第一课时 等比数列的定义
1.若等比数列的前三项分别为5,-15,45,则第5项是( )
A.405 B.-405
C.135 D.-135
2.在等比数列{an}中,a3=2,a6=16,则数列{an}的公比是( )
A.-2 B.
C.2 D.4
3.已知{an}是首项为1,公比为3的等比数列,则log3a2 026=( )
A.2 022 B.2 023
C.2 024 D.2 025
4.数列{an}满足:an+1=λan-1(n∈N+,λ≠0,λ∈R),若数列{an-1}是等比数列,则λ的值是( )
A.1 B.2
C. D.-1
5.(多选)已知数列{an}是等比数列,给出以下数列,其中一定是等比数列的是( )
A.{|an|} B.{an-an+1}
C. D.{kan}
6.(多选)已知等比数列{an}的公比为q,a3=4且a2,a3+1,a4成等差数列,则q的值可能为( )
A. B.1
C.2 D.3
7.若{an}为等比数列,且2a4=a6-a5,则公比q= .
8.已知数列{an}的通项公式为an=3n-1,则数列{an}中能构成等比数列的三项可以为 .(只需写出一组)
9.已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1= ,d= .
10.已知数列{an}为等比数列,an>0,a1=2,2a2+a3=30.
(1)求an;
(2)若数列{bn}满足bn+1=bn+an,b1=a2,求b5.
11.(多选)已知公差为d的等差数列a1,a2,a3,…,则对重新组成的数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…描述正确的是( )
A.一定是等差数列
B.公差为2d的等差数列
C.可能是等比数列
D.可能既非等差数列又非等比数列
12.已知等差数列{an}的首项为a,公差为b,等比数列{bn}的首项为b,公比为a,其中a,b都是大于1的正整数,且a1<b1,b2<a3,对于任意的n∈N+,总存在m∈N+,使得am+3=bn成立,则a= ,an= .
13.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
14.如图给出了一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,
,
,,
…
记第i行第j列的数为aij(i,j∈N+),则a53的值为( )
A. B.
C. D.
15.设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.
(1)证明:,,,依次构成等比数列;
(2)是否存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列?并说明理由.
第一课时 等比数列的定义
1.A ∵a5=a1q4,而a1=5,q==-3,∴a5=405.
2.C 设公比为q,由题意得q3==8,解得q=2.
3.D 由已知可得a1=1,q=3,则数列{an}的通项公式为an=a1·qn-1=3n-1,则log3a2 026=log332 025=2 025.
4.B 数列{an-1}为等比数列 ==q,即:λan-2=qan-q恒成立,可知: λ=2.
5.AC 设等比数列{an}的公比为q,
∵ =|q|,∴{|an|}是等比数列.
当{an}为常数列时,an-an+1=0,
∴{an-an+1}不是等比数列.
∵==,∴是等比数列.
当k=0时,kan=0,∴{kan}不是等比数列.
故只有A、C一定是等比数列.
6.AC 因为a2,a3+1,a4成等差数列,所以a2+a4=2(a3+1),因为a3=4.又{an}是公比为q的等比数列,所以由a2+a4=2(a3+1),得a3=2(a3+1),即q+=,解得q=2或.
7.-1或2 解析:设首项为a1,显然a1q≠0,由已知得2a1q3=a1q5-a1q4,即2=q2-q,解得q=-1或q=2.
8.2,8,32(答案不唯一) 解析:因为数列{an}的通项公式为an=3n-1,所以数列{an}中的项依次为2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,…,显然=,所以2,8,32能构成等比数列.
9. -1 解析:由题意可得=,
即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),
故有3a1+2d=0, ①
由2a1+a2=1,得3a1+d=1, ②
联立①②解得d=-1,a1=.
10.解:(1)设公比为q,由题意得2a1q+a1q2=30,
所以4q+2q2=30,所以q2+2q-15=0,
所以q=3或-5.因为an>0,所以q=3.
所以an=a1qn-1=2×3n-1(n∈N+).
(2)因为b1=a2,所以b1=6.又bn+1=bn+an,所以bn+1=bn+2·3n-1.
所以b2=b1+2×30=6+2=8,b3=b2+2×31=8+6=14,b4=b2+2×32=14+18=32,b5=b4+2×33=32+54=86.
11.ABC 由题意得a1+a4=2a1+3d,a2+a5=2a1+5d,a3+a6=2a1+7d,…,令bn=an+an+3,则bn+1-bn=[2a1+(2n+3)d]-[2a1+(2n+1)d]=2d,因此数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…一定是公差为2d的等差数列,即A、B正确,D错误;当a1≠0,d=0时bn=2a1,此时数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…可以是等比数列,即C正确.故选A、B、C.
