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第二课时
离散型随机变量的方差
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差的意义和
性质，会根据离散型随机变量的分布列求方差 逻辑推理、
数学运算
2.掌握两点分布、二项分布、超几何分布的方差求解公
式 数学运算
3.会利用离散型随机变量的方差解决一些简单的实际问
题 数据分析、
数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100
件产品所出的次品数分别用 X1， X2表示， X1， X2的分布列如下：
次品数 X1 0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04
次品数 X2 0 1 2 3
P 0.8 0.06 0.04 0.10
【问题】 （1）由 E （ X1）和 E （ X2）的值能比较两台机床的产品
质量吗？
（2）试想利用什么指标可以比较加工质量？
知识点一 离散型随机变量的方差
1. 定义：一般地，设一个离散型随机变量 X 所有可能的取值是 x1，
x2，…， xn ，这些值对应的概率是 p1， p2，…， pn ，则 D （ X ）
＝
.
2. D （ X ）的算术平方根 称为离散型随机变量 X 的
.
[ x1－ E （ X ）]2 p1＋[ x2－ E （ X ）]2 p2＋…＋[ xn － E （ X ）]2
pn
标准
差
3. 方差与标准差反映了离散型随机变量的取值相对于均值的
.
4. 若 X 与 Y 都是离散型随机变量，且 Y ＝ aX ＋ b （ a ≠0），则 D （ aX
＋ b ）＝ .
离散程
度（或波动大小）
a2 D （ X ）
提醒 对方差概念的再理解：① D （ X ）表示随机变量 X 对 E （ X ）
的平均偏离程度， D （ X ）越大，表明平均偏离程度越大，说明 X 的
取值越分散；反之， D （ X ）越小， X 的取值越集中在 E （ X ）附
近，统计中常用 来描述 X 的分散程度；② D （ X ）与 E
（ X ）一样也是一个实数，由 X 的概率分布唯一确定；③随机变量 X
的方差与标准差都反映了随机变量 X 的取值的稳定与波动、集中与离
散的程度. D （ X ）越小，稳定性越高，波动越小.显然 D （ X ）≥0，
标准差与随机变量本身有相同的单位.
【想一想】
随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
提示：随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变
化的，因此样本的方差是随机变量.对于简单随机样本，随着样本容
量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差.因此，我们常用样
本的方差来估计总体的方差.
设随机变量ξ的方差 D （ξ）＝1，则 D （2ξ＋1）的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解析： 因为 D （2ξ＋1）＝4 D （ξ）＝4×1＝4，故选C.
知识点二 两点分布与二项分布的方差
X X 服从两点分布 X ～ B （ n ， p ）
D （ X ） （其中 p 为成功概率）
p （1－ p ）
np （1－ p ）
【想一想】
两点分布与二项分布的方差间存在怎样的联系？
提示：由于两点分布是特殊的二项分布，故两者之间是特殊与一般的
关系.即若 X ～ B （ n ， p ），则 D （ X ）＝ np （1－ p ），取 n ＝1，
则 D （ X ）＝ p （1－ p ）就是两点分布的方差.
1. 已知 X 的分布列为
X －1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
则 D （ X ）＝（ ）
A. 0.7 B. 0.61
解析： E （ X ）＝（－1）×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3， D
（ X ）＝0.5×（－1＋0.3）2＋0.3×（0＋0.3）2＋0.2×（1＋
0.3）2＝0.61.
C. －0.3 D. 0
2. 已知随机变量ξ～ B （ n ， p ），若 E （ξ）＝4.8， D （ξ）＝2.88，
则实数 n ， p 的值分别为（ ）
A. 4，0.6 B. 12，0.4
C. 8，0.3 D. 24，0.2
解析： 由题意，得解得
3. 已知随机变量 X 满足 E （2 X ＋3）＝7， D （2 X ＋3）＝16，则下列
说法正确的是（ ）
A. E （ X ）＝ ， D （ X ）＝
B. E （ X ）＝2， D （ X ）＝4
C. E （ X ）＝2， D （ X ）＝8
D. E （ X ）＝ ， D （ X ）＝8
解析： 根据均值和方差的性质可得 E （2 X ＋3）＝2 E （ X ）＋
3＝7， D （2 X ＋3）＝4 D （ X ）＝16，解得 E （ X ）＝2， D
（ X ）＝4.
4. 已知随机变量 Y 只取 a ，1这两个值，且 P （ Y ＝ a ）＝ a ，则当 E
（ Y ）取最小值时 D （ Y ）＝ .
解析：因为随机变量 Y 只取 a ，1这两个值.
且 P （ Y ＝ a ）＝ a ，0＜ a ＜1，
所以 P （ Y ＝1）＝1－ a ，
所以 E （ Y ）＝ a2＋1－ a ＝ ＋ ，
所以当 a ＝ 时， E （ Y ）取最小值 ，
所以此时 D （ Y ）＝ × ＋ × ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 离散型随机变量的方差
【例1】 随机变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P a c
若 E （ξ）＝ ，则 D （ξ）＝ .
解析：由题意可得解得
因此， D （ξ）＝ × ＋ × ＋ × ＝ .
通性通法
离散型随机变量方差的计算
（1）由已知离散型随机变量的分布列求方差，主要是利用方差的概
念进行求解，但若分布列中有待定字母，必须先利用分布列的
性质求出待定字母的值，然后再求方差；
（2）由已知离散型随机变量的方差求另一离散型随机变量的方差，
主要是利用离散型随机变量函数的方差公式进行计算，即利用
离散型随机变量的方差的性质求解；
（3）对于特殊的分布列，可直接利用公式求解.
【跟踪训练】
随机变量 X 的分布列如下表，且 E （ X ）＝2，则 D （2 X －3）＝
（ ）
X 0 2 a
P p
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析： 由分布列的性质得 p ＝1－ － ＝ ，
由期望的定义可得 E （ X ）＝0× ＋2× ＋ a × ＝2，解得 a ＝3，
所以 D （ X ）＝（0－2）2× ＋（2－2）2× ＋（3－2）2× ＝1，
所以 D （2 X －3）＝22 D （ X ）＝4.
题型二 实际问题中的方差
【例2】 设袋子中装有 a 个红球， b 个黄球， c 个蓝球，且规定：取
出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.
（1）当 a ＝3， b ＝2， c ＝1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取
到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之
和，求ξ的分布列；
解： 由题意得ξ的取值范围是{2，3，4，5，6}.
故 P （ξ＝2）＝ ＝ ， P （ξ＝3）＝ ＝ ，
P （ξ＝4）＝ ＝ ， P （ξ＝5）＝ ＝ ，
P （ξ＝6）＝ ＝ .所以ξ的分布列为
ξ 2 3 4 5 6
P
（2）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η
为取出此球所得分数.若 E （η）＝ ， D （η）＝ ，求 a ∶ b ∶
c .
解： 由题意知η的分布列为
η 1 2 3
P
所以 E （η）＝ ＋ ＋ ＝ ，
D （η）＝ × ＋ × ＋
× ＝ .
化简得
解得故 a ∶ b ∶ c ＝3∶2∶1.
通性通法
随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取
值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度.在不
同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释.例如，如果随机变量
是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；如果
随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精
度；如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风
险的高低等等.
