4.1.2 乘法公式与全概率公式
1.甲袋中有5只白球，7只红球，乙袋中有4只白球，2只红球，从两个袋中任取一袋，然后从所取到的袋中任取一球，则取到的球是白球的概率为（ ）
A. B.
C. D.
2.设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是由甲车间生产的概率约为（ ）
A.0.012 5 B.0.362
C.0.468 D.0.034 5
3.某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人.一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.5，0.2.则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为（ ）
A.0.635 B.0.645
C.0.634 D.0.646
4.12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正品，则先取的1件为次品的概率是（ ）
A. B.
C. D.
5.5张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，每次从中任取一张，连取两次.若第一次取出的卡片不放回，则第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率为（ ）
A. B.
C. D.
6.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A表示“试验反应为阳性”，以B表示“被诊断者患有癌症”，则有P（A）＝0.95，P（ ｜）＝0.95，现对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，则P（B｜A）＝ （结果保留两位有效数字）.
7.某家公司用三台机器A1，A2，A3生产同一种产品，生产量分别占总产量的，，，且其产品的不良率分别占其产量的2.0%，1.2%，1.0%，任取此公司的一件产品为不良品的概率是 ，若已知此产品为不良品，则其是由A1生产的概率是 .
8.设盒中装有5只灯泡，其中3只是正品，2只是次品，现从盒中随机地摸出两只，并换进2只正品之后，再从盒中摸出2只，则第二次摸出的2只全是正品的概率为 .
9.设袋中装有10个阄，其中8个是白阄，2个是有物之阄，甲、乙二人依次抓取一个，求乙抓到白阄的概率.
10.某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的.考生不知道正确答案的概率为，不知道正确答案而猜对的概率为.现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为（ ）
A. B.
C. D.
11.据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟者患肺癌的概率为 .
12.在通讯渠道中，可传送字符AAAA，BBBB，CCCC三者之一，假定传送这三者的概率分别为0.3，0.4，0.3，由于通道噪声的干扰，正确接收到被传送字母的概率为0.6，而接收到其它两个字母的概率均为0.2，假定前后字母是否被歪曲互不影响，求接收到的是ABBB的概率.
13.甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱中任取一球.
（1）若已知从甲箱中取出的是白球，则从乙箱中也取出的是白球的概率是 ；
（2）从乙箱中取出白球的概率是 .
14.设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.
（1）该射手任取1支枪射击，中靶的概率是多少？
（2）若任取1支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率.
4.1.2 乘法公式与全概率公式
1.B 设“取到的是甲袋”为事件A，则“取到的是乙袋”为事件，“取到的球是白球”为事件B，根据题意，得P（B｜A）＝，P（B｜）＝＝，P（A）＝，则P（B）＝P（B｜A）·P（A）＋P（B｜）P（）＝×＋×＝.
2.B 设A＝{待出厂的产品中检查出次品}，B1＝{甲车间生产}，B2＝{乙车间生产}，B3＝{丙车间生产}，由题意，P（B1）＝0.25，P（B2）＝0.35，P（B3）＝0.4，P（A｜B1）＝0.05，P（A｜B2）＝0.04，P（A｜B3）＝0.02，由贝叶斯公式得P（B1｜A）＝
＝≈0.362.
3.B 设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”，事件Bi表示“射手是i级射手”（i＝1，2，3，4）.
显然，B1，B2，B3，B4构成一完备事件组，
且P（B1）＝，P（B2）＝，P（B3）＝，P（B4）＝，
P（A｜B1）＝0.9，P（A｜B2）＝0.7，P（A｜B3）＝0.5，P（A｜B4）＝0.2.
由全概率公式得，P（A）＝P（A｜B1）P（B1）＋P（A｜B2）·P（B2）＋P（A｜B3）P（B3）＋P（A｜B4）P（B4）＝0.9×＋0.7×＋0.5×＋0.2×＝0.645，故选B.
4.B 令事件A＝“先取的1件为次品”，则＝“先取的1件为正品”，∵P（A）＝，P（）＝，令事件B＝“后取的2件皆为正品”，则P（B｜A）＝＝，P（B｜）＝＝.由贝叶斯公式得P（A｜B）＝＝＝＝，故选B.
5.B 设Bk表示事件“从5张卡片中取出一张标有数字k的卡片”，k＝1，2，3，4，5.A表示事件“第二次取出的卡片上的数字大于第一次卡片上数字”，则P（Bk）＝，P（A｜Bk）＝（k＝1，2，3，4，5），由P（A）＝P（Bk）P（A｜Bk）＝·＝××（1＋2＋3＋4）＝.
6.0.087 解析：P（A｜）＝1－P（｜）＝1－0.95＝0.05，被试验的人患有癌症的概率为0.005，就相当于P（B）＝0.005，则
P（B｜A）＝＝＝≈0.087.
7. 解析：由题意知，事件“任取此公司的一件产品为不良品”发生的概率P1＝×2.0%＋×1.2%＋×1.0%＝，
事件“已知此产品为不良品，则其是由A1生产”发生的概率P2＝＝.
8. 解析：设事件Ai＝“第一次摸出i只正品”（i＝0，1，2），
事件A＝“第二次摸出的2只全是正品”，则A＝AA2∪AA1∪AA0.
由全概率公式得，第二次摸出的2只全是正品的概率P（A）＝P（A∩A2）＋P（A∩A1）＋P（A∩A0）＝P（A2）P（A｜A2）＋P（A1）P（A｜A1）＋P（A0）P（A｜A0）.
