章末检测（四） 概率与统计
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若回归直线的斜率∈（0，＋∞），则相关系数r的取值范围为（ ）
A.（0，1] B.[－1，0） C.0 D.无法确定
2.设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X 0 1
P 9a2－a 3－8a
则常数a的值为（ ）
A. B. C.或 D.－或－
3.已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次，在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.若随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且2P（X≥3）＝P（1≤x≤2），P（X＜3）＝（ ）
A. B. C. D.
5.根据下表中的数据，用最小二乘法计算出变量x，y的线性回归方程为（ ）
x 1 2 3 4 5
y 0.5 1 1 1.5 2
A.＝0.35x＋0.15 B.＝－0.35x＋0.25
C.＝－0.35x＋0.15 D.＝0.35x＋0.25
6.设随机变量X的概率分布为P（X＝k）＝（k＝1，3，5，7），则D（X）＝（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
7.假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为（ ）
A. B. C. D.
8.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p（p≠0），发球次数为X，若X的数学期望E（X）＞1.75，则p的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知X的分布列为
X －1 0 1
P a
则下列说法正确的有（ ）
A.P（X＝0）＝ B.E（X）＝－ C.D（X）＝ D.P（X＞－1）＝
10.已知随机变量X服从正态分布N（100，102），则下列选项正确的是（ ）
（参考数值：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ＜ξ＜μ＋σ）≈0.682 6，P（μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）≈0.954 4，P（μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ）≈0.997 4）
A.E（X）＝100 B.D（X）＝100
C.P（X≥90）＝0.841 3 D.P（X≤120）＝0.998 7
11.针对时下的“电影热”，某校团委对“学生性别和喜欢电影是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢电影的人数占男生人数的，女生喜欢电影的人数占女生人数的，若犯错误不超过0.05的前提下认为是否喜欢电影和性别有关，则调查人数中男生的人数可能为（ ）
附表：
P（χ2≥k） 0.050 0.010
k 3.841 6.635
附：χ2＝.
A.25 B.45 C.60 D.75
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为，且相互之间没有影响，若每个项目成功都获利20万元，每个项目失败都亏损5万元，则该公司三个投资项目获利的期望为 万元.
13.为了考察某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下数据表：
感染 未感染 总计
注射 10 40 50
未注射 20 30 50
总计 30 70 100
参照附表，在犯错误的概率最多不超过 的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系.
参考公式：χ2＝.
P（χ2≥k） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
14.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）.有甲、乙两人来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车的时间都不会超过四小时.
（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（2）求甲、乙两人所付租车费用之和为4元的概率.
16.（本小题满分15分）某厂有4台机器，在一个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为.
（1）问该厂至少需要多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？
（2）已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资.每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润.若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值.
17.（本小题满分15分） 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i＝1，2，3）台车床加工的概率.
18.（本小题满分17分） 某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如下表所示.
年份x 2017 2018 2019 2020 2021
储蓄存款额y/千亿元 5 6 7 8 10
为了计算方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令t＝x－2 016，z＝y－5，得到下表.
t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
（1）求z关于t的线性回归方程；
（2）通过（1）中的方程，求出y关于x的回归方程；
（3）用所求回归方程预测到2024年年底，该地此银行储蓄存款额可达到多少？
19.（本小题满分17分）某市在实施垃圾分类的过程中，从人口数量在两万人左右的A类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区.
垃圾量 [12.5，15.5） [15.5，18.5） [18.5，21.5） [21.5，24.5） [24.5，27.5） [27.5，30.5） [30.5，33.5]
频数 5 6 9 12 8 6 4
（1）估计该市A类社区这一天垃圾量的平均值；
（2）若该市A类社区这一天的垃圾量X大致服从正态分布N（μ，27.04），其中μ近似为50个样本社区垃圾量的平均值（精确到0.1吨），估计该市A类社区中“超标”社区的个数；
（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源.设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为Y，求Y的分布列和数学期望.
