5.3.2 第一课时 等比数列的前n项和公式(课件 学案 练习)高中数学人教B版(2019)选择性必修 第三册

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名称 5.3.2 第一课时 等比数列的前n项和公式(课件 学案 练习)高中数学人教B版(2019)选择性必修 第三册
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文件大小 3.1MB
资源类型 教案
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-06 18:51:51

文档简介

5.3.2 等比数列的前n项和
1.在等比数列{an}中,a3=,其前三项的和S3=,则数列{an}的公比q=(  )
A.- B.
C.-或1 D.或1
2.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则=(  )
A.2n-1 B.2-21-n
C.2-2n-1 D.21-n-1
3.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=(  )
A.16(1-4-n) B.16(1-2-n)
C.(1-4-n) D.(1-2-n)
4.等比数列{an}的前n项和为Sn,S5=2,S10=6,则a16+a17+a18+a19+a20等于(  )
A.8 B.12
C.16 D.24
5.记等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2,S6=18,则等于(  )
A.-3 B.5
C.-31 D.33
6.(多选)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a7a8>1,<0.则下列结论正确的是(  )
A.0<q<1
B.a7a9<1
C.Tn的最大值为T7
D.Sn的最大值为S7
7.设数列{an}的前n项和为Sn,写出{an}的一个通项公式an=     ,满足下面两个条件:①{an}是单调递减数列;②{Sn}是单调递增数列.
8.等比数列{an}中,若a1+a3+…+a99=150,且公比q=2,则数列{an}的前100项和为    .
9.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为    .
10.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在正整数n,使得Sn≥2 025?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由.
11.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an=2n-1,则下列结论正确的是(  )
A.S2=2 B.Sn=2n-1
C.Sn<Sn+1 D.{}是等比数列
12.把一个边长为1的正方形分成九个相等的小正方形,将中间的一个正方形挖掉(如图(1));再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形,并将中间的一个正方形挖掉(如图(2));如此继续下去,则
(1)图(3)中共挖掉了    个正方形;
(2)第n个图形挖掉正方形的面积和是    . 
13.记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a1=1,Sn=an+1+t.
(1)求t;
(2)求数列{(cos nπ)·an}的前n项和.
14.中国古代数学著作《张丘建算经》中记载:“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里.”其意思是:“现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里数是前一天的一半,连续行走7天,共走了700里.”若该匹马按此规律继续行走7天,则它这14天内所走的总路程为(  )
A. 里 B.1 050里
C. 里 D.950里
15.已知等差数列{bn}中,bn=log2(an-1),且a1=3,a3=9.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn.
第一课时 等比数列的前n项和公式
1.C 由题意,可得a1q2=,a1+a1q+a1q2=,两式相除,得=3,解得q=-或q=1.
2.B 法一 设等比数列{an}的公比为q,则由
解得
所以Sn==2n-1,
an=a1qn-1=2n-1,所以==2-21-n,故选B.
法二 设等比数列{an}的公比为q,因为====2,所以q=2,所以===2-21-n,故选B.
3.C 由a5=a2q3,得q3=,所以q=,而数列{anan+1}也为等比数列,其首项为a1·a2=8,公比为q2=,所以a1a2+a2a3+…+anan+1==(1-4-n).
4.C 设等比数列{an}的公比为q,因为S2n-Sn=qnSn,所以S10-S5=q5S5,所以6-2=2q5,所以q5=2,所以a16+a17+a18+a19+a20=a1q15+a2q15+a3q15+a4q15+a5q15=q15(a1+a2+a3+a4+a5)=q15S5=23×2=16.
5.D 由题意知公比q≠1,==1+q3=9,所以q=2,==1+q5=1+25=33.
6.ABC ∵a1>1,a7a8>1,<0,∴a7>1,0<a8<1,∴0<q<1,故A正确;a7a9=<1,故B正确;T7是数列{Tn}中的最大项,故C正确;因为a1>1,0<q<1,所以Sn无最大值,故D不正确.故选A、B、C.
