5.5 数学归纳法
1.用数学归纳法证明:首项是a1,公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn=na1+d时,假设当n=k时,公式成立,则Sk=( )
A.a1+(k-1)d
B.
C.ka1+d
D.(k+1)a1+d
2.用数学归纳法证明不等式1+++…+<2-(n≥2,n∈N+)时,第一步应验证不等式( )
A.1+<2-
B.1++<2-
C.1+<2-
D.1++<2-
3.用数学归纳法证明n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2(n∈N+)时,若记f(n)=n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2),则f(k+1)-f(k)等于( )
A.3k-1 B.3k+1
C.8k D.9k
4.若k(k≥3,k∈N+)棱柱有f(k)个对角面,则k+1棱柱的对角面个数f(k+1)为( )
A.f(k)+k-1 B.f(k)+k+1
C.f(k)+k D.f(k)+k-2
5.用数学归纳法证明“++…+>”时,由k到k+1,不等式左边的变化是( )
A.增加一项
B.增加和两项
C.增加和两项,同时减少一项
D.以上结论都不正确
6.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N+都成立,那么a,b,c的值为( )
A.a=,b=c=
B.a=b=c=
C.a=0,b=c=
D.不存在这样的a,b,c
7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(k∈N+)命题为真时,进而需证n= 时,命题亦真.
8.用数学归纳法证明“当n∈N+时,求证:1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数”时,当n=1时,原式为 ,从n=k到n=k+1时需增添的项是 .
9.用数学归纳法证明:“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分,则f(n)=1+.”证明第二步归纳递推时,用到f(k+1)=f(k)+ .
10.设f(n)=1+++…+(n∈N+).求证:f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N+).
11.如图所示,一条螺旋线是用以下方法画成的:△ABC是边长为1的正三角形,曲线CA1,A1A2,A2A3是分别以A,B,C为圆心,AC,BA1,CA2为半径画的圆弧,曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈.然后又以A为圆心,AA3为半径画圆弧…这样画到第n圈,则所得螺旋线的长度Ln为( )
A.(3n2+n)π B.(3n2-n+1)π
C. D.
12.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N+).
(1)计算a2,a3,a4;
(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明.
13.已知f(n)=1++++…+,g(n)=-,n∈N+.
(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小;
(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.
14.对任意n∈N+,34n+2+a2n+1都能被14整除,则最小的自然数a= .
15.已知点Pn(an,bn)满足an+1=an·bn+1,bn+1=(n∈N+)且点P1的坐标为(1,-1).
(1)求过点P1,P2的直线l的方程;
(2)试用数学归纳法证明:对任意的n∈N+,点Pn都在(1)中的直线l上.
5.5 数学归纳法
1.C 假设当n=k时,公式成立,只需把公式中的n换成k即可,即Sk=ka1+d.
2.A 因为n≥2,所以第一步应验证当n=2时,1+<2-.
3.C 因为f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2),f(k+1)=(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1),则f(k+1)-f(k)=3k-1+3k+3k+1-k=8k.
4.A 三棱柱有0个对角面;四棱柱有2个对角面(0+2=0+(3-1));五棱柱有5个对角面(2+3=2+(4-1));六棱柱有9个对角面;(5+4=5+(5-1)).猜想:若k棱柱有f(k)个对角面,则k+1棱柱有f(k)+k-1个对角面.故选A.
5.C 当n=k时,左边=++…+,当n=k+1时,左边=++…+++,故不等式左边的变化是增加和两项,同时减少一项.
6.A 令n=1,2,3,
得
即
解得a=,b=,c=.
7.2k+1 解析:∵n为正奇数,且与2k-1相邻的下一个奇数是2k+1,∴需证n=2k+1时,命题成立.
8.1+2+22+23+24 25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4
解析:当n=1时,原式应加到25×1-1=24,
所以原式为1+2+22+23+24,
从n=k到n=k+1时需添25k+25k+1+…+25(k+1)-1.
9.k+1 解析:f(k)=1+,f(k+1)=1+,∴f(k+1)-f(k)=-=k+1,∴f(k+1)=f(k)+(k+1).
10.证明:(1)当n=2时,左边=f(1)=1,
右边=2×=1,左边=右边,等式成立.
