5.4 数列的应用
1.某钢厂的年产值由2010年的40万吨，增加到2020年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2030年的年产值将接近（ ）
A.60万吨 B.61万吨
C.63万吨 D.64万吨
2.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，….我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…）.若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总共球的个数为（ ）
A.55 B.220
C.285 D.385
3.一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下，设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2时，下面说法正确的是（ ）
A.Sn＜500 B.Sn≤500
C.Sn的最小值为100 D.Sn的最大值为400
4.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：
他们研究过图①中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图②中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A.289 B.1 024
C.1 225 D.1 378
5.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其大意为：“有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布多少尺.”那么答案是（ ）
A.30尺 B.90尺
C.150尺 D.180尺
6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于（ ）
A.35 B.32
C.23 D.38
7.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后 分钟，该病毒占据内存64 MB（1 MB＝210 KB）.
8.某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写 个大字.
9.有n台型号相同的联合收割机，现收割一片土地上的小麦，若同时投入工作，则收割完毕需要24小时.现在这些收割机每隔相同的时间依次投入工作，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕.如果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍，则用这种方法收割完这片土地上的小麦需要 小时.
10.某人从1月起，每月第一天存入1 000元，到12月最后一天取出全部本金及其利息，已知月利率是0.35%，应纳税率是20%，那么实际取出多少钱？
11.《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.现有38石粮食，按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”，已知甲分得18石粮食，则“衰分比”为（ ）
A. B.
C. D.
12.甲、乙两企业，2018年的销售量均为p（2018年为第一年），根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为（n2－n＋2），乙企业第n年的销售量比前一年的销售量多.
（1）求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式；
（2）根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的20%，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由.
13.流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月k＋1（9≤k≤29，k∈N＋）日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.
（1）若k＝9，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11 940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.
14.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn＝（21n－n2－5）（n＝1，2，…，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ ）
A.5月、6月 B.6月、7月
C.7月、8月 D.8月、9月
15.如图，将n个大小不同的正方体形状的积木从上到下，从小到大堆成塔状，平放在桌面上.上面一个正方体积木下底面的四个顶点正好是它下面一个正方体积木的上底面各边的中点，按此规律不断堆放.如果最下面的正方体积木的棱长为1，且这些正方体积木露在外面的面积之和为Sn，求Sn.
5.4 数列的应用
1.C 设年增长率为x，则2020年为：40（1＋x）10＝50，则（1＋x）10＝.2030年为：40（1＋x）20＝40×[（1＋x）10]2＝40××＝62.5≈63（万吨）.
2.B “三角形数”的通项公式an＝，前n项和公式为Sn＝1＋3＋6＋…＋＝＋＝＋，当n＝10时，S10＝＋＝220.故选B.
3.A 由题意可知，弹性小球每次着地后又跳回原来高度的再落下，其每次触地至下一次触地前所经过的路程可看成等比数列，公比q＝，首项为，所以该数列前n项和为·，所以总路程Sn＝100＋·，n≥2，化简可得Sn＝500－400×，因为400＞0，所以Sn＜500.
4.C 三角形数组成的数列的通项公式an＝，正方形数组成的数列的通项公式bn＝n2，验证知C项符合条件.
5.B 由题意知，该女子每天织布的数量构成等差数列{an}，其中a1＝5，a30＝1，∴S30＝＝90，即共织布90尺.
6.A 由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数列，且九项之和为207.故S9＝9a1＋d＝9a1－108＝207，解得a1＝35.
7.45 解析：由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45（分钟）.
8.4 解析：由题意知，此人每天写的字数构成等差数列{an}，其中a1＝4，a3＝12，设公差为d，则d＝＝4.
9.40 解析：设这n台收割机工作的时间（单位：小时）依次为a1，a2，…，an，依题意，{an}是一个等差数列，且
由②得＝24n，所以a1＋an＝48. ③
将①③联立，解得a1＝40.故用这种方法收割完这片土地上的小麦需要40小时.
