一、数学运算
能够在关联的情境中确定运算对象，提出运算问题.
能够针对运算问题，合理选择运算方法、设计运算程序，解决问题.
能够理解运算是一种演绎推理；能够在综合运用运算方法解决问题的过程中，体会程序思想的意义和作用.
在交流的过程中，能够借助运算探讨问题.
培优一 离散型随机变量的数学期望
【例1】 已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E（η）＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为 （ ）
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
尝试解答
培优二 离散型随机变量的方差
【例2】 甲、乙两人对目标各射击一次，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，若命中目标的人数为X，则D（X）＝ .
尝试解答
二、直观想象
能够在关联的情境中，想象并构建相应的几何图形；能够借助图形提出数学问题，发现图形与图形、图形与数量的关系，探索图形的运动规律.
能够掌握研究图形与图形、图形与数量之间关系的基本方法，能够借助图形性质探索数学规律，解决实际问题或数学问题.
能够通过直观想象提出数学问题；能够用图形探索解决问题的思路；能够形成数形结合的思想，体会几何直观的作用和意义.
培优三 利用正态分布的对称性求概率
【例3】 在学生身体素质检查中，为了解山东省高中男生的身体发育状况，抽查了1 000名男生的体重情况，抽查的结果表明他们的体重X（单位：kg）服从正态分布N（μ，22），正态分布密度曲线如图所示，若体重落在区间（58.5，62.5）属于正常情况，则在这1 000名男生中不属于正常情况的人数是（ ）
A.954 B.819 C.683 D.317
尝试解答
培优四 求复杂事件的概率
【例4】 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将4次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是.
（1）求小球落入A袋中的概率；
（2）在容器入口处依次放入4个小球，记X为落入A袋中的小球个数，试求X＝3的概率.
尝试解答
三、数学抽象
能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般的情形，能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题.
能够用恰当的例子解释抽象的数学概念和规则；理解数学命题的条件与结论；能够理解和构建相关数学知识之间的联系.
能够理解用数学语言表达的概念、规则、推理和论证；能够提炼出解决一类问题的数学方法，理解其中的数学思想.
培优五 全概率公式的应用
【例5】 设一个袋中有5个钢球，5个玻璃球，它们的大小形状相同.现从其中任取4个球放入一个空袋中，再从此空袋中任取一球，求取得钢球的概率.
尝试解答
培优六 求离散型随机变量的分布列
【例6】 某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列.
尝试解答
四、逻辑推理
能够在关联的情境中，发现并提出数学问题，用数学语言予以表达；能够理解归纳、类比是发现和提出数学命题的重要途径.
能够对与学过的知识有关联的数学命题，通过对其条件与结论的分析，探索论证的思路，选择合适的论证方法予以证明，并能用准确的数学语言表述论证过程；能够通过举反例说明某些数学结论不成立.
能够理解相关概念、命题、定理之间的逻辑关系，初步建立网状的知识结构.
能够在交流的过程中，始终围绕主题，观点明确，论述有理有据.
培优七 事件的独立性
【例7】 在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲、乙两队进行排球比赛.
（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了X（X≤4）个球后甲赢得整场比赛，求X的取值及相应的概率.
尝试解答
培优八 决策问题
【例8】 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
尝试解答
五、数据分析
能够在关联的情境中，识别随机现象，知道随机现象与随机变量之间的关联，发现并提出概率或统计问题.
能够针对具体问题，选择离散型随机变量或连续型随机变量刻画随机现象，理解抽样方法的统计意义，能够运用适当的概率或统计模型解决问题.
能够在运用统计方法解决问题的过程中，感悟归纳推理的思想，理解统计结论的意义；能够用概率或统计的思维来分析随机现象，用概率或统计模型表达随机现象的统计规律.
在交流的过程中，能够用数据呈现的规律解释随机现象.
