5.3.2 等比数列的前n项和
1.在等比数列{an}中,a3=,其前三项的和S3=,则数列{an}的公比q=( )
A.- B.
C.-或1 D.或1
2.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则=( )
A.2n-1 B.2-21-n
C.2-2n-1 D.21-n-1
3.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=( )
A.16(1-4-n) B.16(1-2-n)
C.(1-4-n) D.(1-2-n)
4.等比数列{an}的前n项和为Sn,S5=2,S10=6,则a16+a17+a18+a19+a20等于( )
A.8 B.12
C.16 D.24
5.记等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2,S6=18,则等于( )
A.-3 B.5
C.-31 D.33
6.(多选)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a7a8>1,<0.则下列结论正确的是( )
A.0<q<1
B.a7a9<1
C.Tn的最大值为T7
D.Sn的最大值为S7
7.设数列{an}的前n项和为Sn,写出{an}的一个通项公式an= ,满足下面两个条件:①{an}是单调递减数列;②{Sn}是单调递增数列.
8.等比数列{an}中,若a1+a3+…+a99=150,且公比q=2,则数列{an}的前100项和为 .
9.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为 .
10.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在正整数n,使得Sn≥2 025?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由.
11.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an=2n-1,则下列结论正确的是( )
A.S2=2 B.Sn=2n-1
C.Sn<Sn+1 D.{}是等比数列
12.把一个边长为1的正方形分成九个相等的小正方形,将中间的一个正方形挖掉(如图(1));再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形,并将中间的一个正方形挖掉(如图(2));如此继续下去,则
(1)图(3)中共挖掉了 个正方形;
(2)第n个图形挖掉正方形的面积和是 .
13.记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a1=1,Sn=an+1+t.
(1)求t;
(2)求数列{(cos nπ)·an}的前n项和.
14.中国古代数学著作《张丘建算经》中记载:“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里.”其意思是:“现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里数是前一天的一半,连续行走7天,共走了700里.”若该匹马按此规律继续行走7天,则它这14天内所走的总路程为( )
A. 里 B.1 050里
C. 里 D.950里
15.已知等差数列{bn}中,bn=log2(an-1),且a1=3,a3=9.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn.
第一课时 等比数列的前n项和公式
1.C 由题意,可得a1q2=,a1+a1q+a1q2=,两式相除,得=3,解得q=-或q=1.
2.B 法一 设等比数列{an}的公比为q,则由
解得
所以Sn==2n-1,
an=a1qn-1=2n-1,所以==2-21-n,故选B.
法二 设等比数列{an}的公比为q,因为====2,所以q=2,所以===2-21-n,故选B.
3.C 由a5=a2q3,得q3=,所以q=,而数列{anan+1}也为等比数列,其首项为a1·a2=8,公比为q2=,所以a1a2+a2a3+…+anan+1==(1-4-n).
4.C 设等比数列{an}的公比为q,因为S2n-Sn=qnSn,所以S10-S5=q5S5,所以6-2=2q5,所以q5=2,所以a16+a17+a18+a19+a20=a1q15+a2q15+a3q15+a4q15+a5q15=q15(a1+a2+a3+a4+a5)=q15S5=23×2=16.
5.D 由题意知公比q≠1,==1+q3=9,所以q=2,==1+q5=1+25=33.
6.ABC ∵a1>1,a7a8>1,<0,∴a7>1,0<a8<1,∴0<q<1,故A正确;a7a9=<1,故B正确;T7是数列{Tn}中的最大项,故C正确;因为a1>1,0<q<1,所以Sn无最大值,故D不正确.故选A、B、C.
7.(答案不唯一) 解析:根据前n项和数列是单调递增的,可以判定数列的各项,从第二项起,各项都是大于零的,由数列本身为单调递减数列,结合各项的值的要求,可以考虑公比在0到1之间的等比数列,an=就是符合条件的一个通项.
