4.2.1 随机变量及其与事件的联系
1.先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，那么不能作为随机变量的是（ ）
A.出现7点的次数
B.出现偶数点的次数
C.出现2点的次数
D.出现的点数大于2小于6的次数
2.（多选）下列X是离散型随机变量的是（ ）
A.某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为X
B.某网站中某歌曲一天内被点击的次数为X
C.一天内的温度为X
D.射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分
3.抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则X的所有可能取值为（ ）
A.0≤X≤5，X∈N
B.－5≤X≤0，X∈Z
C.1≤X≤6，X∈N
D.－5≤X≤5，X∈Z
4.袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为（ ）
A.1，2，…，5 B.1，2，…，6
C.1，2，…，7 D.1，2，…，11
5.袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码.任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X所有可能取值的个数是（ ）
A.25 B.10 C.7 D.6
6.下列变量是离散型随机变量的是 （填序号）.
①某无线寻呼台1 min内接到的寻呼次数X；②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；③将一个质地均匀的骰子连掷3次，3次出现的点数之和X；④某工厂生产的某钢管外径与规定的外径尺寸之差X；⑤抛掷一颗六个面都是六个点的均匀骰子，所得的点数X；⑥某人上班路上所用的时间X（单位：min）.
7.A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，观察3个试验组，用X表示这3个试验组中甲类组的个数，则X的可能取值为 .
8.一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝5表示的试验结果有 种，ξ＝8表示的试验结果有 种.
9.盒中有9个正品零件和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ.
（1）写出ξ的所有可能取值；
（2）写出ξ＝1所表示的事件.
10.袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为（ ）
A.X＝4 B.X＝5
C.X＝6 D.X≤4
11.甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用7局4胜制.用ξ表示需要比赛的局数，则“ξ＝6”表示的比赛过程有 种.
12.写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：
（1）某射击运动员射击一次命中的环数Z，随机变量Z的所有取值；
（2）设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数.
13.从100个电子元件（至少含3个次品）中随机抽取三个进行检验，变量Z表示三个元件中的次品个数，如果用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，则P（Z≥2）＝ .
14.某城市出租车的起步价为10元，行驶路程不超出4 km，则按10元的标准收费.若行驶路程超出4 km，则按每超出1 km加收2元收费（超出不足1 km的部分按1 km计）.从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程（这个城市规定，每停车5分钟按1 km路程计费），这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的车费η也是一个随机变量.
（1）求车费η关于行车路程ξ的关系式；
（2）已知某旅客实付车费38元，而出租车实际行驶了15 km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟.
4.2.1 随机变量及其与事件的联系
1.A ∵抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件，∴出现7点的次数不能作为随机变量.
2.ABD 选项A、B、D中的X都满足离散型随机变量的特征；一天内的温度X变化的范围是连续的，无法逐一列出，它不是离散型随机变量，故选A、B、D.
3.D X的所有可能取值为－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，即－5≤X≤5，X∈Z.
4.C 除白球外，还有6个红球，因此取到白球时，取球次数最少为1次，最多为7次.
5.C X的所有可能取值为3，4，5，6，7，8，9，共7个.
6.①②③ 解析：判断一个变量是不是离散型随机变量，主要是看变量的所有可能结果是不是确定的，并且变量的取值能否一一列举出来.④中X的取值为某一范围内的实数，无法一一列出，不是离散型随机变量；⑤中的X为常数6，唯一确定，不是随机变量；⑥中变量X的取值也是某一范围内的实数，无法一一列举出来，不是离散型随机变量.故填①②③.
7.0，1，2，3 解析：根据甲类组的要求，可能取值是0，1，2，3.
8.6 21 解析：从8个球中选出3个球，其中一个号码为5，另两个球是1，2，3，4中的两个，共有＝6种，若一个的号码为8，则另两个球是从编号为1，2，3，4，5，6，7中任取两个，共有＝21种.
9.解：（1）ξ可能的取值为0，1，2，3.
（2）ξ＝1表示的事件为第一次取得次品，第二次取得正品.
10.C 第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球，…共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.
11.20 解析：“ξ＝6”表示甲队员或乙队员前5局中胜3局，且第6局一定获胜，所以“ξ＝6”表示的比赛过程有＝20（种）.