P（A0）＝＝，P（A｜A0）＝1，
P（A1）＝＝，P（A｜A1）＝＝，
P（A2）＝＝，P（A｜A2）＝＝，
P（A）＝×＋×＋＝.
9.解：设A表示“甲抓到有物之阄”，B表示“乙抓到白阄”，则P（A）＝，P（）＝，从而P（B）＝P（BA）＋P（B）
＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）
＝×＋×＝.
10.B 设A事件为“不知道答案”，B事件为“猜对此题”.
则P（A）＝，P（B｜A）＝，P（B｜）＝1.
所以所求概率为P（A｜B）＝＝＝＝.
11.0.025% 解析：以C记事件“患肺癌”，以A记事件“吸烟”，按照题意P（C）＝0.001，P（A）＝0.20，P（C｜A）＝0.004，
需求条件概率P（C｜），由全概率公式有P（C）＝P（C｜A）P（A）＋P（C｜）P（）.
将数据代入，得0.001＝0.004×0.20＋P（C｜）P（）＝0.004×0.20＋P（C｜）×0.80，解得P（C｜）＝0.000 25，则不吸烟者患肺癌的概率为0.025%.
12.解：设H1表示传送字符AAAA，
H2表示传送字符BBBB，
H3表示传送字符CCCC，
G表示接收到ABBB.
由题设知，P（H1）＝0.3，P（H2）＝0.4，P（H3）＝0.3，
从而有P（G｜H1）＝0.6×0.2×0.2×0.2＝0.004 8，
P（G｜H2）＝0.2×0.6×0.6×0.6＝0.043 2，
P（G｜H3）＝0.2×0.2×0.2×0.2＝0.001 6，
根据全概率公式得P（G）＝P（Hi）P（G｜Hi）＝0.3×0.004 8＋0.4×0.043 2＋0.3×0.001 6＝0.019 2.
13.（1） （2） 解析：设B＝“从乙箱中取出白球”，A＝“从甲箱中取出白球”，
则P（A）＝，P（）＝.
（1）所求概率为P（B｜A）＝.
（2）易知P（B｜）＝，故利用全概率公式，得所求概率为P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝×＋×＝.
14.解：设A表示“枪已校正”，B表示“射击中靶”.
则P（A）＝，P（）＝，P（B｜A）＝0.9，
P（｜A）＝0.1，P（B｜）＝0.4，P（｜）＝0.6.
（1）P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝×0.9＋×0.4＝0.7.
（2）P（｜）＝
＝＝0.8.
2 / 24.1.2 乘法公式与全概率公式
新课程标准解读 核心素养
1.结合古典概型，了解并掌握乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的含义 数学抽象
2.会利用乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式解决一些简单的实际问题 逻辑推理
狼来了这个故事大家都听过，那么从心理学角度分析，这个小孩是如何一步步丧失村民信任的呢？我们可以通过特殊概率公式来解读.
设A为事件“小孩说谎”，B为“村民觉得小孩可信”；不妨设可信的小孩说谎的概率为0.1，而不可信的小孩说谎的概率为0.5， 经过第一次撒谎，第二次撒谎后，狼真的来了，小孩第三次呼救的时候，村民都不再相信这是真的，觉得这是谁家熊孩子真气人，没人再上山救他.于是，狼在前两次跳出来吓唬完小孩就跑走后，成功在第三次抓走小孩，而且无人打扰，由此可见心理学结合概率统计学很重要！
【问题】 上述问题可以用哪种概率公式来解释？
知识点一 乘法公式
1.由条件概率的计算公式可知，P（BA）＝ .
2.假设Ai表示事件，i＝1，2，3，且P（A1）＞0，P（A1A2）＞0.则P（A1A2A3）＝ 一定成立，其中P（A3｜A1A2）表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，而P（A1A2A3）表示A1，A2，A3同时发生的概率.
【想一想】
乘法公式的几何直观意义是什么？
知识点二 全概率公式及贝叶斯公式
1.全概率公式
（1）一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与 B是互斥的，且B＝BΩ＝B（A＋）＝BA＋B，所以P（B）＝ .这称为全概率公式.
（2）定理1：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1，2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n.
则对Ω中的任意事件B，都有B＝ ，且P（B）＝P（BAi）＝P（Ai）P（B｜Ai）.上述公式也称为全概率公式.
2.贝叶斯公式
（1）一般地，当1＞P（A）＞0且P（B）＞0时，有P（A｜B）＝ ＝ .这称为贝叶斯公式.
（2）定理2：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝ ，i，j＝1，2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n.
则对Ω中的任意概率非零的事件B，有P（Aj｜B）＝ ＝ .上述公式也称为贝叶斯公式.
提醒 全概率公式与贝叶斯公式的区别：①如果所求事件的概率是由多个原因引起的，此时，应用全概率公式，如果所求概率为条件概率P（A｜B），而B由多个原因引起，此时应用贝叶斯公式；②全概率公式与贝叶斯公式两者的最大不同是处理的对象不同，其中全概率公式用来计算复杂事件的概率，而贝叶斯公式是用来计算简单条件下发生的复杂事件的概率，也就是说，全概率公式是计算普通概率的，贝叶斯公式是用来计算条件概率的.
1.已知P（B｜A）＝，P（A）＝，则P（A∩B）＝（ ）
A. B. C. D.
2.采购员要购买10个一包的电器元件.他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如这3个元件都是好的，他才买下这一包.假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含有1个次品，求采购员拒绝购买的概率.
题型一 乘法公式
【例1】 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为，求透镜落下三次而未打破的概率.
