4.2.2 离散型随机变量的分布列
1.若随机变量X等可能地取值1，2，3，…，10，随机变量Y＝2X－1，则P（Y＜6）的值为（ ）
A.0.3 B.0.5
C.0.1 D.0.2
2.由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失（以x，y代替，x≤9，y≤9，且x∈N，y∈N），其分布列如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20
则丢失的两个数据x，y依次为（ ）
A.1，15 B.2，5
C.1，5 D.5，2
3.已知随机变量X的概率分布为P（X＝n）＝（n＝0，1，2），其中a是常数，则P（0≤X＜2）的值等于（ ）
A. B.
C. D.
4.若随机变量η的分布列为
η －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P（η ＜x）＝0.8时，实数x的取值范围是（ ）
A.x≤2 B.1≤x≤2
C.1＜x≤2 D.1＜x＜2
5.（多选）已知随机变量X的分布列如下表（其中a为常数）：
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的是（ ）
A.a＝0.1
B.P（X≥2）＝0.7
C.P（X≥3）＝0.4
D.P（X≤1）＝0.3
6.已知随机变量ζ的分布列如下：
ζ －1 0 1 2 3 4
P 0.05 0.1 0.15 0.2 0.23 0.27
那么P＝ .
7.若随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.2，Y＝3X－2，则P（Y＝－2）＝ .
8.已知离散型随机变量X的分布列P（X＝k）＝，k＝1，2，3，4，5.令Y＝2X－2，则P（Y＞0）＝ .
9.在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等.已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场.
（1）求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；
（2）若胜场次数为X，求X的分布列.
10.（多选）下列问题中的随机变量服从两点分布的是（ ）
A.抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B.某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C.从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝
D.某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
11.随机变量ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2
P a b c
其中a＋c＝2b，则函数f（x）＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为（ ）
A. B. C. D.
12.如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列.
13.一批产品分为四级，其中抽到一级产品的概率是抽到二级产品概率的两倍，抽到三级产品的概率是抽到二级产品概率的一半，抽到四级产品的概率与抽到三级产品的概率相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量ξ，则P（ξ＝2）＝ ，P（ξ＞1）＝ .
14.在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3的三个大小相同的小球，现从这个盒子中，有放回地先后取得两个小球，其标号分别为x，y，记ξ＝｜x－2｜＋｜x－y｜.
（1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（2）求随机变量ξ的分布列.
4.2.2 离散型随机变量的分布列
1.A P（Y＜6）＝P（2X－1＜6）＝P（X＜3.5）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝0.1＋0.1＋0.1＝0.3.
2.B 因为0.20＋0.10＋0.1×x＋0.05＋0.10＋0.1＋0.01×y＋0.20＝1，所以10x＋y＝25，又因为x≤9，y≤9，且x∈N，y∈N，所以x＝2，y＝5.
3.D 根据题意，有P（X＝0）＋P（X＝1）＋P（X＝2）＝＋＋＝1，解得a＝，则P（0≤x＜2）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝＋＝.
4.C 根据随机变量η的分布列知，实数η的所有可能取值是－2，－1，0，1，2，3，且P（η≥2）＝P（η＝2）＋P（η＝3）＝0.1＋0.1＝0.2，则P（η＜2）＝1－0.2＝0.8，
又因为P（η≤1）＝P（η＝－2）＋P（η＝－1）＋P（η＝0）＋P（η＝1）＝0.8，
则当P（η ＜x）＝0.8时，实数x的取值范围是1＜x≤2.
5.ABD 由0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，得a＝0.1，所以P（X≥2）＝1－0.1－0.2＝0.7，P（X≥3）＝0.2＋0.1＝0.3，
P（X≤1）＝0.1＋0.2＝0.3，故选A、B、D.
6.0.68 解析：P＝P（ζ＝0）＋P（ζ＝1）＋P（ζ＝2）＋P（ζ＝3）＝0.1＋0.15＋0.2＋0.23＝0.68.
7.0.8 解析：因为Y＝3X－2，所以当Y＝－2时，X＝0，所以P（Y＝－2）＝P（X＝0）.因为X服从两点分布，所以P（X＝0）＝1－P（X＝1）＝0.8.
8. 解析：由已知Y的取值范围是{0，2，4，6，8}，且P（Y＝0）＝，P（Y＝2）＝，P（Y＝4）＝＝，P（Y＝6）＝，P（Y＝8）＝＝.