10.解：1月存入款的利息：1 000×12×0.35%，
2月存入款的利息：1 000×11×0.35%，
…
11月存入款的利息：1 000×2×0.35%，
12月存入款的利息：1 000×1×0.35%，
于是，应得到的全部利息就是上面各期利息之和
S12＝1 000×12×0.35%＋1 000×11×0.35%＋…＋1 000×2×0.35%＋1 000×1×0.35%＝1 000×0.35%×（1＋2＋3＋…＋12）＝1 000×0.35%×＝273（元）.
应纳税273×20%＝54.6（元）.
实际取出1 000×12＋273－54.6＝12 218.4（元）.
11.A 设“衰分比”为q，则18＋18q＋18q2＝38，解得q＝或q＝－（舍去）.
12.解：（1）设甲企业前n年的总销售量为Sn，第n年的销售量为an，乙企业第n年的销售量为bn，根据题意，
得Sn＝（n2－n＋2），bn－bn－1＝（n≥2）.
∴a1＝S1＝p.
当n≥2时，∵an＝Sn－Sn－1＝p（n－1），
∴an＝
∵bn＝b1＋（b2－b1）＋（b3－b2）＋…＋（bn－bn－1），
∴bn＝p＋＋…＋＝p.
（2）∵an≥p，bn≥p，∴an＞bn＞bn，
故甲企业不可能被乙企业收购，
当n＝1时，a1＝b1＝p，乙企业不可能被甲企业收购，
当n≥2时，∵an＞bn p（n－1）＞p，
∴n＞11－，
则当n＝2，3时，经验证，n＜11－，
当4≤n≤10且n∈N＋时，有11－＞10，
∴n＜11－，
当n≥11且n∈N＋时，11－＜11，
∴必有n≥11，则n＞11－，
故当n＝11时，即2028年乙企业将被甲企业收购.
13.解：（1）记11月n日新感染者人数为an（1≤n≤30），
则数列{an}（1≤n≤9）是等差数列，a1＝30，公差为50，所以a9＝30＋50×（9－1）＝430，a10＝430－20＝410，
则11月1日至11月10日新感染者总人数为（a1＋a2＋…＋a9）＋a10＝＋410＝2 480（人）.
（2）记11月n日新感染者人数为an（1≤n≤30），
11月k日新感染者人数最多，当1≤n≤k时，an＝50n－20.
当k＋1≤n≤30时，an＝（50k－20）－20（n－k）＝－20n＋70k－20，
因为这30天内的新感染者总人数为11 940人，所以＋＝11 940，
得－35k2＋2 135k－ 9 900＝11 940，即k2－61k＋624＝0，
解得k＝13或k＝48（舍），
此时a13＝50×13－20＝630.
所以11月13日新感染者人数最多为630人.
14.C 第n月的家用商品需求量为Sn－Sn－1＝（21n－n2－5）－[21（n－1）－（n－1）2－5]＝；令＞1.5，即n2－15n＋54＜0，解得6＜n＜9.
15.解：最底层正方体的棱长为1，
则该正方体除底面外的表面积为5×12＝5；
倒数第2个正方体的棱长为1×＝，
它的侧面积为4×＝4×，
倒数第3个正方体的棱长为×＝.
它的侧面积为4×＝4×；
倒数第n个小正方体的棱长为，
它的侧面积为4×＝4×，
则Sn＝5＋4×［＋＋＋…＋］＝5＋4×＝9－＝9－.
3 / 35.4 数列的应用
新课程标准解读 核心素养
掌握数列在实际生活中的应用 数学建模
题型一 分期还款在数列中的应用
【例1】 随着经济的发展，我国的房价持续上涨，分期付款成了当今大学生毕业买房的首选方式.大学生李华准备贷款500 000元买一套100平方米的房子.采用“等额本金还款法”分20年进行还款，贷款的年利率为5%.设第n年李华的还款金额为an元.求an的表达式，并说明数列{an}的特征.
尝试解答
通性通法
“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率.因此：每期还款金额＝＋（贷款本金－已还本金总额）×利率.
【跟踪训练】
刚大学毕业的小李准备向银行贷款10万元购买一辆轿车，小李与银行约定，每个月还一次款12个月还清所有欠款，且每个月还款的钱数都相等.贷款的月利率为0.5%，试求出小李每个月所要还款的钱数？
题型二 “乘数”效应与数列
【例2】 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
尝试解答
通性通法
在解决与“乘数”效应有关的实际问题时，要注意数列项数的确定，特别是涉及年份的问题，要能正确确认起始年份，同时要注意正确区分是求第n项，还是求前n项的和.