12.2 5n-3 解析:∵a1<b1,b2<a3,∴∴b(a-2)<a<b,∴a<3,又∵a>1,且a∈N+,∴a=2.∵对于任意的n∈N+,总存在m∈N+,使得am+3=bn成立,∴令n=1,得2+(m-1)b+3=b,∴b(2-m)=5,又∵2-m<2,且2-m∈N+,∴∴an=a+(n-1)b=5n-3.
13.解:(1)证明:由已知,有a1+a2=4a1+2,所以a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3.
又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an,于是an+2-2an+1=2(an+1-2an),即bn+1=2bn.
因此数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.
(2)由(1)知等比数列{bn}中,b1=3,公比q=2,
所以an+1-2an=3×2n-1.于是-=,
因此数列是首项为,公差为的等差数列,
=+(n-1)×=n-.
所以an=(3n-1)·2n-2.
14.C 第一列构成首项为,公差为的等差数列,所以a51=+(5-1)×=.又因为从第三行起每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,所以第5行构成首项为,公比为的等比数列,所以a53=×=.
15.解:(1)证明:因为==2d(n=1,2,3)是同一个常数,所以,,,依次构成等比数列.
(2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0).
假设存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列,
则=,即a4=(a-d)(a+d)3,
同理得(a+d)6=a2(a+2d)4.
令t=,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,化简得t3+2t2-2=0 (*),且t2=t+1.
将t2=t+1代入(*)式,得t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-.
显然t=-不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,
因此不存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列.
2 / 2第一课时 等比数列的定义
新课程标准解读 核心素养
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义 数学抽象
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题 逻辑推理、数学运算
3.体会等比数列与指数函数的关系 数学抽象
观察下列情境中的数列,回答后面的问题:
(1)拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、再捏合,如此反复几次,就拉成了许多根细面条:1,2,4,8,16,…;
(2)如果将钱存在银行里,就会获得利息.例如,如果某年年初将1 000元钱存为年利率为3%的五年定期存款,且银行每年年底结算一次利息,则这五年中,每年年底的本息和构成数列:1 000×1.03,1 000×1.032,…,1 000×1.035.
【问题】 以上两个数列有什么共同点,你能否类比等差数列的定义,给等比数列下一个定义?
知识点一 等比数列的定义
如果数列{an}从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于 ,即= 恒成立,则称{an}为等比数列,其中 称为等比数列的公比.
【想一想】
1.若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数,则该数列一定是等比数列吗?
2.等比数列的首项不为零,公比可以为零吗?其它项是否可以为零?
3.常数列一定是等比数列吗?
给出下列数列:
①2,2,4,8,16,32,…;
②在数列{an}中,=2,=2;
③常数列c,c,c,…,c.
其中等比数列的个数为 .
知识点二 等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0),则等比数列的通项公式为an= .
【想一想】
等比数列通项公式an=a1qn-1是关于n的指数型函数吗?
1.已知{an}是首项为2,公比为3的等比数列,则这个数列的通项公式为( )
A.an=2·3n+1 B.an=3·2n+1
C.an=2·3n-1 D.an=3·2n-1
2.在等比数列{an}中,a4=27,q=-3,则a7= .
题型一 等比数列的判断与证明
【例1】 已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=.
(1)求b1,b2,b3;
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
(3)求{an}的通项公式.
尝试解答
通性通法
证明数列{an}是等比数列的常用方法
(1)定义法:=q(q为常数且q≠0)或=q(q为常数且q≠0,n≥2) 数列{an}为等比数列;
(2)通项法:an=a1qn-1(其中a1,q为非零常数,n∈N+) 数列{an}是等比数列.
【跟踪训练】
1.已知各项均不为0的数列{an}中,a1,a2,a3成等差数列,a2,a3,a4成等比数列,a3,a4,a5的倒数成等差数列,证明:a1,a3,a5成等比数列.
2.已知数列{an}是首项为2,公差为-1的等差数列,令bn=,求证数列{bn}是等比数列,并求其通项公式.
题型二 等比数列的通项公式及其应用
【例2】 在等比数列{an}中.
(1)a4=2,a7=8,求an;
(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
尝试解答
【母题探究】
1.(变设问)本例(1)条件不变,试问128是不是该数列中的项?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.
2.(变条件)本例(2)中的条件“a2+a5=18,a3+a6=9,an=1”若换为“a1=,q=,an=”,其他条件不变,试求n.