则P（Y＞0）＝P（Y＝2）＋P（Y＝4）＋P（Y＝6）＋P（Y＝8）＝.
9.解：（1）若胜一场，则其余为平，共有＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有＋＝18（种）情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有×2＝8（种）情况；若胜四场，则只有一种情况.综上，共有31种情况.
（2）X的取值范围是{1，2，3，4}，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3 4
P
10.BCD A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，故选B、C、D.
11.B 由题意知解得b＝.
∵f（x）＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，
∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，
∴P（ξ＝1）＝.故选B.
12.解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i＝1，2，…，13）.
根据题意，P（Ai）＝，且Ai∩Aj＝ （i≠j，j＝1，2，…，13）.
（1）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.
所以P（B）＝P（A5∪A8）＝P（A5）＋P（A8）＝.
（2）由题意可知，X的取值范围是{0，1，2}，
则P（X＝1）＝P（A3∪A6∪A7∪A11）＝P（A3）＋P（A6）＋P（A7）＋P（A11）＝，P（X＝2）＝P（A1∪A2∪A12∪A13）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A12）＋P（A13）＝.
P（X＝0）＝1－P（X＝1）－P（X＝2）＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
13. 解析：依题意，P（ξ＝1）＝2P（ξ＝2），P（ξ＝3）＝P（ξ＝2），P（ξ＝3）＝P（ξ＝4），由分布列的性质得，1＝P（ξ＝1）＋P（ξ＝2）＋P（ξ＝3）＋P（ξ＝4），∴4P（ξ＝2）＝1，解得P（ξ＝2）＝，∴P（ξ＝3）＝，P（ξ＝4）＝.∴P（ξ＞1）＝P（ξ＝2）＋P（ξ＝3）＋P（ξ＝4）＝.
14.解：（1）∵｜x－2｜≤1，｜x－y｜≤2，
∴ξ ≤3，且x＝3，y＝1或x＝1，y＝3时，ξ＝3，
因此，随机变量ξ的最大值为3.
∵有放回地先后取得2个小球共有9种情况，
∴P（ξ＝3）＝.
（2）随机变量ξ的所有取值为0，1，2，3.
∵ξ＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况；
ξ＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况；
ξ＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况；
ξ＝3时，有x＝3，y＝1或x＝1，y＝3两种情况；
∴P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝，
故随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
1 / 24.2.2 离散型随机变量的分布列
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例掌握离散型随机变量分布列的性质 数学抽象
2.了解两点分布，并能解决简单的实际问题 数学抽象
投掷一颗骰子，所得点数为X.
【问题】 （1）X可取哪些数字？
（2）X取不同的值时，其概率分别是多少？
（3）你能用表格表示X与P的对应关系吗？
知识点一 离散型随机变量的分布列和性质
1.一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P（X＝xk）＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的.离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为 .
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
2.离散型随机变量的分布列的性质
（1）pk 0，k＝1，2，…，n；
（2）pk＝p1＋p2＋…＋pn＝ .
提醒 求离散型随机变量分布列时应注意的问题：①离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和；②确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率.对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程；③在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确.
知识点二 两点分布
定义：如果随机变量X的分布列为
X 1 0
P p q
其中0＜p＜1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的 （或0－1分布）.两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的p也常被称为成功概率.
提醒 在理解两点分布的概念时应注意的问题：①两点分布的试验结果只有两个可能，且其概率之和为1；②两点分布的应用十分广泛，如抽取的奖券是否中奖、买回的一件产品是否为正品、新生婴儿的性别、投篮是否命中、射击一次是中靶还是脱靶等，都可以用两点分布来研究.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数.（ ）
（2）离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等.（ ）
（3）在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.（ ）
2.下列能称为随机变量X的分布列的是（ ）
A.
X －1 0 1
P 0.3 0.4 0.4
B.
X 1 2 3
P 0.4 0.7 －0.1
C.
X －1 0 1
P 0.3 0.4 0.3
D.
X 1 2 3
P 0.2 0.4 0.3
3.设随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P a
则P（｜X－3｜＝1）＝ .
题型一 分布列及其性质的应用
【例1】 设随机变量X的分布列为P（X＝i）＝（i＝1，2，3，4），求：
（1）P（X＝1或X＝2）；
（2）P.
