第二课时 等比数列的性质
1.在等比数列{an}中，a1＝1，公比q≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于（ ）
A.9 B.10
C.11 D.12
2.在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则（ ）
A.a1＝1 B.a3＝1
C.a4＝1 D.a5＝1
3.已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg（a3a8a13）＝6，则a1·a15的值为（ ）
A.100 B.－100
C.10 000 D.－10 000
4.已知{an}是等比数列，a4·a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则公比q为（ ）
A.2 B.－2
C.1 D.－1
5.现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用一年期自动转存业务，则第十年末的本利和为（ ）
A.8×1.0258万元 B.8×1.0259万元
C.8×1.02510万元 D.8×1.02511万元
6.（多选）设{an}（n∈N＋）是各项为正数的等比数列，q是其公比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中成立的是（ ）
A.0＜q＜1
B.a7＝1
C.K9＞K5
D.K6与K7均为Kn的最大值
7.在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝ .
8.画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于 平方厘米.
9.已知数列{an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，若a2a7a12＝3，b1＋b7＋b13＝6π，则tan＝ .
10.已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列，，…，，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{bn}的通项公式.
11.（多选）已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）
A. B.{log2（an）2}
C.{an＋an＋1} D.{an＋an＋1＋an＋2}
12.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则a3a18＝ ，ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ .
13.设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N＋，其中k是常数.
（1）求a1及an；
（2）若对于任意的m∈N＋，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值.
14.（多选）已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，且a1＞1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，记{an}的前n项积为Tn，则下列选项中正确的选项是（ ）
A.0＜q＜1 B.a6＞1
C.T12＞1 D.T13＞1
15.判断是否存在一个等比数列{an}，使其满足下列三个条件：（1）a1＋a6＝11，且a3a4＝；（2）an＋1＞an；（3）至少存在一个m（m∈N＋，且m＞4），使am－1，，am＋1＋成等差数列.若存在，请写出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.
第二课时 等比数列的性质
1.C 由题意得，am＝＝（a1q2）5＝q10＝q10＝q11－1，所以m＝11.故选C.
2.B 由题意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即（a1·a5）·（a2·a4）·a3＝1，又因为a1·a5＝a2·a4＝，所以＝1，得a3＝1.
3.C ∵a3a8a13＝，∴lg（a3a8a13）＝lg ＝3lg a8＝6，∴a8＝100，∴a1a15＝＝10 000，故选C.
4.B 根据等比数列的性质可得a4·a7＝a3·a8＝－512，又a3＋a8＝124，所以或因为公比为整数，所以所以q5＝＝－32，所以q＝－2.
5.C 由题意得，每年末的本利和依次构成以1＋2.50%＝1.025为公比，8×1.025为首项的等比数列，所以第十年末的本利和为8×1.025×1.02510－1＝8×1.02510万元.故选C.
6.ABD 根据题意，分析选项.对于B，若K6＝K7，则a7＝＝1，B正确；对于A，由K5＜K6可得，a6＝＞1，则q＝∈（0，1），故A正确；对于C，由{an}是各项为正数的等比数列且q∈（0，1）可得数列单调递减，则有K9＜K5，故C错误；对于D，结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确.故选A、B、D.
7.1 024 解析：设等比数列{an}的公比为q，
a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝·q6＝1， ①
a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝·q54＝8，②
②÷①得q48＝8，q16＝2，所以a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝·q166＝·q6·q160＝（·q6）·（q16）10＝210＝1 024.
8.2 048 解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}（1≤n≤10，n∈N＋），则第10个正方形的面积S＝＝（）2＝211＝2 048.
9. 解析：由等比数列性质知a2a7a12＝＝3，解得a7＝，又数列{bn}为等差数列，b1＋b7＋b13＝3b7＝6π，解得b7＝2π，又b2＋b12＝2b7＝4π，a3a11＝＝3，所以tan＝tan＝tan＝.