7.(答案不唯一) 解析:根据前n项和数列是单调递增的,可以判定数列的各项,从第二项起,各项都是大于零的,由数列本身为单调递减数列,结合各项的值的要求,可以考虑公比在0到1之间的等比数列,an=就是符合条件的一个通项.
8.450 解析:由=q,q=2,得=2 a2+a4+…+a100=300,则数列{an}的前100项的和S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=150+300=450.
9. 解析:由题意知,q≠1,由9S3=S6,得9×=,解得q=2,故an=a1qn-1=2n-1,=,∴数列是以1为首项,为公比的等比数列,其前5项和为=.
10.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,则a1≠0,q≠0.
由题意得
即解得
故数列{an}的通项公式为an=3×(-2)n-1.
(2)由(1)有Sn==1-(-2)n.
若存在正整数n,使得Sn≥2 025,则1-(-2)n≥2 025,
即(-2)n≤-2 024.
当n为偶数时,(-2)n>0,上式不成立;
当n为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 024,即2n≥2 024,则n≥11.
综上,存在符合条件的正整数n,且n的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.
11.BCD 因为an=2n-1,所以{an}是等比数列,且a1=1,公比q=2,所以S2=a1+a2=3,Sn==2n-1.Sn-Sn+1=2n-1-(2n+1-1)=-2n<0,所以Sn<Sn+1,==()n,所以{}是等比数列.
12.(1)73 (2)1- 解析:设第n个图形共挖掉an个正方形,则a1=1,a2-a1=8,a3-a2=82,…,an-an-1=8n-1,所以an=1+8+82+…+8n-1=,∴a3=73.原正方形的边长为1,则这些被挖掉的正方形的面积和为1×+8×+82×+…+8n-1×==1-.
13.解:(1)令n=1,则由Sn=an+1+t可得S1=a2+t,a2=1-t,
当n≥2时,由Sn=an+1+t可得Sn-1=an+t,
两式相减,可得an=an+1-an,即an+1=2an,
依题意,{an}为等比数列,故a2=2=1-t,t=-1.
(2)由(1)可知{an}为首项等于1,公比等于2的等比数列,故an=2n-1,
故{(cos nπ)·an}为首项等于-1,公比等于-2的等比数列,
故an=(-1)(-2)n-1.
故Tn==(-2)n-.
14.C 由题意知,马每天行走的路程构成一个等比数列,设该数列为{an},则该匹马首日行走的路程为a1,公比为,则有=700(里),
则a1=(里),则=(里).
故选C.
15.解:(1)设等差数列{bn}的公差为d,由a1=3,a3=9,得b1=log2(a1-1)=log22=1,b3=log2(a3-1)=log28=3,
∴b3-b1=2=2d,∴d=1,∴bn=1+(n-1)×1=n.
(2)由(1)知bn=n,∴log2(an-1)=n,∴an-1=2n,∴an=2n+1.
∴Sn=a1+a2+…+an=(2+1)+(22+1)+…+(2n+1)
=(2+22+…+2n)+n=+n=2n+1+n-2.
2 / 25.3.2 等比数列的前n项和
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系 数学运算
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题 逻辑推理、数学运算
第一课时 等比数列的前n项和公式
  甲、乙二人约定在一个月(按30天)内甲每天给乙100元钱,而乙则第一天给甲返还一分,第二天给甲返还二分,即后一天返还的钱是前一天的二倍.
【问题】 一个月后,甲、乙两人谁赢谁亏?
                                            
                       
知识点 等比数列的前n项和公式
【想一想】
1.等比数列的前n项和公式中Sn=的适用条件是什么?
2.若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和Sn为何值?
3.若某数列的前n项和公式为Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0且q≠1,n∈N+),则此数列一定是等比数列吗?
1.等比数列{an}中,公比q=-2,S5=44,则a1的值为(  )
A.4         B.-4
C.2 D.-2
2.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则等于(  )
A.2 B.4
C. D.
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=S9,则公比q=    .
题型一 等比数列的前n项和公式的基本运算
【例1】 在等比数列{an}中,公比为q,前n项和为Sn.
