4.2.3 二项分布与超几何分布
1.10名学生中有a名女生，若从中抽取2名作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a等于（ ）
A.1 B.2或8
C.2 D.8
2.某批电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P（ξ＝3）＝（ ）
A.×× B.××
C.× D.×
3.盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为（ ）
A.恰有1个是坏的
B.4个全是好的
C.恰有2个是好的
D.至多有2个是坏的
4.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动，质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动六次后位于点（4，2）的概率是（ ）
A. B.×
C.× D.××
5.（多选）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的是（ ）
A.从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B.从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为
C.现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
D.从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
6.数学老师从6道习题中随机抽3道让同学解答，规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是 .
7.设X～B（2，p），Y～B（4，p），已知P（X≥1）＝，则P（Y≥1）＝ ，P（Y≥2）＝ .
8.甲队和乙队进行乒乓球决赛，采取七局四胜制（当一队赢得四局胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队每局取胜的概率为0.8.且各局比赛结果互不影响，则甲队以4∶1获胜的概率是 .
9.某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列.
10.（多选）某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击3次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，下列结论正确的是（ ）
A.他三次都击中目标的概率是0.93
B.他第三次击中目标的概率是0.9
C.他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1
D.他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12
11.设随机变量X服从二项分布X～B，则函数f（x）＝x2＋4x＋X存在零点的概率是（ ）
A. B.
C. D.
12.袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求：
（1）有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列；
（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列.
13.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，次品数为ξ，已知P（ξ＝1）＝，该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为 .
14.现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（1）求这4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率；
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝｜X－Y｜，求随机变量ξ的分布列.
4.2.3 二项分布与超几何分布
1.B 由题意知，＝，解得a＝2或a＝8.
2.C ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故P（ξ＝3）＝×.
3.C 设“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”，则P（X＝k）＝（k＝1，2，3，4）.所以P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝，故选C.
4.B ∵质点P移动的方向只有向上或向右，且每次向上、向右移动的概率都是，
∴质点P作6次移动可以看做6次独立重复试验，
故质点P移动6次后位于点（4，2）的概率即为6次移动中恰有2次向上移动的概率P＝××＝×.故选B.
5.ABD 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，从中任取3球，恰有一个白球的概率是＝，故A正确；从中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为＝，则恰好有两次白球的概率为××＝，故B正确；现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为＝，故C错误；从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为p＝＝，则至少有一次取到红球的概率为1－×＝，故D正确.
6. 解析：由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝＋＝.
7. 解析：∵X～B（2，p），
∴P（X≥1）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝1－P（X＝0）＝1－p0（1－p）2＝1－（1－p）2＝，解得p＝.
又∵Y～B（4，p），
∴P（Y≥1）＝1－P（Y＝0）＝1－p0（1－p）4＝1－（1－p）4＝1－＝.
∴P（Y≥2）＝p2（1－p）2＋p3（1－p）＋p4＝6××＋4××＋＝.
8. 解析：甲队以4∶1获胜时共进行了5局比赛，其中甲队在前4局中获胜3局，第5局获胜，则概率是×××＝.
9.解：（1）由已知，有P（A）＝＝，
所以事件A发生的概率为.
（2）随机变量X的取值范围是{0，1，2}.
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
10.ABD A正确；由每次射击，击中目标的概率为0.9，知他第三次击中目标的概率也为0.9，B正确；3次射击恰好2次击中目标的概率为×0.92×0.1，C不正确；恰好2次未击中目标，即恰好击中目标1次，概率为×0.9×0.12，D正确.故选A、B、D.
11.C 因为函数f（x）＝x2＋4x＋X存在零点，所以Δ＝16－4X≥0，解得X≤4，因为随机变量X服从二项分布X～B，所以P（X≤4）＝1－P（X＝5）＝1－＝.故选C.
12.解：（1）有放回抽样时，由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X～B，
所以P（X＝0）＝××＝，
P（X＝1）＝××＝，
P（X＝2）＝××＝，
P（X＝3）＝××＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）不放回抽样时，随机抽取3次可以看成随机抽取1次但1次抽取了3个，因此取到黑球的个数Y服从参数为10，3，2的超几何分布，则Y～H（10，3，2），则
P（Y＝0）＝＝，P（Y＝1）＝＝，
P（Y＝2）＝＝.
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
13.20% 解析：设10件产品中存在n件次品，从中抽取2件，其次品数为ξ，由P（ξ＝1）＝，得＝，化简得n2－10n＋16＝0，解得n＝2或n＝8.又∵该产品的次品率不超过40%，∴n≤4，应取n＝2，即这10件产品的次品率为＝20%.
14.解：依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i个人去参加甲游戏”为事件Ai（i＝0，1，2，3，4），
则P（Ai）＝××.
（1）这4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率P（A2）＝××＝.
（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4.由于A3与A4互斥，故P（B）＝P（A3）＋P（A4）＝××＋×＝.
所以这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
（3）ξ的取值范围是{0，2，4}，
故P（ξ＝0）＝P（A2）＝，P（ξ＝2）＝P（A1）＋P（A3）＝，P（ξ＝4）＝P（A0）＋P（A4）＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 2 4
P
2 / 24.2.3 二项分布与超几何分布
新课程标准解读 核心素养
1.能够结合具体实例理解n次独立重复试验的概念 数学抽象
2.能够结合具体实例理解并掌握独立重复试验的概率公式，能运用这个公式解决实际问题 数学建模
3.能够结合具体实例理解二项分布及其在实际生活中的应用 逻辑推理
4.能够结合具体实例理解超几何分布的概念，掌握超几何分布的概率公式 数学抽象
5.能应用超几何分布解决简单的实际问题，了解二项分布与超几何分布之间的关系 逻辑推理
在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环，甲、乙两班顺利进入最后的决赛.在每一场比赛中，甲班取胜的概率为0.6，乙班取胜的概率是0.4，比赛既可以采用三局两胜制，又可以采用五局三胜制.
