第一课时 等差数列的前n项和公式
1.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－4，S2＝－7，则a7等于（ ）
A.2 B.14
C.16 D.18
2.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和.若S10＝S11，则a1＝（ ）
A.18 B.20
C.22 D.24
3.已知数列{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P（3，a3），Q（4，a4）的直线斜率为（ ）
A.4 B.
C.－4 D.－
4.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 012＝S2 021，Sk＝S2 008，则正整数k为（ ）
A.2 023 B.2 024
C.2 025 D.2 026
5.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ）
A.1.5尺 B.2.5尺
C.3.5尺 D.4.5尺
6.已知等差数列{an}的前n项和Sn，且S3＝S5＝15，则S7＝（ ）
A.4 B.7
C.14 D.
7.已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝ .
8.含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 .
9.定义n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”为，若各项均为正数的数列{an}的前n项的“均倒数”为，则a2 025＝ .
10.等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
（1）求数列的通项公式；
（2）若Sn＝242，求n.
11.（多选）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝a4，则（ ）
A.a1＋a3＝0 B.a3＋a5＝0
C.S3＝S4 D.S4＝S5
12.在等差数列{an}中，前m（m为奇数）项和为135，其中偶数项之和为63，且am－a1＝14，则m＝ ，a100＝ .
13.设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.
（1）若S5＝5，求S6及a1；
（2）求d的取值范围.
14.一同学在电脑中打出如图所示图案：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若将此图案以此规律继续下去，那么在前120个中的●的个数是（ ）
A.12 B.13
C.14 D.15
15.已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
第一课时 等差数列的前n项和公式
1.A 设{an}的公差为d，依题意可得，－4×2＋d＝－7，∴d＝1，∴a7＝－4＋6＝2.
2.B 由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，所以a1＝a11＋（1－11）d＝0＋（－10）×（－2）＝20.
3.A 由S5＝＝＝55，解得a3＝11.∴P（3，11），Q（4，15），∴k＝＝4.故选A.
4.C 因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数图象的对称性及S2 012＝S2 021，Sk＝S2 008，可得＝，解得k＝2 025，故选C.
5.C 设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次构成等差数列{an}，其首项为a1，公差为d，则由题意可得解得
所以小满日影长为a11＝13.5＋10×（－1）＝3.5（尺）.
6.B 等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝S5＝15，所以a4＋a5＝0，所以2a1＋7d＝0.再根据S3＝3a1＋3d＝15，可得a1＝7，d＝－2，则S7＝7a1＋d＝49＋21×（－2）＝7.
7. 解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d.a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6， ①
S5＝5a1＋×5×（5－1）d＝10， ②
由①②联立解得a1＝1，d＝.
8. 解析：设该等差数列为{an}，其首项为a1，前n项和为Sn，则S奇＝，S偶＝，
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝.
9.8 099 解析：设数列{an}的前n项和为Sn，由已知可得数列{an}的前n项的“均倒数”为＝＝，
可得Sn＝（2n＋1）n＝2n2＋n，所以，a2 025＝S2 025－S2 024＝－（2×2 0242＋2 024）＝8 099.
10.解：（1）设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则解得
∴an＝a1＋（n－1）d＝12＋（n－1）×2＝10＋2n.
（2）由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋×2，整理得n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22（舍去）.故n＝11.
11.BC 由S7＝＝7a4＝a4，得a4＝0，所以a3＋a5＝2a4＝0，S3＝S4，故选B、C.
12.15 101 解析：∵在前m项中偶数项之和为S偶＝63，
∴奇数项之和为S奇＝135－63＝72，设等差数列{an}的公差为d，则S奇－S偶＝＝72－63＝9.又∵am＝a1＋d（m－1），∴＝9，∵am－a1＝14，∴a1＝2，am＝16.∵＝135，∴m＝15，∴d＝＝1，∴a100＝a1＋99d＝101.
13.解：（1）由题意知S6＝－＝－3，a6＝S6－S5＝－8，所以
解得a1＝7.
综上，S6＝－3，a1＝7.
（2）因为S5S6＋15＝0，
所以（5a1＋10d）（6a1＋15d）＋15＝0，
即2＋9da1＋10d2＋1＝0，
所以（4a1＋9d）2＝d2－8，所以d2≥8.
故d的取值范围为d≤－2或d≥2.