【跟踪训练】
有三张形状、大小、质地完全一样的卡片，在每张卡片上分别写上
0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作 x ，然后放回，再抽
取一张，其上数字记作 y ，令ξ＝ x · y .求：
（1）ξ的分布列；
解： 随机变量ξ的取值范围是{0，1，2，4}，“ξ＝0”是
指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为
P （ξ＝0）＝1－ × ＝ ；“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为 P （ξ＝1）＝ × ＝ ；
“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概
率为 P （ξ＝2）＝2× × ＝ ；
“ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为 P （ξ＝4）＝
× ＝ .
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 4
P
（2）随机变量ξ的数字期望与方差.
解： E （ξ）＝0× ＋1× ＋2× ＋4× ＝1，
D （ξ）＝（0－1）2× ＋（1－1）2× ＋（2－1）2× ＋（4
－1）2× ＝ .
题型三 常见分布列的方差
【例3】 已知随机变量 X ＋η＝8，若 X ～ B （10，0.6），则随机变
量η的均值 E （η）及方差 D （η）分别为（ ）
A. 6和2.4 B. 2和2.4
C. 2和5.6 D. 6和5.6
解析： ∵ X ～ B （10，0.6），∴由二项分布的数学期望公式得 E
（ X ）＝10×0.6＝6，
由二项分布的方差公式得 D （ X ）＝10×0.6×0.4＝2.4，
∵ X ＋η＝8，∴η＝8－ X ，则 E （η）＝ E （8－ X ）＝8－ E （ X ）＝8
－6＝2， D （η）＝ D （8－ X ）＝ D （ X ）＝2.4.
通性通法
1. 求离散型随机变量的方差和标准差的步骤
（1）明确随机变量的所有取值，并理解随机变量取每一个值的
意义；
（2）求出随机变量取各个值的概率；
（3）列出随机变量的分布列；
（4）利用数学期望的公式 E （ X ）＝ x1 p1＋ x2 p2＋…＋ xkpk ＋…＋
xnpn ，求出随机变量的数学期望 E （ X ）；
（5）利用方差的公式 D （ X ）＝ [ xi － E （ X ）]2 pi 求出方差 D
（ X ）；
（6）利用方差与标准差的关系，求出随机变量的标准差 .
2. 对于服从两点分布、二项分布的随机变量的方差可以直接利用公式
求解，若 X 服从两点分布，则 D （ X ）＝ p （1－ p ）；若 X 服从二
项分布，则 D （ X ）＝ np （1－ p ）.
【跟踪训练】
春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植
物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为 p ，各株是
否成活相互独立.该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设 X
为其中成活的株数，若 X 的方差 D （ X ）＝2.1， P （ X ＝3）＜ P （ X
＝7），则 p ＝ .
0.7
解析：由题意可知 X ～ B （10， p ），∵ D （ X ）＝2.1， P （ X ＝3）
＜ P （ X ＝7），
∴即
∴ p ＝0.7.
题型四 决策问题
【例4】 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰
花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花
作垃圾处理.
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润 y （单位：元）关于
当天需求量 n （单位：枝， n ∈N）的函数解析式；
解： 当日需求量 n ≥16时，利润 y ＝80.
当日需求量 n ＜16时，利润 y ＝10 n －80.
所以 y 关于 n 的函数解析式为
y ＝（ n ∈N）.
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得
下表：
日需求量
n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①若花店一天购进16枝玫瑰花， X 表示当天的利润（单位：
元），求 X 的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝
还是17枝？请说明理由.
解： ① X 的取值范围是{60，70，80}，且 P （ X ＝60）＝
0.1， P （ X ＝70）＝0.2， P （ X ＝80）＝0.7.
所以 X 的分布列为
X 60 70 80
P 0.1 0.2 0.7
则 X 的数学期望为 E （ X ）＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
X 的方差为 D （ X ）＝（60－76）2×0.1＋（70－76）2×0.2＋
（80－76）2×0.7＝44.
②若花店一天购进17枝玫瑰花， Y 表示当天的利润（单位：
元），则 Y 的分布列为
Y 55 65 75 85
P 0.1 0.2 0.16 0.54
所以 Y 的数学期望为 E （ Y ）＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋
85×0.54＝76.4.
Y 的方差为 D （ Y ）＝（55－76.4）2×0.1＋（65－76.4）
2×0.2＋（75－76.4）2×0.16＋（85－76.4）2×0.54＝
112.04.
结合①可知 E （ X ）＜ E （ Y ）， D （ X ）＜ D （ Y ）.
从利润角度看，购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均
利润，所以花店一天应购进17枝玫瑰花，但 D （ Y ）＞ D （ X ），且
E （ X ）与 E （ Y ）之间相差不大，即购进17枝玫瑰花时利润波动相对
较大，且购进17枝玫瑰花没有比购进16枝玫瑰花的利润大很多，故购
进16枝玫瑰花也可以.
通性通法
利用期望与方差进行决策的方法
（1）若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量ξ1，ξ2的
期望，当 E （ξ1）＝ E （ξ2）时，不应误认为它们一样好，需要
用 D （ξ1）， D （ξ2）来比较这两个随机变量的偏离程度，偏离
程度小的更好；
（3）若对平均水平或者稳定性没有明确要求时，一般先计算期望，
若相等，则由方差来确定哪一个更好.若 E （ξ1）与 E （ξ2）比较
接近，且期望较大者的方差较小，显然该变量更好；若 E （ξ1）
与 E （ξ2）比较接近且方差相差不大时，应依据选择较理想的平
均水平还是选择较稳定，作出不同选择.
（2）若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等
或者接近；
【跟踪训练】
如图，某工人的住所在 A 处，上班的企业在 D 处，开车上下班的路
线有三条路程几乎相等的路线供选择：环城南路经过路口 C ，环城北
路经过路口 F ，中间路线经过路口 G . 如果开车到五个路口 B ， C ，
E ， F ， G 因遇到红灯而堵车的概率分别为 ， ， ， ， ，再无别
的路口红灯.
（1）为了减少开车在路口因遇到红灯而堵车的次数，这位工人应该
选择哪条行驶路线？
解： 设这位工人选择行驶路线 A — B —
C — D ， A — F — E — D ， A — B — G — E — D
分别堵车 X1， X2， X3次，则 X1，2＝0，1，2，
X3＝0，1，2，3.
由于 P （ X1＝0）＝ × ＝ ， P （ X1＝1）＝ × ＋ × ＝
， P （ X1＝2）＝ × ＝ ，则 E （ X1）＝0× ＋1× ＋2×
＝ .
由于 P （ X2＝0）＝ × ＝ ， P （ X2＝1）＝ × ＋ × ＝
， P （ X2＝2）＝ × ＝ ，则 E （ X2）＝0× ＋1× ＋
2× ＝ .
由于 P （ X3＝0）＝ × × ＝ ， P （ X3＝1）＝ × × ＋
× × ＋ × × ＝ ， P （ X3＝2）＝ × × ＋ × ×
＋ × × ＝ ， P （ X3＝3）＝ × × ＝ ，则 E （ X3）
＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .
比较知 E （ X2）最小，所以这位工人应该选择行驶路线 A — F —
E — D .
（2）对于（1）所选择的路线，求其堵车次数的方差.