培优九 离散型随机变量的分布列与统计结合
【例9】 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级的对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：
空气质 量指数 （0，50] （50，100] （100，150]
空气质 量等级 1级优 2级良 3级轻度污染
空气质 量指数 （150，200] （200，250] （250，300]
空气质 量等级 4级中 度污染 5级重 度污染 6级严 重污染
该社团将该校区在2023年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率.
（1）请估算2024年（以365天计算）全年该区域空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；
（2）该校2024年6月7、8日将作为高考考场，若这两天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用8 000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用12 000元，记这两天净化空气总费用为X元，求X的分布列.
尝试解答
培优十 离散型随机变量的数学期望与方差
【例10】 （2023·全国乙卷17题）某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi（i＝1，2，…，10），试验结果如下：
试验序号i 1 2 3 4 5
伸缩率xi 545 533 551 522 575
伸缩率yi 536 527 543 530 560
试验序号i 6 7 8 9 10
伸缩率xi 544 541 568 596 548
伸缩率yi 533 522 550 576 536
记zi＝xi－yi（i＝1，2，…，10），z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2.
（1）求，s2；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.
尝试解答
培优十一 非线性回归分析
【例11】 为研究某种图书每册的成本费y（元）与印刷数x（千册）的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.
（xi－）2 （xi－）（yi－）
15.25 3.63 0.269 2 085.5 －230.3
（ui－）2 （ui－）（yi－）
0.787 7.049
表中ui＝，＝ui.
（1）根据散点图判断：y＝a＋bx与y＝c＋哪一个更适宜作为每册成本费y（元）与印刷数x（千册）的回归方程类型（只要求给出判断，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（回归系数的结果精确到0.01）；
（3）若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少千册才能使销售利润不低于78 840元？（假设能够全部售出，结果精确到1）
（ 附：对于一组数据（ω1，v1），（ω2，v2），…，（ωn，vn），其回归直线＝＋ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－）
尝试解答
培优十二 独立性检验
【例12】 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示.
（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；
（2）填写下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附：
P（χ2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
χ2＝.
尝试解答
章末复习与总结
【例1】 A 因为η＝12ξ＋7且E（η）＝34，所以E（ξ）＝，即E（ξ）＝1×＋2m＋3n＋4×＝，
又因为＋m＋n＋＝1，解得m＝.
【例2】 解析：由题意知，命中目标的人数X的取值范围是{0，1，2}，
则P（X＝0）＝×＝，
P（X＝1）＝×＋×＝，
P（X＝2）＝×＝，
∴E（X）＝0×＋1×＋2×＝，
D（X）＝×＋×＋×＝.
【例3】 D 由题意知，μ＝60.5，σ＝2，
∴P（58.5≤X≤62.5）≈0.683.
故在这1 000名男生中不属于正常情况的人数是1 000×（1－0.683）＝317.
【例4】 解：（1）记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，而小球落入B袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下时发生，故P（B）＝＋＝，从而P（A）＝1－P（B）＝1－＝.
（2）显然，X服从参数为4，的二项分布，即X～B，故P（X＝3）＝××＝.
【例5】 解：从袋中取4个球共有5种情况，分别为4个钢球，3个钢球1个玻璃球，2个钢球2个玻璃球，1个钢球3个玻璃球，4个玻璃球.设A1，A2，A3，A4，A5分别表示以上五种情况所对应的事件，设B表示从空袋中取出1个钢球.
则Ω＝A1＋A2＋A3＋A4＋A5，则事件B＝A1B＋A2B＋A3B＋A4B＋A5B，
根据全概率公式知
P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋P（A3）P（B｜A3）＋P（A4）P（B｜A4）＋P（A5）P（B｜A5），
因为P（A1）＝，P（B｜A1）＝；
P（A2）＝，P（B｜A2）＝；
P（A3）＝，P（B｜A3）＝；
P（A4）＝，P（B｜A4）＝；
P（A5）＝，P（B｜A5）＝0.