14.C S＝（1＋2＋3＋…＋n）＋n＝＋n≤120，所以n（n＋3）≤240，所以n＝14.
15.解：①③ ②.
已知{an}是等差数列，a2＝3a1.
设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
所以Sn＝na1＋d＝n2a1.
因为数列{an}的各项均为正数，所以＝n，
所以－＝（n＋1）－n＝（常数），所以数列{}是等差数列.
①② ③.
已知{an}是等差数列，{}是等差数列.
设数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋d＝n2d＋n.
因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.
②③ ①.
已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.
设数列{}的公差为d，d＞0，则－＝－＝d，得a1＝d2，所以＝＋（n－1）d＝nd，所以Sn＝n2d2，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－（n－1）2d2＝2d2n－d2（n≥2），是关于n的一次函数，所以数列{an}是等差数列.
2 / 25.2.2 等差数列的前n项和
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式和前n项和公式的关系 数学抽象、数学运算
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题 数学建模、数学运算
第一课时 等差数列的前n项和公式
某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根.假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示.
【问题】 （1）原来有多少根钢管？
（2）能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn？
知识点 等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
公式形式 Sn＝ Sn＝
【想一想】
1.等差数列{an}的公差与前n项和Sn的最高项系数存在怎样的关系？
2.等差数列的前n项和Sn与项数n之间一定是二次函数关系吗？
1.等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn＝（ ）
A.n B.n（n＋1）
C.n（n－1） D.
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝（ ）
A.16 B.24
C.36 D.48
3.已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），则数列{an}的前9项和等于 .
题型一 等差数列前n项和的有关计算
【例1】 在等差数列{an}中，
（1）已知a6＝10，S5＝5，求d与a1；
（2）已知a2＋a4＝，求S5.
尝试解答
通性通法
等差数列前n项和的有关计算
（1）利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想；
（2）结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质，若s＋t＝p＋q（s，t，p，q∈N＋），则as＋at＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用.
【跟踪训练】
1.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝3，S6＝21，则数列{an}的公差为 .
2.已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，则n＝ .
题型二 等差数列前n项和公式的简单应用
【例2】 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2－17n，
（1）求a1及an；
（2）判断这个数列是否是等差数列.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若将本例中“Sn＝n2－17n”变为“Sn＝－2n2＋n＋2”，如何求解下列问题？
（1）求{an}的通项公式；
（2）判断{an}是否为等差数列.
通性通法
已知数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn＋C（A≠0），当C＝0时，数列{an}为等差数列；当C≠0时，{an}为非等差数列.
【跟踪训练】
已知数列{an}的前n项和为Sn，若4Sn＝（2n－1）an＋1＋1，且a1＝1.求证：数列{an}为等差数列.
题型三 等差数列前n项和公式的实际应用
【例3】 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时构筑一道堤坝作为第二道防线，经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时，从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
尝试解答
通性通法
1.本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列.
2.遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列联系，建立模型，具体解决要注意以下两点：
（1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型；
（2）深入分析题意，确定是求通项公式an，还是求前n项和Sn或者求n.
【跟踪训练】
《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（ ）
A.尺 B.尺 C.尺 D.尺
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝（ ）
A.5 B.7
C.9 D.11
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝（ ）
A.－12 B.－10
C.10 D.12
3.我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成（如图所示），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则这9圈的石板总数是 .
4.已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3，则
（1）数列{an}的通项公式an＝ ；
（2）k＝ 时，数列{an}的前k项和Sk＝－35.
5.在等差数列{an}中，
（1）已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
（2）已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
第一课时 等差数列的前n项和公式
【基础知识·重落实】
知识点
na1＋d
想一想
1.提示：2倍关系.由Sn＝n2＋n可知，存在2倍关系.
2.提示：不一定，当d＝0时Sn＝na1，即Sn与n是一次函数关系；当d≠0时，Sn与n是二次函数关系.
自我诊断
1.D 因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n×1＋×1＝＝＝，故选D.
2.D 设等差数列{an}的公差为d，
由已知得4a1＋d＝20，
即4×＋d＝20，解得d＝3，
∴S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.
3.27 解析：因为a1＝1，an＝an－1＋（n≥2），所以数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，所以前9项和S9＝9＋×＝27.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）法一 ∵a6＝10，S5＝5，
∴解得
法二 ∵S6＝S5＋a6＝15，
∴15＝，即3（a1＋10）＝15.