8.450 解析:由=q,q=2,得=2 a2+a4+…+a100=300,则数列{an}的前100项的和S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=150+300=450.
9. 解析:由题意知,q≠1,由9S3=S6,得9×=,解得q=2,故an=a1qn-1=2n-1,=,∴数列是以1为首项,为公比的等比数列,其前5项和为=.
10.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,则a1≠0,q≠0.
由题意得
即解得
故数列{an}的通项公式为an=3×(-2)n-1.
(2)由(1)有Sn==1-(-2)n.
若存在正整数n,使得Sn≥2 025,则1-(-2)n≥2 025,
即(-2)n≤-2 024.
当n为偶数时,(-2)n>0,上式不成立;
当n为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 024,即2n≥2 024,则n≥11.
综上,存在符合条件的正整数n,且n的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.
11.BCD 因为an=2n-1,所以{an}是等比数列,且a1=1,公比q=2,所以S2=a1+a2=3,Sn==2n-1.Sn-Sn+1=2n-1-(2n+1-1)=-2n<0,所以Sn<Sn+1,==()n,所以{}是等比数列.
12.(1)73 (2)1- 解析:设第n个图形共挖掉an个正方形,则a1=1,a2-a1=8,a3-a2=82,…,an-an-1=8n-1,所以an=1+8+82+…+8n-1=,∴a3=73.原正方形的边长为1,则这些被挖掉的正方形的面积和为1×+8×+82×+…+8n-1×==1-.
13.解:(1)令n=1,则由Sn=an+1+t可得S1=a2+t,a2=1-t,
当n≥2时,由Sn=an+1+t可得Sn-1=an+t,
两式相减,可得an=an+1-an,即an+1=2an,
依题意,{an}为等比数列,故a2=2=1-t,t=-1.
(2)由(1)可知{an}为首项等于1,公比等于2的等比数列,故an=2n-1,
故{(cos nπ)·an}为首项等于-1,公比等于-2的等比数列,
故an=(-1)(-2)n-1.
故Tn==(-2)n-.
14.C 由题意知,马每天行走的路程构成一个等比数列,设该数列为{an},则该匹马首日行走的路程为a1,公比为,则有=700(里),
则a1=(里),则=(里).
故选C.
15.解:(1)设等差数列{bn}的公差为d,由a1=3,a3=9,得b1=log2(a1-1)=log22=1,b3=log2(a3-1)=log28=3,
∴b3-b1=2=2d,∴d=1,∴bn=1+(n-1)×1=n.
(2)由(1)知bn=n,∴log2(an-1)=n,∴an-1=2n,∴an=2n+1.
∴Sn=a1+a2+…+an=(2+1)+(22+1)+…+(2n+1)
=(2+22+…+2n)+n=+n=2n+1+n-2.
2 / 25.3.2 等比数列的前n项和
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系 数学运算
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题 逻辑推理、数学运算
第一课时 等比数列的前n项和公式
甲、乙二人约定在一个月(按30天)内甲每天给乙100元钱,而乙则第一天给甲返还一分,第二天给甲返还二分,即后一天返还的钱是前一天的二倍.
【问题】 一个月后,甲、乙两人谁赢谁亏?
知识点 等比数列的前n项和公式
【想一想】
1.等比数列的前n项和公式中Sn=的适用条件是什么?
2.若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和Sn为何值?
3.若某数列的前n项和公式为Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0且q≠1,n∈N+),则此数列一定是等比数列吗?
1.等比数列{an}中,公比q=-2,S5=44,则a1的值为( )
A.4 B.-4
C.2 D.-2
2.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则等于( )
A.2 B.4
C. D.
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=S9,则公比q= .
题型一 等比数列的前n项和公式的基本运算
【例1】 在等比数列{an}中,公比为q,前n项和为Sn.
(1)已知a1=8,an=,Sn=,求n;
(2)已知S3=,S6=,求a1与q.
尝试解答
【母题探究】
1.(变设问)本例(2)条件不变,试求an与Sn.
