第二课时 等差数列的性质
1.等差数列{an}中a2＝5，a6＝33，则a3＋a5＝（ ）
A.35 B.38
C.45 D.48
2.已知等差数列{an}：1，0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0，20，40，60，…，则数列{an＋bn}是（ ）
A.公差为－1的等差数列
B.公差为20的等差数列
C.公差为－20的等差数列
D.公差为19的等差数列
3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ）
A.1升 B.升
C.升 D.升
4.已知等差数列{an}满足a4＋a5＝24，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝48，则{an}的公差为（ ）
A.1 B.2
C.4 D.8
5.（多选）设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系正确的是（ ）
A.a＝－b B.a＝3b
C.a＝－3b D.a＝b
6.（多选）等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则（ ）
A.公差d＝－4 B.a2＝7
C.数列{an}为递增数列 D.a3＋a4＋a5＝84
7.已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m＝ .
8.如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a4＝ ；a1＋a2＋…＋a7＝ .
9.已知数列{an}满足① k∈N＋，ak＋1＞ak；② k∈N＋，｜ak＋1－ak｜≤2，请写出一个满足条件的数列的通项公式 （答案不唯一）.
10.有一批豆浆机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位购买一批此类豆浆机，问去哪家商场买花费较少.
11.（多选）在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k（k∈N＋）个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.若b9是数列{an}的项，则k的值可能为（ ）
A.1 B.3
C.5 D.7
12.已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a7＋a9＝ ，若ak＝13，则k＝ .
13.已知等差数列{an}的公差大于零，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn＝，是否存在非零实数c，使数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数c的值；若不存在，请说明理由.
14.已知{an}是公差为正数的等差数列，a1＋a2＋a3＝15，a1·a2·a3＝80，则a11＋a12＋a13的值为（ ）
A.105 B.120
C.90 D.75
15.已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}.
（1）求b1和b2；
（2）求{bn}的通项公式；
（3）{bn}中的第503项是{an}中的第几项？
第二课时 等差数列的性质
1.B 由等差数列的性质知a3＋a5＝a2＋a6＝38.
2.D （a2＋b2）－（a1＋b1）＝（a2－a1）＋（b2－b1）＝－1＋20＝19.
3.B 设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有即化简得解得则a5＝a1＋4d＝，故第5节的容积为升.
4.C 因为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝48，所以3（a3＋a4）＝48，即a3＋a4＝16， ①
又因为a4＋a5＝24. ②
②－①得a5－a3＝8，故d＝＝4.
5.AB 由等差中项的定义知：x＝，x2＝，∴＝，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.
6.BC ∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7.∵a1＝3，∴d＝4.∴数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15.∴a3＋a4＋a5＝3a4＝45.故选B、C.
7.8 解析：因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.
8.4 28 解析：由a3＋a4＋a5＝3a4＝12，所以a4＝4，a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.
9.an＝n（n∈N＋） 解析： k∈N＋，ak＋1＞ak，说明数列是递增数列，由 k∈N＋，｜ak＋1－ak｜＜2，不妨设该数列为等差数列，公差为1，首项为1，所以an＝n.
10.解：设单位需购买豆浆机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列.设该数列为{an}.
an＝780＋（n－1）（－20）＝800－20n，
解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18.
当购买台数小于等于18台时，每台售价为（800－20n）元，当台数大于18台时，每台售价为440元.
到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600（元）.
作差（800－20n）n－600n＝20n（10－n），
当n＜10时，600n＜（800－20n）n，
当n＝10时，600n＝（800－20n）n，
当10＜n≤18时，（800－20n）n＜600n，
当n＞18时，440n＜600n.
即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少.
11.ABD 由题意得：插入k（k∈N＋）个数，则a1＝b1，a2＝bk＋2，a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4，…，所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列，且下角标是以1为首项，k＋1为公差的等差数列，所以an＝b1＋（n－1）（k＋1），因为b9是数列{an}的项，所以令1＋（n－1）（k＋1）＝9，n∈N＋，k∈N＋，当n＝2时，解得k＝7，当n＝3时，解得k＝3，当n＝5时，解得k＝1，故k的值可能为1，3，7，故选A、B、D.
12. 18 解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝.∵a4＋a5＋…＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7，∴a7＋a9＝，设公差为d，则d＝.∴ak－a9＝（k－9）d，即13－7＝（k－9）×，解得k＝18.