(2)假设n=k(k≥2,k∈N+)时,等式成立,
即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1],
那么,当n=k+1时,
f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)
=k[f(k)-1]+f(k)
=(k+1)f(k)-k
=(k+1)-k
=(k+1)f(k+1)-(k+1)
=(k+1)[f(k+1)-1],
∴当n=k+1时等式仍然成立.
由(1)(2)可知,f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N+)成立.
11.A 由条件知,,,…,对应的圆心角都是,且半径依次为1,2,3,4,…,故弧长依次为,×2,×3,….据题意,第1圈长度为(1+2+3),第2圈长度为(4+5+6),……第n圈长度为[(3n-2)+(3n-1)+3n],故Ln=(1+2+3+…+3n)=·=(3n2+n)π.
12.解:(1)a1=1,a2==,
a3==,a4==.
(2)由(1)的计算猜想an=.
下面用数学归纳法进行证明.
①当n=1时,a1=1,猜想成立.
②假设当n=k时,猜想成立,即ak=,
那么ak+1===,
即当n=k+1时,猜想也成立.
根据①②可知,对任意n∈N+都有an=.
13.解:(1)当n=1时,f(1)=1,g(1)=1,所以f(1)=g(1);
当n=2时,f(2)=,g(2)=,所以f(2)<g(2);
当n=3时,f(3)=,g(3)=,
所以f(3)<g(3).
(2)由(1)猜想f(n)≤g(n).
下面用数学归纳法给出证明:
①当n=1,2,3时,不等式显然成立.
②假设当n=k(k≥3,k∈N+)时,不等式成立,
即1++++…+<-.
那么,当n=k+1时,
f(k+1)=f(k)+<-+.
因为f(k+1)-g(k+1)<-+-
=-
=-=<0,
所以f(k+1)<g(k+1).
由①②可知,对一切n∈N+,都有f(n)≤g(n)成立.
14.5 解析:当n=1时,36+a3能被14整除的数为a=3或5; 当a=3且n=2时,310+35不能被14整除,故a=5.
15.解:(1)由P1的坐标为(1,-1)知,a1=1,b1=-1,
∴b2==,a2=a1·b2=,∴点P2的坐标为,故直线l的方程为2x+y=1.
(2)证明:①当n=1时,2a1+b1=2×1+(-1)=1,命题成立.
②假设当n=k(k∈N+)时,2ak+bk=1成立,则当n=k+1时,2ak+1+bk+1=2ak·bk+1+bk+1=(2ak+1)===1,故当n=k+1时,命题也成立.
由①和②知,对任意的n∈N+,都有2an+bn=1成立,即点Pn都在直线l上.
2 / 25.5 数学归纳法
新课程标准解读 核心素养
了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题 逻辑推理
五十多年前,清华大学数学系赵访熊教授(1908~1996)给大学一年级学生讲高等数学课时,总要先讲讲数学的基本概念和方法,他对数学归纳法所作的讲解极其生动,他讲了一个“公鸡归纳法”的故事:某主妇养小鸡十只,公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋,公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨,其中的一只公鸡正在想:“第一天早晨有米吃,第二天早晨有米吃,……第九十九天早晨有米吃,所以今天,第一百天的早晨,一定有米吃.”这时,主妇来了,正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米,反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验,但不能证明第一百天一定有米吃.赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”.
【问题】 “公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗?
知识点 数学归纳法
一个与自然数有关的命题,如果
(1)当n=n0时,命题成立;
(2)在假设n=k(其中k≥n0)时命题成立的前提下,能够推出n=k+1时命题也成立.
那么,这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立,这种证明方法称为数学归纳法.
1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n-2)π”时,归纳奠基中n0的取值应为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”.当验证n=1时,上式左端计算所得为 .
题型一 用数学归纳法证明等式
【例1】 求证:1-+-+…+-=++…+(n∈N+).
尝试解答
通性通法
用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题时,关键在于“看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关,由n=k到n=k+1时,等式两边会增加多少项,增加了怎样的项.
【跟踪训练】
用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(其中n∈N+).
题型二 用数学归纳法证明不等式
【例2】 求证:++…+>(n≥2,n∈N+).
