4.2.5 正态分布
1.已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X＞2）＝0.15，则P（0≤X≤1）＝（ ）
A.0.85 B.0.70
C.0.35 D.0.15
2.某厂生产的零件外径X～N（10，0.04），今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm，9.3 cm，则可认为（ ）
A.上午生产情况正常，下午生产情况异常
B.上午生产情况异常，下午生产情况正常
C.上午、下午生产情况均正常
D.上午、下午生产情况均异常
3.设随机变量X～N（1，52），且P（X≤0）＝P（X＞a－2），则实数a的值为（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
4.设X～N（μ1，），Y～N（μ2，），这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ）
A.μ1＞μ2，σ1＞σ2
B.P（X＞μ1）＜P（X＞μ2）
C.μ1＜μ2，σ1＞σ2
D.P（Y≤μ1）＜P（X≤μ2）
5.（多选）若随机变量ξ～N（0，1），Φ（x）＝P（ξ≤x），其中x＞0，下列等式成立的有（ ）
A.Φ（－x）＝1－Φ（x）
B.Φ（2x）＝2Φ（x）
C.P（｜ξ｜＜x）＝2Φ（x）－1
D.P（｜ξ｜＞x）＝2－Φ（x）
6.已知随机变量X服从正态分布N（72，4），则P（X＜70或X＞76）等于 .
7.某品牌的一款纯电动车单次最大续航里程X（km）服从正态分布N（2 000，102）.任选一辆该款电动车，则它的单次最大续航里程恰在1 970 km到2 020 km之间的概率为 .
（参考公式：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ＜ξ＜μ＋σ）≈0.683，P（μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）≈0.954，P（μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ）≈0.997.）
8.研究珠海市农科奇观的某种作物，其单株生长果实个数x服从正态分布N（90，σ2），且P（x＜70）＝0.1，从中随机抽取10株，果实个数在[90，110]的株数记作随机变量X，假设X服从二项分布，则P（90≤X≤110）＝ ，X的方差为 .
9.有一名投资者计划在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润ξ（万元）分别服从正态分布N（8，32）和N（6，22），投资者需要“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择哪一个方案？
10.为准备2022年北京—张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批9～14岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10 000名青少年报名参加测试，其测试成绩X（满分100分）服从正态分布N（60，σ2），成绩为90分及以上者可以进入集训队，已知80分及以上的人数为228人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为（ ）
附：P（μ－σ＜X＜μ＋σ）≈0.682 6，P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）≈0.954 4，P（μ－3σ＜X＜μ＋3σ）≈0.997 4
A.13 B.18 C.26 D.30
11.（多选）某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ）
A.甲科总体的标准差最小
B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都居中
D.甲、乙、丙的总体的平均数相同
12.已知从某批材料中任取一件，取得的这件材料的强度X服从N（200，182）.
（1）计算取得的这件材料的强度不低于182的概率；
（2）如果所用的材料需以95%的概率保证强度不低于164，问这批材料是否符合这个要求？
13.某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：h）均服从正态分布N（1 000，1002），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 100小时的概率为 .
（附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ＜Z＜μ＋σ）≈）
14.若某种零件的尺寸ξ（单位：mm）服从正态分布，其正态密度函数f（x）＝在（0，80）上单调递增，在（80，＋∞）上单调递减，且f（80）＝ .试估计尺寸在72 mm～88 mm的零件占总数的百分之几.
4.2.5 正态分布
1.C P（0≤X≤1）＝P（1≤X≤2）＝0.5－P（X＞2）＝0.35.
2.A 因测量值X为随机变量，又零件外径X～N（10，0.04），所以μ＝10，σ＝0.2，
记I＝[μ－3σ，μ＋3σ]＝[9.4，10.6]，则9.9∈I，9.3 I.故选A.
3.B 因为随机变量X～N（1，52），且P（X≤0）＝P（X＞a－2），所以由正态分布密度曲线的对称性（对称轴是x＝1）可知，a－2＝2×1，解得a＝4.
4.D 由题图可得，μ1＜μ2，σ1＜σ2，排除A、C；再由正态曲线的对称性，可知P（Y≤μ1）＜P（X≤μ1）＜P（X≤μ2），故选D.
5.AC 因为随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），所以正态曲线关于ξ＝0对称，因为Φ（x）＝P（ξ≤x），根据曲线的对称性可得：A.Φ（－x）＝P（ξ≥x）＝1－Φ（x），所以该选项正确；
B.Φ（2x）＝P（ξ≤2x），2Φ（x）＝2P（ξ≤x），所以Φ（2x）≠2Φ（x），所以该选项错误；
C.P（｜ξ｜＜x）＝P（－x＜ξ＜x）＝1－2Φ（－x）＝1－2[1－Φ（x）]＝2Φ（x）－1，所以该选项正确；
D.P（｜ξ｜＞x）＝P（ξ＞x或ξ＜－x）＝1－Φ（x）＋Φ（－x）＝1－Φ（x）＋1－Φ（x）＝2－2Φ（x），所以该选项错误.
6.0.181 5 解析：因为随机变量X服从正态分布N（72，4），所以μ＝72，σ＝2，所以P（70≤X≤74）≈0.683，P（68≤X≤76）≈0.954，所以P（X＜70）＝0.158 5，P（X＞76）＝0.023，所以P（X＜70或X＞76）＝0.158 5 ＋0.023＝0.181 5.
7.0.975 5 解析：由X～N（2 000，102）知，则μ＝2 000，σ＝10，
所以P（1 970＜X＜2 020）＝P（μ－3σ＜X＜μ＋2σ）＝P（μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ）－[P（μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ）－P（μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）]≈0.997－×[0.997－0.954]＝0.975 5.
8.0.4 2.4 解析：因为x～N（90，σ2），所以P（90≤x≤110）＝－P（x＞110），而P（x＞110）＝P（x＜70）＝0.1.
所以P（90≤x≤110）＝0.4，所以X～B（10，0.4），
所以D（X）＝10×0.4×0.6＝2.4.
9.解：对于第一个方案，ξ1～N（8，32），μ＝8，σ＝3，
所以μ－σ＝5，μ＋σ＝11，
因此P（ξ1＞5）＝P（5＜ξ1≤8）＋P（ξ1＞8）＝P（5＜ξ1＜11）＋＝P（μ－σ＜ξ1＜μ＋σ）＋.
对于第二个方案，ξ2～N（6，22），μ＝6，σ＝2，
所以μ－σ＝4，μ＋σ＝8，
因此P（ξ2＞4）＝P（4＜ξ2≤6）＋P（ξ2＞6）＝P（4＜ξ2＜8）＋＝P（μ－σ＜ξ2＜μ＋σ）＋，
而P（ξ2＞5）＜P（ξ2＞4）.所以P（ξ2＞5）＜P（ξ1＞5）.
故应选择第一个方案.
10.A 正态分布X～N（60，σ2），可知μ＝60，80分及以上的人数为228人，则P（X≥80）＝＝0.022 8，由正态分布曲线的对称性可得：P（40＜X＜80）＝1－2P（X≥80）＝0.954 4＝P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ），故σ＝10，∴P（30＜X＜90）＝0.997 4，∴P（X≥90）＝＝0.001 3，则90分及以上的人数为10 000×0.001 3＝13人.故选A.
11.AD 由题中图象可知三科总体的平均数（均值）相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.故选A、D.
12.解：（1）X～N（μ，σ2），其中μ＝200，σ＝18，
而182＝200－18＝μ－σ，218＝200＋18＝μ＋σ，
∴P（182≤X≤218）≈0.683.
