第一课时 等差数列的定义
1.下列说法正确的为（ ）
A.若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
2.在数列{an}中，a1＝3，a10＝21，已知an＝pn＋q（p，q为常数），则a2 025＝（ ）
A.4 048 B.4 049
C.4 050 D.4 051
3.若等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝（ ）
A.50 B.51 C.52 D.53
4.《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱？”.则第4人所得钱数为（ ）
A.钱 B.钱
C.钱 D.1钱
5.（多选）若数列{an}满足a1＝1，3an＋1＝3an＋1，n∈N＋，则数列{an}是（ ）
A.公差为1的等差数列
B.公差为的等差数列
C.通项公式为an＝＋的等差数列
D.通项公式为an＝＋1的等差数列
6.（多选）若等差数列{an}和{bn}的公差均为d（d≠0），则下列数列中是等差数列的是（ ）
A.{λan}（λ为常数） B.{an＋bn}
C.{－} D.{anbn}
7.在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a1＝ ，a6＝ .
8.写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项”的等差数列an＝ .
9.数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列.若an＝bn，则n的值为 .
10.已知等差数列{an}：3，7，11，15，….
（1）135，4m＋19（m∈N＋）是数列{an}中的项吗？试说明理由；
（2）若ap，aq（p，q∈N＋）是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由.
11.（多选）如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则（ ）
A.a3a6＞a4a5 B.a3a6＜a4a5
C.a3＋a6＝a4＋a5 D.a3a6＝a4a5
12.如果有穷数列a1，a2，…，am（m∈N＋）满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，那么称其为“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝ .
13.已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
（1）设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
14.我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷（ɡuǐ）长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸.意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为99分；且“冬至”时日影长度最大，为1 350分；“夏至”时日影长度最小，为160分.则“立春”时日影长度为（ ）
A.953分 B.1 052分
C.1 151分 D.1 250分
15.数列{an}满足a1＝2，an＋1＝（λ－3）an＋2n（n∈N＋）.
（1）当a2＝－1时，求λ及a3的值；
（2）是否存在实数λ，使数列{an}为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由.
第一课时 等差数列的定义
1.C 由等差数列的定义可知A、B、D均错误，只有选项C正确.
2.D 法一 根据题意可知数列{an}为等差数列，且公差d＝＝2，故a2 025＝a1＋（2 025－1）d＝3＋2 024×2＝4 051.
法二 由题易得数列{an}为等差数列，则＝，解得a2 025＝4 051.
3.D 设公差为d，依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝，得d＝.所以an＝a1＋（n－1）d＝＋（n－1）×＝n－，令an＝35，解得n＝53.
4.C 设从前到后的5个人所得钱数构成首项为a1，公差为d的等差数列{an}，则有a1＋a2＝a3＋a4＋a5，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5，故解得则a4＝a1＋3d＝－＝.故选C.
5.BC 由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝.所以数列{an}是公差为的等差数列.又因为a1＝1，得到an＝1＋（n－1）×＝＋，故选B、C.
6.ABC 对于A，由λan＋1－λan＝λ（an＋1－an）＝λd，为常数，知数列{λan}是等差数列；对于B，由an＋1＋bn＋1－（an＋bn）＝（an＋1－an）＋（bn＋1－bn）＝2d，为常数，知数列{an＋bn}是等差数列；对于C，由－－（－）＝（an＋1－an）·（an＋1＋an）－（bn＋1－bn）（bn＋1＋bn）＝d[2a1＋（2n－1）d]－d[2b1＋（2n－1）d]＝2d（a1－b1），为常数，知数列{－}是等差数列；对于D，由an＋1bn＋1－anbn＝（an＋d）·（bn＋d）－anbn＝d2＋d（an＋bn），不为常数，知数列{anbn}不是等差数列.
7.3 13 解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得∴an＝a1＋（n－1）d＝3＋（n－1）×2＝2n＋1.∴a6＝2×6＋1＝13.