尝试解答
通性通法
利用分布列及其性质解题时的两个注意点
（1）X的各个取值表示的事件是互斥的；
（2）不仅要注意pi＝1，而且要注意pi≥0，i＝1，2，…，n.
【跟踪训练】
若随机变量X的分布列如表所示，则表中a的值为 ，P（X≥3）＝ .
X 1 2 3 4
P a
题型二 求离散型随机变量的分布列
角度1 求离散型随机变量y＝f（ξ）的分布列
【例2】 已知随机变量ξ的分布列为
ξ －2 －1 0 1 2 3
P
分别求出随机变量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列.
尝试解答
通性通法
已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝f（ξ）的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可.
【跟踪训练】
已知随机变量ξ的分布列为
ξ －2 －1 0 1 2 3
P
分别求出随机变量η1＝－ξ＋，η2＝ξ2－2ξ的分布列.
角度2 借助排列、组合求离散型随机变量的分布列
【例3】 口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列.
尝试解答
通性通法
求离散型随机变量的分布列的一般思路
（1）确定随机变量的所有可能取值以及每个取值所表示的意义；
（2）利用排列与组合和概率的有关知识，求出随机变量取每个值时的概率；
（3）按规范形式写出分布列；
（4）根据分布列的性质对结果进行检验，即检验分布列的概率之和是不是1.
【跟踪训练】
有甲、乙两个盒子，甲盒子中有8张卡片，其中2张写有数字0，3张写有数字1，3张写有数字2；乙盒子中有8张卡片，其中3张写有数字0，2张写有数字1，3张写有数字2.如果从甲、乙两个盒子中各取1张卡片，设取出的2张卡片数字之和为ξ，求ξ的分布列.
题型三 两点分布及其应用
【例4】 一个袋子中装有7个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，编号为1，2，3；黑球3个，编号为1，2，3；白球1个，编号为1.从袋子中随机取出3个球，记其中白球的个数为ξ，求ξ的分布列.
尝试解答
通性通法
两步法判断一个分布是否为两点分布
（1）看取值：随机变量只取两个值0和1；
（2）验概率：检验P（X＝0）＋P（X＝1）＝1是否成立.
如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布.
【跟踪训练】
一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出两个球，用0表示两个球都是白球，用1表示两个球不全是白球，则满足条件的X的分布列为（ ）
A.
X 0 1
P
B.
X 0 1
P
C.
X 0 1
P
D.
X 0 1
P
1.某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2，则m－的值为（ ）
ξ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
A.－0.2 B.0.2
C.0.1 D.－0.1
2.设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量Y＝X－2，则P（Y＝2）等于（ ）
A.0.3 B.0.4
C.0.6 D.0.7
3.一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示抽取的一个产品为合格品，X＝1表示抽取的一个产品为次品，X的分布列为
X 0 1
P a b
则a＝ ，b＝ .
4.设随机变量ξ的可能取值为5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P（ξ＞8）＝ ，P（6＜ξ≤14）＝ .
5.将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列.
4.2.2 离散型随机变量的分布列
【基础知识·重落实】
知识点一
1.X的概率分布或分布列 2.（1）≥ （2）1
知识点二
两点分布
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√
2.C 选项A、D不满足分布列的性质pi＝1，选项B不满足分布列的性质pi≥0，i＝1，2，…，n.故选C.
3. 解析：由＋a＋＋＝1，得a＝，
P（｜X－3｜＝1）＝P（X＝2）＋P（X＝4）＝＋＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）∵pi＝＋＋＋＝1，∴a＝10，
则P（X＝1或X＝2）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝＋＝.
（2）由a＝10，可得P＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝＋＋＝.
跟踪训练
解析：由题意可知＋＋＋a＝1，∴a＝.
P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋＝.
【例2】 解：由η1＝ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1，0，1，2，3时，η1的值分别为－1，－，0，，1，，所以η1的分布列为
η1 －1 － 0 1
P
由η2＝ξ2知，对于ξ的不同取值－2，2及－1，1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率，即与的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率，即与的和，所以η2的分布列为
η2 0 1 4 9
P
跟踪训练
解：由η1＝－ξ＋，对于ξ＝－2，－1，0，1，2，3，得η1＝，，，－，－，－，相应的概率值为，，，，，.