通性通法
求等比数列通项公式的常用方法
(1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法;
(2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.
【跟踪训练】
1.在等比数列{an}中,a1=12,a2=24,则a3=( )
A.36 B.48
C.60 D.72
2.已知等比数列{an}的公比q=-,则=( )
A. B.
C.2 D.4
题型三 灵活设元求解等比数列
【例3】 (1)有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列,则这四个数的和是 ;
(2)有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们之和为12,求这四个数.
尝试解答
通性通法
几个数成等比数列的设法
(1)三个数成等比数列设为,a,aq;
推广到一般:奇数个数成等比数列设为…,,,a,aq,aq2,….
(2)四个符号相同的数成等比数列设为,,aq,aq3;
推广到一般:偶数个符号相同的数成等比数列设为…,,,,aq,aq3,aq5,….
(3)四个数成等比数列,不能确定它们的符号相同时,可设为a,aq,aq2,aq3.
【跟踪训练】
一个等比数列前三项的积为2,后三项的积为4,且所有项的积为64,则该数列有( )
A.13项 B.12项 C.11项 D.10项
等比数列的单调性
在等比数列的通项公式中,an与n的关系与以前学过的什么函数有关?
提示:因为an=a1qn-1=×qn,所以如果记f(x)=×qx,则可以看出an=f(n),而且:
(1)当公比q=1时,f(x)是常数函数,此时数列{an}是常数列;
(2)当公比q≠1时,f(x)是与y=qx的乘积,此时,f(x)的增减性即与a1有关,也与q有关.
【问题探究】
已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q.
(1)若则数列{an}是递增,还是递减数列?
提示:数列{an}是递增数列,证明如下:
∵an+1-an=a1qn-a1qn-1=a1qn-1(q-1)>0,∴an+1>an,∴{an}是递增数列.
(2)若则数列{an}是递增,还是递减数列?
提示:数列{an}是递减数列,证明如下:
∵an+1-an=a1qn-a1qn-1=a1qn-1(q-1)<0,
即an+1<an,
∴{an}是递减数列.
(3)若则数列{an}是递增,还是递减数列?
提示:数列{an}是递减数列,证明如下:
∵an+1-an=a1qn-a1qn-1=a1qn-1(q-1)<0,
∴an+1<an,
∴{an}是递减数列.
(4)若则数列{an}是递增,还是递减数列?
提示:数列{an}是递增数列,证明如下:
∵an+1-an=a1qn-a1qn-1=a1qn-1(q-1)<0,∴an+1>an,
∴{an}是递增数列.
(5)若q=1,则数列{an}的单调性如何?q<0呢?
提示:当q=1时,{an}是常数列,不具有单调性;当q<0时,{an}是一个摆动数列,也不具有单调性.
【迁移应用】
1.在等比数列{an}中,已知a1>0,8a2-a5=0,则数列{an}为( )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.无法确定单调性
2.数列{an}是各项均为正数的等比数列,且an-an-1>0(n≥2),则该数列的公比q的取值范围是( )
A.q=1 B.q<0
C.q>1 D.0<q<1
3.在等比数列{an}中,如果公比为q,且q<1,那么等比数列{an}是( )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.无法确定单调性
1.若数列{an}是公比为的正项等比数列,则{·a2n}是( )
A.公比为2的等比数列
B.公比为的等比数列
C.公差为2的等差数列
D.公差为的等差数列
2.在首项a1=1,公比q=2的等比数列{an}中,当an=64时,项数n等于( )
A.4 B.5
C.6 D.7
3.设a1,a2,a3,a4成等比数列,其公比为2,则的值为( )
A. B.
C. D.1
4.在等比数列{an}中,已知a1=,a5=3,则a3=( )
A.1 B.3
C.±1 D.±3
5.已知{an}为等比数列,且a5=8,a7=2,该数列的各项都为正数,则an= .
第一课时 等比数列的定义
【基础知识·重落实】
知识点一
同一个常数q q q
想一想
1.提示:不一定,根据等比数列的定义,只有比值为同一个常数时,该数列才是等比数列.
2.提示:不能.
3.提示:不一定,如0,0,0,….
自我诊断
0 解析:①不是等比数列,因为≠.②不一定是等比数列,因为不知道的值.事实上,即使=2,数列{an}也未必是等比数列.③不一定是等比数列,当c=0时,数列不是等比数列.
知识点二
a1qn-1
想一想
提示:不一定.如当q=1时,an是关于n的常数函数.