8.2n－6（答案不唯一） 解析：要满足“前3项之和小于第3项”，则a1＋a2＋a3＜a3，即a1＋a2＜0，则不妨设a1＝－4，a2＝－2，则an＝－4＋（n－1）×2＝2n－6.
9.5 解析：an＝2＋（n－1）×3＝3n－1，bn＝－2＋（n－1）×4＝4n－6，令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5.
10.解：因为a1＝3，d＝4，
所以an＝a1＋（n－1）d＝4n－1.
（1）令an＝4n－1＝135，所以n＝34，
所以135是数列{an}中的第34项.
令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N＋.
所以4m＋19是{an}中的第m＋5项.
（2）因为ap，aq是{an}中的项，
所以ap＝4p－1，aq＝4q－1.
所以2ap＋3aq＝2（4p－1）＋3（4q－1）
＝8p＋12q－5＝4（2p＋3q－1）－1，
因为2p＋3q－1∈N＋，
所以2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项.
11.BC 设公差为d，由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝（a1＋2d）（a1＋5d）＝＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝＋7a1d＋12d2，显然a3a6－a4a5＝－2d2＜0，故选B、C.
12.19 解析：因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝1＋9×2＝19.又因为数列{cn}为21项的“对称”数列，所以c2＝c20＝19.
13.解：（1）证明：因为an＋1＝2an＋2n，所以＝＝＋1，所以－＝1，n∈N＋.
又因为bn＝，所以bn＋1－bn＝1.所以数列{bn}是等差数列，其首项b1＝1，公差为1.
（2）由（1）知bn＝1＋（n－1）×1＝n，
所以an＝2n－1bn＝n·2n－1.
14.B 一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为99分，且“冬至”时日影长度最大，为1 350分；“夏至”时日影长度最小，为160分.从“冬至”到“立春”有：“小寒”和“大寒”，且日影长变短，所以“立春”时日影长度为：1 350＋×3＝1 052（分）.
15.解：（1）∵a1＝2，a2＝－1，a2＝（λ－3）a1＋2，∴λ＝.
∴a3＝－a2＋22，∴a3＝.
（2）不存在实数λ使数列成等差数列.
理由如下：∵a1＝2，an＋1＝（λ－3）an＋2n，
∴a2＝（λ－3）a1＋2＝2λ－4.
a3＝（λ－3）a2＋4＝2λ2－10λ＋16.
若数列{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1.
即λ2－7λ＋13＝0.
∵Δ＝49－4×13＜0，∴方程无实数解.
∴不存在实数λ使数列{an}成等差数列.
2 / 2第一课时 等差数列的定义
新课程标准解读 核心素养
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义 数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题 逻辑推理、数学运算
3.体会等差数列与一元一次函数的关系 数学抽象
观察下列现实生活中的数列：
（1）全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（单位：cm）由大至小可组成数列
25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5，21.①
（2）某住宅小区2020～2024年的绿化建设有如下数据：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
绿化覆盖率/% 15.8 17.8 19.8 21.8 23.8
2020～2024年各年的绿化覆盖率组成数列
15.8%，17.8%，19.8%，21.8%，23.8%. ②
（3）某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3 min，收话费0.2元，以后每分钟（不足1 min按1 min计）收话费0.1元.那么通话费按从小到大的次序依次组成数列
0.2，0.2＋0.1，0.2＋0.1×2，0.2＋0.1×3，…. ③
【问题】 以上数列有什么共同的特点？
知识点一 等差数列的定义
如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于 常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中 称为等差数列的公差.
【想一想】
1.若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列吗？
2.将有穷等差数列{an}的所有项倒序排列，所成数列仍是等差数列吗？如果是，公差是什么？如果不是，请说明理由.