13.解：（1）因为数列{an}为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.
又a3·a4＝117，所以得
解得或又公差d＞0，所以a3＜a4，
所以所以解得
所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3.
（2）若bn＝为等差数列，则必有2b2＝b1＋b3，
又b1＝，b2＝，b3＝，其中c≠0，
所以×2＝＋，所以2c2＋c＝0，所以c＝－或c＝0（舍去）.将c＝－代入bn＝，得bn＝2n，此时{bn}为等差数列，即存在非零实数c＝－，使数列{bn}为等差数列.
14.A 由等差数列的性质得a1＋a2＋a3＝3a2＝15，所以a2＝5，又因为a1·a2·a3＝80，所以a1·a3＝16，所以（a2－d）·（a2＋d）＝16，即（5－d）（5＋d）＝16，所以d2＝9，又因为d＞0，所以d＝3.所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3（a2＋10d）＝3×（5＋10×3）＝105.
15.解：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{an}是等差数列，则{bn}也是等差数列.
（1）因为a1＝3，d＝－5，
所以an＝3＋（n－1）×（－5）＝8－5n.
数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，
所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
（2）设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am，
则m＝3＋4（n－1）＝4n－1，
所以bn＝am＝a4n－1＝8－5×（4n－1）＝13－20n，
即{bn}的通项公式为bn＝13－20n（n∈N＋）.
（3）b503＝13－20×503＝－10 047，
设它是{an}中的第m项，则－10 047＝8－5m，
解得m＝2 011，
即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项.
2 / 2第二课时 等差数列的性质
新课程标准解读 核心素养
1.掌握等差中项的定义，会利用等差中项解决相关的问题 数学抽象
2.理解并掌握等差数列的性质及数列在实际问题中的应用 数学运算、数学建模
如图，第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球.
【问题】 （1）每隔一层的球数有什么规律？
（2）每隔二层呢？每隔三层呢？
知识点一 等差中项
如果x，A，y是等差数列，那么称 为x与y的等差中项，根据等差中项与等差数列的定义可知，A＝ .
【想一想】
1.任何两个实数都有等差中项吗？
2.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列吗？
1.645和897的等差中项为 .
2.已知数列{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝ .
知识点二 等差数列的性质
1.等差数列通项公式的推广
通项公式 通项公式的推广
an＝a1＋（n－1）d （揭示首末两项的关系） an＝am＋（n－m）d （揭示任意两项之间的关系）
2.等差数列的性质
（1）如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ .
①特别地，当p＋q＝2s时，ap＋aq＝ ；
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
（2）若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}（c为任一常数）是公差为 的等差数列；
②{can}（c为任一常数）是公差为 的等差数列；
③{an＋an＋k}（k为常数，k∈N＋）是公差为 的等差数列.
（3）若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}（p，q为常数）是公差为 的等差数列.
【想一想】
下列说法是否正确？并说明理由.
（1）若{an}是等差数列，则{｜an｜}也是等差数列；
（2）若{｜an｜}是等差数列，则{an}也是等差数列；
（3）若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2；
（4）数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等.
1.在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a4＋a9＝（ ）
A.32 B.21 C.－33 D.29
2.在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝（ ）
A.90 B.270 C.180 D.360
3.在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为 .
题型一 等差中项的应用
【例1】 （1）在△ABC中，若角B是A与C的等差中项，则cos B＝（ ）
A. B.－
C. D.－
（2）若是与的等差中项，求证：，，成等差数列.
尝试解答
通性通法
a，b，c成等差数列的充要条件是b＝（或2b＝a＋c），可利用此关系进行等差数列的判断或有关等差中项的计算.如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2（n∈N＋）.
【跟踪训练】
1.已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（ ）
A.2 B.3
C.6 D.9
2.若，，是等差数列，求证：b2是a2与c2的等差中项.
题型二 等差数列性质的应用
【例2】 （1）已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝（ ）
A.30 B.15
C.5 D.10
（2）设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝（ ）
A.0 B.37
C.100 D.－37
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）若本例（1）中的条件“a2＋a4＝6”变为“a1＋a5＝6”，其他条件不变，结论又如何呢？
2.（变设问）若本例（2）条件不变，令cn＝an＋bn，求数列{cn}的通项公式.