2.(变条件)若本例(2)中的条件“S3=,S6=”变为“S3=,S6=”,其他条件不变,结果又如何呢?
通性通法
在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的元素,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解,在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
【跟踪训练】
在等比数列{an}中,已知a6-a4=24,a3·a5=64,求S8.
题型二 等比数列前n项和的性质
【例2】 等比数列{an}的前n项和Sn=48,前2n项和S2n=60,则前3n项和S3n= .
尝试解答
通性通法
1.等比数列前n项和的性质
设等比数列{an},Sn为{an}的前n项和,公比为q,则:
(1)当q=1时,=;当q≠±1时,=;
(2)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm;
(3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n,则=q;若项数为2n+1,则=q;
(4)当q≠-1时,连续n项的和(如Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…)仍构成等比数列(公比为qn,n≥2).
2.运用等比数列求和性质解题时,一定要注意性质成立的条件,否则会出现失误.如Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列的前提是Sn,S2n-Sn,S3n-S2n均不为0.
【跟踪训练】
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=( )
A.2 B.
C. D.3
2.一个项数为偶数的等比数列{an},全部各项之和为偶数项之和的4倍,前3项之积为64,求数列的通项公式.
题型三 等比数列前n项和的实际应用
【例3】 某市共有1万辆燃油型公交车.有关部门于2020年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则:
(1)该市在2026年应该投入电力型公交车多少辆?
(2)到哪一年年底,电力型公交车的数量开始超过公交车总量的?
尝试解答
通性通法
解数列应用题的思路和方法
【跟踪训练】
《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿.大鼠日一尺,小鼠亦日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.问几何日相逢?各穿几何?”其大意为:“今有一堵墙厚5尺,两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙,大老鼠第一天打洞1尺,以后每天是前一天的2倍;小老鼠第一天也打洞1尺,以后每天是前一天的.问大、小老鼠几天后相遇?各自打洞几尺?”如果墙足够厚,Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和,则Sn= 尺.
1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=( )
A.16 B.8
C.4 D.2
2.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于( )
A.31 B.33
C.35 D.37
3.设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若{Sn}是等差数列,则q等于( )
A.1 B.0
C.1或0 D.-1
4.已知数列{an}是公比为3的等比数列,其前n项和Sn=3n+k(n∈N+),则实数k为( )
A.0 B.1
C.-1 D.2
5.在等比数列{an}中,其前n项和为Sn.
(1)若S2=30,S3=155,求Sn;
(2)若Sn=189,a1=3,an=96,求q和n.
第一课时 等比数列的前n项和公式
【基础知识·重落实】
知识点
na1 na1
想一想
1.提示:公比q≠1.
2.提示:若数列既是等差数列,又是等比数列,则是非零常数列,所以前n项和为Sn=na.
3.提示:是.根据等比数列前n项和公式Sn=(q≠0且q≠1)变形为Sn=-qn(q≠0且q≠1),
若令a=,则和式可变形为Sn=a-aqn.
自我诊断
1.A 由S5==44,得a1=4.
2.C =×==.
3.±1 解析:由S3+S6=S9得S3=S9-S6,即a1+a2+a3=a7+a8+a9=q6(a1+a2+a3),则q6=1,q=±1.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:(1)显然q≠1,由Sn=,即=,
∴q=.又∵an=a1qn-1,即8×=,∴n=6.
(2)法一 由S6≠2S3知q≠1,由题意得
②÷①,得1+q3=9,∴q3=8,即q=2.
代入①得a1=.
法二 由S3=a1+a2+a3,S6=S3+a4+a5+a6=S3+q3(a1+a2+a3)=S3+q3S3=(1+q3)S3,
∴1+q3==9,∴q3=8,即q=2.
代入=,得a1=.
母题探究
1.解:由本例(2)知a1=,q=2,
所以an=a1qn-1=·2n-1=2n-2,Sn==2n-1-.
2.解:设等比数列{an}的公比为q,则由S6≠2S3得q≠1,则解得q=2,a1=.
