4.1.3 独立性与条件概率的关系
1.在某次人才招聘会上，假定某毕业生赢得甲公司面试机会的概率为，赢得乙、丙两公司面试机会的概率均为，且三个公司是否让其面试互不影响，则该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会的概率为（ ）
A. B.
C. D.
2.甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军，败者为亚军.4个人相互比赛的胜率如表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率.那么甲得冠军且丙得亚军的概率是（ ）
甲 乙 丙 丁
甲 — 0.3 0.3 0.8
乙 0.7 — 0.6 0.4
丙 0.7 0.4 — 0.5
丁 0.2 0.6 0.5 —
A.0.15 B.0.105
C.0.045 D.0.21
3.记甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.7，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为（ ）
A. B.
C. D.
4.（多选）已知A与B独立，P（A）＝0.4，P（B）＝0.3，给出下列四个式子中正确的是（ ）
A.P（AB）＝0.12 B.P（ B）＝0.28
C.P（A ）＝0.28 D.P（ ）＝0.42
5.（多选）甲、乙为两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次.记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A.P（A）＝P（B）＝P（C）
B.P（B∩C）＝P（A∩C）＝P（A∩B）
C.P（A∩B∩C）＝
D.P（A）P（B）P（C）＝
6.某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 .
7.事件A，B，C相互独立，如果P（AB）＝，P（ C）＝，P（AB）＝，则P（B）＝ ，P（B）＝ .
8.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，则停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为 .
9.三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路.在如图所示的电路中，求电路不发生故障的概率是多少？
10.在某学校举行的“乒乓球体育之星”选拔赛的半决赛中，高三年级的甲、乙两名选手分别对阵高二年级的两名选手，胜者进入决赛，已知甲战胜对手的概率是0.7，乙战胜对手的概率是0.4，现已知高三年级有选手进入决赛，则甲进入决赛的概率为（ ）
A. B.
C. D.
11.（多选）甲箱中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A1，A2，A3表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A.P（B）＝
B.P（B｜A1）＝
C.事件B与事件A1相互独立
D.事件A1，A2，A3两两互斥
12.一个袋子中有3个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.每次从中任取2个球，取出后再放回，求：
（1）第一次取出的2个球都是白球，第二次取出的2个球都是红球的概率；
（2）第一次取出的2个球中，1个是白球、1个是红球，第二次取出的2个球都是白球的概率.
13.某快递公司送货员从公司A处准备开车送货到某单位B处，有A→C→D→B，A→E→F→B两条路线.若该地各路段发生堵车与否互不影响，且各路段发生堵车事件的概率如图所示（例如A→C→D算作两个路段，路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）.若使途中发生堵车事件的概率较小，则由A到B应选择的路线是 .
14.甲、乙两人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利.假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果互不影响.已知前2局中，甲、乙各胜1局.
（1）求再比赛2局结束这次比赛的概率；
（2）求甲获得这次比赛胜利的概率.
4.1.3 独立性与条件概率的关系
1.B 记事件A为“该毕业生赢得甲公司的面试机会”，事件B为“该毕业生赢得乙公司的面试机会”，事件C为“该毕业生赢得丙公司的面试机会”.
由题意可得P（A）＝，P（B）＝P（C）＝，
则“该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会”为事件AB ，
由相互独立事件同时发生的概率公式，
可得P（AB）＝P（A）P（B）P（）＝××＝.故选B.
2.C 甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5，甲、丙决赛甲获胜的概率是0.3，根据独立事件同时发生的概率等于概率之积，所以甲得冠军且丙得亚军的概率为0.3×0.5×0.3＝0.045.
3.A 根据题意，记“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，“目标被击中”为事件C，则P（C）＝1－P（）P（）＝1－（1－0.6）×（1－0.7）＝0.88.则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为P（A∩B｜C）＝＝＝.故选A.
4.ACD 由于A与B独立，P（A）＝0.4，P（B）＝0.3，所以P（AB）＝P（A）P（B）＝0.4×0.3＝0.12；P（ B）＝（1－0.4）×0.3＝0.18；P（A ）＝0.4×（1－0.3）＝0.28；P（ ）＝（1－0.4）×（1－0.3）＝0.42.故选A、C、D.
5.ABD 由已知P（A）＝×＋×＝，P（B）＝P（C）＝＝，所以P（A）＝P（B）＝P（C），P（A）P（B）P（C）＝，则A、D正确；由已知有P（A∩B）＝，P（A∩C）＝，P（B∩C）＝，所以P（B∩C）＝P（A∩C）＝P（A∩B），则B正确；由于事件A，B，C不相互独立，故P（A∩B∩C）＝，则C错误.综上可知，正确的是A、B、D.
6. 解析：设“这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯”为事件A，则所求概率P（A）＝×＝.
7. 解析：由题意得，
又因为解得
所以P（ B）＝P（）P（B）＝×＝.
8.0.128 解析：依题意得，事件“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”意味着“该选手在回答前面4个问题的过程中，要么第一个问题答对且第二个问题答错，第三、四个问题都答对；要么第一、二个问题都答错，第三、四个问题都答对”，因此所求事件的概率为[0.8×（1－0.8）＋（1－0.8）2]×0.82＝0.128.
9.解：记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝，
电路不发生故障的事件为（A2∪A3）A1，
∴电路不发生故障的概率为P1＝P[（A2∪A3）A1]
＝P（A2∪A3）P（A1）＝[1－P（）P（）]P（A1）
＝×＝.
10.A 法一 设“甲选手进入决赛”为事件A，“高三年级有选手进入决赛”为事件B，则P（B）＝0.7×0.4＋0.4×（1－0.7）＋0.7×（1－0.4）＝0.82，所以P（A｜B）＝＝＝＝.
法二 设“甲选手进入决赛”为事件A，“高三年级有选手进入决赛”为事件B，则P（B）＝1－（1－0.7）×（1－0.4）＝0.82，所以P（A｜B）＝＝＝.
