第二课时 等差数列前n项和的性质及应用
1.在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（ ）
A.9 B.10
C.11 D.12
2.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝（n＋1）2＋λ，则λ的值是（ ）
A.－2 B.－1
C.0 D.1
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三点共线（该直线不过点O），则S200等于（ ）
A.100 B.101
C.200 D.201
4.已知等差数列{an}的前n项的为Sn，若m＞1，且am－1＋am＋1－＝0，S2m－1＝38，则m＝（ ）
A.38 B.20
C.10 D.9
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝S10，S6＝Sk，则k的值是（ ）
A.6 B.7
C.8 D.9
6.（多选）等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝1.若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是（ ）
A.a5＝1 B.Sn的最小值为S3
C.S1＝S6 D.Sn存在最大值
7.已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝ .
8.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a2＋a8＝6，S5＝－5，则a6＝ ，Sn的最小值为 .
9.若数列{an}是等差数列，首项a1＜0，a203＋a204＞0，a203·a204＜0，则使前n项和Sn＜0的最大自然数n是 .
10.若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜，求Tn.
11.在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为（ ）
A.160 B.180
C.200 D.220
12.（多选）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（ ）
A.a6＞0
B.－＜d＜－3
C.Sn＜0时，n的最小值为14
D.数列中最小项为第7项
13.在等差数列{an}中，3a5＝5a8，Sn是数列{an}的前n项和.
（1）若a1＞0，当Sn取得最大值时，求n的值；
（2）若a1＝－46，记bn＝，求bn的最小值.
14.已知数列{an}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列（其中d1，d2为整数），且对任意n∈N＋，都有an＜an＋1，若a1＝1，a2＝2，且数列{an}的前10项和S10＝75，则d1＝ ，a8＝ .
15.在①a5＝6，a1＋S3＝50；②S12＞S9，a2＋a21＜0；③S9＞0，S10＜0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解决问题.
问题：设等差数列{an}的前n项和为Sn， ，判断Sn是否存在最大值，若存在，求出Sn取最大值时n的值；若不存在，说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
第二课时 等差数列前n项和的性质及应用
1.B ∵＝，∴＝.∴n＝10，故选B.
2.B 等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.
3.A 由A，B，C三点共线得a1＋a200＝1，∴S200＝（a1＋a200）＝100.
4.C 根据等差数列的性质可得am－1＋am＋1＝2am.∵am－1＋am＋1－＝0，∴am＝0或am＝2.若am＝0，显然S2m－1＝（2m－1）am＝38不成立，∴am＝2.∴S2m－1＝（2m－1）am＝38，解得m＝10.
5.B ∵等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n可看作是关于n的二次函数且S3＝S10，∴对称轴方程为n＝＝.又∵S6＝Sk，∴＝，解得k＝7.
6.AC 因为a1＋3a5＝S7，所以a1＋3（a1＋4d）＝7a1＋d，又因为d＝1，解得a1＝－3.对选项A，a5＝a1＋4d＝1，故A正确；对选项B，an＝－3＋n－1＝n－4，因为a1＝－3＜0，a3＝－1＜0，a4＝0，a5＝1＞0，所以Sn的最小值为S3或S4，故B错误；对选项C，S6－S1＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝5a4，又因为a4＝0，所以S6－S1＝0，即S1＝S6，故C正确；对选项D，因为a1＝－3＜0，d＝1＞0，所以Sn无最大值，故D错误.
7.5 解析：∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.
8.5 －9 解析：依题意得：解得所以a6＝－5＋10＝5，Sn＝－5n＋×2＝n2－6n，当n＝3时，Sn的最小值为－9.
9.405 解析：由a203＋a204＞0知a1＋a406＞0，即S406＞0，又由a1＜0且a203·a204＜0，知a203＜0，a204＞0，所以公差d＞0，则数列{an}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405＜0，所以S405＜0，所以使前n项和Sn＜0的最大自然数n＝405.
10.解：∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜
＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d
＝13n＋×（－4）
＝15n－2n2；
当n≥5时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜
＝（a1＋a2＋a3＋a4）－（a5＋a6＋…＋an）
＝S4－（Sn－S4）＝2S4－Sn
＝2×－（15n－2n2）
＝2n2－15n＋56.