（多选）下列数列中是等差数列的有（ ）
A.－10，－12，－14，－16，－18
B.－2，－1，0，1，2
C.5，8，11，14
D.1，2，2，2，2
知识点二 等差数列的通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
递推公式 通项公式
＝d（n≥2） an＝ （n∈N＋）
【想一想】
1.等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？
2.等差数列的单调性与公差有何关系？
3.等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d是什么函数模型？
1.已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于（ ）
A.4－2n B.2n－4
C.6－2n D.2n－6
2.在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝（ ）
A.1 B.－1
C.±1 D.±2
题型一 等差数列的判断
【例1】 已知数列{an}的通项公式如下，分别判断数列{an}是否为等差数列：
（1）an＝4－2n；（2）an＝（3）an＝n2＋n.
尝试解答
通性通法
定义法判断数列{an}是否为等差数列的步骤
判断数列{an}是否为等差数列，主要是利用等差数列的定义，即验证其通项是否满足an＋1－an＝d（n∈N＋）.具体步骤为：
（1）作差an＋1－an，并对上式进行变形；
（2）若an＋1－an是常数（即一个与n无关的数），则数列{an}是等差数列，否则数列{an}不是等差数列.
【跟踪训练】
在数列{an}，{bn}中，已知a1＝，且2an＋1＝an＋，bn＝2nan，求证：数列{bn}为等差数列.
题型二 等差数列的通项公式及应用
【例2】 （1）在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；
（2）已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）本例（1）中条件变为“a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28”问题不变.
通性通法
1.应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想.一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式.
2.若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用an＝am＋（n－m）d较为简捷.
【跟踪训练】
在等差数列{an}中.
（1）已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
（2）已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
题型三 灵活设元求解等差数列
【例3】 （1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；
（2）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数.
尝试解答
通性通法
常见设元技巧
（1）某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为a－d，a＋d，公差为2d；
（2）三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a＋d，公差为d；
（3）四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.
【跟踪训练】
已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数.
1.（多选）下列数列中，是等差数列的是（ ）
A.1，4，7，10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2
2.已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与公差分别是（ ）
A.1，4 B.－1，－4
C.4，1 D.－4，－1
3.在等差数列{an}中，已知a4＝10，a14＝70，则an＝ .
4.若数列{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，如果an＝2 023，则n＝ .
5.已知数列{an}满足a1＝1.若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝ .
第一课时 等差数列的定义
【基础知识·重落实】
知识点一
同一个 d
想一想
1.提示：不一定.必须是同一个常数.即全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.
2.提示：不妨设{an}为a，a＋d，a＋2d，a＋3d，a＋4d，…，a＋nd，则所有项倒序排列所成数列为数列{bn}：a＋nd，…，a＋4d，a＋3d，a＋2d，a＋d，a.{bn}仍是等差数列，且公差是－d.
自我诊断
ABC A中数列的公差为－2，是等差数列；B中数列的公差为1，是等差数列；C中数列的公差为3，是等差数列；D中，2－1＝1，2－2＝0，差不是同一个常数，因此该数列不是等差数列.
知识点二
an－an－1 a1＋（n－1）d
想一想
1.提示：由等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d可得an＝dn＋（a1－d），如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数.当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列.
2.提示：当d＞0时是递增数列，当d＜0时是递减数列，当d＝0时是常数列.
3.提示：d≠0时，一次函数；d＝0时，常数函数.
自我诊断
1.C ∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋（n－1）×（－2）＝6－2n.
2.C 由已知得解得d＝±1.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）∵an＝4－2n，∴an＋1＝4－2（n＋1）＝2－2n.
∴an＋1－an＝（2－2n）－（4－2n）＝－2.
故数列{an}是等差数列.
（2）由通项公式可知，当n≥3时，显然an－an－1＝1，即数列从第3项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，即a3－a2＝a4－a3＝…＝1，但a2－a1＝0，因此数列{an}不是等差数列.