12.解：（1）随机变量Z的可能取值为0，1，2，…，10.
表示射击一次命中0环，1环，2环，…，10环.
（2）Y的取值范围是{0，1，2，3，4，5}，
Y＝0表示在遇到第1盏信号灯时首次停下；
Y＝1表示在遇到第2盏信号灯时首次停下；
Y＝2表示在遇到第3盏信号灯时首次停下；
Y＝3表示在遇到第4盏信号灯时首次停下；
Y＝4表示在遇到第5盏信号灯时首次停下；
Y＝5表示在途中没有停下，直达目的地.
13. 解析：根据题意，该随机试验的样本空间Ω＝{000，001，010，011，100，101，110，111}，则Z的取值范围是{0，1，2，3}.
所以P（Z≥2）＝P（Z＝2）＋P（Z＝3）＝＋＝.
14.解：（1）依题意知η＝2（ξ－4）＋10，即η＝2ξ＋2.
（2）由38＝2ξ＋2，得ξ＝18，5×（18－15）＝15.
所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟.
2 / 24.2.1 随机变量及其与事件的联系
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例了解随机变量、离散型随机变量的概念 数学抽象
2.理解随机变量所表示的试验结果的含义，能在具体问题中恰当地定义随机变量，理解两个随机变量之间的关系 数学抽象、逻辑推理
在奥运射击运动中，运动员射击一次，可能出现命中0环，命中1环，……，命中10环等结果，若用X来表示他一次射击所命中的环数，则X即为随机变量.
【问题】 上述情景中，随机变量X的取值情况如何？
知识点一 随机变量的概念
1.一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都有唯一确定的 与之对应，就称X为一个随机变量.随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示.随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的 .
2.所有取值 的随机变量，称为离散型随机变量.与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，一般来说，连续型随机变量可以在某个实数范围内连续取值.
提醒 （1）对随机变量的再理解：①随机变量是用来表示不同试验结果的量；②试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数.但这些数是预先知道的可能值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源.
（2）离散型随机变量的特征：①可用数值表示；②试验之前可以判断其出现的所有值；③在试验之前不能确定取何值；④试验结果能一一列出.
知识点二 用随机变量来表示事件
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X＞b等都表示事件，而且：
（1）当a≠b时，事件X＝a与X＝b ；
（2）事件X≤a与X＞a相互 ，因此P（X≤a）＋P（X＞a）＝ .
知识点三 随机变量之间的关系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝ 也是一个 .由于X＝t的充要条件是 ，因此P（X＝t）＝ .
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“正面出现的次数”为随机变量.（ ）
（2）随机变量是用来表示不同试验结果的量.（ ）
（3）试验之前可以判断离散型随机变量的所有值.（ ）
（4）在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值.（ ）
2.抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是（ ）
A.一颗是3点，一颗是1点
B.两颗都是2点
C.两颗都是4点
D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点
3.指出下列随机变量是否为离散型随机变量，并说明理由.
（1）白炽灯的寿命；
（2）江西九江市长江水位监测站所测水位在（0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位；
（3）一个学习小组有5个男同学和5个女同学，从中任取3人，其中男同学的个数.
题型一 离散型随机变量的判断
【例1】 指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由：
（1）从10张已编好号码的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号码；
（2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
（3）某林场树木最高达30 m，此林场中树木的高度.
尝试解答
通性通法
离散型随机变量的判断方法
（1）明确随机试验的所有可能结果；
（2）将随机试验的结果数量化；
（3）确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.
【跟踪训练】
下列不是离散型随机变量的是（ ）
A.掷一个质地均匀的骰子出现的点数
B.投篮一次的结果
C.某同学在12：00到12：30到校的时刻
D.从含有10件合格品、10件次品的20件产品中任取3件，其中的合格品件数
题型二 随机变量的取值范围及其应用
【例2】 写出下列随机变量的取值范围：
（1）张大爷在环湖线路旁种了10棵树苗，设成活的树苗为ξ；
（2）抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数ξ；
（3）一袋中装有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；
（4）电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）本例（1）中，若每成活一棵树，政府给予补贴5元，试写出张大爷获得补贴Y元与成活树苗ξ的关系，并指出Y的取值范围.