又∵1＝P（X＜182）＋P（182≤X≤218）＋P（X＞218），
由正态曲线的对称性可知P（X＜182）＝P（X＞218），
∴P（X＜182）≈×（1－0.683）＝0.158 5.
∴P（X≥182）＝1－P（X＜182）＝1－0.158 5＝0.841 5.
故所求的概率为0.841 5.
（2）由（1）知164＝μ－2σ，236＝μ＋2σ，
∴P（164≤X≤236）≈0.954.
又由正态曲线的对称性可知P（X＜164）＝P（X＞236），且P（X＜164）＋P（164≤X≤236）＋P（X＞236）＝1，
∴P（X＜164）≈×（1－0.954）＝0.023，
∴P（X≥164）＝1－P（X＜164）＝0.977＞0.95.
故这批材料符合这个要求.
13. 解析：由于三个电子元件的使用寿命都符合正态分布N（1 000，1002），且P（μ－σ＜Z＜μ＋σ）≈.则每个电子元件使用寿命超过1 100小时的概率P（X＞1 100）＝，故该部件的使用寿命超过1 100小时的概率为×＝.
14.解：由于函数f（x）在（0，80）上单调递增，在（80，＋∞）上单调递减，所以正态曲线f（x）关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值，因此μ＝80，＝，所以σ＝8.
由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，
因此尺寸在72 mm～88 mm的零件大约占总数的68.3%.
1 / 24.2.5 正态分布
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解概率密度曲线和正态分布的概念 数学抽象
2.认识概率密度函数的特点及正态曲线所表示的意义 直观想象
3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间范围内的概率 数学运算
4.能够运用正态分布解决一些实际生活中的简单问题 逻辑推理
高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上就印有高斯的头像和正态分布曲线.
【问题】 你知道正态分布有哪些应用吗？
知识点一 正态曲线
若函数φ（x）＝x∈R.其中：μ＝ ，即X的均值；σ＝ ，即X的标准差，一般地，φ（x）对应的图象称为 （也因形状而被称为“钟形曲线”，φ（x）也常常记为φμ，σ（x））.
知识点二 正态曲线的性质
1.正态曲线关于 对称（即μ决定正态曲线对称轴的位置），具有中间高、两边低的特点.
2.正态曲线与x轴所围成的图形面积为 .
3.σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ ，说明标准差 ，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差 ，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.
知识点三 正态分布
一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ（x）对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的 ，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～ ，此时φμ，σ（x）称为X的 .更进一步的研究表明，此时μ是X的均值，而σ是X的标准差，σ2是X的方差.
1.四个特殊区间的概率
（1）如果X～N（μ，σ2），那么P（X≤μ）＝P（X≥μ）＝ ；
（2）P（｜X－μ｜≤σ）＝P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈ ；
（3）P（｜X－μ｜≤2σ）＝P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈ ；
（4）P（｜X－μ｜≤3σ）＝P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈ .
2.3σ原则
由P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈99.7%知，X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内，也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外，这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”.
知识点四 标准正态分布
μ＝ 且σ＝ 的正态分布称为标准正态分布，如果Y～N（μ，σ2），那么令X＝ ，则可以证明X～ ，即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布.
提醒 理解正态分布要注意以下3点：①参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数（数学期望）；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计；②正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布，如长度测量误差、正常生产条件下各种产品的质量指标等；③由一些相互独立的偶然因素所引起的，每一种偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，这一类随机现象的随机变量的概率分布一般近似服从正态分布.
【想一想】
1.标准正态分布X～N（0，1）中Φ（a）＝P（X＜a）的含义是什么？Φ（a）与Φ（－a）有什么关系？
2.如果X～N（μ，σ2），那么P（x≤μ）与P（x≥μ）之间存在怎样的等量关系？
3.正态分布Y～N（μ，σ2）化为标准正态分布的变换是什么？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）正态曲线的解析式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差.（ ）
（2）服从正态分布的随机变量是连续型随机变量.（ ）
（3）正态曲线是一条钟形曲线.（ ）
（4）离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述.（ ）
（5）随机变量落在（－3σ，3σ）之外是一个小概率事件.（ ）
2.已知随机变量X～N（1，σ2），若P（0＜x＜3）＝0.5，P（0＜X＜1）＝0.2，则P（X＜3）＝（ ）
A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8
3.某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其概率密度函数φ（x）＝，x∈（－∞，＋∞），则下列命题不正确的是（ ）
A.该市这次考试的数学平均成绩为80分
B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D.该市这次考试的数学成绩标准差为10
4.若某地成年男性的体重X（单位：kg）服从正态分布N（72，102），则P（｜X－72｜≤20）＝ .
题型一 正态曲线及其特点
【例1】 甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，），N（μ2，），其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A.甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
尝试解答
通性通法
用待定系数法求概率密度函数表达式，关键是确定参数μ和σ的值，注意函数的形式.
当x＝μ时，概率密度函数取得最大值，即φ（μ）＝为最大值，注意该式在解题中的应用.
【跟踪训练】
已知三条正态曲线φi（x）＝（x∈R，i＝1，2，3）如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3
B.μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
C.μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3
D.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
题型二 正态分布的概率计算
【例2】 设X～N（1，4），试求：
（1）P（－1≤X≤3）；
（2）P（－1≤X≤1）；
（3）P（3≤X≤5）；
（4）P（X≥5）.
尝试解答
通性通法
求解正态分布的概率问题的思路
利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型，也是高考考查的重点.解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断.常用结论如下：
（1）对于正态分布N（μ，σ2），由直线x＝μ是正态曲线的对称轴知：①对任意的实数a，P（X＜μ－a）＝P（X＞μ＋a）；②P（X＜x0）＝1－P（X≥x0）；③P（a＜X＜b）＝P（X＜b）－P（X≤a）.
（2）对于μ＝0的正态分布，求X落在某区间的概率时常利用如下两个公式：①P（X＜－x0）＝1－P（X≤x0）；②P（a＜X＜b）＝P（X＜b）－P（X≤a）.
（3）当条件中无已知概率时，则要将区间转化为三个特殊区间：P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.683，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954，P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997.
【跟踪训练】
某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N（84，σ2），且P（78＜X≤84）＝0.3.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ）
A.60 B.80 C.100 D.120
题型三 3σ原则的应用
【例3】 某玻璃工厂生产一种玻璃保护膜，为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10件样品检测质量指标（单位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70.经计算得＝xi＝53.7，s＝＝9.9.生产合同中规定：质量指标在62分以上的产品为优质品，一批产品中优质品率不得低于15%.
（1）以这10件样品中优质品的频率估计这批产品的优质品率，从这批产品中任意抽取3件，求有2件为优质品的概率；
（2）根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差，利用该正态分布，是否有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求？
附：若X～N（μ，σ2），P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.683，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954.
尝试解答
通性通法
由“3σ原则”我们可以知道，随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率是非常小的，这种事件我们称为小概率事件.通常情况下，我们认为小概率事件是不可能发生的，一旦发生就认为系统有问题或不正常.
若随机变量服从正态分布N（μ，σ2），由此做假设检验时，按如下步骤进行.
（1）确定一次试验中的取值a是否落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内；
（2）做出判断：若a∈[μ－3σ，μ＋3σ]，则接受统计假设；若a [μ－3σ，μ＋3σ]，则拒绝统计假设.
【跟踪训练】
某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位：min）服从正态分布N（50，102）；第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N（60，42）.若时间只有70 min可用，应走哪条路线？
标准正态分布和非标准正态分布、二项分布之间的关系
1.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2 000名，考试满分为400分（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布）.考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名.
（1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数）
（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由.