10.解：依题意＝a1a17，即（a1＋4d）2＝a1（a1＋16d），所以a1d＝2d2，因为d≠0，所以a1＝2d.设数列{}的公比为q，则q＝＝＝3，
所以＝a13n－1， ①
又因为＝a1＋（bn－1）d＝a1， ②
由①②得a1·3n－1＝·a1.
因为a1＝2d≠0，所以bn＝2×3n－1－1.
11.AD 当an＝1时，log2（an）2＝0，数列{log2（an）2}不一定是等比数列.当q＝－1时，an＋an＋1＝0，数列{an＋an＋1}不一定是等比数列.由等比数列的性质知和{an＋an＋1＋an＋2}都是等比数列.故选A、D.
12.e5 50 解析：因为{an}为等比数列，所以a1a20＝a2a19＝…＝a9a12＝a10a11.又因为a10a11＋a9a12＝2e5，所以a3a18＝a10a11＝a9a12＝e5，所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln（a1a2…a20）＝ln[（a1a20）·（a2a19）·…·（a10a11）]＝ln（a10a11）10＝ln（e5）10＝ln e50＝50.
13.解：（1）由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1.
经验证，n＝1时，上式也成立，
所以an＝2kn－k＋1.
（2）因为am，a2m，a4m成等比数列，
所以＝am·a4m，
即（4mk－k＋1）2＝（2km－k＋1）（8km－k＋1），
整理得mk（k－1）＝0.因为对任意的m∈N＋成立，所以k＝0或k＝1.
14.ABC 由于等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，且a1＞1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，所以（a7－1）＜0，由题意得a6＞1，a7＜1，所以0＜q＜1. 因为a6a7＋1＞2，所以a6a7＞1，T12＝a1·a2·…·a11·a12＝＞1，T13＝＜1.故选A、B、C.
15.解：不存在.理由如下：
假设存在符合条件的等比数列{an}，
则a3a4＝a1a6＝，与a1＋a6＝11联立，
解得或（舍去，因为an＋1＞an）.
设{an}的公比为q，由a6＝a1q5，得＝q5，解得q＝2，
所以an＝·2n－1（n∈N＋）.
又因为am－1，，am＋1＋成等差数列，
所以2＝am－1＋，
即2＝（·2m－2）＋（·2m＋），
化简整理，得22m－7·2m－8＝0，即（2m－8）·（2m＋1）＝0.
因为2m＋1＞0，所以2m－8＝0，即2m＝8，所以m＝3.
这与条件（3）中的m＞4矛盾.
所以不存在符合条件的等比数列{an}.
2 / 2第二课时 等比数列的性质
新课程标准解读 核心素养
1.理解等比中项的定义，会利用等比中项解决相关问题 数学抽象、数学运算
2.掌握等比数列的性质及等比数列在实际生活中的应用 数学运算、数学建模
在等差数列{an}中，存在很多的性质，如：
（1）若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq（m，n，p，q∈N＋）；
（2）若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；
（3）若l1，l2，l3，l4，…，ln成等差数列，则，，，，…，也成等差数列.
【问题】 类比等差数列的性质，你能否得出等比数列的相类似的性质呢？
知识点一 等比中项
如果x，G，y是 数列，那么称G为x与y的等比中项，此时G＝ .
【想一想】
1.任何两个非零实数都有等比中项吗？
2.G是x与y的等比中项的充要条件为G2＝xy吗？
1.（多选）如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么（ ）
A.b＝3 B.b＝－3
C.ac＝9 D.ac＝－9
2.已知一等比数列的前三项依次为x，2x＋2，3x＋3，则x＝ .
知识点二 等比数列的性质
如果{an}是等比数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则asat＝ .
特别地，如果2s＝p＋q，则＝ .
【想一想】
在有穷等比数列中与首末两项“等距离”的两项之积与首末两项之积有何关系？
1.在等比数列{an}中若a3a5＝4，则a1a7＝（ ）
A.4 B.2
C.8 D.16
2.在等比数列{an}中，若a3＝2，则a1a2a3a4a5＝ .
