(共76张PPT)
第一课时
离散型随机变量的均值
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的数学期望的意
义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出数学期
望 逻辑推理、
数学运算
2.掌握两点分布、二项分布的数学期望 数学抽象
3.会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
设有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有
5个.
【问题】 （1）任取一个西瓜，用 X 表示这个西瓜的重量，试想 X
可以取哪些值？
（2） X 取上述值时对应的概率分别是多少？
（3）试想每个西瓜的平均重量该如何求？
知识点一 离散型随机变量的数学期望
1. 一般地，如果离散型随机变量 X 的分布列如下表所示.
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
则称 E （ X ）＝ x1 p1＋ x2 p2＋…＋ xnpn ＝ xipi 为离散型随机变量 X
的均值或数学期望（简称为期望）.
2. 离散型随机变量 X 的均值或数学期望刻画了 X 的 .
3. 若 X 与 Y 都是随机变量，且 Y ＝ aX ＋ b （ a ≠0），则 E （ Y ）＝ E
（ aX ＋ b ）＝ .
平均取值
aE （ X ）＋ b .
【想一想】
离散型随机变量的均值是在试验中出现的概率最大的值吗？或者是试
验的结果之一吗？
提示：可以通过举例说明.掷一枚硬币，出现正面的次数 X 是随机变
量，取 X ＝0，1，且取每个值的概率都是 ，其均值为0.5，既不是试
验中出现的概率最大值，也不是试验的结果之一.实际上，均值是随
机变量取值的平均水平.
知识点二 特殊分布的均值
1. 两点分布：若随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布，则 E （ X ）
＝ .
2. 二项分布：若离散型随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布，即
X ～ B （ n ， p ），则 E （ X ）＝ .
3. 超几何分布：若离散型随机变量 X 服从参数为 N ， n ， M 的超几何
分布，即 X ～ H （ N ， n ， M ），则 E （ X ）＝ .
p
np
.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）随机变量 X 的数学期望 E （ X ）是个变量，其随 X 的变化而变
化. （ × ）
（2）随机变量的均值反映样本的平均水平. （ × ）
（3）若随机变量 X 的数学期望 E （ X ）＝2，则 E （2 X ）＝4.
（ √ ）
（4）随机变量 X 的均值 E （ X ）＝ . （ × ）
×
×
√
×
2. 若随机变量 X 的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.1 0.15 m 0.4
则 E （ X ）＝ .
解析：由分布列的性质可得 m ＝1－（0.1＋0.15＋0.4）＝0.35，
于是 E （ X ）＝1×0.1＋2×0.15＋3×0.35＋4×0.4＝3.05.
3.05
3. 若ξ～ B （5， p ），且 E （ξ）＝ ，则 P （ξ＝2）＝ .
解析：由于ξ～ B （5， p ），所以 E （ξ）＝5 p ，
即5 p ＝ ，
因此 p ＝ ，
于是 P （ξ＝2）＝ × × ＝ .
4. 一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，求
其中所含白球个数的期望.
解：根据题目知所含白球数 X 服从参数为10，4，5的超几何分布，
即 X ～ H （10，4，5），则 E （ X ）＝ ＝ ＝2.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 离散型随机变量的期望
【例1】 已知随机变量 X 的分布列如下.
X －2 －1 0 1 2
P m
（1）求 E （ X ）；
解： 由随机变量分布列的性质，得 ＋ ＋ ＋ m ＋ ＝
1，解得 m ＝ ，∴ E （ X ）＝（－2）× ＋（－1）× ＋0×
＋1× ＋2× ＝－ .
（2）若 Y ＝2 X －3，求 E （ Y ）.
解： 法一 由（1）可知， E （ X ）＝－ ，∴ E （ Y ）＝
E （2 X －3）＝2 E （ X ）－3＝2× －3＝－ .
法二 ∵ Y ＝2 X －3，且由（1）可知， m ＝ ，
∴ Y 的分布列如下
Y －7 －5 －3 －1 1
P
∴ E （ Y ）＝（－7）× ＋（－5）× ＋（－3）× ＋（－1）×
＋1× ＝－ .
通性通法
求离散型随机变量 X 的均值的步骤
提醒 （1）由随机变量的分布列求均值，根据定义计算即可；（2）
对于随机变量 aX ＋ b ，可利用均值的性质求解，即 E （ aX ＋ b ）＝
aE （ X ）＋ b ；也可以先列出 aX ＋ b 的分布列，再用均值公式求解.
比较两种方式，显然前者较方便；（3）在选择题或填空题中出现特
殊分布模型，可以直接利用公式计算.