所以P（B）＝×＋×＋×＋×＋×0＝.
【例6】 解：（1）由题意知，参加集训的男、女生各有6名.代表队学生全从B中学抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为＝.
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.
（2）根据题意，X的取值范围是{1，2，3}.
P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
【例7】 解：（1）甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为＋×＝.
（2）根据比赛规则，X的取值只能为2或4，对应比分为16∶14，17∶15.两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为P（X＝2）＝×＝；
两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为P（X＝4）＝×××＋×××＝.
【例8】 解：法一 （1）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响.
记“这两人的累计得分X≤3”为事件A，
则事件A的对立事件为“X＝5”.
因为P（X＝5）＝×＝，
所以P（A）＝1－P（X＝5）＝，
即这两人的累计得分X≤3的概率为.
（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）.
由已知可得，X1～B，X2～B，
所以E（X1）＝2×＝，E（X2）＝2×＝，
从而E（2X1）＝2E（X1）＝，E（3X2）＝3E（X2）＝.
因为E（2X1）＞E（3X2），所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.
法二 （1）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响.
记“这两人的累计得分X≤3”为事件A，
则事件A包含“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件，
因为P（X＝0）＝×＝，P（X＝2）＝×＝，P（X＝3）＝×＝，
所以P（A）＝P（X＝0）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝，
即这两人的累计得分X≤3的概率为.
（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下.
所以E（X1）＝0×＋2×＋4×＝，E（X2）＝0×＋3×＋6×＝.
因为E（X1）＞E（X2），所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大.
【例9】 解：（1）由直方图可估算2024年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为（0.1＋0.2）×365＝0.3×365＝109.5≈110（天）.
（2）由题可知，X的取值范围是{0，8 000，12 000，16 000，20 000，24 000}，出现5级重度污染的概率为0.002×50＝，出现6级严重污染的概率为0.002×50＝，则
P（X＝0）＝××＝，
P（X＝8 000）＝××＝，
P（X＝12 000）＝××＝，
P（X＝16 000）＝××＝，
P（X＝20 000）＝×＝，
P（X＝24 000）＝×＝，
所以X的分布列为
X 0 8 000 12 000 16 000 20 000 24 000
P
【例10】 解：（1）由题意，求出zi的值如表所示，
试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12
则＝×（9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12）＝11，
s2＝×[（9－11）2＋（6－11）2＋（8－11）2＋（－8－11）2＋（15－11）2＋（11－11）2＋（19－11）2＋（18－11）2＋（20－11）2＋（12－11）2]＝61.
（2）因为2＝2＝，＝11＝＞，
所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
【例11】 解：（1）由散点图判断，y＝c＋更适宜作为每册成本费y（元）与印刷数x（千册）的回归方程.
（2）令u＝，先建立y关于u的线性回归方程，
由于＝＝≈8.96，
所以＝－＝3.63－8.96×0.269≈1.22，
所以y关于u的线性回归方程为＝1.22＋8.96u，
从而y关于x的线性回归方程为＝1.22＋.
（3）假设印刷x千册，依题意，
10x－·x≥78.840，
即8.78x≥87.8，所以x≥10，
所以至少印刷10千册.
【例12】 解：（1）旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为（0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040）×5＝0.62.因此，事件A的概率估计值为0.62.
（2）根据箱产量的频率分布直方图得2×2列联表：
箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg
旧养殖法 62 38
新养殖法 34 66
根据表中数据，得χ2＝≈15.705.
由于15.705＞6.635，
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
（3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值（或中位数）在50 kg到55 kg之间，旧养殖法的箱产量平均值（或中位数）在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.
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章末复习与总结
一、数学运算
能够在关联的情境中确定运算对象，提出运算问题.
能够针对运算问题，合理选择运算方法、设计运算程序，解
决问题.
能够理解运算是一种演绎推理；能够在综合运用运算方法解决问
题的过程中，体会程序思想的意义和作用.