(1)已知a1=8,an=,Sn=,求n;
(2)已知S3=,S6=,求a1与q.
尝试解答
【母题探究】
1.(变设问)本例(2)条件不变,试求an与Sn.
2.(变条件)若本例(2)中的条件“S3=,S6=”变为“S3=,S6=”,其他条件不变,结果又如何呢?
通性通法
  在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的元素,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解,在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
【跟踪训练】
 在等比数列{an}中,已知a6-a4=24,a3·a5=64,求S8.
题型二 等比数列前n项和的性质
【例2】 等比数列{an}的前n项和Sn=48,前2n项和S2n=60,则前3n项和S3n=    .
尝试解答
通性通法
1.等比数列前n项和的性质
  设等比数列{an},Sn为{an}的前n项和,公比为q,则:
(1)当q=1时,=;当q≠±1时,=;
(2)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm;
(3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n,则=q;若项数为2n+1,则=q;
(4)当q≠-1时,连续n项的和(如Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…)仍构成等比数列(公比为qn,n≥2).
2.运用等比数列求和性质解题时,一定要注意性质成立的条件,否则会出现失误.如Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列的前提是Sn,S2n-Sn,S3n-S2n均不为0.
【跟踪训练】
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=(  )
A.2         B.
C. D.3
2.一个项数为偶数的等比数列{an},全部各项之和为偶数项之和的4倍,前3项之积为64,求数列的通项公式.
题型三 等比数列前n项和的实际应用
【例3】 某市共有1万辆燃油型公交车.有关部门于2020年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则:
(1)该市在2026年应该投入电力型公交车多少辆?
(2)到哪一年年底,电力型公交车的数量开始超过公交车总量的?
尝试解答
通性通法
解数列应用题的思路和方法
【跟踪训练】
 《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿.大鼠日一尺,小鼠亦日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.问几何日相逢?各穿几何?”其大意为:“今有一堵墙厚5尺,两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙,大老鼠第一天打洞1尺,以后每天是前一天的2倍;小老鼠第一天也打洞1尺,以后每天是前一天的.问大、小老鼠几天后相遇?各自打洞几尺?”如果墙足够厚,Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和,则Sn=    尺.
1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=(  )
A.16         B.8
C.4 D.2
2.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于(  )
A.31 B.33
C.35 D.37
3.设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若{Sn}是等差数列,则q等于(  )
A.1 B.0
C.1或0 D.-1
4.已知数列{an}是公比为3的等比数列,其前n项和Sn=3n+k(n∈N+),则实数k为(  )
A.0 B.1
C.-1 D.2
5.在等比数列{an}中,其前n项和为Sn.
(1)若S2=30,S3=155,求Sn;
(2)若Sn=189,a1=3,an=96,求q和n.
第一课时 等比数列的前n项和公式
【基础知识·重落实】
知识点
na1  na1 
想一想
1.提示:公比q≠1.
2.提示:若数列既是等差数列,又是等比数列,则是非零常数列,所以前n项和为Sn=na.
3.提示:是.根据等比数列前n项和公式Sn=(q≠0且q≠1)变形为Sn=-qn(q≠0且q≠1),
若令a=,则和式可变形为Sn=a-aqn.
自我诊断
1.A 由S5==44,得a1=4.
2.C =×==.
3.±1 解析:由S3+S6=S9得S3=S9-S6,即a1+a2+a3=a7+a8+a9=q6(a1+a2+a3),则q6=1,q=±1.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:(1)显然q≠1,由Sn=,即=,
∴q=.又∵an=a1qn-1,即8×=,∴n=6.
(2)法一 由S6≠2S3知q≠1,由题意得
②÷①,得1+q3=9,∴q3=8,即q=2.
代入①得a1=.
法二 由S3=a1+a2+a3,S6=S3+a4+a5+a6=S3+q3(a1+a2+a3)=S3+q3S3=(1+q3)S3,
∴1+q3==9,∴q3=8,即q=2.
代入=,得a1=.