【跟踪训练】
若随机变量ξ的分布列如下表所示， E （ξ）＝1.6，则 a － b ＝
（ ）
ξ 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A. 0.2 B. －0.2
C. 0.8 D. －0.8
解析： 因为分布列中所有概率和为1，所以 a ＋ b ＝0.8，因为 E
（ξ）＝1.6，所以 a ＋2 b ＋0.3＝1.6， a ＋2 b ＝1.3，解得 a ＝0.3，
b ＝0.5， a － b ＝－0.2，故选B.
题型二 实际问题中的期望
【例2】 某工厂生产 A ， B 两种元件，已知生产 A 元件的正品率为
75%，生产 B 元件的正品率为80%，生产1个 A 元件，若是正品则盈利
50元，若是次品则亏损10元；生产1个 B 元件，若是正品则盈利40
元，若是次品则亏损5元.
（1）求生产5个 A 元件所得利润不少于140元的概率；
解： 法一 由题意知，生产5个 A 元件，若全为正品则所
得利润为250元；
若4个为正品，1个为次品，所得利润为4×50－10＝190
（元）；
若3个为正品，2个为次品，所得利润为3×50－2×10＝130
（元）.
由此可知生产5个 A 元件，当5个全为正品或4个为正品时，所得
利润不少于140元.
记“生产5个 A 元件所得利润不少于140元”为事件 A ，
则 P （ A ）＝ × × ＋ ＝ .
法二 设生产的5个 A 元件中有正品 n 个，由题意得
50 n －10（5－ n ）≥140，
解得 n ≥ .
所以 n ＝4或 n ＝5.
设“生产5个 A 元件所得利润不少于140元”为事件 A ，
则 P （ A ）＝ × × ＋ ＝ .
（2）设 X 为生产1个 A 元件和1个 B 元件所得总利润，求 X 的分布列和
数学期望.
解：随机变量 X 的取值范围是{－15，30，45，90}.
所以 P （ X ＝90）＝ × ＝ ，
P （ X ＝45）＝ × ＝ ，
P （ X ＝30）＝ × ＝ ，
P （ X ＝－15）＝ × ＝ .
故随机变量 X 的分布列为
X 90 45 30 －15
P
则 E （ X ）＝90× ＋45× ＋30× ＋（－15）× ＝66.
通性通法
实际问题中求离散型随机变量ξ的数学期望的步骤
（1）根据ξ的实际意义，写出ξ的取值范围；
（2）求出ξ取每个值的概率；
（3）写出ξ的分布列；
（4）利用定义求出数学期望.
其中第（1）、（2）两条是解答此类题目的关键，在求解过程
中应注重应用概率的相关知识.
【跟踪训练】
某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励
40元，命中4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，付款2元.
现有一游客，其每次射击命中率均为 ，且每次射击互不影响.
（1）求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率；
解： 设5发子弹命中 X （ X ＝0，1，2，3，4，5）发，由题
意知 X ～ B ，则由题意得 P （ X ＝5）＝ × ＝ .
（2）求该游客在一次游戏中获得奖金的均值.
解： 易得 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
设游客在一次游戏中获得的奖金为 Y 元，于是 Y 的分布列为
Y －2 0 40
P
故该游客在一次游戏中获得奖金的均值为
E （ Y ）＝（－2）× ＋0× ＋40× ＝－ .c
题型三 常见分布的期望
【例3】 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向
上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数 X 的均值是
.
解析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概
率为1－ ＝ ，且 X ～ B ，
∴均值 E （ X ）＝2× ＝ .
通性通法
常见的两种分布的均值
设 p 为一次试验中成功的概率，则
（1）两点分布 E （ X ）＝ p ；
（2）二项分布 E （ X ）＝ np .
熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度.
【跟踪训练】
罐中有6个红球，4个白球，每次从中任取1球，记住颜色后再放回
并搅匀，连续摸取4次，设 X 为取得红球的次数，则 X 的期望 E （ X ）
＝ .
解析：因为是有放回摸球，所以每次摸球摸得红球的概率均为 ，连
续摸4次，记 X 为取得红球的次数，则 X 服从参数为4， 的二项分
布，即 X ～ B ，从而有 E （ X ）＝ np ＝4× ＝ .
题型四 决策问题
【例4】 某工厂有5台机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故
障，且每台机器是否出现故障是相互独立的.出现故障时需1名工人进
行维修，每台机器出现故障的概率为 .已知1名工人每月只有维修1台
机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使
该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元.该工厂每月需支付给每名
维修工人1.5万元的工资.
（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，
则称工厂能正常运行.若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能
正常运行的概率；
解： ∵该工厂只有2名维修工人，∴要使工厂正常运行，
最多只能有2台机器出现故障，
∴该工厂正常运行的概率为 ＋ × × ＋ × ×
＝ .