解： 由（1）知 E （ X2）＝ ， P （ X2＝
0）＝ ，
P （ X2＝1）＝ ， P （ X2＝2）＝ ，
则 D （ X2）＝ × ＋ × ＋
× ＝ ，所以堵车次数的方差为 .
随机变量函数的数学期望和方差
1. 某商场做促销活动，凡是一家三口一起来商场购物的家庭，均可参
加返现活动，活动规则如下：商家在箱中装入20个大小相同的球，
其中6个是红球，其余都是黑球；每个家庭只能参加一次活动，参
加活动的三口人，每人从中任取一球，只能取一次，且每人取球后
均放回；若取到黑球则获得4元返现金，若取到红球则获得12元返
现金.若某家庭参与了该活动，则该家庭获得的返现金额的期望是
（ ）
A. 22.4 B. 21.6
C. 20.8 D. 19.2
解析： 设3个人中取到黑球的个数记为随机变量 X ，则3个人中
取到红球的个数记为随机变量3－ X ，记该家庭获得的返现金额为
随机变量 Y ，则由题意知 Y ＝4 X ＋12（3－ X ）＝36－8 X ，因为每
次取得黑球的概率为 ＝0.7，所以 X 服从参数为3，0.7的二项分
布，即 X ～ B （3，0.7），所以 E （ Y ）＝36－8 E （ X ）＝36－
8×3×0.7＝19.2.
2. 某篮球运动员在三分球大赛的命中率为 ，假设三分球大赛中总计
投出8球，投中一球得3分，投丢一球扣1分，则该运动员得分的期
望与方差分别为（ ）
A. 16，32 B. 8，32
C. 8，8 D. 32，32
解析： 根据题意，该运动员命中球数 X ～ B ，
∴ E （ X ）＝8× ＝4， D （ X ）＝8× × ＝2.
设该运动员的得分为随机变量 Y ，则 Y 的取值范围是{－8，－4，
0，4，8，12，16，20，24}，且 P （ Y ＝－8）＝ P （ X ＝0）， P
（ Y ＝－4）＝ P （ X ＝1）， P （ Y ＝0）＝ P （ X ＝2）， P （ Y ＝
4）＝ P （ X ＝3）， P （ Y ＝8）＝ P （ X ＝4）， P （ Y ＝12）＝ P
（ X ＝5）， P （ Y ＝16）＝ P （ X ＝6）， P （ Y ＝20）＝ P （ X ＝
7）， P （ Y ＝24）＝ P （ X ＝8），
∴随机变量 X ， Y 的关系为 Y ＝4 X －8，∴ E （ Y ）＝ E （4 X －8）＝4
E （ X ）－8＝4×4－8＝8， D （ Y ）＝ D （4 X －8）＝42 D （ X ）＝
16×2＝32.
【问题探究】
求解随机变量 Y ＝ aX ＋ b （ a ≠0）的均值时，可以先求出随机变量
X 的均值 E （ X ），然后利用公式 E （ aX ＋ b ）＝ aE （ X ）＋ b ，求
得随机变量 Y 的均值；也可以先求出 Y ＝ aX ＋ b （ a ≠0）的分布列，
然后利用均值的定义公式求出随机变量 Y 的均值.
由以上两题可以看出，要求期望的随机变量 Y 本身并不服从超几何分
布或二项分布，但它和另一个服从超几何分布或二项分布的随机变量
X 可以建立一个一次函数关系，这时通常先根据超几何分布或二项分
布的期望公式求得 X 的期望 E （ X ），再利用期望的性质求得 E
（ Y ）；也可以直接对 Y 进行分析，求得其分布列，然后利用期望的
定义求解.
【迁移应用】
网约车的兴起丰富了民众出行的选择，为民众出行提供便利的同时
也解决了很多劳动力的就业问题.梁某为网约车司机，据梁某自己统
计某一天出车一次的总路程数可能的取值是20，22，24，26，28，30
（km），它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1， t ，2 t .
（1）求这一天中梁某一次行驶路程 X 的分布列，并求 X 的均值和
方差；
解： 由概率分布的性质知，0.1＋0.2＋0.3＋0.1＋ t ＋2 t
＝1，∴ t ＝0.1.∴ X 的分布列为
X 20 22 24 26 28 30
P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2
∴ E （ X ）＝20×0.1＋22×0.2＋24×0.3＋26×0.1＋28×0.1
＋30×0.2＝25.
D （ X ）＝（20－25）2×0.1＋（22－25）2×0.2＋（24－25）
2×0.3＋（26－25）2×0.1＋（28－25）2×0.1＋（30－25）
2×0.2＝10.6.
（2）网约车计费规则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3 km时，
收费5元，若行驶路程超过3 km，则每超出1 km（不足1 km也按
1 km计程）收费3元.依据以上条件，计算梁某一天中出车一次
收入的均值和方差.
解： 设梁某一天出车一次的收入为 Y 元，则 Y ＝3（ X －
3）＋5＝3 X －4（ X ＞3， X ∈N），
∴ E （ Y ）＝ E （3 X －4）＝3 E （ X ）－4＝3×25－4＝71， D
（ Y ）＝ D （3 X －4）＝32 D （ X ）＝95.4.
1. 有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本
方差分别为 D （ X甲）＝11， D （ X乙）＝3.4.由此可以估计（ ）
A. 甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B. 乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C. 甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D. 甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
解析： ∵ D （ X甲）＞ D （ X乙），∴乙种水稻比甲种水稻分蘖
整齐.
2. 设二项分布 B （ n ， p ）的随机变量 X 的均值与方差分别是2.4和
1.44，则二项分布的参数 n ， p 的值为（ ）
A. n ＝4， p ＝0.6 B. n ＝6， p ＝0.4
C. n ＝8， p ＝0.3 D. n ＝24， p ＝0.1
解析： 由题意得， np ＝2.4， np （1－ p ）＝1.44，∴1－ p ＝
0.6，∴ p ＝0.4， n ＝6.
3. 已知随机变量 X ，且 D （10 X ）＝ ，则 X 的标准差为 .
解析：由题意可知 D （10 X ）＝ ，即100 D （ X ）＝ ，
∴ D （ X ）＝ ，∴ ＝ .即 X 的标准差为 .
4. 一批产品中，次品率为 ，现连续抽取4次，其次品数记为 X ，则 D
（ X ）的值为 .
解析：由题意知次品率为 ，则正品率为1－ ＝ ，则 X ～ B
，所以 D （ X ）＝4× × ＝ .
5. 已知离散型随机变量 X 的分布列如下表：
X －1 0 1 2
P a b c
若 E （ X ）＝0， D （ X ）＝1，求 a ， b ， c 的值.
解：由题意，
解得 a ＝ ， b ＝ c ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为（ ）
ξ 1 3 5
P 0.4 0.1 x
A. 3.56 B.
C. 3.2 D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 由分布列的性质得，0.4＋0.1＋ x ＝1，
∴ x ＝0.5，
∴ E （ξ）＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，
∴ D （ξ）＝（1－3.2）2×0.4＋（3－3.2）2×0.1＋（5－3.2）
2×0.5＝3.56，
∴ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 若 X ～ B ，且 D （ X ）＝ ，则 P （0≤ X ≤2）＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： ∵ X ～ B ，且 D （ X ）＝ ，
∴ n × × ＝ ，解得 n ＝3.