（3）∵an＋1－an＝（n＋1）2＋（n＋1）－（n2＋n）＝2n＋2，不是常数，故数列{an}不是等差数列.
跟踪训练
证明：法一 由2an＋1＝an＋得an＋1＝an＋，所以bn＋1－bn＝2n＋1an＋1－2nan＝2n＋1－2nan＝1，即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列.
法二 在2an＋1＝an＋的两边同时乘以2n得2n＋1an＋1＝2nan＋1，即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列.
【例2】 解：（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，
∵a4＝7，a10＝25，
则得
∴an＝－2＋（n－1）×3＝3n－5，
∴通项公式an＝3n－5（n∈N＋）.
（2）设等差数列的首项为a1，公差为d，
由得
解得a1＝，d＝－.
∴a15＝a1＋（15－1）d＝＋14×＝－.
母题探究
解：设{an}的首项为a1，公差为d，则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4，∴a1＝4－7d.
代入a3a8a13＝28，整理得（4－5d）×4×（4＋5d）＝28，
解得d＝±.
当d＝时，a1＝－，an＝n－；
当d＝－时，a1＝，an＝－n＋.
跟踪训练
解：（1）∵a5＝－1，a8＝2，
∴解得
（2）设数列{an}的公差为d.
由已知得解得
∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1，∴a9＝2×9－1＝17.
【例3】 解：（1）设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则
解得∴这三个数为4，3，2.
（2）法一 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（公差为2d），依题意，2a＝2，且（a－3d）（a＋3d）＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又∵四个数成递增等差数列，∴d＞0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4.
法二 若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d（公差为d），
依题意，2a＋3d＝2，且a（a＋3d）＝－8，
把a＝1－d代入a（a＋3d）＝－8，
得＝－8，
即1－d2＝－8，
化简得d2＝4，∴d＝2或d＝－2.
又∵四个数成递增等差数列，∴d＞0，∴d＝2，a＝－2.
故所求的四个数为－2，0，2，4.
跟踪训练
解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（公差为2d）.
由题设知
解得或
故这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.
随堂检测
1.ABD 根据等差数列的定义，可得：A中，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列；
B中，满足lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2（常数），所以是等差数列；
C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；
D中，满足8－10＝6－8＝4－6＝2－4＝－2（常数），所以是等差数列.故选A、B、D.
2.B 因为当n＝1时，a1＝－1，当n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4.
3.6n－14 解析：法一 设公差为d，则解得所以an＝a1＋（n－1）d＝6n－14.
法二 设公差为d，则d＝＝＝6，an＝a4＋（n－4）·d＝10＋6（n－4）＝6n－14.
4.675 解析：令1＋3（n－1）＝2 023，解得n＝675.
5.n2 解析：由点在直线x－y＋1＝0上，得－＋1＝0，即－＝1，∴数列为等差数列，且公差d＝1.又＝1，∴＝1＋（n－1）×1＝n，即an＝n2.
3 / 3(共62张PPT)
第一课时 等差数列的定义
新课程标准解读 核心素养
1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项
公式的意义 数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，
并解决相应的问题 逻辑推理、数学
运算
3.体会等差数列与一元一次函数的关系 数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
观察下列现实生活中的数列：
（1）全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（单位：cm）由大
至小可组成数列
25，24.5，24，23.5，23，22.5，22，21.5，21. ①
（2）某住宅小区2020～2024年的绿化建设有如下数据：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
绿化覆盖率/% 15.8 17.8 19.8 21.8 23.8
2020～2024年各年的绿化覆盖率组成数列
15.8%，17.8%，19.8%，21.8%，23.8%. ②
（3）某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3 min，收
话费0.2元，以后每分钟（不足1 min按1 min计）收话费0.1元.那么通
话费按从小到大的次序依次组成数列
0.2，0.2＋0.1，0.2＋0.1×2，0.2＋0.1×3，…. ③
【问题】 以上数列有什么共同的特点？
知识点一 等差数列的定义
如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于
常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其
中 称为等差数列的公差.