【跟踪训练】
某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（lg 2≈0.301 0）（ ）
A.5 B.10
C.14 D.15
题型三 数列在实际生活中的应用
【例3】 若某地区2017年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2018年开始到2027年年底每年人口比上一年增加0.5万人，从2028年开始到2037年年底每年人口为上一年的99%.
（1）求实施新政策后该地区第n年的人口总数an的表达式（注：2018年为第1年）；
（2）若实施新政策后，从2018年到2037年年底平均每年的人口总数超过49万，则需调整政策，否则无需调整.试判断到2037年年底后是否需要调整政策.（附：0.9910≈0.9）
尝试解答
通性通法
解决数列应用题需注意的三点
（1）分清该数列是等差数列还是等比数列；
（2）首项是多少、公差（公比）是多少、项数是多少、是求an还是Sn；
（3）如果数列给出的是递推公式，如何由递推公式求出通项公式.
【跟踪训练】
某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金的年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
（1）用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
（2）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.
1.张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列.有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸.几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码.则另外一个缺货尺寸是（ ）
A.28码 B.29.5码
C.32.5码 D.34码
2.某林场现在的森林木材存量是1 800万立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年要砍伐固定的木材量为x万立方米，为达到经两次砍伐后木材存量增加50%的目标，则x的值是（ ）
A.40 B.45
C.50 D.55
3.某市2012年为解决低收入家庭的住房问题，决定新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.计划在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.
（1）到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积（以2012年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？
（2）到哪一年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
5.4 数列的应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解：因为每期所还本金为＝25 000（元），
因此第n年以前已还本金总额为25 000（n－1）元.
从而有an＝25 000＋[500 000－25 000（n－1）]×5%＝－1 250n＋51 250.
可以看出{an}是一个递减的等差数列.
跟踪训练
解：设小李每个月还款x元，则
x[（1＋0.5%）11＋（1＋0.5%）10＋…＋（1＋0.5%）1＋1]＝100 000（1＋0.5%）12，
∴x＝≈8 607（元）.
即小李每个月应还款约8 607元.
【例2】 解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn（单位：万吨），则an＝20（1＋5%）n，bn＝6＋1.5n，
Sn＝（a1－b1）＋（a2－b2）＋…＋（an－bn）
＝（a1＋a2＋…＋an）－（b1＋b2＋…＋bn）
＝（20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n）－（7.5＋9＋…＋6＋1.5n）＝－（7.5＋6＋1.5n）
＝420×1.05n－n2－n－420.
当n＝5时，S5≈63.5.
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
跟踪训练
C 设原杂质数为1，由题意，得各次过滤杂质数成等比数列，且a1＝1，公比q＝1－20%，故an＋1＝（1－20%）n.由题意可知（1－20%）n＜5%，即0.8n＜0.05.两边取对数，得nlg 0.8＜lg 0.05，因为lg 0.8＜0，所以n＞，即n＞＝＝≈≈13.41，故取n＝14.
【例3】 解：（1）当1≤n≤10时，数列{an}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，∴an＝45.5＋0.5×（n－1）＝45＋0.5n，
当11≤n≤20时，数列{an}是公比为0.99的等比数列，
又∵a10＝50，∴an＝50×0.99n－10.
因此，实施新政策后第n年的人口总数an的表达式为an＝
（2）设Sn为数列{an}的前n项和，结合（1）知，
S20＝S10＋（a11＋a12＋…＋a20）＝10×45.5＋×0.5＋＝477.5＋4 950×（1－0.9910）≈972.5，
∵＝48.625＜49，
故到2037年年底后不需要调整政策.
跟踪训练
解：（1）由题意得a1＝2 000×（1＋50%）－d＝3 000－d，a2＝a1（1＋50%）－d＝a1－d＝4 500－d，
an＋1＝an（1＋50%）－d＝an－d.
（2）由（1）得an＝an－1－d＝－d＝·an－2－d－d＝…＝a1－d［1＋＋＋…＋］，
整理得an＝（3 000－d）－2d＝·（3 000－3d）＋2d.