尝试解答
通性通法
应用乘法公式求概率的步骤
（1）根据题目的提问（一般是A1，A2，…，An，n个事件同时发生的概率），找到A1，A2，…，An；
（2）用A1，A2，A3，…，An表示已知条件和待求事件；
（3）代入乘法公式求解.
【跟踪训练】
已知某种疾病的患病率为0.5%，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为 .
题型二 全概率公式
【例2】 设有甲、乙两袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球：
（1）取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？
（2）第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球.先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率.
尝试解答
通性通法
应用全概率公式求概率的步骤
（1）根据题意找出完备事件组，即满足全概率公式的Ω的一个划分A1，A2，A3，…，An；
（2）用Ai（i＝1，2，3，…，n）来表示待求的事件；
（3）代入全概率公式求解.
【跟踪训练】
播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为（ ）
A.0.8 B.0.832 5
C.0.532 5 D.0.482 5
题型三 贝叶斯公式
【例3】 已知男性中有5%是色盲患者，女性中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
尝试解答
通性通法
应用贝叶斯公式求概率的步骤
（1）根据题目的提问，事件B是由多个原因引起，这多个原因为A1，A2，…，An，且A1，A2，…，An是样本空间Ω的一个划分；
（2）利用全概率公式求出P（B）；
（3）代入贝叶斯公式得概率.
【跟踪训练】
已知产品中90%是正品，用某种检查方法辨认正品为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05.求：
（1）用这种方法，检查一件产品为合格品的概率；
（2）用这种方法，检查为合格品的一件产品确实是正品的概率.
题型四 全概率公式和贝叶斯公式的综合应用
【例4】 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂 次品率 提供元件 的份额
Ⅰ 0.02 0.15
Ⅱ 0.01 0.80
Ⅲ 0.03 0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.
（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率.
尝试解答
通性通法
概率树在全概率公式和贝叶斯公式中的应用
对于复杂问题，运用概率树图解法比较方便.先根据题意，画出图形，在图形中用相应的符号表示事件，并标注概率大小，然后根据图形，找到全概率公式和贝叶斯公式中的量，代入公式求解.
【跟踪训练】
有两箱同种类型的零件.第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品.今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样，试求：
（1）第一次取到的零件是一等品的概率；
（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率.
1.设P（A｜B）＝P（B｜A）＝，P（A）＝，则P（B）＝（ ）
A. B.
C. D.
2.装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为（ ）
A. B.
C. D.
3.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，问从2号箱中取出红球的概率是多少？
4.1.2 乘法公式与全概率公式
【基础知识·重落实】
知识点一
1.P（A）P（B｜A） 2.P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）
想一想
提示：如图，用单位正方形来表示样本空间Ω，用正方形内封闭曲线围成的图形表示事件，把图形的面积理解为相应事件的概率.设A，B是Ω的子集.无条件概率P（B）＝（注意P（Ω）＝1）相当于B在空间Ω中所占的比例，亦可表示为P（B）＝P（B｜Ω）.条件概率P（B｜A）＝，实际上是仅局限于A事件这个范围来考查B事件发生的概率.几何直观上，相当于B在A内的那部分AB在A中所占的比例.
因此P（AB）＝P（A）P（B｜A），
同理，P（AB）＝P（B）P（A｜B）.
知识点二
1.（1）P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜） （2）BA1＋BA2＋…＋BAn
2.（1）
（2）
自我诊断
1.C 由已知P（B｜A）＝，P（A）＝，则P（A∩B）＝P（B｜A）P（A）＝×＝，故选C.
2.解：设A1表示取到的是含4个次品的一包，A2表示取到的是含1个次品的一包，B表示采购员拒绝购买.
则A1，A2构成样本空间的一个划分，且P（A1）＝0.3，P（A2）＝0.7，
又由古典概型计算知P（B｜A1）＝1－＝，P（B｜A2）＝1－＝，
从而由全概率公式得到P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：法一 以Ai（i＝1，2，3）表示透镜第i次落下打破，以B表示透镜落下三次而未打破.因为B＝，故有P（B）＝P（）＝P（｜）P（｜）·P（）＝××＝.
法二 由题意＝A1∪A2∪A3.
而A1，A2，A3是两两互斥的事件，
故有P（）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）.
已知P（A1）＝，P（A2｜）＝，P（A3｜）＝，
即有P（A2）＝P（A2｜）P（）＝×＝，
P（A3）＝P（A3｜）P（｜）P（）＝××＝.
故得P（）＝＋＋＝，P（B）＝1－＝.
跟踪训练
0.495% 解析：设事件A表示“血检呈阳性”，事件B表示“患该种疾病”.依题意知P（B）＝0.005，P（A｜B）＝0.99，由条件概率公式P（A｜B）＝，得P（A∩B）＝P（B）P（A｜B）＝0.005×0.99＝0.004 95＝0.495%.
【例2】 解：（1）记A1，A2分别表示从甲袋中取得白球，红球放入乙袋，再记B表示再从乙袋中取得白球.∵B＝A1B＋A2B且A1B，A2B互斥，∴P（B）＝P（A1）·P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝×＋×.
（2）记C1表示从第一盒子中取得2只红球，C2表示从第一盒子中取得2只白球，C3表示从第一盒子中取得1只红球，1只白球，D表示从第二盒子中取得白球，显然C1，C2，C3两两互斥，C1∪C2∪C3＝Ω，由全概率公式，有P（D）＝P（C1）P（D｜C1）＋P（C2）P（D｜C2）＋P（C3）P（D｜C3）＝×＋×＋×＝.