11.BD 因为每次取一球，所以A1，A2，A3是两两互斥的事件，故D正确；因为P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝，所以P（B｜A1）＝＝＝，故B正确；P（B）＝P（B∩A1）＋P（B∩A2）＋P（B∩A3）＝×＋×＋×＝，故A错误；因为P（B｜A1）≠P（B），所以事件B与事件A1不相互独立，故C错误.故选B、D.
12.解：记“第一次取出的2个球都是白球”为事件A，“第二次取出的2个球都是红球”为事件B，“第一次取出的2个球中，1个是白球、1个是红球”为事件C，“第二次取出的2个球都是白球”为事件D，由于每次都是取出后再放回，故A，B，C，D相互独立.
（1）P（AB）＝P（A）P（B）＝×＝×＝.
故第一次取出的2个球都是白球，第二次取出的2个球都是红球的概率是.
（2）P（CD）＝P（C）P（D）＝×＝×＝.
故第一次取出的2个球中，1个是白球、1个是红球，第二次取出的2个球都是白球的概率是.
13.A→E→F→B 解析：路线A→C→D→B途中发生堵车事件的概率P1＝1－××＝，
路线A→E→F→B途中发生堵车事件的概率P2＝1－××＝.
因为＜，
所以应选择路线A→E→F→B.
14.解：记“第i局甲获胜”为事件Ai（i＝3，4，5），“第j局乙获胜”为事件Bj（j＝3，4，5）.
（1）设“再比赛2局结束这次比赛”为事件A，
则A＝A3A4＋B3B4.
由于各局比赛结果相互独立及事件A3A4与B3B4互斥，
故P（A）＝P（A3A4）＋P（B3B4）
＝P（A3）P（A4）＋P（B3）P（B4）
＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.
（2）记“甲获得这次比赛胜利”为事件C，因前两局中，甲、乙各胜1局，故若甲获得这次比赛胜利，只需在后面的比赛中，甲再胜2局，从而C＝A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5.
由于各局比赛结果相互独立及事件A3A4，B3A4A5，A3B4A5两两互斥，
故P（C）＝P（A3A4）＋P（B3A4A5）＋P（A3B4A5）
＝P（A3）P（A4）＋P（B3）P（A4）P（A5）＋P（A3）P（B4）·P（A5）
＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.
2 / 34.1.3 独立性与条件概率的关系
新课程标准解读 核心素养
1.结合古典概型，了解两个事件相互独立的概念 数学抽象
2.掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式 数学抽象、逻辑推理
3.能综合运用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式解决一些简单的实际问题 数学运算
俗话说：三个臭皮匠顶个诸葛亮，在某次智者挑战大赛中，由甲、乙、丙三人组成“臭皮匠”团队，挑战“诸葛亮”.其中甲、乙、丙能答对某题目的概率分别为50%，40%，30%，而“诸葛亮”能答对该题目的概率是80%.比赛规则：各个选手独立答题，不得商量，团队中只要1人答出该题即为挑战成功.
【问题】 该挑战能否成功？
知识点一 相互独立事件的概念与性质
1.定义：事件A是否发生对事件B发生的概率 ，即P（A｜B）＝ ，这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.
2.性质：当事件A，B相互独立时 与 ， 与 ， 与 也相互独立.
3.n个事件相互独立：对于n个事件A1，A2，…，An，如果A1，A2，…，An相互不影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立.
4.独立性与条件概率的关系：当P（B）＞0时，A与B独立的充要条件是P（A｜B）＝P（A）.
提醒 相互独立事件与互斥事件的区别：事件A与事件B互斥是指同一次试验中事件A与事件B不可能同时发生；事件A与事件B相互独立则是指事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响.
知识点二 独立事件的概率公式
1.若事件A，B相互独立，则P（A∩B）＝P（A）·P（B）.
2.若事件A1，A2，…，An相互独立，则P（A1∩A2∩…∩An）＝P（A1）×P（A2）×…×P（An）.
提醒 一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P（A），P（B），那么：①A，B中至少有一个发生为事件A∪B；②A，B都发生为事件AB；③A，B都不发生为事件 ；④A，B恰有一个发生为事件A ∪ B；⑤A，B中至多有一个发生为事件A ∪B∪ .
它们之间的概率关系如下表所示：
A，B互斥 A，B相互独立
P（A∪B） P（A）＋P（B） 1－P（）P（）
P（AB） 0 P（A）P（B）
A，B互斥 A，B相互独立
P（ ） 1－[P（A）＋P（B）] P（）P（）
P（A ∪B） P（A）＋P（B） P（A）P（）＋ P（）P（B）
P（ ∪A ∪ B） 1 1－P（A）P（B）
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）对事件A和B，若P（B｜A）＝P（B），则事件A与B相互独立.（ ）
（2）若事件A，B相互独立，则P（∩）＝P（）P（）.（ ）
（3）如果事件A与事件B相互独立，则P（B｜A）＝P（B）.（ ）
（4）若事件A与B相互独立，则B与相互独立.（ ）
2.甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级的概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为（ ）
A. B.
C. D.
3.制造一种零件，甲机床的正品率是0.96，乙机床的正品率是0.95，从它们制造的产品中各任意抽取一件，则两件都是正品的概率是 .
题型一 相互独立事件的概念
【例1】 判断下列各对事件是不是相互独立事件：
（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
（2）掷一枚质地均匀的骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”.
尝试解答
通性通法
判断两个事件相互独立的方法
（1）直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互影响；
（2）定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件；
（3）条件概率法：当P（B）＞0时，可用P（A｜B）＝P（A）判断.
【跟踪训练】
有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
题型二 相互独立事件与互斥事件的综合问题
【例2】 某课程的考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”，则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9，0.8，0.7，在实验考核中合格的概率分别为0.8，0.7，0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响.
（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
（2）求这三人该课程考核都合格的概率.（结果保留三位小数）
尝试解答
通性通法
解决复杂的概率综合题常用的技巧
（1）理解题意，弄清楚题目的含义是解概率问题最重要的环节，特别要分清概率问题的类型；
（2）审题时应注意关键性词语，如“至少有一个”“至多有一个”“恰有一个”等.在求复杂事件的概率时，应学会对事件等价分解（分解成互斥事件的和）或考虑利用其对立事件，使问题变得更易求解；
（3）在解决互斥事件、对立事件与相互独立事件的综合问题时，一般先求出各互斥事件发生的概率，然后利用概率的加法公式求概率.