自我诊断
1.C 由已知可得a1=2,公比q=3,则数列{an}的通项公式为an=a1·qn-1=2·3n-1.
2.-729 解析:设等比数列的首项为a1,公比为q,∵a4=a1q3=-27a1=27,∴a1=-1,∴a7=a1q6=-1×(-3)6=-729.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:(1)由条件可得an+1=an.
将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.
将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.
从而b1=1,b2=2,b3=4.
(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
由条件可得=,即bn+1=2bn,又因为b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
(3)由(2)可得,=2n-1,所以an=n·2n-1.
跟踪训练
1.证明:由已知,有2a2=a1+a3, ①
=, ②
=+. ③
由③得=,所以a4=. ④
由①得a2=. ⑤
将④⑤代入②,得=·.
所以a3=,即a3(a3+a5)=a5(a1+a3).
化简得=a1·a5,
因为a1,a3,a5均不为0,所以=,故a1,a3,a5成等比数列.
2.证明:依题意an=2+(n-1)×(-1)=3-n,
于是bn=.
而===2,
又因为b1==.
所以数列{bn}是以为首项,2为公比的等比数列,通项公式为bn=2n-3.
【例2】 解:设等比数列的首项为a1,公比为q.
(1)法一 因为所以
由得q3=4,从而q=,而a1q3=2,
于是a1==,所以an=a1qn-1=.
法二 因为a7=a4q3,所以q3=4,q=.
所以an=a4qn-4=2×()n-4=.
(2)法一 因为
由得q=,从而a1=32.
又因为an=1,所以32×=1,
即26-n=20,所以n=6.
法二 因为a3+a6=q(a2+a5),所以q=.
由a1q+a1q4=18,知a1=32.
由an=a1qn-1=1,知n=6.
母题探究
1.解:由本例(1)知an=.令an=128,
得=7,即n=13.
故128是该数列中的第13项.
2.解:因为an=a1qn-1,所以×=,
即=,解得n=5.
跟踪训练
1.B ∵a2=a1q=12q=24,∴q=2,∴a3=a1q2=12×22=48.
2.D 由题意可得
===
==4.
【例3】 (1)45 解析:设这四个数分别为a,aq,aq2,aq3,
则a-1,aq-1,aq2-4,aq3-13成等差数列.
即
整理得解得a=3,q=2.因此这四个数分别是3,6,12,24,其和为45.
(2)解:设前三个数为,a,aq,
则·a·aq=216,所以a3=216,所以a=6.
因此前三个数为,6,6q.
由题意知第4个数为12q-6,
所以6+6q+12q-6=12,解得q=.
故所求的四个数为9,6,4,2.
跟踪训练
B 设数列的通项公式为an=a1qn-1,则前三项分别为a1,a1q,a1q2,后三项分别为a1qn-3,a1qn-2,a1qn-1.由题意得q3=2,q3n-6=4,两式相乘得q3(n-1)=8,即qn-1=2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn-1=64,∴=64,即(qn-1)n=642,∴2n=642=212,解得n=12.
拓视野 等比数列的单调性
迁移应用
1.A 由8a2-a5=0,可知=q3=8,解得q=2.又因为a1>0,所以数列{an}为递增数列.
2.C 由an-an-1>0(n≥2)可知,数列{an}是递增的等比数列.又因为数列{an}的各项均为正数,所以q>1.
3.D 如等比数列{(-1)n}的公比为-1,是摆动数列,不具有单调性;等比数列的公比为,是递减数列;等比数列的公比为,是递增数列.
随堂检测
1.A 数列{an}是公比为的正项等比数列,则=(n≥2,n∈N+),设bn=·a2n,则==·()2=2(n≥2,n∈N+).
2.D 因为an=a1qn-1,所以1×2n-1=64,即2n-1=26,得n-1=6,解得n=7.
3.A 原式===.
4.A 由a5=a1·q4=3,所以q4=9,得q2=3,a3=a1·q2=×3=1.
5.28-n 解析:由已知得得∵an>0,
∴∴an=128×=28-n.
5 / 5(共76张PPT)
第一课时 等比数列的定义
新课程标准解读 核心素养
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和
通项公式的意义 数学抽象
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关
系,并解决相应的问题 逻辑推理、数学运
算
3.体会等比数列与指数函数的关系 数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
观察下列情境中的数列,回答后面的问题:
(1)拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、再
捏合,如此反复几次,就拉成了许多根细面条:1,2,4,8,
16,…;
(2)如果将钱存在银行里,就会获得利息.例如,如果某年年初
将1 000元钱存为年利率为3%的五年定期存款,且银行每年年底结算
一次利息,则这五年中,每年年底的本息和构成数列:1 000×1.03,
1 000×1.032,…,1 000×1.035.