跟踪训练
D 设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A1，A2，A3，A4，则它们构成样本空间的一个划分.设B＝{从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒}，则P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.故选D.
【例3】 解：设A1表示挑选出男性，A2表示挑选出女性，B表示挑选出色盲，显然A1∪A2＝Ω，A1A2＝ .
由已知条件知P（A1）＝P（A2）＝，P（B｜A1）＝5%，P（B｜A2）＝0.25%，
由贝叶斯公式，有P（A1｜B）＝
＝
＝＝.
跟踪训练
解：根据题意，得概率树形图如下：
由图可看出：一件产品检查为合格品有两种情况.一件产品检查为合格品且确定是正品的情况只有一种.
设A表示正品，表示废品，B表示检查为合格品，表示检查为废品.由图可知：
（1）P（B）＝0.9×0.98＋0.1×0.05＝0.887.
（2）P（A｜B）＝≈0.994.
【例4】 解：设A表示取到的是一只次品，Bi（i＝1，2，3）表示所取到的产品是由第i家工厂提供的.
本题的概率树形图如下：
易知，B1，B2，B3是样本空间Ω的一个划分，且有
P（B1）＝0.15，P（B2）＝0.80，P（B3）＝0.05，
P（A｜B1）＝0.02，P（A｜B2）＝0.01，P（A｜B3）＝0.03.
（1）由全概率公式得P（A）＝P（A｜B1）P（B1）＋P（A｜B2）P（B2）＋P（A｜B3）P（B3）＝0.012 5.
（2）由贝叶斯公式得P（B1｜A）＝＝＝0.24.
同理可得P（B2｜A）＝0.64，P（B3｜A）＝0.12.
以上结果表明，这只次品来自第2家工厂的可能性最大.
跟踪训练
解：设Bi表示第i次取到一等品，i＝1，2，Aj表示第j箱产品，j＝1，2，显然A1∪A2＝Ω，A1A2＝ ，
（1）P（B1）＝P（A1）P（B1｜A1）＋P（A2）P（B1｜A2）＝×＋×＝＝0.4.
（2）P（B2｜B1）＝＝≈0.485 6.
随堂检测
1.B P（A∩B）＝P（A）P（B｜A）＝×＝，由P（A｜B）＝，得P（B）＝＝＝.
2.C 设事件A＝{从箱中任取2件都是一等品}，事件Bi＝{丢失的为i等品}（i＝1，2，3），则P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋ P（B2）P（A｜B2）＋ P（B3）P（A｜B3）＝×＋×＋×＝，故所求的概率为P（B1｜A）＝＝.
3.解：记“最后从2号箱中取出的是红球”为事件A，记“从1号箱中取出的是红球”为事件B.
则P（B）＝＝，P（）＝1－P（B）＝，
P（A｜B）＝＝，P（A｜）＝＝，
P（A）＝P（AB∪A）＝P（AB）＋P（A）
＝P（A｜B）P（B）＋P（A｜）P（）＝×＋×＝.
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4.1.2
乘法公式与全概率公式
新课程标准解读 核心素养
1.结合古典概型，了解并掌握乘法公式、全概率公式、
贝叶斯公式的含义 数学抽象
2.会利用乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式解决一些
简单的实际问题 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
狼来了这个故事大家都听过，那么从心理学角度分析，这个
小孩是如何一步步丧失村民信任的呢？我们可以通过特殊概率公
式来解读.
设 A 为事件“小孩说谎”， B 为“村民觉得小孩可信”；不妨
设可信的小孩说谎的概率为0.1，而不可信的小孩说谎的概率为
0.5， 经过第一次撒谎，第二次撒谎后，狼真的来了，小孩第三次
呼救的时候，村民都不再相信这是真的，觉得这是谁家熊孩子真
气人，没人再上山救他.于是，狼在前两次跳出来吓唬完小孩就跑
走后，成功在第三次抓走小孩，而且无人打扰，由此可见心理学
结合概率统计学很重要！
【问题】 上述问题可以用哪种概率公式来解释？
知识点一 乘法公式
1. 由条件概率的计算公式可知， P （ BA ）＝
.
2. 假设 Ai 表示事件， i ＝1，2，3，且 P （ A1）＞0， P （ A1 A2）＞0.
则 P （ A1 A2 A3）＝ 一
定成立，其中 P （ A3｜ A1 A2）表示已知 A1与 A2都发生时 A3发生的
概率，而 P （ A1 A2 A3）表示 A1， A2， A3同时发生的概率.
P （ A ）· P （ B ｜
A ）
P （ A1） P （ A2｜ A1）· P （ A3｜ A1 A2）
【想一想】
乘法公式的几何直观意义是什么？
提示：如图，用单位正方形来表示样本空间Ω，用正方形
内封闭曲线围成的图形表示事件，把图形的面积理解为相
应事件的概率.设 A ， B 是Ω的子集.无条件概率 P （ B ）
＝ （注意 P （Ω）＝1）相当于 B 在空间Ω中所占的比例，亦可表示为 P （ B ）＝ P （ B ｜Ω）.条件概率 P （ B ｜ A ）＝ ，实际上是仅局限于 A 事件这个范围来考查 B 事件发生的概率.几何直观上，相当于 B 在 A 内的那部分 AB 在 A 中所占的比例.
因此 P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ｜ A ），
同理， P （ AB ）＝ P （ B ） P （ A ｜ B ）.
知识点二 全概率公式及贝叶斯公式
1. 全概率公式
（1）一般地，如果样本空间为Ω，而 A ， B 为事件，则 BA 与 B
是互斥的，且 B ＝ B Ω＝ B （ A ＋ ）＝ BA ＋ B ，所以 P
（ B ）＝ .