通性通法
1.本例（1）的求解主要用到了等差数列的性质：若s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq.
对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立.例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.
2.本例（2）应用了等差数列的性质：若{an}，{bn}是等差数列，则{an＋bn}也是等差数列.灵活运用等差数列的某些性质，可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力，应注意加强这方面的训练.
【跟踪训练】
1.已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为（ ）
A.10 B.－10
C.15 D.－15
2.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝ .
题型三 等差数列的实际应用
【例3】 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
尝试解答
通性通法
解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点
（1）解决等差数列实际应用问题的基本步骤：①将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化成数学问题；②构建等差数列模型，由条件确定a1，d，n，an（或其中两个）；③利用通项公式或等差数列的性质求解等差数列问题；④将所求结果还原到实际问题中.
（2）在解决与等差数列有关的实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键点.
【跟踪训练】
现有一古题：“今有金棰，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何.”大致意思是：“现有一根金棰，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，问中间三尺共重多少斤.”若从头到尾，该金棰每一尺的质量构成等差数列，则该问题的答案为（ ）
A.6斤 B.7斤
C.8斤 D.9斤
1.（多选）在等差数列{an}中，a2＝2，a8＝6，则a2与a8的等差中项是（ ）
A.a5 B.a4
C.3 D.4
2.在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝（ ）
A.12 B.16
C.20 D.24
3.若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为（ ）
A.26 B.29
C.39 D.52
4.在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则4 km高度的气温是 ℃.
5.已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式.
第二课时 等差数列的性质
【基础知识·重落实】
知识点一
A
想一想
1.提示：任何两个实数都有等差中项.
2.提示：若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列.
自我诊断
1.771 解析：＝771.
2.1 解析：∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝d，a3－a2＝d，两式相加得a3－a1＝2d，又a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，∴a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减可得a3－a1＝4－2，则2d＝4－2，解得d＝1.
知识点二
2.（1）ap＋aq ①2as （2）①d ②cd ③2d （3）pd1＋qd2
想一想
提示：（1）错误.如－2，－1，0，1，2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列.
（2）错误.如数列－1，2，－3，4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列.
（3）正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2成立.
（4）正确.因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.
自我诊断
1.B 由等差数列的性质知a4＋a9＝a5＋a8＝21.
2.C 因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，
所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.
3.30 解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，
∴a8＝30.∴2a9－a10＝（a8＋a10）－a10＝a8＝30.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）A ∵角B是A与C的等差中项，
∴2B＝A＋C，又∵A＋C＋B＝π，
∴3B＝π，即B＝.∴cos B＝.
（2）证明：∵是与的等差中项，
∴＝＋，即2ac＝b（a＋c）.
∵＋＝＝
＝＝＝，
∴是与的等差中项，
∴，，成等差数列.
跟踪训练
1.B 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.所以m和n的等差中项为＝3.
2.证明：由已知得＋＝，通分有＝.
进一步变形有2（b＋c）（a＋b）＝（2b＋a＋c）（a＋c），整理得a2＋c2＝2b2，
所以b2是a2与c2的等差中项.
【例2】 （1）B （2）C 解析：（1）∵数列{an}为等差数列，
∴a2＋a4＝2a3＝6，∴a3＝3.
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝15.
（2）设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，
则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，
c2＝a2＋b2＝100，
∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0，
∴c37＝100，即a37＋b37＝100.
母题探究
1.解：由等差数列的性质知，
a1＋a5＝2a3，∴a3＝＝＝3，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝（a1＋a5）＋（a2＋a4）＋a3＝2a3＋2a3＋a3＝5a3＝15.
2.解：由等差数列的性质知{cn}也是等差数列，
且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，
∴公差d＝c2－c1＝0，
∴cn＝c1＋（n－1）d＝100.
跟踪训练
1.B 法一 设等差数列{an}的公差为d，则30＝（a1＋3d）＋（a1＋6d）＋（a1＋9d）＝3a1＋18d，即a1＋6d＝10.a3－2a5＝（a1＋2d）－2（a1＋4d）＝－a1－6d＝－10.
法二 由等差数列的性质知30＝a4＋a7＋a10＝3a7，则a7＝10.a3－2a5＝a3－（a3＋a7）＝－a7＝－10.