∴a1＝－5，d＝＝3.
（2）法一 ∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝，∴a1＋2d＝.
∴S5＝5a1＋10d＝5（a1＋2d）＝5×＝24.
法二 ∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝，
∴S5＝＝×＝24.
跟踪训练
1.1 解析：由a3＝3，S6＝21，得解得
2.12 解析：Sn＝n·＋·＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5（舍去），即n＝12.
【例2】 解：（1）因为Sn＝n2－17n，
所以当n＝1时，
a1＝S1＝12－17×1＝－16，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2－17n－[（n－1）2－17（n－1）]＝2n－18.
验证当n＝1时a1＝－16，上式成立，
所以an＝2n－18.
（2）由an＝2n－18，
得an－1＝2（n－1）－18（n≥2），
所以an－an－1＝2n－18－[2（n－1）－18]＝2，
所以数列{an}是等差数列.
母题探究
解：（1）∵Sn＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，
Sn－1＝－2（n－1）2＋（n－1）＋2＝－2n2＋5n－1，
∴an＝Sn－Sn－1＝（－2n2＋n＋2）－（－2n2＋5n－1）＝－4n＋3.
又∵a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，
∴数列{an}的通项公式是an＝
（2）由（1）知，当n≥2时，
an＋1－an＝[－4（n＋1）＋3]－（－4n＋3）＝－4，
但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，
∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列.
跟踪训练
证明：令n＝1，则a2＝4S1－1＝3；令n＝2，则3a3＝4S2－1＝15，所以a3＝5.
当n≥2时，4Sn－1＝（2n－3）an＋1，从而（2n＋1）an＝（2n－1）an＋1.
法一 由（2n＋1）an＝（2n－1）an＋1，得＝，
因为＝＝1，所以数列是常数列，
所以＝＝1，所以an＝2n－1.
因为an＋1－an＝2，所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列.
法二 由（2n＋1）an＝（2n－1）an＋1，
得（2n＋3）an＋1＝（2n＋1）an＋2，
两式相减得an＋an＋2＝2an＋1，且a1＋a3＝2a2，
所以数列{an}为等差数列.
【例3】 解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：小时）依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.
25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500＞480 ，∴在24小时内能构筑成第二道防线.
跟踪训练
C 设每日织布增长x尺，则5＋（5＋x）＋（5＋2x）＋…＋（5＋29x）＝390，即＝390，解得x＝.故选C.
随堂检测
1.A 由题a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3.
∴a3＝1，∴S5＝＝＝5.
2.B 设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3（3a1＋3d）＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋（5－1）d＝2＋4×（－3）＝－10.
3.405 解析：因为最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则每圈的石板数构成一个以9为首项，以9为公差的等差数列，所以an＝9n，当n＝9时，第9圈共有81块石板，所以这9圈的石板总数S9＝（9＋81）＝405.
4.（1）3－2n （2）7 解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋（n－1）d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而，an＝1＋（n－1）×（－2）＝3－2n.
（2）由（1）可知an＝3－2n，所以Sn＝＝2n－n2.进而由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35.又k∈N＋，故k＝7为所求.
5.解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
（1）法一 由已知得解得
∴S10＝10a1＋d＝10×3＋×4＝210.
法二 由已知得
∴a1＋a10＝42，∴S10＝＝5×42＝210.
（2）∵S7＝＝7a4＝42，∴a4＝6.
∴Sn＝＝＝＝510，∴n＝20.
3 / 3(共61张PPT)
5.2.2 等差数列的前n项和
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差
数列的通项公式和前n项和公式的关系 数学抽象、数学
运算
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关
系，并解决相应的问题 数学建模、数学
运算
第一课时
等差数列的前n项和公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一
层都比上一层多一根，最下面的一层有9根.假设在这堆钢管旁边再倒
放上同样一堆钢管，如图所示.
【问题】 （1）原来有多少根钢管？
（2）能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn？
知识点 等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
公式形式 Sn＝ Sn＝
na1＋ d
【想一想】
1. 等差数列{an}的公差与前n项和Sn的最高项系数存在怎样的关系？
提示：2倍关系.由Sn＝ n2＋ n可知，存在2倍关系.