题型一 等比中项
【例1】 （1）在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项a6＝（ ）
A.±4 B.4
C.± D.
（2）已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项.
尝试解答
通性通法
1.在等比数列{an}中，任取相邻的三项，an－1，an，an＋1，则an是an＋1与an－1的等比中项，即＝an－1·an＋1.
2.“a，G，b成等比数列”是“G2＝ab”的充分不必要条件.
3.等比数列中的任一项（除首、末两项）都是数列中距该项“距离”相等的两项的等比中项，即＝an－k·an＋k（n＞k）.
【跟踪训练】
1.已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝（ ）
A.6 B.－6
C.±6 D.±12
2.已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝ .
题型二 等比数列性质的应用
【例2】 （1）在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为（ ）
A.10n B.n10
C.100n D.n100
（2）在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于 .
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）本例（2）条件不变，试求a1a5＋a2a9的值.
2.（变条件，变设问）若本例（2）中的条件“a3＝16，a1a2a3…a10＝265”变为“a5＝3”，试求a1a2a3a4a5a6a7a8a9的值.
通性通法
1.在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，往往是建立关于a1，q的方程组求解，但这样解起来很麻烦.若能避开求a1，q，直接利用等比数列的性质求解，往往可使问题简单明了.
2.在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件.
【跟踪训练】
1.已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝（ ）
A.7 B.5
C.－5 D.－7
2.已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n（n≥3），则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝ .
题型三 等比数列的实际应用问题
【例3】 某工厂2024年1月的生产总值为a万元，计划从2024年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2025年8月底该厂的生产总值为多少万元？
尝试解答
通性通法
数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：（1）构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解；（2）通过归纳得到结论，再用数列知识求解.
【跟踪训练】
某家庭决定要进行一项投资活动，预计每年收益5%.该家庭2025年1月1日投入10万元，按照复利（复利是指在每经过一个计息期后，都将所得利息加入本金，以计算下期的利息）计算，到2035年1月1日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为（ ）
参考数据：1.058≈1.48，1.059≈1.55，1.0510≈1.63，1.0511≈1.71.
A.14.8万元 B.15.5万元
C.16.3万元 D.17.1万元
1.2＋和2－的等比中项是（ ）
A.1 B.－1
C.±1 D.2
2.由公比为q的等比数列a1，a2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a1a2，a2a3，a3a4，…是（ ）
A.等差数列
B.以q为公比的等比数列
C.以q2为公比的等比数列
D.以2q为公比的等比数列
3.已知等比数列{an}满足a5＋a8＝2，a6·a7＝－8，则q3＝（ ）
A.－ B.－2
C.－或－2 D.2
4.在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9的值为 .
5.已知数列{an}为等比数列.
（1）若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an；
（2）若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q.
第二课时 等比数列的性质
【基础知识·重落实】
知识点一
等比 ±
想一想
1.提示：不一定，当两个实数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项.
2.提示：不是.若G是x与y的等比中项，则G2＝xy，反之不成立.
自我诊断
1.BC ∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b＝±3.由等比数列奇数项符号相同，得b＜0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，即ac＝9.
2.－4 解析：由x，2x＋2，3x＋3成等比数列，可知（2x＋2）2＝x（3x＋3），解得x＝－1或x＝－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾，所以x＝－4.
知识点二
apaq apaq
想一想
提示：相等.因为1＋n＝2＋（n－1）＝3＋（n－2）＝…，所以a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….
自我诊断
1.A ∵3＋5＝1＋7，∴a1a7＝a3a5＝4.
2.32 解析：a1a2a3a4a5＝＝25＝32.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）B 由an＝×2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，∴a4与a8的等比中项为±4，又∵a1＞0，q＞0，∴a6＞0，故a4与a8的等比中项为a6＝4.