2.180 解析：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴（a3＋a7）＋（a4＋a6）＋a5＝5a5＝450，解得a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.
【例3】 解：设从第一年起，第n年的利润为an万元，
则a1＝200，an＋1－an＝－20（n∈N＋），
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an＝a1＋（n－1）d＝200＋（n－1）×（－20）＝220－20n.
若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损.
∴由an＝220－20n＜0，得n＞11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
跟踪训练
D 设每一尺的重量构成等差数列{an}，由题意知，a1＝4，a5＝2，∴2a3＝a1＋a5＝6，即a3＝3，∴a2＋a3＋a4＝3a3＝9.
随堂检测
1.AD ∵a2＋a8＝2a5，∴a5是a2与a8的等差中项.又∵a5＝＝4，∴a2与a8的等差中项为4.
2.B 因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.
3.C 因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39.
4.－11 解析：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n.∴a4＝－11.
5.解：设公差为d，∵a1＋a7＝2a4，
∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15.∴a4＝5.
又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，
即（a4－2d）（a4＋2d）＝9，亦即（5－2d）（5＋2d）＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋（n－4）d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝13－2n.
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第二课时 等差数列的性质
新课程标准解读 核心素养
1.掌握等差中项的定义，会利用等差中项
解决相关的问题 数学抽象
2.理解并掌握等差数列的性质及数列在实
际问题中的应用 数学运算、数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球.
【问题】 （1）每隔一层的球数有什么规律？
（2）每隔二层呢？每隔三层呢？
知识点一 等差中项
如果x，A，y是等差数列，那么称 为x与y的等差中项，根
据等差中项与等差数列的定义可知，A＝ .
A
【想一想】
1. 任何两个实数都有等差中项吗？
提示：任何两个实数都有等差中项.
2. 若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列
吗？
提示：若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c
为等差数列.
1.645和897的等差中项为 .
解析： ＝771.
2. 已知数列{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差
中项为2，则公差d＝ .
解析：∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝d，a3－a2＝d，两式相加
得a3－a1＝2d，又a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，
∴a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减可得a3－a1＝4－2，则2d＝4
－2，解得d＝1.
771
1
知识点二 等差数列的性质
1. 等差数列通项公式的推广
通项公式 通项公式的推广
an＝a1＋（n－1）d （揭示首末两项的关系） an＝am＋（n－m）d
（揭示任意两项之间的关系）
2. 等差数列的性质
（1）如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p
＋q，则as＋at＝ .
①特别地，当p＋q＝2s时，ap＋aq＝ ；
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于
首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
ap＋aq
2as
（2）若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}（c为任一常数）是公差为 的等差数列；
②{can}（c为任一常数）是公差为 的等差数列；
③{an＋an＋k}（k为常数，k∈N＋）是公差为 的等差
数列.
d
cd
2d
（3）若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan
＋qbn}（p，q为常数）是公差为 的等差数列.
pd1＋qd2
【想一想】
下列说法是否正确？并说明理由.
（1）若{an}是等差数列，则{｜an｜}也是等差数列；
提示： 错误.如－2，－1，0，1，2是等差数列，但其绝对
值就不是等差数列.
（2）若{｜an｜}是等差数列，则{an}也是等差数列；
提示： 错误.如数列－1，2，－3，4，－5其绝对值为等差
数列，但其本身不是等差数列.
（3）若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2；
提示： 正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋，
都有2an＋1＝an＋an＋2成立.
（4）数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y
＝3x＋5的图象的斜率相等.
提示： 正确.因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x
＋5的斜率也是3.
1. 在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a4＋a9＝（ ）
A. 32 B. 21
C. －33 D. 29
解析： 由等差数列的性质知a4＋a9＝a5＋a8＝21.
2. 在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝
（ ）
A. 90 B. 270
C. 180 D. 360
解析： 因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所
以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.
3. 在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值
为 .
解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，
∴a8＝30.∴2a9－a10＝（a8＋a10）－a10＝a8＝30.
30
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等差中项的应用
【例1】 （1）在△ABC中，若角B是A与C的等差中项，则 cos B＝
（ ）
A. B. －
C. D. －
解析： ∵角B是A与C的等差中项，∴2B＝A＋C，
又∵A＋C＋B＝π，∴3B＝π，即B＝ .∴ cos B＝ .