∴ P （0≤ X ≤2）＝1－ P （ X ＝3）＝1－ ＝ .
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3. 随机变量 X 的所有可能取值为0，1，2，若 P （ X ＝0）＝ ， E
（ X ）＝1，则 D （ X ）＝（ ）
A. B. C. D.
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解析： 设 P （ X ＝1）＝ p ， P （ X ＝2）＝ q ，则
E （ X ）＝0× ＋1× p ＋2× q ＝1. ①
又因为 ＋ p ＋ q ＝1， ②
所以由①②得， p ＝ ， q ＝ ，
故 D （ X ）＝ ×（0－1）2＋ ×（1－1）2＋ ×（2－1）2＝ .
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4. 抽奖箱中有15个形状一样，颜色不一样的乒乓球（2个红色，3个黄
色，其余为白色），抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球不中
奖.有90人依次进行有放回抽奖，则这90人中中奖人数的数学期望
和方差分别是（ ）
A. 6，0.4 B. 18，14.4
C. 30，10 D. 30，20
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解析： 由题可得中奖概率为 ＋ ＝ ，而中奖人数服从二项
分布，故这90人中中奖人数的数学期望为90× ＝30，方差为90×
× ＝20.故选D.
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5. （多选）随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P a
其中 ab ≠0，下列说法正确的是（ ）
A. a ＋ b ＝1
B. E （ξ）＝
C. D （ξ）随 b 的增大而减小
D. D （ξ）有最大值
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解析： a ＋ ＋ ＝1，即 a ＋ b ＝1， a ， b ∈（0，1）.
E （ξ）＝0× a ＋1× ＋2× ＝ . D （ξ）＝ a ×
＋ × ＋ × ＝ － ＝－ ＋
， b ∈（0，1），可得 b ＝ 时， D （ξ）取得最大值.综上可
得只有C错误.
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6. 若随机变量 X ～ B （ n ， p ），且 E （ X ）＝ ， D （ X ）＝ ，则 P
（ X ＝1）＝ （用数字作答）.
解析：由题意及二项分布的均值、方差公式得，
E （ X ）＝ np ＝ ， D （ X ）＝ np （1－ p ）＝ ，
解得
所以 P （ X ＝1）＝ × × ＝ × ＝ .
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7. 已知ξ的分布列如表所示，若η＝3ξ＋2，则 E （η）＝ ， D
（ξ）＝ .
ξ 1 2 3
P m
解析：由ξ的分布列，知： m ＝1－ － ＝ ，∴ E （ξ）＝1× ＋
2× ＋3× ＝ ，∵η＝3ξ＋2，∴ E （η）＝3 E （ξ）＋2＝3× ＋
2＝7. D （ξ）＝ × ＋ × ＋ × ＝ .
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8. 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 X （单位：mm）对工
期的影响如下表所示.
降水量 X X ＜300 300≤ X ＜ 700 700≤ X ＜ 900 X ≥900
工期延误 天数 Y 0 2 6 10
历史气象资料表明，该工程施工期间降水量 X 小于300，700，900
的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数 Y 的方差
为 .
9.8
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解析：由题意得， P （ X ＜300）＝0.3， P （300≤ X ＜700）＝ P
（ X ＜700）－ P （ X ＜300）＝0.7－0.3＝0.4， P （700≤ X ＜
900）＝ P （ X ＜900）－ P （ X ＜700）＝0.9－0.7＝0.2， P （ X
≥900）＝1－ P （ X ＜900）＝1－0.9＝0.1.
所以随机变量 Y 的分布列为
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
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故 E （ Y ）＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，
D （ Y ）＝（0－3）2×0.3＋（2－3）2×0.4＋（6－3）2×0.2＋
（10－3）2×0.1＝9.8.
故工期延误天数 Y 的方差为9.8.
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9. 有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽出
3张卡片，设3张卡片上的数字之和为 X .
（1）求 X 的分布列及方差 D （ X ）；
解： X 的取值范围是{6，9，12}.
P （ X ＝6）＝ ＝ ，
P （ X ＝9）＝ ＝ ，
P （ X ＝12）＝ ＝ ，
∴ X 的分布列为
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X 6 9 12
P
∴ E （ X ）＝6× ＋9× ＋12× ＝7.8，
D （ X ）＝（6－7.8）2× ＋（9－7.8）2× ＋（12－
7.8）2× ＝3.36.
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（2）若ξ＝ aX ＋2，且 D （ξ）＝33.6，求实数 a 的值.
解： 由（1），可知 D （ξ）＝ D （ aX ＋2）＝ a2 D
（ X ）＝3.36 a2＝33.6，解得 a ＝± .
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10. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付
方式相互独立.设 X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，
D （ X ）＝2.4， P （ X ＝4）＜ P （ X ＝6），则 p ＝（ ）
A. 0.7 B. 0.6
C. 0.4 D. 0.3
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解析： 由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数 X 服从二
项分布，即 X ～ B （10， p ），所以 D （ X ）＝10 p （1－ p ）＝
2.4，所以 p ＝0.4或0.6.
又因为 P （ X ＝4）＜ P （ X ＝6），
所以 p4（1－ p ）6＜ p6（1－ p ）4，所以 p ＞0.5，所以 p ＝
0.6.故选B.
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11. （多选）已知甲盒中有2个红球，1个黄球，乙盒中有1个红球，2
个黄球.从甲、乙两个盒中各取1球放入原来为空的丙盒中.现从
甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记红球的个数为 Xi （ i ＝
1，2，3）（甲、乙、丙三个盒子取出的分别对应 i ＝1，2，3），
则（ ）
A. E （ X1）＜ E （ X3） B. E （ X3）＞ E （ X2）
C. D （ X1）＝ D （ X2） D. D （ X3）＜ D （ X2）
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解析： 依题意， X1的取值范围是{0，1}.其中 P （ X1＝0）＝
× ＝ ，
P （ X1＝1）＝ ×1＋ × ＝ ，
所以随机变量 X1的分布列为
X1 0 1
P
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X1服从两点分布，所以 E （ X1）＝ ，
D （ X1）＝ × ＝ .
同理， X2的取值范围是{0，1}.
P （ X2＝1）＝ × ＝ ，
P （ X2＝0）＝ × ＋ ×1＝ ，
所以随机变量 X2的分布列为
X2 0 1
P
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X2服从两点分布，所以 E （ X2）＝ ，
D （ X2）＝ × ＝ .
X3的取值范围是{0，1}.
P （ X3＝0）＝ × ＋ × ×1＝ ， P （ X3＝1）
＝ × ＋ × ×1＝ ，
所以随机变量 X3的分布列为
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X3 0 1
P
X3服从两点分布，所以 E （ X3）＝ ， D （ X3）＝ × ＝ ，所
以 E （ X1）＞ E （ X3）＞ E （ X2）， D （ X1）＝ D （ X2）＜ D
（ X3）.
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12. 在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各
随机抽取10件测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）.如图
所示的是测量数据的茎叶图.
规定：当产品中的此种元素含量≥15毫克时为优质品.
（1）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质
品件数/总件数）；
解： 甲地抽取的样
本中优质品有7件，优质
品率为 .乙地抽取的样
本中优质品有8件，优质品率为 ＝ .