2. 等差数列的前n项和Sn与项数n之间一定是二次函数关系吗？
提示：不一定，当d＝0时Sn＝na1，即Sn与n是一次函数关系；当
d≠0时，Sn与n是二次函数关系.
1. 等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn＝（ ）
A. n B. n（n＋1）
C. n（n－1） D.
解析： 因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n×1＋ ×1＝
＝ ＝ ，故选D.
2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝ ，S4＝20，则S6＝
（ ）
A. 16 B. 24
C. 36 D. 48
解析： 设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋ d＝
20，即4× ＋ d＝20，解得d＝3，∴S6＝6× ＋ ×3＝3＋
45＝48.
3. 已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋ （n≥2），则数列{an}的
前9项和等于 .
解析：因为a1＝1，an＝an－1＋ （n≥2），所以数列{an}是首项
为1，公差为 的等差数列，所以前9项和S9＝9＋ × ＝27.
27
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等差数列前n项和的有关计算
【例1】 在等差数列{an}中，
（1）已知a6＝10，S5＝5，求d与a1；
解：法一 ∵a6＝10，S5＝5，
∴解得
法二 ∵S6＝S5＋a6＝15，
∴15＝ ，即3（a1＋10）＝15.
∴a1＝－5，d＝ ＝3.
解：法一 ∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝ ，
∴a1＋2d＝ .
∴S5＝5a1＋10d＝5（a1＋2d）＝5× ＝24.
（2）已知a2＋a4＝ ，求S5.
法二 ∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝ ，
∴S5＝ ＝ × ＝24.
通性通法
等差数列前n项和的有关计算
（1）利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个
量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利
用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问
题.解题时注意整体代换的思想；
（2）结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质，若s＋t＝p
＋q（s，t，p，q∈N＋），则as＋at＝ap＋aq，常与求和公式
Sn＝ 结合使用.
【跟踪训练】
1. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝3，S6＝21，则数列{an}
的公差为 .
解析：由a3＝3，S6＝21，得
解得
1
2. 已知等差数列{an}中，a1＝ ，d＝－ ，Sn＝－15，则n
＝ .
解析：Sn＝n· ＋ · ＝－15，整理得n2－7n－60＝
0，解得n＝12或n＝－5（舍去），即n＝12.
12
题型二 等差数列前n项和公式的简单应用
【例2】 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2－17n，
（1）求a1及an；
解：因为Sn＝n2－17n，
所以当n＝1时，a1＝S1＝12－17×1＝－16，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2－17n－[（n－1）2－17（n－1）]＝2n－18.
验证当n＝1时a1＝－16，上式成立，
所以an＝2n－18.
（2）判断这个数列是否是等差数列.
解：由an＝2n－18，得an－1＝2（n－1）－18（n≥2），
所以an－an－1＝2n－18－[2（n－1）－18]＝2，
所以数列{an}是等差数列.
【母题探究】
（变条件）若将本例中“Sn＝n2－17n”变为“Sn＝－2n2＋n＋
2”，如何求解下列问题？
（1）求{an}的通项公式；
解：∵Sn＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，
Sn－1＝－2（n－1）2＋（n－1）＋2＝－2n2＋5n－1，
∴an＝Sn－Sn－1＝（－2n2＋n＋2）－（－2n2＋5n－1）
＝－4n＋3.
又∵a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，
∴数列{an}的通项公式是an＝
（2）判断{an}是否为等差数列.
解：由（1）知，当n≥2时，
an＋1－an＝[－4（n＋1）＋3]－（－4n＋3）＝－4，
但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，
∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列.
通性通法
已知数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn＋C（A≠0），当C＝0
时，数列{an}为等差数列；当C≠0时，{an}为非等差数列.
【跟踪训练】
已知数列{an}的前n项和为Sn，若4Sn＝（2n－1）an＋1＋1，且a1
＝1.求证：数列{an}为等差数列.
证明：令n＝1，则a2＝4S1－1＝3；令n＝2，则3a3＝4S2－1＝15，所
以a3＝5.
当n≥2时，4Sn－1＝（2n－3）an＋1，从而（2n＋1）an＝（2n－
1）an＋1.
法一 由（2n＋1）an＝（2n－1）an＋1，得 ＝ ，
因为 ＝ ＝1，所以数列 是常数列，
所以 ＝ ＝1，所以an＝2n－1.