参考资料：①当X～N（μ，σ2）时，令Y＝，则Y～N（0，1）.
②当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y≤1.04）≈0.85.
解：（1）设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，即X～N（180，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1）.
由360分及以上高分考生30名可得P（X≥360）＝，
即P（X＜360）＝1－＝0.985，
即有P＝0.985，
则≈2.17，可得σ≈83，
可得X～N（180，832），设最低录取分数线为x0，
则P（X≥x0）＝P＝，
即有P＝1－＝0.85，
所以≈1.04，所以x0≈266.32，
即最低录取分数线为266或267分.
（2）考生甲的成绩286＞267，所以能被录取，P（X＜286）＝P＝P（Y＜1.28）≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1－0.90＝0.10，2 000×0.10＝200，即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位.
2.二项分布与正态分布是概率统计中两大非常重要的分布.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从这两大分布，例如检查产品的不合格品数，射击比赛中射中目标的次数等近似服从二项分布；长度的测量误差，零件的尺寸，电子管的使用寿命等服从或近似服从正态分布.并且这两大分布的关系非常密切.经研究表明，如果一个随机变量X服从二项分布B（n，p），当np＞5且np（1－p）＞5时，二项分布就可以用正态分布近似替代即P（X≤x）≈P（Y≤x），其中随机变量Y～N（np，np（1－p））.
（1）如果某射手每次射击击中目标的概率为0.6，每次射击的结果相互独立.
①计算他在连续三次射击中恰连续两次命中目标的概率；
②他在10次射击中，击中目标几次的概率最大？并说明理由；
（2）如果某射手每次射击击中目标的概率为0.8，每次射击的结果相互独立，在100次的射击中，记击中目标的次数为η，计算P（68≤η≤92）.
参考数据：ξ～N（μ，σ2），
P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈0.683，
P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）≈0.954，
P（μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ）≈0.997.
解：（1）①依题意，设事件A表示击中目标，表示没有击中目标，B表示连续三次射击中恰连续两次命中目标.所以P（B）＝P（AA）＋P（AA）＝0.6×0.6×0.4＋0.4×0.6×0.6＝0.288.
②在10次射击中，击中6次的概率最大.10次射击中击中目标k次的概率为Pk＝×0.6k×（1－0.6）10－k，由得k＝6.
（2）因为E（X）＝100×0.8＝80＞5，D（X）＝100×0.8×0.2＝16＞5，
所以η近似的服从η～N（80，16），
所以P（68≤η≤92）＝P（80－3×4≤η≤80＋3×4）≈0.997.
【问题探究】
1.标准正态分布N（0，1）在正态分布的研究中占有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表”.在这个表中，相应于x0的值Ф（x0）是指变量取值小于x0的概率，即Φ（x0）＝P（X＜x0），如图①中左边的阴影部分所示.
2.由于标准正态曲线关于y轴对称，表中仅给出了对应于非负值x0的值Ф（x0）.如果x0＜0，那么由图②中两个阴影部分面积相等知Φ（x0）＝1－Ф（－x0）.
3.一般的正态分布N（μ，σ2）均可以化成标准正态分布N（0，1）来进行研究.事实上可以证明，对任一正态分布N（μ，σ2）来说，取值小于x0的概率P（X＜x0）＝Ф.
【迁移应用】
某高校为了解《全民阅读促进条例》发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：h）并绘制如图所示的频率分布直方图.
（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N（μ，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1），且P（X≤a）＝P.利用直方图得到的正态分布，求P（X≤10）；
②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P（Z≥2）（结果精确到0.000 1）以及Z的数学期望.
参考数据：≈，0.773 419≈0.007 6，若Y～N（0，1），则P（Y≤0.75）＝0.773 4.
1.若随机变量ξ服从正态分布N（0，1），已知P（ξ＜－1.96）＝0.025，则P（｜ξ｜＜1.96）＝（ ）
A.0.025 B.0.050
C.0.950 D.0.975
2.某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），下列结论中不正确的是（ ）
A.σ越小，该物理量在一次测量中在（9.9，10.1）的概率越大
B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D.σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等
3.某校1 000名高三学生参加了一次数学考试，考生的分数X服从正态分布N（90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试中分数不超过70分的有 人.
4.某地区数学考试的成绩X服从正态分布N（μ，σ2），其密度曲线如图所示，正态分布密度函数为φ（x）＝，x∈（－∞，＋∞），则成绩X位于区间（86，94]的概率是 .
5.设随机变量X～N（2，9），若P（X＞c＋1）＝P（X＜c－1）.
（1）求c的值；
（2）求P（－4＜x＜8）.
4.2.5 正态分布
【基础知识·重落实】
知识点一
E（X） 正态曲线
知识点二
1.x＝μ 2.1 3.越大 越大 越小
知识点三
面积 N（μ，σ2） 概率密度函数
1.（1）50% （2）68.3% （3）95.4% （4）99.7%
知识点四
0 1 N（0，1）
想一想
1.提示：Φ（a）表示N（0，1）对应的正态曲线与x轴在区间（－∞，a）内所围的面积，Φ（a）＋Φ（－a）＝1.
2.提示：P（x≤μ）＝P（x≥μ）＝.
3.提示：借助X＝实现转换.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√ （4）× （5）×
2.D 由题意可得P（1＜x＜3）＝0.5－0.2＝0.3.∵随机变量X～N（1，σ2），∴P（X＜3）＝0.3＋0.5＝0.8.
3.B 由题意得，这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10.作出其大致图象，从图象上看，曲线关于直线x＝80对称，故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同.故选B.
4.0.954 解析：P（｜X－72｜≤20）＝P（｜X－μ｜≤2σ）＝P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954.
【典型例题·精研析】
【例1】 D 由图象可知甲曲线关于直线x＝0.4对称，乙曲线关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A、C正确；因为甲曲线比乙曲线更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量，故B正确；因为乙曲线的峰值为1.99，即＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误.
跟踪训练
D 由正态曲线关于直线x＝μ对称，知μ1＜μ2＝μ3；σ的大小决定曲线的形状，σ越大，总体分布越分散，曲线越“矮胖”；σ越小，总体分布越集中，曲线越“瘦高”，则σ1＝σ2＜σ3.实际上，由φ1（μ1）＝φ2（μ2）＞φ3（μ3），得＝＞，即σ1＝σ2＜σ3.
【例2】 解：易知X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2.
（1）P（－1≤X≤3）＝P（1－2≤X≤1＋2）＝P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.683.
（2）∵该正态曲线关于直线x＝1对称，结合图象可知P（－1≤X≤1）＝P（－1≤X≤3）≈×0.683＝0.341 5.
（3）∵P（3≤X≤5）＝P（－3≤X≤－1），
∴P（3≤X≤5）＝[P（－3≤X≤5）－P（－1≤X≤3）]＝[P（1－4≤X≤1＋4）－P（1－2≤X≤1＋2）]＝[P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）－P（μ－σ≤X≤μ＋σ）]≈×（0.954－0.683）＝0.135 5.
（4）∵P（X≥5）＝P（X≤－3），
∴P（X≥5）＝[1－P（－3＜X＜5）]＝[1－P（－3＜X≤5）＋P（X＝5）]＝[1－P（1－4＜X≤1＋4）]＝[1－P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）]≈×（1－0.954）＝0.023.
跟踪训练
B 由题意，成绩X近似服从正态分布N（84，σ2），则正态分布曲线的对称轴为X＝84，又由P（78＜X≤84）＝0.3，根据正态分布曲线的对称性，可得P（X≥90）＝×[1－2×P（78＜X≤84）]＝×（1－0.6）＝0.2，所以该市某校参加此次统测的400人中，数学成绩不低于90分的人数估计为400×0.2＝80（人）.