（2）若 是 与 的等差中项，求证： ， ， 成等差数
列.
证明：∵ 是 与 的等差中项，
∴ ＝ ＋ ，即2ac＝b（a＋c）.
∵ ＋ ＝ ＝
＝ ＝ ＝ ，
∴ 是 与 的等差中项，
∴ ， ， 成等差数列.
通性通法
a，b，c成等差数列的充要条件是b＝ （或2b＝a＋c），
可利用此关系进行等差数列的判断或有关等差中项的计算.如若证
{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2（n∈N＋）.
【跟踪训练】
1. 已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的
等差中项是（ ）
A. 2 B. 3
C. 6 D. 9
解析： 由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的
等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋
n＝6.所以m和n的等差中项为 ＝3.
2. 若 ， ， 是等差数列，求证：b2是a2与c2的等差中项.
证明：由已知得 ＋ ＝ ，通分有 ＝
.
进一步变形有2（b＋c）（a＋b）＝（2b＋a＋c）（a＋c），
整理得a2＋c2＝2b2，所以b2是a2与c2的等差中项.
题型二 等差数列性质的应用
【例2】 （1）已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4
＋a5＝（ ）
A. 30 B. 15
C. 5 D. 10
解析：∵数列{an}为等差数列，∴a2＋a4＝2a3＝6，∴a3
＝3.∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝15.
（2）设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝
100，则a37＋b37＝（ ）
A. 0 B. 37
C. 100 D. －37
解析：设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也
是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，
∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0，∴c37＝100，即a37＋b37＝100.
【母题探究】
1. （变条件）若本例（1）中的条件“a2＋a4＝6”变为“a1＋a5＝
6”，其他条件不变，结论又如何呢？
解：由等差数列的性质知，
a1＋a5＝2a3，∴a3＝ ＝ ＝3，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝（a1＋a5）＋（a2＋a4）＋a3＝2a3＋2a3
＋a3＝5a3＝15.
2. （变设问）若本例（2）条件不变，令cn＝an＋bn，求数列{cn}的
通项公式.
解：由等差数列的性质知{cn}也是等差数列，
且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，
∴公差d＝c2－c1＝0，∴cn＝c1＋（n－1）d＝100.
通性通法
1. 本例（1）的求解主要用到了等差数列的性质：若s＋t＝p＋q，
则as＋at＝ap＋aq.
对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定
成立.例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1
＋a21＝2a11.
2. 本例（2）应用了等差数列的性质：若{an}，{bn}是等差数列，则
{an＋bn}也是等差数列.灵活运用等差数列的某些性质，可以提高
我们分析、解决数列综合问题的能力，应注意加强这方面的训练.
【跟踪训练】
1. 已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为
（ ）
A. 10 B. －10
C. 15 D. －15
解析： 法一 设等差数列{an}的公差为d，则30＝（a1＋3d）
＋（a1＋6d）＋（a1＋9d）＝3a1＋18d，即a1＋6d＝10.a3－2a5
＝（a1＋2d）－2（a1＋4d）＝－a1－6d＝－10.
法二 由等差数列的性质知30＝a4＋a7＋a10＝3a7，则a7＝10.a3－
2a5＝a3－（a3＋a7）＝－a7＝－10.
2. 在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8
＝ .
解析：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴（a3＋a7）＋（a4＋a6）＋a5＝
5a5＝450，解得a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.
180
题型三 等差数列的实际应用
【例3】 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二
年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按
照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年
起，该公司经销这一产品将亏损？
解：设从第一年起，第n年的利润为an万元，
则a1＝200，an＋1－an＝－20（n∈N＋），
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an＝a1＋（n－1）d＝200＋（n－1）×（－20）＝220－20n.
若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损.
∴由an＝220－20n＜0，得n＞11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
通性通法
解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点
（1）解决等差数列实际应用问题的基本步骤：①将已知条件翻译成
数学语言，将实际问题转化成数学问题；②构建等差数列模
型，由条件确定a1，d，n，an（或其中两个）；③利用通项公
式或等差数列的性质求解等差数列问题；④将所求结果还原到
实际问题中.
（2）在解决与等差数列有关的实际问题时，一定要弄清首项、项数
等关键点.