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（2）从乙地抽取的上述10件产品中随机抽取3件，求抽到的3件产
品中优质品件数ξ的分布列及方差 D （ξ）.
解： ξ的所有可能值为{1，2，3}，
P （ξ＝1）＝ ＝ ，
P （ξ＝2）＝ ＝ ，
P （ξ＝3）＝ ＝ ，
所以ξ的分布列为
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ξ 1 2 3
P
所以 E （ξ）＝1× ＋2× ＋3× ＝ ，
所以ξ的方差 D （ξ）＝ × ＋ × ＋
× ＝ .
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13. 某种游戏每局的规则是：玩家先在标记有1，2，3，4，5的卡片中
随机摸取一张，将卡片上的数字作为其本金，随后放回该卡片，
再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为
其奖金.若随机变量ξ1和ξ2分别表示玩家在一局游戏中的本金和奖
金，则 D （ξ1）＝ ， E （ξ1）－ E （ξ2）＝ .
解析：设 a ， b ∈{1，2，3，4，5}，则 P （ξ1＝ a ）＝ ，其中ξ1
的分布列为
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0.2
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ξ1 1 2 3 4 5
P
E （ξ1）＝ ×（1＋2＋3＋4＋5）＝3.
D （ξ1）＝ ×[（1－3）2＋（2－3）2＋（3－3）2＋（4－3）2＋
（5－3）2]＝2.
ξ2＝1.4｜ a － b ｜的取值范围是{1.4，2.8，4.2，5.6}，
P （ξ2＝1.4）＝ ＝ ， P （ξ2＝2.8）＝ ＝ ， P （ξ2＝4.2）
＝ ＝ ， P （ξ2＝5.6）＝ ＝ ，可得分布列
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ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6
P
E （ξ2）＝1.4× ＋2.8× ＋4.2× ＋5.6× ＝2.8.
∴ E （ξ1）－ E （ξ2）＝0.2.
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14. 最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，
提出了三种方案：
第一种方案，李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该
将10万元全部用来买股票.据分析预测，投资股市一年可能获利
40%，也可能亏损20%（只有这两种可能），且获利的概率为 .
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第二种方案，李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应
将10万元全部用来买基金.据分析预测，投资基金一年后可能获利
20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概
率分别为 ， ， .
第三种方案，李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应
该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为4%.
针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方
案，并说明理由.
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解：若按方案一执行，设收益为ξ万元，
则其分布列为
ξ 4 －2
P
所以 E （ξ）＝4× ＋（－2）× ＝1（万元）.
若按方案二执行，设收益为η万元，
则其分布列为
η 2 0 －1
P
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所以 E （η）＝2× ＋0× ＋（－1）× ＝1（万元）.
若按方案三执行，收益 y ＝10×4%＝0.4（万元）.
因为 E （ξ）＝ E （η）＞ y ，所以应从方案一、方案二中选择
一种.
D （ξ）＝（4－1）2× ＋（－2－1）2× ＝9，
D （η）＝（2－1）2× ＋（0－1）2× ＋（－1－1）2× ＝ .
易知 D （ξ）＞ D （η）.这说明虽然方案一、方案二收益均值相等，
但方案二更稳定，所以建议李师傅家选择第二种理财方案.
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谢 谢 观 看！第二课时 离散型随机变量的方差
1.已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为（ ）
ξ 1 3 5
P 0.4 0.1 x
A.3.56 B.
C.3.2 D.
2.若X～B，且D（X）＝，则P（0≤X≤2）＝（ ）
A. B.
C. D.
3.随机变量X的所有可能取值为0，1，2，若P（X＝0）＝，E（X）＝1，则D（X）＝（ ）
A. B.
C. D.
4.抽奖箱中有15个形状一样，颜色不一样的乒乓球（2个红色，3个黄色，其余为白色），抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球不中奖.有90人依次进行有放回抽奖，则这90人中中奖人数的数学期望和方差分别是（ ）
A.6，0.4 B.18，14.4
C.30，10 D.30，20
5.（多选）随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P a
其中ab≠0，下列说法正确的是（ ）
A.a＋b＝1
B.E（ξ）＝
C.D（ξ）随b的增大而减小
D.D（ξ）有最大值
6.若随机变量X～B（n，p），且E（X）＝，D（X）＝，则P（X＝1）＝ （用数字作答）.
7.已知ξ的分布列如表所示，若η＝3ξ＋2，则E（η）＝ ，D（ξ）＝ .
ξ 1 2 3
P m
8.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表所示.
降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900
工期延误 天数Y 0 2 6 10
历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的方差为 .
9.有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X.
（1）求X的分布列及方差D（X）；
（2）若ξ＝aX＋2，且D（ξ）＝33.6，求实数a的值.
10.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D（X）＝2.4，P（X＝4）＜P（X＝6），则p＝（ ）
A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
11.（多选）已知甲盒中有2个红球，1个黄球，乙盒中有1个红球，2个黄球.从甲、乙两个盒中各取1球放入原来为空的丙盒中.现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记红球的个数为Xi（i＝1，2，3）（甲、乙、丙三个盒子取出的分别对应i＝1，2，3），则（ ）
A.E（X1）＜E（X3） B.E（X3）＞E（X2）
C.D（X1）＝D（X2） D.D（X3）＜D（X2）
12.在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）.如图所示的是测量数据的茎叶图.
规定：当产品中的此种元素含量≥15毫克时为优质品.
（1）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）；
（2）从乙地抽取的上述10件产品中随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品件数ξ的分布列及方差D（ξ）.
13.某种游戏每局的规则是：玩家先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其本金，随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金.若随机变量ξ1和ξ2分别表示玩家在一局游戏中的本金和奖金，则D（ξ1）＝ ，E（ξ1）－E（ξ2）＝ .
14.最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案：
第一种方案，李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票.据分析预测，投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%（只有这两种可能），且获利的概率为.
第二种方案，李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金.据分析预测，投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.
第三种方案，李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为4%.
针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由.
第二课时 离散型随机变量的方差
1.D 由分布列的性质得，0.4＋0.1＋x＝1，
∴x＝0.5，
∴E（ξ）＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，
∴D（ξ）＝（1－3.2）2×0.4＋（3－3.2）2×0.1＋（5－3.2）2×0.5＝3.56，
∴＝.
2.C ∵X～B，且D（X）＝，
∴n××＝，解得n＝3.
∴P（0≤X≤2）＝1－P（X＝3）＝1－＝.
3.B 设P（X＝1）＝p，P（X＝2）＝q，则
E（X）＝0×＋1×p＋2×q＝1. ①
又因为＋p＋q＝1， ②
所以由①②得，p＝，q＝，
故D（X）＝×（0－1）2＋×（1－1）2＋×（2－1）2＝.
4.D 由题可得中奖概率为＋＝，而中奖人数服从二项分布，故这90人中中奖人数的数学期望为90×＝30，方差为90××＝20.故选D.
5.ABD a＋＋＝1，即a＋b＝1，a，b∈（0，1）.E（ξ）＝0×a＋1×＋2×＝.D（ξ）＝a×＋×＋×＝－＝－＋，b∈（0，1），可得b＝时，D（ξ）取得最大值.综上可得只有C错误.