跟踪训练
解:法一 由题意,得
化简得
①÷②,得q2-1=±3,负值舍去,∴q2=4,∴q=2或q=-2.
当q=2时,代入①得a1=1,∴S8==255.
当q=-2时,代入①得a1=-1.∴S8==.
综上知S8=255或S8=.
法二 由等比数列的性质得a3·a5==64,∴a4=±8.
当a4=8时,∵a6-a4=24,∴a6=32,∴q2==4,∴q=±2.
当a4=-8时,a6-a4=24,∴a6=16.
∴q2==-2,无解.故q=±2.
当q=2时,a1==1,S8==255.
当q=-2时,a1==-1,S8==.
综上知S8=255或S8=.
【例2】 63 解析:法一 设公比为q,由已知易知q≠1,由可得所以S3n==·[1-(qn)3]=64×=63.
法二 由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,得(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n),即(60-48)2=48(S3n-60),解得S3n=63.
跟踪训练
1.B 法一 设数列{an}的公比为q,所以S6=S3+q3S3,S9=S6+q6S3=S3+q3S3+q6S3,于是==3,即1+q3=3,所以q3=2.于是===.
法二 由=3,得S6=3S3.设数列{an}的公比为q,由题意知q≠-1,所以S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),解得S9=7S3,所以=.
2.解:设数列{an}的首项为a1,公比为q,所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇,S偶,由题意可知,
S奇+S偶=4S偶,即S奇=3S偶.
因为数列{an}的项数为偶数,所以q==.
又因为a1·a1q·a1q2=64,所以·q3=64,即a1=12,故所求通项公式为an=12×.
【例3】 解:(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an},其中a1=128,q=,
∴2026年应投入的数量为a7=a1q6=128×=1 458(辆),
∴该市在2026年应该投入1 458辆电力型公交车.
(2)设{an}的前n项和为Sn,
则Sn==256×,
由Sn>(10 000+Sn)×,即Sn>5 000,n∈N+,解得n>7.
∴该市在2027年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.
跟踪训练
2n-+1 解析:由题意可知,大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项,2为公比的等比数列,前n天打洞长度之和为=2n-1,小老鼠每天打洞的长度构成以1为首项,为公比的等比数列,前n天打洞长度之和为=2-,所以Sn=2n-1+2-=2n-+1.
随堂检测
1.C 由题意知解得∴ a3=a1q2=4.故选C.
2.B 根据等比数列性质得=q5,∴=25,∴S10=33.
3.A 因为Sn-Sn-1=an,又{Sn}是等差数列,所以an为定值,即数列{an}为常数列,所以q==1.
4.C 由数列{an}的前n项和Sn=3n+k(n∈N+),当n=1时,a1=S1=3+k;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+k-(3n-1+k)=2×3n-1.因为数列{an}是公比为3的等比数列,所以a1=2×31-1=3+k,解得k=-1.
5.解:(1)由题意知解得或
从而Sn=×5n+1-或Sn=.
(2)∵等比数列{an}中,a1=3,an=96,Sn=189,
∴=189.∴q=2.
∴an=a1qn-1=3×2n-1,∴96=3×2n-1,∴n=5+1=6.
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5.3.2 等比数列的前n项和
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等
比数列的通项公式与前n项和公式的关系 数学运算
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关
系,并解决相应的问题 逻辑推理、数学运
算
第一课时
等比数列的前n项和公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
甲、乙二人约定在一个月(按30天)内甲每天给乙100元钱,而
乙则第一天给甲返还一分,第二天给甲返还二分,即后一天返还的钱
是前一天的二倍.
【问题】 一个月后,甲、乙两人谁赢谁亏?
知识点 等比数列的前n项和公式
【想一想】
1. 等比数列的前n项和公式中Sn= 的适用条件是什么?
提示:公比q≠1.
2. 若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和Sn为
何值?