∴Tn＝
11.B 法一 设数列{an}的公差为d，由题意得解得故S20＝20a1＋×d＝180.
法二 由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，于是S20＝10（a1＋a20）＝10（a2＋a19）＝10×（－8＋26）＝180.
12.ABD 依题意得a3＝a1＋2d＝12，a1＝12－2d，S12＝×12＝6（a6＋a7）.而a7＜0，所以a6＞0，a1＞0，d＜0，A选项正确.且解得－＜d＜－3，B选项正确.由于S13＝×13＝13a7＜0，而S12＞0，所以Sn＜0时，n的最小值为13，C选项错误.由上述分析可知，n∈[1，6]时，an＞0，n≥7时，an＜0；当n∈[1，12]时，Sn＞0，当n≥13时，Sn＜0.所以当n∈[7，12]时，an＜0，Sn＞0，＜0，且当n∈[7，12]时，｜an｜为递增数列，Sn为正数且为递减数列，所以数列中最小项为第7项，D选项正确.故选A、B、D.
13.解：（1）法一 设{an}的公差为d，
由3a5＝5a8，得3（a1＋4d）＝5（a1＋7d），∴d＝－a1.
∴Sn＝na1＋×＝－a1n2＋a1n＝－a1（n－12）2＋a1.
∵a1＞0，∴当n＝12时，Sn取得最大值.
法二 由3a5＝5a8得9a5＝15a8，∴S9＝S15.由Sn对应的二次函数图象的对称性可知，当n＝＝12时，Sn取得最大值.
（2）由（1）及a1＝－46，得d＝－×（－46）＝4，
∴an＝－46＋（n－1）×4＝4n－50，
Sn＝－46n＋×4＝2n2－48n.
∴bn＝＝＝2n＋－52≥2－52＝－32，
当且仅当2n＝，即n＝5时，等号成立.
故bn的最小值为－32.
14.3 11 解析：由题意知，S10＝5×1＋d1＋5×2＋d2＝75，故d1＋d2＝6.∵对任意n∈N＋，都有an＜an＋1，∴a2k－1＜a2k＜a2k＋1（k∈N＋），即1＋（k－1）d1＜2＋（k－1）d2＜1＋kd1，取k＝2时，可得1＋d1＜2＋d2＜1＋2d1，结合d1＋d2＝6可解得＜d1＜，＜d2＜，又d1，d2为整数，∴d1＝3＝d2.∴a8＝a2＋3d2＝2＋3×3＝11.
15.解：选①：设数列{an}的公差为d，a5＝6，a1＋S3＝50，
则解得a1＝14，d＝－2，即an＝14－2（n－1）＝16－2n，
当an≥0时，有16－2n≥0，得n≤8，
∴当n≤7时，an＞0；n＝8时，an＝0；n≥9时，an＜0，
∴n＝7或n＝8时，Sn取最大值.
选②：设数列{an}的公差为d，由S12－S9＞0，得a12＋a11＋a10＞0，由等差中项的性质有3a11＞0，即a11＞0，
由a2＋a21＜0，得a2＋a21＝a11＋a12＜0，
∴a12＜0，故d＝a12－a11＜0，
∴当n≤11时，an＞0，n≥12时，an＜0，故n＝11时，Sn取最大值.
选③：设数列{an}的公差为d，由S9＞0，得S9＝＝＞0，可得a5＞0，由S10＜0，得S10＝＝＜0，可得a5＋a6＜0，∴a6＜0，故d＝a6－a5＜0，∴当n≤5时，an＞0，n≥6时，an＜0，故n＝5时，Sn取最大值.
2 / 2第二课时 等差数列前n项和的性质及应用
题型一 等差数列的前n项和性质的应用
【例1】 （1）等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为（ ）
A.130 B.170
C.210 D.260
（2）已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝ .
尝试解答
通性通法
等差数列的前n项和常用的性质
（1）等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列；
（2）数列{an}是等差数列 Sn＝an2＋bn（a，b为常数） 数列为等差数列；
（3）设等差数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，则＝；
（4）若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d：
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.
【跟踪训练】
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝（ ）
A.18 B.17
C.16 D.15
2.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且（n＋3）Sn＝（2n＋70）Tn，则使得为整数的正整数n的个数是 .