尝试解答
通性通法
对于与正整数有关的不等式的证明,如果用其他方法证明比较困难,此时可考虑使用数学归纳法证明.使用数学归纳法的难点在第二个步骤上,这时除了一定要运用归纳假设外,还要较多地运用不等式证明的其他方法(如拆、添、并、放、缩),对所要证明的不等式加以变形,寻求其与归纳假设相联系的突破口.
【跟踪训练】
用数学归纳法证明:+++…+<1-(n≥2,n∈N+).
题型三 用数学归纳法证明整除问题
【例3】 用数学归纳法证明:(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.
尝试解答
通性通法
证明整除性问题的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题得到证明.
【跟踪训练】
求证:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除(n∈N+).
题型四 归纳——猜想——证明
【例4】 已知数列,,,…,,…,设Sn为数列前n项和,计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明.
尝试解答
通性通法
“归纳—猜想—证明”模式的解题方法
(1)观察:由已知条件写出前几项;
(2)归纳:根据前几项的规律,找到项与项数的关系;
(3)猜想:猜想一般项的表达式;
(4)证明:用数学归纳法证明猜想的结论.
【跟踪训练】
若不等式+++…+>对一切正整数n都成立.
(1)猜想正整数a的最大值;
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
1.设f(n)=1+++…+(n∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于( )
A. B.+
C.+ D.++
2.一个关于自然数n的命题,如果证得当n=1时命题成立,并在假设当n=k(k≥1且k∈N+)时命题成立的基础上,证明了当n=k+2时命题成立,那么综合上述,对于( )
A.一切正整数命题成立
B.一切正奇数命题成立
C.一切正偶数命题成立
D.以上都不对
3.证明1++++…+>(n∈N+),假设n=k时成立,当n=k+1时,左端增加的项数是( )
A.1项 B.k-1项
C.k项 D.2k项
4.用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除”的过程中,当n=k+1时,对式子(k+1)3+5(k+1)应变形为 .
5.5 数学归纳法
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.C 根据凸n边形至少有3条边,知n≥3,故n0的取值应为3.
2.1+a+a2
【典型例题·精研析】
【例1】 证明:(1)当n=1时,左边=1-=,右边==.左边=右边,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即1-+-+…+-=++…+,则
+
=+
=++…++
=++…++.
即当n=k+1时,等式也成立.
综合(1)和(2)可知,对一切正整数n等式都成立.
跟踪训练
证明:(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+)时等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2.
那么,当n=k+1时,1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)·[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1时等式也成立.
根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N+都成立.
【例2】 证明:(1)当n=2时,
左边=+++>,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时不等式成立,
即++…+>,
则当n=k+1时,
++…++++=++…++(++-)>+>+(3×-)=,
所以当n=k+1时不等式也成立.
由(1)(2)可知,原不等式对一切n≥2,n∈N+均成立.
跟踪训练
证明:(1)当n=2时,左边==,右边=1-=,
∵<,∴不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时,不等式成立,
即+++…+<1-.
则当n=k+1时,
+++…++<1-+=1-=1-<1-=1-.
∴当n=k+1时,不等式也成立.
根据(1)和(2)知,对任意n≥2的正整数,不等式均成立.
【例3】 证明:(1)当n=1,原式=4×7-1=27能被9整除.
(2)假设当n=k(k∈N+),即(3k+1)·7k-1能被9整除,则当n=k+1时,[3(k+1)+1]·7k+1-1
=[(3k+1)+3](1+6)·7k-1
=(3k+1)·7k-1+(3k+1)·6·7k+21·7k
=[(3k+1)·7k-1]+18k·7k+27·7k.
∴n=k+1时也能被9整除.
由(1)(2)可知,对任何n∈N+,(3n+1)·7n-1都能被9整除.
跟踪训练
证明:(1)当n=1时,a1+1+(a+1)2×1-1=a2+a+1,命题显然成立.
(2)假设当n=k(k∈N+)时,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,则当n=k+1时,
ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2·(a+1)2k-1
=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a+1)2(a+1)2k-1-a(a+1)2k-1
=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1.
显然,上式中的两项均能被a2+a+1整除,
故n=k+1时命题成立.
根据(1)(2)可知,对n∈N+,原命题成立.