提示:若数列既是等差数列,又是等比数列,则是非零常数列,所
以前n项和为Sn=na.
3. 若某数列的前n项和公式为Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0且q≠1,
n∈N+),则此数列一定是等比数列吗?
提示:是.根据等比数列前n项和公式Sn= (q≠0且
q≠1)变形为Sn= - qn(q≠0且q≠1),
若令a= ,则和式可变形为Sn=a-aqn.
1. 等比数列{an}中,公比q=-2,S5=44,则a1的值为( )
A. 4 B. -4
C. 2 D. -2
解析: 由S5= =44,得a1=4.
2. 设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则 等于( )
A. 2 B. 4
C. D.
解析: = × = = .
3. 设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=S9,则公比q
= .
解析:由S3+S6=S9得S3=S9-S6,即a1+a2+a3=a7+a8+a9=
q6(a1+a2+a3),则q6=1,q=±1.
±1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等比数列的前n项和公式的基本运算
【例1】 在等比数列{an}中,公比为q,前n项和为Sn.
(1)已知a1=8,an= ,Sn= ,求n;
解:显然q≠1,由Sn= ,即 = ,
∴q= .又∵an=a1qn-1,即8× = ,
∴n=6.
(2)已知S3= ,S6= ,求a1与q.
解:法一 由S6≠2S3知q≠1,由题意得
②÷①,得1+q3=9,∴q3=8,即q=2.
代入①得a1= .
法二 由S3=a1+a2+a3,S6=S3+a4+a5+a6=S3+q3(a1+a2+
a3)=S3+q3S3=(1+q3)S3,
∴1+q3= =9,∴q3=8,即q=2.
代入 = ,得a1= .
【母题探究】
1. (变设问)本例(2)条件不变,试求an与Sn.
解:由本例(2)知a1= ,q=2,
所以an=a1qn-1= ·2n-1=2n-2,
Sn= =2n-1- .
2. (变条件)若本例(2)中的条件“S3= ,S6= ”变为“S3=
,S6= ”,其他条件不变,结果又如何呢?
解:设等比数列{an}的公比为q,则由S6≠2S3得q≠1,则
解得q=2,a1= .
通性通法
在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本
的元素,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与
Sn,从而列方程组求解,在解方程组时经常用到两式相除达到整体消
元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
【跟踪训练】
在等比数列{an}中,已知a6-a4=24,a3·a5=64,求S8.
解:法一 由题意,得
化简得
①÷②,得q2-1=±3,负值舍去,
∴q2=4,∴q=2或q=-2.
当q=2时,代入①得a1=1,
∴S8= =255.
当q=-2时,代入①得a1=-1.
∴S8= = .
综上知S8=255或S8= .
法二 由等比数列的性质得a3·a5= =64,∴a4=±8.
当a4=8时,∵a6-a4=24,∴a6=32,∴q2= =4,
∴q=±2.
当a4=-8时,a6-a4=24,∴a6=16.
∴q2= =-2,无解.故q=±2.
当q=2时,a1= =1,S8= =255.
当q=-2时,a1= =-1,S8= = .
综上知S8=255或S8= .
题型二 等比数列前n项和的性质
【例2】 等比数列{an}的前n项和Sn=48,前2n项和S2n=60,则前
3n项和S3n= .
解析:法一 设公比为q,由已知易知q≠1,由
可得所以S3n= = ·[1-(qn)3]
=64× =63.
63
法二 由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,得(S2n-Sn)2=
Sn·(S3n-S2n),即(60-48)2=48(S3n-60),解得S3n=63.
通性通法
1. 等比数列前n项和的性质
设等比数列{an},Sn为{an}的前n项和,公比为q,则:
(1)当q=1时, = ;当q≠±1时, = ;
(2)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm;
(3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n,则
=q;若项数为2n+1,则 =q;
(4)当q≠-1时,连续n项的和(如Sn,S2n-Sn,S3n-
S2n,…)仍构成等比数列(公比为qn,n≥2).