同一
个
d
【想一想】
1. 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个
数列是等差数列吗？
提示：不一定.必须是同一个常数.即全部的后项减去前一项都等于
同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.
2. 将有穷等差数列{an}的所有项倒序排列，所成数列仍是等差数列
吗？如果是，公差是什么？如果不是，请说明理由.
提示：不妨设{an}为a，a＋d，a＋2d，a＋3d，a＋4d，…，a
＋nd，则所有项倒序排列所成数列为数列{bn}：a＋nd，…，a＋
4d，a＋3d，a＋2d，a＋d，a.{bn}仍是等差数列，且公差是
－d.
（多选）下列数列中是等差数列的有（ ）
A. －10，－12，－14，－16，－18
B. －2，－1，0，1，2
C. 5，8，11，14
D. 1，2，2，2，2
解析：ABC A中数列的公差为－2，是等差数列；B中数列的公差为
1，是等差数列；C中数列的公差为3，是等差数列；D中，2－1＝1，2
－2＝0，差不是同一个常数，因此该数列不是等差数列.
知识点二 等差数列的通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
递推公式 通项公式
＝d（n≥2） an＝
（n∈N＋）
an－an－1
a1＋（n－1）d
【想一想】
1. 等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？
提示：由等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d可得an＝dn＋
（a1－d），如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中
p，q是常数.当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p＝0时，an
＝q，等差数列为常数列.
2. 等差数列的单调性与公差有何关系？
提示：当d＞0时是递增数列，当d＜0时是递减数列，当d＝0时是
常数列.
3. 等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d是什么函数模型？
提示：d≠0时，一次函数；d＝0时，常数函数.
1. 已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等
于（ ）
A. 4－2n B. 2n－4
C. 6－2n D. 2n－6
解析：C ∵a1＝4，d＝－2，∴an＝4＋（n－1）×（－2）＝6
－2n.
2. 在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝（ ）
A. 1 B. －1
C. ±1 D. ±2
解析：C 由已知得解得d＝±1.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等差数列的判断
【例1】 已知数列{an}的通项公式如下，分别判断数列{an}是否为
等差数列：
（1）an＝4－2n；（2）an＝（3）an＝n2＋n.
解：（1）∵an＝4－2n，
∴an＋1＝4－2（n＋1）＝2－2n.
∴an＋1－an＝（2－2n）－（4－2n）＝－2.
故数列{an}是等差数列.
（2）由通项公式可知，当n≥3时，显然an－an－1＝1，即数列
从第3项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，即a3－a2＝
a4－a3＝…＝1，但a2－a1＝0，因此数列{an}不是等差数列.
（3）∵an＋1－an＝（n＋1）2＋（n＋1）－（n2＋n）＝2n＋
2，不是常数，故数列{an}不是等差数列.
通性通法
定义法判断数列{an}是否为等差数列的步骤
判断数列{an}是否为等差数列，主要是利用等差数列的定义，即
验证其通项是否满足an＋1－an＝d（n∈N＋）.具体步骤为：
（1）作差an＋1－an，并对上式进行变形；
（2）若an＋1－an是常数（即一个与n无关的数），则数列{an}是等差
数列，否则数列{an}不是等差数列.
【跟踪训练】
在数列{an}，{bn}中，已知a1＝ ，且2an＋1＝an＋ ，bn＝
2nan，求证：数列{bn}为等差数列.
证明：法一 由2an＋1＝an＋ 得an＋1＝ an＋ ，所以bn＋1
－bn＝2n＋1an＋1－2nan＝2n＋1 －2nan＝1，即bn＋1－bn
＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等差数列.
法二 在2an＋1＝an＋ 的两边同时乘以2n得2n＋1an＋1＝2nan＋1，
即bn＋1－bn＝1，所以数列{bn}是以b1＝2a1＝1为首项，1为公差的等
差数列.