【跟踪训练】
甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，甲、乙两人只有一人被选中的概率为，甲、乙两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为，其中乙被选中的概率大于甲被选中的概率，且各自能否被选中互不影响.
（1）求3人同时被选中的概率；
（2）求恰好有2人被选中的概率；
（3）求3人中至少有1人被选中的概率.
题型三 相互独立事件与条件概率的综合问题
【例3】 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落.求飞机被击落的概率.
尝试解答
通性通法
相互独立事件实际应用时的策略
（1）这一类型的问题一直是高考考查的热点题型，一般采取“大化小”的解题策略，即将“大”的概率问题化为“小”的互斥事件概率问题，再将“大”的概率问题化为“小”的相互独立事件的概率问题，一般是P（A＋B）＝P（A）＋P（B），P（A）＝1－P（），P（AB）＝P（A）P（B）这三个公式的联用.注意分清每一个事件是由哪几个样本点构成的，做到不重不漏；
（2）求相互独立事件同时发生的概率的步骤：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件发生的概率，再求其积.
【跟踪训练】
设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球.独立地分别从两只盒子中各取一只球.
（1）求至少有一只蓝球的概率；
（2）求有一只蓝球一只白球的概率；
（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率.
1.下列事件A，B是独立事件的是（ ）
A.一枚硬币掷两次，A表示第一次为正面向上，B表示第二次为反面向上
B.袋中有两个白球和两个黑球，不放回地摸两球，A表示第一次摸到白球，B表示第二次摸到白球
C.掷一枚骰子，A表示出现点数为奇数，B表示出现点数为偶数
D.A表示人能活到20岁，B表示人能活到50岁
2.甲、乙两人独立解同一问题，甲解出这个问题的概率是，乙解出这个问题的概率是，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是（ ）
A. B. C. D.
3.甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，，，那么三人中恰有两人合格的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.已知A与B独立，且P（A）＝，P（B）＝，则P（A）＝ ，P（ ）＝ .
5.已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是，事件B发生的概率是，事件C发生的概率是，求下列事件的概率：
（1）事件A，B，C只发生两个的概率；
（2）事件A，B，C至多发生两个的概率.
4.1.3 独立性与条件概率的关系
【基础知识·重落实】
知识点一
1.没有影响 P（A） 2.A B
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）√ （4）×
2.D 设A表示甲晋级，B表示乙晋级，C表示两人中恰有一人晋级，则P（A）＝，P（B）＝，
所以P（C）＝P（A ）＋P（B）＝P（A）P（）＋P（）P（B）＝×＋×＝.
3.0.912 解析：令A表示甲机床制造的零件是正品，B表示乙机床制造的零件是正品，则可知A，B是相互独立事件，
则P（A）＝0.96，P（B）＝0.95，
∴P（AB）＝P（A）P（B）＝0.96×0.95＝0.912.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件.
（2）记事件A为“出现偶数点”，事件B为“出现3点或6点”，则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，
所以P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝，
所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与事件B相互独立.
跟踪训练
B 事件甲发生的概率P（甲）＝，事件乙发生的概率P（乙）＝，事件丙发生的概率P（丙）＝＝，事件丁发生的概率P（丁）＝＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P（甲丙）≠P（甲）P（丙），故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，P（甲丁）＝P（甲）P（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，P（乙丙）≠P（乙）P（丙），故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B.
【例2】 解：记“甲理论考核合格”为事件A1，“乙理论考核合格”为事件A2，“丙理论考核合格”为事件A3，记事件为事件Ai的对立事件，i＝1，2，3.
记“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3.
（1）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，为事件C的对立事件.
法一 P（C）＝P（A1A2）＋P（A1A3）＋P（A2A3）＋P（A1A2A3）＝0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.7＝0.902.
法二 P（C）＝1－P（）＝1－[P（）＋P（A1）＋P（A2）＋P（A3）]
＝1－（0.1×0.2×0.3＋0.9×0.2×0.3＋0.1×0.8×0.3＋0.1×0.2×0.7）＝1－0.098＝0.902.
所以理论考核中至少有两人合格的概率为0.902.
（2）记“三人该课程考核都合格”为事件D，
P（D）＝P[（A1B1）·（A2B2）·（A3B3）]
＝P（A1B1）·P（A2B2）·P（A3B3）
＝P（A1）·P（B1）·P（A2）·P（B2）·P（A3）·P（B3）
＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9＝0.254 016≈0.254.
所以这三人该课程考核都合格的概率约为0.254.
跟踪训练
解：设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P（A）（1－P（B））＋P（B）（1－P（A））＝，P（A）P（B）＝，且P（B）＞P（A），
∴P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝.
（1）3人同时被选中的概率P1＝P（A∩B∩C）＝P（A）P（B）P（C）＝××＝.
（2）恰有2人被选中的概率P2＝P（A∩B∩）＋P（A∩∩C）＋P（∩B∩C）＝.
（3）3人中至少有1人被选中的概率P3＝1－P（∩∩）＝1－××＝.
【例3】 解：用Hi表示飞机被i人击中，i＝1，2，3，用B1，B2，B3分别表示甲、乙、丙击中飞机，用A表示飞机被击落.
∵H1＝B1＋B2＋B3，三种情况互斥，
H2＝B1B2＋B1B3＋B2B3，三种情况互斥，
H3＝B1B2B3.
又∵B1，B2，B3相互独立，
∴P（H1）＝P（B1）P（）P（）＋P（）P（B2）P（）＋P（）·P（）P（B3）＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，
P（H2）＝P（B1）P（B2）P（）＋P（B1）P（）P（B3）＋P（）·P（B2）P（B3）＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41，
P（H3）＝P（B1）P（B2）P（B3）＝0.4×0.5×0.7＝0.14.