通性通法
写出随机变量的可能取值及试验结果的注意点
解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果.
【跟踪训练】
写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：
（1）小明要去北京旅游，可能乘高铁，乘汽车，也可能乘飞机，旅游费用分别为100元、80元和200元，他的费用为ξ；
（2）一个质地均匀的正方体骰子，各面分别刻着数字1，2，3，4，5，6，随意掷两次，所得的点数之和为ξ；
（3）检查一个小朋友手上的细菌个数ξ.
题型三 随机变量之间的关系及应用
【例3】 某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪800元，每工作1 h再获取15元.从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X h，获取的税前月工资为Y元.
（1）当X＝100时，求Y的值；
（2）写出X与Y之间的关系式；
（3）若P（X≤120）＝0.8，求P（Y＞2 600）的值.
尝试解答
通性通法
随机变量之间的关系
如果X是一个随机变量，Y＝aX＋b也是一个随机变量，X的值若能一一列出，通过代入Y＝aX＋b，Y的值也可一一列出，且P（X＝t）＝P（Y＝at＋b）.
【跟踪训练】
某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量.
（1）写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；
（2）若记该运动员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果.
1.给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量.
其中正确的个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
2.某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则ξ＝5表示的试验结果是（ ）
A.第5次击中目标
B.第5次未击中目标
C.前4次均未击中目标
D.第4次击中目标
3.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X的取值范围是 .
4.在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值的个数为 个.
5.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
（1）列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
（2）若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量.
4.2.1 随机变量及其与事件的联系
【基础知识·重落实】
知识点一
1.实数值 取值范围 2.可以一一列出
知识点二
（1）互斥 （2）对立 1
知识点三
aX＋b 随机变量 Y＝at＋b P（Y＝at＋b）
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）√ （4）√
2.D 抛掷一颗骰子，可能出现的点数是1，2，3，4，5，6，而ξ表示抛掷两颗骰子所得到的点数之和，ξ＝4＝1＋3＝3＋1＝2＋2，所以ξ＝4表示的随机试验的结果是一颗是1点、另一颗是3点或者两颗都是2点，即若将两颗骰子的点数记为（x，y），那么ξ＝4表示的随机试验的结果是（1，3），（3，1），（2，2）.
3.解：（1）不是离散型随机变量.因为白炽灯的寿命的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出.
（2）不是离散型随机变量.因为水位在（0，29]这一范围内连续变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出.
（3）是离散型随机变量.从10个人中取3人，所得的结果有限，且其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）只要取出一张卡片，便有一个号码，因此被取出的卡片号码可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.
（2）从10个球中任取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.
（3）林场树木的高度是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切数值，无法一一列出，不是离散型随机变量.
跟踪训练
C A中骰子出现的点数为1点，2点，3点，4点，5点，6点，可以一一列举出来，是离散型随机变量；B中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，也可以一一列举出来，是离散型随机变量；D中3件产品中的合格品件数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来，是离散型随机变量；C中的时刻，我们不能一一列举出来，因而C不是离散型随机变量.故选C.
【例2】 解：（1）ξ的取值范围为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}.
（2）ξ的取值范围为{1，2，3，4，5，6}.
（3）ξ的取值范围为{3，4，5}.
（4）ξ的取值范围为[0，59.5].
母题探究
解：由题意可知Y＝5ξ，ξ∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}.
故Y的取值范围为{0，5，10，15，20，25，30，35，40，45，50}.
跟踪训练
解：（1）ξ可能取值为100，80，200，分别表示所花的费用为100元，80元和200元.
（2）ξ可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，分别表示所掷点数为1，1；1，2或2，1；1，3或3，1或2，2；…；6，6.
（3）ξ可能取值为0，1，2，…，n，…，分别表示细菌个数为0个，1个，2个，…，n个，….
【例3】 解：（1）当X＝100时，表示工作了100个小时，所以Y＝100×15＋800＝2 300.
（2）根据题意有Y＝15X＋800.
（3）因为X≤120，故15X＋800≤2 600，即Y≤2 600.
所以P（Y≤2 600）＝P（X≤120）＝0.8，
从而P（Y＞2 600）＝1－0.8＝0.2.
跟踪训练
解：（1）ξ可取0，1，2，3，4，5，表示5次罚球中分别命中0次，1次，2次，3次，4次，5次.