①记该厂每月获利为 X 万元，求 X 的分布列与数学期望；
②以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应该
再招聘1名维修工人.
解： ① X 的取值范围是{31，44}，
P （ X ＝31）＝ ＝ ， P （ X ＝44）＝1－ ＝ .
∴ X 的分布列为
X 31 44
P
（2）已知该厂现有4名维修工人.
∴ E （ X ）＝31× ＋44× ＝ .
②若工厂再招聘一名维修工人，则工厂一定能正常运行，工厂
所获利润为5×10－1.5×5＝42.5（万元），
∵ ＞42.5，∴该厂不应该再招聘1名维修工人.
通性通法
1. 均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测、消
费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等
方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计.
2. 概率模型的三个解答步骤
（1）审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类
型，所用的公式有哪些；
（2）确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望；
（3）对照实际意义，得出概率、均值等所表示的结论.
【跟踪训练】
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A ， B 两类问题.每位参加比
赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若
回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽
取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束. A 类问题中
的每个问题回答正确得20分，否则得0分； B 类问题中的每个问题回
答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答 A 类问题的概率为0.8，能正确回答 B 类问题的概
率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分
布列；
解： 由题意得， X 的所有可能取值为0，20，100，
P （ X ＝0）＝1－0.8＝0.2，
P （ X ＝20）＝0.8×（1－0.6）＝0.32，
P （ X ＝100）＝0.8×0.6＝0.48，
所以 X 的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说
明理由.
解： 当小明先回答 A 类问题时，由（1）可得 E （ X ）＝
0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
当小明先回答 B 类问题时，记 Y 为小明的累计得分，
则 Y 的所有可能取值为0，80，100，
P （ Y ＝0）＝1－0.6＝0.4，
P （ Y ＝80）＝0.6×（1－0.8）＝0.12，
P （ Y ＝100）＝0.6×0.8＝0.48，
所以 Y 的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
E （ Y ）＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为57.6＞54.4，即 E （ Y ）＞ E （ X ），所以为使累计得分的
期望最大，小明应选择先回答 B 类问题.
1. 一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数 X
的数学期望是（ ）
A. 0.83 B. 0.8 C. 2.4 D. 3
解析： 因为射手射中的概率为0.8，则可得他独立射击3次中靶
的次数 X 的数学期望是 E （ X ）＝3×0.8＝2.4.
2. 有 N 件产品，其中有 M 件次品，从中不放回地抽 n 件产品，抽到次
品数的数学期望是（ ）
A. n B. （ n －1）
C. D. （ n ＋1）
解析： 设抽到的次品数为 X ，则有 N 件产品，其中有 M 件次
品，从中不放回地抽 n 件产品，能抽到的次品数 X 服从超几何分布
即抽到的次品数 X ～ H （ N ， n ， M ），
∴抽到次品数的数学期望值 E （ X ）＝ .
3. 某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知ξ的均值 E （ξ）＝8.9，则 y 的值为 .
解析：依题意得
即解得
0.4
4. 已知 E （ X ）＝ ，且 Y ＝ aX ＋3，若 E （ Y ）＝－2，则 a ＝
.
解析：∵ Y ＝ aX ＋3，∴ E （ Y ）＝ aE （ X ）＋3＝ a ＋3＝－2，
∴ a ＝－3.
－
3
5. 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购
买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险
相互独立.
（1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（1）设所求概率为 P1，则 P1＝1－（1－0.5）×（1－0.6）
＝0.8.
故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为
0.8.
解：设该车主购买乙种保险的概率为 P ，由题意知 P ×（1－
0.5）＝0.3，解得 P ＝0.6.
（2） X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主
数，求 X 的均值.
解：每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1－0.5）
×（1－0.6）＝0.2.
∴ X ～ B （100，0.2），∴ E （ X ）＝100×0.2＝20.
∴ X 的均值是20.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设随机变量 X ～ B （40， p ），且 E （ X ）＝16，则 p 等于
（ ）
A. 0.1 B. 0.2
C. 0.3 D. 0.4
解析： ∵ E （ X ）＝16，∴40 p ＝16，∴ p ＝0.4.故选D.
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2. 随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为（ ）
A. 0.6 B. 1
C. 3.5 D. 2
解析： 抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5 6
P
所以 E （ξ）＝1× ＋2× ＋3× ＋4× ＋5× ＋6× ＝3.5.
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3. 若 X 是一个随机变量，则 E （ X － E （ X ））的值为（ ）
A. 无法求 B. 0
C. E （ X ） D. 2 E （ X ）
解析： 只要认识到 E （ X ）是一个常数，则可直接运用均值的
性质求解.
