5.1.2 数列中的递推
1.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,则a5=( )
A.15 B.16
C.31 D.32
2.设数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2,则a8=( )
A.15 B.14
C.13 D.12
3.若数列{an}满足an+1=(n∈N+),且a1=1,则a17=( )
A.13 B.14
C.15 D.16
4.已知数列{an}满足:a1=,对于任意的n∈N+,an+1=an(1-an),则a2 024-a2 025=( )
A.- B.
C.- D.
5.(多选)数列{an}中,an=-n2+11n,则此数列最大项是( )
A.第4项 B.第5项
C.第6项 D.第7项
6.(多选)若数列{an}满足an+1=a1=,则数列{an}中的项的值可能为( )
A. B.
C. D.
7.我国古代数学家杨辉、朱世杰等研究过高阶数列的求和问题,如数列就是二阶数列.数列(n∈N+)的前3项和是 .
8.已知数列{an}满足a1=1,且当n≥2时,-=1,则an= .
9.如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N+)的前12项,如表所示.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 …
x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6 …
按如此规律下去,a2 023+a2 024+a2 025= .
10.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-9n.
(1)求an;
(2)若它的第k项满足5<ak<8,求k的值.
11.数列{an}的前n项和Sn=3n-2n2(n∈N+),则当n≥2时,下列不等式成立的是( )
A.Sn>na1>nan B.Sn>nan>na1
C.na1>Sn>nan D.nan>Sn>na1
12.已知数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+1,若对于任意的n∈N+,不等式<2t2-1恒成立,则实数t的取值范围为 .
13.已知数列{an}满足a1=,anan-1=an-1-an(n≥2),且an≠0,求数列{an}的通项公式.
14.(多选)数列{Fn}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的,故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始,每项等于其前相邻两项之和.记数列{Fn}的前n项和为Sn,则下列结论正确的是( )
A.S5=F7-1 B.S5=S6-1
C.S2 023=F2 025-1 D.S2 023=F2 024-1
15.已知首项为x1的数列{xn}满足xn+1=(a为常数).
(1)若对于任意的x1≠-1,都有xn+2=xn(n∈N+)成立,求a的值;
(2)当a=1时,若x1>0,数列{xn}是递增数列还是递减数列?请说明理由.
5.1.2 数列中的递推
1.C ∵数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,
∴a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7,a4=2×7+1=15,a5=2×15+1=31.
2.A a8=S8-S7=82-72=64-49=15.
3.A 由an+1=得an+1-an=,a17=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a17-a16)=1+×16=13,故选A.
4.C a1=,a2=××=,a3=××=,a4=××=,…,归纳可知,当n>1时,若n为奇数,an=;若n为偶数,an=,所以a2 024-a2 025=-=-.
5.BC an=-n2+11n=-+,∵n∈N+,∴当n=5或n=6时,an取最大值.故选B、C.
6.ABC 数列{an}满足an+1=a1=,依次取n=1,2,3,4,…,代入计算得,a2=2a1-1=,a3=2a2=,a4=2a3=,a5=2a4-1==a1,…,继续下去会循环,数列{an}是周期为4的周期数列,所有可能取值为,,,.故选A、B、C.
7.10 解析:设an=,前3项和S3=a1+a2+a3=1+3+6=10.
8.2n-1 解析:当n≥2时,an-an-1=2,则an-1-an-2=2,…,a2-a1=2,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2(n-1)+1=2n-1,
又a1=1符合上式,因此an=2n-1.
9.1 012 解析:将数列{an}的奇数项、偶数项分开看,奇数项为1,-1,2,-2,…,发现a2n-1+a2n+1=0,∴a2 023+a2 025=a2×1 012-1+a2×1 012+1=0;偶数项为1,2,3,…,∴a2n=n,当2n=2 024时,a2 024=1 012,∴a2 023+a2 024+a2 025=1 012.
10.解:(1)当n=1时,a1=S1=1-9=-8;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10.
注意到n=1时也满足a1=2×1-10=-8,
所以数列{an}的通项公式为an=2n-10.
(2)因为5<ak<8,即5<2k-10<8,解得7.5<k<9.
又k∈N+,所以k=8.
11.C 由an=解得an=5-4n,a1=1,所以na1=n,所以nan=5n-4n2,因为na1-Sn=n-(3n-2n2)=2n2-2n=2n(n-1)>0(当n≥2时).Sn-nan=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0(当n≥2时).所以na1>Sn>nan.