2. 运用等比数列求和性质解题时,一定要注意性质成立的条件,否则
会出现失误.如Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列的前提是Sn,
S2n-Sn,S3n-S2n均不为0.
【跟踪训练】
1. 设等比数列{an}的前n项和为Sn,若 =3,则 =( )
A. 2 B.
C. D. 3
解析: 法一 设数列{an}的公比为q,所以S6=S3+q3S3,S9
=S6+q6S3=S3+q3S3+q6S3,于是 = =3,即1+q3
=3,所以q3=2.于是 = = = .
法二 由 =3,得S6=3S3.设数列{an}的公比为q,由题意知q≠-
1,所以S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,所以(S6-S3)2=S3
(S9-S6),解得S9=7S3,所以 = .
2. 一个项数为偶数的等比数列{an},全部各项之和为偶数项之和的4
倍,前3项之积为64,求数列的通项公式.
解:设数列{an}的首项为a1,公比为q,所有奇数项、偶数项之和
分别记作S奇,S偶,由题意可知,
S奇+S偶=4S偶,即S奇=3S偶.
因为数列{an}的项数为偶数,所以q= = .
又因为a1·a1q·a1q2=64,所以 ·q3=64,即a1=12,故所求通项
公式为an=12× .
题型三 等比数列前n项和的实际应用
【例3】 某市共有1万辆燃油型公交车.有关部门于2020年投入128辆
电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则:
(1)该市在2026年应该投入电力型公交车多少辆?
解:每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an},
其中a1=128,q= ,
∴2026年应投入的数量为a7=a1q6=128× =1 458(辆),
∴该市在2026年应该投入1 458辆电力型公交车.
(2)到哪一年年底,电力型公交车的数量开始超过公交车总量的 ?
解:设{an}的前n项和为Sn,
则Sn= =256× ,
由Sn>(10 000+Sn)× ,即Sn>5 000,n∈N+,解得n>7.
∴该市在2027年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总
量的 .
通性通法
解数列应用题的思路和方法
【跟踪训练】
《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题:“今有垣厚五尺,两
鼠对穿.大鼠日一尺,小鼠亦日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.问几
何日相逢?各穿几何?”其大意为:“今有一堵墙厚5尺,两只老鼠
从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙,大老鼠第一天打洞1尺,以后
每天是前一天的2倍;小老鼠第一天也打洞1尺,以后每天是前一天的
.问大、小老鼠几天后相遇?各自打洞几尺?”如果墙足够厚,Sn为
前n天两只老鼠打洞长度之和,则Sn= 尺.
2n- +1
解析:由题意可知,大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项,2为公比
的等比数列,前n天打洞长度之和为 =2n-1,小老鼠每天打洞的
长度构成以1为首项, 为公比的等比数列,前n天打洞长度之和为
=2- ,所以Sn=2n-1+2- =2n- +1.
1. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+
4a1,则a3=( )
A. 16 B. 8
C. 4 D. 2
解析: 由题意知解得
∴ a3=a1q2=4.故选C.
2. 已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于
( )
A. 31 B. 33
C. 35 D. 37
解析: 根据等比数列性质得 =q5,∴ =25,∴S10=33.
3. 设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若{Sn}是等差
数列,则q等于( )
A. 1 B. 0
C. 1或0 D. -1
解析: 因为Sn-Sn-1=an,又{Sn}是等差数列,所以an为定
值,即数列{an}为常数列,所以q= =1.
4. 已知数列{an}是公比为3的等比数列,其前n项和Sn=3n+k
(n∈N+),则实数k为( )
A. 0 B. 1
C. -1 D. 2
解析: 由数列{an}的前n项和Sn=3n+k(n∈N+),当n=1
时,a1=S1=3+k;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+k-(3n-1
+k)=2×3n-1.因为数列{an}是公比为3的等比数列,所以a1=
2×31-1=3+k,解得k=-1.
5. 在等比数列{an}中,其前n项和为Sn.