故η1的分布列为
η1 － － －
P
由η2＝ξ2－2ξ，对于ξ＝－2，－1，0，1，2，3，得η2＝8，3，0，－1，0，3.
所以P（η2＝8）＝，P（η2＝3）＝＋＝，
P（η2＝0）＝＋＝，P（η2＝－1）＝.
故η2的分布列为
η2 8 3 0 －1
P
【例3】 解：随机变量X的可能取值范围是{3，4，5，6}.
从袋中随机取3个球，包含的样本点总数为，事件“X＝3”包含的样本点个数为，事件“X＝4”包含的样本点个数为，事件“X＝5”包含的样本点个数为，事件“X＝6”包含的样本点个数为.
从而有P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，
P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X 3 4 5 6
P
跟踪训练
解：ξ的取值范围是{0，1，2，3，4}.
P（ξ＝0）＝＝＝，
P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，
P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝.
因此ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
【例4】 解：由题意知，ξ的取值范围是{0，1}，故ξ服从两点分布.
且P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝1－P（ξ＝0）＝1－＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1
P
跟踪训练
A 由已知得P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝1－＝.
随堂检测
1.B 由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－＝0.2.
2.A 由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.又P（Y＝2）＝P（X＝4）＝0.3.
3. 解析：X＝0表示抽取的一个产品为合格品，概率为95%，即a＝；X＝1表示抽取的一个产品为次品，概率为5%，即b＝.
4. 解析：P（ξ＞8）＝×8＝，P（6＜ξ≤14）＝×8＝.
5.解：由题意知ξ＝i（i＝1，2，3，4，5，6），
则P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝＝，
P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，
P（ξ＝5）＝＝＝，P（ξ＝6）＝＝.
所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为
ξ 1 2 3 4 5 6
P
4 / 5(共71张PPT)
4.2.2
离散型随机变量的分布列
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例掌握离散型随机变量分布列的性质 数学抽象
2.了解两点分布，并能解决简单的实际问题 数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
投掷一颗骰子，所得点数为 X .
【问题】 （1） X 可取哪些数字？
（2） X 取不同的值时，其概率分别是多少？
（3）你能用表格表示 X 与 P 的对应关系吗？
知识点一 离散型随机变量的分布列和性质
1. 一般地，当离散型随机变量 X 的取值范围是{ x1， x2，…， xn }时，
如果对任意 k ∈{1，2，…， n }，概率 P （ X ＝ xk ）＝ pk 都是已知
的，则称 X 的概率分布是已知的.离散型随机变量 X 的概率分布可
以用如下形式的表格表示，这个表格称为
.
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
X 的概率分布或分布
列
2. 离散型随机变量的分布列的性质
（1） pk 0， k ＝1，2，…， n ；
（2） pk ＝ p1＋ p2＋…＋ pn ＝ .
≥
1
提醒 求离散型随机变量分布列时应注意的问题：①离散型随机变量
在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和；②确定
离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事
件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率.对于随机变
量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程；
③在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这
样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确.
其中0＜ p ＜1， q ＝1－ p ，则称离散型随机变量 X 服从参数为 p
的 （或0－1分布）.两点分布也常称为伯努利分布，两
点分布中的 p 也常被称为成功概率.
X 1 0
P p q
两点分布
知识点二 两点分布
定义：如果随机变量 X 的分布列为
提醒 在理解两点分布的概念时应注意的问题：①两点分布的试验结
果只有两个可能，且其概率之和为1；②两点分布的应用十分广泛，
如抽取的奖券是否中奖、买回的一件产品是否为正品、新生婴儿的性
别、投篮是否命中、射击一次是中靶还是脱靶等，都可以用两点分布
来研究.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以
为任意的实数. （ × ）
（2）离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相
等. （ × ）
（3）在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1. （ √ ）
×
×
√
2. 下列能称为随机变量 X 的分布列的是（ ）
X －1 0 1
P 0.3 0.4 0.4
B.
X 1 2 3
P 0.4 0.7 －0.1
C.
X －1 0 1
P 0.3 0.4 0.3
A.
D.
X 1 2 3
P 0.2 0.4 0.3
解析： 选项A、D不满足分布列的性质 pi ＝1，选项B不满足
分布列的性质 pi ≥0， i ＝1，2，…， n .故选C.