12.∪ 解析:由题意数列{an}中,nan+1=(n+1)an+1,即nan+1-(n+1)an=1,则有-==-,则有=++( -)+…++a1=+++…++2=3-<3,又对于任意的n∈N+,不等式<2t2-1恒成立,即3≤2t2-1恒成立,解得t≤-或t≥.
13.解:∵anan-1=an-1-an,且an≠0,
∴当n≥2时,-=1.
∴=+++…+
=2+1+1+…+1=n+1.
∴=n+1,∴an=(n≥2).
又∵n=1时,a1=,符合上式,∴an=.
14.AC 根据题意有Fn=Fn-1+Fn-2(n≥3),所以S3=F1+F2+F3=1+F1+F2+F3-1=F3+F2+F3-1=F4+F3-1=F5-1,S4=F4+S3=F4+F5-1=F6-1,S5=F5+S4=F5+F6-1=F7-1,…,所以S2 023=F2 025-1.故选A、C.
15.解:(1)∵xn+2====xn,
∴a2xn=(a+1)+xn,即(a2-1)xn=(a+1).
令n=1,得(a2-1)x1=(a+1),
要使该式对任意的x1≠-1都成立,
则有解得a=-1.
(2)数列{xn}是递减数列.
理由如下:∵x1>0,xn+1=,∴xn>0.
又∵xn+1-xn=-xn=-<0,
∴数列{xn}是递减数列.
2 / 25.1.2 数列中的递推
新课程标准解读 核心素养
1.了解数列的递推公式,会用数列的递推公式求前几项 数学运算、数学抽象
2.理解数列的前n项和的定义,会利用数列的前n项和公式求通项an 数学运算
某剧场有30排座位,第一排有7个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位(如图).
【问题】 (1)写出前五排座位数;
(2)第n排座位数an与第n+1排座位数an+1能用等式表示吗?
知识点一 数列的递推关系
如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用 来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).
提醒 对数列递推公式的再理解:①并不是所有的数列都有递推公式.例如精确到1,0.1,0.01,0.001,…的近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式;②递推公式也是给出数列的一种重要方法,递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式,用符合要求的正整数依次去替换n,就可以求出数列的各项;③递推公式通过赋值逐项求出数列的项.
1.符合递推关系式a1=1,an=an-1的数列是( )
A.1,2,3,4,… B.1,,2,2,…
C.,2,,2,… D.0,,2,2,…
2.数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5=( )
A.-3 B.-11
C.-5 D.19
3.如图所示的是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两点之间的“短线”表示化学键,按图中结构,第n个图有化学键( )
A.6n个 B.(4n+2)个
C.(5n-1)个 D.(5n+1)个
4.已知a1=1,an=1+(n≥2),则a5= .
知识点二 数列的前n项和
1.定义:给定数列{an},称Sn= 为数列{an}的前n项和.
2.数列的前n项和Sn与通项an的关系
(1)当 时,a1=S1;
(2)当 时,an=Sn-Sn-1.
综上所述:an=
提醒 应用数列前n项和公式的易错点:在应用数列的前n项和公式求通项时,往往容易忽略验证n=1时的情况,而是直接把数列的通项公式写成an=Sn-Sn-1的形式,但它只适用于n≥2的情形.
已知数列{an}的前n项和公式为Sn=2n2+n,则an= .
题型一 由递推公式求数列的项
【例1】 数列{an}中,a1=1,a2=3,-anan+2=(-1)n,求{an}的前5项.
尝试解答
通性通法
由递推公式求数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可;
(2)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;
(3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
【跟踪训练】
若数列{an}满足a1=2,an+1=,n∈N+,求a2 025.
题型二 由递推公式求通项公式
角度1 累加法求通项公式
【例2】 已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+,n∈N+,求数列的通项公式an.
尝试解答
角度2 累乘法求通项公式
【例3】 设数列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),求数列的通项公式an.
尝试解答
通性通法
由数列的递推公式求通项公式时,若递推关系为an+1=an+f(n)或an+1=g(n)·an,则可以分别通过累加法或累乘法求得通项公式,即:
(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式;
(2)累乘法:当=g(n)时,常用an=··…··a1求通项公式.
【跟踪训练】
1.如图所示的图案中,白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项,则这个数列的一个通项公式为 .