（2）η可取0，2，4，6，8，10，表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分.
随堂检测
1.D 由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的.故选D.
2.C ξ＝5表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C.
3.{2，3，4，5，6，7，8，9，10} 解析：由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，5中某个.故两次抽取球号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10.
4.4 解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分，因此甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值有4个.
5.解：（1）列表如下：
ξ 0 1 2 3
结果 取得3 个黑球 取得1个白球，2个黑球 取得2个白球，1个黑球 取得3个白球
（2）由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0，1，2，3}，所以η对应的各值是：5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.故η的可能取值为{6，11，16，21}，显然η为离散型随机变量.
4 / 4(共58张PPT)
4.2.1
随机变量及其与事件的联系
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例了解随机变量、离散型随机变量的概
念 数学抽象
2.理解随机变量所表示的试验结果的含义，能在具体
问题中恰当地定义随机变量，理解两个随机变量之间
的关系 数学抽象、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在奥运射击运动中，运动员射击一次，可能出现命中0环，命中1
环，……，命中10环等结果，若用 X 来表示他一次射击所命中的环
数，则 X 即为随机变量.
【问题】 上述情景中，随机变量 X 的取值情况如何？
知识点一 随机变量的概念
1. 一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样
本点，变量 X 都有唯一确定的 与之对应，就称 X 为一个
随机变量.随机变量一般用大写英文字母 X ， Y ， Z ，…或小写希腊
字母ξ，η，ζ，…表示.随机变量所有可能的取值组成的集合，称为
这个随机变量的 .
实数值
取值范围
2. 所有取值 的随机变量，称为离散型随机变量.与
离散型随机变量对应的是连续型随机变量，一般来说，连续型随机
变量可以在某个实数范围内连续取值.
可以一一列出
提醒 （1）对随机变量的再理解：①随机变量是用来表示不同试验
结果的量；②试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机
变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随
机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数.但这
些数是预先知道的可能值，而不知道究竟是哪一个值，这便是“随
机”的本源.
（2）离散型随机变量的特征：①可用数值表示；②试验之前可以判
断其出现的所有值；③在试验之前不能确定取何值；④试验结
果能一一列出.
知识点二 用随机变量来表示事件
一般地，如果 X 是一个随机变量， a ， b 都是任意实数，那么 X ＝
a ， X ≤ b ， X ＞ b 等都表示事件，而且：
（1）当 a ≠ b 时，事件 X ＝ a 与 X ＝ b ；
（2）事件 X ≤ a 与 X ＞ a 相互 ，因此 P （ X ≤ a ）＋ P （ X ＞
a ）＝ .
互斥
对立
1
知识点三 随机变量之间的关系
一般地，如果 X 是一个随机变量， a ， b 都是实数且 a ≠0，则 Y
＝ 也是一个 .由于 X ＝ t 的充要条件是
，因此 P （ X ＝ t ）＝ .
aX ＋ b
随机变量
Y ＝
at ＋ b
P （ Y ＝ at ＋ b ）
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“正面出现的次数”为
随机变量. （ √ ）
（2）随机变量是用来表示不同试验结果的量. （ √ ）
（3）试验之前可以判断离散型随机变量的所有值. （ √ ）
（4）在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随
机变量，它有6个取值. （ √ ）
√
√
√
√
2. 抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结
果是（ ）
A. 一颗是3点，一颗是1点
B. 两颗都是2点
C. 两颗都是4点
D. 一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点
解析： 抛掷一颗骰子，可能出现的点数是1，2，3，4，5，6，
而ξ表示抛掷两颗骰子所得到的点数之和，ξ＝4＝1＋3＝3＋1＝2＋
2，所以ξ＝4表示的随机试验的结果是一颗是1点、另一颗是3点或
者两颗都是2点，即若将两颗骰子的点数记为（ x ， y ），那么ξ＝4
表示的随机试验的结果是（1，3），（3，1），（2，2）.
3. 指出下列随机变量是否为离散型随机变量，并说明理由.
（1）白炽灯的寿命；
解： 不是离散型随机变量.因为白炽灯的寿命的取值是
一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出.