【例4】 解:S1==,S2=+=,S3=+=,S4=+=,
可以看到,上面表示四个结果的分数中,分子与项数一致,分母可用项数n表示为3n+1,可以猜想Sn=.
下面用数学归纳法证明:
(1)显然当n=1时,S1==,猜想成立.
(2)假设当n=k(k∈N+)时,等式成立,即Sk=.
则当n=k+1时,
Sk+1=Sk+=+===,即当n=k+1时,猜想也成立.
根据(1)和(2)可知,猜想对任何n∈N+都成立.
跟踪训练
解:(1)当n=1时,++==,则>,所以a<26,而a是正整数,所以猜想a的最大值为25.
(2)下面用数学归纳法证明+++…+>.
①当n=1时,已证.
②假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,即+++…+>.
那么当n=k+1时,
+++…++++
=+(++-)>+
=+
>+
=+=,
即当n=k+1时,不等式也成立.
根据①和②,可知对任何n∈N+,都有+++…+>.
所以正整数a的最大值为25.
随堂检测
1.D 要注意末项与首项,因为f(n+1)=1+++…++++++,所以f(n+1)-f(n)=++.
2.B 本题证明了当n=1,3,5,7,…时,命题成立,即命题对一切正奇数成立.
3.D 当n=k时,不等式左端为1++++…+;
当n=k+1时,不等式左端为1+++…+++…+,增加了+…+项,共(2k+1-1)-2k+1=2k项.
4.(k3+5k)+3k(k+1)+6 解析:采取配凑法,凑出归纳假设k3+5k,(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6.
3 / 3(共64张PPT)
5.5 数学归纳法
新课程标准解读 核心素养
了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明数
列中的一些简单命题 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
五十多年前,清华大学数学系赵访熊教授(1908~1996)给大学一年级学生讲高等数学课时,总要先讲讲数学的基本概念和方法,他对数学归纳法所作的讲解极其生动,他讲了一个“公鸡归纳法”的故事:某主妇养小鸡十只,公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋,公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨,其中的一只公鸡正在想:“第一天早晨有米吃,第二天早晨有米吃,……第九十九天早晨有米吃,所以今天,第一百天的早晨,一定有米吃.”这时,主妇来了,正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米,反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验,但不能证明第一百天一定有米吃.赵先生
把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”.
【问题】 “公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗?
知识点 数学归纳法
一个与自然数有关的命题,如果
(1)当n=n0时,命题成立;
(2)在假设n=k(其中k≥n0)时命题成立的前提下,能够推出n
=k+1时命题也成立.
那么,这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立,这种证明
方法称为数学归纳法.
1. 用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n-2)π”时,归纳
奠基中n0的取值应为( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析: 根据凸n边形至少有3条边,知n≥3,故n0的取值应为3.
2. 用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1= (a≠1)”.当
验证n=1时,上式左端计算所得为 .
1+a+a2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 用数学归纳法证明等式
【例1】 求证:1- + - +…+ - = + +…+
(n∈N+).
证明:(1)当n=1时,左边=1- = ,右边= = .
左边=右边,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即1- + - +…+
- = + +…+ ,则
+
= +
= + +…+ +
= + +…+ + .
即当n=k+1时,等式也成立.
综合(1)和(2)可知,对一切正整数n等式都成立.
通性通法
用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题时,关键在于
“看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的
多少与n的取值是否有关,由n=k到n=k+1时,等式两边会增加多
少项,增加了怎样的项.
【跟踪训练】
用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n
(n+1)2(其中n∈N+).
证明:(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右
边,等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+)时等式成立,即1×4+2×7+3×10
+…+k(3k+1)=k(k+1)2.
那么,当n=k+1时,1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k
+1)·[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=
(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1
时等式也成立.
根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N+都成立.
题型二 用数学归纳法证明不等式
【例2】 求证: + +…+ > (n≥2,n∈N+).
证明:(1)当n=2时,
左边= + + + > ,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时不等式成立,即
+ +…+ > ,
则当n=k+1时,
+ +…+ + + + = +
+…+ +( + + - )> +( + +
- )> + = ,
所以当n=k+1时不等式也成立.
由(1)(2)可知,原不等式对一切n≥2,n∈N+均成立.