【问题】 以上两个数列有什么共同点,你能否类比等差数列的定
义,给等比数列下一个定义?
知识点一 等比数列的定义
如果数列{an}从第2项起,每一项与它的前一项之比都等于
,即 = 恒成立,则称{an}为等比数列,其
中 称为等比数列的公比.
同一
个常数q
q
q
【想一想】
1. 若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数,则该数列一定
是等比数列吗?
提示:不一定,根据等比数列的定义,只有比值为同一个常数时,
该数列才是等比数列.
2. 等比数列的首项不为零,公比可以为零吗?其它项是否可以为零?
提示:不能.
3. 常数列一定是等比数列吗?
提示:不一定,如0,0,0,….
给出下列数列:
①2,2,4,8,16,32,…;
②在数列{an}中, =2, =2;
③常数列c,c,c,…,c.
其中等比数列的个数为 .
0
解析:①不是等比数列,因为 ≠ .②不一定是等比数列,因为不
知道 的值.事实上,即使 =2,数列{an}也未必是等比数列.③不
一定是等比数列,当c=0时,数列不是等比数列.
知识点二 等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0),则等比数列的通
项公式为an= .
a1qn-1
【想一想】
等比数列通项公式an=a1qn-1是关于n的指数型函数吗?
提示:不一定.如当q=1时,an是关于n的常数函数.
1. 已知{an}是首项为2,公比为3的等比数列,则这个数列的通项公式
为( )
A. an=2·3n+1 B. an=3·2n+1
C. an=2·3n-1 D. an=3·2n-1
解析: 由已知可得a1=2,公比q=3,则数列{an}的通项公式
为an=a1·qn-1=2·3n-1.
2. 在等比数列{an}中,a4=27,q=-3,则a7= .
解析:设等比数列的首项为a1,公比为q,∵a4=a1q3=-27a1=
27,∴a1=-1,∴a7=a1q6=-1×(-3)6=-729.
-729
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等比数列的判断与证明
【例1】 已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn= .
(1)求b1,b2,b3;
解:由条件可得an+1= an.
将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.
将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.
从而b1=1,b2=2,b3=4.
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
解: {bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
由条件可得 = ,即bn+1=2bn,又因为b1=1,所以{bn}
是首项为1,公比为2的等比数列.
(3)求{an}的通项公式.
解:由(2)可得, =2n-1,所以an=n·2n-1.
通性通法
证明数列{an}是等比数列的常用方法
(1)定义法: =q(q为常数且q≠0)或 =q(q为常数且
q≠0,n≥2) 数列{an}为等比数列;
(2)通项法:an=a1qn-1(其中a1,q为非零常数,n∈N+) 数列
{an}是等比数列.
【跟踪训练】
1. 已知各项均不为0的数列{an}中,a1,a2,a3成等差数列,a2,
a3,a4成等比数列,a3,a4,a5的倒数成等差数列,证明:a1,
a3,a5成等比数列.
证明:由已知,有2a2=a1+a3, ①
= , ②
= + . ③
由③得 = ,所以a4= . ④
由①得a2= . ⑤
将④⑤代入②,得 = · .
所以a3= ,即a3(a3+a5)=a5(a1+a3).
化简得 =a1·a5,
因为a1,a3,a5均不为0,所以 = ,故a1,a3,a5成等比数列.
2. 已知数列{an}是首项为2,公差为-1的等差数列,令bn= ,
求证数列{bn}是等比数列,并求其通项公式.
证明:依题意an=2+(n-1)×(-1)=3-n,
于是bn= .
而 = = =2,
又因为b1= = .
所以数列{bn}是以 为首项,2为公比的等比数列,通项公式为bn
=2n-3.
题型二 等比数列的通项公式及其应用
【例2】 在等比数列{an}中.
(1)a4=2,a7=8,求an;
解:设等比数列的首项为a1,公比为q.
法一 因为所以
由 得q3=4,从而q= ,而a1q3=2,
于是a1= = ,所以an=a1qn-1= .
法二 因为a7=a4q3,所以q3=4,q= .
所以an=a4qn-4=2×( )n-4= .
解:法一 因为
由 得q= ,从而a1=32.
又因为an=1,所以32× =1,
即26-n=20,所以n=6.
(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
法二 因为a3+a6=q(a2+a5),所以q= .