（2）证明：因为b是a，c的等比中项，
所以b2＝ac，且a，b，c均不为零，
又因为（a2＋b2）（b2＋c2）＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，（ab＋bc）2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以（ab＋bc）2＝（a2＋b2）（b2＋c2），
即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项.
跟踪训练
1.C 依题意知，2a＝1＋2，b2＝（－1）×（－16），∴a＝，b＝±4，∴ab＝±6.
2.4× 解析：由已知可得（a＋1）2＝（a－1）（a＋4），
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
所以q＝＝＝，所以an＝4×.
【例2】 （1）A （2）256 解析：（1）设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，则a2·a3·…·an＋1＝（a1an＋2＝（100＝10n.
（2）因为a1a2a3…a10＝（a3a8）5＝265，所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29，因为a8＝a3·q5，所以q＝2，所以a7＝＝256.
母题探究
1.解：∵a1a2…a10＝（a2a9）5＝265，
∴a2a9＝213＝8 192.又∵a1a5＝＝162＝256.
∴a1a5＋a2a9＝256＋8 192＝8 448.
2.解：∵a1a9＝a2a8＝a3a7＝a4a6＝＝9，∴a1a2…a8a9＝94×3＝19 683.
跟踪训练
1.D 因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8，联立解得或故a1＋a10＝＋a7·q3＝－7.
2.n2 解析：设数列{an}的公比为q，由a5·a2n－5＝22n得a1q4·a1q2n－6＝q2n－2＝22n，所以（a1qn－1）2＝（2n）2.又an＞0，所以a1qn－1＝2n.故log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2（a1·a3·…·a2n－1）＝log2（q2＋4＋…＋2n－2）＝log2[qn（n－1）]＝log2[（a1qn－1）n]＝log2[（2n）n]＝n2.
【例3】 解：设从2024年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%，
∴＝1＋m%.
∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列，∴an＝a（1＋m%）n－1，
∴2025年8月底该厂的生产总值为a20＝a（1＋m%）20－1＝a（1＋m%）19（万元）.
跟踪训练
C 由题意知，该家庭2026年1月1日本金加收益和为10·（1＋5%）＝10×1.05，2027年1月1日本金加收益和为10×1.052，2028年1月1日本金加收益和为10×1.053，…，2035年1月1日本金加收益和为10×1.0510≈10×1.63＝16.3.所以到2035年1月1日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为16.3万元.
随堂检测
1.C 设2＋和2－的等比中项为G，则G2＝（2＋）×（2－）＝1，∴G＝±1.
2.C 因为＝＝q2为常数，所以该数列为以q2为公比的等比数列.
3.C 由等比数列的性质可知，a5·a8＝a6·a7＝－8，又因为a5＋a8＝2，所以a5＝4，a8＝－2，或a5＝－2，a8＝4，所以q3＝＝－2或－.
4.9 解析：因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9，所以（a1a9）2＝81，即a1a9＝±9.因为在等比数列{an}中，奇数项（或偶数项）的符号相同，所以a1，a9同号，所以a1a9＝9.
5.解：（1）∵a1a2a3＝＝216，∴a2＝6，∴a1a3＝36.
又∵a1＋a3＝21－a2＝15，
∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12.
当a1＝3时，q＝＝2，an＝3·2n－1；
当a1＝12时，q＝，an＝12·.
（2）∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，
∴q4＝4，∴q＝±.
3 / 3(共59张PPT)
第二课时 等比数列的性质
新课程标准解读 核心素养
1.理解等比中项的定义，会利用等比中项
解决相关问题 数学抽象、数学运算
2.掌握等比数列的性质及等比数列在实际
生活中的应用 数学运算、数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在等差数列{an}中，存在很多的性质，如：
（1）若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq（m，n，p，q∈N＋）；
（2）若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；
（3）若l1，l2，l3，l4，…，ln成等差数列，则 ， ， ，
，…， 也成等差数列.
【问题】 类比等差数列的性质，你能否得出等比数列的相类似的性
质呢？
知识点一 等比中项
如果x，G，y是 数列，那么称G为x与y的等比中项，此
时G＝ .