章末检测（四） 概率与统计
1.A 2.A 3.B 4.B 5.A 6.C 7.C
8.C 根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为P（X＝1）＝p，发球次数为2即第一次发球不成功第二次发球成功的概率P（X＝2）＝p（1－p），发球次数为3即前两次发球都不成功的概率P（X＝3）＝（1－p）2p＋（1－p）3＝（1－p）2，则E（X）＝p＋2p（1－p）＋3（1－p）2＝p2－3p＋3，依题意有E（X）＞1.75，则p2－3p＋3＞1.75，解得p＞或p＜.又由P∈（0，1），可得0＜p＜，故p的取值范围为.
9.ABD 由分布列的性质可知＋a＋＝1，即a＝.
∴P（X＝0）＝，故A正确；
E（X）＝（－1）×＋0×＋1×＝－，故B正确；
D（X）＝×＋×＋×＝，故C错误；
P（X＞－1）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝＋＝，故D正确.故选A、B、D.
10.ABC ∵随机变量X服从正态分布N（100，102），∴E（X）＝100，D（X）＝100，故A正确，B正确；根据题意可得，P（90＜x＜110）＝0.682 6，P（80＜x＜120）＝0.954 4，∴P（x≥90）＝0.5＋×0.682 6＝0.841 3，故C正确；P（x≤120）＝0.5＋×0.954 4＝0.977 2，故D错误.
11.BCD 设男生可能有x人，依题意可得2×2列联表如下：
喜欢电影 不喜欢电影 总计
男生 x x x
女生 x x x
总计 x x 2x
若犯错误不超过0.05的前提下认为是否喜欢电影和性别有关，则χ2＞3.841，由χ2＝＝＞3.841，解得x＞40.33，由题意知x＞0，且x是5的整数倍，所以45，60和75都满足题意.
12.22.5 解析：设该公司投资成功的项目个数为X，该公司三个投资项目获利为Y，则Y＝25X－15，X～B，所以E（X）＝3×＝.故该公司三个投资项目获利的期望E（Y）＝25E（X）－15＝22.5（万元）.
13.0.05 解析：由题得χ2＝＝≈4.762＞3.841，
所以犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系.
14.0.18 解析：甲队以4∶1获胜，甲队在第5场（主场）获胜，前4场中有一场输.
若在主场输一场，则概率为
2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.072；
若在客场输一场，则概率为
2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.108.
∴甲队以4∶1获胜的概率P＝0.072＋0.108＝0.18.
15.解：由题意可知，甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为1－－＝，1－－＝.
（1）甲、乙两人所付租车费用相同可分所付租车费用都为0元，2元，4元三种情况.都付0元的概率P1＝×＝，都付2元的概率P2＝×＝，都付4元的概率P3＝×＝.故所付租车费用相同的概率P＝P1＋P2＋P3＝.
（2）设甲、乙两人所付租车费用之和为ξ元，则ξ＝4表示“两人所付租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙所付租车费用分别为0元、4元，2元、2元，4元、0元，
所以P（ξ＝4）＝×＋×＋×＝，
即甲、乙两人所付租车费用之和为4元的概率为.
16.解：（1）1台机器是否出现故障可看作1次试验，在1次试验中，机器出现故障设为事件A，则事件A的概率为.该厂有4台机器，就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X，则X～B.
所以P（X＝0）＝×＝，P（X＝1）＝××＝，P（X＝2）＝××＝，P（X＝3）＝××＝，P（X＝4）＝×＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X≤n，即X＝0，X＝1，X＝2，…，X＝n，这n＋1个互斥事件的和事件，则
n 0 1 2 3 4
P（X≤n） 1
因为＜90%＜，所以该厂至少需要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%.
（2）设该厂每月可获利Y万元，则Y的取值范围是{8，13，18}.
P（Y＝18）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＋P（X＝2）＝，
P（Y＝13）＝P（X＝3）＝，P（Y＝8）＝P（X＝4）＝，
所以Y的分布列为
Y 18 13 8
P
则E（Y）＝18×＋13×＋8×＝（万元）.
故该厂每月获利的均值为万元.
17.解：设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”（i＝1，2，3），则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥.根据题意得P（A1）＝0.25，P（A2）＝0.3，P（A3）＝0.45，
P（B｜A1）＝0.06，P（B｜A2）＝P（B｜A3）＝0.05.
（1）由全概率公式，得P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）·P（B｜A2）＋P（A3）P（B｜A3）＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5.