这称为全概率公式.
（2）定理1：若样本空间Ω中的事件 A1， A2，…， An 满足：
①任意两个事件均互斥，即 AiAj ＝ ， i ， j ＝1，2，…，
n ， i ≠ j ；
P （ A ） P （ B ｜ A ）＋ P （ ） P （ B ｜ ）
② A1＋ A2＋…＋ An ＝Ω；
③ P （ Ai ）＞0， i ＝1，2，…， n .
则对Ω中的任意事件 B ，都有 B ＝
，且 P （ B ）＝ P （ BAi ）＝ P （ Ai ） P （ B ｜
Ai ）.上述公式也称为全概率公式.
BA1＋ BA2＋…＋
BAn
2. 贝叶斯公式
（1）一般地，当1＞ P （ A ）＞0且 P （ B ）＞0时，有 P （ A ｜ B ）
＝
＝ .这称为贝叶斯
公式.
（2）定理2：若样本空间Ω中的事件 A1， A2，…， An 满足：
①任意两个事件均互斥，即 AiAj ＝ ， i ， j ＝1，2，…，
n ， i ≠ j ；
② A1＋ A2＋…＋ An ＝Ω；
③1＞ P （ Ai ）＞0， i ＝1，2，…， n .
则对Ω中的任意概率非零的事件 B ，有 P （ Aj ｜ B ）
＝ ＝ .上述
公式也称为贝叶斯公式.
提醒 全概率公式与贝叶斯公式的区别：①如果所求事件的概率是由
多个原因引起的，此时，应用全概率公式，如果所求概率为条件概率
P （ A ｜ B ），而 B 由多个原因引起，此时应用贝叶斯公式；②全概
率公式与贝叶斯公式两者的最大不同是处理的对象不同，其中全概率
公式用来计算复杂事件的概率，而贝叶斯公式是用来计算简单条件下
发生的复杂事件的概率，也就是说，全概率公式是计算普通概率的，
贝叶斯公式是用来计算条件概率的.
1. 已知 P （ B ｜ A ）＝ ， P （ A ）＝ ，则 P （ A ∩ B ）＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由已知 P （ B ｜ A ）＝ ， P （ A ）＝ ，则 P （ A ∩ B ）
＝ P （ B ｜ A ） P （ A ）＝ × ＝ ，故选C.
2. 采购员要购买10个一包的电器元件.他的采购方法是：从一包中随
机抽查3个，如这3个元件都是好的，他才买下这一包.假定含有4个
次品的包数占30%，而其余包中各含有1个次品，求采购员拒绝购
买的概率.
解：设 A1表示取到的是含4个次品的一包， A2表示取到的是含1个
次品的一包， B 表示采购员拒绝购买.
则 A1， A2构成样本空间的一个划分，
且 P （ A1）＝0.3， P （ A2）＝0.7，
又由古典概型计算知 P （ B ｜ A1）＝1－ ＝ ，
P （ B ｜ A2）＝1－ ＝ ，从而由全概率公式得到 P （ B ）＝ P
（ A1） P （ B ｜ A1）＋ P （ A2） P （ B ｜ A2）＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 乘法公式
【例1】 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为
，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为 ，若前两次落
下未打破，第三次落下打破的概率为 ，求透镜落下三次而未打破的
概率.
解：法一 以 Ai （ i ＝1，2，3）表示透镜第 i 次落下打破，以 B 表示
透镜落下三次而未打破.因为 B ＝ ，故有 P （ B ）＝ P
（ ）＝ P （ ｜ ）· P （ ｜ ） P （ ）＝
× × ＝ .
法二 由题意 ＝ A1∪ A2∪ A3.
而 A1， A2， A3是两两互斥的事件，故有
P （ ）＝ P （ A1）＋ P （ A2）＋ P （ A3）.
已知 P （ A1）＝ ， P （ A2｜ ）＝ ， P （ A3｜ ）＝ ，即
有 P （ A2）＝ P （ A2｜ ） P （ ）＝ × ＝ ，
P （ A3）＝ P （ A3｜ ） P （ ｜ ） P （ ）＝ ×
× ＝ .
故得 P （ ）＝ ＋ ＋ ＝ ， P （ B ）＝1－ ＝ .
通性通法
应用乘法公式求概率的步骤
（1）根据题目的提问（一般是 A1， A2，…， An ， n 个事件同时发生
的概率），找到 A1， A2，…， An ；
（2）用 A1， A2， A3，…， An 表示已知条件和待求事件；
（3）代入乘法公式求解.
【跟踪训练】
已知某种疾病的患病率为0.5%，在患该种疾病的条件下血检呈阳
性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为 .
解析：设事件 A 表示“血检呈阳性”，事件 B 表示“患该种疾病”.依
题意知 P （ B ）＝0.005， P （ A ｜ B ）＝0.99，由条件概率公式 P
（ A ｜ B ）＝ ，得 P （ A ∩ B ）＝ P （ B ） P （ A ｜ B ）＝
0.005×0.99＝0.004 95＝0.495%.
0.495%
题型二 全概率公式
【例2】 设有甲、乙两袋，甲袋中装有 n 只白球 m 只红球，乙袋中装
有 N 只白球 M 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中
任取一球：
（1）取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？
解： 记 A1， A2分别表示从甲袋中取得白球，红球放入乙
袋，再记 B 表示再从乙袋中取得白球.∵ B ＝ A1 B ＋ A2 B 且 A1
B ， A2 B 互斥，∴ P （ B ）＝ P （ A1）· P （ B ｜ A1）＋ P （ A2）
P （ B ｜ A2）＝ × ＋ × .