【问题】 如果你是甲班的一名同学，你认为采用哪种赛制对你班更有利？
知识点一 n次独立重复实验
在相同条件下， 地做n次伯努利试验，这n次试验是 的，那么一般就称这n次伯努利试验为n次独立重复试验.
提醒 （1）独立重复试验的特征：①每次试验都是在相同的条件下进行；②每次试验都只有两个结果：事件发生、事件不发生；③各次试验之间相互独立；④每次试验，某事件发生的概率都是相同的.
（2）独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验也可近似地看作是该模型，所以独立重复试验在实际问题中应用非常广泛.
知识点二 二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P（X＝k）＝ ，k＝0，1，…，n，因此X的分布列如下表所示.
X 0 1 … k … n
P p0qn p1qn－1 … pkqn－k … pnq0
注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是（q＋p）n的展开式p0qn＋p1qn－1＋…＋pkqn－k＋…＋pnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～ .
【想一想】
1.二项分布与两点分布有什么关系？
2.二项分布中公式P（X＝k）＝pkqn－k与二项式定理的通项之间有什么关系？
知识点三 超几何分布
一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件（M＜N），从所有物品中随机取出n件（n≤N），则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数（即n≤N－M）时取0，否则t取n减乙类物品件数之差（即t＝n－（N－M）），而且P（X＝k）＝ ，k＝t，t＋1，…，s，这里称X服从参数为N，n，M的超几何分布，记作X～ .
提醒 二项分布与超几何分布之间的联系：①二者之间的辨析：超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有截然不同的表达式，但看它们的概率分布表，会发现其相同点，两种分布的差别就在于“有放回”与“无放回”的差别，只要将概率模型中的“无放回”改为“有放回”，或将“有放回”改为“无放回”，就可以实现两种分布之间的转化；②超几何分布到二项分布：事实上，在次品件数为确定数M，产品件数N很大时，任意抽取n件，无放回与有放回无区别，故可看作n次独立重复试验，其中含有次品的件数服从二项分布.在这里，超几何分布转化为二项分布.
1.已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率等于的是（ ）
A.P（X＝2） B.P（X≤2）
C.P（X＝4） D.P（X≤4）
2.已知某品种的幼苗每株成活率为p，则栽种3株这种幼苗恰好成活2株的概率为（ ）
A.p2 B.p2（1－p）
C.p2 D.p2（1－p）
3.独立重复试验满足的条件是 （填序号）.
①每次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有发生和不发生两种情况；
③每次试验中某事件发生的机会是均等的；
④每次试验发生的事件是互斥的.
题型一 独立重复试验的概率计算
【例1】 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.
（1）求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；
（2）求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
尝试解答
【母题探究】
（变设问）在本例（2）的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率.
通性通法
独立重复试验概率求法的三个步骤
【跟踪训练】
甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用五场三胜制，即若有一队先胜三场，则此队为总冠军，比赛就此结束.因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元.
（1）求总决赛中获得门票总收入恰好为150万元且甲获得总冠军的概率；
（2）求乙队获得总冠军的概率；
（3）求门票总收入恰好为220万元的概率.
题型二 二项分布
【例2】 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（1）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列；
（2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.
尝试解答
通性通法
求解二项分布列的步骤
（1）判断随机变量X是否服从二项分布；
（2）建立二项分布模型；
（3）确定X的取值并求出相应的概率；
（4）写出分布列.
【跟踪训练】
一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得－200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
题型三 超几何分布
【例3】 某海域共有A，B型两种搜救船10艘，其中A型船7艘，B型船3艘.
（1）现从中任选2艘执行搜救任务，求恰好有一艘B型船的概率；
（2）假设每艘A型船的搜救能力指数为5，每艘B型船的搜救能力指数为10.现从这10艘船中随机抽出4艘执行搜救任务，设搜救能力指数为ξ，求ξ的分布列.
尝试解答
通性通法
求解超几何分布问题的方法技巧
（1）辨清模型：要结合实际问题分析所求概率分布问题是否由具有明显差异的两部分组成，或可转化为有明显差异的两部分，具有该特征的概率分布模型为超几何分布模型；
（2）确定好参数值：超几何分布中共有三个参数N，M，n，要结合题意确定好这三个参数的值分别等于多少，以便利用概率公式计算概率值；
（3）计算准确巧妙：求分布列的关键步骤是概率的计算，要记准公式，掌握计算技巧，一方面要熟练地运用组合数公式求值，另一方面还要善于运用分布列的性质简化计算过程.
【跟踪训练】
一个盒子里装有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.
（1）从盒子中随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率；
（2）从盒子中随机取出4个球，其中红球个数记为X，求随机变量X的分布列.
二项分布之概率最大问题
（1）如果某品种幼苗每株成活的概率为0.74，且每株幼苗是否成活相互独立，那么种植10株这种幼苗，最有可能成活（ ）
A.6株 B.7株
C.8株 D.9株
（2）如果X～B，那么P（X＝k）取得最大值时，k＝ .
答案：（1）C （2）6或7
解析：（1）假设最有可能成活幼苗的数量为k（k∈N且k≤10），则×0.74k×0.2610－k≥×0.74k＋1×0.269－k且×0.74k×0.2610－k≥×0.74k－1×0.2611－k，解得≤k≤，又k∈N，所以k＝8.