因为an＋1－an＝2，所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列.
法二 由（2n＋1）an＝（2n－1）an＋1，
得（2n＋3）an＋1＝（2n＋1）an＋2，
两式相减得an＋an＋2＝2an＋1，且a1＋a3＝2a2，
所以数列{an}为等差数列.
题型三 等差数列前n项和公式的实际应用
【例3】 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保
安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时构筑一道堤坝作为第二道防
线，经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻
斗车，平均每辆车工作24小时，从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前
只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25
辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间（单位：小时）依次设
为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公
差d＝－ .
25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋
25×12× ＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500＞
480 ，∴在24小时内能构筑成第二道防线.
通性通法
1. 本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适
的等差数列.
2. 遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列联系，建立模型，
具体解决要注意以下两点：
（1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型；
（2）深入分析题意，确定是求通项公式an，还是求前n项和Sn或
者求n.
【跟踪训练】
《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较
突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的
解决、某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善
织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那
么此女子每日织布增长（ ）
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
解析： 设每日织布增长x尺，则5＋（5＋x）＋（5＋2x）＋…＋
（5＋29x）＝390，即 ＝390，解得x＝ .故选C.
1. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝
（ ）
A. 5 B. 7
C. 9 D. 11
解析： 由题a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3.
∴a3＝1，∴S5＝ ＝ ＝5.
2. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝
（ ）
A. －12 B. －10 C. 10 D. 12
解析： 设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3（3a1
＋3d）＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，
解得d＝－3，故a5＝a1＋（5－1）d＝2＋4×（－3）＝－10.
3. 我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑
中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的
石板铺成（如图所示），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈
有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则
这9圈的石板总数是 .
405
解析：因为最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块
石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则每圈的
石板数构成一个以9为首项，以9为公差的等差数列，所以an＝
9n，当n＝9时，第9圈共有81块石板，所以这9圈的石板总数S9＝
（9＋81）＝405.
4. 已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3，则
（1）数列{an}的通项公式an＝ ；
解析：设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋（n－
1）d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从
而，an＝1＋（n－1）×（－2）＝3－2n.
（2）k＝ 时，数列{an}的前k项和Sk＝－35.
解析：由（1）可知an＝3－2n，所以Sn＝
＝2n－n2.进而由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35.又k∈N＋，
故k＝7为所求.
3－2n
7
5. 在等差数列{an}中，
（1）已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
法一 由已知得
解得
∴S10＝10a1＋ d＝10×3＋ ×4＝210.
法二 由已知得
∴a1＋a10＝42，∴S10＝ ＝5×42＝210.
（2）已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
解： ∵S7＝ ＝7a4＝42，∴a4＝6.
∴Sn＝ ＝ ＝ ＝510，∴n＝20.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－4，S2＝－7，则a7等于
（ ）
A. 2 B. 14
C. 16 D. 18
解析： 设{an}的公差为d，依题意可得，－4×2＋d＝－7，
∴d＝1，∴a7＝－4＋6＝2.
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2. 设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和.若S10＝S11，
则a1＝（ ）
A. 18 B. 20
C. 22 D. 24
解析： 由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，所以a1＝a11＋（1－
11）d＝0＋（－10）×（－2）＝20.
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3. 已知数列{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P（3，
a3），Q（4，a4）的直线斜率为（ ）
A. 4 B.
C. －4 D. －
解析： 由S5＝ ＝ ＝55，解得a3＝11.∴P
（3，11），Q（4，15），∴k＝ ＝4.故选A.
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4. 在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 012＝S2 021，Sk＝S2
008，则正整数k为（ ）
A. 2 023 B. 2 024
C. 2 025 D. 2 026
解析： 因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以
由二次函数图象的对称性及S2 012＝S2 021，Sk＝S2 008，可得
＝ ，解得k＝2 025，故选C.
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5. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立
春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个
节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为
31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ）
A. 1.5尺 B. 2.5尺
C. 3.5尺 D. 4.5尺
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解析： 设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春
分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次构
成等差数列{an}，其首项为a1，公差为d，则由题意可得
解得所以小
满日影长为a11＝13.5＋10×（－1）＝3.5（尺）.