6. 解析：由题意及二项分布的均值、方差公式得，
E（X）＝np＝，D（X）＝np（1－p）＝，
解得
所以P（X＝1）＝××＝×＝.
7.7 解析：由ξ的分布列，知：m＝1－－＝，∴E（ξ）＝1×＋2×＋3×＝，∵η＝3ξ＋2，∴E（η）＝3E（ξ）＋2＝3×＋2＝7.D（ξ）＝×＋×＋×＝.
8.9.8 解析：由题意得，P（X＜300）＝0.3，P（300≤X＜700）＝P（X＜700）－P（X＜300）＝0.7－0.3＝0.4，P（700≤X＜900）＝P（X＜900）－P（X＜700）＝0.9－0.7＝0.2，P（X≥900）＝1－P（X＜900）＝1－0.9＝0.1.
所以随机变量Y的分布列为
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
故E（Y）＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，
D（Y）＝（0－3）2×0.3＋（2－3）2×0.4＋（6－3）2×0.2＋（10－3）2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y的方差为9.8.
9.解：（1）X的取值范围是{6，9，12}.
P（X＝6）＝＝，
P（X＝9）＝＝，
P（X＝12）＝＝，
∴X的分布列为
X 6 9 12
P
∴E（X）＝6×＋9×＋12×＝7.8，
D（X）＝（6－7.8）2×＋（9－7.8）2×＋（12－7.8）2×＝3.36.
（2）由（1），可知D（ξ）＝D（aX＋2）＝a2D（X）＝3.36a2＝33.6，解得a＝±.
10.B 由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B（10，p），所以D（X）＝10p（1－p）＝2.4，所以p＝0.4或0.6.
又因为P（X＝4）＜P（X＝6），
所以p4（1－p）6＜p6（1－p）4，所以p＞0.5，所以p＝0.6.故选B.
11.BC 依题意，X1的取值范围是{0，1}.
其中P（X1＝0）＝×＝，
P（X1＝1）＝×1＋×＝，
所以随机变量X1的分布列为
X1 0 1
P
X1服从两点分布，所以E（X1）＝，
D（X1）＝×＝.
同理，X2的取值范围是{0，1}.
P（X2＝1）＝×＝，
P（X2＝0）＝×＋×1＝，
所以随机变量X2的分布列为
X2 0 1
P
X2服从两点分布，所以E（X2）＝，
D（X2）＝×＝.
X3的取值范围是{0，1}.
P（X3＝0）＝×＋××1＝，P（X3＝1）＝×＋××1＝，
所以随机变量X3的分布列为
X3 0 1
P
X3服从两点分布，所以E（X3）＝，D（X3）＝×＝，所以E（X1）＞E（X3）＞E（X2），D（X1）＝D（X2）＜D（X3）.
12.解：（1）甲地抽取的样本中优质品有7件，优质品率为.乙地抽取的样本中优质品有8件，优质品率为＝.
（2）ξ的所有可能值为{1，2，3}，
P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
所以E（ξ）＝1×＋2×＋3×＝，
所以ξ的方差D（ξ）＝×＋×＋×＝.
13.2 0.2 解析：设a，b∈{1，2，3，4，5}，则P（ξ1＝a）＝，其中ξ1的分布列为
ξ1 1 2 3 4 5
P
E（ξ1）＝×（1＋2＋3＋4＋5）＝3.
D（ξ1）＝×[（1－3）2＋（2－3）2＋（3－3）2＋（4－3）2＋（5－3）2]＝2.
ξ2＝1.4｜a－b｜的取值范围是{1.4，2.8，4.2，5.6}，
P（ξ2＝1.4）＝＝，P（ξ2＝2.8）＝＝，P（ξ2＝4.2）＝＝，P（ξ2＝5.6）＝＝，可得分布列
ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6
P
E（ξ2）＝1.4×＋2.8×＋4.2×＋5.6×＝2.8.
∴E（ξ1）－E（ξ2）＝0.2.
14.解：若按方案一执行，设收益为ξ万元，
则其分布列为
ξ 4 －2
P
所以E（ξ）＝4×＋（－2）×＝1（万元）.
若按方案二执行，设收益为η万元，
则其分布列为
η 2 0 －1
P
所以E（η）＝2×＋0×＋（－1）×＝1（万元）.
若按方案三执行，收益y＝10×4%＝0.4（万元）.
因为E（ξ）＝E（η）＞y，所以应从方案一、方案二中选择一种.
D（ξ）＝（4－1）2×＋（－2－1）2×＝9，
D（η）＝（2－1）2×＋（0－1）2×＋（－1－1）2×＝.
易知D（ξ）＞D（η）.这说明虽然方案一、方案二收益均值相等，但方案二更稳定，所以建议李师傅家选择第二种理财方案.
3 / 3第二课时 离散型随机变量的方差
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求方差 逻辑推理、数学运算
2.掌握两点分布、二项分布、超几何分布的方差求解公式 数学运算
3.会利用离散型随机变量的方差解决一些简单的实际问题 数据分析、数学建模
甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的次品数分别用X1，X2表示，X1，X2的分布列如下：
次品数X1 0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04
次品数X2 0 1 2 3
P 0.8 0.06 0.04 0.10
【问题】 （1）由E（X1）和E（X2）的值能比较两台机床的产品质量吗？
（2）试想利用什么指标可以比较加工质量？
知识点一 离散型随机变量的方差
1.定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则D（X）＝ .
2.D（X）的算术平方根称为离散型随机变量X的 .
3.方差与标准差反映了离散型随机变量的取值相对于均值的 .
4.若X与Y都是离散型随机变量，且Y＝aX＋b（a≠0），则D（aX＋b）＝ .
提醒 对方差概念的再理解：①D（X）表示随机变量X对E（X）的平均偏离程度，D（X）越大，表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D（X）越小，X的取值越集中在E（X）附近，统计中常用来描述X的分散程度；②D（X）与E（X）一样也是一个实数，由X的概率分布唯一确定；③随机变量X的方差与标准差都反映了随机变量X的取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D（X）越小，稳定性越高，波动越小.显然D（X）≥0，标准差与随机变量本身有相同的单位.
【想一想】
随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
设随机变量ξ的方差D（ξ）＝1，则D（2ξ＋1）的值为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
知识点二 两点分布与二项分布的方差
X X服从两点分布 X～B（n，p）
D（X） （其中p为成功概率）
【想一想】
两点分布与二项分布的方差间存在怎样的联系？
1.已知X的分布列为
X －1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
则D（X）＝（ ）
A.0.7 B.0.61
C.－0.3 D.0
2.已知随机变量ξ～B（n，p），若E（ξ）＝4.8，D（ξ）＝2.88，则实数n，p的值分别为（ ）
A.4，0.6 B.12，0.4
C.8，0.3 D.24，0.2
3.已知随机变量X满足E（2X＋3）＝7，D（2X＋3）＝16，则下列说法正确的是（ ）
A.E（X）＝，D（X）＝
B.E（X）＝2，D（X）＝4
C.E（X）＝2，D（X）＝8
D.E（X）＝，D（X）＝8
4.已知随机变量Y只取a，1这两个值，且P（Y＝a）＝a，则当E（Y）取最小值时D（Y）＝ .