（2）第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，
5只白球.先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第
二盒子中任取一只球，求取到白球的概率.
解： 记 C1表示从第一盒子中取得2只红球， C2表示从第一
盒子中取得2只白球， C3表示从第一盒子中取得1只红球，1只白
球， D 表示从第二盒子中取得白球，显然 C1， C2， C3两两互
斥， C1∪ C2∪ C3＝Ω，由全概率公式，有 P （ D ）＝ P （ C1） P
（ D ｜ C1）＋ P （ C2）· P （ D ｜ C2）＋ P （ C3） P （ D ｜ C3）
＝ × ＋ × ＋ × ＝ .
通性通法
应用全概率公式求概率的步骤
（1）根据题意找出完备事件组，即满足全概率公式的Ω的一个划分
A1， A2， A3，…， An ；
（2）用 Ai （ i ＝1，2，3，…， n ）来表示待求的事件；
（3）代入全概率公式求解.
【跟踪训练】
播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，
1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的
概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上
麦粒的概率为（ ）
A. 0.8 B. 0.832 5
C. 0.532 5 D. 0.482 5
解析： 设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件
分别是 A1， A2， A3， A4，则它们构成样本空间的一个划分.设 B ＝{从
这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒}，则 P （ B ）＝
P （ Ai ） P （ B ｜ Ai ）＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋
1%×0.05＝0.482 5.故选D.
题型三 贝叶斯公式
【例3】 已知男性中有5%是色盲患者，女性中有0.25%是色盲患者.
今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此
人是男性的概率是多少？
解：设 A1表示挑选出男性， A2表示挑选出女性， B 表示挑选出色盲，
显然 A1∪ A2＝Ω， A1 A2＝ .
由已知条件知 P （ A1）＝ P （ A2）＝ ， P （ B ｜ A1）＝5%， P
（ B ｜ A2）＝0.25%，
由贝叶斯公式，有 P （ A1｜ B ）＝
＝ ＝ ＝ .
通性通法
应用贝叶斯公式求概率的步骤
（1）根据题目的提问，事件 B 是由多个原因引起，这多个原因为
A1， A2，…， An ，且 A1， A2，…， An 是样本空间Ω的一个
划分；
（2）利用全概率公式求出 P （ B ）；
（3）代入贝叶斯公式得概率.
【跟踪训练】
已知产品中90%是正品，用某种检查方法辨认正品为合格品的概率
为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05.求：
（1）用这种方法，检查一件产品为合格品的概率；
（1） P （ B ）＝0.9×0.98＋0.1×0.05＝0.887.
解：根据题意，得概率树形图如下：
（2）用这种方法，检查为合格品的一件产品确实是正品的概率.
解： P （ A ｜ B ）＝ ≈0.994.
题型四 全概率公式和贝叶斯公式的综合应用
【例4】 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.
根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
Ⅰ 0.02 0.15
Ⅱ 0.01 0.80
Ⅲ 0.03 0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.
（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
（1）由全概率公式得 P （ A ）＝ P （ A ｜ B1） P （ B1）＋ P
（ A ｜ B2）· P （ B2）＋ P （ A ｜ B3） P （ B3）＝0.012 5.
解：设 A 表示取到的是一只次品， Bi （ i ＝1，2，3）表示所取
到的产品是由第 i 家工厂提供的.
本题的概率树形图如下：
易知， B1， B2， B3是样本空间Ω
的一个划分，且有
P （ B1）＝0.15， P （ B2）＝0.80， P （ B3）＝0.05，
P （ A ｜ B1）＝0.02， P （ A ｜ B2）＝0.01， P （ A ｜ B3）＝
0.03.
（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此
次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多
少.试求这些概率.
解：由贝叶斯公式得 P （ B1｜ A ）＝ ＝
＝0.24.
同理可得 P （ B2｜ A ）＝0.64， P （ B3｜ A ）＝0.12.以上结果
表明，这只次品来自第2家工厂的可能性最大.
通性通法
概率树在全概率公式和贝叶斯公式中的应用
对于复杂问题，运用概率树图解法比较方便.先根据题意，画出
图形，在图形中用相应的符号表示事件，并标注概率大小，然后根据
图形，找到全概率公式和贝叶斯公式中的量，代入公式求解.
【跟踪训练】
有两箱同种类型的零件.第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱
30只，其中18只一等品.今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零
件两次，每次任取一只，作不放回抽样，试求：
（1）第一次取到的零件是一等品的概率；
（1） P （ B1）＝ P （ A1） P （ B1｜ A1）＋ P （ A2） P （ B1｜
A2）＝ × ＋ × ＝ ＝0.4.
解：设 Bi 表示第 i 次取到一等品， i ＝1，2， Aj 表示第 j 箱产品，
j ＝1，2，显然 A1∪ A2＝Ω， A1 A2＝ ，
（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等
品的概率.
解： P （ B2｜ B1）＝ ＝ ≈0.485 6.
1. 设 P （ A ｜ B ）＝ P （ B ｜ A ）＝ ， P （ A ）＝ ，则 P （ B ）＝
（ ）
A. B.
解析： P （ A ∩ B ）＝ P （ A ） P （ B ｜ A ）＝ × ＝ ，由 P
（ A ｜ B ）＝ ，得 P （ B ）＝ ＝ ＝ .