等比
±
【想一想】
1. 任何两个非零实数都有等比中项吗？
提示：不一定，当两个实数同号时才有等比中项，异号时不存在等
比中项.
2. G是x与y的等比中项的充要条件为G2＝xy吗？
提示：不是.若G是x与y的等比中项，则G2＝xy，反之不成立.
1. （多选）如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么（ ）
A. b＝3 B. b＝－3
C. ac＝9 D. ac＝－9
解析： ∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b＝±3.由等
比数列奇数项符号相同，得b＜0，故b＝－3，而b又是a，c的等
比中项，故b2＝ac，即ac＝9.
2. 已知一等比数列的前三项依次为x，2x＋2，3x＋3，则x＝
.
解析：由x，2x＋2，3x＋3成等比数列，可知（2x＋2）2＝x（3x
＋3），解得x＝－1或x＝－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与
等比数列的定义相矛盾，所以x＝－4.
－
4
知识点二 等比数列的性质
如果{an}是等比数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，
则asat＝ .
特别地，如果2s＝p＋q，则 ＝ .
apaq
apaq
【想一想】
在有穷等比数列中与首末两项“等距离”的两项之积与首末两项之
积有何关系？
提示：相等.因为1＋n＝2＋（n－1）＝3＋（n－2）＝…，所以a1an
＝a2an－1＝a3an－2＝….
1. 在等比数列{an}中若a3a5＝4，则a1a7＝（ ）
A. 4 B. 2
C. 8 D. 16
解析： ∵3＋5＝1＋7，∴a1a7＝a3a5＝4.
2. 在等比数列{an}中，若a3＝2，则a1a2a3a4a5＝ .
解析：a1a2a3a4a5＝ ＝25＝32.
32
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等比中项
【例1】 （1）在等比数列{an}中，a1＝ ，q＝2，则a4与a8的等比
中项a6＝（ ）
A. ±4 B. 4
C. ± D.
解析：由an＝ ×2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，
∴a4与a8的等比中项为±4，又∵a1＞0，q＞0，∴a6＞0，故a4
与a8的等比中项为a6＝4.
（2）已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的
等比中项.
证明：因为b是a，c的等比中项，
所以b2＝ac，且a，b，c均不为零，
又因为（a2＋b2）（b2＋c2）＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋
2a2c2＋b2c2，（ab＋bc）2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2
＋b2c2，
所以（ab＋bc）2＝（a2＋b2）（b2＋c2），
即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项.
通性通法
1. 在等比数列{an}中，任取相邻的三项，an－1，an，an＋1，则an是an
＋1与an－1的等比中项，即 ＝an－1·an＋1.
2. “a，G，b成等比数列”是“G2＝ab”的充分不必要条件.
3. 等比数列中的任一项（除首、末两项）都是数列中距该项“距离”
相等的两项的等比中项，即 ＝an－k·an＋k（n＞k）.
【跟踪训练】
1. 已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝
（ ）
A. 6 B. －6
C. ±6 D. ±12
解析： 依题意知，2a＝1＋2，b2＝（－1）×（－16），∴a
＝ ，b＝±4，∴ab＝±6.
2. 已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an
＝ .
解析：由已知可得（a＋1）2＝（a－1）（a＋4），
解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，
所以q＝ ＝ ＝ ，所以an＝4× .
4×
题型二 等比数列性质的应用
【例2】 （1）在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数
列，则插入的n个数的积为（ A ）
A. 10n B. n10
C. 100n D. n100
解析：设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，
则a2·a3·…·an＋1＝（a1an＋2 ＝（100 ＝10n.
A
（2）在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等
于 .
解析：因为a1a2a3…a10＝（a3a8）5＝265，所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29，因为a8＝a3·q5，所以q＝2，所以a7＝ ＝256.
256
【母题探究】
1. （变设问）本例（2）条件不变，试求a1a5＋a2a9的值.