（2）江西九江市长江水位监测站所测水位在（0，29]这一范围内
变化，该水位站所测水位；
解： 不是离散型随机变量.因为水位在（0，29]这一范
围内连续变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出.
（3）一个学习小组有5个男同学和5个女同学，从中任取3人，其中
男同学的个数.
解： 是离散型随机变量.从10个人中取3人，所得的结果
有限，且其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 离散型随机变量的判断
【例1】 指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由：
（1）从10张已编好号码的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出的
卡片的号码；
解： 只要取出一张卡片，便有一个号码，因此被取出的卡
片号码可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.
（2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球
的个数；
解： 从10个球中任取3个球，所得的结果有以下几种：3个
白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其
结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.
（3）某林场树木最高达30 m，此林场中树木的高度.
解： 林场树木的高度是一个随机变量，它可以取（0，30]
内的一切数值，无法一一列出，不是离散型随机变量.
通性通法
离散型随机变量的判断方法
（1）明确随机试验的所有可能结果；
（2）将随机试验的结果数量化；
（3）确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列
出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.
【跟踪训练】
下列不是离散型随机变量的是（ ）
A. 掷一个质地均匀的骰子出现的点数
B. 投篮一次的结果
C. 某同学在12：00到12：30到校的时刻
D. 从含有10件合格品、10件次品的20件产品中任取3件，其中的合格
品件数
解析： A中骰子出现的点数为1点，2点，3点，4点，5点，6点，
可以一一列举出来，是离散型随机变量；B中投篮一次有两种情况，
若用1表示投中，0表示不中，也可以一一列举出来，是离散型随机变
量；D中3件产品中的合格品件数可能为0，1，2，3，共4种情况，可
以一一列举出来，是离散型随机变量；C中的时刻，我们不能一一列
举出来，因而C不是离散型随机变量.故选C.
题型二 随机变量的取值范围及其应用
【例2】 写出下列随机变量的取值范围：
（1）张大爷在环湖线路旁种了10棵树苗，设成活的树苗为ξ；
解： ξ的取值范围为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}.
（2）抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数ξ；
解： ξ的取值范围为{1，2，3，4，5，6}.
（3）一袋中装有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，现从该
袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；
解： ξ的取值范围为{3，4，5}.
（4）电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打
开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟.
解： ξ的取值范围为[0，59.5].
【母题探究】
（变条件）本例（1）中，若每成活一棵树，政府给予补贴5元，试写
出张大爷获得补贴 Y 元与成活树苗ξ的关系，并指出 Y 的取值范围.
解：由题意可知 Y ＝5ξ，ξ∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}.
故 Y 的取值范围为{0，5，10，15，20，25，30，35，40，45，50}.
通性通法
写出随机变量的可能取值及试验结果的注意点
解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及
其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或
多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果.
【跟踪训练】
写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随
机试验的结果：
（1）小明要去北京旅游，可能乘高铁，乘汽车，也可能乘飞机，旅
游费用分别为100元、80元和200元，他的费用为ξ；
解： ξ可能取值为100，80，200，分别表示所花的费用为
100元，80元和200元.
（2）一个质地均匀的正方体骰子，各面分别刻着数字1，2，3，4，
5，6，随意掷两次，所得的点数之和为ξ；
解： ξ可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，
12，分别表示所掷点数为1，1；1，2或2，1；1，3或3，1或2，
2；…；6，6.
（3）检查一个小朋友手上的细菌个数ξ.
解： ξ可能取值为0，1，2，…， n ，…，分别表示细菌个
数为0个，1个，2个，…， n 个，….
题型三 随机变量之间的关系及应用
【例3】 某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底
薪800元，每工作1 h再获取15元.从该快餐店中任意抽取一名小时工，
设其月工作时间为 X h，获取的税前月工资为 Y 元.
（1）当 X ＝100时，求 Y 的值；
解： 当 X ＝100时，表示工作了100个小时，所以 Y ＝
100×15＋800＝2 300.
（2）写出 X 与 Y 之间的关系式；
解： 根据题意有 Y ＝15 X ＋800.
（3）若 P （ X ≤120）＝0.8，求 P （ Y ＞2 600）的值.
解： 因为 X ≤120，故15 X ＋800≤2 600，即 Y ≤2 600.