母题探究
1.解:由本例(2)知a1=,q=2,
所以an=a1qn-1=·2n-1=2n-2,Sn==2n-1-.
2.解:设等比数列{an}的公比为q,则由S6≠2S3得q≠1,则解得q=2,a1=.
跟踪训练
解:法一 由题意,得
化简得
①÷②,得q2-1=±3,负值舍去,∴q2=4,∴q=2或q=-2.
当q=2时,代入①得a1=1,∴S8==255.
当q=-2时,代入①得a1=-1.∴S8==.
综上知S8=255或S8=.
法二 由等比数列的性质得a3·a5==64,∴a4=±8.
当a4=8时,∵a6-a4=24,∴a6=32,∴q2==4,∴q=±2.
当a4=-8时,a6-a4=24,∴a6=16.
∴q2==-2,无解.故q=±2.
当q=2时,a1==1,S8==255.
当q=-2时,a1==-1,S8==.
综上知S8=255或S8=.
【例2】 63 解析:法一 设公比为q,由已知易知q≠1,由可得所以S3n==·[1-(qn)3]=64×=63.
法二 由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,得(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n),即(60-48)2=48(S3n-60),解得S3n=63.
跟踪训练
1.B 法一 设数列{an}的公比为q,所以S6=S3+q3S3,S9=S6+q6S3=S3+q3S3+q6S3,于是==3,即1+q3=3,所以q3=2.于是===.
法二 由=3,得S6=3S3.设数列{an}的公比为q,由题意知q≠-1,所以S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,所以(S6-S3)2=S3(S9-S6),解得S9=7S3,所以=.
2.解:设数列{an}的首项为a1,公比为q,所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇,S偶,由题意可知,
S奇+S偶=4S偶,即S奇=3S偶.
因为数列{an}的项数为偶数,所以q==.
又因为a1·a1q·a1q2=64,所以·q3=64,即a1=12,故所求通项公式为an=12×.
【例3】 解:(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an},其中a1=128,q=,
∴2026年应投入的数量为a7=a1q6=128×=1 458(辆),
∴该市在2026年应该投入1 458辆电力型公交车.
(2)设{an}的前n项和为Sn,
则Sn==256×,
由Sn>(10 000+Sn)×,即Sn>5 000,n∈N+,解得n>7.
∴该市在2027年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.
跟踪训练
2n-+1 解析:由题意可知,大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项,2为公比的等比数列,前n天打洞长度之和为=2n-1,小老鼠每天打洞的长度构成以1为首项,为公比的等比数列,前n天打洞长度之和为=2-,所以Sn=2n-1+2-=2n-+1.
随堂检测
1.C 由题意知解得∴ a3=a1q2=4.故选C.
2.B 根据等比数列性质得=q5,∴=25,∴S10=33.
3.A 因为Sn-Sn-1=an,又{Sn}是等差数列,所以an为定值,即数列{an}为常数列,所以q==1.
4.C 由数列{an}的前n项和Sn=3n+k(n∈N+),当n=1时,a1=S1=3+k;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+k-(3n-1+k)=2×3n-1.因为数列{an}是公比为3的等比数列,所以a1=2×31-1=3+k,解得k=-1.
5.解:(1)由题意知解得或
从而Sn=×5n+1-或Sn=.
(2)∵等比数列{an}中,a1=3,an=96,Sn=189,
∴=189.∴q=2.
∴an=a1qn-1=3×2n-1,∴96=3×2n-1,∴n=5+1=6.
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5.3.2 等比数列的前n项和
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等
比数列的通项公式与前n项和公式的关系 数学运算
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关
系,并解决相应的问题 逻辑推理、数学运

第一课时
等比数列的前n项和公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
  甲、乙二人约定在一个月(按30天)内甲每天给乙100元钱,而
乙则第一天给甲返还一分,第二天给甲返还二分,即后一天返还的钱
是前一天的二倍.
【问题】 一个月后,甲、乙两人谁赢谁亏?