2.已知数列{an}中a1=,an=an-1(n≥2),求数列{an}的通项公式.
题型三 根据数列的前n项和公式求通项
【例4】 已知下面数列{an}的前n项和Sn,求{an}的通项公式.
(1)Sn=2n2-3n;
(2)Sn=3n+b.
尝试解答
【母题探究】
(变条件)本例条件变为“Sn=且a4=54”问题不变.
通性通法
已知Sn求an的步骤
(1)先利用a1=S1求出a1;
(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式;
(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式.如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.
【跟踪训练】
已知数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an;
(2)若Sn=3n+2n+1,求an.
题型四 数列的最大(小)项问题
【例5】 已知数列{an}的通项公式是an=·,试问该数列有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.
尝试解答
通性通法
1.由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.
2.可以利用不等式组(n>1)找到数列的最大项;利用不等式组(n>1)找到数列的最小项.
【跟踪训练】
数列{an}满足an=,若ap最大,aq最小,则p+q= .
1.已知数列{an}的首项为a1=1,且满足an+1=an+,则此数列的第4项是( )
A.1 B.
C. D.
2.数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5=( )
A. B.
C. D.
3.已知数列{an}满足a1=a,an+1=1+,且a5=0,则a的值为( )
A.- B.- C.- D.-
4.已知数列{an}的前n项和Sn=3n+1,则an= .
5.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)-n+anan+1=0(n=1,2,3,…),则通项公式an= .
5.1.2 数列中的递推
【基础知识·重落实】
知识点一
一个公式
自我诊断
1.B B中相邻的两项,后一项是前一项的倍,符合递推公式an=an-1.
2.D 由an+1=an+2-an,得an+2=an+an+1,
则a3=a1+a2=7,a4=a2+a3=12,a5=a3+a4=19.
3.D 由题中图形知,各图中“短线”个数依次为6,6+5,6+5+5,…,若把6看作1+5,则上述数列为1+5,1+2×5,1+3×5,…,于是第n个图形有(5n+1)个化学键.故选D.
4. 解析:由a1=1,an=1+,得a2=2,a3=,a4=,a5=.
知识点二
1.a1+a2+a3+…+an 2.(1)n=1 (2)n≥2且n∈N+
自我诊断
4n-1 解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2+n-2(n-1)2-(n-1)=4n-1.当n=1时,a1=S1=2×1+1=3=4×1-1,满足上式,∴an=4n-1(n∈N+).
【典型例题·精研析】
【例1】 解:由-anan+2=(-1)n,得an+2=,又∵a1=1,a2=3,∴a3===10,a4===33,a5===109,∴数列{an}的前5项为1,3,10,33,109.
跟踪训练
解:由题意得,a2===-3,
a3===-,
a4===,
a5===2=a1,
∴{an}是周期为4的数列,∴a2 025=a4×506+1=a1=2.
【例2】 解:∵an+1-an=,∴a2-a1=,a3-a2=,a4-a3=,…,an-an-1=,
以上各式累加得,an-a1=++…+
=++…+=1-.
∵a1=-1,∴an+1=1-,∴an=-(n≥2).
又∵n=1时,a1=-1,符合上式,∴an=-.
【例3】 解:∵a1=1,an=an-1(n≥2),∴=,
an=×××…×××a1=×××…×××1=.
又∵n=1时,a1=1,符合上式,∴an=.
跟踪训练
1.an=4n+2 解析:我们把图案按如下规律分解:
这三个图案中白色正六边形的个数依次为6,6+4,6+4×2,所以这个数列的一个通项公式为an=6+4(n-1)=4n+2.
2.解:因为an=an-1(n≥2),
所以当n≥2时,=,
所以=,=,…,=,=,
以上n-1个式子相乘得··…··=··…··,
即=××2×1,又a1=,所以an=.
当n=1时,a1==,与已知a1=相符,
所以数列{an}的通项公式为an=.
【例4】 解:(1)当n=1时,a1=S1=2-3=-1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,由于a1也适合此式,所以an=4n-5.
(2)当n=1时,a1=S1=3+b;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1.
当b=-1时,a1适合此式.
当b≠-1时,a1不适合此式.
所以当b=-1时,an=2·3n-1;
当b≠-1时,an=
母题探究
解:因为a4=S4-S3=-=(81-27)=27a1=54,所以a1=2,所以Sn=3n-1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n-1-1)=2×3n-1.