∵ E （ aX ＋ b ）＝ aE （ X ）＋ b ，而 E （ X ）为常数，
∴ E （ X － E （ X ））＝ E （ X ）－ E （ X ）＝0.
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4. 某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损
失2 000元；若不出海也要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为
0.6，则出海的期望效益是（ ）
A. 2 000元 B. 2 200元
C. 2 400元 D. 2 600元
解析： 出海的期望效益 E （ X ）＝5 000×0.6＋（1－0.6）×
（－2 000）＝3 000－800＝2 200（元）.
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5. （多选）离散型随机变量 X 的可能取值为1，2，3，4， P （ X ＝
k ）＝ ak ＋ b （ k ＝1，2，3，4）， E （ X ）＝3，则（ ）
A. a ＝10 B. a ＝
C. b ＝0 D. b ＝1
解析：BC 易知 E （ X ）＝1×（ a ＋ b ）＋2×（2 a ＋ b ）＋3×
（3 a ＋ b ）＋4×（4 a ＋ b ）＝3，即30 a ＋10 b ＝3. ①
又（ a ＋ b ）＋（2 a ＋ b ）＋（3 a ＋ b ）＋（4 a ＋ b ）＝1，即10 a
＋4 b ＝1， ②
由①②，得 a ＝ ， b ＝0.
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6. 今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为
0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为 X ，则 E （ X ）
＝ .
解析： X 的取值范围是{0，1，2}， P （ X ＝0）＝（1－0.9）×
（1－0.85）＝0.015， P （ X ＝1）＝0.9×（1－0.85）＋0.85×
（1－0.9）＝0.22， P （ X ＝2）＝0.9×0.85＝0.765，
所以 E （ X ）＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
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7. 从装有除颜色外完全相同的3个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取
一球，有放回地摸取6次，设摸得白球的个数为 X ，已知 E （ X ）
＝3，则 m ＝ .
解析：根据题意可得出 P （ X ＝ k ）＝ · ，即
X ～ B ，所以 E （ X ）＝6× ＝3，解得 m ＝3.
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8. 袋中有4个红球， m 个黄球， n 个绿球.现从中任取两个球，记取出
的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为 ，一红一黄的
概率为 ，则 m － n ＝ ， E （ξ）＝ .
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解析：由题意可得， P （ξ＝2）＝ ＝
＝ ，化简得（ m ＋ n ）2＋7（ m ＋ n ）－60＝0，得 m ＋ n ＝5，取
出的两个球一红一黄的概率 P ＝ ＝ ＝ ，解得 m ＝3，故
n ＝2.所以 m － n ＝1，易知ξ的所有可能取值为0，1，2，且 P （ξ
＝2）＝ ， P （ξ＝1）＝ ＝ ， P （ξ＝0）＝ ＝ ，所以 E
（ξ）＝0× ＋1× ＋2× ＝ .
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9. 已知某种智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程
序，第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为
， ， ，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审
核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售.
（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；
解： 设“审核过程中只通过两道程序”为事件 A ，
则 P （ A ）＝ × × ＝ .
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（2）现有3部该智能手机进入审核，记这3部手机可以出厂销售的
部数为 X ，求 X 的分布列及数学期望.
解： 每部该智能手机可以出厂销售的概率为 × ×
＝ .
由题意可得 X 的取值范围是{0，1，2，3}，
则有 P （ X ＝0）＝ × ＝ ，
P （ X ＝1）＝ × × ＝ ，
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P （ X ＝2）＝ × × ＝ ，
P （ X ＝3）＝ × ＝ .
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
故 E （ X ）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .
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10. 已知抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的对称轴在 y 轴的左侧，其
中 a ， b ， c ∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线
中，记随机变量ξ＝｜ a － b ｜，则ξ的数学期望 E （ξ）为
（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 由于对称轴在 y 轴左侧，故－ ＜0，故 a ， b 同号，
样本点有3×3×7×2＝126（个）.ξ的可能取值为0，1，2， P （ξ
＝0）＝ ＝ ， P （ξ＝1）＝ ＝ ， P （ξ＝2）＝ ＝ .故
E （ξ）＝0× ＋1× ＋2× ＝ .故选A.
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11. （多选）设 p 为非负实数，随机变量 X 的概率分布列为：
X 0 1 2
P － p p
则下列说法正确的是（ ）
A. p ∈ B. E （ X ）最大值为
C. p ∈ D. E （ X ）最大值为
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解析： 由表可得从而得 p ∈ ，期望
值 E （ X ）＝0× ＋1· p ＋2× ＝ p ＋1，当且仅当 p ＝
时， E （ X ）最大值＝ .
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12. 一个盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字
是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张
卡片.