题型二 等差数列的前n项和最值问题
【例2】 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）本例条件不变，试求的前n项和Tn.
2.（变条件）若本例中的条件“a1＝25，S17＝S9”换为“a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93”，试求Sn的最大值.
通性通法
求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略
（1）将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决；
（2）邻项变号法：
当a1＞0，d＜0时，满足的项数n使Sn取最大值；
当a1＜0，d＞0时，满足的项数n使Sn取最小值.
【跟踪训练】
设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于（ ）
A.6 B.7
C.8 D.9
题型三 求数列{｜an｜}的前n项和
【例3】 在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且5a1a3＝（2a2＋2）2.
（1）求d，an；
（2）若d＜0，求｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜.
尝试解答
通性通法
求数列{｜an｜}前n项和的方法
给出数列{an}，要求数列{｜an｜}的前n项和，关键是分清n取什么值时an＞0（an＜0）.
一般地，如果数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜，那么有：
（1）若a1＞0，d＜0，则存在k∈N＋，使得ak≥0，ak＋1＜0，从而有Tn＝
（2）若a1＜0，d＞0，则存在k∈N＋，使得ak≤0，ak＋1＞0，从而有Tn＝
【跟踪训练】
在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{｜an｜}的前n项和.
1.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18＝（ ）
A.36 B.18 C.72 D.9
2.一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于（ ）
A.12 B.16 C.9 D.16或9
3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝an＋2，S5＝－35，则当Sn取得最小值时，n的值是（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
4.（多选）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列四个命题正确的是（ ）
A.d＜0
B.S11＞0
C.S12＜0
D.数列{Sn}中的最大项为S11
5.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是 ，项数是 .
第二课时 等差数列前n项和的性质及应用
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）C （2） 解析：（1）根据等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列.所以Sn＋（S3n－S2n）＝2（S2n－Sn），即30＋（S3n－100）＝2×（100－30），解得S3n＝210.
（2）由等差数列的性质知，＝＝＝＝＝.
跟踪训练
1.A 设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，（a5＋a6＋a7＋a8）－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.
2.5 解析：由等差数列前n项和的性质，得＝.由条件可得＝，则＝＝＝，所以＝＝2＋.要使为整数，则必为整数，即n＋1为32的约数.又n为正整数，所以n的取值为1，3，7，15，31，共5个.
【例2】 解：设公差为d，由S17＝S9且a1＝25，得
25×17＋d＝25×9＋d，
解得d＝－2.
法一（公式法） Sn＝25n＋×（－2）＝－（n－13）2＋169.
由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169.
法二（邻项变号法） ∵a1＝25＞0，
由
得即12≤n≤13.
又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值，最大值为25×13＋×（－2）＝169.
母题探究
1.解：由本例知Sn＝－n2＋26n，
令bn＝＝－n＋26，
∴{bn}是以25为首项，公差为－1的等差数列，
∴Tn＝25n＋×（－1）＝－n2＋n.
2.解：因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝41－2n，
所以a1＝39，Sn＝39n＋×（－2）＝40n－n2.
当Sn取得最大值时，满足
即19≤n≤20.
因为n∈N＋，所以当n＝20时，Sn有最大值S20＝400.
跟踪训练
A 设等差数列的公差为d，
∵a4＋a6＝－6，∴2a5＝－6，∴a5＝－3.
又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2.
∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝（n－6）2－36，
故当n＝6时，Sn取得最小值，故选A.
【例3】 解：（1）因为5a1a3＝（2a2＋2）2，a1＝10，
所以d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4.
故an＝－n＋11或an＝4n＋6.
（2）因为d＜0，所以由（1）得d＝－1，an＝－n＋11.
设数列{an}的前n项和为Sn，
当n≤11时，｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝Sn＝－n2＋n；
当n≥12时，｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.
跟踪训练
解：设等差数列{an}的公差为d，则
d＝＝＝3，
所以an＝a1＋（n－1）d＝－60＋3（n－1）＝3n－63.
又因为an＜0时，3n－63＜0，即n＜21，
所以等差数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项是非负数.
设Sn和Sn'分别表示数列{an}和{｜an｜}的前n项和.