C. D.
2. 装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱
子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结
果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为（ ）
A. B. C. D.
解析： 设事件 A ＝{从箱中任取2件都是一等品}，事件 Bi ＝{丢
失的为 i 等品}（ i ＝1，2，3），则 P （ A ）＝ P （ B1） P （ A ｜
B1）＋ P （ B2） P （ A ｜ B2）＋ P （ B3） P （ A ｜ B3）＝ × ＋
× ＋ × ＝ ，故所求的概率为 P （ B1｜ A ）＝
＝ .
3.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随
机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一
球，问从2号箱中取出红球的概率是多少？
解：记“最后从2号箱中取出的是红球”为事件 A ，记“从1号箱中
取出的是红球”为事件 B .
则 P （ B ）＝ ＝ ， P （ ）＝1－ P （ B ）＝ ，
P （ A ｜ B ）＝ ＝ ， P （ A ｜ ）＝ ＝ ，
P （ A ）＝ P （ AB ∪ A ）＝ P （ AB ）＋ P （ A ）
＝ P （ A ｜ B ） P （ B ）＋ P （ A ｜ ） P （ ）＝ × ＋ × ＝
.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 甲袋中有5只白球，7只红球，乙袋中有4只白球，2只红球，从两个
袋中任取一袋，然后从所取到的袋中任取一球，则取到的球是白球
的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 设“取到的是甲袋”为事件 A ，则“取到的是乙袋”为
事件 ，“取到的球是白球”为事件 B ，根据题意，得 P （ B ｜
A ）＝ ， P （ B ｜ ）＝ ＝ ， P （ A ）＝ ，则 P （ B ）＝ P
（ B ｜ A ） P （ A ）＋ P （ B ｜ ）· P （ ）＝ × ＋ ×
＝ .
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2. 设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产
量分别占全厂产量的25%，35%，40%，而且各车间的次品率依次
为5%，4%，2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那么它是
由甲车间生产的概率约为（ ）
A. 0.012 5 B. 0.362
C. 0.468 D. 0.034 5
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解析： 设 A ＝{待出厂的产品中检查出次品}， B1＝{甲车间生
产}， B2＝{乙车间生产}， B3＝{丙车间生产}，由题意， P （ B1）
＝0.25， P （ B2）＝0.35， P （ B3）＝0.4， P （ A ｜ B1）＝
0.05， P （ A ｜ B2）＝0.04， P （ A ｜ B3）＝0.02，由贝叶斯公式
得 P （ B1｜ A ）＝ ＝ ≈0.362.
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3. 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级
射手7人，四级射手1人.一、二、三、四级射手能通过选拔进入比
赛的概率分别是0.9，0.7，0.5，0.2.则任选一名射手能通过选拔
进入比赛的概率为（ ）
A. 0.635 B. 0.645
C. 0.634 D. 0.646
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解析： 设事件 A 表示“射手能通过选拔进入比赛”，事件 Bi 表
示“射手是 i 级射手”（ i ＝1，2，3，4）.
显然， B1， B2， B3， B4构成一完备事件组，且 P （ B1）＝ ， P （ B2）＝ ， P （ B3）＝ ， P （ B4）＝ ， P （ A ｜ B1）＝0.9， P （ A ｜ B2）＝0.7， P （ A ｜ B3）＝0.5， P （ A ｜ B4）＝0.2.由全概率公式得， P （ A ）＝ P （ A ｜ B1） P （ B1）＋ P （ A ｜ B2） P （ B2）＋ P （ A ｜ B3） P （ B3）＋ P （ A ｜ B4）· P （ B4）＝0.9× ＋0.7× ＋0.5× ＋0.2× ＝0.645，故选B.
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4.12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆为正
品，则先取的1件为次品的概率是（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 令事件 A ＝“先取的1件为次品”，则 ＝“先取的1件
为正品”，∵ P （ A ）＝ ， P （ ）＝ ，令事件 B ＝“后取的2件
皆为正品”，则 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ， P （ B ｜ ）＝ ＝ .
由贝叶斯公式得 P （ A ｜ B ）＝ ＝
＝ ＝ ，故选B.
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5.5张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，每次从中任取一张，连取
两次.若第一次取出的卡片不放回，则第二次取出的卡片上的数字
大于第一次取出的数字的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 设 Bk 表示事件“从5张卡片中取出一张标有数字 k 的卡
片”， k ＝1，2，3，4，5. A 表示事件“第二次取出的卡片上的数
字大于第一次卡片上数字”，则 P （ Bk ）＝ ， P （ A ｜ Bk ）＝
（ k ＝1，2，3，4，5），由 P （ A ）＝ P （ Bk ） P （ A ｜ Bk ）
＝ · ＝ × ×（1＋2＋3＋4）＝ .
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6. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以 A
表示“试验反应为阳性”，以 B 表示“被诊断者患有癌症”，则有
P （ A ）＝0.95， P （ ｜ ）＝0.95，现对自然人群进行普
查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，则 P （ B ｜ A ）
＝ （结果保留两位有效数字）.
0.087
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解析： P （ A ｜ ）＝1－ P （ ｜ ）＝1－0.95＝0.05，被试验
的人患有癌症的概率为0.005，就相当于 P （ B ）＝0.005，则
P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝
≈0.087.
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7. 某家公司用三台机器 A1， A2， A3生产同一种产品，生产量分别占
总产量的 ， ， ，且其产品的不良率分别占其产量的2.0%，
1.2%，1.0%，任取此公司的一件产品为不良品的概率是 ，若已知此产品为不良品，则其是由 A1生产的概率是 .