3. 设随机变量 X 的分布列为
X 1 2 3 4
P a
则 P （｜ X －3｜＝1）＝ .
解析：由 ＋ a ＋ ＋ ＝1，得 a ＝ ，
P （｜ X －3｜＝1）＝ P （ X ＝2）＋ P （ X ＝4）＝ ＋ ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 分布列及其性质的应用
【例1】 设随机变量 X 的分布列为 P （ X ＝ i ）＝ （ i ＝1，2，3，
4），求：
（1） P （ X ＝1或 X ＝2）；
解： ∵ pi ＝ ＋ ＋ ＋ ＝1，∴ a ＝10，
则 P （ X ＝1或 X ＝2）＝ P （ X ＝1）＋ P （ X ＝2）＝ ＋ ＝ .
（2） P .
解： 由 a ＝10，可得 P ＝ P （ X ＝1）＋ P （ X
＝2）＋ P （ X ＝3）＝ ＋ ＋ ＝ .
通性通法
利用分布列及其性质解题时的两个注意点
（1） X 的各个取值表示的事件是互斥的；
（2）不仅要注意 pi ＝1，而且要注意 pi ≥0， i ＝1，2，…， n .
【跟踪训练】
若随机变量 X 的分布列如表所示，则表中 a 的值为 ， P （ X
≥3）＝ .
X 1 2 3 4
P a
解析：由题意可知 ＋ ＋ ＋ a ＝1，
∴ a ＝ .
P （ X ≥3）＝ P （ X ＝3）＋ P （ X ＝4）＝ ＋ ＝ .
题型二 求离散型随机变量的分布列
角度1 求离散型随机变量 y ＝ f （ξ）的分布列
【例2】 已知随机变量ξ的分布列为
ξ －2 －1 0 1 2 3
P
分别求出随机变量η1＝ ξ，η2＝ξ2的分布列.
解：由η1＝ ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1，0，1，2，3时，η1的值
分别为－1，－ ，0， ，1， ，所以η1的分布列为
η1 －1 － 0 1
P
由η2＝ξ2知，对于ξ的不同取值－2，2及－1，1，η2分别取相同的值4
与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率，即 与 的和，η2
取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率，即 与 的和，所以η2的分
布列为
η2 0 1 4 9
P
通性通法
已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝ f （ξ）的
分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的
值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可.
【跟踪训练】
已知随机变量ξ的分布列为
ξ －2 －1 0 1 2 3
P
分别求出随机变量η1＝－ξ＋ ，η2＝ξ2－2ξ的分布列.
解：由η1＝－ξ＋ ，对于ξ＝－2，－1，0，1，2，3，得η1＝ ， ，
，－ ，－ ，－ ，相应的概率值为 ， ， ， ， ， .
故η1的分布列为
η1 － － －
P
由η2＝ξ2－2ξ，对于ξ＝－2，－1，0，1，2，3，得η2＝8，3，0，－
1，0，3.
所以 P （η2＝8）＝ ， P （η2＝3）＝ ＋ ＝ ，
P （η2＝0）＝ ＋ ＝ ， P （η2＝－1）＝ .
故η2的分布列为
η2 8 3 0 －1
P
角度2 借助排列、组合求离散型随机变量的分布列
【例3】 口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，
现从中随机取出3个球，用 X 表示取出的最大号码，求 X 的分布列.
解：随机变量 X 的可能取值范围是{3，4，5，6}.
从袋中随机取3个球，包含的样本点总数为 ，事件“ X ＝3”包含的
样本点个数为 ，事件“ X ＝4”包含的样本点个数为 ，事件
“ X ＝5”包含的样本点个数为 ，事件“ X ＝6”包含的样本点个
数为 .
从而有 P （ X ＝3）＝ ＝ ，
P （ X ＝4）＝ ＝ ，
P （ X ＝5）＝ ＝ ，
P （ X ＝6）＝ ＝ ，
所以随机变量 X 的分布列为
X 3 4 5 6
P
通性通法
求离散型随机变量的分布列的一般思路
（1）确定随机变量的所有可能取值以及每个取值所表示的意义；
（2）利用排列与组合和概率的有关知识，求出随机变量取每个值时
的概率；
（3）按规范形式写出分布列；
（4）根据分布列的性质对结果进行检验，即检验分布列的概率之和
是不是1.