(1)若S2=30,S3=155,求Sn;
解:由题意知
解得或
从而Sn= ×5n+1- 或Sn= .
(2)若Sn=189,a1=3,an=96,求q和n.
解: ∵等比数列{an}中,a1=3,an=96,Sn=189,
∴ =189.∴q=2.
∴an=a1qn-1=3×2n-1,
∴96=3×2n-1,∴n=5+1=6.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在等比数列{an}中,a3= ,其前三项的和S3= ,则数列{an}的
公比q=( )
A. - B.
C. - 或1 D. 或1
解析: 由题意,可得a1q2= ,a1+a1q+a1q2= ,两式相
除,得 =3,解得q=- 或q=1.
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2. 记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则
=( )
A. 2n-1 B. 2-21-n
C. 2-2n-1 D. 21-n-1
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解析: 法一 设等比数列{an}的公比为q,则由
解得所以Sn=
=2n-1,an=a1qn-1=2n-1,所以 = =2-21-n,故选B.
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法二 设等比数列{an}的公比为q,因为 = = =
=2,所以q=2,所以 = = =2-21-n,故选B.
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3. 已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则a1a2+a2a3+…+anan+1
=( )
A. 16(1-4-n) B. 16(1-2-n)
C. (1-4-n) D. (1-2-n)
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解析: 由a5=a2q3,得q3= ,所以q= ,而数列{anan+1}也
为等比数列,其首项为a1·a2=8,公比为q2= ,所以a1a2+a2a3
+…+anan+1= = (1-4-n).
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4. 等比数列{an}的前n项和为Sn,S5=2,S10=6,则a16+a17+a18+
a19+a20等于( )
A. 8 B. 12
C. 16 D. 24
解析: 设等比数列{an}的公比为q,因为S2n-Sn=qnSn,所以
S10-S5=q5S5,所以6-2=2q5,所以q5=2,所以a16+a17+a18+
a19+a20=a1q15+a2q15+a3q15+a4q15+a5q15=q15(a1+a2+a3+
a4+a5)=q15S5=23×2=16.
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5. 记等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2,S6=18,则 等于
( )
A. -3 B. 5
C. -31 D. 33
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解析: 由题意知公比q≠1, = =1+q3=9,所以
q=2, = =1+q5=1+25=33.
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6. (多选)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积
为Tn,并且满足条件a1>1,a7a8>1, <0.则下列结论正确的
是( )
A. 0<q<1 B. a7a9<1
C. Tn的最大值为T7 D. Sn的最大值为S7
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解析: ∵a1>1,a7a8>1, <0,∴a7>1,0<a8<1,
∴0<q<1,故A正确;a7a9= <1,故B正确;T7是数列{Tn}中
的最大项,故C正确;因为a1>1,0<q<1,所以Sn无最大值,故
D不正确.故选A、B、C.
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7. 设数列{an}的前n项和为Sn,写出{an}的一个通项公式an=
,满足下面两个条件:①{an}是单调递减数列;
②{Sn}是单调递增数列.
解析:根据前n项和数列是单调递增的,可以判定数列的各项,从
第二项起,各项都是大于零的,由数列本身为单调递减数列,结合
各项的值的要求,可以考虑公比在0到1之间的等比数列,an=
就是符合条件的一个通项.
(答案不唯一)
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8. 等比数列{an}中,若a1+a3+…+a99=150,且公比q=2,则数列
{an}的前100项和为 .
解析:由 =q,q=2,得 =2 a2
+a4+…+a100=300,则数列{an}的前100项的和S100=(a1+a3
+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=150+300=450.
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9. 已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=
S6,则数列 的前5项和为 .
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解析:由题意知,q≠1,由9S3=S6,得9× =
,解得q=2,故an=a1qn-1=2n-1, = ,
∴数列 是以1为首项, 为公比的等比数列,其前5项和为
= .
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10. 已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且
a2+a3+a4=-18.