在交流的过程中，能够借助运算探讨问题.
培优一 离散型随机变量的数学期望
【例1】 已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且 E （η）＝34，若ξ
的分布列如下表，则 m 的值为（ ）
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B.
C. D.
解析： 因为η＝12ξ＋7且 E （η）＝34，所以 E （ξ）＝ ，即 E
（ξ）＝1× ＋2 m ＋3 n ＋4× ＝ ，
又因为 ＋ m ＋ n ＋ ＝1，解得 m ＝ .
培优二 离散型随机变量的方差
【例2】 甲、乙两人对目标各射击一次，甲命中目标的概率为 ，乙
命中目标的概率为 ，若命中目标的人数为 X ，则 D （ X ）＝
.
解析：由题意知，命中目标的人数 X 的取值范围是{0，1，2}，
则 P （ X ＝0）＝ × ＝ ，
P （ X ＝1）＝ × ＋ × ＝ ，
P （ X ＝2）＝ × ＝ ，
∴ E （ X ）＝0× ＋1× ＋2× ＝ ，
D （ X ）＝ × ＋ × ＋ × ＝ .
二、直观想象
能够在关联的情境中，想象并构建相应的几何图形；能够借助图
形提出数学问题，发现图形与图形、图形与数量的关系，探索图形的
运动规律.
能够掌握研究图形与图形、图形与数量之间关系的基本方法，能
够借助图形性质探索数学规律，解决实际问题或数学问题.
能够通过直观想象提出数学问题；能够用图形探索解决问题的思
路；能够形成数形结合的思想，体会几何直观的作用和意义.
培优三 利用正态分布的对称性求概率
【例3】 在学生身体素质检查中，为了解山东省高中男生的身体发
育状况，抽查了1 000名男生的体重情况，抽查的结果表明他们的体重
X （单位：kg）服从正态分布 N （μ，22），正态分布密度曲线如图
所示，若体重落在区间（58.5，62.5）属于正常情况，则在这1 000名
男生中不属于正常情况的人数是（ ）
A. 954 B. 819
C. 683 D. 317
解析： 由题意知，μ＝60.5，σ＝2，
∴ P （58.5≤ X ≤62.5）≈0.683.
故在这1 000名男生中不属于正常情况的人数是1 000×（1－0.683）
＝317.
培优四 求复杂事件的概率
【例4】 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口
处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将4次遇到黑色障碍物，
最后落入 A 袋或 B 袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两
边下落的概率都是 .
（1）求小球落入 A 袋中的概率；
解： 记“小球落入 A 袋中”为事件 A ，“小球落
入 B 袋中”为事件 B ，则事件 A 的对立事件为 B ，而小
球落入 B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落
下时发生，故 P （ B ）＝ ＋ ＝ ，从而 P
（ A ）＝1－ P （ B ）＝1－ ＝ .
（2）在容器入口处依次放入4个小球，记 X 为落入 A 袋中的小球个
数，试求 X ＝3的概率.
解： 显然， X 服从参数为4， 的二项分布，即 X ～ B ，故 P （ X ＝3）＝ × × ＝ .
三、数学抽象
能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知
数学命题推广到更一般的情形，能够在新的情境中选择和运用数学方
法解决问题.
能够用恰当的例子解释抽象的数学概念和规则；理解数学命题的
条件与结论；能够理解和构建相关数学知识之间的联系.
能够理解用数学语言表达的概念、规则、推理和论证；能够提炼
出解决一类问题的数学方法，理解其中的数学思想.
培优五 全概率公式的应用
【例5】 设一个袋中有5个钢球，5个玻璃球，它们的大小形状相同.
现从其中任取4个球放入一个空袋中，再从此空袋中任取一球，求取
得钢球的概率.