（2）“如果取到的零件是次品，计算它是第i（i＝1，2，3）台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率.
P（A1｜B）＝＝＝＝.
类似地，可得P（A2｜B）＝，P（A3｜B）＝.
18.解：（1）＝3，＝2.2，tizi＝45，＝55，则
＝＝1.2，
＝－＝2.2－1.2×3＝－1.4，
所以z关于t的线性回归方程为＝1.2t－1.4.
（2）＝1.2t－1.4，代入t＝x－2 016，z＝y－5，
得－5＝1.2（x－2 016）－1.4，即＝1.2x－2 415.6.
故y关于x的回归方程为＝1.2x－2 415.6.
（3）将x＝2 024代入＝1.2x－2 415.6中得，＝1.2×2 024－2 415.6＝13.2，所以预测到2024年年底，该地此银行储蓄存款额可达到13.2千亿元.
19.解：（1）样本数据各组的中点值分别为14，17，20，23，26，29，32，则＝×（14×5＋17×6＋20×9＋23×12＋26×8＋29×6＋32×4）＝22.76.
估计该市A类社区这一天垃圾量的平均值为22.76吨.
（2）依题意，μ＝22.8，σ2＝27.04，即σ＝5.2，则P（X＞28）＝P（X＞μ＋σ）≈＝0.158 5.
因为320×0.158 5＝50.72≈51，所以估计该市A类社区中“超标”社区有51个.
（3）由频数分布表知，8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个，则垃圾量在[27.5，30.5）内的“超标”社区也有4个，则Y的所有可能取值为1，2，3，4.
P（Y＝1）＝＝，P（Y＝2）＝＝，
P（Y＝3）＝＝，P（Y＝4）＝＝.
则Y的分布列为：
Y 1 2 3 4
P
所以E（Y）＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
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章末检测（四） 概率与统计
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若回归直线的斜率 ∈（0，＋∞），则相关系数 r 的取值范围为
（ ）
A. （0，1] B. [－1，0）
C. 0 D. 无法确定
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解析： 用相关系数 r 衡量两个变量之间的相关关系的强弱，根
据相关系数的定义，可知相关系数的取值范围是[－1，1]，又回归
直线的斜率 ∈（0，＋∞），是正相关，此时相关系数 r 的取值范
围是（0，1].故选A.
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2. 设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为
X 0 1
P 9 a2－ a 3－8 a
则常数 a 的值为（ ）
A. B.
C. 或 D. － 或－
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解析： 由离散型随机变量分布列的性质可得
解得 a ＝ .
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3. 已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两
次，在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔
夫球的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 记事件 A 表示第一次取到的是合格高尔夫球，事件 B 表
示第二次取到不合格高尔夫球，由题意可得事件 A 与 B 同时发生的
概率为 P （ BA ）＝ ＝ ，事件 A 发生的概率 P （ A ）＝ ，所
以 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ .
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4. 若随机变量 X 服从正态分布 N （2，σ2），且2 P （ X ≥3）＝ P
（1≤ x ≤2）， P （ X ＜3）＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： 设 P （ X ≥3）＝ x ，则 P （1≤ X ≤2）＝2 x ，根据对称
性， P （2≤ X ≤3）＝2 x ，则 P （ X ≥2）＝3 x ＝0.5，即 P （ X
≥3）＝ ，故 P （ X ＜3）＝ .
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5. 根据下表中的数据，用最小二乘法计算出变量 x ， y 的线性回归方
程为（ ）
x 1 2 3 4 5
y 0.5 1 1 1.5 2
A. ＝0.35 x ＋0.15 B. ＝－0.35 x ＋0.25
C. ＝－0.35 x ＋0.15 D. ＝0.35 x ＋0.25
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解析： ＝ ＝3， ＝ ＝1.2， ＝
＝0.35， ＝ － ＝1.2－0.35×3＝0.15，∴ y 关于 x
的线性回归方程为 ＝0.35 x ＋0.15.