当0＜n≤20时，
Sn'＝－Sn＝－＝－n2＋n；
当n＞20时，
Sn'＝－S20＋（Sn－S20）＝Sn－2S20
＝－60n＋－2×
＝n2－n＋1 260.
所以数列{｜an｜}的前n项和为
Sn'＝
随堂检测
1.A 由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列知，S18＝S3＋（S6－S3）＋（S9－S6）＋…＋（S18－S15）＝＝36.
2.C 设凸多边形的内角组成的等差数列为{an}，则an＝120＋5（n－1）＝5n＋115，由an＜180，得n＜13且n∈N＋.由n边形内角和定理得，（n－2）×180＝n×120＋×5.解得n＝16或n＝9.因为n＜13，所以n＝9.
3.A ∵数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝an＋2，S5＝－35，∴数列{an}是等差数列，公差d＝an＋1－an＝2，5a1＋10d＝－35，解得a1＝－11.∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝（n－6）2－36，∴当Sn取得最小值时，n的值是6.
4.AB ∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞0，∴d＜0，A正确；又∵S11＝（a1＋a11）＝11a6＞0，B正确；S12＝（a1＋a12）＝6（a6＋a7）＞0，C不正确；{Sn}中最大项为S6，D不正确.
5.11 7 解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝（n＋1）an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，所以＝＝，解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项.
2 / 2(共57张PPT)
第二课时
等差数列前n项和的性质及应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 等差数列的前n项和性质的应用
【例1】 （1）等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它
的前3n项的和为（ C ）
A. 130 B. 170
C. 210 D. 260
解析：根据等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列.所以Sn＋（S3n－S2n）＝2（S2n－Sn），即30＋（S3n－100）＝2×（100－30），解得S3n＝210.
C
（2）已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且
＝ ，则 ＝ .
解析：由等差数列的性质知， ＝ ＝ ＝
＝ ＝ .
通性通法
等差数列的前n项和常用的性质
（1）等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公
差为k2d的等差数列；
（2）数列{an}是等差数列 Sn＝an2＋bn（a，b为常数） 数列
为等差数列；
（3）设等差数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，则 ＝ ；
（4）若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d：
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd， ＝ ；
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an， ＝ .
【跟踪训练】
1. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋
a13＋a14＝（ ）
A. 18 B. 17
C. 16 D. 15
解析： 设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，
（a5＋a6＋a7＋a8）－S4＝16d，解得d＝ ，a11＋a12＋a13＋a14
＝S4＋40d＝18.
2. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且（n＋
3）Sn＝（2n＋70）Tn，则使得 为整数的正整数n的个数
是 .
解析：由等差数列前n项和的性质，得 ＝ .由条件可得 ＝
，则 ＝ ＝ ＝ ，所以 ＝
＝2＋ .要使 为整数，则 必为整数，即n＋1为32的约数.
又n为正整数，所以n的取值为1，3，7，15，31，共5个.
5
题型二 等差数列的前n项和最值问题
【例2】 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最
大值.
解：设公差为d，由S17＝S9且a1＝25，得
25×17＋ d＝25×9＋ d，
解得d＝－2.
法一（公式法） Sn＝25n＋ ×（－2）＝－（n－13）2＋
169.
由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169.
法二（邻项变号法） ∵a1＝25＞0，
由
得即12 ≤n≤13 .
又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值，最大值为25×13＋ ×
（－2）＝169.
【母题探究】
1. （变设问）本例条件不变，试求 的前n项和Tn.
解：由本例知Sn＝－n2＋26n，
令bn＝ ＝－n＋26，
∴{bn}是以25为首项，公差为－1的等差数列，
∴Tn＝25n＋ ×（－1）＝－ n2＋ n.
2. （变条件）若本例中的条件“a1＝25，S17＝S9”换为“a1＋a4＋a7
＝99，a2＋a5＋a8＝93”，试求Sn的最大值.
解：因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝
31，故公差d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝41－2n，
所以a1＝39，Sn＝39n＋ ×（－2）＝40n－n2.
当Sn取得最大值时，满足
即19 ≤n≤20 .
因为n∈N＋，所以当n＝20时，Sn有最大值S20＝400.