【例3】 解：（1）10件产品中优质品的频率为，记任取3件，优质品数为Y，则Y～B，
P（Y＝2）＝××＝.
（2）记这种产品的质量指标为X，由题意，X～N（53.7，9.92），
则P（43.8≤X＜63.6）＝P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.683.
∵P（X＞62）＞P（X＞63.6）＝＝0.158 5＞0.15.
∴有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求.
跟踪训练
解：对于第一条路线，设所需时间为X，X～N（50，102），其中μ＝50，σ＝10，μ－2σ＝30，μ＋2σ＝70，
所以P（X＜70）＝P（X≤50）＋P（50＜X＜70）＝＋P（30＜X＜70）≈＋×0.954＝0.977.
对于第二条路线，
设所需时间为Y，Y～N（60，42），其中μ＝60，σ＝4，μ－2σ＝52，μ＋2σ＝68，
所以P（Y＜68）＝P（Y≤60）＋P（60＜Y＜68）＝＋P（52＜Y＜68）≈＋×0.954＝0.977，
于是P（Y＜70）＝P（Y＜68）＋P（68≤Y＜70）＝0.977＋P（68≤Y＜70）＞0.977，
即P（Y＜70）＞P（X＜70），故应走第二条路线.
拓视野 标准正态分布和非标准正态分布、二项分布之间的关系
迁移应用
解：（1）＝6×0.03＋7×0.1＋8×0.2＋9×0.35＋10×0.19＋11×0.09＋12×0.04＝9，
s2＝（6－9）2×0.03＋（7－9）2×0.1＋（8－9）2×0.2＋（9－9）2×0.35＋（10－9）2×0.19＋（11－9）2×0.09＋（12－9）2×0.04＝1.78.
（2）①由题知μ＝9，σ2＝1.78，
∴X～N（9，1.78），σ＝＝≈.
∴P（X≤10）＝PY≤＝P（Y≤0.75）＝0.773 4.
②由①知P（X＞10）＝1－P（X≤10）＝0.226 6，
可得Z～B（20，0.226 6），P（Z≥2）＝1－P（Z＝0）－P（Z＝1）＝1－0.773 420－×0.226 6×0.773 419＝1－（0.773 4＋20×0.226 6）×0.007 6≈0.959 7.
∴Z的数学期望E（Z）＝20×0.226 6＝4.532.
随堂检测
1.C 由随机变量ξ服从正态分布N（0，1），得P（ξ＜1.96）＝1－P（ξ≥1.96）＝1－P（ξ≤－1.96），所以P（｜ξ｜＜1.96）＝P（－1.96＜ξ＜1.96）＝P（ξ＜1.96）－P（ξ≤－1.96）＝1－2P（ξ≤－1.96）＝1－2P（ξ＜－1.96）＝1－2×0.025＝0.950.
2.D 对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确；对于B、C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B、C正确.D显然错误.故选D.
3.150 解析：∵X～N（90，σ2），P（70＜X≤110）＝0.7，
∴P（X≤70）＝×（1－0.7）＝0.15，
故估计这次考试中分数不超过70分的人数为1 000×0.15＝150.
4.0.021 5 解析：由正态曲线可知μ＝70，σ＝8，
∴P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）＝P（54＜X≤86）≈0.954，
P（μ－3σ≤X＜μ＋3σ）＝P（46＜X≤94）≈0.997，
∴P（86＜X≤94）＝×（0.997－0.954）＝0.021 5.
5.解：（1）由X～N（2，9）可知，密度函数关于直线x＝2对称（如图所示），
又P（X＞c＋1）＝P（X＜c－1），故有2－（c－1）＝（c＋1）－2，所以c＝2.
（2）P（－4＜x＜8）＝P（2－2×3＜x＜2＋2×3）≈95.4%.
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4.2.5 正态分布
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解概率密度曲线和正态分布的概
念 数学抽象
2.认识概率密度函数的特点及正态曲线所表示的意义 直观想象
3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间范围
内的概率 数学运算
4.能够运用正态分布解决一些实际生活中的简单问题 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的
10马克纸币上就印有高斯的头像和正态分布曲线.
【问题】 你知道正态分布有哪些应用吗？
知识点一 正态曲线
若函数φ（ x ）＝ x ∈R. 其中：μ＝ ，
即 X 的均值；σ＝ ，即 X 的标准差，一般地，φ（ x ）对
应的图象称为 （也因形状而被称为“钟形曲线”，φ
（ x ）也常常记为φμ，σ（ x ））.
E （ X ）
正态曲线
知识点二 正态曲线的性质
1. 正态曲线关于 对称（即μ决定正态曲线对称轴的位
置），具有中间高、两边低的特点.
2. 正态曲线与 x 轴所围成的图形面积为 .
3. σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ ，说明标准差 ，
数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准
差 ，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.
x ＝μ
1
越大
越大
越小
知识点三 正态分布
一般地，如果随机变量 X 落在区间[ a ， b ]内的概率，总是等于φμ，
σ（ x ）对应的正态曲线与 x 轴在区间[ a ， b ]内围成的 ，则称
X 服从参数为μ与σ的正态分布，记作 X ～ ，此时
φμ，σ（ x ）称为 X 的 .更进一步的研究表明，此时
μ是 X 的均值，而σ是 X 的标准差，σ2是 X 的方差.
面积
N （μ，σ2）
概率密度函数
1. 四个特殊区间的概率
（1）如果 X ～ N （μ，σ2），那么 P （ X ≤μ）＝ P （ X ≥μ）
＝ ；
（2） P （｜ X －μ｜≤σ）＝ P （μ－σ≤ X ≤μ＋σ）
≈ ；
（3） P （｜ X －μ｜≤2σ）＝ P （μ－2σ≤ X ≤μ＋2σ）
≈ ；
（4） P （｜ X －μ｜≤3σ）＝ P （μ－3σ≤ X ≤μ＋3σ）
≈ .
50%
68.3%
95.4%
99.7%
2.3σ原则
由 P （μ－3σ≤ X ≤μ＋3σ）≈99.7%知， X 约有99.7%的可能会落
在距均值3个标准差的范围之内，也就是说只有约0.3%的可能会落
入这一范围之外，这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”.
知识点四 标准正态分布
μ＝ 且σ＝ 的正态分布称为标准正态分布，如果 Y ～ N
（μ，σ2），那么令 X ＝ ，则可以证明 X ～ ，
即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布.
0
1
N （0，1）
提醒 理解正态分布要注意以下3点：①参数μ是反映随机变量取
值的平均水平的特征数（数学期望）；σ是衡量随机变量总体波动
大小的特征数，可以用样本标准差去估计；②正态分布是自然界
中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布，如长度
测量误差、正常生产条件下各种产品的质量指标等；③由一些相
互独立的偶然因素所引起的，每一种偶然因素在总体的变化中都
只是起着均匀、微小的作用，这一类随机现象的随机变量的概率
分布一般近似服从正态分布.
【想一想】
1. 标准正态分布 X ～ N （0，1）中Φ（ a ）＝ P （ X ＜ a ）的含义是什
么？Φ（ a ）与Φ（－ a ）有什么关系？
提示：Φ（ a ）表示 N （0，1）对应的正态曲线与 x 轴在区间（－
∞， a ）内所围的面积，Φ（ a ）＋Φ（－ a ）＝1.