题型二 等差数列的通项公式及应用
【例2】 （1）在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公
式an；
解：（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，
∵a4＝7，a10＝25，
则得
∴an＝－2＋（n－1）×3＝3n－5，
∴通项公式an＝3n－5（n∈N＋）.
（2）已知数列{an}为等差数列，a3＝ ，a7＝－ ，求a15的值.
解：（2）设等差数列的首项为a1，公差为d，
由得
解得a1＝ ，d＝－ .
∴a15＝a1＋（15－1）d＝ ＋14× ＝－ .
【母题探究】
（变条件）本例（1）中条件变为“a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝
28”问题不变.
解：设{an}的首项为a1，公差为d，则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d
＝4，∴a1＝4－7d.
代入a3a8a13＝28，整理得（4－5d）×4×（4＋5d）＝28，
解得d＝± .
当d＝ 时，a1＝－ ，an＝ n－ ；
当d＝－ 时，a1＝ ，an＝－ n＋ .
通性通法
1. 应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想.一般地，
可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而
确定通项公式.
2. 若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，
则运用an＝am＋（n－m）d较为简捷.
【跟踪训练】
在等差数列{an}中.
（1）已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
解：（1）∵a5＝－1，a8＝2，
∴解得
（2）已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
解：（2）设数列{an}的公差为d.
由已知得解得
∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1，
∴a9＝2×9－1＝17.
题型三 灵活设元求解等差数列
【例3】 （1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项
的6倍，求这三个数；
解：（1）设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则
解得∴这三个数为4，3，2.
（2）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－
8，求这四个数.
解：（2）法一 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d
（公差为2d），
依题意，2a＝2，且（a－3d）（a＋3d）＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又∵四个数成递增等差数列，∴d＞0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4.
法二 若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d（公差为d），
依题意，2a＋3d＝2，且a（a＋3d）＝－8，
把a＝1－ d代入a（a＋3d）＝－8，
得 ＝－8，即1－ d2＝－8，
化简得d2＝4，∴d＝2或d＝－2.
又∵四个数成递增等差数列，∴d＞0，∴d＝2，a＝－2.
故所求的四个数为－2，0，2，4.
通性通法
常见设元技巧
（1）某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数
为a－d，a＋d，公差为2d；
（2）三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a＋d，
公差为d；
（3）四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a
＋3d，公差为2d.
【跟踪训练】
已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数
之积为40，求这四个数.
解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d（公差为
2d）.
由题设知
解得或
故这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.
1. （多选）下列数列中，是等差数列的是（ ）
A. 1，4，7，10 B. lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C. 25，24，23，22 D. 10，8，6，4，2
解析：ABD 根据等差数列的定义，可得：A中，满足4－1＝7－4
＝10－7＝3（常数），所以是等差数列；B中，满足lg 4－lg 2＝lg
8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2（常数），所以是等差数列；C中，因为
24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数
列；D中，满足8－10＝6－8＝4－6＝2－4＝－2（常数），所以是
等差数列.故选A、B、D.
2. 已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与
公差分别是（ ）
A. 1，4 B. －1，－4
C. 4，1 D. －4，－1
解析：B 因为当n＝1时，a1＝－1，当n＝2时，a2＝3－4×2＝－
5，所以公差d＝a2－a1＝－4.
3. 在等差数列{an}中，已知a4＝10，a14＝70，则an＝ .
解析：法一 设公差为d，则解得所
以an＝a1＋（n－1）d＝6n－14.
6n－14
法二 设公差为d，则d＝ ＝ ＝6，an＝a4＋（n－4）·d＝10
＋6（n－4）＝6n－14.
4. 若数列{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，如果an＝2 023，
则n＝ .
解析：令1＋3（n－1）＝2 023，解得n＝675.
675
5. 已知数列{an}满足a1＝1.若点 在直线x－y＋1＝0上，
则an＝ .