由题意知am＝4 000，所以（3 000－3d）＋2d＝4 000，
解得d＝＝.
故该企业每年上缴资金d的值为万元时，经过m（m≥3）年企业的剩余资金为4 000万元.
随堂检测
1.C 设第一个尺码为a1，公差为d，则a1＝25，d＝0.5，则an＝25＋（n－1）×0.5＝0.5n＋24.5，当an＝0.5n＋24.5＝36.5时，n＝24，故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为S24＝＝738码，所有缺货尺寸的和为738－677＝61码，又因为缺货的一个尺寸为28.5码，则另外一个缺货尺寸为61－28.5＝32.5码，故选C.
2.C 经过一次砍伐后，木材存量为1 800（1＋25%）－x＝2 250－x；经过两次砍伐后，木材存量为（2 250－x）×（1＋25%）－x＝2 812.5－2.25x.由题意应有2 812.5－2.25x＝1 800×（1＋50%），解得x＝50.
3.解：（1）设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n.
令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，所以n≥10.
故到2021年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.
（2）设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1，
由题意可知an＞0.85bn，即250＋（n－1）×50＞400×1.08n－1×0.85.解得满足上述不等式的最小正整数n＝6.
故到2017年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
2 / 2(共63张PPT)
5.4 数列的应用
新课程标准解读 核心素养
掌握数列在实际生活中的应用 数学建模
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 分期还款在数列中的应用
【例1】 随着经济的发展，我国的房价持续上涨，分期付款成了当
今大学生毕业买房的首选方式.大学生李华准备贷款500 000元买一套
100平方米的房子.采用“等额本金还款法”分20年进行还款，贷款的
年利率为5%.设第n年李华的还款金额为an元.求an的表达式，并说明
数列{an}的特征.
解：因为每期所还本金为 ＝25 000（元），
因此第n年以前已还本金总额为25 000（n－1）元.
从而有an＝25 000＋[500 000－25 000（n－1）]×5%＝－1 250n＋51
250.
可以看出{an}是一个递减的等差数列.
通性通法
“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一
期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还
款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利
率.因此：每期还款金额＝ ＋（贷款本金－已还本金总额）
×利率.
【跟踪训练】
刚大学毕业的小李准备向银行贷款10万元购买一辆轿车，小李与银行
约定，每个月还一次款12个月还清所有欠款，且每个月还款的钱数都
相等.贷款的月利率为0.5%，试求出小李每个月所要还款的钱数？
解：设小李每个月还款x元，则x[（1＋0.5%）11＋（1＋0.5%）10
＋…＋（1＋0.5%）1＋1]＝100 000（1＋0.5%）12，
∴x＝ ≈8 607（元）.
即小李每个月应还款约8 607元.
题型二 “乘数”效应与数列
【例2】 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填
埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递
增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定
处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃
圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾
总量（精确到0.1万吨）.
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，
每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，n年内
通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn（单位：万吨），则
an＝20（1＋5%）n，
bn＝6＋1.5n，
Sn＝（a1－b1）＋（a2－b2）＋…＋（an－bn）
＝（a1＋a2＋…＋an）－（b1＋b2＋…＋bn）
＝（20×1.05＋20×1.052＋…＋20×1.05n）－（7.5＋9＋…＋6＋
1.5n）
＝ － （7.5＋6＋1.5n）
＝420×1.05n－ n2－ n－420.
当n＝5时，S5≈63.5.
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
通性通法
在解决与“乘数”效应有关的实际问题时，要注意数列项数的确
定，特别是涉及年份的问题，要能正确确认起始年份，同时要注意正
确区分是求第n项，还是求前n项的和.
【跟踪训练】
某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的
20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为
（lg 2≈0.301 0）（ ）
A. 5 B. 10
C. 14 D. 15
解析： 设原杂质数为1，由题意，得各次过滤杂质数成等比数列，
且a1＝1，公比q＝1－20%，故an＋1＝（1－20%）n.由题意可知（1－
20%）n＜5%，即0.8n＜0.05.两边取对数，得nlg 0.8＜lg 0.05，因
为lg 0.8＜0，所以n＞ ，即n＞ ＝ ＝
≈ ≈13.41，故取n＝14.