【跟踪训练】
有甲、乙两个盒子，甲盒子中有8张卡片，其中2张写有数字0，3张写
有数字1，3张写有数字2；乙盒子中有8张卡片，其中3张写有数字0，
2张写有数字1，3张写有数字2.如果从甲、乙两个盒子中各取1张卡
片，设取出的2张卡片数字之和为ξ，求ξ的分布列.
解：ξ的取值范围是{0，1，2，3，4}.
P （ξ＝0）＝ ＝ ＝ ，
P （ξ＝1）＝ ＝ ，
P （ξ＝2）＝ ＝ ，
P （ξ＝3）＝ ＝ ， P （ξ＝4）＝ ＝ .
因此ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
题型三 两点分布及其应用
【例4】 一个袋子中装有7个大小形状完全相同的小球，其中红球3
个，编号为1，2，3；黑球3个，编号为1，2，3；白球1个，编号为1.
从袋子中随机取出3个球，记其中白球的个数为ξ，求ξ的分布列.
解：由题意知，ξ的取值范围是{0，1}，故ξ服从两点分布.且 P （ξ＝
0）＝ ＝ ， P （ξ＝1）＝1－ P （ξ＝0）＝1－ ＝ .
故ξ的分布列为
ξ 0 1
P
通性通法
两步法判断一个分布是否为两点分布
（1）看取值：随机变量只取两个值0和1；
（2）验概率：检验 P （ X ＝0）＋ P （ X ＝1）＝1是否成立.
如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是
两点分布.
【跟踪训练】
一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出
两个球，用0表示两个球都是白球，用1表示两个球不全是白球，则满
足条件的 X 的分布列为（ ）
X 0 1
P
B.
X 0 1
P
C.
X 0 1
P
D.
X 0 1
P
A.
解析： 由已知得 P （ X ＝0）＝ ＝ ， P （ X ＝1）＝1－ ＝ .
1. 某一随机变量ξ的概率分布如下表，且 m ＋2 n ＝1.2，则 m － 的值
为（ ）
ξ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
A. －0.2 B. 0.2 C. 0.1 D. －0.1
解析： 由离散型随机变量分布列的性质可得 m ＋ n ＋0.2＝1，
又 m ＋2 n ＝1.2，解得 m ＝ n ＝0.4，可得 m － ＝0.2.
2. 设离散型随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量 Y ＝ X －2，则 P （ Y ＝2）等于（ ）
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
解析： 由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋ m ＝1，得 m ＝0.3.又 P （ Y ＝
2）＝ P （ X ＝4）＝0.3.
3. 一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变
量 X 来描述次品出现的情况，即 X ＝0表示抽取的一个产品为合格
品， X ＝1表示抽取的一个产品为次品， X 的分布列为则 a ＝
， b ＝ .
X 0 1
P a b
解析： X ＝0表示抽取的一个产品为合格品，概率为95%，即 a ＝
； X ＝1表示抽取的一个产品为次品，概率为5%，即 b ＝ .
4. 设随机变量ξ的可能取值为5，6，7，…，16这12个值，且取每个值
的概率均相同，则 P （ξ＞8）＝ ， P （6＜ξ≤14）＝ .
解析： P （ξ＞8）＝ ×8＝ ， P （6＜ξ≤14）＝ ×8＝ .
5. 将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列.
解：由题意知ξ＝ i （ i ＝1，2，3，4，5，6），
则 P （ξ＝1）＝ ＝ ，
P （ξ＝2）＝ ＝ ＝ ，
P （ξ＝3）＝ ＝ ，
P （ξ＝4）＝ ＝ ，
P （ξ＝5）＝ ＝ ＝ ，
P （ξ＝6）＝ ＝ .