由a1q+a1q4=18,知a1=32.
由an=a1qn-1=1,知n=6.
【母题探究】
1. (变设问)本例(1)条件不变,试问128是不是该数列中的项?如
果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.
解:由本例(1)知an= .令an=128,
得 =7,即n=13.
故128是该数列中的第13项.
2. (变条件)本例(2)中的条件“a2+a5=18,a3+a6=9,an=
1”若换为“a1= ,q= ,an= ”,其他条件不变,试求n.
解:因为an=a1qn-1,所以 × = ,
即 = ,解得n=5.
通性通法
求等比数列通项公式的常用方法
(1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求
an,这是常规方法;
(2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,
这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.
【跟踪训练】
1. 在等比数列{an}中,a1=12,a2=24,则a3=( )
A. 36 B. 48
C. 60 D. 72
解析: ∵a2=a1q=12q=24,∴q=2,∴a3=a1q2=12×22=
48.
2. 已知等比数列{an}的公比q=- ,则 =( )
A. B.
C. 2 D. 4
解析: 由题意可得
= = == =4.
题型三 灵活设元求解等比数列
【例3】 (1)有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,
4,13成等差数列,则这四个数的和是 ;
45
解析:设这四个数分别为a,aq,aq2,aq3,
则a-1,aq-1,aq2-4,aq3-13成等差数列.
即
整理得解得a=3,q=2.因此这四个数分别是
3,6,12,24,其和为45.
(2)有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三
个数成等差数列,且它们之和为12,求这四个数.
解:设前三个数为 ,a,aq,则 ·a·aq=216,
所以a3=216,所以a=6.
因此前三个数为 ,6,6q.
由题意知第4个数为12q-6,
所以6+6q+12q-6=12,解得q= .
故所求的四个数为9,6,4,2.
通性通法
几个数成等比数列的设法
(1)三个数成等比数列设为 ,a,aq;
推广到一般:奇数个数成等比数列设为…, , ,a,aq,
aq2,….
(2)四个符号相同的数成等比数列设为 , ,aq,aq3;
推广到一般:偶数个符号相同的数成等比数列设为…, ,
, ,aq,aq3,aq5,….
(3)四个数成等比数列,不能确定它们的符号相同时,可设为a,
aq,aq2,aq3.
【跟踪训练】
一个等比数列前三项的积为2,后三项的积为4,且所有项的积为
64,则该数列有( )
A. 13项 B. 12项
C. 11项 D. 10项
解析: 设数列的通项公式为an=a1qn-1,则前三项分别为a1,
a1q,a1q2,后三项分别为a1qn-3,a1qn-2,a1qn-1.由题意得 q3=
2, q3n-6=4,两式相乘得 q3(n-1)=8,即 qn-1=2.又
a1·a1q·a1q2·…·a1qn-1=64,∴ =64,即( qn-1)n=
642,∴2n=642=212,解得n=12.
等比数列的单调性
在等比数列的通项公式中,an与n的关系与以前学过的什么函数有
关?
提示:因为an=a1qn-1= ×qn,所以如果记f(x)= ×qx,则可
以看出an=f(n),而且:
(1)当公比q=1时,f(x)是常数函数,此时数列{an}是常数列;
(2)当公比q≠1时,f(x)是 与y=qx的乘积,此时,f(x)的
增减性即与a1有关,也与q有关.
【问题探究】
已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q.
(1)若则数列{an}是递增,还是递减数列?
提示:数列{an}是递增数列,证明如下:
∵an+1-an=a1qn-a1qn-1=a1qn-1(q-1)>0,
∴an+1>an,∴{an}是递增数列.
(2)若则数列{an}是递增,还是递减数列?
提示:数列{an}是递减数列,证明如下:
∵an+1-an=a1qn-a1qn-1=a1qn-1(q-1)<0,
即an+1<an,∴{an}是递减数列.
(3)若则数列{an}是递增,还是递减数列?
提示:数列{an}是递减数列,证明如下:
∵an+1-an=a1qn-a1qn-1=a1qn-1(q-1)<0,
∴an+1<an,∴{an}是递减数列.
(4)若则数列{an}是递增,还是递减数列?
提示:数列{an}是递增数列,证明如下:
∵an+1-an=a1qn-a1qn-1=a1qn-1(q-1)<0,
∴an+1>an,∴{an}是递增数列.
(5)若q=1,则数列{an}的单调性如何?q<0呢?
提示:当q=1时,{an}是常数列,不具有单调性;当q<0时,
{an}是一个摆动数列,也不具有单调性.