题型三 数列在实际生活中的应用
【例3】 若某地区2017年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政
策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2018年开始到2027年年底
每年人口比上一年增加0.5万人，从2028年开始到2037年年底每年人
口为上一年的99%.
（1）求实施新政策后该地区第n年的人口总数an的表达式（注：2018
年为第1年）；
解：当1≤n≤10时，数列{an}是首项为45.5，公差为0.5
的等差数列，
∴an＝45.5＋0.5×（n－1）＝45＋0.5n，
当11≤n≤20时，数列{an}是公比为0.99的等比数列，又∵a10
＝50，∴an＝50×0.99n－10.
因此，实施新政策后第n年的人口总数an的表达式为an＝
（2）若实施新政策后，从2018年到2037年年底平均每年的人口总数
超过49万，则需调整政策，否则无需调整.试判断到2037年年底
后是否需要调整政策.（附：0.9910≈0.9）
解：设Sn为数列{an}的前n项和，结合（1）知，
S20＝S10＋（a11＋a12＋…＋a20）＝10×45.5＋
×0.5＋ ＝477.5＋4 950×（1－0.9910）
≈972.5，
∵ ＝48.625＜49，
故到2037年年底后不需要调整政策.
通性通法
解决数列应用题需注意的三点
（1）分清该数列是等差数列还是等比数列；
（2）首项是多少、公差（公比）是多少、项数是多少、是求an还是
Sn；
（3）如果数列给出的是递推公式，如何由递推公式求出通项公式.
【跟踪训练】
某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有
资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以
后每年资金的年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开
始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设
第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
（1）用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
解：由题意得a1＝2 000×（1＋50%）－d＝3 000－d，a2
＝a1（1＋50%）－d＝ a1－d＝4 500－ d，
an＋1＝an（1＋50%）－d＝ an－d.
（2）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4 000万元，
试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.
解：由（1）得an＝ an－1－d＝ －d＝
·an－2－ d－d＝…＝ a1－d ，
整理得an＝ （3 000－d）－2d ＝ ·（3
000－3d）＋2d.
由题意知am＝4 000，所以 （3 000－3d）＋2d＝4 000，
解得d＝ ＝ .
故该企业每年上缴资金d的值为 万元时，经过
m（m≥3）年企业的剩余资金为4 000万元.
1. 张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，
尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列.有一天，张扬帮助他的父
亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货
单上标记了两个缺货尺寸.几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸
是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一
个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677
码.则另外一个缺货尺寸是（ ）
A. 28码 B. 29.5码
C. 32.5码 D. 34码
解析： 设第一个尺码为a1，公差为d，则a1＝25，d＝0.5，则
an＝25＋（n－1）×0.5＝0.5n＋24.5，当an＝0.5n＋24.5＝
36.5时，n＝24，故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为S24＝
＝738码，所有缺货尺寸的和为738－677＝61码，又
因为缺货的一个尺寸为28.5码，则另外一个缺货尺寸为61－28.5＝
32.5码，故选C.
2. 某林场现在的森林木材存量是1 800万立方米，木材以每年25%的增
长率生长，而每年要砍伐固定的木材量为x万立方米，为达到经两
次砍伐后木材存量增加50%的目标，则x的值是（ ）
A. 40 B. 45
C. 50 D. 55
解析： 经过一次砍伐后，木材存量为1 800（1＋25%）－x＝2
250－x；经过两次砍伐后，木材存量为（2 250－x）×（1＋
25%）－x＝2 812.5－2.25x.由题意应有2 812.5－2.25x＝1
800×（1＋50%），解得x＝50.
3. 某市2012年为解决低收入家庭的住房问题，决定新建住房400万平
方米，其中有250万平方米是中低价房.计划在今后的若干年内，该
市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房
中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.
（1）到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积（以2012年
为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？
解：设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知{an}是
等差数列，其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋
×50＝25n2＋225n.
令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，
所以n≥10.
故到2021年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不
少于4 750万平方米.
（2）到哪一年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面
积的比例首次大于85%？
解：设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×1.08n－1，
由题意可知an＞0.85bn，即250＋（n－1）×50＞
400×1.08n－1×0.85.解得满足上述不等式的最小正整数n
＝6.