而2×31-1=2=a1,
故数列{an}的通项公式为an=2×3n-1.
跟踪训练
解:(1)a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2,
当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1)
=(-1)n+1·[n+(n-1)]=(-1)n+1·(2n-1),
又因为a1也适合此式,所以an=(-1)n+1·(2n-1).
(2)因为当n=1时,a1=S1=6;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2,
由于a1不适合此式,所以an=
【例5】 解:法一 an+1-an=(n+2)-(n+1)=,
当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an.
则a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,
故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×.
法二 根据题意,令(n>1),
即(n>1),
解得9≤n≤10.
又n∈N+,则n=9或n=10.
故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×.
跟踪训练
89 解析:an==1+.由于44<<45,则当n≤44时,an=1-<1且数列{an}递减;当n≥45时,an=1+>1且数列{an}递减.所以a44最小,a45最大,即p=45,q=44,故p+q=45+44=89.
随堂检测
1.B 由a1=1,∴a2=a1+=1,依此类推,a4=.
2.C 由题意a1a2=22,a1a2a3=32,a1a2a3a4=42,a1a2a3a4a5=52,
则a3==,a5==.故a3+a5=.
3.D 由a5=0倒推可求得a4=-1,再求a3=-,a2=-,从而可得a1=-.
4. 解析:当n=1时,a1=S1=3+1=4;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2×3n-1.
当n=1时,2×31-1=2≠a1,所以an=
5. 解析:由(n+1)-n+anan+1=[(n+1)an+1-nan]·(an+1+an)=0,可得=,将=,=,…,=,叠乘可得an=.
4 / 4(共67张PPT)
5.1.2 数列中的递推
新课程标准解读 核心素养
1.了解数列的递推公式,会用数列的递推公式求
前几项 数学运算、数学
抽象
2.理解数列的前n项和的定义,会利用数列的前n
项和公式求通项an 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某剧场有30排座位,第一排有7个座位,从第二排起,后一排都
比前一排多2个座位(如图).
【问题】 (1)写出前五排座位数;
(2)第n排座位数an与第n+1排座位数an+1能用等式表示吗?
知识点一 数列的递推关系
如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上
的关系都可以用 来表示,则称这个公式为数列的递推关
系(也称为递推公式或递归公式).
一个公式
提醒 对数列递推公式的再理解:①并不是所有的数列都有递推公
式.例如 精确到1,0.1,0.01,0.001,…的近似值排列成一列
数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式;②递推公式也是给
出数列的一种重要方法,递推公式和通项公式一样都是关于项数n的
恒等式,用符合要求的正整数依次去替换n,就可以求出数列的各
项;③递推公式通过赋值逐项求出数列的项.
1. 符合递推关系式a1=1,an= an-1的数列是( )
A. 1,2,3,4,… B. 1, ,2,2 ,…
C. ,2, ,2,… D. 0, ,2,2 ,…
解析: B中相邻的两项,后一项是前一项的 倍,符合递推公
式an= an-1.
2. 数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5=( )
A. -3 B. -11
C. -5 D. 19
解析: 由an+1=an+2-an,得an+2=an+an+1,则a3=a1+a2
=7,a4=a2+a3=12,a5=a3+a4=19.
3. 如图所示的是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原
子,两点之间的“短线”表示化学键,按图中结构,第n个图有化
学键( )
A. 6n个 B. (4n+2)个
C. (5n-1)个 D. (5n+1)个
解析: 由题中图形知,各图中“短线”个数依次为6,6+5,6
+5+5,…,若把6看作1+5,则上述数列为1+5,1+2×5,1+
3×5,…,于是第n个图形有(5n+1)个化学键.故选D.
4. 已知a1=1,an=1+ (n≥2),则a5= .
解析:由a1=1,an=1+ ,得a2=2,a3= ,a4= ,a5= .
知识点二 数列的前n项和
1. 定义:给定数列{an},称Sn= 为数列{an}
的前n项和.
2. 数列的前n项和Sn与通项an的关系
a1+a2+a3+…+an
(1)当 时,a1=S1;
(2)当 时,an=Sn-Sn-1.