解：∵a1a2…a10＝（a2a9）5＝265，
∴a2a9＝213＝8 192.又∵a1a5＝ ＝162＝256.
∴a1a5＋a2a9＝256＋8 192＝8 448.
2. （变条件，变设问）若本例（2）中的条件“a3＝16，a1a2a3…a10
＝265”变为“a5＝3”，试求a1a2a3a4a5a6a7a8a9的值.
解：∵a1a9＝a2a8＝a3a7＝a4a6＝ ＝9，∴a1a2…a8a9＝94×3＝
19 683.
通性通法
1. 在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，往往是
建立关于a1，q的方程组求解，但这样解起来很麻烦.若能避开求
a1，q，直接利用等比数列的性质求解，往往可使问题简单明了.
2. 在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前
提条件.
【跟踪训练】
1. 已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝
（ ）
A. 7 B. 5
C. －5 D. －7
解析： 因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8，联立
解得或故a1＋a10＝ ＋
a7·q3＝－7.
2. 已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n
（n≥3），则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝ .
解析：设数列{an}的公比为q，由a5·a2n－5＝22n得a1q4·a1q2n－6＝
q2n－2＝22n，所以（a1qn－1）2＝（2n）2.又an＞0，所以a1qn－1
＝2n.故log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2（a1·a3·…·a2n－1）＝
log2（ q2＋4＋…＋2n－2）＝log2[ qn（n－1）]＝log2[（a1qn－1）n]＝
log2[（2n）n]＝n2.
n2
题型三 等比数列的实际应用问题
【例3】 某工厂2024年1月的生产总值为a万元，计划从2024年2月
起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2025年8月底该厂的生
产总值为多少万元？
解：设从2024年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1
＝an＋anm%，
∴ ＝1＋m%.
∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列，∴an＝a（1
＋m%）n－1，
∴2025年8月底该厂的生产总值为a20＝a（1＋m%）20－1＝a（1＋
m%）19（万元）.
通性通法
数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，
建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：（1）构造等
差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解；
（2）通过归纳得到结论，再用数列知识求解.
【跟踪训练】
某家庭决定要进行一项投资活动，预计每年收益5%.该家庭2025年1
月1日投入10万元，按照复利（复利是指在每经过一个计息期后，都
将所得利息加入本金，以计算下期的利息）计算，到2035年1月1日，
该家庭在此项投资活动的资产总额大约为（ ）
参考数据：1.058≈1.48，1.059≈1.55，1.0510≈1.63，1.0511≈1.71.
A. 14.8万元 B. 15.5万元
C. 16.3万元 D. 17.1万元
解析： 由题意知，该家庭2026年1月1日本金加收益和为10·（1＋
5%）＝10×1.05，2027年1月1日本金加收益和为10×1.052，2028年1
月1日本金加收益和为10×1.053，…，2035年1月1日本金加收益和为
10×1.0510≈10×1.63＝16.3.所以到2035年1月1日，该家庭在此项投
资活动的资产总额大约为16.3万元.
1.2＋ 和2－ 的等比中项是（ ）
A. 1 B. －1
C. ±1 D. 2
解析： 设2＋ 和2－ 的等比中项为G，则G2＝（2＋ ）
×（2－ ）＝1，∴G＝±1.
2. 由公比为q的等比数列a1，a2，…依次相邻两项的乘积组成的数列
a1a2，a2a3，a3a4，…是（ ）
A. 等差数列
B. 以q为公比的等比数列
C. 以q2为公比的等比数列
D. 以2q为公比的等比数列
解析： 因为 ＝ ＝q2为常数，所以该数列为以q2为
公比的等比数列.
3. 已知等比数列{an}满足a5＋a8＝2，a6·a7＝－8，则q3＝（ ）
A. － B. －2
C. － 或－2 D. 2
解析： 由等比数列的性质可知，a5·a8＝a6·a7＝－8，又因为a5
＋a8＝2，所以a5＝4，a8＝－2，或a5＝－2，a8＝4，所以q3＝
＝－2或－ .