解：从袋中取4个球共有5种情况，分别为4个钢球，3个钢球1个玻璃
球，2个钢球2个玻璃球，1个钢球3个玻璃球，4个玻璃球.设 A1， A2，
A3， A4， A5分别表示以上五种情况所对应的事件，设 B 表示从空袋中
取出1个钢球.
则Ω＝ A1＋ A2＋ A3＋ A4＋ A5，则事件 B ＝ A1 B ＋ A2 B ＋ A3 B ＋ A4 B ＋
A5 B ，
根据全概率公式知
P （ B ）＝ P （ A1） P （ B ｜ A1）＋ P （ A2） P （ B ｜ A2）＋ P （ A3）
P （ B ｜ A3）＋ P （ A4） P （ B ｜ A4）＋ P （ A5）· P （ B ｜ A5），
因为 P （ A1）＝ ， P （ B ｜ A1）＝ ；
P （ A2）＝ ， P （ B ｜ A2）＝ ；
P （ A3）＝ ， P （ B ｜ A3）＝ ；
P （ A4）＝ ， P （ B ｜ A4）＝ ；
P （ A5）＝ ， P （ B ｜ A5）＝0.
所以 P （ B ）＝ × ＋ × ＋ × ＋ × ＋ ×0
＝ .
培优六 求离散型随机变量的分布列
【例6】 某市 A ， B 两所中学的学生组队参加辩论赛， A 中学推荐了
3名男生、2名女生， B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的
学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中
随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
（1）求 A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；
解： 由题意知，参加集训的男、女生各有6名.代表队学生
全从 B 中学抽取（等价于 A 中学没有学生入选代表队）的概率为
＝ .
因此， A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－ ＝ .
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设 X 表
示参赛的男生人数，求 X 的分布列.
解： 根据题意， X 的取值范围是{1，2，3}.
P （ X ＝1）＝ ＝ ， P （ X ＝2）＝ ＝ ，
P （ X ＝3）＝ ＝ ，所以 X 的分布列为
X 1 2 3
P
四、逻辑推理
能够在关联的情境中，发现并提出数学问题，用数学语言予以表
达；能够理解归纳、类比是发现和提出数学命题的重要途径.
能够对与学过的知识有关联的数学命题，通过对其条件与结
论的分析，探索论证的思路，选择合适的论证方法予以证明，并
能用准确的数学语言表述论证过程；能够通过举反例说明某些数
学结论不成立.
能够理解相关概念、命题、定理之间的逻辑关系，初步建立网状
的知识结构.
能够在交流的过程中，始终围绕主题，观点明确，论述有理
有据.
培优七 事件的独立性
【例7】 在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异
战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5
局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时
超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队
只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得
此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对
方得1分.现有甲、乙两队进行排球比赛.
（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局
比赛的概率均为 ，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
解： 甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输
第五局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为 ＋ × ＝ .
（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五
局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发
球权.若甲发球时甲赢1分的概率为 ，乙发球时甲赢1分的概率
为 ，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了 X （ X ≤4）个
球后甲赢得整场比赛，求 X 的取值及相应的概率.
解： 根据比赛规则， X 的取值只能为2或4，对应比分为16∶14，17∶15.两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为 P （ X ＝2）＝ × ＝ ；两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为 P （ X ＝4）＝ × × × ＋ × × × ＝ .
培优八 决策问题
【例8】 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖
方案，方案甲的中奖率为 ，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为
，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机
会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计
得分为 X ，求 X ≤3的概率；
解：法一 由已知得，小明中奖的概率为 ，小红中奖的
概率为 ，且两人中奖与否互不影响.
记“这两人的累计得分 X ≤3”为事件 A ，
则事件 A 的对立事件为“ X ＝5”.
因为 P （ X ＝5）＝ × ＝ ，
所以 P （ A ）＝1－ P （ X ＝5）＝ ，
即这两人的累计得分 X ≤3的概率为 .
法二 由已知得，小明中奖的概率为 ，小红中奖的概率为 ，
且两人中奖与否互不影响.