通性通法
求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略
（1）将Sn＝na1＋ d＝ n2＋ n配方，转化为求二次
函数的最值问题，借助函数单调性来解决；
（2）邻项变号法：
当a1＞0，d＜0时，满足的项数n使Sn取最大值；
当a1＜0，d＞0时，满足的项数n使Sn取最小值.
【跟踪训练】
设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当
Sn取最小值时，n等于（ ）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
解析： 设等差数列的公差为d，∵a4＋a6＝－6，∴2a5＝－6，
∴a5＝－3.又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2.∴Sn＝－11n
＋ ×2＝n2－12n＝（n－6）2－36，故当n＝6时，Sn取得最
小值，故选A.
题型三 求数列{｜an｜}的前n项和
【例3】 在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且5a1a3＝
（2a2＋2）2.
（1）求d，an；
解：因为5a1a3＝（2a2＋2）2，a1＝10，
所以d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4.
故an＝－n＋11或an＝4n＋6.
（2）若d＜0，求｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜.
解：因为d＜0，所以由（1）得d＝－1，an＝－n＋11.
设数列{an}的前n项和为Sn，
当n≤11时，｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝Sn＝－
n2＋ n；
当n≥12时，｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝－Sn＋
2S11＝ n2－ n＋110.
通性通法
求数列{｜an｜}前n项和的方法
给出数列{an}，要求数列{｜an｜}的前n项和，关键是分清n取
什么值时an＞0（an＜0）.
一般地，如果数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，Tn＝｜
a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜，那么有：
（1）若a1＞0，d＜0，则存在k∈N＋，使得ak≥0，ak＋1＜0，从而有
Tn＝
（2）若a1＜0，d＞0，则存在k∈N＋，使得ak≤0，ak＋1＞0，从而有
Tn＝
【跟踪训练】
在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{｜an｜}的前n
项和.
解：设等差数列{an}的公差为d，则
d＝ ＝ ＝3，
所以an＝a1＋（n－1）d＝－60＋3（n－1）＝3n－63.
又因为an＜0时，3n－63＜0，即n＜21，
所以等差数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项是非负数.
设Sn和Sn'分别表示数列{an}和{｜an｜}的前n项和.
当0＜n≤20时，Sn'＝－Sn＝－［－60n＋ ］＝－ n2＋
n；
当n＞20时，
Sn'＝－S20＋（Sn－S20）＝Sn－2S20
＝－60n＋ －2×
＝ n2－ n＋1 260.
所以数列{｜an｜}的前n项和为
Sn'＝
1. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18
＝（ ）
A. 36 B. 18
C. 72 D. 9
解析： 由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列知，S18＝S3＋
（S6－S3）＋（S9－S6）＋…＋（S18－S15）＝ ＝36.
2. 一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差
为5°，那么这个多边形的边数n等于（ ）
A. 12 B. 16
C. 9 D. 16或9
解析： 设凸多边形的内角组成的等差数列为{an}，则an＝120
＋5（n－1）＝5n＋115，由an＜180，得n＜13且n∈N＋.由n边形
内角和定理得，（n－2）×180＝n×120＋ ×5.解得n＝
16或n＝9.因为n＜13，所以n＝9.
3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝an＋2，S5＝－35，则当
Sn取得最小值时，n的值是（ ）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
解析： ∵数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝an＋2，S5＝－
35，∴数列{an}是等差数列，公差d＝an＋1－an＝2，5a1＋10d＝
－35，解得a1＝－11.∴Sn＝－11n＋ ×2＝n2－12n＝
（n－6）2－36，∴当Sn取得最小值时，n的值是6.
4. （多选）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下
列四个命题正确的是（ ）
A. d＜0
B. S11＞0
C. S12＜0
D. 数列{Sn}中的最大项为S11
解析： ∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞
0，∴d＜0，A正确；又∵S11＝ （a1＋a11）＝11a6＞0，B正
确；S12＝ （a1＋a12）＝6（a6＋a7）＞0，C不正确；{Sn}中最
大项为S6，D不正确.
5. 设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则
这个数列的中间项是 ，项数是 .
解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝ ＝（n＋1）an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋
a2n＝ ＝nan＋1，所以 ＝ ＝ ，解得n＝3，所
以项数为2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求
中间项.
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知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数
项的和为150，则n等于（ ）
A. 9 B. 10
C. 11 D. 12
解析： ∵ ＝ ，∴ ＝ .∴n＝10，故选B.
