素养
1.结合古典概型了解条件概率的定义 数学抽象
2.理解并掌握条件概率公式 逻辑推理
3.掌握一些简单随机事件的条件概率的计算 数学运算
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格.令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}.
【问题】 P（A），P（B）与P（AB）之间有什么关系？
知识点一 条件概率的定义
一般地，当事件B发生的概率大于0（即P（B）＞0）时，已知 ，称为条件概率，记作P（A｜B），而且P（A｜B）＝ .
【想一想】
1.P（A｜B）＝P（B｜A）成立吗？
2.若事件A，B互斥，则P（B｜A）＝1正确吗？
知识点二 条件概率的性质
1. ≤P（B｜A）≤ .
2.P（A｜A）＝ .
3.如果B与C互斥，则P（（B∪C）｜A）＝ .
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生.（ ）
（2）P（B｜A）≠P（A∩B）.（ ）
2.已知P（A∩B）＝，P（A）＝，则P（B｜A）＝（ ）
A. B. C. D.
3.有一批种子的发芽率为0.9，种子能成长为幼苗的概率是0.72，在这批种子中随机抽取一粒，则这粒种子发芽后的幼苗成活率是 .
题型一 条件概率公式的应用
【例1】 某校高三（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人，共青团员4人.从该班任选一人作学生代表.
（1）求选到的是共青团员的概率；
（2）求选到的既是共青团员又是第一小组学生的概率；
（3）已知选到的是共青团员，求他是第一小组学生的概率.
尝试解答
通性通法
条件概率公式的应用
利用条件概率公式求条件概率的关键是明确公式中P（B｜A）以及P（A∩B）的含义，特别是P（A∩B）是指事件A与B同时发生的概率.根据已知条件确定P（A∩B），P（A）的值，然后代入公式计算求解.
【跟踪训练】
某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，发出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为（ ）
A.0.02 B.0.08
C.0.18 D.0.72
题型二 条件概率的计算
【例2】 篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球.某人从篮子中随机取出两个球，记事件A＝“取出的两个球颜色不同”，事件B＝“取出一个红球，一个白球”，则P（B｜A）＝（ ）
A. B.
C. D.
尝试解答
通性通法
条件概率的计算
计算在事件A发生的条件下，事件B发生的概率的两种方法
（1）利用定义计算：
先分别计算概率P（A∩B）及P（A），然后借助条件概率公式P（B｜A）＝求解.
【跟踪训练】
8张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中随机取出2张，记事件A＝“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件B＝“所取2张卡片上的数字之和小于9”，则P（B｜A）＝（ ）
A. B.
C. D.
题型三 条件概率的性质
【例3】 在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，考生能答对其中的4道题即可通过，能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，则他获得优秀成绩的概率为 .
尝试解答
通性通法
应用条件概率的性质解题的方法
在应用条件概率公式求概率时，如果事件包含的情况较复杂，可将其分解为几个互斥事件的和，然后根据条件概率的性质求解，即若B与C互斥，那么P（（B∪C）｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A），此公式可推广到多个事件互斥的情况.
【跟踪训练】
在10 000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率.
1.把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，事件B＝{第二次出现正面}，则P（B｜A）＝（ ）
A. B. C. D.
2.在某班的某次考试中，数学成绩不及格的学生占20%，物理成绩不及格的学生占18%，两门成绩都不及格的学生占15%.已知一学生数学成绩不及格，则他的物理成绩也不及格的概率是（ ）
A.0.15 B.0.2
C.0.3 D.0.75
3.投掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为X，则X≤6的概率为 .
4.假定生男孩或生女孩是等可能的.在一个有3个孩子的家庭中，已知有一个男孩，求至少有一个女孩的概率.
4.1.1 条件概率
【基础知识·重落实】
知识点一
事件B发生的条件下事件A发生的概率
想一想
1.提示：不一定成立，一般情况下P（A｜B）≠P（B｜A），只有P（A）＝P（B）时才有P（A｜B）＝P（B｜A）.
2.提示：不正确，因为A与B互斥，即A，B不同时发生，所以P（A∩B）＝0，则P（B｜A）＝0.
知识点二
1.0 1 2.1 3.P（B｜A）＋P（C｜A）
自我诊断
1.（1）× （2）√
2.C P（B｜A）＝＝＝.