又∵A＝H1A＋H2A＋H3A，H1A，H2A，H3A三种情况互斥，
故由全概率公式，有
P（A）＝P（H1）P（A｜H1）＋P（H2）P（A｜H2）＋P（H3）·P（A｜H3）＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458.
跟踪训练
解：记A1，A2，A3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B1，B2，B3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球.
（1）记C表示至少有一只蓝球，
C＝A1B1＋A1B2＋A1B3＋A2B1＋A3B1，5种情况互斥，
由互斥事件的概率加法公式，得
P（C）＝P（A1B1）＋P（A1B2）＋P（A1B3）＋P（A2B1）＋P（A3B1）＝P（A1）P（B1）＋P（A1）P（B2）＋P（A1）·P（B3）＋P（A2）P（B1）＋P（A3）P（B1）＝×＋×＋×＋×＋×＝.
（2）记D表示有一只蓝球一只白球，
则D＝A1B3＋A3B1两种情况互斥，
P（D）＝P（A1B3）＋P（A3B1）＝P（A1）P（B3）＋P（A3）P（B1）＝×＋×＝，
（3）P（D｜C）＝＝＝（注意到CD＝D）.
随堂检测
1.A 对于A选项，A，B两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件；对于B选项，A事件发生时，影响到B事件，故不是相互独立事件；对于C选项，由于掷的是一枚骰子，A，B是对立事件，所以不是相互独立事件；对于D选项，能活到20岁的，可能也能活到50岁，故A，B不是相互独立事件.故选A.
2.D 设“甲解出这个问题”为事件A，“乙解出这个问题”为事件B.由题意知，P（A）＝，P（B）＝，“至少有1人解出这个问题”的对立事件为“两人都没解出这个问题”，所以至少有1人解出这个问题的概率P＝1－P（）·P（）＝1－×＝.
3.B 三人中恰有两人合格包括三种情况，这三种情况是互斥的，∴三人中恰有两人合格的概率P＝××＋××＋××＝，故选B.
4. 解析：因为A与B独立，所以A与，与也独立.
所以P（A）＝P（A）P（）＝P（A）（1－P（B））＝×＝，
P（ ）＝P（）P（）＝（1－P（A））（1－P（B））＝×＝.
5.解：（1）记“事件A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括三种彼此互斥的情况：AB，AC，BC，由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得P（A1）＝P（AB）＋P（AC）＋P（BC）＝＋＋＝，∴事件A，B，C只发生两个的概率为.
（2）记“事件A，B，C至多发生两个”为A2，则包括彼此互斥的三种情况：事件A，B，C一个也不发生，记为A3，事件A，B，C只发生一个，记为A4，事件A，B，C只发生两个，记为A5，
故P（A2）＝P（A3）＋P（A4）＋P（A5）＝＋＋＝.
∴事件A，B，C至多发生两个的概率为.
3 / 4(共73张PPT)
4.1.3
独立性与条件概率的关系
新课程标准解读 核心素养
1.结合古典概型，了解两个事件相互独立的概念 数学抽象
2.掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式 数学抽象、
逻辑推理
3.能综合运用互斥事件的概率加法公式与相互独立事
件的概率乘法公式解决一些简单的实际问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
俗话说：三个臭皮匠顶个诸葛亮，在某次智者挑战大赛中，由
甲、乙、丙三人组成“臭皮匠”团队，挑战“诸葛亮”.其中甲、
乙、丙能答对某题目的概率分别为50%，40%，30%，而“诸葛亮”
能答对该题目的概率是80%.比赛规则：各个选手独立答题，不得商
量，团队中只要1人答出该题即为挑战成功.
【问题】 该挑战能否成功？
知识点一 相互独立事件的概念与性质
1. 定义：事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率 ，即 P
（ A ｜ B ）＝ ，这时，我们称两个事件 A ， B 相互独
立，并把这两个事件叫做相互独立事件.
2. 性质：当事件 A ， B 相互独立时 与 ，
与 ， 与 也相互独立.
没有影响
P （ A ）
A
B
4. 独立性与条件概率的关系：当 P （ B ）＞0时， A 与 B 独立的充要条
件是 P （ A ｜ B ）＝ P （ A ）.
3. n 个事件相互独立：对于 n 个事件 A1， A2，…， An ，如果 A1，
A2，…， An 相互不影响，则称 n 个事件 A1， A2，…， An 相互独立.
提醒 相互独立事件与互斥事件的区别：事件 A 与事件 B 互斥是指同
一次试验中事件 A 与事件 B 不可能同时发生；事件 A 与事件 B 相互独
立则是指事件 A （或 B ）是否发生对事件 B （或 A ）发生的概率没有
影响.
知识点二 独立事件的概率公式
1. 若事件 A ， B 相互独立，则 P （ A ∩ B ）＝ P （ A ）· P （ B ）.
2. 若事件 A1， A2，…， An 相互独立，则 P （ A1∩ A2∩…∩ An ）＝ P
（ A1）× P （ A2）×…× P （ An ）.
提醒 一般地，已知两个事件 A ， B ，它们的概率分别为 P （ A ）， P
（ B ），那么：① A ， B 中至少有一个发生为事件 A ∪ B ；② A ， B 都
发生为事件 AB ；③ A ， B 都不发生为事件 ；④ A ， B 恰有一个发
生为事件 A ∪ B ；⑤ A ， B 中至多有一个发生为事件 A ∪ B ∪
.
它们之间的概率关系如下表所示：
A ， B 互斥 A ， B 相互独立
P （ A ∪ B ） P （ A ）＋ P （ B ） 1－ P （ ） P （ ）
P （ AB ） 0 P （ A ） P （ B ）
P （ ） 1－[ P （ A ）＋ P （ B ）] P （ ） P （ ）
P （ A ∪
B ） P （ A ）＋ P （ B ） P （ A ） P （ ）＋
P （ ） P （ B ）
P （ ∪ A ∪ B ） 1 1－ P （ A ） P （ B ）
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）对事件 A 和 B ，若 P （ B ｜ A ）＝ P （ B ），则事件 A 与 B 相
互独立. （ √ ）
（2）若事件 A ， B 相互独立，则 P （ ∩ ）＝ P （ ）· P
（ ）. （ √ ）
（3）如果事件 A 与事件 B 相互独立，则 P （ B ｜ A ）＝ P （ B ）.