所以 P （ Y ≤2 600）＝ P （ X ≤120）＝0.8，
从而 P （ Y ＞2 600）＝1－0.8＝0.2.
通性通法
随机变量之间的关系
如果 X 是一个随机变量， Y ＝ aX ＋ b 也是一个随机变量， X 的值
若能一一列出，通过代入 Y ＝ aX ＋ b ， Y 的值也可一一列出，且 P
（ X ＝ t ）＝ P （ Y ＝ at ＋ b ）.
【跟踪训练】
某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员
在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量.
（1）写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；
解： ξ可取0，1，2，3，4，5，表示5次罚球中分别命中0
次，1次，2次，3次，4次，5次.
（2）若记该运动员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一
个取值所表示的结果.
解： η可取0，2，4，6，8，10，表示5次罚球后分别得0
分，2分，4分，6分，8分，10分.
1. 给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机
变量.
其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的.故
选D.
2. 某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，
射击次数为ξ，则ξ＝5表示的试验结果是（ ）
A. 第5次击中目标
B. 第5次未击中目标
C. 前4次均未击中目标
D. 第4次击中目标
解析： ξ＝5表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未
击中，故选C.
3. 袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在
在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机
变量 X ，则 X 的取值范围是
.
解析：由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均
可能是1，2，3，4，5中某个.故两次抽取球号码之和可能为2，3，
4，5，6，7，8，9，10.
{2，3，4，5，6，7，8，9，
10}
4. 在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100
分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的
所有可能取值的个数为 个.
解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应
得分为300分，100分，－100分，－300分，因此甲回答这三个问题
的总得分ξ的所有可能取值有4个.
4
5. 一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的
个数为ξ.
（1）列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
解： 列表如下：
ξ 0 1 2 3
结果 取得3 个黑球 取得1个白球，
2个黑球 取得2个白球，
1个黑球 取得3个白球
（2）若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加
分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判
定η是否为离散型随机变量.
解： 由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0，
1，2，3}，所以η对应的各值是：5×0＋6，5×1＋6，5×2＋
6，5×3＋6.故η的可能取值为{6，11，16，21}，显然η为离
散型随机变量.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，那么不能作为随机变量的是
（ ）
A. 出现7点的次数
B. 出现偶数点的次数
C. 出现2点的次数
D. 出现的点数大于2小于6的次数
解析： ∵抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事
件，∴出现7点的次数不能作为随机变量.
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2. （多选）下列 X 是离散型随机变量的是（ ）
A. 某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为 X
B. 某网站中某歌曲一天内被点击的次数为 X
C. 一天内的温度为 X
D. 射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用 X
表示该射手在一次射击中的得分
解析： 选项A、B、D中的 X 都满足离散型随机变量的特
征；一天内的温度 X 变化的范围是连续的，无法逐一列出，它不是
离散型随机变量，故选A、B、D.
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3. 抛掷两枚骰子一次， X 为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出
的点数之差，则 X 的所有可能取值为（ ）
A. 0≤ X ≤5， X ∈N B. －5≤ X ≤0， X ∈Z
C. 1≤ X ≤6， X ∈N D. －5≤ X ≤5， X ∈Z
解析： X 的所有可能取值为－5，－4，－3，－2，－1，0，
1，2，3，4，5，即－5≤ X ≤5， X ∈Z.
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4. 袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个
球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量
ξ，则ξ的可能值为（ ）
A. 1，2，…，5 B. 1，2，…，6
C. 1，2，…，7 D. 1，2，…，11
解析： 除白球外，还有6个红球，因此取到白球时，取球次数
最少为1次，最多为7次.
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5. 袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码.任
意抽取2个球，设2个球号码之和为 X ，则 X 所有可能取值的个数是
（ ）
A. 25 B. 10 C. 7 D. 6
解析： X 的所有可能取值为3，4，5，6，7，8，9，共7个.
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6. 下列变量是离散型随机变量的是 （填序号）.
①某无线寻呼台1 min内接到的寻呼次数 X ；
②连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数 X ；
③将一个质地均匀的骰子连掷3次，3次出现的点数之和 X ；
④某工厂生产的某钢管外径与规定的外径尺寸之差 X ；
⑤抛掷一颗六个面都是六个点的均匀骰子，所得的点数 X ；
⑥某人上班路上所用的时间 X （单位：min）.