故到2017年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住
房面积的比例首次大于85%.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 某钢厂的年产值由2010年的40万吨，增加到2020年的50万吨，经历
了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2030年的年产值将
接近（ ）
A. 60万吨 B. 61万吨
C. 63万吨 D. 64万吨
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解析： 设年增长率为x，则2020年为：40（1＋x）10＝50，则
（1＋x）10＝ .2030年为：40（1＋x）20＝40×[（1＋x）10]2＝
40× × ＝62.5≈63（万吨）.
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2. 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距
的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，….我国宋
元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中
的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图
所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…）.若一
“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总共球的个数为（ ）
A. 55 B. 220
C. 285 D. 385
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解析： “三角形数”的通项公式an＝ ，前n项和公式
为Sn＝1＋3＋6＋…＋ ＝ ＋ ＝
＋ ，当n＝10时，S10＝
＋ ＝220.故选B.
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3. 一个弹性小球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度
的 再落下，设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2
时，下面说法正确的是（ ）
A. Sn＜500 B. Sn≤500
C. Sn的最小值为100 D. Sn的最大值为400
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解析： 由题意可知，弹性小球每次着地后又跳回原来高度的
再落下，其每次触地至下一次触地前所经过的路程可看成等比数
列，公比q＝ ，首项为 ，所以该数列前n项和为 · ，
所以总路程Sn＝100＋ · ，n≥2，化简可得Sn＝500－
400× ，因为400 ＞0，所以Sn＜500.
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4. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：
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他们研究过图①中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三
角形，将其称为三角形数；类似地，称图②中的1，4，9，16，…
这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是
（ ）
A. 289 B. 1 024
C. 1 225 D. 1 378
解析： 三角形数组成的数列的通项公式an＝ ，正方形
数组成的数列的通项公式bn＝n2，验证知C项符合条件.
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5. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下
问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今
三十织迄，问织几何.”其大意为：“有个女子不善于织布，每天
比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十
天织完，问三十天共织布多少尺.”那么答案是（ ）
A. 30尺 B. 90尺
C. 150尺 D. 180尺
解析： 由题意知，该女子每天织布的数量构成等差数列{an}，
其中a1＝5，a30＝1，∴S30＝ ＝90，即共织布90尺.
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6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它
对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作
中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其
中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共
年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题
中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于（ ）
A. 35 B. 32
C. 23 D. 38
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解析： 由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数
列，且九项之和为207.故S9＝9a1＋ d＝9a1－108＝207，解得a1
＝35.
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7. 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每3分
钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机
后 45 分钟，该病毒占据内存64 MB（1 MB＝210 KB）.
解析：由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，
令病毒占据64 MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解
得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45（分钟）.
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8. 某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多
写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一
天多写 个大字.
解析：由题意知，此人每天写的字数构成等差数列{an}，其中a1＝
4，a3＝12，设公差为d，则d＝ ＝4.
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9. 有n台型号相同的联合收割机，现收割一片土地上的小麦，若同时
投入工作，则收割完毕需要24小时.现在这些收割机每隔相同的时
间依次投入工作，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕.
如果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍，则用这种方法收
割完这片土地上的小麦需要 小时.
解析：设这n台收割机工作的时间（单位：小时）依次为a1，
a2，…，an，依题意，{an}是一个等差数列，且
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由②得 ＝24n，所以a1＋an＝48. ③
将①③联立，解得a1＝40.故用这种方法收割完这片土地上的小麦
需要40小时.
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10. 某人从1月起，每月第一天存入1 000元，到12月最后一天取出全
部本金及其利息，已知月利率是0.35%，应纳税率是20%，那么
实际取出多少钱？
解：1月存入款的利息：1 000×12×0.35%，
2月存入款的利息：1 000×11×0.35%，
…
11月存入款的利息：1 000×2×0.35%，
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12月存入款的利息：1 000×1×0.35%，
于是，应得到的全部利息就是上面各期利息之和
S12＝1 000×12×0.35%＋1 000×11×0.35%＋…＋1
000×2×0.35%＋1 000×1×0.35%＝1 000×0.35%×（1＋2＋3
＋…＋12）＝1 000×0.35%× ＝273（元）.
应纳税273×20%＝54.6（元）.