（ √ ）
（4）若事件 A 与 B 相互独立，则 B 与 相互独立. （ × ）
√
√
√
×
2. 甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级的概率分别为 和 ，且两人是否
晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 设 A 表示甲晋级， B 表示乙晋级， C 表示两人中恰有一
人晋级，则 P （ A ）＝ ， P （ B ）＝ ，
所以 P （ C ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）＝ P （ A ） P （ ）＋ P
（ ） P （ B ）＝ × ＋ × ＝ .
3. 制造一种零件，甲机床的正品率是0.96，乙机床的正品率是0.95，
从它们制造的产品中各任意抽取一件，则两件都是正品的概率
是 .
解析：令 A 表示甲机床制造的零件是正品， B 表示乙机床制造的零
件是正品，则可知 A ， B 是相互独立事件，
则 P （ A ）＝0.96， P （ B ）＝0.95，
∴ P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ）＝0.96×0.95＝0.912.
0.912
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 相互独立事件的概念
【例1】 判断下列各对事件是不是相互独立事件：
（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙
两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”
与“从乙组中选出1名女生”；
解： “从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对
“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以
它们是相互独立事件.
（2）掷一枚质地均匀的骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6
点”.
解： 记事件 A 为“出现偶数点”，事件 B 为“出现3点
或6点”，则 A ＝{2，4，6}， B ＝{3，6}， AB ＝{6}，
所以 P （ A ）＝ ＝ ， P （ B ）＝ ＝ ， P （ AB ）＝ ，
所以 P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ），所以事件 A 与事件 B 相
互独立.
通性通法
判断两个事件相互独立的方法
（1）直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件发生是否相互
影响；
（2）定义法：如果事件 A ， B 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率
与事件 B 发生的概率的积，则事件 A ， B 为相互独立事件；
（3）条件概率法：当 P （ B ）＞0时，可用 P （ A ｜ B ）＝ P
（ A ）判断.
【跟踪训练】
有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地
随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是
1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次
取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和
是7”，则（ ）
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
解析： 事件甲发生的概率 P （甲）＝ ，事件乙发生的概率 P
（乙）＝ ，事件丙发生的概率 P （丙）＝ ＝ ，事件丁发生的概
率 P （丁）＝ ＝ .事件甲与事件丙同时发生的概率为0， P （甲
丙）≠ P （甲） P （丙），故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概
率为 ＝ ， P （甲丁）＝ P （甲） P （丁），故B正确；事件乙与
事件丙同时发生的概率为 ＝ ， P （乙丙）≠ P （乙） P （丙），
故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错
误.故选B.
题型二 相互独立事件与互斥事件的综合问题
【例2】 某课程的考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩
只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”，则该课程考核
“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9，
0.8，0.7，在实验考核中合格的概率分别为0.8，0.7，0.9.所有考核
是否合格相互之间没有影响.
（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
解：记“甲理论考核合格”为事件 A1，“乙理论考核合格”为
事件 A2，“丙理论考核合格”为事件 A3，记事件 为事件 Ai 的
对立事件， i ＝1，2，3.
记“甲实验考核合格”为事件 B1，“乙实验考核合格”为事件
B2，“丙实验考核合格”为事件 B3.
（1）记“理论考核中至少有两人合格”为事件 C ， 为事件 C
的对立事件.
法一 P （ C ）＝ P （ A1 A2 ）＋ P （ A1 A3）＋ P （ A2 A3）＋ P
（ A1 A2 A3）
＝0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.7
＝0.902.
法二 P （ C ）＝1－ P （ ）＝1－[ P （ ）＋ P （ A1 ）
＋ P （ A2 ）＋ P （ A3）]
＝1－（0.1×0.2×0.3＋0.9×0.2×0.3＋0.1×0.8×0.3＋
0.1×0.2×0.7）＝1－0.098＝0.902.
所以理论考核中至少有两人合格的概率为0.902.
（2）求这三人该课程考核都合格的概率.（结果保留三位小数）
解：记“三人该课程考核都合格”为事件 D ，
P （ D ）＝ P [（ A1 B1）·（ A2 B2）·（ A3 B3）]
＝ P （ A1 B1）· P （ A2 B2）· P （ A3 B3）
＝ P （ A1）· P （ B1）· P （ A2）· P （ B2）· P （ A3）· P （ B3）
＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9＝0.254 016≈0.254.
所以这三人该课程考核都合格的概率约为0.254.
通性通法
解决复杂的概率综合题常用的技巧
（1）理解题意，弄清楚题目的含义是解概率问题最重要的环节，特
别要分清概率问题的类型；
（2）审题时应注意关键性词语，如“至少有一个”“至多有一
个”“恰有一个”等.在求复杂事件的概率时，应学会对事件等
价分解（分解成互斥事件的和）或考虑利用其对立事件，使问
题变得更易求解；
（3）在解决互斥事件、对立事件与相互独立事件的综合问题时，一
般先求出各互斥事件发生的概率，然后利用概率的加法公式求
概率.
【跟踪训练】
甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，甲、乙两人
只有一人被选中的概率为 ，甲、乙两人都被选中的概率为 ，丙被
选中的概率为 ，其中乙被选中的概率大于甲被选中的概率，且各自
能否被选中互不影响.
（1）求3人同时被选中的概率；
(1)3人同时被选中的概率 P1＝ P （ A ∩ B ∩ C ）＝
P （ A ） P （ B ） P （ C ）＝ × × ＝ .
解：设甲、乙、丙能被选中的事件分别为 A ， B ， C ，则 P
（ A ）（1－ P （ B ））＋ P （ B ）（1－ P （ A ））＝ ， P
（ A ） P （ B ）＝ ，且 P （ B ）＞ P （ A ），
∴ P （ A ）＝ ， P （ B ）＝ ， P （ C ）＝ .