4. 在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9的值为 .
解析：因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9，所以
（a1a9）2＝81，即a1a9＝±9.因为在等比数列{an}中，奇数项（或
偶数项）的符号相同，所以a1，a9同号，所以a1a9＝9.
9
5. 已知数列{an}为等比数列.
（1）若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an；
解： ∵a1a2a3＝ ＝216，
∴a2＝6，
∴a1a3＝36.
又∵a1＋a3＝21－a2＝15，
∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12.
当a1＝3时，q＝ ＝2，an＝3·2n－1；
当a1＝12时，q＝ ，an＝12· .
（2）若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q.
解： ∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，
∴q4＝4，
∴q＝± .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在等比数列{an}中，a1＝1，公比q≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m
等于（ ）
A. 9 B. 10
C. 11 D. 12
解析： 由题意得，am＝ ＝（a1q2）5＝ q10＝q10＝q11－1，
所以m＝11.故选C.
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2. 在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则（ ）
A. a1＝1 B. a3＝1
C. a4＝1 D. a5＝1
解析： 由题意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即
（a1·a5）·（a2·a4）·a3＝1，又因为a1·a5＝a2·a4＝ ，所以 ＝
1，得a3＝1.
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3. 已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg（a3a8a13）＝6，则a1·a15
的值为（ ）
A. 100 B. －100
C. 10 000 D. －10 000
解析： ∵a3a8a13＝ ，∴lg（a3a8a13）＝lg ＝3lg a8＝6，
∴a8＝100，∴a1a15＝ ＝10 000，故选C.
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4. 已知{an}是等比数列，a4·a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整
数，则公比q为（ ）
A. 2 B. －2
C. 1 D. －1
解析： 根据等比数列的性质可得a4·a7＝a3·a8＝－512，又a3＋
a8＝124，所以或因为公比为整数，所以
所以q5＝ ＝－32，所以q＝－2.
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5. 现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用一年期自动转存业
务，则第十年末的本利和为（ ）
A. 8×1.0258万元 B. 8×1.0259万元
C. 8×1.02510万元 D. 8×1.02511万元
解析： 由题意得，每年末的本利和依次构成以1＋2.50%＝
1.025为公比，8×1.025为首项的等比数列，所以第十年末的本利
和为8×1.025×1.02510－1＝8×1.02510万元.故选C.
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6. （多选）设{an}（n∈N＋）是各项为正数的等比数列，q是其公
比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中
成立的是（ ）
A. 0＜q＜1
B. a7＝1
C. K9＞K5
D. K6与K7均为Kn的最大值
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解析： 根据题意，分析选项.对于B，若K6＝K7，则a7＝
＝1，B正确；对于A，由K5＜K6可得，a6＝ ＞1，则q＝ ∈
（0，1），故A正确；对于C，由{an}是各项为正数的等比数列且
q∈（0，1）可得数列单调递减，则有K9＜K5，故C错误；对于
D，结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确.故选A、B、D.
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7. 在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则
a41a42a43a44＝ .
解析：设等比数列{an}的公比为q，
a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝ ·q6＝1， ①
a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝ ·q54＝8， ②
②÷①得q48＝8，q16＝2，所以a41a42a43a44＝
a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝ ·q166＝ ·q6·q160＝（ ·q6）（q16）10
＝210＝1 024.
1 024
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8. 画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2
个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共
画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于 平方厘米.
解析：这10个正方形的边长构成以2为首项， 为公比的等比数列
{an}（1≤n≤10，n∈N＋），则第10个正方形的面积S＝ ＝
（ ）2＝211＝2 048.
2 048
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9. 已知数列{an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，若a2a7a12＝
3 ，b1＋b7＋b13＝6π，则tan ＝ .