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
解： 由古典概型的概率计算公式知，所求概率为
＝ .
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（2）用 X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与
数学期望.
（注：若三个数 a ， b ， c 满足 a ≤ b ≤ c ，则称 b 为这三个
数的中位数）
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解： X 的取值范围是{1，2，3}，且由题意知
P （ X ＝1）＝ ＝ ，
P （ X ＝2）＝ ＝ ，
P （ X ＝3）＝ ＝ ，
故 X 的分布列为
X 1 2 3
P
所以 E （ X ）＝1× ＋2× ＋3× ＝ .
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13. 一个不透明袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球3个、黑
球2个，现随机等可能取出小球.当有放回依次取出两个小球时，
记取出的红球数为ξ1，则 E （ξ1）＝ ；当第一次取出一
个小球后，放入一个红球和一个黑球，再第二次随机取出一个小
球.记取出的红球总数为ξ2，则 E （ξ2）＝ .
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解析：由题意知ξ1的取值范围是{0，1，2}.
因为 P （ξ1＝0）＝ ＝ ，
P （ξ1＝1）＝ ＝ ， P （ξ1＝2）＝ ＝ ，
所以 E （ξ1）＝0× ＋1× ＋2× ＝ ；
由题意知ξ2的取值范围是{0，1，2}.
因为 P （ξ2＝0）＝ ＝ ，
P （ξ2＝1）＝ ＝ ， P （ξ2＝2）＝ ＝ ，
所以 E （ξ2）＝0× ＋1× ＋2× ＝ .
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14. 某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含
600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其
中的一种.
方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，
黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸
到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打6折；若摸出1
个红球，则打7折；若没有摸出红球，则不打折.
方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，
黑球7个）的抽奖盒中，每次随机摸取1球，有放回地连摸3次，每
摸到1次红球，立减200元.
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（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试
求两位顾客均享受免单优惠的概率；
解： 选择方案一若享受免单优惠，则需要摸出三个红
球，设“顾客享受免单优惠”为事件 A ，则 P （ A ）＝ ＝
，
所以两位顾客均享受免单优惠的概率为 P （ A ）· P （ A ）＝
.
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（2）若某顾客消费恰好满1 000元，试从概率的角度分析该顾客
选择哪一种抽奖方案更合算？
解： 若选择方案一，设该顾客最后付款的金额为 X
元，则 X 的取值范围是{0，600，700，1 000}.
P （ X ＝0）＝ ＝ ， P （ X ＝600）＝ ＝ ，
P （ X ＝700）＝ ＝ ， P （ X ＝1 000）＝ ＝ ，
故 X 的分布列为
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X 0 600 700 1 000
P
所以 E （ X ）＝0× ＋600× ＋700× ＋1 000× ＝ .
若选择方案二，设该顾客摸到红球的个数为 Y ，最后付款的
金额为 Z （单位：元），则 Z ＝1 000－200 Y ，
由已知可得 Y ～ B ，故 E （ Y ）＝3× ＝ ，
所以 E （ Z ）＝ E （1 000－200 Y ）＝1 000－200 E （ Y ）＝820.
因为 E （ X ）＜ E （ Z ），所以该顾客选择方案一更合算.
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谢 谢 观 看！第一课时 离散型随机变量的均值
1.设随机变量X～B（40，p），且E（X）＝16，则p等于（ ）
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
2.随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为（ ）
A.0.6 B.1
C.3.5 D.2
3.若X是一个随机变量，则E（X－E（X））的值为（ ）
A.无法求 B.0
C.E（X） D.2E（X）
4.某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是（ ）
A.2 000元 B.2 200元
C.2 400元 D.2 600元
5.（多选）离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P（X＝k）＝ak＋b（k＝1，2，3，4），E（X）＝3，则（ ）
A.a＝10 B.a＝
C.b＝0 D.b＝1
6.今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为X，则E（X）＝ .
7.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取6次，设摸得白球的个数为X，已知E（X）＝3，则m＝ .
8.袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝ ，E（ξ）＝ .
9.已知某种智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，，，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售.
（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；
（2）现有3部该智能手机进入审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学期望.
10.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝｜a－b｜，则ξ的数学期望E（ξ）为（ ）
A. B.
C. D.
11.（多选）设p为非负实数，随机变量X的概率分布列为：
X 0 1 2
P －p p
则下列说法正确的是（ ）
A.p∈ B.E（X）最大值为
C.p∈ D.E（X）最大值为
12.一个盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
（2）用X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望.
（注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数）
13.一个不透明袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球3个、黑球2个，现随机等可能取出小球.当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1，则E（ξ1）＝ ；当第一次取出一个小球后，放入一个红球和一个黑球，再第二次随机取出一个小球.记取出的红球总数为ξ2，则E（ξ2）＝ .