综上所述:an=
n=1
n≥2且n∈N+
提醒 应用数列前n项和公式的易错点:在应用数列的前n项
和公式求通项时,往往容易忽略验证n=1时的情况,而是直
接把数列的通项公式写成an=Sn-Sn-1的形式,但它只适用
于n≥2的情形.
已知数列{an}的前n项和公式为Sn=2n2+n,则an= .
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2+n-2(n-1)2-(n-1)
=4n-1.当n=1时,a1=S1=2×1+1=3=4×1-1,满足上式,
∴an=4n-1(n∈N+).
4n-1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 由递推公式求数列的项
【例1】 数列{an}中,a1=1,a2=3, -anan+2=(-1)n,
求{an}的前5项.
解:由 -anan+2=(-1)n,得an+2= ,又∵a1=
1,a2=3,∴a3= = =10,a4= = =
33,a5= = =109,∴数列{an}的前5项为1,3,10,
33,109.
通性通法
由递推公式求数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分
的关系,依次代入计算即可;
(2)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面
的项的形式;
(3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面
的项的形式.
【跟踪训练】
若数列{an}满足a1=2,an+1= ,n∈N+,求a2 025.
解:由题意得,
a2= = =-3,
a3= = =- ,
a4= = = ,
a5= = =2=a1,
∴{an}是周期为4的数列,
∴a2 025=a4×506+1=a1=2.
题型二 由递推公式求通项公式
角度1 累加法求通项公式
【例2】 已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+ ,n∈N
+,求数列的通项公式an.
解:∵an+1-an= ,
∴a2-a1= ,a3-a2= ,a4-a3= ,…,an-an-1=
,
以上各式累加得,an-a1= + +…+
= + +…+ =1- .
∵a1=-1,∴an+1=1- ,
∴an=- (n≥2).
又∵n=1时,a1=-1,符合上式,
∴an=- .
角度2 累乘法求通项公式
【例3】 设数列{an}中,a1=1,an= an-1(n≥2),求数
列的通项公式an.
解:∵a1=1,an= an-1(n≥2),
∴ = ,
an= × × ×…× × ×a1
= × × ×…× × ×1= .
又∵n=1时,a1=1,符合上式,∴an= .
通性通法
由数列的递推公式求通项公式时,若递推关系为an+1=an+f
(n)或an+1=g(n)·an,则可以分别通过累加法或累乘法求得通
项公式,即:
(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+
(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式;
(2)累乘法:当 =g(n)时,常用an= · ·…· ·a1求通
项公式.
【跟踪训练】
1. 如图所示的图案中,白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3
项,则这个数列的一个通项公式为 .
an=4n+2
解析:我们把图案按如下规律分解:这三个图案中白色正六边形的个数依次为6,6+4,6+4×2,所以这个数列的一个通项公式为an=6+4(n-1)=4n+2.
2. 已知数列{an}中a1= ,an= an-1(n≥2),求数列{an}的通
项公式.
解:因为an= an-1(n≥2),
所以当n≥2时, = ,
所以 = , = ,…, = , = ,
以上n-1个式子相乘得 · ·…· · = · ·…· · ,
即 = × ×2×1,又a1= ,所以an= .
当n=1时,a1= = ,与已知a1= 相符,
所以数列{an}的通项公式为an= .
题型三 根据数列的前n项和公式求通项
【例4】 已知下面数列{an}的前n项和Sn,求{an}的通项公式.
(1)Sn=2n2-3n;
解:当n=1时,a1=S1=2-3=-1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n
-1)]=4n-5,
由于a1也适合此式,
所以an=4n-5.
(2)Sn=3n+b.
解:当n=1时,a1=S1=3+b;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1.
当b=-1时,a1适合此式.
当b≠-1时,a1不适合此式.
所以当b=-1时,an=2·3n-1;
当b≠-1时,an=
【母题探究】
(变条件)本例条件变为“Sn= 且a4=54”问题不变.
解:因为a4=S4-S3= - = (81-27)=
27a1=54,所以a1=2,所以Sn=3n-1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n-1-1)=2×3n-1.
而2×31-1=2=a1,
故数列{an}的通项公式为an=2×3n-1.
通性通法
已知Sn求an的步骤
(1)先利用a1=S1求出a1;
(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1
(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式;
(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式.如
果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该
分n=1与n≥2两段来写.
【跟踪训练】
已知数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an;
解:a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2,
当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1)
=(-1)n+1·[n+(n-1)]=(-1)n+1·(2n-1),
又因为a1也适合此式,
所以an=(-1)n+1·(2n-1).