2. 如果 X ～ N （μ，σ2），那么 P （ x ≤μ）与 P （ x ≥μ）之间存在
怎样的等量关系？
提示： P （ x ≤μ）＝ P （ x ≥μ）＝ .
3. 正态分布 Y ～ N （μ，σ2）化为标准正态分布的变换是什么？
提示：借助 X ＝ 实现转换.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）正态曲线的解析式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方
差. （ × ）
（2）服从正态分布的随机变量是连续型随机变量. （ √ ）
（3）正态曲线是一条钟形曲线. （ √ ）
（4）离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续
型随机变量的概率分布用分布列描述. （ × ）
（5）随机变量落在（－3σ，3σ）之外是一个小概率事件.
（ × ）
×
√
√
×
×
2. 已知随机变量 X ～ N （1，σ2），若 P （0＜ x ＜3）＝0.5， P （0＜
X ＜1）＝0.2，则 P （ X ＜3）＝（ ）
A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8
解析： 由题意可得 P （1＜ x ＜3）＝0.5－0.2＝0.3.∵随机变
量 X ～ N （1，σ2），∴ P （ X ＜3）＝0.3＋0.5＝0.8.
3. 某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分
布，其概率密度函数φ（ x ）＝ ， x ∈（－∞，＋
∞），则下列命题不正确的是（ ）
A. 该市这次考试的数学平均成绩为80分
B. 分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C. 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D. 该市这次考试的数学成绩标准差为10
解析： 由题意得，这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为
10.作出其大致图象，从图象上看，曲线关于直线 x ＝80对称，故
分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同.故选B.
4. 若某地成年男性的体重 X （单位：kg）服从正态分布 N （72，
102），则 P （｜ X －72｜≤20）＝ .
解析： P （｜ X －72｜≤20）＝ P （｜ X －μ｜≤2σ）＝ P （μ－
2σ≤ X ≤μ＋2σ）≈0.954.
0.954
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 正态曲线及其特点
【例1】 甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布 N
（μ1， ）， N （μ2， ），其正态分布密度曲线如图所示，则下
列说法错误的是（ ）
A. 甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg
B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于
平均质量
C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
解析： 由图象可知甲曲线关于直线 x ＝0.4对称，乙曲线关于直线
x ＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A、C正确；因为甲曲线比
乙曲线更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于
平均质量，故B正确；因为乙曲线的峰值为1.99，即 ＝1.99，所
以σ2≠1.99，故D错误.
通性通法
用待定系数法求概率密度函数表达式，关键是确定参数μ和σ的
值，注意函数的形式.
当 x ＝μ时，概率密度函数取得最大值，即φ（μ）＝ 为最
大值，注意该式在解题中的应用.
【跟踪训练】
已知三条正态曲线φ i （ x ）＝ （ x ∈R， i ＝1，2，
3）如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A. μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3
B. μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
C. μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3
D. μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
解析： 由正态曲线关于直线 x ＝μ对称，知μ1＜μ2＝μ3；σ的大
小决定曲线的形状，σ越大，总体分布越分散，曲线越“矮胖”；σ越
小，总体分布越集中，曲线越“瘦高”，则σ1＝σ2＜σ3.实际上，由φ1
（μ1）＝φ2（μ2）＞φ3（μ3），得 ＝ ＞ ，即σ1＝σ2
＜σ3.
题型二 正态分布的概率计算
【例2】 设 X ～ N （1，4），试求：
（1） P （－1≤ X ≤3）；
（1） P （－1≤ X ≤3）＝ P （1－2≤ X ≤1＋2）＝ P （μ－σ≤
X ≤μ＋σ）≈0.683.
解：易知 X ～ N （1，22），∴μ＝1，σ＝2.
（2） P （－1≤ X ≤1）；
解： ∵该正态曲线关于直线 x ＝1对称，结合图象可知 P （－
1≤ X ≤1）＝ P （－1≤ X ≤3）≈ ×0.683＝0.341 5.
（3） P （3≤ X ≤5）；
解： ∵ P （3≤ X ≤5）＝ P （－3≤ X ≤－1），
∴ P （3≤ X ≤5）＝ [ P （－3≤ X ≤5）－ P （－1≤ X ≤3）]
＝ [ P （1－4≤ X ≤1＋4）－ P （1－2≤ X ≤1＋2）]＝ [ P
（μ－2σ≤ X ≤μ＋2σ）－ P （μ－σ≤ X ≤μ＋σ）]≈ ×
（0.954－0.683）＝0.135 5.
解： ∵ P （ X ≥5）＝ P （ X ≤－3），
∴ P （ X ≥5）＝ [1－ P （－3＜ X ＜5）]＝ [1－ P （－3＜ X
≤5）＋ P （ X ＝5）]＝ [1－ P （1－4＜ X ≤1＋4）]＝ [1－ P
（μ－2σ＜ X ≤μ＋2σ）]≈ ×（1－0.954）＝0.023.
（4） P （ X ≥5）.
通性通法
求解正态分布的概率问题的思路
利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型，也是高考
考查的重点.解题的关键是利用对称轴 x ＝μ确定所求概率对应的随机
变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借
助图形判断.常用结论如下：
（1）对于正态分布 N （μ，σ2），由直线 x ＝μ是正态曲线的对称轴
知：①对任意的实数 a ， P （ X ＜μ－ a ）＝ P （ X ＞μ＋ a ）；
② P （ X ＜ x0）＝1－ P （ X ≥ x0）；③ P （ a ＜ X ＜ b ）＝ P （ X
＜ b ）－ P （ X ≤ a ）.
（2）对于μ＝0的正态分布，求 X 落在某区间的概率时常利用如下两
个公式：① P （ X ＜－ x0）＝1－ P （ X ≤ x0）；② P （ a ＜ X ＜
b ）＝ P （ X ＜ b ）－ P （ X ≤ a ）.
（3）当条件中无已知概率时，则要将区间转化为三个特殊区间： P
（μ－σ≤ X ≤μ＋σ）≈0.683， P （μ－2σ≤ X ≤μ＋2σ）
≈0.954， P （μ－3σ≤ X ≤μ＋3σ）≈0.997.
【跟踪训练】
某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩 X 近似服从正态分布
N （84，σ2），且 P （78＜ X ≤84）＝0.3.该市某校有400人参加此次
统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ）
A. 60 B. 80
C. 100 D. 120
解析： 由题意，成绩 X 近似服从正态分布 N （84，σ2），则正态
分布曲线的对称轴为 X ＝84，又由 P （78＜ X ≤84）＝0.3，根据正态
分布曲线的对称性，可得 P （ X ≥90）＝ ×[1－2× P （78＜ X
≤84）]＝ ×（1－0.6）＝0.2，所以该市某校参加此次统测的400人
中，数学成绩不低于90分的人数估计为400×0.2＝80（人）.
题型三 3σ原则的应用
【例3】 某玻璃工厂生产一种玻璃保护膜，为了调查一批产品的质
量情况，随机抽取了10件样品检测质量指标（单位：分）如下：38，
43，48，49，50，53，57，60，69，70.经计算得 ＝ xi ＝
53.7， s ＝ ＝9.9.生产合同中规定：质量指标在62
分以上的产品为优质品，一批产品中优质品率不得低于15%.
（1）以这10件样品中优质品的频率估计这批产品的优质品率，从这
批产品中任意抽取3件，求有2件为优质品的概率；
解： 10件产品中优质品的频率为 ，记任取3件，优质品数
为 Y ，则 Y ～ B ，
P （ Y ＝2）＝ × × ＝ .