（2）由题意知，X服从二项分布，所以P（X＝k）＝××＝××，
P（X＝k－1）＝××，k∈N且k≤20.
由不等式≤1，即≤1，解得k≤7.
所以当k≤7时，P（X＝k）≥P（X＝k－1）；
当k＞7时，P（X＝k－1）＞P（X＝k）.
因为当k＝7时，P（X＝k－1）＝P（X＝k）.
所以k＝6或k＝7时，P（X＝k）取得最大值.
【问题探究】
二项分布之概率最大问题的求解思路
如果X～B（n，p），其中0＜p＜1，求P（X＝k）最大值对应的k值，一般是考查与1的大小关系.因为＝＝1＋（1≤k≤n），所以要使P（X＝k）≥P（X＝k－1），则k≤（n＋1）p.故有：
（1）若（n＋1）p＞n，则k＝n时P（X＝k）取得最大值；
（2）若（n＋1）p是不超过n的正整数，则当k＝（n＋1）p－1和k＝（n＋1）p时，P（X＝k）取得最大值；
（3）若（n＋1）p是不超过n的非整数，则当k＝[（n＋1）p]（注：[（n＋1）p]表示不超过（n＋1）p的最大整数）时P（X＝k）取得最大值.
提醒 还可以考虑用不等式组
来求解.
【迁移应用】
将一枚骰子任意抛掷500次，则1点出现（指1点的面向上）多少次的概率最大？
1.一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为（ ）
A. B.
C. D.
2.一口袋中有5个白球，3个红球，现从口袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P（X＝12）＝（ ）
A.××
B.×××
C.××
D.××
3.设X～B（4，p），且P（X＝2）＝，那么一次试验成功的概率p等于 .
4.已知某批产品共100件，其中二等品有20件.从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列.
ξ＝k 0 1 2
P（ξ＝k）
5.某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两位小数）：
（1）“5次预报中恰有2次准确”的概率；
（2）“5次预报中至少有2次准确”的概率.
4.2.3 二项分布与超几何分布
【基础知识·重落实】
知识点一
重复 相互独立
知识点二
pkqn－k B（n，p）
想一想
1.提示：根据二项分布与两点分布的定义，可知两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布.
2.提示：记P（X＝k）＝pk（1－p）n－k＝pkqn－k，则它恰好是二项式（q＋p）n展开式中的第k＋1项，即[（1－p）＋p]n展开式的第k＋1项.
知识点三
H（N，n，M）
自我诊断
1.C 由题意得，变量X服从超几何分布，样本点总数为，所求事件数为，
∴P（X＝4）＝，故选C.
2.D 令X为栽种3株这种幼苗成活的株数，则X～B（3，p），故P（X＝2）＝p2（1－p）.
3.①②③ 解析：由n次独立重复试验的定义知①②③正确.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验.
故P（A1）＝1－P（）＝1－＝.
（2）记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则
P（A2）＝×＝，P（B2）＝××＝.
由于甲、乙射击相互独立，故P（A2B2）＝×＝.
母题探究
解：记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P（A3）＝××＝，P（B3）＝，因为甲、乙射击相互独立，所以甲、乙均击中目标1次的概率为P（A3B3）＝×＝.
跟踪训练
解：（1）门票总收入恰好为150万元且甲获得总冠军，即甲队连胜3场，故其概率P1＝×＝.
（2）乙队获得冠军，有以下几种情形：
①共比赛3场，乙队连胜3场，此时概率为×＝；
②共比赛4场，乙队在前3场比赛中获胜2场，另外1场甲队获胜，然后第4场比赛乙队获胜，此时概率为×××＝；
③共比赛5场，乙队在前4场比赛中获胜2场，另外2场甲队获胜，然后第5场比赛乙队获胜，此时概率为×××＝.
故乙队获得总冠军的概率为P2＝＋＋＝.
（3）门票总收入恰好为220万元时，比赛共进行了4场.
若甲队获胜，则概率为×××＝；
若乙队获胜，则概率为×××＝，
故所求概率P3＝＋＝.
【例2】 解：（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B，从而P（X＝k）＝××，k＝0，1，2，3.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}.由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由（1）知，P（M）＝P（{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}）＝P（{X＝3，Y＝1}）＋P（{X＝2，Y＝0}）＝P（X＝3）P（Y＝1）＋P（X＝2）P（Y＝0）＝×＋×＝.
跟踪训练
解：（1）X的取值范围是{10，20，100，－200}.根据题意，X服从参数为3，的二项分布，即X～B，因此P（X＝10）＝××＝，
P（X＝20）＝××＝，
P（X＝100）＝××＝，
P（X＝－200）＝××＝.
所以X的分布列为
X 10 20 100 －200
P
（2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai（i＝1，2，3），则P（A1）＝P（A2）＝P（A3）＝P（X＝－200）＝，
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1－P（A1A2A3）＝1－＝1－＝.
因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是.
【例3】 解：（1）设“恰好有1艘B型船”为事件A，则P（A）＝＝，即恰好有1艘B型船的概率为.
（2）法一 依题意，ξ的取值范围是{20，25，30，35}.
且P（ξ＝20）＝＝，P（ξ＝25）＝＝，P（ξ＝30）＝＝，P（ξ＝35）＝＝.
因此ξ的分布列为
ξ 20 25 30 35
P
法二 设随机抽取的4艘船中含有B型船的艘数为η，依题意η服从10，4，3的超几何分布即η～H（10，4，3）.