14.某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.
方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打7折；若没有摸出红球，则不打折.
方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，每次随机摸取1球，有放回地连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1 000元，试从概率的角度分析该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
第一课时 离散型随机变量的均值
1.D ∵E（X）＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.故选D.
2.C 抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5 6
P
所以E（ξ）＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5.
3.B 只要认识到E（X）是一个常数，则可直接运用均值的性质求解.
∵E（aX＋b）＝aE（X）＋b，而E（X）为常数，
∴E（X－E（X））＝E（X）－E（X）＝0.
4.B 出海的期望效益E（X）＝5 000×0.6＋（1－0.6）×（－2 000）＝3 000－800＝2 200（元）.
5.BC 易知E（X）＝1×（a＋b）＋2×（2a＋b）＋3×（3a＋b）＋4×（4a＋b）＝3，即30a＋10b＝3. ①
又（a＋b）＋（2a＋b）＋（3a＋b）＋（4a＋b）＝1，
即10a＋4b＝1， ②
由①②，得a＝，b＝0.
6.1.75 解析：X的取值范围是{0，1，2}，P（X＝0）＝（1－0.9）×（1－0.85）＝0.015，P（X＝1）＝0.9×（1－0.85）＋0.85×（1－0.9）＝0.22，P（X＝2）＝0.9×0.85＝0.765，
所以E（X）＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
7.3 解析：根据题意可得出P（X＝k）＝·，即X～B，所以E（X）＝6×＝3，解得m＝3.
8.1 解析：由题意可得，P（ξ＝2）＝＝＝，化简得（m＋n）2＋7（m＋n）－60＝0，得m＋n＝5，取出的两个球一红一黄的概率P＝＝＝，解得m＝3，故n＝2.所以m－n＝1，易知ξ的所有可能取值为0，1，2，且P（ξ＝2）＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝0）＝＝，所以E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝.
9.解：（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A，
则P（A）＝××＝.
（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为××＝.
由题意可得X的取值范围是{0，1，2，3}，
则有P（X＝0）＝×＝，
P（X＝1）＝××＝，
P（X＝2）＝××＝，
P（X＝3）＝×＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
10.A 由于对称轴在y轴左侧，故－＜0，故a，b同号，样本点有3×3×7×2＝126（个）.ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝.故E（ξ）＝0×＋1×＋2×＝.故选A.
11.AB 由表可得从而得p∈，期望值E（X）＝0×＋1·p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E（X）最大值＝.
12.解：（1）由古典概型的概率计算公式知，所求概率为＝.
（2）X的取值范围是{1，2，3}，
且由题意知P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
故X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E（X）＝1×＋2×＋3×＝.
13. 解析：由题意知ξ1的取值范围是{0，1，2}.
因为P（ξ1＝0）＝＝，P（ξ1＝1）＝＝，
P（ξ1＝2）＝＝，
所以E（ξ1）＝0×＋1×＋2×＝；
由题意知ξ2的取值范围是{0，1，2}.
因为P（ξ2＝0）＝＝，P（ξ2＝1）＝＝，
P（ξ2＝2）＝＝，
所以E（ξ2）＝0×＋1×＋2×＝.
14.解：（1）选择方案一若享受免单优惠，则需要摸出三个红球，设“顾客享受免单优惠”为事件A，则P（A）＝＝，
所以两位顾客均享受免单优惠的概率为P（A）·P（A）＝.
（2）若选择方案一，设该顾客最后付款的金额为X元，则X的取值范围是{0，600，700，1 000}.
P（X＝0）＝＝，P（X＝600）＝＝，P（X＝700）＝＝，P（X＝1 000）＝＝，
故X的分布列为
X 0 600 700 1 000
P
所以E（X）＝0×＋600×＋700×＋1 000×＝.
若选择方案二，设该顾客摸到红球的个数为Y，最后付款的金额为Z（单位：元），则Z＝1 000－200Y，
由已知可得Y～B，
故E（Y）＝3×＝，
所以E（Z）＝E（1 000－200Y）＝1 000－200E（Y）＝820.
因为E（X）＜E（Z），
所以该顾客选择方案一更合算.
2 / 2第一课时 离散型随机变量的均值
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的数学期望的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望 逻辑推理、数学运算
2.掌握两点分布、二项分布的数学期望 数学抽象
3.会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关问题 数学运算
设有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个.
【问题】 （1）任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X可以取哪些值？
（2）X取上述值时对应的概率分别是多少？
（3）试想每个西瓜的平均重量该如何求？
知识点一 离散型随机变量的数学期望
1.一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
则称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望（简称为期望）.