(2)若Sn=3n+2n+1,求an.
解:因为当n=1时,a1=S1=6;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-
1)+1]=2·3n-1+2,由于a1不适合此式,
所以an=
题型四 数列的最大(小)项问题
【例5】 已知数列{an}的通项公式是an= · ,试问该数
列有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说
明理由.
解:法一 an+1-an=(n+2) -(n+1)· =
,
当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an.
则a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,
故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10× .
法二 根据题意,令(n>1),
即(n>1),
解得9≤n≤10.
又n∈N+,则n=9或n=10.
故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10× .
通性通法
1. 由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数
列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的
定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件.
2. 可以利用不等式组(n>1)找到数列的最大项;利
用不等式组(n>1)找到数列的最小项.
【跟踪训练】
数列{an}满足an= ,若ap最大,aq最小,则p+q
= .
解析:an= =1+ .由于44< <45,则当
n≤44时,an=1- <1且数列{an}递减;当n≥45时,an
=1+ >1且数列{an}递减.所以a44最小,a45最大,即p
=45,q=44,故p+q=45+44=89.
89
1. 已知数列{an}的首项为a1=1,且满足an+1= an+ ,则此数列
的第4项是( )
A. 1 B.
C. D.
解析: 由a1=1,∴a2= a1+ =1,依此类推,a4= .
2. 数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则
a3+a5=( )
A. B.
C. D.
解析: 由题意a1a2=22,a1a2a3=32,a1a2a3a4=42,
a1a2a3a4a5=52,则a3= = ,a5= = .故a3+a5= .
3. 已知数列{an}满足a1=a,an+1=1+ ,且a5=0,则a的值为
( )
A. - B. -
C. - D. -
解析: 由a5=0倒推可求得a4=-1,再求a3=- ,a2=- ,
从而可得a1=- .
4. 已知数列{an}的前n项和Sn=3n+1,则an
= .
解析:当n=1时,a1=S1=3+1=4;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2×3n-1.
当n=1时,2×31-1=2≠a1,
所以an=
5. 设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1) -n +anan+1=
0(n=1,2,3,…),则通项公式an= .
解析:由(n+1) -n +anan+1=[(n+1)an+1-
nan]·(an+1+an)=0,可得 = ,将 = , = ,…,
= ,叠乘可得an= .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,则a5=( )
A. 15 B. 16
C. 31 D. 32
解析: ∵数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,∴a2=2×1+1
=3,a3=2×3+1=7,a4=2×7+1=15,a5=2×15+1=31.
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2. 设数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2,则a8=( )
A. 15 B. 14 C. 13 D. 12
解析: a8=S8-S7=82-72=64-49=15.
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3. 若数列{an}满足an+1= (n∈N+),且a1=1,则a17=
( )
A. 13 B. 14
C. 15 D. 16
解析: 由an+1= 得an+1-an= ,a17=a1+(a2-a1)+
(a3-a2)+…+(a17-a16)=1+ ×16=13,故选A.
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4. 已知数列{an}满足:a1= ,对于任意的n∈N+,an+1= an(1-
an),则a2 024-a2 025=( )
A. - B.
C. - D.
解析: a1= ,a2= × × = ,a3= × × = ,a4=
× × = ,…,归纳可知,当n>1时,若n为奇数,an= ;若
n为偶数,an= ,所以a2 024-a2 025= - =- .
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5. (多选)数列{an}中,an=-n2+11n,则此数列最大项是
( )
A. 第4项 B. 第5项
C. 第6项 D. 第7项
解析: an=-n2+11n=- + ,
∵n∈N+,∴当n=5或n=6时,an取最大值.故选B、C.
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6. (多选)若数列{an}满足an+1=a1= ,
则数列{an}中的项的值可能为( )
A. B.
C. D.
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解析: 数列{an}满足an+1=a1=
,依次取n=1,2,3,4,…,代入计算得,a2=2a1-1= ,a3
=2a2= ,a4=2a3= ,a5=2a4-1= =a1,…,继续下去会循
环,数列{an}是周期为4的周期数列,所有可能取值为 , , ,
.故选A、B、C.
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7. 我国古代数学家杨辉、朱世杰等研究过高阶数列的求和问题,如数
列 就是二阶数列.数列 (n∈N+)的前3项和
是 .