通性通法
对于与正整数有关的不等式的证明,如果用其他方法证明比较困
难,此时可考虑使用数学归纳法证明.使用数学归纳法的难点在第二
个步骤上,这时除了一定要运用归纳假设外,还要较多地运用不等式
证明的其他方法(如拆、添、并、放、缩),对所要证明的不等式加
以变形,寻求其与归纳假设相联系的突破口.
【跟踪训练】
用数学归纳法证明: + + +…+ <1- (n≥2,n∈N
+).
证明:(1)当n=2时,左边= = ,右边=1- = ,
∵ < ,∴不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时,不等式成立,
即 + + +…+ <1- .
则当n=k+1时,
+ + +…+ + <1- + =1-
=1- <1- =1- .
∴当n=k+1时,不等式也成立.
根据(1)和(2)知,对任意n≥2的正整数,不等式均成立.
题型三 用数学归纳法证明整除问题
【例3】 用数学归纳法证明:(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9
整除.
证明:(1)当n=1,原式=4×7-1=27能被9整除.
(2)假设当n=k(k∈N+),即(3k+1)·7k-1能被9整除,则当
n=k+1时,[3(k+1)+1]·7k+1-1
=[(3k+1)+3](1+6)·7k-1
=(3k+1)·7k-1+(3k+1)·6·7k+21·7k
=[(3k+1)·7k-1]+18k·7k+27·7k.
∴n=k+1时也能被9整除.
由(1)(2)可知,对任何n∈N+,(3n+1)·7n-1都能被9整除.
通性通法
证明整除性问题的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和
因式分解等手段凑出n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题得到
证明.
【跟踪训练】
求证:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除(n∈N+).
证明:(1)当n=1时,a1+1+(a+1)2×1-1=a2+a+1,命题显
然成立.
(2)假设当n=k(k∈N+)时,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1
整除,则当n=k+1时,
ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2·(a+1)2k-1
=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a+1)2(a+1)2k-1-a(a+1)2k
-1
=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1.
显然,上式中的两项均能被a2+a+1整除,
故n=k+1时命题成立.
根据(1)(2)可知,对n∈N+,原命题成立.
题型四 归纳——猜想——证明
【例4】 已知数列 , , ,…, ,…,设Sn
为数列前n项和,计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn的表
达式,并用数学归纳法证明.
解:S1= = ,
S2= + = ,
S3= + = ,
S4= + = ,
可以看到,上面表示四个结果的分数中,分子与项数一致,分母可用
项数n表示为3n+1,可以猜想Sn= .
下面用数学归纳法证明:
(1)显然当n=1时,S1= = ,猜想成立.
(2)假设当n=k(k∈N+)时,等式成立,即Sk= .
则当n=k+1时,
Sk+1=Sk+
= +
=
=
= ,
即当n=k+1时,猜想也成立.
根据(1)和(2)可知,猜想对任何n∈N+都成立.
通性通法
“归纳—猜想—证明”模式的解题方法
(1)观察:由已知条件写出前几项;
(2)归纳:根据前几项的规律,找到项与项数的关系;
(3)猜想:猜想一般项的表达式;
(4)证明:用数学归纳法证明猜想的结论.
【跟踪训练】
若不等式 + + +…+ > 对一切正整数n都成立.
(1)猜想正整数a的最大值;
解:当n=1时, + + = = ,则 > ,
所以a<26,而a是正整数,所以猜想a的最大值为25.
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
解:下面用数学归纳法证明 + + +…+ > .
①当n=1时,已证.
②假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,即 + +
+…+ > .
那么当n=k+1时,
+ + +…+ + +
+
= +( + + - )>
+
= +
> +
= + = ,
即当n=k+1时,不等式也成立.
根据①和②,可知对任何n∈N+,都有 + + +…+
> .
所以正整数a的最大值为25.
1. 设f(n)=1+ + +…+ (n∈N+),那么f(n+1)-f
(n)等于( )
A. B. +
C. + D. + +
解析: 要注意末项与首项,因为f(n+1)=1+ + +…+
+ + + + + ,所以f(n+1)-f(n)
= + + .