而搜救能力指数ξ＝10η＋5（4－η）＝20＋5η，其中η＝0，1，2，3，所以ξ＝20，25，30，35.
且P（ξ＝20）＝P（η＝0）＝＝，
P（ξ＝25）＝P（η＝1）＝＝，
P（ξ＝30）＝P（η＝2）＝＝，
P（ξ＝35）＝P（η＝3）＝＝.
故ξ的分布列为
ξ 20 25 30 35
P
跟踪训练
解：（1）一个盒子里装有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同，从盒子中随机取出2个球，样本点总数n＝＝36，取出的2个球颜色相同包含的样本点个数m＝＋＋＝10，
∴取出的2个球颜色相同的概率P＝＝＝.
（2）从盒子中随机取出4个球，其中红球个数记为X，则X的取值范围是{0，1，2，3，4}，X服从参数为9，4，4的超几何分布，即X～H（9，4，4），因此P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，∴随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
拓视野 二项分布之概率最大问题
迁移应用
解：设P（X＝k）为抛掷500次1点出现的概率，则P（X＝k）＝××，
于是＝
＝，由≥1，解得k≤82.5.
即当k≤82时，P（X＝k）＜P（X＝k＋1）.
所以，当k≤82时，P（X＝k）是单调递增的；
当k≥83时，P（X＝k）是单调递减的.
又＞1，从而P（X＝83）是最大的，故1点出现83次的概率最大.
随堂检测
1.B 由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P（X＝1）＝＝.
2.D 由题意可得，取得红球的概率为，P（X＝12）说明前11次取球中，有9次取得红球、2次取得白球，且第12次取得红球，故P（X＝12）＝×××＝××.
3.或 解析：P（X＝2）＝p2（1－p）2＝，
即p2（1－p）2＝·，解得p＝或p＝.
4. 解析：由题意可知ξ～H（100，2，20）.
则P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝.
5.解：（1）记“预报1次准确”为事件A，则P（A）＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验.“恰有2次准确”的概率为P＝×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
（2）“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝×0.25＋×0.8×0.24＝0.006 72.
所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99.
所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.
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4.2.3
二项分布与超几何分布
新课程标准解读 核心素养
1.能够结合具体实例理解 n 次独立重复试验的概念 数学抽象
2.能够结合具体实例理解并掌握独立重复试验的概率公
式，能运用这个公式解决实际问题 数学建模
3.能够结合具体实例理解二项分布及其在实际生活中的应用 逻辑推理
4.能够结合具体实例理解超几何分布的概念，掌握超几何分布的概率公式 数学抽象
5.能应用超几何分布解决简单的实际问题，了解二项分布与超几何分布之间的关系 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环，甲、乙两班顺利
进入最后的决赛.在每一场比赛中，甲班取胜的概率为0.6，乙班取胜
的概率是0.4，比赛既可以采用三局两胜制，又可以采用五局三胜制.
【问题】 如果你是甲班的一名同学，你认为采用哪种赛制对你班更
有利？
知识点一 n 次独立重复实验
在相同条件下， 地做 n 次伯努利试验，这 n 次试验是
的，那么一般就称这 n 次伯努利试验为 n 次独立重复试验.
重复
相
互独立
提醒 （1）独立重复试验的特征：①每次试验都是在相同的条件下
进行；②每次试验都只有两个结果：事件发生、事件不发生；③各次
试验之间相互独立；④每次试验，某事件发生的概率都是相同的.
（2）独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题，但在实际
应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验也可近似地
看作是该模型，所以独立重复试验在实际问题中应用非常广泛.
知识点二 二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为 p ，记 q
＝1－ p ，且 n 次独立重复试验中出现“成功”的次数为 X ，则 X 的取
值范围是{0，1，…， k ，…， n }，而且 P （ X ＝ k ）＝
， k ＝0，1，…， n ，因此 X 的分布列如下表所示.
X 0 1 … k … n
P p0 qn p1 qn－1 … pkqn－k … pnq0
pkqn－
k
注意到上述 X 的分布列第二行中的概率值都是（ q ＋ p ） n 的展开式
p0 qn ＋ p1 qn－1＋…＋ pkqn－ k ＋…＋ pnq0中对应项的值，因此称
X 服从参数为 n ， p 的二项分布，记作 X ～ .
B （ n ， p ）
【想一想】
1. 二项分布与两点分布有什么关系？
提示：根据二项分布与两点分布的定义，可知两点分布是一种特殊
的二项分布，即 n ＝1时的二项分布.
2. 二项分布中公式 P （ X ＝ k ）＝ pkqn－ k 与二项式定理的通项之间
有什么关系？
提示：记 P （ X ＝ k ）＝ pk （1－ p ） n－ k ＝ pkqn－ k ，则它恰好
是二项式（ q ＋ p ） n 展开式中的第 k ＋1项，即[（1－ p ）＋ p ] n 展
开式的第 k ＋1项.
知识点三 超几何分布
一般地，若有总数为 N 件的甲、乙两类物品，其中甲类有 M 件（ M
＜ N ），从所有物品中随机取出 n 件（ n ≤ N ），则这 n 件中所含甲类
物品数 X 是一个离散型随机变量， X 能取不小于 t 且不大于 s 的所有自
然数，其中 s 是 M 与 n 中的较小者， t 在 n 不大于乙类物品件数（即 n
≤ N － M ）时取0，否则 t 取 n 减乙类物品件数之差（即 t ＝ n －（ N －
M ）），而且 P （ X ＝ k ）＝ ， k ＝ t ， t ＋1，…， s ，这
里称 X 服从参数为 N ， n ， M 的超几何分布，记作 X ～
.