2.离散型随机变量X的均值或数学期望刻画了X的 .
3.若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b（a≠0），则E（Y）＝E（aX＋b）＝ .
【想一想】
离散型随机变量的均值是在试验中出现的概率最大的值吗？或者是试验的结果之一吗？
知识点二 特殊分布的均值
1.两点分布：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E（X）＝ .
2.二项分布：若离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B（n，p），则E（X）＝ .
3.超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X～H（N，n，M），则E（X）＝ .
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）随机变量X的数学期望E（X）是个变量，其随X的变化而变化.（ ）
（2）随机变量的均值反映样本的平均水平.（ ）
（3）若随机变量X的数学期望E（X）＝2，则E（2X）＝4.（ ）
（4）随机变量X的均值E（X）＝.（ ）
2.若随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.1 0.15 m 0.4
则E（X）＝ .
3.若ξ～B（5，p），且E（ξ）＝，则P（ξ＝2）＝ .
4.一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望.
题型一 离散型随机变量的期望
【例1】 已知随机变量X的分布列如下.
X －2 －1 0 1 2
P m
（1）求E（X）；
（2）若Y＝2X－3，求E（Y）.
尝试解答
通性通法
求离散型随机变量X的均值的步骤
提醒 （1）由随机变量的分布列求均值，根据定义计算即可；（2）对于随机变量aX＋b，可利用均值的性质求解，即E（aX＋b）＝aE（X）＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解.比较两种方式，显然前者较方便；（3）在选择题或填空题中出现特殊分布模型，可以直接利用公式计算.
【跟踪训练】
若随机变量ξ的分布列如下表所示，E（ξ）＝1.6，则a－b＝（ ）
ξ 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A.0.2 B.－0.2 C.0.8 D.－0.8
题型二 实际问题中的期望
【例2】 某工厂生产A，B两种元件，已知生产A元件的正品率为75%，生产B元件的正品率为80%，生产1个A元件，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个B元件，若是正品则盈利40元，若是次品则亏损5元.
（1）求生产5个A元件所得利润不少于140元的概率；
（2）设X为生产1个A元件和1个B元件所得总利润，求X的分布列和数学期望.
尝试解答
通性通法
实际问题中求离散型随机变量ξ的数学期望的步骤
（1）根据ξ的实际意义，写出ξ的取值范围；
（2）求出ξ取每个值的概率；
（3）写出ξ的分布列；
（4）利用定义求出数学期望.
其中第（1）、（2）两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重应用概率的相关知识.
【跟踪训练】
某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元，命中4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，付款2元.现有一游客，其每次射击命中率均为，且每次射击互不影响.
（1）求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率；
（2）求该游客在一次游戏中获得奖金的均值.
题型三 常见分布的期望
【例3】 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是 .
尝试解答
通性通法
常见的两种分布的均值
设p为一次试验中成功的概率，则
（1）两点分布E（X）＝p；
（2）二项分布E（X）＝np.
熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度.
【跟踪训练】
罐中有6个红球，4个白球，每次从中任取1球，记住颜色后再放回并搅匀，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的期望E（X）＝ .
题型四 决策问题
【例4】 某工厂有5台机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的.出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为.已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资.
（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行.若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；
（2）已知该厂现有4名维修工人.
①记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；
②以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应该再招聘1名维修工人.
尝试解答
通性通法
1.均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计.
2.概率模型的三个解答步骤
（1）审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些；
（2）确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望；
（3）对照实际意义，得出概率、均值等所表示的结论.
【跟踪训练】
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
1.一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数X的数学期望是（ ）
A.0.83 B.0.8 C.2.4 D.3
2.有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到次品数的数学期望是（ ）
A.n B.（n－1）
C. D.（n＋1）
3.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知ξ的均值E（ξ）＝8.9，则y的值为 .
4.已知E（X）＝，且Y＝aX＋3，若E（Y）＝－2，则a＝ .
5.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立.
（1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（2）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值.
第一课时 离散型随机变量的均值
【基础知识·重落实】
知识点一
2.平均取值 3.aE（X）＋b
想一想
提示：可以通过举例说明.掷一枚硬币，出现正面的次数X是随机变量，取X＝0，1，且取每个值的概率都是，其均值为0.5，既不是试验中出现的概率最大值，也不是试验的结果之一.实际上，均值是随机变量取值的平均水平.
知识点二
1.p 2.np 3.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）×
2.3.05 解析：由分布列的性质可得m＝1－（0.1＋0.15＋0.4）＝0.35，于是E（X）＝1×0.1＋2×0.15＋3×0.35＋4×0.4＝3.05.
3. 解析：由于ξ～B（5，p），所以E（ξ）＝5p，
即5p＝，因此p＝，
于是P（ξ＝2）＝××＝.