3.0.8 解析：设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件A∩B，则P（A）＝0.9.又种子能成长为幼苗的概率P（A∩B）＝0.72，所以发芽后的幼苗成活率P（B｜A）＝＝＝0.8.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：设“选到的是共青团员”为事件A，“选到的是第一小组学生”为事件B，则“选到的既是共青团员又是第一小组学生”为事件A∩B.
（1）P（A）＝＝.
（2）P（A∩B）＝＝.
（3）法一 P（B｜A）＝＝＝.
法二 由题意知，事件A所包含的样本点个数为15，事件A∩B所包含的样本点个数为4，
∴P（B｜A）＝＝.
跟踪训练
D 记“水稻种子发芽”为事件A，“发芽的种子成长为幼苗”为事件B，P（B｜A）＝，∴P（A∩B）＝P（B｜A）·P（A）＝0.9×0.8＝0.72.
【例2】 B 法一 事件A＝“取出的两个球颜色不同”，事件B＝“取出一个红球，一个白球”，
∵篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球，
∴取出的两个球颜色不同的概率为P（A）＝＝.
又∵取出两个球的颜色不同，且一个红球、一个白球的概率为P（A∩B）＝＝，
∴P（B｜A）＝＝＝.
法二 在事件A发生时，样本点的总数为＋＋＝26，
这时事件B中包含样本点的个数为＝6，
所以由古典概型可得P（B｜A）＝＝＝.
跟踪训练
C 事件A∩B为“所取2张卡片上的数字之和为小于9的偶数”，以（a，b）为一个样本点，则事件A∩B包含的样本点有（1，3），（1，5），（1，7），（2，4），（2，6），（3，5），共6个，由古典概型的概率公式可得P（A∩B）＝＝，事件A为“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，则所取的两个数全是奇数或全是偶数，由古典概率公式可得P（A）＝＝，因此，P（B｜A）＝＝×＝.
【例3】 解析：设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，而另1道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B.
由古典概型的概率公式及加法公式可知
P（D）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝＋＋＝，P（A∩D）＝P（A），P（B∩D）＝P（B），
P（E｜D）＝P（（A∪B）｜D）＝P（A｜D）＋P（B｜D）＝＋＝＋＝.
故所求的概率为.
跟踪训练
解：设“第一张中一等奖”为事件A，“第二张中二等奖”为事件B，“第二张中三等奖”为事件C，则
P（A）＝，P（A∩B）＝＝，P（A∩C）＝，故P（B｜A）＝＝＝，
P（C｜A）＝＝＝.
∴P（（B∪C）｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）＝＋＝＝.
即在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为.
随堂检测
1.B 因为P（A∩B）＝，P（A）＝，所以P（B｜A）＝＝＝.
2.D 设A为事件“数学成绩不及格”，B为事件“物理成绩不及格”，则P（B｜A）＝＝＝0.75.所以该学生的数学成绩不及格时，物理成绩也不及格的概率为0.75.
3. 解析：设A＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B＝“X≤6”，则P（A）＝＝，P（A∩B）＝，
∴P（B｜A）＝＝.
4.解：一个家庭的三个小孩共有8种可能：
Ω＝{（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（男，女，女），（女，男，男），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）}.
设A：其中有一个是男孩，B：至少有一个是女孩，则由已知可得P（A）＝，P（A∩B）＝，∴P（B｜A）＝＝＝.
4 / 4(共64张PPT)
4.1.1 条件概率
新课程标准解读 核心素养
1.结合古典概型了解条件概率的定义 数学抽象
2.理解并掌握条件概率公式 逻辑推理
3.掌握一些简单随机事件的条件概率的计算 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85
件产品的长度、质量都合格.令 A ＝{产品的长度合格}， B ＝{产品的
质量合格}， AB ＝{产品的长度、质量都合格}.
【问题】 P （ A ）， P （ B ）与 P （ AB ）之间有什么关系？
知识点一 条件概率的定义
一般地，当事件 B 发生的概率大于0（即 P （ B ）＞0）时，已知
，称为条件概率，记作 P
（ A ｜ B ），而且 P （ A ｜ B ）＝ .
事
件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率
【想一想】
1. P （ A ｜ B ）＝ P （ B ｜ A ）成立吗？
提示：不一定成立，一般情况下 P （ A ｜ B ）≠ P （ B ｜ A ），只
有 P （ A ）＝ P （ B ）时才有 P （ A ｜ B ）＝ P （ B ｜ A ）.