（2）求恰好有2人被选中的概率；
解：恰有2人被选中的概率 P2＝ P （ A ∩ B ∩ ）＋ P （ A ∩
∩ C ）＋ P （ ∩ B ∩ C ）＝ .
（3）求3人中至少有1人被选中的概率.
解： 3人中至少有1人被选中的概率
P3＝1－ P （ ∩ ∩ ）＝1－ × × ＝ .
题型三 相互独立事件与条件概率的综合问题
【例3】 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分
别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人
击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落.求飞机
被击落的概率.
解：用 Hi 表示飞机被 i 人击中， i ＝1，2，3，用 B1， B2， B3分别表示
甲、乙、丙击中飞机，用 A 表示飞机被击落.
∵ H1＝ B1 ＋ B2 ＋ B3，三种情况互斥，
H2＝ B1 B2 ＋ B1 B3＋ B2 B3，三种情况互斥，
H3＝ B1 B2 B3.
又∵ B1， B2， B3相互独立，
∴ P （ H1）＝ P （ B1） P （ ） P （ ）＋ P （ ）· P （ B2） P
（ ）＋ P （ ） P （ ） P （ B3）＝0.4×0.5×0.3＋
0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，
P （ H2）＝ P （ B1） P （ B2） P （ ）＋ P （ B1） P （ ）· P
（ B3）＋ P （ ） P （ B2） P （ B3）＝0.4×0.5×0.3＋
0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41，
P （ H3）＝ P （ B1） P （ B2） P （ B3）＝0.4×0.5×0.7＝0.14.
又∵ A ＝ H1 A ＋ H2 A ＋ H3 A ， H1 A ， H2 A ， H3 A 三种情况互斥，
故由全概率公式，有
P （ A ）＝ P （ H1） P （ A ｜ H1）＋ P （ H2） P （ A ｜ H2）＋ P
（ H3） P （ A ｜ H3）＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458.
通性通法
相互独立事件实际应用时的策略
（1）这一类型的问题一直是高考考查的热点题型，一般采取“大化
小”的解题策略，即将“大”的概率问题化为“小”的互斥事
件概率问题，再将“大”的概率问题化为“小”的相互独立事
件的概率问题，一般是 P （ A ＋ B ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）， P
（ A ）＝1－ P （ ）， P （ AB ）＝ P （ A ）· P （ B ）这三个公
式的联用.注意分清每一个事件是由哪几个样本点构成的，做到
不重不漏；
（2）求相互独立事件同时发生的概率的步骤：①首先确定各事件之
间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个
事件发生的概率，再求其积.
【跟踪训练】
设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2
只蓝球，3只绿球，4只白球.独立地分别从两只盒子中各取一只球.
解：记 A1， A2， A3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、
绿球、白球， B1， B2， B3分别表示是从第二只盒子中取到一只
蓝球、绿球、白球.
（1）求至少有一只蓝球的概率；
解：记 C 表示至少有一只蓝球，
C ＝ A1 B1＋ A1 B2＋ A1 B3＋ A2 B1＋ A3 B1，5种情况互斥，
由互斥事件的概率加法公式，得
P （ C ）＝ P （ A1 B1）＋ P （ A1 B2）＋ P （ A1 B3）＋ P （ A2 B1）
＋ P （ A3 B1）＝ P （ A1） P （ B1）＋ P （ A1）· P （ B2）＋ P
（ A1） P （ B3）＋ P （ A2） P （ B1）＋ P （ A3）· P （ B1）＝ ×
＋ × ＋ × ＋ × ＋ × ＝ .
（2）求有一只蓝球一只白球的概率；
解：记 D 表示有一只蓝球一只白球，则 D ＝ A1 B3＋ A3 B1两种情
况互斥，
P （ D ）＝ P （ A1 B3）＋ P （ A3 B1）＝ P （ A1） P （ B3）＋ P
（ A3）· P （ B1）＝ × ＋ × ＝ ，
（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率.
解： P （ D ｜ C ）＝ ＝ ＝ （注意到 CD ＝D ）.
1. 下列事件 A ， B 是独立事件的是（ ）
A. 一枚硬币掷两次， A 表示第一次为正面向上， B 表示第二次为反面向上
B. 袋中有两个白球和两个黑球，不放回地摸两球， A 表示第一次摸到白球， B 表示第二次摸到白球
C. 掷一枚骰子， A 表示出现点数为奇数， B 表示出现点数为偶数
D. A 表示人能活到20岁， B 表示人能活到50岁
解析： 对于A选项， A ， B 两个事件发生，没有关系，故是相
互独立事件；对于B选项， A 事件发生时，影响到 B 事件，故不是
相互独立事件；对于C选项，由于掷的是一枚骰子， A ， B 是对立
事件，所以不是相互独立事件；对于D选项，能活到20岁的，可能
也能活到50岁，故 A ， B 不是相互独立事件.故选A.
2. 甲、乙两人独立解同一问题，甲解出这个问题的概率是 ，乙解出
这个问题的概率是 ，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是
（ ）
A. B. C. D.
解析： 设“甲解出这个问题”为事件 A ，“乙解出这个问题”
为事件 B . 由题意知， P （ A ）＝ ， P （ B ）＝ ，“至少有1人解
出这个问题”的对立事件为“两人都没解出这个问题”，所以至少
有1人解出这个问题的概率 P ＝1－ P （ ） P （ ）＝1－
× ＝ .
3. 甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为 ， ， ，
那么三人中恰有两人合格的概率是（ ）
A. B. C. D.
解析： 三人中恰有两人合格包括三种情况，这三种情况是互斥
的，∴三人中恰有两人合格的概率 P ＝ × × ＋ × × ＋ ×
× ＝ ，故选B.
4. 已知 A 与 B 独立，且 P （ A ）＝ ， P （ B ）＝ ，则 P （ A ）＝
， P （ ）＝ .
解析：因为 A 与 B 独立，所以 A 与 ， 与 也独立.