解析：由题意知，事件“任取此公司的一件产品为不良品”发生的
概率 P1＝ ×2.0%＋ ×1.2%＋ ×1.0%＝ ，事件“已知此
产品为不良品，则其是由 A1生产”发生的概率 P2＝ ＝ .
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8. 设盒中装有5只灯泡，其中3只是正品，2只是次品，现从盒中随机
地摸出两只，并换进2只正品之后，再从盒中摸出2只，则第二次摸
出的2只全是正品的概率为 .
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解析：设事件 Ai ＝“第一次摸出 i 只正品”（ i ＝0，1，2），
事件 A ＝“第二次摸出的2只全是正品”，则 A ＝ AA2∪ AA1∪ AA0.
由全概率公式得，第二次摸出的2只全是正品的概率 P （ A ）＝ P
（ A ∩ A2）＋ P （ A ∩ A1）＋ P （ A ∩ A0）＝ P （ A2） P （ A ｜
A2）＋ P （ A1） P （ A ｜ A1）＋ P （ A0） P （ A ｜ A0）.
P （ A0）＝ ＝ ， P （ A ｜ A0）＝1，
P （ A1）＝ ＝ ， P （ A ｜ A1）＝ ＝ ，
P （ A2）＝ ＝ ， P （ A ｜ A2）＝ ＝ ，
P （ A ）＝ × ＋ × ＋ ＝ .
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9. 设袋中装有10个阄，其中8个是白阄，2个是有物之阄，甲、乙二人
依次抓取一个，求乙抓到白阄的概率.
解：设 A 表示“甲抓到有物之阄”， B 表示“乙抓到白阄”，则 P
（ A ）＝ ， P （ ）＝ ，从而 P （ B ）＝ P （ BA ）＋ P （ B
）
＝ P （ A ） P （ B ｜ A ）＋ P （ ） P （ B ｜ ）
＝ × ＋ × ＝ .
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10. 某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的.考生不知
道正确答案的概率为 ，不知道正确答案而猜对的概率为 .现已
知某考生答对了，则他猜对此题的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 设 A 事件为“不知道答案”， B 事件为“猜对此题”.
则 P （ A ）＝ ， P （ B ｜ A ）＝ ， P （ B ｜ ）＝1.
所以所求概率为 P （ A ｜ B ）＝ ＝
＝ ＝ .
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11. 据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为
0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，
则不吸烟者患肺癌的概率为 .
0.025%
解析：以 C 记事件“患肺癌”，以 A 记事件“吸烟”，按照题意 P
（ C ）＝0.001， P （ A ）＝0.20， P （ C ｜ A ）＝0.004，
需求条件概率 P （ C ｜ ），由全概率公式有 P （ C ）＝ P （ C ｜
A ） P （ A ）＋ P （ C ｜ ） P （ ）.
将数据代入，得0.001＝0.004×0.20＋ P （ C ｜ ）· P （ ）＝
0.004×0.20＋ P （ C ｜ ）×0.80，解得 P （ C ｜ ）＝0.000
25，则不吸烟者患肺癌的概率为0.025%.
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12. 在通讯渠道中，可传送字符 AAAA ， BBBB ， CCCC 三者之一，假
定传送这三者的概率分别为0.3，0.4，0.3，由于通道噪声的干
扰，正确接收到被传送字母的概率为0.6，而接收到其它两个字母
的概率均为0.2，假定前后字母是否被歪曲互不影响，求接收到的
是 ABBB 的概率.
解：设 H1表示传送字符 AAAA ， H2表示传送字符 BBBB ，
H3表示传送字符 CCCC ， G 表示接收到 ABBB .
由题设知，
P （ H1）＝0.3， P （ H2）＝0.4， P （ H3）＝0.3，
从而有
P （ G ｜ H1）＝0.6×0.2×0.2×0.2＝0.004 8，
P （ G ｜ H2）＝0.2×0.6×0.6×0.6＝0.043 2，
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P （ G ｜ H3）＝0.2×0.2×0.2×0.2＝0.001 6，
根据全概率公式得 P （ G ）＝ P （ Hi ） P （ G ｜ Hi ）
＝0.3×0.004 8＋0.4×0.043 2＋0.3×0.001 6＝0.019 2.
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13. 甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球，先从
甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱中任取一球.
（1）若已知从甲箱中取出的是白球，则从乙箱中也取出的是白球
的概率是 ；
（1）所求概率为 P （ B ｜ A ）＝ .
解析：设 B ＝“从乙箱中取出白球”， A ＝“从甲箱中取出
白球”，
则 P （ A ）＝ ， P （ ）＝ .
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（2）从乙箱中取出白球的概率是 .
解析：易知 P （ B ｜ ）＝ ，故利用全概率公式，得所求概
率为 P （ B ）＝ P （ A ） P （ B ｜ A ）＋ P （ ） P （ B ｜
）＝ × ＋ × ＝ .
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14. 设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪
射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.
（1）该射手任取1支枪射击，中靶的概率是多少？
（1） P （ B ）＝ P （ A ） P （ B ｜ A ）＋ P （ ） P （ B ｜
）＝ ×0.9＋ ×0.4＝0.7.
解：设 A 表示“枪已校正”， B 表示“射击中靶”.
则 P （ A ）＝ ， P （ ）＝ ， P （ B ｜ A ）＝0.9，
P （ ｜ A ）＝0.1， P （ B ｜ ）＝0.4， P （ ｜ ）＝0.6.
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（2）若任取1支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率.
解： P （ ｜ ）＝
＝ ＝0.8.
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