记“这两人的累计得分 X ≤3”为事件 A ，
则事件 A 包含“ X ＝0”“ X ＝2”“ X ＝3”三个两两互斥的事件，
因为 P （ X ＝0）＝ × ＝ ， P （ X ＝2）＝ ×
＝ ， P （ X ＝3）＝ × ＝ ，
所以 P （ A ）＝ P （ X ＝0）＋ P （ X ＝2）＋ P （ X ＝3）＝ ，
即这两人的累计得分 X ≤3的概率为 .
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，
问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
解：法一 设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为
X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2，则这两人选择方案甲抽
奖累计得分的数学期望为 E （2 X1），选择方案乙抽奖累计得分
的数学期望为 E （3 X2）.
由已知可得， X1～ B ， X2～ B ，
所以 E （ X1）＝2× ＝ ， E （ X2）＝2× ＝ ，
从而 E （2 X1）＝2 E （ X1）＝ ， E （3 X2）＝3 E （ X2）＝ .
因为 E （2 X1）＞ E （3 X2），所以他们都选择方案甲进行抽奖
时，累计得分的数学期望较大.
法二 设小明、小红都选
择方案甲所获得的累计得
分为 X1，都选择方案乙所
获得的累计得分为 X2，则
X1， X2的分布列如下.
所以 E （ X1）＝0× ＋2× ＋4× ＝ ， E （ X2）＝0× ＋3× ＋
6× ＝ .
因为 E （ X1）＞ E （ X2），所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计
得分的数学期望较大.
五、数据分析
能够在关联的情境中，识别随机现象，知道随机现象与随机变量
之间的关联，发现并提出概率或统计问题.
能够针对具体问题，选择离散型随机变量或连续型随机变量刻画
随机现象，理解抽样方法的统计意义，能够运用适当的概率或统计模
型解决问题.
能够在运用统计方法解决问题的过程中，感悟归纳推理的思想，
理解统计结论的意义；能够用概率或统计的思维来分析随机现象，用
概率或统计模型表达随机现象的统计规律.
在交流的过程中，能够用数据呈现的规律解释随机现象.
培优九 离散型随机变量的分布列与统计结合
【例9】 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域
空气质量指数与空气质量等级的对应关系如下表（假设该区域空气质
量指数不会超过300）：
空气质 量指数 （0，50] （50，100] （100，150]
空气质 量等级 1级优 2级良 3级轻度污染
空气质 量指数 （150，200] （200，250] （250，300]
空气质 量等级 4级中 度污染 5级重 度污染 6级严
重污染
该社团将该校区在2023年100天的空气质量指数监测数据作为样本，
绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率.
（1）请估算2024年（以365天计算）全年该区域空气质量优良的天数
（未满一天按一天计算）；
解： 由直方图可估算2024年（以365天计算）全年空气质
量优良的天数为（0.1＋0.2）×365＝0.3×365＝109.5≈110
（天）.
（2）该校2024年6月7、8日将作为高考考场，若这两天中某天出现5
级重度污染，需要净化空气费用8 000元，出现6级严重污染，需
要净化空气费用12 000元，记这两天净化空气总费用为 X 元，求
X 的分布列.