所以 P （ A ）＝ P （ A ） P （ ）＝ P （ A ）（1－ P （ B ））＝
× ＝ ，
P （ ）＝ P （ ） P （ ）＝（1－ P （ A ））（1－ P （ B ））
＝ × ＝ .
5. 已知 A ， B ， C 为三个独立事件，若事件 A 发生的概率是 ，事件 B
发生的概率是 ，事件 C 发生的概率是 ，求下列事件的概率：
（1）事件 A ， B ， C 只发生两个的概率；
解： 记“事件 A ， B ， C 只发生两个”为 A1，则事件 A1
包括三种彼此互斥的情况： AB ， A C ， BC ，由互斥事
件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得 P
（ A1）＝ P （ AB ）＋ P （ A C ）＋ P （ BC ）＝ ＋ ＋
＝ ，∴事件 A ， B ， C 只发生两个的概率为 .
（2）事件 A ， B ， C 至多发生两个的概率.
解： 记“事件 A ， B ， C 至多发生两个”为 A2，则包括
彼此互斥的三种情况：事件 A ， B ， C 一个也不发生，记为
A3，事件 A ， B ， C 只发生一个，记为 A4，事件 A ， B ， C 只
发生两个，记为 A5，
故 P （ A2）＝ P （ A3）＋ P （ A4）＋ P （ A5）＝ ＋ ＋
＝ .
∴事件 A ， B ， C 至多发生两个的概率为 .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在某次人才招聘会上，假定某毕业生赢得甲公司面试机会的概率为
，赢得乙、丙两公司面试机会的概率均为 ，且三个公司是否让
其面试互不影响，则该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会的概
率为（ ）
A. B. C. D.
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解析： 记事件 A 为“该毕业生赢得甲公司的面试机会”，事件
B 为“该毕业生赢得乙公司的面试机会”，事件 C 为“该毕业生赢
得丙公司的面试机会”.由题意可得 P （ A ）＝ ， P （ B ）＝ P
（ C ）＝ ，则“该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会”为事
件 AB ，由相互独立事件同时发生的概率公式，可得 P （ AB ）
＝ P （ A ） P （ B ） P （ ）＝ × × ＝ .故选B.
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2. 甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一
组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军，败者为亚
军.4个人相互比赛的胜率如表所示，表中的数字表示所在行选手击
败其所在列选手的概率.那么甲得冠军且丙得亚军的概率是
（ ）
甲 乙 丙 丁
甲 — 0.3 0.3 0.8
乙 0.7 — 0.6 0.4
丙 0.7 0.4 — 0.5
丁 0.2 0.6 0.5 —
A. 0.15 B. 0.105 C. 0.045 D. 0.21
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解析： 甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3，丙、丁比赛丙获胜的
概率是0.5，甲、丙决赛甲获胜的概率是0.3，根据独立事件同时发
生的概率等于概率之积，所以甲得冠军且丙得亚军的概率为
0.3×0.5×0.3＝0.045.
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3. 记甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和
0.7，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为
（ ）
A. B. C. D.
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解析： 根据题意，记“甲击中目标”为事件 A ，“乙击中目
标”为事件 B ，“目标被击中”为事件 C ，则 P （ C ）＝1－ P
（ ） P （ ）＝1－（1－0.6）×（1－0.7）＝0.88.则在目标被
击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为 P （ A ∩ B ｜ C ）＝
＝ ＝ .故选A.
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4. （多选）已知 A 与 B 独立， P （ A ）＝0.4， P （ B ）＝0.3，给出
下列四个式子中正确的是（ ）
A. P （ AB ）＝0.12 B. P （ B ）＝0.28
C. P （ A ）＝0.28 D. P （ ）＝0.42
解析： 由于 A 与 B 独立， P （ A ）＝0.4， P （ B ）＝
0.3，所以 P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ）＝0.4×0.3＝0.12；
P （ B ）＝（1－0.4）×0.3＝0.18； P （ A ）＝0.4×（1
－0.3）＝0.28； P （ ）＝（1－0.4）×（1－0.3）＝
0.42.故选A、C、D.
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5. （多选）甲、乙为两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是
正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别
标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次.记事件 A 为
“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件 B 为“甲四面体
朝下一面的数字为奇数”，事件 C 为“乙四面体朝下一面的数字为
偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A. P （ A ）＝ P （ B ）＝ P （C ）
B. P （ B ∩ C ）＝ P （ A ∩ C ）＝ P （ A ∩ B ）
C. P （ A ∩ B ∩ C ）＝
D. P （ A ） P （ B ） P （ C ）＝
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解析： 由已知 P （ A ）＝ × ＋ × ＝ ， P （ B ）＝ P
（ C ）＝ ＝ ，所以 P （ A ）＝ P （ B ）＝ P （ C ）， P （ A ） P
（ B ） P （ C ）＝ ，则A、D正确；由已知有 P （ A ∩ B ）＝ ， P
（ A ∩ C ）＝ ， P （ B ∩ C ）＝ ，所以 P （ B ∩ C ）＝ P （ A ∩
C ）＝ P （ A ∩ B ），则B正确；由于事件 A ， B ， C 不相互独立，
故 P （ A ∩ B ∩ C ）＝ ，则C错误.综上可知，正确的是A、B、D.
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6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯
是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，则这名学生在上学路上到
第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 .
解析：设“这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯”
为事件 A ，则所求概率 P （ A ）＝ × ＝ .
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解析：由题意得，
又因为解得
所以 P （ B ）＝ P （ ） P （ B ）＝ × ＝ .
7. 事件 A ， B ， C 相互独立，如果 P （ AB ）＝ ， P （ C ）＝ ， P
（ AB ）＝ ，则 P （ B ）＝ ， P （ B ）＝ .
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8. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连
续正确回答出两个问题，则停止答题，晋级下一轮.假设某选手正
确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独
立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率
为 .