（2）根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布 N
（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差，利
用该正态分布，是否有足够的理由判断这批产品中优质品率满
足生产合同的要求？
附：若 X ～ N （μ，σ2）， P （μ－σ≤ X ≤μ＋σ）≈0.683， P
（μ－2σ≤ X ≤μ＋2σ）≈0.954.
解： 记这种产品的质量指标为 X ，由题意，
X ～ N （53.7，9.92），
则 P （43.8≤ X ＜63.6）＝ P （μ－σ≤ X ≤μ＋σ）≈0.683.
∵ P （ X ＞62）＞ P （ X ＞63.6）＝ ＝0.158 5＞0.15.
∴有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求.
通性通法
由“3σ原则”我们可以知道，随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之
外的概率是非常小的，这种事件我们称为小概率事件.通常情况下，
我们认为小概率事件是不可能发生的，一旦发生就认为系统有问题或
不正常.
若随机变量服从正态分布 N （μ，σ2），由此做假设检验时，按
如下步骤进行.
（1）确定一次试验中的取值 a 是否落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内；
（2）做出判断：若 a ∈[μ－3σ，μ＋3σ]，则接受统计假设；若 a
[μ－3σ，μ＋3σ]，则拒绝统计假设.
【跟踪训练】
某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一
条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间（单位：min）
服从正态分布 N （50，102）；第二条路线沿环城公路走，路程较长，
但交通阻塞少，所需时间服从正态分布 N （60，42）.若时间只有70
min可用，应走哪条路线？
解：对于第一条路线，设所需时间为 X ， X ～ N （50，102），其中μ
＝50，σ＝10，μ－2σ＝30，μ＋2σ＝70，
所以 P （ X ＜70）＝ P （ X ≤50）＋ P （50＜ X ＜70）＝ ＋ P （30＜
X ＜70）≈ ＋ ×0.954＝0.977.
对于第二条路线，
设所需时间为 Y ， Y ～ N （60，42），
其中μ＝60，σ＝4，μ－2σ＝52，μ＋2σ＝68，
所以 P （ Y ＜68）＝ P （ Y ≤60）＋ P （60＜ Y ＜68）＝ ＋ P （52＜
Y ＜68）≈ ＋ ×0.954＝0.977，
于是 P （ Y ＜70）＝ P （ Y ＜68）＋ P （68≤ Y ＜70）＝0.977＋ P
（68≤ Y ＜70）＞0.977，
即 P （ Y ＜70）＞ P （ X ＜70），故应走第二条路线.
标准正态分布和非标准正态分布、二项分布之间的关系
1. “公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理
念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，
正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试
名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备
通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪
职位和25个普薪职位.实际报名人数为2 000名，考试满分为400分
（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分
布）.考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180
分，360分及其以上的高分考生30名.
（1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数）
解： 设考生的成绩为 X ，则由题意可得 X 应服从正态分
布，即 X ～ N （180，σ2），令 Y ＝ ，则 Y ～ N （0，
1）.
由360分及以上高分考生30名可得 P （ X ≥360）＝ ，
即 P （ X ＜360）＝1－ ＝0.985，
即有 P ＝0.985，
则 ≈2.17，可得σ≈83，
可得 X ～ N （180，832），设最低录取分数线为 x0，
则 P （ X ≥ x0）＝ P ＝ ，
即有 P ＝1－ ＝0.85，
所以 ≈1.04，所以 x0≈266.32，
即最低录取分数线为266或267分.
（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若
不能被录取，请说明理由.
参考资料：①当 X ～ N （μ，σ2）时，令 Y ＝ ，则 Y ～ N
（0，1）.
②当 Y ～ N （0，1）时， P （ Y ≤2.17）≈0.985， P （ Y
≤1.28）≈0.900， P （ Y ≤1.09）≈0.863， P （ Y ≤1.04）
≈0.85.
解： 考生甲的成绩286＞267，所以能被录取， P （ X ＜
286）＝ P ＝ P （ Y ＜1.28）≈0.90，表明不低于
考生甲的成绩的人数大约为总人数的1－0.90＝0.10，2
000×0.10＝200，即考生甲大约排在第200名，排在前275名
之前，所以能被录取为高薪职位.
2. 二项分布与正态分布是概率统计中两大非常重要的分布.在现实生
活中，很多随机变量都服从或近似地服从这两大分布，例如检查产
品的不合格品数，射击比赛中射中目标的次数等近似服从二项分
布；长度的测量误差，零件的尺寸，电子管的使用寿命等服从或近
似服从正态分布.并且这两大分布的关系非常密切.经研究表明，如
果一个随机变量 X 服从二项分布 B （ n ， p ），当 np ＞5且 np （1－
p ）＞5时，二项分布就可以用正态分布近似替代即 P （ X ≤ x ）≈ P
（ Y ≤ x ），其中随机变量 Y ～ N （ np ， np （1－ p ））.
（1）如果某射手每次射击击中目标的概率为0.6，每次射击的结果
相互独立.
①计算他在连续三次射击中恰连续两次命中目标的概率；
②他在10次射击中，击中目标几次的概率最大？并说明理由；
解： ①依题意，设事件 A 表示击中目标， 表示没有击
中目标， B 表示连续三次射击中恰连续两次命中目标.所以 P
（ B ）＝ P （ AA ）＋ P （ AA ）＝0.6×0.6×0.4＋
0.4×0.6×0.6＝0.288.
②在10次射击中，击中6次的概率最大.10次射击中击中目标
k 次的概率为 Pk ＝ ×0.6 k ×（1－0.6）10－ k ，
由得 k ＝6.
（2）如果某射手每次射击击中目标的概率为0.8，每次射击的结果
相互独立，在100次的射击中，记击中目标的次数为η，计算
P （68≤η≤92）.
参考数据：ξ～ N （μ，σ2），
P （μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈0.683，
P （μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）≈0.954，
P （μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ）≈0.997.
解： 因为 E （ X ）＝100×0.8＝80＞5， D （ X ）＝
100×0.8×0.2＝16＞5，
所以η近似的服从η～ N （80，16），
所以 P （68≤η≤92）＝ P （80－3×4≤η≤80＋3×4）
≈0.997.
【问题探究】
1. 标准正态分布 N （0，1）在正态分布的研究中占有非常重要的地
位，已专门制作了“标准正态分布表”.在这个表中，相应于 x0的
值Ф（ x0）是指变量取值小于 x0的概率，即Φ（ x0）＝ P （ X ＜
x0），如图①中左边的阴影部分所示.
2. 由于标准正态曲线关于 y 轴对称，表中仅给出了对应于非负值 x0的
值Ф（ x0）.如果 x0＜0，那么由图②中两个阴影部分面积相等知Φ
（ x0）＝1－Ф（－ x0）.
3. 一般的正态分布 N （μ，σ2）均可以化成标准正态分布 N （0，1）
来进行研究.事实上可以证明，对任一正态分布 N （μ，σ2）来
说，取值小于 x0的概率 P （ X ＜ x0）＝Ф .
【迁移应用】
某高校为了解《全民阅读促进条例》发布以来全校学生的阅读情
况，随机调查了200名学生每周阅读时间 X （单位：h）并绘制如图所
示的频率分布直方图.
（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数 和样本方差 s2（同
一组中的数据用该组区间的中间值代表）；
解： ＝6×0.03＋7×0.1＋8×0.2＋9×0.35＋10×0.19＋11×0.09＋12×0.04＝9，
s2＝（6－9）2×0.03＋（7－9）2×0.1＋（8－9）2×0.2
＋（9－9）2×0.35＋（10－9）2×0.19＋（11－9）2×0.09＋（12－9）2×0.04＝1.78.