(1)求数列{an}的通项公式;
解:设等比数列{an}的公比为q,则a1≠0,q≠0.
由题意得
即解得
故数列{an}的通项公式为an=3×(-2)n-1.
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(2)是否存在正整数n,使得Sn≥2 025?若存在,求出符合条件
的所有n的集合;若不存在,说明理由.
解:由(1)有Sn= =1-(-2)n.
若存在正整数n,使得Sn≥2 025,则1-(-2)n≥2 025,
即(-2)n≤-2 024.
当n为偶数时,(-2)n>0,上式不成立;
当n为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 024,即2n≥2 024,
则n≥11.
综上,存在符合条件的正整数n,且n的集合为{n|n=2k
+1,k∈N,k≥5}.
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11. (多选)已知数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an=2n-1,
则下列结论正确的是( )
A. S2=2
B. Sn=2n-1
C. Sn<Sn+1
D. { }是等比数列
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解析: 因为an=2n-1,所以{an}是等比数列,且a1=1,公
比q=2,所以S2=a1+a2=3,Sn= =2n-1.Sn-Sn+
1=2n-1-(2n+1-1)=-2n<0,所以Sn<Sn+1, =
=( )n,所以{ }是等比数列.
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12. 把一个边长为1的正方形分成九个相等的小正方形,将中间的一个
正方形挖掉(如图(1));再将剩余的每个正方形都分成九个相
等的小正方形,并将中间的一个正方形挖掉(如图(2));如此
继续下去,则
(1)图(3)中共挖掉了 个正方形;
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(2)第n个图形挖掉正方形的面积和是 .
解析:设第n个图形共挖掉an个正方形,则a1=1,a2-a1
=8,a3-a2=82,…,an-an-1=8n-1,所以an=1+8+82
+…+8n-1= ,∴a3=73.原正方形的边长为1,则这些
被挖掉的正方形的面积和为1× +8× +82×
+…+8n-1× = =1- .
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13. 记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a1=1,Sn=an+1+t.
(1)求t;
解:令n=1,则由Sn=an+1+t可得S1=a2+t,a2=1-t,
当n≥2时,由Sn=an+1+t可得Sn-1=an+t,
两式相减,可得an=an+1-an,即an+1=2an,
依题意,{an}为等比数列,故a2=2=1-t,t=-1.
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(2)求数列{( cos nπ)·an}的前n项和.
解:由(1)可知{an}为首项等于1,公比等于2的
等比数列,故an=2n-1,
故{( cos nπ)·an}为首项等于-1,公比等于-2的等比
数列,
故an=(-1)(-2)n-1.
故Tn= = (-2)n- .
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14. 中国古代数学著作《张丘建算经》中记载:“今有马行转迟,次
日减半,疾七日,行七百里.”其意思是:“现有一匹马行走的速
度逐渐变慢,每天走的里数是前一天的一半,连续行走7天,共走
了700里.”若该匹马按此规律继续行走7天,则它这14天内所走的
总路程为( )
A. 里 B. 1 050里
C. 里 D. 950里
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解析: 由题意知,马每天行走的路程构成一个等比数列,设
该数列为{an},则该匹马首日行走的路程为a1,公比为 ,则有
=700(里),则a1= (里),则 =
(里).故选C.
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15. 已知等差数列{bn}中,bn=log2(an-1),且a1=3,a3=9.
(1)求数列{bn}的通项公式;
解: 设等差数列{bn}的公差为d,由a1=3,a3=9,
得b1=log2(a1-1)=log22=1,b3=log2(a3-1)=log28
=3,
∴b3-b1=2=2d,∴d=1,∴bn=1+(n-1)×1=n.
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(2)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn.
解:由(1)知bn=n,∴log2(an-1)=n,∴an-1=2n,
∴an=2n+1.
∴Sn=a1+a2+…+an
=(2+1)+(22+1)+…+(2n+1)
=(2+22+…+2n)+n
= +n=2n+1+n-2.
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