H （ N ， n ，
M ）
提醒 二项分布与超几何分布之间的联系：①二者之间的辨析：超几
何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上
看，两种分布的概率求解有截然不同的表达式，但看它们的概率分布
表，会发现其相同点，两种分布的差别就在于“有放回”与“无放
回”的差别，只要将概率模型中的“无放回”改为“有放回”，或将
“有放回”改为“无放回”，就可以实现两种分布之间的转化；②超
几何分布到二项分布：事实上，在次品件数为确定数 M ，产品件数 N
很大时，任意抽取 n 件，无放回与有放回无区别，故可看作 n 次独立
重复试验，其中含有次品的件数服从二项分布.在这里，超几何分布
转化为二项分布.
1. 已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村
庄，用 X 表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率等于
的是（ ）
A. P （ X ＝2） B. P （ X ≤2）
C. P （ X ＝4） D. P （ X ≤4）
解析： 由题意得，变量 X 服从超几何分布，样本点总数为
，所求事件数为 ，
∴ P （ X ＝4）＝ ，故选C.
2. 已知某品种的幼苗每株成活率为 p ，则栽种3株这种幼苗恰好成活2
株的概率为（ ）
A. p2 B. p2（1－ p ）
C. p2 D. p2（1－ p ）
解析： 令 X 为栽种3株这种幼苗成活的株数，则 X ～ B （3，
p ），故 P （ X ＝2）＝ p2（1－ p ）.
3. 独立重复试验满足的条件是 （填序号）.
①每次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有发生和不发生两种情况；
③每次试验中某事件发生的机会是均等的；
④每次试验发生的事件是互斥的.
解析：由 n 次独立重复试验的定义知①②③正确.
①②③
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 独立重复试验的概率计算
【例1】 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 ，假
设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.
（1）求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；
解： 记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件 A1，由
题意，射击3次，相当于3次独立重复试验.
故 P （ A1）＝1－ P （ ）＝1－ ＝ .
（2）求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的
概率.
解： 记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件 A2，“乙
射击2次，恰有1次击中目标”为事件 B2，则
P （ A2）＝ × ＝ ， P （ B2）＝ × × ＝
.
由于甲、乙射击相互独立，故 P （ A2 B2）＝ × ＝ .
【母题探究】
（变设问）在本例（2）的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率.
解：记“甲击中目标1次”为事件 A3，“乙击中目标1次”为事件 B3，
则 P （ A3）＝ × × ＝ ， P （ B3）＝ ，因为甲、乙射击相互独
立，所以甲、乙均击中目标1次的概率为 P （ A3 B3）＝ × ＝ .
通性通法
独立重复试验概率求法的三个步骤
【跟踪训练】
甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用五场三胜制，即若有一队先
胜三场，则此队为总冠军，比赛就此结束.因两队实力相当，每场比
赛两队获胜的可能性均为 .据以往资料统计，第一场比赛可获得门票
收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元.
（1）求总决赛中获得门票总收入恰好为150万元且甲获得总冠军
的概率；
解： 门票总收入恰好为150万元且甲获得总冠军，即甲队
连胜3场，故其概率 P1＝ × ＝ .
（2）求乙队获得总冠军的概率；
解： 乙队获得冠军，有以下几种情形：
①共比赛3场，乙队连胜3场，此时概率为 × ＝ ；
②共比赛4场，乙队在前3场比赛中获胜2场，另外1场甲队获
胜，然后第4场比赛乙队获胜，此时概率为 × ×
× ＝ ；
③共比赛5场，乙队在前4场比赛中获胜2场，另外2场甲队获
胜，然后第5场比赛乙队获胜，此时概率为 × ×
× ＝ .
故乙队获得总冠军的概率为 P2＝ ＋ ＋ ＝ .
（3）求门票总收入恰好为220万元的概率.
解： 门票总收入恰好为220万元时，比赛共进行了4场.
若甲队获胜，则概率为 × × × ＝ ；
若乙队获胜，则概率为 × × × ＝ ，
故所求概率 P3＝ ＋ ＝ .
题型二 二项分布
【例2】 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均
为 ，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校
情况相互独立.
（1）用 X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随
机变量 X 的分布列；
解： 因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且
每天7：30之前到校的概率均为 ，故 X ～ B ，从而 P （ X
＝ k ）＝ × × ， k ＝0，1，2，3.
所以随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天
数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 M 发生
的概率.
解： 设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为
Y ，则 Y ～ B ，且 M ＝{ X ＝3， Y ＝1}∪{ X ＝2， Y ＝0}.
由题意知事件{ X ＝3， Y ＝1}与{ X ＝2， Y ＝0}互斥，且事件{ X
＝3}与{ Y ＝1}，事件{ X ＝2}与{ Y ＝0}均相互独立，从而由
（1）知， P （ M ）＝ P （{ X ＝3， Y ＝1}∪{ X ＝2， Y ＝0}）＝
P （{ X ＝3， Y ＝1}）＋ P （{ X ＝2， Y ＝0}）＝ P （ X ＝3）· P
（ Y ＝1）＋ P （ X ＝2） P （ Y ＝0）＝ × ＋ × ＝ .
通性通法
求解二项分布列的步骤
（1）判断随机变量 X 是否服从二项分布；
（2）建立二项分布模型；
（3）确定 X 的取值并求出相应的概率；
（4）写出分布列.