所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为
ξ 1 2 3 4 5 6
P
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若随机变量 X 等可能地取值1，2，3，…，10，随机变量 Y ＝2 X －
1，则 P （ Y ＜6）的值为（ ）
A. 0.3 B. 0.5
C. 0.1 D. 0.2
解析： P （ Y ＜6）＝ P （2 X －1＜6）＝ P （ X ＜3.5）＝ P （ X
＝1）＋ P （ X ＝2）＋ P （ X ＝3）＝0.1＋0.1＋0.1＝0.3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 由于电脑故障，使得随机变量 X 的分布列中部分数据丢失（以 x ，
y 代替， x ≤9， y ≤9，且 x ∈N， y ∈N），其分布列如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0. x 5 0.10 0.1 y 0.20
则丢失的两个数据 x ， y 依次为（ ）
A. 1，15 B. 2，5
C. 1，5 D. 5，2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 因为0.20＋0.10＋0.1× x ＋0.05＋0.10＋0.1＋0.01× y
＋0.20＝1，所以10 x ＋ y ＝25，又因为 x ≤9， y ≤9，且 x ∈N， y
∈N，所以 x ＝2， y ＝5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. 已知随机变量 X 的概率分布为 P （ X ＝ n ）＝ （ n ＝
0，1，2），其中 a 是常数，则 P （0≤ X ＜2）的值等于（ ）
A. B.
C. D.
解析： 根据题意，有 P （ X ＝0）＋ P （ X ＝1）＋ P （ X ＝2）
＝ ＋ ＋ ＝1，解得 a ＝ ，则 P （0≤ x ＜2）＝ P （ X ＝0）＋ P
（ X ＝1）＝ ＋ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. 若随机变量η的分布列为
η －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当 P （η ＜ x ）＝0.8时，实数 x 的取值范围是（ ）
A. x ≤2 B. 1≤ x ≤2
C. 1＜ x ≤2 D. 1＜ x ＜2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 根据随机变量η的分布列知，实数η的所有可能取值是－
2，－1，0，1，2，3，且 P （η≥2）＝ P （η＝2）＋ P （η＝3）＝
0.1＋0.1＝0.2，则 P （η＜2）＝1－0.2＝0.8，
又因为 P （η≤1）＝ P （η＝－2）＋ P （η＝－1）＋ P （η＝0）＋
P （η＝1）＝0.8，
则当 P （η ＜ x ）＝0.8时，实数 x 的取值范围是1＜ x ≤2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5. （多选）已知随机变量 X 的分布列如下表（其中 a 为常数）：
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的是（ ）
A. a ＝0.1 B. P （ X ≥2）＝0.7
C. P （ X ≥3）＝0.4 D. P （ X ≤1）＝0.3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 由0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋ a ＝1，得 a ＝0.1，所以 P
（ X ≥2）＝1－0.1－0.2＝0.7，
P （ X ≥3）＝0.2＋0.1＝0.3，
P （ X ≤1）＝0.1＋0.2＝0.3，故选A、B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6. 已知随机变量ζ的分布列如下：
ζ －1 0 1 2 3 4
P 0.05 0.1 0.15 0.2 0.23 0.27
那么 P ＝ .
解析： P ＝ P （ζ＝0）＋ P （ζ＝1）＋ P （ζ＝2）＋ P
（ζ＝3）＝0.1＋0.15＋0.2＋0.23＝0.68.
0.68
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7. 若随机变量 X 服从两点分布，且 P （ X ＝1）＝0.2， Y ＝3 X －2，
则 P （ Y ＝－2）＝ .
解析：因为 Y ＝3 X －2，所以当 Y ＝－2时， X ＝0，所以 P （ Y ＝－
2）＝ P （ X ＝0）.因为 X 服从两点分布，所以 P （ X ＝0）＝1－ P
（ X ＝1）＝0.8.
0.8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
8. 已知离散型随机变量 X 的分布列 P （ X ＝ k ）＝ ， k ＝1，2，3，
4，5.令 Y ＝2 X －2，则 P （ Y ＞0）＝ .
解析：由已知 Y 的取值范围是{0，2，4，6，8}，且 P （ Y ＝0）＝
， P （ Y ＝2）＝ ， P （ Y ＝4）＝ ＝ ， P （ Y ＝6）＝ ，
P （ Y ＝8）＝ ＝ .
则 P （ Y ＞0）＝ P （ Y ＝2）＋ P （ Y ＝4）＋ P （ Y ＝6）＋ P （ Y
＝8）＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
9. 在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4
场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等.已知当
这4场比赛结束后，该班胜场多于负场.
（1）求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；
解： 若胜一场，则其余为平，共有 ＝4种情况；若胜
两场，则其余两场为一负一平或两平，共有 ＋ ＝18
（种）情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有 ×2
＝8（种）情况；若胜四场，则只有一种情况.综上，共有31
种情况.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（2）若胜场次数为 X ，求 X 的分布列.