①②③
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解析：判断一个变量是不是离散型随机变量，主要是看变量的所有
可能结果是不是确定的，并且变量的取值能否一一列举出来.④中
X 的取值为某一范围内的实数，无法一一列出，不是离散型随机变
量；⑤中的 X 为常数6，唯一确定，不是随机变量；⑥中变量 X 的
取值也是某一范围内的实数，无法一一列举出来，不是离散型随机
变量.故填①②③.
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7. A ， B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每
个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用 A ，另2只服用 B ，然后
观察疗效.若在一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠的只数比服用
B 有效的多，就称该试验组为甲类组，观察3个试验组，用 X 表示
这3个试验组中甲类组的个数，则 X 的可能取值为
.
解析：根据甲类组的要求，可能取值是0，1，2，3.
0，1，2，
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8. 一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，7，
8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ
＝5表示的试验结果有 种，ξ＝8表示的试验结果
有 种.
解析：从8个球中选出3个球，其中一个号码为5，另两个球是1，
2，3，4中的两个，共有 ＝6种，若一个的号码为8，则另两个球
是从编号为1，2，3，4，5，6，7中任取两个，共有 ＝21种.
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9. 盒中有9个正品零件和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取
出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取
出的次品数为ξ.
（1）写出ξ的所有可能取值；
解： ξ可能的取值为0，1，2，3.
（2）写出ξ＝1所表示的事件.
解： ξ＝1表示的事件为第一次取得次品，第二次取
得正品.
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10. 袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑
球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次
数为 X ，则表示“放回5个球”的事件为（ ）
A. X ＝4 B. X ＝5 C. X ＝6 D. X ≤4
解析： 第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则
放回2个球，…共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故 X
＝6.
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11. 甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用7局4胜制.用ξ表示
需要比赛的局数，则“ξ＝6”表示的比赛过程有 种.
解析：“ξ＝6”表示甲队员或乙队员前5局中胜3局，且第6局一定
获胜，所以“ξ＝6”表示的比赛过程有 ＝20（种）.
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12. 写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示
的随机试验的结果：
（1）某射击运动员射击一次命中的环数 Z ，随机变量 Z 的所
有取值；
解： 随机变量 Z 的可能取值为0，1，2，…，10.
表示射击一次命中0环，1环，2环，…，10环.
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（2）设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯， Y 表示
汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数.
解： Y 的取值范围是{0，1，2，3，4，5}，
Y ＝0表示在遇到第1盏信号灯时首次停下；
Y ＝1表示在遇到第2盏信号灯时首次停下；
Y ＝2表示在遇到第3盏信号灯时首次停下；
Y ＝3表示在遇到第4盏信号灯时首次停下；
Y ＝4表示在遇到第5盏信号灯时首次停下；
Y ＝5表示在途中没有停下，直达目的地.
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13. 从100个电子元件（至少含3个次品）中随机抽取三个进行检验，
变量 Z 表示三个元件中的次品个数，如果用0表示“元件为合格
品”，1表示“元件为次品”，则 P （ Z ≥2）＝ .
解析：根据题意，该随机试验的样本空间Ω＝{000，001，010，
011，100，101，110，111}，则 Z 的取值范围是{0，1，2，3}.
所以 P （ Z ≥2）＝ P （ Z ＝2）＋ P （ Z ＝3）＝ ＋ ＝ .
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14. 某城市出租车的起步价为10元，行驶路程不超出4 km，则按10元
的标准收费.若行驶路程超出4 km，则按每超出1 km加收2元收费
（超出不足1 km的部分按1 km计）.从这个城市的民航机场到某
宾馆的路程为15 km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅
客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程
（这个城市规定，每停车5分钟按1 km路程计费），这个司机一次
接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的车费η也是一
个随机变量.
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解： 依题意知η＝2（ξ－4）＋10，即η＝2ξ＋2.
（2）已知某旅客实付车费38元，而出租车实际行驶了15 km，问
出租车在途中因故停车累计最多几分钟.
解： 由38＝2ξ＋2，得ξ＝18，5×（18－15）＝15.
所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟.
（1）求车费η关于行车路程ξ的关系式；
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谢 谢 观 看！