知识点 等比数列的前n项和公式
【想一想】
1. 等比数列的前n项和公式中Sn= 的适用条件是什么?
提示:公比q≠1.
2. 若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和Sn为
何值?
提示:若数列既是等差数列,又是等比数列,则是非零常数列,所
以前n项和为Sn=na.
3. 若某数列的前n项和公式为Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0且q≠1,
n∈N+),则此数列一定是等比数列吗?
提示:是.根据等比数列前n项和公式Sn= (q≠0且
q≠1)变形为Sn= - qn(q≠0且q≠1),
若令a= ,则和式可变形为Sn=a-aqn.
1. 等比数列{an}中,公比q=-2,S5=44,则a1的值为(  )
A. 4 B. -4
C. 2 D. -2
解析: 由S5= =44,得a1=4.
2. 设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则 等于(  )
A. 2 B. 4
C. D.
解析:  = × = = .
3. 设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=S9,则公比q
= .
解析:由S3+S6=S9得S3=S9-S6,即a1+a2+a3=a7+a8+a9=
q6(a1+a2+a3),则q6=1,q=±1.
±1 
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等比数列的前n项和公式的基本运算
【例1】 在等比数列{an}中,公比为q,前n项和为Sn.
(1)已知a1=8,an= ,Sn= ,求n;
解:显然q≠1,由Sn= ,即 = ,
∴q= .又∵an=a1qn-1,即8× = ,
∴n=6.
(2)已知S3= ,S6= ,求a1与q.
解:法一 由S6≠2S3知q≠1,由题意得

②÷①,得1+q3=9,∴q3=8,即q=2.
代入①得a1= .
法二 由S3=a1+a2+a3,S6=S3+a4+a5+a6=S3+q3(a1+a2+
a3)=S3+q3S3=(1+q3)S3,
∴1+q3= =9,∴q3=8,即q=2.
代入 = ,得a1= .
【母题探究】
1. (变设问)本例(2)条件不变,试求an与Sn.
解:由本例(2)知a1= ,q=2,
所以an=a1qn-1= ·2n-1=2n-2,
Sn= =2n-1- .
2. (变条件)若本例(2)中的条件“S3= ,S6= ”变为“S3=
,S6= ”,其他条件不变,结果又如何呢?
解:设等比数列{an}的公比为q,则由S6≠2S3得q≠1,则
解得q=2,a1= .
通性通法
  在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本
的元素,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与
Sn,从而列方程组求解,在解方程组时经常用到两式相除达到整体消
元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
【跟踪训练】
 在等比数列{an}中,已知a6-a4=24,a3·a5=64,求S8.
解:法一 由题意,得
化简得
①÷②,得q2-1=±3,负值舍去,
∴q2=4,∴q=2或q=-2.
当q=2时,代入①得a1=1,
∴S8= =255.
当q=-2时,代入①得a1=-1.
∴S8= = .
综上知S8=255或S8= .
法二 由等比数列的性质得a3·a5= =64,∴a4=±8.
当a4=8时,∵a6-a4=24,∴a6=32,∴q2= =4,
∴q=±2.
当a4=-8时,a6-a4=24,∴a6=16.
∴q2= =-2,无解.故q=±2.
当q=2时,a1= =1,S8= =255.
当q=-2时,a1= =-1,S8= = .
综上知S8=255或S8= .
题型二 等比数列前n项和的性质
【例2】 等比数列{an}的前n项和Sn=48,前2n项和S2n=60,则前
3n项和S3n= .
解析:法一 设公比为q,由已知易知q≠1,由
可得所以S3n= = ·[1-(qn)3]
=64× =63.
63 
法二 由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,得(S2n-Sn)2=
Sn·(S3n-S2n),即(60-48)2=48(S3n-60),解得S3n=63.
通性通法
1. 等比数列前n项和的性质
  设等比数列{an},Sn为{an}的前n项和,公比为q,则:
(1)当q=1时, = ;当q≠±1时, = ;
(2)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm;
(3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为2n,则
=q;若项数为2n+1,则 =q;
(4)当q≠-1时,连续n项的和(如Sn,S2n-Sn,S3n-
S2n,…)仍构成等比数列(公比为qn,n≥2).