解析:设an= ,前3项和S3=a1+a2+a3=1+3+6=10.
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8. 已知数列{an}满足a1=1,且当n≥2时, - =1,则an
= .
解析:当n≥2时,an-an-1=2,则an-1-an-2=2,…,a2-a1=
2,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+
a1=2(n-1)+1=2n-1,又a1=1符合上式,因此an=2n-1.
2n-1
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9. 如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个
点:1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N
+)的前12项,如表所示.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 …
x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 x6 y6 …
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按如此规律下去,a2 023+a2 024+a2 025= .
解析:将数列{an}的奇数项、偶数项分开看,奇数项为1,-1,
2,-2,…,发现a2n-1+a2n+1=0,∴a2 023+a2 025=a2×1 012-1+
a2×1 012+1=0;偶数项为1,2,3,…,∴a2n=n,当2n=2 024
时,a2 024=1 012,∴a2 023+a2 024+a2 025=1 012.
1 012
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10. 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-9n.
(1)求an;
解:当n=1时,a1=S1=1-9=-8;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10.
注意到n=1时也满足a1=2×1-10=-8,
所以数列{an}的通项公式为an=2n-10.
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(2)若它的第k项满足5<ak<8,求k的值.
解:因为5<ak<8,即5<2k-10<8,解得7.5<k<9.
又k∈N+,所以k=8.
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11. 数列{an}的前n项和Sn=3n-2n2(n∈N+),则当n≥2时,下
列不等式成立的是( )
A. Sn>na1>nan B. Sn>nan>na1
C. na1>Sn>nan D. nan>Sn>na1
解析: 由an=解得an=5-4n,a1=1,
所以na1=n,所以nan=5n-4n2,因为na1-Sn=n-(3n-
2n2)=2n2-2n=2n(n-1)>0(当n≥2时).Sn-nan=3n
-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0(当n≥2时).所以na1>Sn
>nan.
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12. 已知数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+1,若对于任意
的n∈N+,不等式 <2t2-1恒成立,则实数t的取值范围
为 .
∪
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解析:由题意数列{an}中,nan+1=(n+1)an+1,即nan+1-
(n+1)an=1,则有 - = = - ,则有
= + +( - )+…+ +
a1= + + +…+ +2=3-
<3,又对于任意的n∈N+,不等式 <2t2-1恒成立,即
3≤2t2-1恒成立,解得t≤- 或t≥ .
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13. 已知数列{an}满足a1= ,anan-1=an-1-an(n≥2),且
an≠0,求数列{an}的通项公式.
解:∵anan-1=an-1-an,且an≠0,
∴当n≥2时, - =1.
∴ = + + +…+
=2+1+1+…+1=n+1.
∴ =n+1,∴an= (n≥2).
又∵n=1时,a1= ,符合上式,∴an= .
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14. (多选)数列{Fn}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐
波那契数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔
子繁殖为例子而引入的,故又称为“兔子数列”.该数列从第三项
开始,每项等于其前相邻两项之和.记数列{Fn}的前n项和为Sn,
则下列结论正确的是( )
A. S5=F7-1 B. S5=S6-1
C. S2 023=F2 025-1 D. S2 023=F2 024-1
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解析: 根据题意有Fn=Fn-1+Fn-2(n≥3),所以S3=F1
+F2+F3=1+F1+F2+F3-1=F3+F2+F3-1=F4+F3-1=
F5-1,S4=F4+S3=F4+F5-1=F6-1,S5=F5+S4=F5+F6
-1=F7-1,…,所以S2 023=F2 025-1.故选A、C.
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15. 已知首项为x1的数列{xn}满足xn+1= (a为常数).
(1)若对于任意的x1≠-1,都有xn+2=xn(n∈N+)成立,求
a的值;
解:∵xn+2= = = =xn,
∴a2xn=(a+1) +xn,即(a2-1)xn=(a+1) .
令n=1,得(a2-1)x1=(a+1) ,
要使该式对任意的x1≠-1都成立,
则有解得a=-1.
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(2)当a=1时,若x1>0,数列{xn}是递增数列还是递减数列?
请说明理由.
解:数列{xn}是递减数列.
理由如下:∵x1>0,xn+1= ,
∴xn>0.
又∵xn+1-xn= -xn=- <0,
∴数列{xn}是递减数列.
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谢 谢 观 看!