【迁移应用】
1. 在等比数列{an}中,已知a1>0,8a2-a5=0,则数列{an}为
( )
A. 递增数列 B. 递减数列
C. 常数列 D. 无法确定单调性
解析: 由8a2-a5=0,可知 =q3=8,解得q=2.又因为a1>
0,所以数列{an}为递增数列.
2. 数列{an}是各项均为正数的等比数列,且an-an-1>0(n≥2),
则该数列的公比q的取值范围是( )
A. q=1 B. q<0
C. q>1 D. 0<q<1
解析: 由an-an-1>0(n≥2)可知,数列{an}是递增的等比
数列.又因为数列{an}的各项均为正数,所以q>1.
3. 在等比数列{an}中,如果公比为q,且q<1,那么等比数列{an}是
( )
A. 递增数列 B. 递减数列
C. 常数列 D. 无法确定单调性
解析: 如等比数列{(-1)n}的公比为-1,是摆动数列,不
具有单调性;等比数列 的公比为 ,是递减数列;等比数列
的公比为 ,是递增数列.
1. 若数列{an}是公比为 的正项等比数列,则{ ·a2n}是
( )
A. 公比为2 的等比数列
B. 公比为 的等比数列
C. 公差为2 的等差数列
D. 公差为 的等差数列
解析: 数列{an}是公比为 的正项等比数列,则 =
(n≥2,n∈N+),设bn= ·a2n,则 = =
·( )2=2 (n≥2,n∈N+).
2. 在首项a1=1,公比q=2的等比数列{an}中,当an=64时,项数n
等于( )
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析: 因为an=a1qn-1,所以1×2n-1=64,即2n-1=26,得n
-1=6,解得n=7.
3. 设a1,a2,a3,a4成等比数列,其公比为2,则 的值为
( )
A. B.
C. D. 1
解析: 原式= = = .
4. 在等比数列{an}中,已知a1= ,a5=3,则a3=( )
A. 1 B. 3
C. ±1 D. ±3
解析: 由a5=a1·q4=3,所以q4=9,得q2=3,a3=a1·q2=
×3=1.
5. 已知{an}为等比数列,且a5=8,a7=2,该数列的各项都为正数,
则an= .
解析:由已知得得∵an>0,
∴∴an=128× =28-n.
28-n
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若等比数列的前三项分别为5,-15,45,则第5项是( )
A. 405 B. -405
C. 135 D. -135
解析: ∵a5=a1q4,而a1=5,q= =-3,∴a5=405.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 在等比数列{an}中,a3=2,a6=16,则数列{an}的公比是
( )
A. -2 B.
C. 2 D. 4
解析: 设公比为q,由题意得q3= =8,解得q=2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 已知{an}是首项为1,公比为3的等比数列,则log3a2 026=( )
A. 2 022 B. 2 023
C. 2 024 D. 2 025
解析: 由已知可得a1=1,q=3,则数列{an}的通项公式为an
=a1·qn-1=3n-1,则log3a2 026=log332 025=2 025.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 数列{an}满足:an+1=λan-1(n∈N+,λ≠0,λ∈R),若数
列{an-1}是等比数列,则λ的值是( )
A. 1 B. 2
C. D. -1
解析: 数列{an-1}为等比数列 = =q,即:
λan-2=qan-q恒成立,可知: λ=2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. (多选)已知数列{an}是等比数列,给出以下数列,其中一定是等
比数列的是( )
A. {|an|} B. {an-an+1}
C. D. {kan}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析: 设等比数列{an}的公比为q,∵ =|q|,
∴{|an|}是等比数列.当{an}为常数列时,an-an+1=0,
∴{an-an+1}不是等比数列.∵ = = ,∴ 是等比数
列.当k=0时,kan=0,∴{kan}不是等比数列.故只有A、C一定
是等比数列.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. (多选)已知等比数列{an}的公比为q,a3=4且a2,a3+1,a4成
等差数列,则q的值可能为( )
A. B. 1
C. 2 D. 3
解析: 因为a2,a3+1,a4成等差数列,所以a2+a4=2(a3+
1),因为a3=4.又{an}是公比为q的等比数列,所以由a2+a4=2
(a3+1),得a3 =2(a3+1),即q+ = ,解得q=2
或 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 若{an}为等比数列,且2a4=a6-a5,则公比q= .
解析:设首项为a1,显然a1q≠0,由已知得2a1q3=a1q5-a1q4,
即2=q2-q,解得q=-1或q=2.