2. 运用等比数列求和性质解题时,一定要注意性质成立的条件,否则
会出现失误.如Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列的前提是Sn,
S2n-Sn,S3n-S2n均不为0.
【跟踪训练】
1. 设等比数列{an}的前n项和为Sn,若 =3,则 =(  )
A. 2 B.
C. D. 3
解析: 法一 设数列{an}的公比为q,所以S6=S3+q3S3,S9
=S6+q6S3=S3+q3S3+q6S3,于是 = =3,即1+q3
=3,所以q3=2.于是 = = = .
法二 由 =3,得S6=3S3.设数列{an}的公比为q,由题意知q≠-
1,所以S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,所以(S6-S3)2=S3
(S9-S6),解得S9=7S3,所以 = .
2. 一个项数为偶数的等比数列{an},全部各项之和为偶数项之和的4
倍,前3项之积为64,求数列的通项公式.
解:设数列{an}的首项为a1,公比为q,所有奇数项、偶数项之和
分别记作S奇,S偶,由题意可知,
S奇+S偶=4S偶,即S奇=3S偶.
因为数列{an}的项数为偶数,所以q= = .
又因为a1·a1q·a1q2=64,所以 ·q3=64,即a1=12,故所求通项
公式为an=12× .
题型三 等比数列前n项和的实际应用
【例3】 某市共有1万辆燃油型公交车.有关部门于2020年投入128辆
电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则:
(1)该市在2026年应该投入电力型公交车多少辆?
解:每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an},
其中a1=128,q= ,
∴2026年应投入的数量为a7=a1q6=128× =1 458(辆),
∴该市在2026年应该投入1 458辆电力型公交车.
(2)到哪一年年底,电力型公交车的数量开始超过公交车总量的 ?
解:设{an}的前n项和为Sn,
则Sn= =256× ,
由Sn>(10 000+Sn)× ,即Sn>5 000,n∈N+,解得n>7.
∴该市在2027年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总
量的 .
通性通法
解数列应用题的思路和方法
【跟踪训练】
 《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题:“今有垣厚五尺,两
鼠对穿.大鼠日一尺,小鼠亦日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.问几
何日相逢?各穿几何?”其大意为:“今有一堵墙厚5尺,两只老鼠
从墙的两边沿一条直线相对打洞穿墙,大老鼠第一天打洞1尺,以后
每天是前一天的2倍;小老鼠第一天也打洞1尺,以后每天是前一天的
.问大、小老鼠几天后相遇?各自打洞几尺?”如果墙足够厚,Sn为
前n天两只老鼠打洞长度之和,则Sn= 尺.
2n- +1 
解析:由题意可知,大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项,2为公比
的等比数列,前n天打洞长度之和为 =2n-1,小老鼠每天打洞的
长度构成以1为首项, 为公比的等比数列,前n天打洞长度之和为
=2- ,所以Sn=2n-1+2- =2n- +1.
1. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+
4a1,则a3=(  )
A. 16 B. 8
C. 4 D. 2
解析: 由题意知解得
∴ a3=a1q2=4.故选C.
2. 已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于
(  )
A. 31 B. 33
C. 35 D. 37
解析: 根据等比数列性质得 =q5,∴ =25,∴S10=33.
3. 设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若{Sn}是等差
数列,则q等于(  )
A. 1 B. 0
C. 1或0 D. -1
解析: 因为Sn-Sn-1=an,又{Sn}是等差数列,所以an为定
值,即数列{an}为常数列,所以q= =1.
4. 已知数列{an}是公比为3的等比数列,其前n项和Sn=3n+k
(n∈N+),则实数k为(  )
A. 0 B. 1
C. -1 D. 2
解析: 由数列{an}的前n项和Sn=3n+k(n∈N+),当n=1
时,a1=S1=3+k;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+k-(3n-1
+k)=2×3n-1.因为数列{an}是公比为3的等比数列,所以a1=
2×31-1=3+k,解得k=-1.