【跟踪训练】
现有一古题：“今有金棰，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何.”大致意思是：“现有一根金棰，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，问中间三尺共重多少斤.”若从头到尾，该金棰每一尺的质量构成等差数列，则该问题的答案为（ ）
A. 6斤 B. 7斤
C. 8斤 D. 9斤
解析： 设每一尺的重量构成等差数列{an}，由题意知，a1＝4，a5
＝2，∴2a3＝a1＋a5＝6，即a3＝3，∴a2＋a3＋a4＝3a3＝9.
1. （多选）在等差数列{an}中，a2＝2，a8＝6，则a2与a8的等差中项
是（ ）
A. a5 B. a4
C. 3 D. 4
解析： ∵a2＋a8＝2a5，∴a5是a2与a8的等差中项.又∵a5＝
＝4，∴a2与a8的等差中项为4.
2. 在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝（ ）
A. 12 B. 16
C. 20 D. 24
解析： 因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.
3. 若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为（ ）
A. 26 B. 29
C. 39 D. 52
解析： 因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等
差中项，也是5，21的等差中项，所以x＋z＝2y，5＋21＝2y，所
以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39.
4. 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下
降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气
温是－17.5 ℃，则4 km高度的气温是 ℃.
解析：用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝
8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－
6.5，∴an＝15－6.5n.∴a4＝－11.
－11
5. 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的
通项公式.
解：设公差为d，∵a1＋a7＝2a4，
∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15.
∴a4＝5.
又∵a2a4a6＝45，
∴a2a6＝9，
即（a4－2d）（a4＋2d）＝9，亦即（5－2d）（5＋2d）＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋（n－4）d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝13－2n.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 等差数列{an}中a2＝5，a6＝33，则a3＋a5＝（ ）
A. 35 B. 38
C. 45 D. 48
解析： 由等差数列的性质知a3＋a5＝a2＋a6＝38.
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2. 已知等差数列{an}：1，0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0，
20，40，60，…，则数列{an＋bn}是（ ）
A. 公差为－1的等差数列
B. 公差为20的等差数列
C. 公差为－20的等差数列
D. 公差为19的等差数列
解析： （a2＋b2）－（a1＋b1）＝（a2－a1）＋（b2－b1）＝
－1＋20＝19.
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3. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各
节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4
升，则第5节的容积为（ ）
A. 1升 B. 升
C. 升 D. 升
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解析： 设所构成的等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有
即化简得
解得则a5＝a1＋4d＝ ，故第5节的容
积为 升.
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4. 已知等差数列{an}满足a4＋a5＝24，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝
48，则{an}的公差为（ ）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
解析： 因为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝48，所以3（a3＋a4）＝
48，即a3＋a4＝16， ①
又因为a4＋a5＝24. ②
②－①得a5－a3＝8，故d＝ ＝4.
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5. （多选）设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则
a，b的关系正确的是（ ）
A. a＝－b B. a＝3b
C. a＝－3b D. a＝b
解析： 由等差中项的定义知：x＝ ，x2＝ ，∴
＝ ，即a2－2ab－3b2＝0.
故a＝－b或a＝3b.
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6. （多选）等差数列{an}中，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则（ ）
A. 公差d＝－4
B. a2＝7
C. 数列{an}为递增数列
D. a3＋a4＋a5＝84
解析： ∵a1＋a2＋a3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7.∵a1＝3，
∴d＝4.∴数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15.∴a3＋a4＋a5
＝3a4＝45.故选B、C.
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7. 已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝
32，若am＝8，则m＝ .
解析：因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.
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8. 如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a4＝ ；a1＋a2
＋…＋a7＝ .
解析：由a3＋a4＋a5＝3a4＝12，所以a4＝4，a1＋a2＋…＋a7＝7a4
＝28.
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9. 已知数列{an}满足① k∈N＋，ak＋1＞ak；② k∈N＋，｜ak＋1－
ak｜≤2，请写出一个满足条件的数列的通项公式
（答案不唯一）.
解析： k∈N＋，ak＋1＞ak，说明数列是递增数列，由 k∈N
＋，｜ak＋1－ak｜＜2，不妨设该数列为等差数列，公差为1，首项
为1，所以an＝n.
an＝n（n∈N
＋）
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10. 有一批豆浆机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有
销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单
价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20
元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销
售.某单位购买一批此类豆浆机，问去哪家商场买花费较少.