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2. 数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝（n＋1）2＋
λ，则λ的值是（ ）
A. －2 B. －1
C. 0 D. 1
解析：等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.
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3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若 ＝a1 ＋a200 ，且
A，B，C三点共线（该直线不过点O），则S200等于（ ）
A. 100 B. 101
C. 200 D. 201
解析： 由A，B，C三点共线得a1＋a200＝1，
∴S200＝ （a1＋a200）＝100.
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4. 已知等差数列{an}的前n项的为Sn，若m＞1，且am－1＋am＋1－
＝0，S2m－1＝38，则m＝（ ）
A. 38 B. 20
C. 10 D. 9
解析： 根据等差数列的性质可得am－1＋am＋1＝2am.∵am－1＋
am＋1－ ＝0，∴am＝0或am＝2.若am＝0，显然S2m－1＝（2m－
1）am＝38不成立，∴am＝2.∴S2m－1＝（2m－1）am＝38，解得
m＝10.
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5. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝S10，S6＝Sk，则k的值
是（ ）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
解析： ∵等差数列{an}的前n项和Sn＝ n2＋ n可看作
是关于n的二次函数且S3＝S10，∴对称轴方程为n＝ ＝ .又
∵S6＝Sk，∴ ＝ ，解得k＝7.
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6. （多选）等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝1.若a1＋3a5＝
S7，则以下结论一定正确的是（ ）
A. a5＝1 B. Sn的最小值为S3
C. S1＝S6 D. Sn存在最大值
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解析： 因为a1＋3a5＝S7，所以a1＋3（a1＋4d）＝7a1＋
d，又因为d＝1，解得a1＝－3.对选项A，a5＝a1＋4d＝1，故A正
确；对选项B，an＝－3＋n－1＝n－4，因为a1＝－3＜0，a3＝－1
＜0，a4＝0，a5＝1＞0，所以Sn的最小值为S3或S4，故B错误；对
选项C，S6－S1＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝5a4，又因为a4＝0，所以
S6－S1＝0，即S1＝S6，故C正确；对选项D，因为a1＝－3＜0，d
＝1＞0，所以Sn无最大值，故D错误.
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7. 已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6
＝7，则S9－S6＝ .
解析：∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4
＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.
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8. 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a2＋a8＝6，S5＝－5，则
a6＝ ，Sn的最小值为 .
解析：依题意得：解得所以a6＝－
5＋10＝5，Sn＝－5n＋ ×2＝n2－6n，当n＝3时，Sn的
最小值为－9.
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9. 若数列{an}是等差数列，首项a1＜0，a203＋a204＞0，a203·a204＜
0，则使前n项和Sn＜0的最大自然数n是 405 .
解析：由a203＋a204＞0知a1＋a406＞0，即S406＞0，又由a1＜0且
a203·a204＜0，知a203＜0，a204＞0，所以公差d＞0，则数列{an}的
前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405＜0，所以S405＜0，所以使
前n项和Sn＜0的最大自然数n＝405.
405
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10. 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝｜a1｜＋｜a2｜
＋…＋｜an｜，求Tn.
解：∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
当n≤4时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜
＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋ d
＝13n＋ ×（－4）＝15n－2n2；
当n≥5时，Tn＝｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜an｜
＝（a1＋a2＋a3＋a4）－（a5＋a6＋…＋an）
＝S4－（Sn－S4）＝2S4－Sn
＝2× －（15n－2n2）＝2n2－15n＋56.
∴Tn＝
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11. 在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那
么此数列前20项的和为（ ）
A. 160 B. 180
C. 200 D. 220
解析： 法一 设数列{an}的公差为d，由题意得
解得故S20＝
20a1＋ ×d＝180.
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法二 由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝
3a19＝78，得a19＝26，于是S20＝10（a1＋a20）＝10（a2＋a19）＝
10×（－8＋26）＝180.