解： X 的取值范围是{1，2，3，4}， P （ X ＝1）＝
， P （ X ＝2）＝ ， P （ X ＝3）＝ ， P （ X ＝4）＝
，
所以 X 的分布列为
X 1 2 3 4
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10. （多选）下列问题中的随机变量服从两点分布的是（ ）
A. 抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量 X
B. 某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量 X
C. 从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量 X ＝
D. 某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量 X
解析： A中随机变量 X 的取值有6个，不服从两点分布，故
选B、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
11. 随机变量ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2
P a b c
其中 a ＋ c ＝2 b ，则函数 f （ x ）＝ x2＋2 x ＋ξ有且只有一个零点的
概率为（ ）
A. B.
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 由题意知解得 b ＝ .
∵ f （ x ）＝ x2＋2 x ＋ξ有且只有一个零点，
∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，∴ P （ξ＝1）＝ .故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12. 如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指
数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气
重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该
市，并停留2天.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（1）设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则 B ＝
A5∪ A8.
所以 P （ B ）＝ P （ A5∪ A8）＝ P （ A5）＋ P （ A8）＝ .
解：设 Ai 表示事件“此人于3月 i 日到达该市”（ i ＝1，
2，…，13）.
根据题意， P （ Ai ）＝ ，且 Ai ∩ Aj ＝ （ i ≠ j ， j ＝1，
2，…，13）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解：由题意可知， X 的取值范围是{0，1，2}，则
P （ X ＝1）＝ P （ A3∪ A6∪ A7∪ A11）＝ P （ A3）＋ P
（ A6）＋ P （ A7）＋ P （ A11）＝ ， P （ X ＝2）＝ P
（ A1∪ A2∪ A12∪ A13）＝ P （ A1）＋ P （ A2）＋ P （ A12）
＋ P （ A13）＝ .
P （ X ＝0）＝1－ P （ X ＝1）－ P （ X ＝2）＝ ，
所以 X 的分布列为
（2）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列.
X 0 1 2
P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
13. 一批产品分为四级，其中抽到一级产品的概率是抽到二级产品概
率的两倍，抽到三级产品的概率是抽到二级产品概率的一半，抽
到四级产品的概率与抽到三级产品的概率相等，从这批产品中随
机抽取一个检验质量，其级别为随机变量ξ，则 P （ξ＝2）＝
， P （ξ＞1）＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析：依题意， P （ξ＝1）＝2 P （ξ＝2）， P （ξ＝3）＝ P （ξ
＝2）， P （ξ＝3）＝ P （ξ＝4），由分布列的性质得，1＝ P （ξ
＝1）＋ P （ξ＝2）＋ P （ξ＝3）＋ P （ξ＝4），∴4 P （ξ＝2）＝
1，解得 P （ξ＝2）＝ ，∴ P （ξ＝3）＝ ， P （ξ＝4）＝ .
∴ P （ξ＞1）＝ P （ξ＝2）＋ P （ξ＝3）＋ P （ξ＝4）＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
14. 在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3的三个大小相同
的小球，现从这个盒子中，有放回地先后取得两个小球，其标号
分别为 x ， y ，记ξ＝｜ x －2｜＋｜ x － y ｜.
（1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
解：（1）∵｜ x －2｜≤1，｜ x － y ｜≤2，
∴ξ≤3，且 x ＝3， y ＝1或 x ＝1， y ＝3时，ξ＝3，
因此，随机变量ξ的最大值为3.
∵有放回地先后取得2个小球共有9种情况，
∴ P （ξ＝3）＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（2）求随机变量ξ的分布列.
解： 随机变量ξ的所有取值为0，1，2，3.
∵ξ＝0时，只有 x ＝2， y ＝2这一种情况；
ξ＝1时，有 x ＝1， y ＝1或 x ＝2， y ＝1或 x ＝2， y ＝3或 x ＝
3， y ＝3四种情况；
ξ＝2时，有 x ＝1， y ＝2或 x ＝3， y ＝2两种情况；
ξ＝3时，有 x ＝3， y ＝1或 x ＝1， y ＝3两种情况；
∴ P （ξ＝0）＝ ， P （ξ＝1）＝ ，
P （ξ＝2）＝ ， P （ξ＝3）＝ ，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
ξ 0 1 2 3
P
故随机变量ξ的分布列为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
谢 谢 观 看！