（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间 X 服从正态
分布 N （μ，σ2），其中μ近似为样本平均数 ，σ2近似为样本
方差 s2.
①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行
计算：若 X ～ N （μ，σ2），令 Y ＝ ，则 Y ～ N （0，1），
且 P （ X ≤ a ）＝ P .利用直方图得到的正态分布，求
P （ X ≤10）；
②从该高校的学生中随机抽取20名，记 Z 表示这20名学生中每周
阅读时间超过10小时的人数，求 P （ Z ≥2）（结果精确到0.000
1）以及 Z 的数学期望.
参考数据： ≈ ，0.773 419≈0.007 6，若 Y ～ N （0，1），
则 P （ Y ≤0.75）＝0.773 4.
解： ①由题知μ＝9，σ2＝1.78，
∴ X ～ N （9，1.78），σ＝ ＝ ≈ .
∴ P （ X ≤10）＝ P Y ≤ ＝ P （ Y ≤0.75）＝0.773 4.
②由①知 P （ X ＞10）＝1－ P （ X ≤10）＝0.226 6，
可得 Z ～ B （20，0.226 6）， P （ Z ≥2）＝1－ P （ Z ＝0）－ P
（ Z ＝1）＝1－0.773 420－ ×0.226 6×0.773 419＝1－
（0.773 4＋20×0.226 6）×0.007 6≈0.959 7.
∴ Z 的数学期望 E （ Z ）＝20×0.226 6＝4.532.
1. 若随机变量ξ服从正态分布 N （0，1），已知 P （ξ＜－1.96）＝
0.025，则 P （｜ξ｜＜1.96）＝（ ）
A. 0.025 B. 0.050
解析： 由随机变量ξ服从正态分布 N （0，1），得 P （ξ＜
1.96）＝1－ P （ξ≥1.96）＝1－ P （ξ≤－1.96），所以 P （｜ξ｜
＜1.96）＝ P （－1.96＜ξ＜1.96）＝ P （ξ＜1.96）－ P （ξ≤－
1.96）＝1－2 P （ξ≤－1.96）＝1－2 P （ξ＜－1.96）＝1－
2×0.025＝0.950.
C. 0.950 D. 0.975
2. 某物理量的测量结果服从正态分布 N （10，σ2），下列结论中不正
确的是（ ）
A. σ越小，该物理量在一次测量中在（9.9，10.1）的概率越大
B. σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C. σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D. σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.2）与落在（10，
10.3）的概率相等
解析： 对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集
中在对称轴附近，故A正确；对于B、C，由于正态分布图象的对称
轴为μ＝10，显然B、C正确.D显然错误.故选D.
3. 某校1 000名高三学生参加了一次数学考试，考生的分数 X 服从正
态分布 N （90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计
这次考试中分数不超过70分的有 人.
解析：∵ X ～ N （90，σ2）， P （70＜ X ≤110）＝0.7，
∴ P （ X ≤70）＝ ×（1－0.7）＝0.15，
故估计这次考试中分数不超过70分的人数为1 000×0.15＝150.
150
4. 某地区数学考试的成绩 X 服从正态分布 N （μ，σ2），其密度曲线
如图所示，正态分布密度函数为φ（ x ）＝ ， x ∈
（－∞，＋∞），则成绩 X 位于区间（86，94]的概率
是 .
0.021 5
解析：由正态曲线可知μ＝70，σ＝8，
∴ P （μ－2σ＜ X ≤μ＋2σ）＝ P （54＜ X ≤86）≈0.954，
P （μ－3σ≤ X ＜μ＋3σ）＝ P （46＜ X ≤94）≈0.997，
∴ P （86＜ X ≤94）＝ ×（0.997－0.954）＝0.021 5.
5. 设随机变量 X ～ N （2，9），若 P （ X ＞ c ＋1）＝ P （ X ＜ c －
1）.
（1）求 c 的值；
解： 由 X ～ N （2，9）可知，密度函
数关于直线 x ＝2对称（如图所示），
又 P （ X ＞ c ＋1）＝ P （ X ＜ c －1），故
有2－（ c －1）＝（ c ＋1）－2，所以 c ＝2.
（2）求 P （－4＜ x ＜8）.
解： P （－4＜ x ＜8）＝ P （2－2×3＜ x ＜2＋2×3）≈95.4%.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知随机变量 X 服从正态分布 N （1，σ2），若 P （ X ＞2）＝
0.15，则 P （0≤ X ≤1）＝（ ）
A. 0.85 B. 0.70
C. 0.35 D. 0.15
解析： P （0≤ X ≤1）＝ P （1≤ X ≤2）＝0.5－ P （ X ＞2）＝
0.35.
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2. 某厂生产的零件外径 X ～ N （10，0.04），今从该厂上午、下午生
产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm，9.3 cm，则可认
为（ ）
A. 上午生产情况正常，下午生产情况异常
B. 上午生产情况异常，下午生产情况正常
C. 上午、下午生产情况均正常
D. 上午、下午生产情况均异常
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解析： 因测量值 X 为随机变量，又零件外径 X ～ N （10，
0.04），所以μ＝10，σ＝0.2，
记 I ＝[μ－3σ，μ＋3σ]＝[9.4，10.6]，则9.9∈ I ，9.3 I .
故选A.
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3. 设随机变量 X ～ N （1，52），且 P （ X ≤0）＝ P （ X ＞ a －2），
则实数 a 的值为（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析： 因为随机变量 X ～ N （1，52），且 P （ X ≤0）＝ P （ X
＞ a －2），所以由正态分布密度曲线的对称性（对称轴是 x ＝1）
可知， a －2＝2×1，解得 a ＝4.
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4. 设 X ～ N （μ1， ）， Y ～ N （μ2， ），这两个正态分布密度
曲线如图所示.下列结论中正确的是（ ）
A. μ1＞μ2，σ1＞σ2
B. P （ X ＞μ1）＜ P （ X ＞μ2）
C. μ1＜μ2，σ1＞σ2
D. P （ Y ≤μ1）＜ P （ X ≤μ2）
解析： 由题图可得，μ1＜μ2，σ1＜σ2，排除A、C；再由正态
曲线的对称性，可知 P （ Y ≤μ1）＜ P （ X ≤μ1）＜ P （ X
≤μ2），故选D.
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5. （多选）若随机变量ξ～ N （0，1），Φ（ x ）＝ P （ξ≤ x ），其中
x ＞0，下列等式成立的有（ ）
A. Φ（－ x ）＝1－Φ（ x ）
B. Φ（2 x ）＝2Φ（ x ）
C. P （｜ξ｜＜ x ）＝2Φ（ x ）－1
D. P （｜ξ｜＞ x ）＝2－Φ（ x ）
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解析： 因为随机变量ξ服从标准正态分布 N （0，1），所以正
态曲线关于ξ＝0对称，因为Φ（ x ）＝ P （ξ≤ x ），根据曲线的对
称性可得：A. Φ（－ x ）＝ P （ξ≥ x ）＝1－Φ（ x ），所以该选项
正确；B. Φ（2 x ）＝ P （ξ≤2 x ），2Φ（ x ）＝2 P （ξ≤ x ），所以Φ（2 x ）≠2Φ（ x ），所以该选项错误；C. P （｜ξ｜＜ x ）＝ P （－ x ＜ξ＜ x ）＝1－2Φ（－ x ）＝1－2[1－Φ（ x ）]＝2Φ（ x ）－1，所以该选项正确；D. P （｜ξ｜＞ x ）＝ P （ξ＞ x 或ξ＜－ x ）＝1－Φ（ x ）＋Φ（－ x ）＝1－Φ（ x ）＋1－Φ（ x ）＝2－2Φ（ x ），所以该选项错误.