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12. （多选）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝
12，S12＞0，a7＜0，则（ ）
A. a6＞0
B. － ＜d＜－3
C. Sn＜0时，n的最小值为14
D. 数列 中最小项为第7项
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解析： 依题意得a3＝a1＋2d＝12，a1＝12－2d，S12＝
×12＝6（a6＋a7）.而a7＜0，所以a6＞0，a1＞0，d＜
0，A选项正确.且解得－
＜d＜－3，B选项正确.由于S13＝ ×13＝13a7＜0，而S12
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＞0，所以Sn＜0时，n的最小值为13，C选项错误.由上述分析可
知，n∈[1，6]时，an＞0，n≥7时，an＜0；当n∈[1，12]时，
Sn＞0，当n≥13时，Sn＜0.所以当n∈[7，12]时，an＜0，Sn＞
0， ＜0，且当n∈[7，12]时，｜an｜为递增数列，Sn为正数且
为递减数列，所以数列 中最小项为第7项，D选项正确.故选
A、B、D.
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13. 在等差数列{an}中，3a5＝5a8，Sn是数列{an}的前n项和.
（1）若a1＞0，当Sn取得最大值时，求n的值；
解：法一 设{an}的公差为d，
由3a5＝5a8，得3（a1＋4d）＝5（a1＋7d），
∴d＝－ a1.
∴Sn＝na1＋ × ＝－ a1n2＋ a1n＝－
a1（n－12）2＋ a1.
∵a1＞0，∴当n＝12时，Sn取得最大值.
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法二 由3a5＝5a8得9a5＝15a8，∴S9＝S15.由Sn对应的二次函数图象
的对称性可知，当n＝ ＝12时，Sn取得最大值.
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（2）若a1＝－46，记bn＝ ，求bn的最小值.
解：由（1）及a1＝－46，得d＝－ ×（－46）＝4，
∴an＝－46＋（n－1）×4＝4n－50，
Sn＝－46n＋ ×4＝2n2－48n.
∴bn＝ ＝ ＝2n＋ －52≥2 －52＝－32，
当且仅当2n＝ ，即n＝5时，等号成立.
故bn的最小值为－32.
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14. 已知数列{an}的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依
次构成公差为d2的等差数列（其中d1，d2为整数），且对任意
n∈N＋，都有an＜an＋1，若a1＝1，a2＝2，且数列{an}的前10项
和S10＝75，则d1＝ ，a8＝ .
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解析：由题意知，S10＝5×1＋ d1＋5×2＋ d2＝75，故d1＋
d2＝6.∵对任意n∈N＋，都有an＜an＋1，∴a2k－1＜a2k＜a2k＋1
（k∈N＋），即1＋（k－1）d1＜2＋（k－1）d2＜1＋kd1，取k
＝2时，可得1＋d1＜2＋d2＜1＋2d1，结合d1＋d2＝6可解得 ＜d1
＜ ， ＜d2＜ ，又d1，d2为整数，∴d1＝3＝d2.∴a8＝a2＋3d2
＝2＋3×3＝11.
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15. 在①a5＝6，a1＋S3＝50；②S12＞S9，a2＋a21＜0；③S9＞0，S10
＜0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解决问题.
问题：设等差数列{an}的前n项和为Sn， ，判断Sn是否存
在最大值，若存在，求出Sn取最大值时n的值；若不存在，说
明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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解：选①：设数列{an}的公差为d，a5＝6，a1＋S3＝50，
则解得a1＝14，d＝－2，即an＝14－2（n－
1）＝16－2n，
当an≥0时，有16－2n≥0，得n≤8，
∴当n≤7时，an＞0；n＝8时，an＝0；n≥9时，an＜0，
∴n＝7或n＝8时，Sn取最大值.
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选②：设数列{an}的公差为d，由S12－S9＞0，得a12＋a11＋a10
＞0，由等差中项的性质有3a11＞0，即a11＞0，
由a2＋a21＜0，得a2＋a21＝a11＋a12＜0，
∴a12＜0，故d＝a12－a11＜0，
∴当n≤11时，an＞0，n≥12时，an＜0，故n＝11时，Sn取最
大值.
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选③：设数列{an}的公差为d，由S9＞0，得S9＝ ＝
＞0，可得a5＞0，由S10＜0，得S10＝ ＝
＜0，可得a5＋a6＜0，∴a6＜0，故d＝a6－a5＜0，
∴当n≤5时，an＞0，n≥6时，an＜0，故n＝5时，Sn取最大值.
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谢 谢 观 看！