2. 若事件 A ， B 互斥，则 P （ B ｜ A ）＝1正确吗？
提示：不正确，因为 A 与 B 互斥，即 A ， B 不同时发生，所以 P （ A
∩ B ）＝0，则 P （ B ｜ A ）＝0.
知识点二 条件概率的性质
1. ≤ P （ B ｜ A ）≤ .
2. P （ A ｜ A ）＝ .
3. 如果 B 与 C 互斥，则 P （（ B ∪ C ）｜ A ）＝
.
0
1
1
P （ B ｜ A ）＋ P
（ C ｜ A ）
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）事件 A 发生的条件下，事件 B 发生，相当于 A ， B 同时发生.
（ × ）
（2） P （ B ｜ A ）≠ P （ A ∩ B ）. （ √ ）
×
√
2. 已知 P （ A ∩ B ）＝ ， P （ A ）＝ ，则 P （ B ｜ A ）＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ .
3. 有一批种子的发芽率为0.9，种子能成长为幼苗的概率是0.72，在
这批种子中随机抽取一粒，则这粒种子发芽后的幼苗成活率
是 .
解析：设“种子发芽”为事件 A ，“种子成长为幼苗”为事件 A ∩
B ，则 P （ A ）＝0.9.又种子能成长为幼苗的概率 P （ A ∩ B ）＝
0.72，所以发芽后的幼苗成活率 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝
0.8.
0.8
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 条件概率公式的应用
【例1】 某校高三（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分
成4个小组，第一小组有学生10人，共青团员4人.从该班任选一人作
学生代表.
（1）求选到的是共青团员的概率；
解：设“选到的是共青团员”为事件 A ，“选到的是第一小组
学生”为事件 B ，则“选到的既是共青团员又是第一小组学
生”为事件 A ∩ B .
（1） P （ A ）＝ ＝ .
（2）求选到的既是共青团员又是第一小组学生的概率；
解： P （ A ∩ B ）＝ ＝ .
（3）已知选到的是共青团员，求他是第一小组学生的概率.
解：法一 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ .
法二 由题意知，事件 A 所包含的样本点个数为15，事件 A ∩ B 所包
含的样本点个数为4，
∴ P （ B ｜ A ）＝ ＝ .
通性通法
条件概率公式的应用
利用条件概率公式求条件概率的关键是明确公式中 P （ B ｜ A ）
以及 P （ A ∩ B ）的含义，特别是 P （ A ∩ B ）是指事件 A 与 B 同时发
生的概率.根据已知条件确定 P （ A ∩ B ）， P （ A ）的值，然后代入
公式计算求解.
【跟踪训练】
某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水
稻种子的发芽率为0.8，发出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种
子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为
（ ）
A. 0.02 B. 0.08 C. 0.18 D. 0.72
解析： 记“水稻种子发芽”为事件 A ，“发芽的种子成长为幼
苗”为事件 B ， P （ B ｜ A ）＝ ，∴ P （ A ∩ B ）＝ P （ B ｜
A ）· P （ A ）＝0.9×0.8＝0.72.
题型二 条件概率的计算
【例2】 篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球.某人从篮子中随
机取出两个球，记事件 A ＝“取出的两个球颜色不同”，事件 B ＝
“取出一个红球，一个白球”，则 P （ B ｜ A ）＝（ ）
A. B. C. D.
解析： 法一 事件 A ＝“取出的两个球颜色不同”，事件 B ＝
“取出一个红球，一个白球”，
∵篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球，
∴取出的两个球颜色不同的概率为 P （ A ）＝ ＝ .
又∵取出两个球的颜色不同，且一个红球、一个白球的概率为 P （ A
∩ B ）＝ ＝ ，
∴ P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ .
法二 在事件 A 发生时，样本点的总数为 ＋ ＋ ＝26，
这时事件 B 中包含样本点的个数为 ＝6，
所以由古典概型可得 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ .
通性通法
条件概率的计算
计算在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率的两种方法
（1）利用定义计算：先分别计算概率 P （ A ∩ B ）及 P （ A ），然后
借助条件概率公式 P （ B ｜ A ）＝ 求解.