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6. 设随机变量 X 的概率分布为 P （ X ＝ k ）＝ （ k ＝1，3，5，7），
则 D （ X ）＝（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析： ∵ P （ X ＝ k ）＝ （ k ＝1，3，5，7），
∴ E （ X ）＝（1＋3＋5＋7）× ＝4，
E （ X2）＝（12＋32＋52＋72）× ＝21，
∴ D （ X ）＝ E （ X2）－（ E （ X ））2＝21－42＝5.
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7. 假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.
若在两次射击中至多命中一次的概率是 ，则该射手每次射击的
命中率为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 设该射手射击命中的概率为 p ，两次射击命中的次数为
X ，则 X ～ B （2， p ），由题可知： P （ X ＝0）＋ P （ X ＝1）＝
，即 p0（1－ p ）2＋ p （1－ p ）＝ ，解得 p ＝ .故选C.
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8. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，
一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发
球成功的概率为 p （ p ≠0），发球次数为 X ，若 X 的数学期望 E
（ X ）＞1.75，则 p 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为 P
（ X ＝1）＝ p ，发球次数为2即第一次发球不成功第二次发球成功
的概率 P （ X ＝2）＝ p （1－ p ），发球次数为3即前两次发球都不
成功的概率 P （ X ＝3）＝（1－ p ）2 p ＋（1－ p ）3＝（1－ p ）2，
则 E （ X ）＝ p ＋2 p （1－ p ）＋3（1－ p ）2＝ p2－3 p ＋3，依题意
有 E （ X ）＞1.75，则 p2－3 p ＋3＞1.75，解得 p ＞ 或 p ＜ .又由
P ∈（0，1），可得0＜ p ＜ ，故 p 的取值范围为 .
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知 X 的分布列为
X －1 0 1
P a
则下列说法正确的有（ ）
A. P （ X ＝0）＝ B. E （ X ）＝－
C. D （ X ）＝ D. P （ X ＞－1）＝
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解析： 由分布列的性质可知 ＋ a ＋ ＝1，即 a ＝ .∴ P
（ X ＝0）＝ ，故A正确；
E （ X ）＝（－1）× ＋0× ＋1× ＝－ ，故B正确；
D （ X ）＝ × ＋ × ＋ × ＝ ，故C
错误； P （ X ＞－1）＝ P （ X ＝0）＋ P （ X ＝1）＝ ＋ ＝ ，故
D正确.故选A、B、D.
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10. 已知随机变量 X 服从正态分布 N （100，102），则下列选项正确
的是（ ）
（参考数值：随机变量ξ服从正态分布 N （μ，σ2），则 P （μ－
σ＜ξ＜μ＋σ）≈0.682 6， P （μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）≈0.954 4， P
（μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ）≈0.997 4）
A. E （ X ）＝100 B. D （ X ）＝100
C. P （ X ≥90）＝0.841 3 D. P （ X ≤120）＝0.998 7
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解析： ∵随机变量 X 服从正态分布 N （100，102），∴ E
（ X ）＝100， D （ X ）＝100，故A正确，B正确；根据题意可
得， P （90＜ x ＜110）＝0.682 6， P （80＜ x ＜120）＝0.954
4，∴ P （ x ≥90）＝0.5＋ ×0.682 6＝0.841 3，故C正确； P
（ x ≤120）＝0.5＋ ×0.954 4＝0.977 2，故D错误.
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11. 针对时下的“电影热”，某校团委对“学生性别和喜欢电影是否
有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢
电影的人数占男生人数的 ，女生喜欢电影的人数占女生人数的
，若犯错误不超过0.05的前提下认为是否喜欢电影和性别有关，
则调查人数中男生的人数可能为（ ）
附表：
P （χ2≥ k ） 0.050 0.010
k 3.841 6.635
附：χ2＝ .
A. 25 B. 45 C. 60 D. 75
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解析： 设男生可能有 x 人，依题意可得2×2列联表如下：
喜欢电影 不喜欢电影 总计
男生 x x x
女生 x x x
总计 x x 2 x
若犯错误不超过0.05的前提下认为是否喜欢电影和性别有关，则
χ2＞3.841，由χ2＝ ＝ ＞3.841，解得 x ＞40.33，
由题意知 x ＞0，且 x 是5的整数倍，所以45，60和75都满足题意.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都
为 ，且相互之间没有影响，若每个项目成功都获利20万元，每
个项目失败都亏损5万元，则该公司三个投资项目获利的期望
为 万元.