5. 在等比数列{an}中,其前n项和为Sn.
(1)若S2=30,S3=155,求Sn;
解:由题意知
解得或
从而Sn= ×5n+1- 或Sn= .
(2)若Sn=189,a1=3,an=96,求q和n.
解: ∵等比数列{an}中,a1=3,an=96,Sn=189,
∴ =189.∴q=2.
∴an=a1qn-1=3×2n-1,
∴96=3×2n-1,∴n=5+1=6.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在等比数列{an}中,a3= ,其前三项的和S3= ,则数列{an}的
公比q=(  )
A. - B.
C. - 或1 D. 或1
解析: 由题意,可得a1q2= ,a1+a1q+a1q2= ,两式相
除,得 =3,解得q=- 或q=1.
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2. 记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则
=(  )
A. 2n-1 B. 2-21-n
C. 2-2n-1 D. 21-n-1
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解析: 法一 设等比数列{an}的公比为q,则由
解得所以Sn=
=2n-1,an=a1qn-1=2n-1,所以 = =2-21-n,故选B.
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法二 设等比数列{an}的公比为q,因为 = = =
=2,所以q=2,所以 = = =2-21-n,故选B.
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3. 已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则a1a2+a2a3+…+anan+1
=(  )
A. 16(1-4-n) B. 16(1-2-n)
C. (1-4-n) D. (1-2-n)
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解析: 由a5=a2q3,得q3= ,所以q= ,而数列{anan+1}也
为等比数列,其首项为a1·a2=8,公比为q2= ,所以a1a2+a2a3
+…+anan+1= = (1-4-n).
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4. 等比数列{an}的前n项和为Sn,S5=2,S10=6,则a16+a17+a18+
a19+a20等于(  )
A. 8 B. 12
C. 16 D. 24
解析: 设等比数列{an}的公比为q,因为S2n-Sn=qnSn,所以
S10-S5=q5S5,所以6-2=2q5,所以q5=2,所以a16+a17+a18+
a19+a20=a1q15+a2q15+a3q15+a4q15+a5q15=q15(a1+a2+a3+
a4+a5)=q15S5=23×2=16.
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5. 记等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2,S6=18,则 等于
(  )
A. -3 B. 5
C. -31 D. 33
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解析: 由题意知公比q≠1, = =1+q3=9,所以
q=2, = =1+q5=1+25=33.
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6. (多选)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积
为Tn,并且满足条件a1>1,a7a8>1, <0.则下列结论正确的
是(  )
A. 0<q<1 B. a7a9<1
C. Tn的最大值为T7 D. Sn的最大值为S7
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解析: ∵a1>1,a7a8>1, <0,∴a7>1,0<a8<1,
∴0<q<1,故A正确;a7a9= <1,故B正确;T7是数列{Tn}中
的最大项,故C正确;因为a1>1,0<q<1,所以Sn无最大值,故
D不正确.故选A、B、C.
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7. 设数列{an}的前n项和为Sn,写出{an}的一个通项公式an=
,满足下面两个条件:①{an}是单调递减数列;
②{Sn}是单调递增数列.
解析:根据前n项和数列是单调递增的,可以判定数列的各项,从
第二项起,各项都是大于零的,由数列本身为单调递减数列,结合
各项的值的要求,可以考虑公比在0到1之间的等比数列,an=
就是符合条件的一个通项.
(答案不唯一) 
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8. 等比数列{an}中,若a1+a3+…+a99=150,且公比q=2,则数列
{an}的前100项和为 .
解析:由 =q,q=2,得 =2 a2
+a4+…+a100=300,则数列{an}的前100项的和S100=(a1+a3
+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=150+300=450.
450 
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9. 已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=
S6,则数列 的前5项和为    . 
 
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解析:由题意知,q≠1,由9S3=S6,得9× =
,解得q=2,故an=a1qn-1=2n-1, = ,
∴数列 是以1为首项, 为公比的等比数列,其前5项和为
= .