解析：由点 在直线x－y＋1＝0上，得 － ＋1＝
0，即 － ＝1，∴数列 为等差数列，且公差d＝1.又 ＝
1，∴ ＝1＋（n－1）×1＝n，即an＝n2.
n2
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列说法正确的为（ ）
A. 若a，b，c成等差数列，则 ， ， 成等差数列
B. 若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
C. 若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D. 若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
解析： 由等差数列的定义可知A、B、D均错误，只有选项C
正确.
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2. 在数列{an}中，a1＝3，a10＝21，已知an＝pn＋q（p，q为常
数），则a2 025＝（ ）
A. 4 048 B. 4 049
C. 4 050 D. 4 051
解析： 法一 根据题意可知数列{an}为等差数列，且公差d＝
＝2，故a2 025＝a1＋（2 025－1）d＝3＋2 024×2＝4 051.
法二 由题易得数列{an}为等差数列，则 ＝ ，解得a2
025＝4 051.
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3. 若等差数列{an}中，已知a1＝ ，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝
（ ）
A. 50 B. 51
C. 52 D. 53
解析： 设公差为d，依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代
入a1＝ ，得d＝ .所以an＝a1＋（n－1）d＝ ＋（n－1）×
＝ n－ ，令an＝35，解得n＝53.
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4. 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全
书总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中有如下问题：“今有
五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思
为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人
所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱？”.则第4人所得
钱数为（ ）
A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 1钱
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解析： 设从前到后的5个人所得钱数构成首项为a1，公差为d的
等差数列{an}，则有a1＋a2＝a3＋a4＋a5，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝
5，故解得则a4＝a1＋3d＝ － ＝ .故
选C.
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5. （多选）若数列{an}满足a1＝1，3an＋1＝3an＋1，n∈N＋，则数列
{an}是（ ）
A. 公差为1的等差数列
B. 公差为 的等差数列
C. 通项公式为an＝ ＋ 的等差数列
D. 通项公式为an＝ ＋1的等差数列
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解析： 由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝
.所以数列{an}是公差为 的等差数列.又因为a1＝1，得到an＝1
＋（n－1）× ＝ ＋ ，故选B、C.
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6. （多选）若等差数列{an}和{bn}的公差均为d（d≠0），则下列数
列中是等差数列的是（ ）
A. {λan}（λ为常数） B. {an＋bn}
C. { － } D. {anbn}
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解析： 对于A，由λan＋1－λan＝λ（an＋1－an）＝λd，
为常数，知数列{λan}是等差数列；对于B，由an＋1＋bn＋1－（an
＋bn）＝（an＋1－an）＋（bn＋1－bn）＝2d，为常数，知数列{an
＋bn}是等差数列；对于C，由 － －（ － ）＝（an＋
1－an）·（an＋1＋an）－（bn＋1－bn）（bn＋1＋bn）＝d[2a1＋
（2n－1）d]－d[2b1＋（2n－1）d]＝2d（a1－b1），为常数，
知数列{ － }是等差数列；对于D，由an＋1bn＋1－anbn＝（an
＋d）（bn＋d）－anbn＝d2＋d（an＋bn），不为常数，知数列
{anbn}不是等差数列.
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7. 在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a1＝ ，a6
＝ .
解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意得
解得∴an＝a1＋（n－1）d＝3＋
（n－1）×2＝2n＋1.∴a6＝2×6＋1＝13.
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8. 写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项”的等差数列an＝
.
解析：要满足“前3项之和小于第3项”，则a1＋a2＋a3＜a3，即a1
＋a2＜0，则不妨设a1＝－4，a2＝－2，则an＝－4＋（n－1）×2
＝2n－6.
2n
－6（答案不唯一）
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9. 数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－
2，公差为4的等差数列.若an＝bn，则n的值为 .