22.5
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解析：设该公司投资成功的项目个数为 X ，该公司三个投资项目
获利为 Y ，则 Y ＝25 X －15， X ～ B ，所以 E （ X ）＝3×
＝ .故该公司三个投资项目获利的期望 E （ Y ）＝25 E （ X ）－
15＝22.5（万元）.
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13. 为了考察某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠
进行试验，得到如下数据表：
感染 未感染 总计
注射 10 40 50
未注射 20 30 50
总计 30 70 100
参照附表，在犯错误的概率最多不超过 的前提下，
可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系.
0.05
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参考公式：χ2＝ .
P （χ2≥
k ） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
解析：由题得χ2＝ ＝ ≈4.762＞3.841，
所以犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“注射疫苗”与
“感染流感”有关系.
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14. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜
利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场
安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，
客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1
获胜的概率是 .
0.18
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解析：甲队以4∶1获胜，甲队在第5场（主场）获胜，前4场中有
一场输.
若在主场输一场，则概率为
2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.072；
若在客场输一场，则概率为
2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.108.
∴甲队以4∶1获胜的概率 P ＝0.072＋0.108＝0.18.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游
的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不
超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时
的部分按一小时计算）.有甲、乙两人来该租车点租车骑游（各租
一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 ， ，两
小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 ， ，两人租车的时
间都不会超过四小时.
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（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（1）甲、乙两人所付租车费用相同可分所付租车费用都为0
元，2元，4元三种情况.都付0元的概率 P1＝ × ＝ ，都
付2元的概率 P2＝ × ＝ ，都付4元的概率 P3＝ × ＝
.故所付租车费用相同的概率 P ＝ P1＋ P2＋ P3＝ .
解：由题意可知，甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四
小时的概率分别为1－ － ＝ ，1－ － ＝ .
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（2）求甲、乙两人所付租车费用之和为4元的概率.
解：设甲、乙两人所付租车费用之和为ξ元，则ξ＝4表示
“两人所付租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙
所付租车费用分别为0元、4元，2元、2元，4元、0元，
所以 P （ξ＝4）＝ × ＋ × ＋ × ＝ ，
即甲、乙两人所付租车费用之和为4元的概率为 .
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16. （本小题满分15分）某厂有4台机器，在一个月中，1台机器至多
出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障
时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为 .
（1）问该厂至少需要多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同
时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？
解： 1台机器是否出现故障可看作1次试验，在1次试验
中，机器出现故障设为事件 A ，则事件 A 的概率为 .该厂有
4台机器，就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器
台数为 X ，则 X ～ B .
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所以 P （ X ＝0）＝ × ＝ ， P （ X ＝1）＝ ×
× ＝ ， P （ X ＝2）＝ × × ＝ ， P （ X
＝3）＝ × × ＝ ， P （ X ＝4）＝ × ＝ .
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
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设该厂有 n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为 X ≤ n ，即 X ＝0， X ＝1， X ＝2，…， X ＝ n ，这 n ＋1个互斥事件的和事件，则
n 0 1 2 3 4
P （ X ≤
n ） 1
因为 ＜90%＜ ，所以该厂至少需要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%.
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（2）已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每
位工人1万元的工资.每台机器不出现故障或出现故障能及时
维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润.若
该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值.
解： 设该厂每月可获利 Y 万元，则 Y 的取值范围是
{8，13，18}.
P （ Y ＝18）＝ P （ X ＝0）＋ P （ X ＝1）＋ P （ X ＝2）＝
， P （ Y ＝13）＝ P （ X ＝3）＝ ， P （ Y ＝8）＝ P （ X ＝
4）＝ ，所以 Y 的分布列为
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Y 18 13 8
P
则 E （ Y ）＝18× ＋13× ＋8× ＝ （万元）.
故该厂每月获利的均值为 万元.
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17. （本小题满分15分）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工
的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零
件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的
25%，30%，45%.