【跟踪训练】
一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要
么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次
音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，
没有出现音乐则扣除200分（即获得－200分）.设每次击鼓出现音乐
的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为 X ，求 X 的分布列；
解： X 的取值范围是{10，20，100，－200}.根据题意， X
服从参数为3， 的二项分布，即 X ～ B ，因此 P （ X ＝
10）＝ × × ＝ ，
P （ X ＝20）＝ × × ＝ ，
P （ X ＝100）＝ × × ＝ ，
P （ X ＝－200）＝ × × ＝ .
所以 X 的分布列为
X 10 20 100 －200
P
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
解： 设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai （ i ＝1，2，
3），则 P （ A1）＝ P （ A2）＝ P （ A3）＝ P （ X ＝－200）＝ ，
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1－ P （ A1 A2 A3）＝1－ ＝1－ ＝ .
因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是 .
题型三 超几何分布
【例3】 某海域共有 A ， B 型两种搜救船10艘，其中 A 型船7艘， B
型船3艘.
（1）现从中任选2艘执行搜救任务，求恰好有一艘 B 型船的概率；
解： 设“恰好有1艘 B 型船”为事件 A ，则 P （ A ）＝
＝ ，即恰好有1艘 B 型船的概率为 .
（2）假设每艘 A 型船的搜救能力指数为5，每艘 B 型船的搜救能力指
数为10.现从这10艘船中随机抽出4艘执行搜救任务，设搜救能
力指数为ξ，求ξ的分布列.
解： 法一 依题意，ξ的取值范围是{20，25，30，35}.
且 P （ξ＝20）＝ ＝ ， P （ξ＝25）＝ ＝ ，
P （ξ＝30）＝ ＝ ， P （ξ＝35）＝ ＝ .
因此ξ的分布列为
ξ 20 25 30 35
P
法二 设随机抽取的4艘船中含有 B 型船的艘数为η，依题意η服从
10，4，3的超几何分布即η～ H （10，4，3）.
而搜救能力指数ξ＝10η＋5（4－η）＝20＋5η，其中η＝0，1，2，3，
所以ξ＝20，25，30，35.
且 P （ξ＝20）＝ P （η＝0）＝ ＝ ，
P （ξ＝25）＝ P （η＝1）＝ ＝ ，
P （ξ＝30）＝ P （η＝2）＝ ＝ ，
P （ξ＝35）＝ P （η＝3）＝ ＝ .
故ξ的分布列为
ξ 20 25 30 35
P
通性通法
求解超几何分布问题的方法技巧
（1）辨清模型：要结合实际问题分析所求概率分布问题是否由具有
明显差异的两部分组成，或可转化为有明显差异的两部分，具
有该特征的概率分布模型为超几何分布模型；
（2）确定好参数值：超几何分布中共有三个参数 N ， M ， n ，要结合
题意确定好这三个参数的值分别等于多少，以便利用概率公式
计算概率值；
（3）计算准确巧妙：求分布列的关键步骤是概率的计算，要记准公
式，掌握计算技巧，一方面要熟练地运用组合数公式求值，另
一方面还要善于运用分布列的性质简化计算过程.
【跟踪训练】
一个盒子里装有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些
球除颜色外完全相同.
（1）从盒子中随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率；
解： 一个盒子里装有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2
个绿球，这些球除颜色外完全相同，从盒子中随机取出2个球，
样本点总数 n ＝ ＝36，取出的2个球颜色相同包含的样本点个
数 m ＝ ＋ ＋ ＝10，
∴取出的2个球颜色相同的概率 P ＝ ＝ ＝ .
（2）从盒子中随机取出4个球，其中红球个数记为 X ，求随机变量 X
的分布列.
解： 从盒子中随机取出4个球，其中红球个数记为 X ，则 X
的取值范围是{0，1，2，3，4}， X 服从参数为9，4，4的超几
何分布，即 X ～ H （9，4，4），因此
P （ X ＝0）＝ ＝ ， P （ X ＝1）＝ ＝ ，
P （ X ＝2）＝ ＝ ， P （ X ＝3）＝ ＝ ，
P （ X ＝4）＝ ＝ ，∴随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
二项分布之概率最大问题
（1）如果某品种幼苗每株成活的概率为0.74，且每株幼苗是否成
活相互独立，那么种植10株这种幼苗，最有可能成活（ ）
A. 6株 B. 7株
C. 8株 D. 9株
解析： 假设最有可能成活幼苗的数量为 k （ k ∈N且 k
≤10），则 ×0.74 k ×0.2610－ k ≥ ×0.74 k＋1×0.269－ k
且 ×0.74 k ×0.2610－ k ≥ ×0.74 k－1×0.2611－ k ，解得
≤ k ≤ ，又 k ∈N，所以 k ＝8.
（2）如果 X ～ B ，那么 P （ X ＝ k ）取得最大值时， k
＝ .
6或7
解析：由题意知， X 服从二项分布，所以 P （ X ＝ k ）＝
× × ＝ × × ，
P （ X ＝ k －1）＝ × × ， k ∈N且 k ≤20.
由不等式 ≤1，即 ≤1，解得 k ≤7.
所以当 k ≤7时， P （ X ＝ k ）≥ P （ X ＝ k －1）；当 k ＞7时， P
（ X ＝ k －1）＞ P （ X ＝ k ）.
因为当 k ＝7时， P （ X ＝ k －1）＝ P （ X ＝ k ）.
所以 k ＝6或 k ＝7时， P （ X ＝ k ）取得最大值.