解析：由等比数列性质知a2a7a12＝ ＝3 ，解得a7＝ ，又数
列{bn}为等差数列，b1＋b7＋b13＝3b7＝6π，解得b7＝2π，又b2＋
b12＝2b7＝4π，a3a11＝ ＝3，所以tan ＝tan ＝tan ＝
.
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10. 已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的
数列 ， ，…， ，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，
b3＝17.求数列{bn}的通项公式.
解：依题意 ＝a1a17，即（a1＋4d）2＝a1（a1＋16d），所以
a1d＝2d2，因为d≠0，所以a1＝2d.设数列{ }的公比为q，则
q＝ ＝ ＝3，
所以 ＝a13n－1， ①
又因为 ＝a1＋（bn－1）d＝ a1， ②
由①②得a1·3n－1＝ ·a1.
因为a1＝2d≠0，所以bn＝2×3n－1－1.
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11. （多选）已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数
列的是（ ）
A. B. {log2（an）2}
C. {an＋an＋1} D. {an＋an＋1＋an＋2}
解析： 当an＝1时，log2（an）2＝0，数列{log2（an）2}不一
定是等比数列.当q＝－1时，an＋an＋1＝0，数列{an＋an＋1}不一
定是等比数列.由等比数列的性质知 和{an＋an＋1＋an＋2}都是
等比数列.故选A、D.
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12. 若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则a3a18
＝ ，ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ .
解析：因为{an}为等比数列，所以a1a20＝a2a19＝…＝a9a12＝
a10a11.又因为a10a11＋a9a12＝2e5，所以a3a18＝a10a11＝a9a12＝e5，
所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln（a1a2…a20）＝
ln[（a1a20）·（a2a19）·…·（a10a11）]＝ln（a10a11）10＝ln（e5）
10＝ln e50＝50.
e5
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13. 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N＋，其中k是常
数.
（1）求a1及an；
解： 由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1.
经验证，n＝1时，上式也成立，
所以an＝2kn－k＋1.
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（2）若对于任意的m∈N＋，am，a2m，a4m成等比数列，求k的
值.
解： 因为am，a2m，a4m成等比数列，
所以 ＝am·a4m，
即（4mk－k＋1）2＝（2km－k＋1）（8km－k＋1），
整理得mk（k－1）＝0.因为对任意的m∈N＋成立，所以k
＝0或k＝1.
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14. （多选）已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，且a1＞
1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，记{an}的前n项积为Tn，则下列选项中
正确的选项是（ ）
A. 0＜q＜1 B. a6＞1
C. T12＞1 D. T13＞1
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解析： 由于等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，且
a1＞1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，所以 （a7－1）＜0，由题
意得a6＞1，a7＜1，所以0＜q＜1.因为a6a7＋1＞2，所以a6a7＞
1，T12＝a1·a2·…·a11·a12＝ ＞1，T13＝ ＜1.故选A、
B、C.
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15. 判断是否存在一个等比数列{an}，使其满足下列三个条件：
（1）a1＋a6＝11，且a3a4＝ ；（2）an＋1＞an；（3）至少存在
一个m（m∈N＋，且m＞4），使 am－1， ，am＋1＋ 成等差
数列.若存在，请写出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.
解：不存在.理由如下：
假设存在符合条件的等比数列{an}，
则a3a4＝a1a6＝ ，与a1＋a6＝11联立，
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解得或（舍去，因为an＋1＞an）.
设{an}的公比为q，由a6＝a1q5，得 ＝ q5，解得q＝2，
所以an＝ ·2n－1（n∈N＋）.
又因为 am－1， ，am＋1＋ 成等差数列，
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所以2 ＝ am－1＋ ，
即2 ＝ （ ·2m－2）＋（ ·2m＋ ），
化简整理，得22m－7·2m－8＝0，即（2m－8）·（2m＋1）＝0.
因为2m＋1＞0，所以2m－8＝0，即2m＝8，所以m＝3.
这与条件（3）中的m＞4矛盾.
所以不存在符合条件的等比数列{an}.
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谢 谢 观 看！