实际取出1 000×12＋273－54.6＝12 218.4（元）.
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11. 《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是
按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.现有38
石粮食，按甲、乙、丙的顺序进行“衰分”，已知甲分得18石粮
食，则“衰分比”为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 设“衰分比”为q，则18＋18q＋18q2＝38，解得q＝
或q＝－ （舍去）.
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12. 甲、乙两企业，2018年的销售量均为p（2018年为第一年），根
据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为 （n2－n＋2），
乙企业第n年的销售量比前一年的销售量多 .
（1）求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式；
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解：设甲企业前n年的总销售量为Sn，第n年的销售量
为an，乙企业第n年的销售量为bn，根据题意，
得Sn＝ （n2－n＋2），bn－bn－1＝ （n≥2）.
∴a1＝S1＝p.
当n≥2时，∵an＝Sn－Sn－1＝p（n－1），
∴an＝
∵bn＝b1＋（b2－b1）＋（b3－b2）＋…＋（bn－bn－1），
∴bn＝p＋ ＋…＋ ＝ p.
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（2）根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售
量不足另一企业的年销售量的20%，则该企业将被另一企业
收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出
现？试说明理由.
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解：∵an≥p，bn≥p，∴an＞ bn＞ bn，
故甲企业不可能被乙企业收购，
当n＝1时，a1＝b1＝p，乙企业不可能被甲企业收购，
当n≥2时，∵ an＞bn p（n－1）＞ p，
∴n＞11－ ，
则当n＝2，3时，经验证，n＜11－ ，
当4≤n≤10且n∈N＋时，有11－ ＞10，
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∴n＜11－ ，
当n≥11且n∈N＋时，11－ ＜11，
∴必有n≥11，则n＞11－ ，
故当n＝11时，即2028年乙企业将被甲企业收购.
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13. 流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月
份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每
天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采
取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月k＋1（9≤k≤29，
k∈N＋）日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.
（1）若k＝9，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
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解：记11月n日新感染者人数为an（1≤n≤30），
则数列{an}（1≤n≤9）是等差数列，a1＝30，公差为50，
所以a9＝30＋50×（9－1）＝430，a10＝430－20＝410，
则11月1日至11月10日新感染者总人数为（a1＋a2＋…＋
a9）＋a10＝ ＋410＝2 480（人）.
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（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11
940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天
的新感染者人数.
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解：记11月n日新感染者人数为an（1≤n≤30），
11月k日新感染者人数最多，当1≤n≤k时，an＝50n－20.
当k＋1≤n≤30时，an＝（50k－20）－20（n－k）＝－
20n＋70k－20，
因为这30天内的新感染者总人数为11 940人，所以
＋ ＝11 940，
得－35k2＋2 135k－ 9 900＝11 940，即k2－61k＋624＝0，
解得k＝13或k＝48（舍），
此时a13＝50×13－20＝630.
所以11月13日新感染者人数最多为630人.
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14. 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累
积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn＝ （21n－n2－5）（n＝
1，2，…，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的
月份是（ ）
A. 5月、6月 B. 6月、7月
C. 7月、8月 D. 8月、9月
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解析： 第n月的家用商品需求量为Sn－Sn－1＝ （21n－n2－
5）－ [21（n－1）－（n－1）2－5]＝ ；令
＞1.5，即n2－15n＋54＜0，解得6＜n＜9.
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15. 如图，将n个大小不同的正方体形状的积木从上到下，从小到大
堆成塔状，平放在桌面上.上面一个正方体积木下底面的四个顶点
正好是它下面一个正方体积木的上底面各边的中点，按此规律不
断堆放.如果最下面的正方体积木的棱长为1，且这些正方体积木
露在外面的面积之和为Sn，求Sn.
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解：最底层正方体的棱长为1，
则该正方体除底面外的表面积为5×12＝5；
倒数第2个正方体的棱长为1× ＝ ，
它的侧面积为4× ＝4× ，
倒数第3个正方体的棱长为 × ＝ .
它的侧面积为4× ＝4× ；
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倒数第n个小正方体的棱长为 ，
它的侧面积为4× ＝4× ，
则Sn＝5＋4×［ ＋ ＋ ＋…＋ ］＝5＋
4× ＝9－ ＝9－ .
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