【问题探究】
二项分布之概率最大问题的求解思路
如果 X ～ B （ n ， p ），其中0＜ p ＜1，求 P （ X ＝ k ）最大值对应
的 k 值，一般是考查 与1的大小关系.因为 ＝
＝1＋ （1≤ k ≤ n ），所以要使 P （ X ＝ k ）≥
P （ X ＝ k －1），则 k ≤（ n ＋1） p .故有：
（1）若（ n ＋1） p ＞ n ，则 k ＝ n 时 P （ X ＝ k ）取得最大值；
（2）若（ n ＋1） p 是不超过 n 的正整数，则当 k ＝（ n ＋1） p －1和 k
＝（ n ＋1） p 时， P （ X ＝ k ）取得最大值；
（3）若（ n ＋1） p 是不超过 n 的非整数，则当 k ＝[（ n ＋1） p ]
（注：[（ n ＋1） p ]表示不超过（ n ＋1） p 的最大整数）时 P
（ X ＝ k ）取得最大值.
提醒 还可以考虑用不等式组
来求解.
【迁移应用】
将一枚骰子任意抛掷500次，则1点出现（指1点的面向上）多少次
的概率最大？
解：设 P （ X ＝ k ）为抛掷500次1点出现的概率，则 P （ X ＝ k ）＝
× × ，于是 ＝
＝ ，由 ≥1，解得 k ≤82.5.
即当 k ≤82时， P （ X ＝ k ）＜ P （ X ＝ k ＋1）.
所以，当 k ≤82时， P （ X ＝ k ）是单调递增的；
当 k ≥83时， P （ X ＝ k ）是单调递减的.
又 ＞1，从而 P （ X ＝83）是最大的，故1点出现83次的概
率最大.
1. 一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次
品的概率为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为 P （ X ＝
1）＝ ＝ .
2. 一口袋中有5个白球，3个红球，现从口袋中往外取球，每次任取一
个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了 X
次球，则 P （ X ＝12）＝（ ）
A. × ×
B. × × ×
C. × ×
D. × ×
解析： 由题意可得，取得红球的概率为 ， P （ X ＝12）说明
前11次取球中，有9次取得红球、2次取得白球，且第12次取得红
球，故 P （ X ＝12）＝ × × × ＝ × ×
.
3. 设 X ～ B （4， p ），且 P （ X ＝2）＝ ，那么一次试验成功的概
率 p 等于 .
解析： P （ X ＝2）＝ p2（1－ p ）2＝ ，
即 p2（1－ p ）2＝ · ，解得 p ＝ 或 p ＝ .
或
4. 已知某批产品共100件，其中二等品有20件.从中任意抽取2件，ξ表
示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列.
ξ＝ k 0 1 2
P （ξ＝ k ）
解析：由题意可知ξ～ H （100，2，20）.
则 P （ξ＝0）＝ ＝ ， P （ξ＝1）＝ ＝ .
5. 某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两位小数）：
（1）“5次预报中恰有2次准确”的概率；
解： 记“预报1次准确”为事件 A ，则 P （ A ）＝0.8.
5次预报相当于5次独立重复试验.
“恰有2次准确”的概率为 P ＝ ×0.82×0.23＝0.051
2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
（2）“5次预报中至少有2次准确”的概率.
解： “5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次
预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为 P ＝ ×0.25＋
×0.8×0.24＝0.006 72.
所以所求概率为1－ P ＝1－0.006 72≈0.99.
所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1.10名学生中有 a 名女生，若从中抽取2名作为学生代表，恰抽取1名
女生的概率为 ，则 a 等于（ ）
A. 1 B. 2或8
C. 2 D. 8
解析： 由题意知， ＝ ，解得 a ＝2或 a ＝8.
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2. 某批电子管正品率为 ，次品率为 ，现对该批电子管进行测试，
设第ξ次首次测到正品，则 P （ξ＝3）＝（ ）
A. × × B. × ×
C. × D. ×
解析： ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正
品，故 P （ξ＝3）＝ × .
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3. 盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，
则概率是 的事件为（ ）
A. 恰有1个是坏的 B. 4个全是好的
C. 恰有2个是好的 D. 至多有2个是坏的
解析： 设“ X ＝ k ”表示“取出的螺丝钉恰有 k 个是好的”，则
P （ X ＝ k ）＝ （ k ＝1，2，3，4）.所以 P （ X ＝1）＝ ，
P （ X ＝2）＝ ， P （ X ＝3）＝ ， P （ X ＝4）＝ ，故选C.
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4. 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动，质点每次移动一个单
位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是
.质点 P 移动六次后位于点（4，2）的概率是（ ）
A. B. ×
C. × D. × ×
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解析： ∵质点 P 移动的方向只有向上或向右，且每次向上、向
右移动的概率都是 ，
∴质点 P 作6次移动可以看做6次独立重复试验，
故质点 P 移动6次后位于点（4，2）的概率即为6次移动中恰有2次
向上移动的概率 P ＝ × × ＝ × .故选B.
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5. （多选）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正
确的是（ ）
A. 从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B. 从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为
C. 现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球
后，第二次再次取到红球的概率为
D. 从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
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14
解析： 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，从中任取3
球，恰有一个白球的概率是 ＝ ，故A正确；从中有放回的取
球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为 ＝ ，则恰好有两
次白球的概率为 × × ＝ ，故B正确；现从中不放回
的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取
到红球的概率为 ＝ ，故C错误；从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为 p ＝ ＝ ，则至少有一次取到红球的概率为1－ × ＝ ，故D正确.
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6. 数学老师从6道习题中随机抽3道让同学解答，规定至少要解答正确
2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率
是 .