题型一 离散型随机变量的方差
【例1】 随机变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P a c
若E（ξ）＝，则D（ξ）＝ .
尝试解答
通性通法
离散型随机变量方差的计算
（1）由已知离散型随机变量的分布列求方差，主要是利用方差的概念进行求解，但若分布列中有待定字母，必须先利用分布列的性质求出待定字母的值，然后再求方差；
（2）由已知离散型随机变量的方差求另一离散型随机变量的方差，主要是利用离散型随机变量函数的方差公式进行计算，即利用离散型随机变量的方差的性质求解；
（3）对于特殊的分布列，可直接利用公式求解.
【跟踪训练】
随机变量X的分布列如下表，且E（X）＝2，则D（2X－3）＝（ ）
X 0 2 a
P p
A.2 B.3
C.4 D.5
题型二 实际问题中的方差
【例2】 设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.
（1）当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
（2）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若E（η）＝，D（η）＝，求a∶b∶c.
尝试解答
通性通法
随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度.在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释.例如，如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低等等.
【跟踪训练】
有三张形状、大小、质地完全一样的卡片，在每张卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：
（1）ξ的分布列；
（2）随机变量ξ的数字期望与方差.
题型三 常见分布列的方差
【例3】 已知随机变量X＋η＝8，若X～B（10，0.6），则随机变量η的均值E（η）及方差D（η）分别为（ ）
A.6和2.4 B.2和2.4
C.2和5.6 D.6和5.6
尝试解答
通性通法
1.求离散型随机变量的方差和标准差的步骤
（1）明确随机变量的所有取值，并理解随机变量取每一个值的意义；
（2）求出随机变量取各个值的概率；
（3）列出随机变量的分布列；
（4）利用数学期望的公式E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xkpk＋…＋xnpn，求出随机变量的数学期望E（X）；
（5）利用方差的公式D（X）＝[xi－E（X）]2pi求出方差D（X）；
（6）利用方差与标准差的关系，求出随机变量的标准差.
2.对于服从两点分布、二项分布的随机变量的方差可以直接利用公式求解，若X服从两点分布，则D（X）＝p（1－p）；若X服从二项分布，则D（X）＝np（1－p）.
【跟踪训练】
春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差D（X）＝2.1，P（X＝3）＜P（X＝7），则p＝ .
题型四 决策问题
【例4】 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式；
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.
尝试解答
通性通法
利用期望与方差进行决策的方法
（1）若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量ξ1，ξ2的期望，当E（ξ1）＝E（ξ2）时，不应误认为它们一样好，需要用D（ξ1），D（ξ2）来比较这两个随机变量的偏离程度，偏离程度小的更好；
（2）若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近；
（3）若对平均水平或者稳定性没有明确要求时，一般先计算期望，若相等，则由方差来确定哪一个更好.若E（ξ1）与E（ξ2）比较接近，且期望较大者的方差较小，显然该变量更好；若E（ξ1）与E（ξ2）比较接近且方差相差不大时，应依据选择较理想的平均水平还是选择较稳定，作出不同选择.
【跟踪训练】
如图，某工人的住所在A处，上班的企业在D处，开车上下班的路线有三条路程几乎相等的路线供选择：环城南路经过路口C，环城北路经过路口F，中间路线经过路口G.如果开车到五个路口B，C，E，F，G因遇到红灯而堵车的概率分别为，，，，，再无别的路口红灯.
（1）为了减少开车在路口因遇到红灯而堵车的次数，这位工人应该选择哪条行驶路线？
（2）对于（1）所选择的路线，求其堵车次数的方差.
随机变量函数的数学期望和方差
1.某商场做促销活动，凡是一家三口一起来商场购物的家庭，均可参加返现活动，活动规则如下：商家在箱中装入20个大小相同的球，其中6个是红球，其余都是黑球；每个家庭只能参加一次活动，参加活动的三口人，每人从中任取一球，只能取一次，且每人取球后均放回；若取到黑球则获得4元返现金，若取到红球则获得12元返现金.若某家庭参与了该活动，则该家庭获得的返现金额的期望是（ ）
A.22.4 B.21.6
C.20.8 D.19.2
解析：D 设3个人中取到黑球的个数记为随机变量X，则3个人中取到红球的个数记为随机变量3－X，记该家庭获得的返现金额为随机变量Y，则由题意知Y＝4X＋12（3－X）＝36－8X，因为每次取得黑球的概率为＝0.7，所以X服从参数为3，0.7的二项分布，即X～B（3，0.7），所以E（Y）＝36－8E（X）＝36－8×3×0.7＝19.2.
2.某篮球运动员在三分球大赛的命中率为，假设三分球大赛中总计投出8球，投中一球得3分，投丢一球扣1分，则该运动员得分的期望与方差分别为（ ）
A.16，32 B.8，32
C.8，8 D.32，32
解析：B 根据题意，该运动员命中球数X～B，
∴E（X）＝8×＝4，D（X）＝8××＝2.
设该运动员的得分为随机变量Y，则Y的取值范围是{－8，－4，0，4，8，12，16，20，24}，且P（Y＝－8）＝P（X＝0），P（Y＝－4）＝P（X＝1），P（Y＝0）＝P（X＝2），P（Y＝4）＝P（X＝3），P（Y＝8）＝P（X＝4），P（Y＝12）＝P（X＝5），P（Y＝16）＝P（X＝6），P（Y＝20）＝P（X＝7），P（Y＝24）＝P（X＝8），
∴随机变量X，Y的关系为Y＝4X－8，∴E（Y）＝E（4X－8）＝4E（X）－8＝4×4－8＝8，D（Y）＝D（4X－8）＝42D（X）＝16×2＝32.
【问题探究】
求解随机变量Y＝aX＋b（a≠0）的均值时，可以先求出随机变量X的均值E（X），然后利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b，求得随机变量Y的均值；也可以先求出Y＝aX＋b（a≠0）的分布列，然后利用均值的定义公式求出随机变量Y的均值.
由以上两题可以看出，要求期望的随机变量Y本身并不服从超几何分布或二项分布，但它和另一个服从超几何分布或二项分布的随机变量X可以建立一个一次函数关系，这时通常先根据超几何分布或二项分布的期望公式求得X的期望E（X），再利用期望的性质求得E（Y）；也可以直接对Y进行分析，求得其分布列，然后利用期望的定义求解.
【迁移应用】
网约车的兴起丰富了民众出行的选择，为民众出行提供便利的同时也解决了很多劳动力的就业问题.梁某为网约车司机，据梁某自己统计某一天出车一次的总路程数可能的取值是20，22，24，26，28，30（km），它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t.
（1）求这一天中梁某一次行驶路程X的分布列，并求X的均值和方差；
（2）网约车计费规则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3 km时，收费5元，若行驶路程超过3 km，则每超出1 km（不足1 km也按1 km计程）收费3元.依据以上条件，计算梁某一天中出车一次收入的均值和方差.
1.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D（X甲）＝11，D（X乙）＝3.4.由此可以估计（ ）
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
2.设二项分布B（n，p）的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为（ ）
A.n＝4，p＝0.6 B.n＝6，p＝0.4
C.n＝8，p＝0.3 D.n＝24，p＝0.1
3.已知随机变量X，且D（10X）＝，则X的标准差为 .