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10. 已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且
a2+a3+a4=-18.
(1)求数列{an}的通项公式;
解:设等比数列{an}的公比为q,则a1≠0,q≠0.
由题意得
即解得
故数列{an}的通项公式为an=3×(-2)n-1.
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(2)是否存在正整数n,使得Sn≥2 025?若存在,求出符合条件
的所有n的集合;若不存在,说明理由.
解:由(1)有Sn= =1-(-2)n.
若存在正整数n,使得Sn≥2 025,则1-(-2)n≥2 025,
即(-2)n≤-2 024.
当n为偶数时,(-2)n>0,上式不成立;
当n为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 024,即2n≥2 024,
则n≥11.
综上,存在符合条件的正整数n,且n的集合为{n|n=2k
+1,k∈N,k≥5}.
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11. (多选)已知数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an=2n-1,
则下列结论正确的是(  )
A. S2=2
B. Sn=2n-1
C. Sn<Sn+1
D. { }是等比数列
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解析:  因为an=2n-1,所以{an}是等比数列,且a1=1,公
比q=2,所以S2=a1+a2=3,Sn= =2n-1.Sn-Sn+
1=2n-1-(2n+1-1)=-2n<0,所以Sn<Sn+1, =
=( )n,所以{ }是等比数列.
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12. 把一个边长为1的正方形分成九个相等的小正方形,将中间的一个
正方形挖掉(如图(1));再将剩余的每个正方形都分成九个相
等的小正方形,并将中间的一个正方形挖掉(如图(2));如此
继续下去,则
(1)图(3)中共挖掉了 个正方形;
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(2)第n个图形挖掉正方形的面积和是 .
解析:设第n个图形共挖掉an个正方形,则a1=1,a2-a1
=8,a3-a2=82,…,an-an-1=8n-1,所以an=1+8+82
+…+8n-1= ,∴a3=73.原正方形的边长为1,则这些
被挖掉的正方形的面积和为1× +8× +82×
+…+8n-1× = =1- .
1-  
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13. 记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a1=1,Sn=an+1+t.
(1)求t;
解:令n=1,则由Sn=an+1+t可得S1=a2+t,a2=1-t,
当n≥2时,由Sn=an+1+t可得Sn-1=an+t,
两式相减,可得an=an+1-an,即an+1=2an,
依题意,{an}为等比数列,故a2=2=1-t,t=-1.
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(2)求数列{( cos nπ)·an}的前n项和.
解:由(1)可知{an}为首项等于1,公比等于2的
等比数列,故an=2n-1,
故{( cos nπ)·an}为首项等于-1,公比等于-2的等比
数列,
故an=(-1)(-2)n-1.
故Tn= = (-2)n- .
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14. 中国古代数学著作《张丘建算经》中记载:“今有马行转迟,次
日减半,疾七日,行七百里.”其意思是:“现有一匹马行走的速
度逐渐变慢,每天走的里数是前一天的一半,连续行走7天,共走
了700里.”若该匹马按此规律继续行走7天,则它这14天内所走的
总路程为(  )
A. 里 B. 1 050里
C. 里 D. 950里
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解析: 由题意知,马每天行走的路程构成一个等比数列,设
该数列为{an},则该匹马首日行走的路程为a1,公比为 ,则有
=700(里),则a1= (里),则 =
(里).故选C.
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15. 已知等差数列{bn}中,bn=log2(an-1),且a1=3,a3=9.
(1)求数列{bn}的通项公式;
解: 设等差数列{bn}的公差为d,由a1=3,a3=9,
得b1=log2(a1-1)=log22=1,b3=log2(a3-1)=log28
=3,
∴b3-b1=2=2d,∴d=1,∴bn=1+(n-1)×1=n.
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(2)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn.
解:由(1)知bn=n,∴log2(an-1)=n,∴an-1=2n,
∴an=2n+1.
∴Sn=a1+a2+…+an
=(2+1)+(22+1)+…+(2n+1)
=(2+22+…+2n)+n
= +n=2n+1+n-2.
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