解析：由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是 P （ X
≥2）＝ P （ X ＝2）＋ P （ X ＝3）＝ ＋ ＝ .
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7. 设 X ～ B （2， p ）， Y ～ B （4， p ），已知 P （ X ≥1）＝ ，则 P
（ Y ≥1）＝ ， P （ Y ≥2）＝ .
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解析：∵ X ～ B （2， p ），
∴ P （ X ≥1）＝ P （ X ＝1）＋ P （ X ＝2）＝1－ P （ X ＝0）＝1－
p0（1－ p ）2＝1－（1－ p ）2＝ ，解得 p ＝ .
又∵ Y ～ B （4， p ），
∴ P （ Y ≥1）＝1－ P （ Y ＝0）＝1－ p0（1－ p ）4＝1－（1－
p ）4＝1－ ＝ .
∴ P （ Y ≥2）＝ p2（1－ p ）2＋ p3（1－ p ）＋ p4＝6×
× ＋4× × ＋ ＝ .
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8. 甲队和乙队进行乒乓球决赛，采取七局四胜制（当一队赢得四局胜
利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队每局取胜的
概率为0.8.且各局比赛结果互不影响，则甲队以4∶1获胜的概率
是 .
解析：甲队以4∶1获胜时共进行了5局比赛，其中甲队在前4局中获
胜3局，第5局获胜，则概率是 × × × ＝ .
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9. 某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为
1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组
代表参加座谈会.
（1）设 A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事
件 A 发生的概率；
解： 由已知，有 P （ A ）＝ ＝ ，
所以事件 A 发生的概率为 .
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（2）设 X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变
量 X 的分布列.
解：随机变量 X 的取值范围是{0，1，2}.
P （ X ＝0）＝ ＝ ，
P （ X ＝1）＝ ＝ ， P （ X ＝2）＝ ＝ ，
所以随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2
P
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10. （多选）某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击3
次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，下列结论正确的
是（ ）
A. 他三次都击中目标的概率是0.93
B. 他第三次击中目标的概率是0.9
C. 他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1
D. 他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12
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解析： A正确；由每次射击，击中目标的概率为0.9，
知他第三次击中目标的概率也为0.9，B正确；3次射击恰好2
次击中目标的概率为 ×0.92×0.1，C不正确；恰好2次未击
中目标，即恰好击中目标1次，概率为 ×0.9×0.12，D正
确.故选A、B、D.
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11. 设随机变量 X 服从二项分布 X ～ B ，则函数 f （ x ）＝ x2＋4
x ＋ X 存在零点的概率是（ ）
A. B.
C. D.
解析： 因为函数 f （ x ）＝ x2＋4 x ＋ X 存在零点，所以Δ＝16－
4 X ≥0，解得 X ≤4，因为随机变量 X 服从二项分布 X ～ B
，所以 P （ X ≤4）＝1－ P （ X ＝5）＝1－ ＝ .故选C.
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12. 袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中随机
地连续抽取3次，每次取1个球，求：
（1）有放回抽样时，取到黑球的次数 X 的分布列；
解： 有放回抽样时，由于每次取到黑球的概率均为
，3次取球可以看成3次独立重复试验，则 X ～ B ，
所以 P （ X ＝0）＝ × × ＝ ，
P （ X ＝1）＝ × × ＝ ，
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P （ X ＝2）＝ × × ＝ ，
P （ X ＝3）＝ × × ＝ .
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
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（2）不放回抽样时，取到黑球的个数 Y 的分布列.
解： 不放回抽样时，随机抽取3次可以看成随机抽取1
次但1次抽取了3个，因此取到黑球的个数 Y 服从参数为10，
3，2的超几何分布，则 Y ～ H （10，3，2），则
P （ Y ＝0）＝ ＝ ， P （ Y ＝1）＝ ＝ ，
P （ Y ＝2）＝ ＝ .
所以 Y 的分布列为
Y 0 1 2
P
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13. 已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，次品数为
ξ，已知 P （ξ＝1）＝ ，该产品的次品率不超过40%，则这10件
产品的次品率为 .
解析：设10件产品中存在 n 件次品，从中抽取2件，其次品数为
ξ，由 P （ξ＝1）＝ ，得 ＝ ，化简得 n2－10 n ＋16＝
0，解得 n ＝2或 n ＝8.又∵该产品的次品率不超过40%，∴ n
≤4，应取 n ＝2，即这10件产品的次品率为 ＝20%.
20%
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14. 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加
者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子
决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，
掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（1）求这4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率；
解：依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为
，去参加乙游戏的概率为 .设“这4个人中恰有 i 个人去参
加甲游戏”为事件 Ai （ i ＝0，1，2，3，4），
则 P （ Ai ）＝ × × .
（1）这4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率
P （ A2）＝ × × ＝ .
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（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数
的概率；
解：设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏
的人数”为事件 B ，则 B ＝ A3∪ A4.由于 A3与 A4互斥，故 P
（ B ）＝ P （ A3）＋ P （ A4）＝ × × ＋ ×
＝ .
所以这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人
数的概率为 .
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（3）用 X ， Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ
＝｜ X － Y ｜，求随机变量ξ的分布列.
解： ξ的取值范围是{0，2，4}，
故 P （ξ＝0）＝ P （ A2）＝ ， P （ξ＝2）＝ P （ A1）＋ P
（ A3）＝ ， P （ξ＝4）＝ P （ A0）＋ P （ A4）＝ .
所以ξ的分布列为
ξ 0 2 4
P
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谢 谢 观 看！