4.一批产品中，次品率为，现连续抽取4次，其次品数记为X，则D（X）的值为 .
5.已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X －1 0 1 2
P a b c
若E（X）＝0，D（X）＝1，求a，b，c的值.
第二课时 离散型随机变量的方差
【基础知识·重落实】
知识点一
1.[x1－E（X）]2p1＋[x2－E（X）]2p2＋…＋[xn－E（X）]2pn 2.标准差 3.离散程度（或波动大小） 4.a2D（X）
想一想
提示：随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差.因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差.
自我诊断
C 因为D（2ξ＋1）＝4D（ξ）＝4×1＝4，故选C.
知识点二
p（1－p） np（1－p）
想一想
提示：由于两点分布是特殊的二项分布，故两者之间是特殊与一般的关系.即若X～B（n，p），则D（X）＝np（1－p），取n＝1，则D（X）＝p（1－p）就是两点分布的方差.
自我诊断
1.B E（X）＝（－1）×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D（X）＝0.5×（－1＋0.3）2＋0.3×（0＋0.3）2＋0.2×（1＋0.3）2＝0.61.
2.B 由题意，得解得
3.B 根据均值和方差的性质可得E（2X＋3）＝2E（X）＋3＝7，D（2X＋3）＝4D（X）＝16，解得E（X）＝2，D（X）＝4.
4. 解析：因为随机变量Y只取a，1这两个值.且P（Y＝a）＝a，0＜a＜1，所以P（Y＝1）＝1－a，
所以E（Y）＝a2＋1－a＝＋，
所以当a＝时，E（Y）取最小值，
所以此时D（Y）＝×＋×＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解析：由题意可得
解得
因此，D（ξ）＝×＋×＋×＝.
跟踪训练
C 由分布列的性质得p＝1－－＝，
由期望的定义可得E（X）＝0×＋2×＋a×＝2，
解得a＝3，
所以D（X）＝（0－2）2×＋（2－2）2×＋（3－2）2×＝1，所以D（2X－3）＝22D（X）＝4.
【例2】 解：（1）由题意得ξ的取值范围是{2，3，4，5，6}.
故P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，
P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，P（ξ＝6）＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ 2 3 4 5 6
P
（2）由题意知η的分布列为
η 1 2 3
P
所以E（η）＝＋＋＝，
D（η）＝×＋×＋×＝.
化简得解得
故a∶b∶c＝3∶2∶1.
跟踪训练
解：（1）随机变量ξ的取值范围是{0，1，2，4}，
“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为P（ξ＝0）＝1－×＝；
“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为P（ξ＝1）＝×＝；
“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P（ξ＝2）＝2××＝；
“ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P（ξ＝4）＝×＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 4
P
（2）E（ξ）＝0×＋1×＋2×＋4×＝1，
D（ξ）＝（0－1）2×＋（1－1）2×＋（2－1）2×＋（4－1）2×＝.
【例3】 B ∵X～B（10，0.6），∴由二项分布的数学期望公式得E（X）＝10×0.6＝6，
由二项分布的方差公式得D（X）＝10×0.6×0.4＝2.4，
∵X＋η＝8，∴η＝8－X，
则E（η）＝E（8－X）＝8－E（X）＝8－6＝2，D（η）＝D（8－X）＝D（X）＝2.4.
跟踪训练
0.7 解析：由题意可知X～B（10，p），∵D（X）＝2.1，P（X＝3）＜P（X＝7），
∴即
∴p＝0.7.
【例4】 解：（1）当日需求量n≥16时，利润y＝80.
当日需求量n＜16时，利润y＝10n－80.
所以y关于n的函数解析式为y＝（n∈N）.
（2）①X的取值范围是{60，70，80}，且P（X＝60）＝0.1，P（X＝70）＝0.2，P（X＝80）＝0.7.
所以X的分布列为
X 60 70 80
P 0.1 0.2 0.7
则X的数学期望为E（X）＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
X的方差为D（X）＝（60－76）2×0.1＋（70－76）2×0.2＋（80－76）2×0.7＝44.
②若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润（单位：元），则Y的分布列为
Y 55 65 75 85
P 0.1 0.2 0.16 0.54
所以Y的数学期望为E（Y）＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
Y的方差为D（Y）＝（55－76.4）2×0.1＋（65－76.4）2×0.2＋（75－76.4）2×0.16＋（85－76.4）2×0.54＝112.04.
结合①可知E（X）＜E（Y），D（X）＜D（Y）.
从利润角度看，购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润，所以花店一天应购进17枝玫瑰花，但D（Y）＞D（X），且E（X）与E（Y）之间相差不大，即购进17枝玫瑰花时利润波动相对较大，且购进17枝玫瑰花没有比购进16枝玫瑰花的利润大很多，故购进16枝玫瑰花也可以.
跟踪训练
解：（1）设这位工人选择行驶路线A—B—C—D，A—F—E—D，A—B—G—E—D分别堵车X1，X2，X3次，则X1，2＝0，1，2，X3＝0，1，2，3.
由于P（X1＝0）＝×＝，P（X1＝1）＝×＋×＝，P（X1＝2）＝×＝，则E（X1）＝0×＋1×＋2×＝.
由于P（X2＝0）＝×＝，P（X2＝1）＝×＋×＝，P（X2＝2）＝×＝，则E（X2）＝0×＋1×＋2×＝.
由于P（X3＝0）＝××＝，P（X3＝1）＝××＋××＋××＝，P（X3＝2）＝××＋××＋××＝，P（X3＝3）＝××＝，则E（X3）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
比较知E（X2）最小，所以这位工人应该选择行驶路线A—F—E—D.
（2）由（1）知E（X2）＝，P（X2＝0）＝，P（X2＝1）＝，P（X2＝2）＝，
则D（X2）＝×＋×＋×＝，
所以堵车次数的方差为.
拓视野 随机变量函数的数学期望和方差
迁移应用
解：（1）由概率分布的性质知，0.1＋0.2＋0.3＋0.1＋t＋2t＝1，∴t＝0.1.
∴X的分布列为
X 20 22 24 26 28 30
P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2
∴E（X）＝20×0.1＋22×0.2＋24×0.3＋26×0.1＋28×0.1＋30×0.2＝25.
D（X）＝（20－25）2×0.1＋（22－25）2×0.2＋（24－25）2×0.3＋（26－25）2×0.1＋（28－25）2×0.1＋（30－25）2×0.2＝10.6.
（2）设梁某一天出车一次的收入为Y元，则Y＝3（X－3）＋5＝3X－4（X＞3，X∈N），
∴E（Y）＝E（3X－4）＝3E（X）－4＝3×25－4＝71，D（Y）＝D（3X－4）＝32D（X）＝95.4.
随堂检测
1.B ∵D（X甲）＞D（X乙），∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.
2.B 由题意得，np＝2.4，np（1－p）＝1.44，∴1－p＝0.6，
∴p＝0.4，n＝6.
3. 解析：由题意可知D（10X）＝，即100D（X）＝，
∴D（X）＝，∴＝.即X的标准差为.
4. 解析：由题意知次品率为，则正品率为1－＝，则X～B，所以D（X）＝4××＝.
5.解：由题意，
解得a＝，b＝c＝.
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