解： 由题可知， X 的取值范围是{0，8 000，12 000，16
000，20 000，24 000}，出现5级重度污染的概率为0.002×50＝
，出现6级严重污染的概率为0.002×50＝ ，则
P （ X ＝0）＝ × × ＝ ，
P （ X ＝8 000）＝ × × ＝ ，
P （ X ＝12 000）＝ × × ＝ ，
P （ X ＝16 000）＝ × × ＝ ，
P （ X ＝20 000）＝ × ＝ ，
P （ X ＝24 000）＝ × ＝ ，
所以 X 的分布列为
X 0 8 000 12 000 16 000 20 000 24 000
P
培优十 离散型随机变量的数学期望与方差
【例10】 （2023·全国乙卷17题）某厂为比较甲、乙两种工艺对橡
胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材
质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用
乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理
后的橡胶产品的伸缩率分别记为 xi ， yi （ i ＝1，2，…，10），试验结
果如下：
试验序号 i 1 2 3 4 5
伸缩率 xi 545 533 551 522 575
伸缩率 yi 536 527 543 530 560
试验序号 i 6 7 8 9 10
伸缩率 xi 544 541 568 596 548
伸缩率 yi 533 522 550 576 536
记 zi ＝ xi － yi （ i ＝1，2，…，10）， z1， z2，…， z10的样本平均数为
，样本方差为 s2.
（1）求 ， s2；
解： 由题意，求出 zi 的值如表所示，
试验 序号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12
则 ＝ ×（9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12）＝11，
s2＝ ×[（9－11）2＋（6－11）2＋（8－11）2＋（－8－11）2
＋（15－11）2＋（11－11）2＋（19－11）2＋（18－11）2＋
（20－11）2＋（12－11）2]＝61.
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶
产品的伸缩率是否有显著提高（如果 ≥2 ，则认为甲工艺
处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩
率有显著提高，否则不认为有显著提高）.
解： 因为2 ＝2 ＝ ， ＝11＝ ＞ ，
所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后
的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
培优十一 非线性回归分析
【例11】 为研究某种图书每册的成本费 y （元）与印刷数 x （千
册）的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图
及一些统计量的值.
（ xi －
）2 （ xi －
）（ yi －
）
15.25 3.63 0.269 2 085.5 －230.3
（ ui － ）2 （ ui － ）（ yi － ）
0.787 7.049
表中 ui ＝ ， ＝ ui .
（1）根据散点图判断： y ＝ a ＋ bx 与 y ＝ c ＋ 哪一个更适宜作为每册
成本费 y （元）与印刷数 x （千册）的回归方程类型（只要求给
出判断，不必说明理由）；
解： 由散点图判断， y ＝ c ＋ 更适宜作为每册成本费 y
（元）与印刷数 x （千册）的回归方程.
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程
（回归系数的结果精确到0.01）；
解： 令 u ＝ ，先建立 y 关于 u 的线性回归方程，
由于 ＝ ＝ ≈8.96，
所以 ＝ － ＝3.63－8.96×0.269≈1.22，
所以 y 关于 u 的线性回归方程为 ＝1.22＋8.96 u ，
从而 y 关于 x 的线性回归方程为 ＝1.22＋ .
（3）若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少千册才能使销售利
润不低于78 840元？（假设能够全部售出，结果精确到1）
（ 附：对于一组数据（ω1， v1），（ω2， v2），…，（ω n ，
vn ），其回归直线 ＝ ＋ ω的斜率和截距的最小二乘估计分
别为 ＝ ， ＝ － ）
解： 假设印刷 x 千册，依题意，
10 x － · x ≥78.840，
即8.78 x ≥87.8，所以 x ≥10，
所以至少印刷10千册.
培优十二 独立性检验
【例12】 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对
比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单
位：kg），其频率分布直方图如图所示.
（1）记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计 A 的概
率；
解： 旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为（0.012＋0.014
＋0.024＋0.034＋0.040）×5＝0.62.因此，事件 A 的概率估计
值为0.62.
（2）填写下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为箱产量与
养殖方法有关；
箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
解： 根据箱产量的频率分布直方图得2×2列联表：
箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg
旧养殖法 62 38
新养殖法 34 66
根据表中数据，得χ2＝ ≈15.705.
由于15.705＞6.635，
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行
比较.
附：
P （χ2≥ k ） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
χ2＝ .
解： 箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平
均值（或中位数）在50 kg到55 kg之间，旧养殖法的箱产量平均
值（或中位数）在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分布
集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认
为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.
谢 谢 观 看！