解：设单位需购买豆浆机n台，在甲商场购买每台售价不低于440
元，售价依台数n成等差数列.设该数列为{an}.
an＝780＋（n－1）（－20）＝800－20n，
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解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18.
当购买台数小于等于18台时，每台售价为（800－20n）元，当台
数大于18台时，每台售价为440元.
到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600（元）.
作差（800－20n）n－600n＝20n（10－n），
当n＜10时，600n＜（800－20n）n，
当n＝10时，600n＝（800－20n）n，
当10＜n≤18时，（800－20n）n＜600n，
当n＞18时，440n＜600n.
即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买
花费相同，当购买多于10台时到甲商场购买花费较少.
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11. （多选）在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k（k∈N＋）
个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.若b9
是数列{an}的项，则k的值可能为（ ）
A. 1 B. 3
C. 5 D. 7
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解析： 由题意得：插入k（k∈N＋）个数，则a1＝b1，a2
＝bk＋2，a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4，…，所以等差数列{an}中的项在
新的等差数列{bn}中间隔排列，且下角标是以1为首项，k＋1为
公差的等差数列，所以an＝b1＋（n－1）（k＋1），因为b9是数列{an}
的项，所以令1＋（n－1）（k＋1）＝9，n∈N＋，k∈N＋，当n
＝2时，解得k＝7，当n＝3时，解得k＝3，当n＝5时，解得k＝
1，故k的值可能为1，3，7，故选A、B、D.
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12. 已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…
＋a12＋a13＋a14＝77，则a7＋a9＝ ，若ak＝13，则k
＝ .
解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝ .∵a4＋a5＋…＋a14＝
11a9＝77，∴a9＝7，∴a7＋a9＝ ，设公差为d，则d＝ .∴ak
－a9＝（k－9）d，即13－7＝（k－9）× ，解得k＝18.
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13. 已知等差数列{an}的公差大于零，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝
22.
（1）求数列{an}的通项公式；
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解：因为数列{an}为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.
又a3·a4＝117，所以得
解得或又公差d＞0，所以a3＜a4，
所以所以解得
所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3.
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（2）若数列{bn}满足bn＝ ，是否存在非零实数c，使数列
{bn}为等差数列？若存在，求出实数c的值；若不存在，请
说明理由.
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解： 若bn＝ 为等差数列，则必有2b2＝b1＋b3，
又b1＝ ，b2＝ ，b3＝ ，其中c≠0，
所以 ×2＝ ＋ ，所以2c2＋c＝0，所以c＝－ 或c
＝0（舍去）.将c＝－ 代入bn＝ ，得bn＝2n，此时
{bn}为等差数列，即存在非零实数c＝－ ，使数列{bn}为
等差数列.
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14. 已知{an}是公差为正数的等差数列，a1＋a2＋a3＝15，a1·a2·a3＝
80，则a11＋a12＋a13的值为（ ）
A. 105 B. 120
C. 90 D. 75
解析： 由等差数列的性质得a1＋a2＋a3＝3a2＝15，所以a2＝
5，又因为a1·a2·a3＝80，所以a1·a3＝16，所以（a2－d）·（a2＋
d）＝16，即（5－d）（5＋d）＝16，所以d2＝9，又因为d＞
0，所以d＝3.所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3（a2＋10d）＝3×（5
＋10×3）＝105.
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15. 已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出
序号能被4除余3的项组成数列{bn}.
（1）求b1和b2；
解：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为
首项，4为公差的等差数列，由于{an}是等差数列，则{bn}
也是等差数列.
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因为a1＝3，d＝－5，
所以an＝3＋（n－1）×（－5）＝8－5n.
数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第
11项，…，
所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
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（2）求{bn}的通项公式；
解：设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am，
则m＝3＋4（n－1）＝4n－1，
所以bn＝am＝a4n－1＝8－5×（4n－1）＝13－20n，
即{bn}的通项公式为bn＝13－20n（n∈N＋）.
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解： b503＝13－20×503＝－10 047，
设它是{an}中的第m项，则－10 047＝8－5m，
解得m＝2 011，
即{bn}中的第503项是{an}中的第2 011项.
（3）{bn}中的第503项是{an}中的第几项？
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