4.解：根据题目知所含白球数X服从参数为10，4，5的超几何分布，即X～H（10，4，5），则E（X）＝＝＝2.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝，∴E（X）＝（－2）×＋（－1）×＋0×＋1×＋2×＝－.
（2）法一 由（1）可知，E（X）＝－，
∴E（Y）＝E（2X－3）＝2E（X）－3＝2×－3＝－.
法二 ∵Y＝2X－3，且由（1）可知，m＝，
∴Y的分布列如下
Y －7 －5 －3 －1 1
P
∴E（Y）＝（－7）×＋（－5）×＋（－3）×＋（－1）×＋1×＝－.
跟踪训练
B 因为分布列中所有概率和为1，所以a＋b＝0.8，因为E（ξ）＝1.6，所以a＋2b＋0.3＝1.6，a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，a－b＝－0.2，故选B.
【例2】 解：（1）法一 由题意知，生产5个A元件，若全为正品则所得利润为250元；
若4个为正品，1个为次品，所得利润为4×50－10＝190（元）；
若3个为正品，2个为次品，所得利润为3×50－2×10＝130（元）.
由此可知生产5个A元件，当5个全为正品或4个为正品时，所得利润不少于140元.
记“生产5个A元件所得利润不少于140元”为事件A，
则P（A）＝××＋＝.
法二 设生产的5个A元件中有正品n个，由题意得
50n－10（5－n）≥140，解得n≥.
所以n＝4或n＝5.
设“生产5个A元件所得利润不少于140元”为事件A，
则P（A）＝××＋＝.
（2）随机变量X的取值范围是{－15，30，45，90}.
所以P（X＝90）＝×＝，
P（X＝45）＝×＝，
P（X＝30）＝×＝，
P（X＝－15）＝×＝.
故随机变量X的分布列为
X 90 45 30 －15
P
则E（X）＝90×＋45×＋30×＋（－15）×＝66.
跟踪训练
解：（1）设5发子弹命中X（X＝0，1，2，3，4，5）发，由题意知X～B，则由题意得P（X＝5）＝×＝.
（2）易得X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
设游客在一次游戏中获得的奖金为Y元，于是Y的分布列为
Y －2 0 40
P
故该游客在一次游戏中获得奖金的均值为
E（Y）＝（－2）×＋0×＋40×＝－.
【例3】 解析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率为1－＝，且X～B，
∴均值E（X）＝2×＝.
跟踪训练
解析：因为是有放回摸球，所以每次摸球摸得红球的概率均为，连续摸4次，记X为取得红球的次数，则X服从参数为4，的二项分布，即X～B，从而有E（X）＝np＝4×＝.
【例4】 解：（1）∵该工厂只有2名维修工人，
∴要使工厂正常运行，最多只能有2台机器出现故障，
∴该工厂正常运行的概率为＋××＋××＝.
（2）①X的取值范围是{31，44}，
P（X＝31）＝＝，P（X＝44）＝1－＝.
∴X的分布列为
X 31 44
P
∴E（X）＝31×＋44×＝.
②若工厂再招聘一名维修工人，则工厂一定能正常运行，工厂所获利润为5×10－1.5×5＝42.5（万元），
∵＞42.5，∴该厂不应该再招聘1名维修工人.
跟踪训练
解：（1）由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，
P（X＝0）＝1－0.8＝0.2，
P（X＝20）＝0.8×（1－0.6）＝0.32，
P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
（2）当小明先回答A类问题时，由（1）可得E（X）＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P（Y＝0）＝1－0.6＝0.4，
P（Y＝80）＝0.6×（1－0.8）＝0.12，
P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
E（Y）＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为57.6＞54.4，即E（Y）＞E（X），所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.
随堂检测
1.C 因为射手射中的概率为0.8，则可得他独立射击3次中靶的次数X的数学期望是E（X）＝3×0.8＝2.4.
2.C 设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，能抽到的次品数X服从超几何分布即抽到的次品数X～H（N，n，M），
∴抽到次品数的数学期望值E（X）＝.
3.0.4 解析：依题意得
即解得
4.－3 解析：∵Y＝aX＋3，∴E（Y）＝aE（X）＋3＝a＋3＝－2，∴a＝－3.
5.解：设该车主购买乙种保险的概率为P，由题意知P×（1－0.5）＝0.3，解得P＝0.6.
（1）设所求概率为P1，则P1＝1－（1－0.5）×（1－0.6）＝0.8.
故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.
（2）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1－0.5）×（1－0.6）＝0.2.∴X～B（100，0.2），∴E（X）＝100×0.2＝20.
∴X的均值是20.
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