0.128
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解析：依题意得，事件“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一
轮”意味着“该选手在回答前面4个问题的过程中，要么第一个问
题答对且第二个问题答错，第三、四个问题都答对；要么第一、二
个问题都答错，第三、四个问题都答对”，因此所求事件的概率为
[0.8×（1－0.8）＋（1－0.8）2]×0.82＝0.128.
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9. 三个元件 T1， T2， T3正常工作的概率分别为 ， ， ，将它们中某
两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路.在如图所示的电路
中，求电路不发生故障的概率是多少？
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解：记“三个元件 T1， T2， T3正常工作”分别为事件 A1， A2，
A3，则 P （ A1）＝ ， P （ A2）＝ ， P （ A3）＝ ，
电路不发生故障的事件为（ A2∪ A3） A1，
∴电路不发生故障的概率为 P1＝ P [（ A2∪ A3） A1]
＝ P （ A2∪ A3） P （ A1）＝[1－ P （ ） P （ ）] P （ A1）
＝ × ＝ .
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10. 在某学校举行的“乒乓球体育之星”选拔赛的半决赛中，高三年
级的甲、乙两名选手分别对阵高二年级的两名选手，胜者进入决
赛，已知甲战胜对手的概率是0.7，乙战胜对手的概率是0.4，现
已知高三年级有选手进入决赛，则甲进入决赛的概率为（ ）
A. B. C. D.
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解析： 法一 设“甲选手进入决赛”为事件 A ，“高三年级
有选手进入决赛”为事件 B ，则 P （ B ）＝0.7×0.4＋0.4×（1
－0.7）＋0.7×（1－0.4）＝0.82，所以 P （ A ｜ B ）＝
＝ ＝ ＝ .
法二 设“甲选手进入决赛”为事件 A ，“高三年级有选手进入决
赛”为事件 B ，则 P （ B ）＝1－（1－0.7）×（1－0.4）＝0.82，所
以 P （ A ｜ B ）＝ ＝ ＝ .
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11. （多选）甲箱中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红
球、3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分
别以 A1， A2， A3表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事
件；再从乙箱中随机取出一球，以 B 表示由乙箱中取出的球是红
球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A. P （ B ）＝
B. P （ B ｜ A1）＝
C. 事件 B 与事件 A1相互独立
D. 事件 A1， A2， A3两两互斥
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解析： 因为每次取一球，所以 A1， A2， A3是两两互斥的事
件，故D正确；因为 P （ A1）＝ ， P （ A2）＝ ， P （ A3）＝
，所以 P （ B ｜ A1）＝ ＝ ＝ ，故B正确； P
（ B ）＝ P （ B ∩ A1）＋ P （ B ∩ A2）＋ P （ B ∩ A3）＝ × ＋
× ＋ × ＝ ，故A错误；因为 P （ B ｜ A1）≠ P （ B ），
所以事件 B 与事件 A1不相互独立，故C错误.故选B、D.
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12. 一个袋子中有3个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.每次
从中任取2个球，取出后再放回，求：
（1）第一次取出的2个球都是白球，第二次取出的2个球都是红球
的概率；
解：记“第一次取出的2个球都是白球”为事件 A ，“第二
次取出的2个球都是红球”为事件 B ，“第一次取出的2个球
中，1个是白球、1个是红球”为事件 C ，“第二次取出的2
个球都是白球”为事件 D ，由于每次都是取出后再放回，故
A ， B ， C ， D 相互独立.
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（1） P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ）＝ × ＝ × ＝
.
故第一次取出的2个球都是白球，第二次取出的2个球都是红
球的概率是 .
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（2）第一次取出的2个球中，1个是白球、1个是红球，第二次取
出的2个球都是白球的概率.
解： P （ CD ）＝ P （ C ） P （ D ）＝ × ＝ ×
＝ .
故第一次取出的2个球中，1个是白球、1个是红球，第二次
取出的2个球都是白球的概率是 .
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13. 某快递公司送货员从公司 A 处准备开车送货到某单位
B 处，有 A → C → D → B ， A → E → F → B 两条路线.
若该地各路段发生堵车与否互不影响，且各路段发生
堵车事件的概率如图所示（例如 A → C → D 算作两个
路段，路段 AC 发生堵车事件的概率为 ，路段 CD 发
生堵车事件的概率为 ）.若使途中发生堵车事件的概率较
小，则由 A 到 B 应选择的路线是 .
A → E → F → B
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解析：路线 A → C → D → B 途中发生堵车事件的概率 P1＝1－
× × ＝ ，
路线 A → E → F → B 途中发生堵车事件的概率
P2＝1－ × × ＝ .
因为 ＜ ，
所以应选择路线 A → E → F → B .
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14. 甲、乙两人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜
利.假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各
局比赛结果互不影响.已知前2局中，甲、乙各胜1局.
（1）求再比赛2局结束这次比赛的概率；
解：记“第 i 局甲获胜”为事件 Ai （ i ＝3，4，5），“第 j
局乙获胜”为事件 Bj （ j ＝3，4，5）.
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（1）设“再比赛2局结束这次比赛”为事件 A ，
则 A ＝ A3 A4＋ B3 B4.
由于各局比赛结果相互独立及事件 A3 A4与 B3 B4互斥，故 P
（ A ）＝ P （ A3 A4）＋ P （ B3 B4）
＝ P （ A3） P （ A4）＋ P （ B3） P （ B4）
＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.
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解：记“甲获得这次比赛胜利”为事件 C ，因前两局中，
甲、乙各胜1局，故若甲获得这次比赛胜利，只需在后面的
比赛中，甲再胜2局，从而 C ＝ A3 A4＋ B3 A4 A5＋ A3 B4 A5.
由于各局比赛结果相互独立及事件 A3 A4， B3 A4 A5， A3 B4 A5
两两互斥，
故 P （ C ）＝ P （ A3 A4）＋ P （ B3 A4 A5）＋ P （ A3 B4 A5）
＝ P （ A3） P （ A4）＋ P （ B3） P （ A4） P （ A5）＋ P
（ A3）· P （ B4） P （ A5）
＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.
（2）求甲获得这次比赛胜利的概率.
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谢 谢 观 看！