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6. 已知等差数列{an}的前n项和Sn，且S3＝S5＝15，则S7＝（ ）
A. 4 B. 7
C. 14 D.
解析： 等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝S5＝15，所以a4
＋a5＝0，所以2a1＋7d＝0.再根据S3＝3a1＋3d＝15，可得a1＝
7，d＝－2，则S7＝7a1＋ d＝49＋21×（－2）＝7.
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7. 已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为
d＝ .
解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d.a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋
5d＝6， ①
S5＝5a1＋ ×5×（5－1）d＝10， ②
由①②联立解得a1＝1，d＝ .
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8. 含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比
为 .
解析：设该等差数列为{an}，其首项为a1，前n项和为Sn，则S奇
＝ ，S偶＝ ，∵a1＋a2n＋1＝a2＋
a2n，∴ ＝ .
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9. 定义n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”为 ，若
各项均为正数的数列{an}的前n项的“均倒数”为 ，则a2 025
＝ .
解析：设数列{an}的前n项和为Sn，由已知可得数列{an}的前n项
的“均倒数”为 ＝ ＝ ，可得Sn＝（2n＋1）
n＝2n2＋n，所以，a2 025＝S2 025－S2 024＝ －
（2×2 0242＋2 024）＝8 099.
8 099
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10. 等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
（1）求数列的通项公式；
解：设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则解得
∴an＝a1＋（n－1）d＝12＋（n－1）×2＝10＋2n.
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（2）若Sn＝242，求n.
解：由Sn＝na1＋ d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋ ×2，整理得n2＋11n－242＝
0，解得n＝11或n＝－22（舍去）.故n＝11.
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11. （多选）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝a4，则
（ ）
A. a1＋a3＝0 B. a3＋a5＝0
C. S3＝S4 D. S4＝S5
解析： 由S7＝ ＝7a4＝a4，得a4＝0，所以a3＋a5
＝2a4＝0，S3＝S4，故选B、C.
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12. 在等差数列{an}中，前m（m为奇数）项和为135，其中偶数项之
和为63，且am－a1＝14，则m＝ ，a100＝ .
解析：∵在前m项中偶数项之和为S偶＝63，∴奇数项之和为S奇＝
135－63＝72，设等差数列{an}的公差为d，则S奇－S偶＝
＝72－63＝9.又∵am＝a1＋d（m－1），
∴ ＝9，∵am－a1＝14，∴a1＝2，am＝
16.∵ ＝135，∴m＝15，∴d＝ ＝1，∴a100＝a1
＋99d＝101.
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13. 设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和
为Sn，满足S5S6＋15＝0.
（1）若S5＝5，求S6及a1；
解：由题意知S6＝－ ＝－3，a6＝S6－S5＝－8，所
以解得a1＝7.
综上，S6＝－3，a1＝7.
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（2）求d的取值范围.
解：因为S5S6＋15＝0，
所以（5a1＋10d）（6a1＋15d）＋15＝0，
即2 ＋9da1＋10d2＋1＝0，
所以（4a1＋9d）2＝d2－8，所以d2≥8.
故d的取值范围为d≤－2 或d≥2 .
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14. 一同学在电脑中打出如图所示图案：
○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若将此图案以此规律继续下去，
那么在前120个中的●的个数是（ ）
A. 12 B. 13
C. 14 D. 15
解析： S＝（1＋2＋3＋…＋n）＋n＝ ＋n≤120，
所以n（n＋3）≤240，所以n＝14.
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15. 已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面
①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列；②数列{ }是等差数列；
③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
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解：①③ ②.
已知{an}是等差数列，a2＝3a1.
设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
所以Sn＝na1＋ d＝n2a1.
因为数列{an}的各项均为正数，所以 ＝n ，
所以 － ＝（n＋1） －n ＝ （常数），所以
数列{ }是等差数列.
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①② ③.
已知{an}是等差数列，{ }是等差数列.
设数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋ d＝ n2d＋ n.
因为数列{ }是等差数列，所以数列{ }的通项公式是关于
n的一次函数，则a1－ ＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.
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②③ ①.
已知数列{ }是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2
＝4a1.
设数列{ }的公差为d，d＞0，则 － ＝ － ＝
d，得a1＝d2，所以 ＝ ＋（n－1）d＝nd，所以Sn＝
n2d2，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－（n－1）2d2＝2d2n－d2（n≥2），
是关于n的一次函数，所以数列{an}是等差数列.
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谢 谢 观 看！