（2）利用缩小样本空间计算：已知 A 发生，在此条件下 B 发生，相当
于 A ∩ B 发生，要求 P （ B ｜ A ）相当于把 A 看作新的样本空间
来计算 A ∩ B 发生的概率，即 P （ B ｜ A ）＝ .
P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ .
【跟踪训练】
8张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中随机取出2
张，记事件 A ＝“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件 B ＝“所
取2张卡片上的数字之和小于9”，则 P （ B ｜ A ）＝（ ）
A. B. C. D.
解析： 事件 A ∩ B 为“所取2张卡片上的数字之和为小于9的偶
数”，以（ a ， b ）为一个样本点，则事件 A ∩ B 包含的样本点有
（1，3），（1，5），（1，7），（2，4），（2，6），（3，5），
共6个，由古典概型的概率公式可得 P （ A ∩ B ）＝ ＝ ，事件 A 为
“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，则所取的两个数全是奇数或
全是偶数，由古典概率公式可得 P （ A ）＝ ＝ ，因此， P （ B ｜
A ）＝ ＝ × ＝ .
题型三 条件概率的性质
【例3】 在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，考生能答
对其中的4道题即可通过，能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生
能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，则他获得
优秀成绩的概率为 .
解析：设事件 A 为“该考生6道题全答对”，事件 B 为“该考生答对了
其中5道题，而另1道答错”，事件 C 为“该考生答对了其中4道题，
而另2道题答错”，事件 D 为“该考生在这次考试中通过”，事件 E
为“该考生获得优秀”，则 A ， B ， C 两两互斥，且 D ＝ A ∪ B ∪ C ，
E ＝ A ∪ B . 由古典概型的概率公式及加法公式可知 P （ D ）＝ P （ A ∪ B ∪ C ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）＋ P （ C ）＝ ＋ ＋ ＝ ， P （ A ∩ D ）＝ P （ A ）， P （ B ∩ D ）＝ P （ B ），
P （ E ｜ D ）＝ P （（ A ∪ B ）｜ D ）＝ P （ A ｜ D ）＋ P （ B ｜ D ）
＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .
故所求的概率为 .
通性通法
应用条件概率的性质解题的方法
在应用条件概率公式求概率时，如果事件包含的情况较复杂，可
将其分解为几个互斥事件的和，然后根据条件概率的性质求解，即若
B 与 C 互斥，那么 P （（ B ∪ C ）｜ A ）＝ P （ B ｜ A ）＋ P （ C ｜
A ），此公式可推广到多个事件互斥的情况.
【跟踪训练】
在10 000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个
三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中
二等奖或三等奖的概率.
解：设“第一张中一等奖”为事件 A ，“第二张中二等奖”为事件
B ，“第二张中三等奖”为事件 C ，则
P （ A ）＝ ， P （ A ∩ B ）＝ ＝ ，
P （ A ∩ C ）＝ ，故 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝
， P （ C ｜ A ）＝ ＝ ＝ .
∴ P （（ B ∪ C ）｜ A ）＝ P （ B ｜ A ）＋ P （ C ｜ A ）＝ ＋
＝ ＝ .
即在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为
.
1. 把一枚硬币投掷两次，事件 A ＝{第一次出现正面}，事件 B ＝{第
二次出现正面}，则 P （ B ｜ A ）＝（ ）
A. B. C. D.
解析： 因为 P （ A ∩ B ）＝ ， P （ A ）＝ ，所以 P （ B ｜ A ）
＝ ＝ ＝ .
2. 在某班的某次考试中，数学成绩不及格的学生占20%，物理成绩不
及格的学生占18%，两门成绩都不及格的学生占15%.已知一学生
数学成绩不及格，则他的物理成绩也不及格的概率是（ ）
A. 0.15 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.75
解析： 设 A 为事件“数学成绩不及格”， B 为事件“物理成绩
不及格”，则 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝0.75.所以该学生的
数学成绩不及格时，物理成绩也不及格的概率为0.75.
3. 投掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为 X ，
则 X ≤6的概率为 .
解析：设 A ＝“投掷两颗骰子，其点数不同”， B ＝“ X ≤6”，
则 P （ A ）＝ ＝ ， P （ A ∩ B ）＝ ，
∴ P （ B ｜ A ）＝ ＝ .
4. 假定生男孩或生女孩是等可能的.在一个有3个孩子的家庭中，已知
有一个男孩，求至少有一个女孩的概率.