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6. 已知随机变量 X 服从正态分布 N （72，4），则 P （ X ＜70或 X ＞
76）等于 .
解析：因为随机变量 X 服从正态分布 N （72，4），所以μ＝72，σ
＝2，所以 P （70≤ X ≤74）≈0.683， P （68≤ X ≤76）≈0.954，所
以 P （ X ＜70）＝0.158 5， P （ X ＞76）＝0.023，所以 P （ X ＜70
或 X ＞76）＝0.158 5 ＋0.023＝0.181 5.
0.181 5
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7. 某品牌的一款纯电动车单次最大续航里程 X （km）服从正态分布 N
（2 000，102）.任选一辆该款电动车，则它的单次最大续航里程
恰在1 970 km到2 020 km之间的概率为 .
（参考公式：随机变量ξ服从正态分布 N （μ，σ2），则 P （μ－σ
＜ξ＜μ＋σ）≈0.683， P （μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）≈0.954， P （μ
－3σ＜ξ＜μ＋3σ）≈0.997.）
0.975 5
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解析：由 X ～ N （2 000，102）知，则μ＝2 000，σ＝10，
所以 P （1 970＜ X ＜2 020）＝ P （μ－3σ＜ X ＜μ＋2σ）＝ P （μ
－3σ＜ξ＜μ＋3σ）－ [ P （μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ）－ P （μ－2σ＜
ξ＜μ＋2σ）]≈0.997－ ×[0.997－0.954]＝0.975 5.
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8. 研究珠海市农科奇观的某种作物，其单株生长果实个数 x 服从正态
分布 N （90，σ2），且 P （ x ＜70）＝0.1，从中随机抽取10株，果
实个数在[90，110]的株数记作随机变量 X ，假设 X 服从二项分
布，则 P （90≤ X ≤110）＝ ， X 的方差为 .
解析：因为 x ～ N （90，σ2），所以 P （90≤ x ≤110）＝ － P （ x
＞110），而 P （ x ＞110）＝ P （ x ＜70）＝0.1.
所以 P （90≤ x ≤110）＝0.4，所以 X ～ B （10，0.4），
所以 D （ X ）＝10×0.4×0.6＝2.4.
0.4
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9. 有一名投资者计划在两个投资方案中选择一个，这两个方案的
利润ξ（万元）分别服从正态分布 N （8，32）和 N （6，22），
投资者需要“利润超过5万元”的概率尽量大，那么他应该选择
哪一个方案？
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解：对于第一个方案，ξ1～ N （8，32），μ＝8，σ＝3，
所以μ－σ＝5，μ＋σ＝11，
因此 P （ξ1＞5）＝ P （5＜ξ1≤8）＋ P （ξ1＞8）＝ P （5＜ξ1＜
11）＋ ＝ P （μ－σ＜ξ1＜μ＋σ）＋ .
对于第二个方案，ξ2～ N （6，22），μ＝6，σ＝2，
所以μ－σ＝4，μ＋σ＝8，
因此 P （ξ2＞4）＝ P （4＜ξ2≤6）＋ P （ξ2＞6）＝ P （4＜ξ2＜
8）＋ ＝ P （μ－σ＜ξ2＜μ＋σ）＋ ，
而 P （ξ2＞5）＜ P （ξ2＞4）.所以 P （ξ2＞5）＜ P （ξ1＞5）.
故应选择第一个方案.
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10. 为准备2022年北京—张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一
批9～14岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10 000名青少
年报名参加测试，其测试成绩 X （满分100分）服从正态分布 N
（60，σ2），成绩为90分及以上者可以进入集训队，已知80分及
以上的人数为228人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数
为（ ）
附： P （μ－σ＜ X ＜μ＋σ）＝0.682 6， P （μ－2σ＜ X ＜μ＋
2σ）＝0.954 4， P （μ－3σ＜ X ＜μ＋3σ）＝0.997 4
A. 13 B. 18
C. 26 D. 30
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解析： 正态分布 X ～ N （60，σ2），可知μ＝60，80分及以上
的人数为228人，则 P （ X ≥80）＝ ＝0.022 8，由正态分布
曲线的对称性可得： P （40＜ X ＜80）＝1－2 P （ X ≥80）＝
0.954 4＝ P （μ－2σ＜ X ＜μ＋2σ），故σ＝10，∴ P （30＜ X ＜
90）＝0.997 4，∴ P （ X ≥90）＝ ＝0.001 3，则90分及
以上的人数为10 000×0.001 3＝13人.故选A.
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11. （多选）某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成
绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是
（ ）
A. 甲科总体的标准差最小
B. 丙科总体的平均数最小
C. 乙科总体的标准差及平均数都居中
D. 甲、乙、丙的总体的平均数相同
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解析： 由题中图象可知三科总体的平均数（均值）相等，由
正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正
态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.
故选A、D.
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12. 已知从某批材料中任取一件，取得的这件材料的强度 X 服从 N
（200，182）.
（1）计算取得的这件材料的强度不低于182的概率；
解： X ～ N （μ，σ2），其中μ＝200，σ＝18，
而182＝200－18＝μ－σ，218＝200＋18＝μ＋σ，
∴ P （182≤ X ≤218）≈0.683.
又∵1＝ P （ X ＜182）＋ P （182≤ X ≤218）＋ P （ X
＞218），
由正态曲线的对称性可知 P （ X ＜182）＝ P （ X ＞218），
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∴ P （ X ＜182）≈ ×（1－0.683）＝0.158 5.
∴ P （ X ≥182）＝1－ P （ X ＜182）＝1－0.158 5＝
0.841 5.
故所求的概率为0.841 5.
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（2）如果所用的材料需以95%的概率保证强度不低于164，问这
批材料是否符合这个要求？
解： 由（1）知164＝μ－2σ，236＝μ＋2σ，
∴ P （164≤ X ≤236）≈0.954.
又由正态曲线的对称性可知 P （ X ＜164）＝ P （ X ＞
236），且 P （ X ＜164）＋ P （164≤ X ≤236）＋ P （ X ＞
236）＝1，∴ P （ X ＜164）≈ ×（1－0.954）＝0.023，
∴ P （ X ≥164）＝1－ P （ X ＜164）＝0.977＞0.95.
故这批材料符合这个要求.
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13. 某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正
常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的
使用寿命（单位：h）均服从正态分布 N （1 000，1002），且各个
元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 100小
时的概率为 .
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（附：若随机变量 Z 服从正态分布 N （μ，σ2），则 P （μ－σ＜
Z ＜μ＋σ）≈ ）
解析：由于三个电子元件的使用寿命都符合正态分布 N （1 000，
1002），且 P （μ－σ＜ Z ＜μ＋σ）≈ .则每个电子元件使用寿命
超过1 100小时的概率 P （ X ＞1 100）＝ ，故该部件的使用寿命
超过1 100小时的概率为 × ＝ .
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14. 若某种零件的尺寸ξ（单位：mm）服从正态分布，其正态密度函
数 f （ x ）＝ 在（0，80）上单调递增，在（80，
＋∞）上单调递减，且 f （80）＝ .试估计尺寸在72 mm～88
mm的零件占总数的百分之几.
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解：由于函数 f （ x ）在（0，80）上单调递增，在（80，＋∞）
上单调递减，所以正态曲线 f （ x ）关于直线 x ＝80对称，且在 x
＝80处取得最大值，因此μ＝80， ＝ ，所以σ＝8.
由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，
因此尺寸在72 mm～88 mm的零件大约占总数的68.3%.
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