-1或2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 已知数列{an}的通项公式为an=3n-1,则数列{an}中能构成等
比数列的三项可以为 .(只需写出
一组)
解析:因为数列{an}的通项公式为an=3n-1,
所以数列{an}中的项依次为2,5,8,11,14,17,20,23,26,
29,32,35,…,显然 = ,所以2,8,32能构成等比数列.
2,8,32(答案不唯一)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,
且2a1+a2=1,则a1= ,d= .
解析:由题意可得 = ,
即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),
故有3a1+2d=0, ①
由2a1+a2=1,得3a1+d=1, ②
联立①②解得d=-1,a1= .
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 已知数列{an}为等比数列,an>0,a1=2,2a2+a3=30.
(1)求an;
解: 设公比为q,由题意得2a1q+a1q2=30,
所以4q+2q2=30,所以q2+2q-15=0,
所以q=3或-5.因为an>0,所以q=3.
所以an=a1qn-1=2×3n-1(n∈N+).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(2)若数列{bn}满足bn+1=bn+an,b1=a2,求b5.
解: 因为b1=a2,所以b1=6.又bn+1=bn+an,所以
bn+1=bn+2·3n-1.
所以b2=b1+2×30=6+2=8,b3=b2+2×31=8+6=14,
b4=b2+2×32=14+18=32,b5=b4+2×33=32+54=86.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. (多选)已知公差为d的等差数列a1,a2,a3,…,则对重新组成
的数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…描述正确的是( )
A. 一定是等差数列
B. 公差为2d的等差数列
C. 可能是等比数列
D. 可能既非等差数列又非等比数列
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析: 由题意得a1+a4=2a1+3d,a2+a5=2a1+5d,a3
+a6=2a1+7d,…,令bn=an+an+3,则bn+1-bn=[2a1+
(2n+3)d]-[2a1+(2n+1)d]=2d,因此数列a1+a4,a2
+a5,a3+a6,…一定是公差为2d的等差数列,即A、B正确,D
错误;当a1≠0,d=0时bn=2a1,此时数列a1+a4,a2+a5,a3
+a6,…可以是等比数列,即C正确.故选A、B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 已知等差数列{an}的首项为a,公差为b,等比数列{bn}的首项
为b,公比为a,其中a,b都是大于1的正整数,且a1<b1,b2<
a3,对于任意的n∈N+,总存在m∈N+,使得am+3=bn成立,
则a= ,an= .
2
5n-3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析:∵a1<b1,b2<a3,∴∴b(a-2)<a<
b,∴a<3,又∵a>1,且a∈N+,∴a=2.∵对于任意的n∈N
+,总存在m∈N+,使得am+3=bn成立,∴令n=1,得2+(m
-1)b+3=b,∴b(2-m)=5,又∵2-m<2,且2-m∈N
+,∴∴an=a+(n-1)b=5n-3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列;
解: 证明:由已知,有a1+a2=4a1+2,所以a2=3a1
+2=5,故b1=a2-2a1=3.
又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-(4an+2)=4an+1-
4an,于是an+2-2an+1=2(an+1-2an),即bn+1=2bn.
因此数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(2)求数列{an}的通项公式.
解: 由(1)知等比数列{bn}中,b1=3,公比q=2,
所以an+1-2an=3×2n-1.于是 - = ,
因此数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,
= +(n-1)× = n- .
所以an=(3n-1)·2n-2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 如图给出了一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第
三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,
,
, ,
…
记第i行第j列的数为aij(i,j∈N+),则a53的值为( )
A. B.
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析: 第一列构成首项为 ,公差为 的等差数列,所以a51=
+(5-1)× = .又因为从第三行起每一行数成等比数列,而
且每一行的公比都相等,所以第5行构成首项为 ,公比为 的等
比数列,所以a53= × = .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.
(1)证明: , , , 依次构成等比数列;
解: 证明:因为 = =2d(n=1,2,
3)是同一个常数,所以 , , , 依次构成等
比数列.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(2)是否存在a1,d,使得a1, , , 依次构成等比数
列?并说明理由.
解: 令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,
a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0).
假设存在a1,d,使得a1, , , 依次构成等比数列,
则 = ,即a4=(a-d)(a+d)3,
同理得(a+d)6=a2(a+2d)4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
令t= ,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+
2t)4 ,化简得t3+2t2-2=0
(*),且t2=t+1.
将t2=t+1代入(*)式,得t(t+1)+2(t+1)-2=t2
+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=- .
显然t=- 不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,
因此不存在a1,d,使得a1, , , 依次构成等比数列.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢 观 看!