解：一个家庭的三个小孩共有8种可能：
Ω＝{（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），
（男，女，女），（女，男，男），（女，男，女），（女，女，
男），（女，女，女）}.
设 A ：其中有一个是男孩，
B ：至少有一个是女孩，则由已知可得 P （ A ）＝ ，
P （ A ∩ B ）＝ ，
∴ P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1.4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取.若已知
第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是
（ ）
A. B.
C. D. 1
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解析： 记“第一位同学没有抽到中奖券”为事件 A ， P （ A ）＝
，“最后一位同学抽到中奖券”为事件 B ， P （ B ）＝ ， P （ A
∩ B ）＝ × ＝ ， P （ B ｜ A ）＝ ＝ .
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2. 已知 A 与 B 两个事件， P （ B ）＝ ， P （ A ∩ B ）＝ ，则 P
（ A ｜ B ）等于（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由条件概率的计算公式，可得 P （ A ｜ B ）＝
＝ ＝ .
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3. 投掷一枚质地均匀的骰子两次，记 A ＝{两次的点数均为奇数}， B
＝{两次的点数之和为4}，则 P （ B ｜ A ）等于（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 由题意知，抛掷一枚质地均匀的骰子两次，有6×6＝36
种情况，设 A ＝{两次的点数均为奇数}， B ＝{两次的点数之和为
4}，事件 A 包含3×3＝9种情况，事件 A ∩ B 有2种情况，则 P
（ A ）＝ ＝ ， P （ A ∩ B ）＝ ，则 P （ B ｜ A ）＝
＝ .
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4. （2023·全国甲卷6题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，
50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的
中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好
滑冰的概率为（ ）
A. 0.8 B. 0.6
C. 0.5 D. 0.4
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解析： 法一 如图，左圆表示爱好滑
冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的
学生所占比例， A 表示爱好滑冰且不爱好
滑雪的学生所占比例， B 表示既爱好滑冰
又爱好滑雪的学生所占比例， C 表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－ B ＝0.7，所以 B ＝0.4， C ＝0.5－0.4＝0.1.所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为 ＝ ＝0.8，故选A.
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法二 令事件 A ， B 分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事
件 C 表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则 P （ A ）＝0.6， P
（ B ）＝0.5， P （ A ∩ B ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）－0.7＝0.4，所以 P
（ C ）＝ P （ A ｜ B ）＝ ＝ ＝0.8，故选A.
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5. （多选）某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采
用抽签法决定演讲顺序，记 A ：学生甲不是第一个出场，学生乙不
是最后一个出场， B ：学生丙第一个出场，则下列结论中正确的是
（ ）
A. 事件 A 中包括80种情况
B. P （ A ）＝
C. P （ A ∩ B ）＝
D. P （ B ｜ A ）＝
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解析： 事件 A 中共包括 ＋ ＝78（种）情况， P
（ A ）＝ ＝ ， P （ A ∩ B ）＝ ＝ ，则 P （ B ｜
A ）＝ ＝ ＝ .
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6. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序出废品的概率为0.4，两
道工序都出废品的概率为0.2，则在第一道工序出废品的条件下，
第二道工序又出废品的概率为 .
解析：设“第一道工序出废品”为事件 A ，则 P （ A ）＝0.4，
“第二道工序出废品”为事件 B ，则根据题意可得 P （ A ∩ B ）＝
0.2，故在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概
率 P （ B ｜ A ）＝ ＝0.5.
0.5
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7. 某气象台统计，该地区下雨的概率为 ，既刮四级以上的风又下
雨的概率为 .设事件 A 为该地区下雨，事件 B 为该地区刮四级以
上的风，则 P （ B ｜ A ）＝ .
解析：由题意知 P （ A ）＝ ， P （ A ∩ B ）＝ ，
故 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ .
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8. 一个盒子中有3个白球、2个黑球，每次从中不放回地任取1个球，
连取两次，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率
为 .
解析：记“第一次取到黑球”为事件 A ，“第二次取到白球”为事
件 B .
法一 显然，事件“第一次取到黑球，第二次取到白球”的概率 P
（ A ∩ B ）＝ ＝ .
由条件概率的计算公式，得 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ .
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法二 因为事件 A 的样本点有 个，事件 A ∩ B 的样本点有
个，
所以 P （ B ｜ A ）＝ ＝ .