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
解：设 B ＝“任取一个零件为次品”， Ai ＝“零件为第 i 台
车床加工”（ i ＝1，2，3），则Ω＝ A1∪ A2∪ A3，且 A1，
A2， A3两两互斥.根据题意得
P （ A1）＝0.25， P （ A2）＝0.3， P （ A3）＝0.45，
P （ B ｜ A1）＝0.06， P （ B ｜ A2）＝ P （ B ｜ A3）＝0.05.
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（1）由全概率公式，得
P （ B ）＝ P （ A1） P （ B ｜ A1）＋ P （ A2） P （ B ｜ A2）
＋ P （ A3） P （ B ｜ A3）＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋
0.45×0.05＝0.052 5.
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（2）如果取到的零件是次品，计算它是第 i （ i ＝1，2，3）台车
床加工的概率.
解：“如果取到的零件是次品，计算它是第 i （ i ＝1，2，
3）台车床加工的概率”，就是计算在 B 发生的条件下，事
件 Ai 发生的概率.
P （ A1｜ B ）＝ ＝ ＝ ＝ .
类似地，可得 P （ A2｜ B ）＝ ， P （ A3｜ B ）＝ .
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18. （本小题满分17分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，
该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如下表所示.
年份 x 2017 2018 2019 2020 2021
储蓄存款额 y/千亿元 5 6 7 8 10
为了计算方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令 t ＝ x －2
016， z ＝ y －5，得到下表.
t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
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（1）求 z 关于 t 的线性回归方程；
解： ＝3， ＝2.2， tizi ＝45， ＝55，则
＝ ＝1.2，
＝ － ＝2.2－1.2×3＝－1.4，
所以 z 关于 t 的线性回归方程为 ＝1.2 t －1.4.
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（2）通过（1）中的方程，求出 y 关于 x 的回归方程；
解： ＝1.2 t －1.4，代入 t ＝ x －2 016， z ＝ y －5，
得 －5＝1.2（ x －2 016）－1.4，即 ＝1.2 x －2 415.6.
故 y 关于 x 的回归方程为 ＝1.2 x －2 415.6.
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（3）用所求回归方程预测到2024年年底，该地此银行储蓄存款额
可达到多少？
解： 将 x ＝2 024代入 ＝1.2 x －2 415.6中得， ＝
1.2×2 024－2 415.6＝13.2，
所以预测到2024年年底，该地此银行储蓄存款额可达到13.2
千亿元.
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19. （本小题满分17分） 某市在实施垃圾分类的过程中，从人口数量
在两万人左右的 A 类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行
调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如
下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超
标”社区.
垃圾量 [12.5
， 15.5） [15.5
， 18.5） [18.5
， 21.5） [21.5
， 24.5） [24.5
， 27.5） [27.5
， 30.5） [30.5
，
33.5]
频数 5 6 9 12 8 6 4
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（1）估计该市 A 类社区这一天垃圾量的平均值 ；
解： 样本数据各组的中点值分别为14，17，20，23，
26，29，32，则 ＝ ×（14×5＋17×6＋20×9＋23×12
＋26×8＋29×6＋32×4）＝22.76.
估计该市 A 类社区这一天垃圾量的平均值为22.76吨.
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（2）若该市 A 类社区这一天的垃圾量 X 大致服从正态分布 N
（μ，27.04），其中μ近似为50个样本社区垃圾量的平均
值 （精确到0.1吨），估计该市 A 类社区中“超标”社区
的个数；
解： 依题意，μ＝22.8，σ2＝27.04，即σ＝5.2，则 P
（ X ＞28）＝ P （ X ＞μ＋σ）≈ ＝0.158 5.
因为320×0.158 5＝50.72≈51，所以估计该市 A 类社区中
“超标”社区有51个.
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（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个
“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个
跟踪调查其垃圾来源.设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区
个数为 Y ，求 Y 的分布列和数学期望.
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解： 由频数分布表知，8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个，则垃圾量在[27.5，30.5）内的“超标”社区也有4个，则 Y 的所有可能取值为1，2，3，4.
P （ Y ＝1）＝ ＝ ， P （ Y ＝2）＝ ＝ ， P （ Y ＝
3）＝ ＝ ， P （ Y ＝4）＝ ＝ .
则 Y 的分布列为：
Y 1 2 3 4
P
所以 E （ Y ）＝1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ .
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谢 谢 观 看！