解析：an＝2＋（n－1）×3＝3n－1，bn＝－2＋（n－1）×4＝
4n－6，令an＝bn，得3n－1＝4n－6，∴n＝5.
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10. 已知等差数列{an}：3，7，11，15，….
（1）135，4m＋19（m∈N＋）是数列{an}中的项吗？试说明
理由；
令an＝4n－1＝135，所以n＝34，
所以135是数列{an}中的第34项.
令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N＋.
所以4m＋19是{an}中的第m＋5项.
解：因为a1＝3，d＝4，
所以an＝a1＋（n－1）d＝4n－1.
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（2）若ap，aq（p，q∈N＋）是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是
数列{an}中的项吗？并说明你的理由.
解：因为ap，aq是{an}中的项，
所以ap＝4p－1，aq＝4q－1.
所以2ap＋3aq＝2（4p－1）＋3（4q－1）
＝8p＋12q－5＝4（2p＋3q－1）－1，
因为2p＋3q－1∈N＋，
所以2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项.
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11. （多选）如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公
差d≠0，则（ ）
A. a3a6＞a4a5 B. a3a6＜a4a5
C. a3＋a6＝a4＋a5 D. a3a6＝a4a5
解析： 设公差为d，由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋
5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝（a1＋2d）（a1＋5d）＝
＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝ ＋7a1d＋
12d2，显然a3a6－a4a5＝－2d2＜0，故选B、C.
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12. 如果有穷数列a1，a2，…，am（m∈N＋）满足条件：a1＝am，a2
＝am－1，…，am＝a1，那么称其为“对称”数列.已知在21项的
“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差
的等差数列，则c2＝ .
解析：因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数
列，所以c20＝1＋9×2＝19.又因为数列{cn}为21项的“对称”数
列，所以c2＝c20＝19.
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13. 已知数列{an}，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
（1）设bn＝ ，证明：数列{bn}是等差数列；
解：证明：因为an＋1＝2an＋2n，所以 ＝
＝ ＋1，所以 － ＝1，n∈N＋.
又因为bn＝ ，所以bn＋1－bn＝1.所以数列{bn}是等差数
列，其首项b1＝1，公差为1.
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（2）求数列{an}的通项公式.
解：由（1）知bn＝1＋（n－1）×1＝n，
所以an＝2n－1bn＝n·2n－1.
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14. 我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益
九寸九分六分分之一；冬至晷（ɡuǐ）长一丈三尺五寸，夏至晷长
一尺六寸.意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的
日影长度差为99 分；且“冬至”时日影长度最大，为1 350分；
“夏至”时日影长度最小，为160分.则“立春”
时日影长度为（ ）
A. 953 分 B. 1 052 分
C. 1 151 分 D. 1 250 分
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解析： 一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长
度差为99 分，且“冬至”时日影长度最大，为1 350分；“夏
至”时日影长度最小，为160分.从“冬至”到“立春”有：“小
寒”和“大寒”，且日影长变短，所以“立春”时日影长度为：1
350＋ ×3＝1 052 （分）.
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15. 数列{an}满足a1＝2，an＋1＝（λ－3）an＋2n（n∈N＋）.
（1）当a2＝－1时，求λ及a3的值；
解： ∵a1＝2，a2＝－1，a2＝（λ－3）a1＋2，
∴λ＝ .
∴a3＝－ a2＋22，∴a3＝ .
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（2）是否存在实数λ，使数列{an}为等差数列？若存在求其通项
公式；若不存在说明理由.
解： 不存在实数λ使数列 成等差数列.
理由如下：∵a1＝2，an＋1＝（λ－3）an＋2n，
∴a2＝（λ－3）a1＋2＝2λ－4.
a3＝（λ－3）a2＋4＝2λ2－10λ＋16.
若数列{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1.
即λ2－7λ＋13＝0.
∵Δ＝49－4×13＜0，∴方程无实数解.
∴不存在实数λ使数列{an}成等差数列.
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