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9. 盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球，玻璃球中有2
个是红色的，4个是蓝色的，木质球中有3个是红色的，7个是蓝色
的，现从中任取1个球，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概
率是多少？
解：由题意得球的分布如下：
玻璃 木质 总计
红 2 3 5
蓝 4 7 11
总计 6 10 16
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设 A ：取得蓝球， B ：取得玻璃球，则 P （ A ）＝ ，
P （ A ∩ B ）＝ ＝ ，∴ P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ .
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10. 下列说法中正确的是（ ）
A. P （ A ｜ B ）＜ P （ A ∩ B ）
B. P （ A ｜ B ）＝ 是可能的
C. P （ A ∩ B ）＝ P （ A ） P （ B ）
D. P （ A ｜ A ）＝0
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解析： P （ A ｜ B ）＝ ≥ P （ A ∩ B ），故A错误；
当 P （ B ）＝1时， P （ A ｜ B ）＝ ＝ ＝ P
（ A ），可能成立，故B正确； P （ A ∩ B ）＝ P （ A ） P （ B ）
当且仅当 A 与 B 相互独立时成立，故C错误； P （ A ｜ A ）＝1，故
D错误.故选B.
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11. （多选）甲罐中有4个红球、3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红
球、3个白球和2个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别
以 A1， A2和 A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；
再从乙罐中随机取出一球，以 M 表示由乙罐取出的球是红球的事
件，下列结论正确的为（ ）
A. P （ M ）＝
B. P （ M ｜ A1）＝
C. 事件 M 与事件 A1不相互独立
D. A1， A2， A3是两两互斥的事件
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解析： ∵甲罐中有4个红球、3个白球和3个黑球；乙罐
中有5个红球、3个白球和2个黑球.
先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1， A2和 A3表示
由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；
再从乙罐中随机取出一球，以 M 表示由乙罐取出的球是红球的
事件，
对A， P （ M ）＝ × ＋ × ＋ × ＝ ≠ ，故
A错误；
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对B， P （ M ｜ A1）＝ ＝ ＝ ，故B正确；
对C，当 A1发生时， P （ M ）＝ ，当 A1不发生时， P
（ M ）＝ ，∴事件 M 与事件 A1不相互独立，故C正确；
对D， A1， A2， A3不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故
D正确.故选B、C、D.
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12. 一个袋子中，放有大小、形状相同的小球若干，其中标号为0的小
球有1个，标号为1的小球有2个，标号为2的小球有 n 个.从袋子中
任取2个小球，取到标号都是2的小球的概率是 .
（1）求 n 的值；
解： 由题意得 ＝ ＝ ，
解得 n ＝2 .所以 n ＝2.
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（2）从袋子中任取2个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求
另一个标号也是1的概率.
解： 记“一个的标号是1”为事件 A ，“另一个的标号
也是1”为事件 B ，所以 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝
.
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13. 将三颗质地均匀的骰子各掷一次，记事件 A 表示“三个点数都不
同”， B 表示“至少出现一个6点”，则条件概率 P （ A ｜ B ）
＝ ， P （ B ｜ A ）＝ .
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解析：由已知得 P （ A ）＝ ＝ ，
P （ B ）＝1－ ＝ ，
P （ A ∩ B ）＝ ＝ ，
故 P （ A ｜ B ）＝ ＝ ＝ ，
P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ .
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14. 某险种的基本保费为 a （单位：元），继续购买该险种的投保
人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关
联如下：
上年度
出 险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.86 a a 1.25 a 1.5 a 1.75 a 2 a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
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一年内 出险次 数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
（1）求该续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
解： 设 A ：该续保人本年度的保费高于基本保费，则
事件 A 发生，即一年内出险次数大于1，故 P （ A ）＝0.2＋
0.2＋0.1＋0.05＝0.55.
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（2）已知该续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本
保费高出60%的概率.
解： 设 B ：该续保人本年度的保费比基本保费高出60%，
则事件 B 发生，即一年内出险次数大于3，故 P （ B ）＝0.1
＋0.05＝0.15.
又因为 P （ A ∩ B ）＝ P （ B ），故 P （ B ｜ A ）＝
＝ ＝ ＝ ，因此该续保人本年度保费比基本保费
高出60%的概率为 .
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谢 谢 观 看！