2. 一个关于自然数n的命题,如果证得当n=1时命题成立,并在假设
当n=k(k≥1且k∈N+)时命题成立的基础上,证明了当n=k
+2时命题成立,那么综合上述,对于( )
A. 一切正整数命题成立 B. 一切正奇数命题成立
C. 一切正偶数命题成立 D. 以上都不对
解析: 本题证明了当n=1,3,5,7,…时,命题成立,即命
题对一切正奇数成立.
3. 证明1+ + + +…+ > (n∈N+),假设n=k时成立,
当n=k+1时,左端增加的项数是( )
A. 1项 B. k-1项
C. k项 D. 2k项
解析: 当n=k时,不等式左端为1+ + + +…+ ;当
n=k+1时,不等式左端为1+ + +…+ + +…+
,增加了 +…+ 项,共(2k+1-1)-2k+1=2k项.
4. 用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除”的过程中,当n=k+1
时,对式子(k+1)3+5(k+1)应变形为
.
解析:采取配凑法,凑出归纳假设k3+5k,(k+1)3+5(k+
1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6.
(k3+5k)+3k
(k+1)+6
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 用数学归纳法证明:首项是a1,公差是d的等差数列的前n项和公
式是Sn=na1+ d时,假设当n=k时,公式成立,则Sk=
( )
A. a1+(k-1)d B.
C. ka1+ d D. (k+1)a1+ d
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解析: 假设当n=k时,公式成立,只需把公式中的n换成k即
可,即Sk=ka1+ d.
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2. 用数学归纳法证明不等式1+ + +…+ <2- (n≥2,
n∈N+)时,第一步应验证不等式( )
A. 1+ <2- B. 1+ + <2-
C. 1+ <2- D. 1+ + <2-
解析: 因为n≥2,所以第一步应验证当n=2时,1+ <2- .
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3. 用数学归纳法证明n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=
(2n-1)2(n∈N+)时,若记f(n)=n+(n+1)+(n+
2)+…+(3n-2),则f(k+1)-f(k)等于( )
A. 3k-1 B. 3k+1
C. 8k D. 9k
解析: 因为f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-
2),f(k+1)=(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k
-1)+3k+(3k+1),则f(k+1)-f(k)=3k-1+3k+
3k+1-k=8k.
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4. 若k(k≥3,k∈N+)棱柱有f(k)个对角面,则k+1棱柱的对
角面个数f(k+1)为( )
A. f(k)+k-1 B. f(k)+k+1
C. f(k)+k D. f(k)+k-2
解析: 三棱柱有0个对角面;四棱柱有2个对角面(0+2=0+
(3-1));五棱柱有5个对角面(2+3=2+(4-1));六棱柱
有9个对角面;(5+4=5+(5-1)).猜想:若k棱柱有f(k)
个对角面,则k+1棱柱有f(k)+k-1个对角面.故选A.
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5. 用数学归纳法证明“ + +…+ > ”时,由k到k+1,
不等式左边的变化是( )
A. 增加 一项
B. 增加 和 两项
C. 增加 和 两项,同时减少 一项
D. 以上结论都不正确
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解析: 当n=k时,左边= + +…+ ,当n=k+1
时,左边= + +…+ + +
,故不等式左边的变化是增加 和 两
项,同时减少 一项.
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6. 已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对
一切n∈N+都成立,那么a,b,c的值为( )
A. a= ,b=c= B. a=b=c=
C. a=0,b=c= D. 不存在这样的a,b,c
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解析: 令n=1,2,3,
得
即
解得a= ,b= ,c= .
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7. 用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当
第二步假设n=2k-1(k∈N+)命题为真时,进而需证n=
时,命题亦真.
解析:∵n为正奇数,且与2k-1相邻的下一个奇数是2k+1,∴需
证n=2k+1时,命题成立.
2k
+1
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8. 用数学归纳法证明“当n∈N+时,求证:1+2+22+23+…+25n-1
是31的倍数”时,当n=1时,原式为 ,从n
=k到n=k+1时需增添的项是
.
解析:当n=1时,原式应加到25×1-1=24,所以原式为1+2+22+
23+24,从n=k到n=k+1时需添25k+25k+1+…+25(k+1)-1.
1+2+22+23+24
25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+
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9. 用数学归纳法证明:“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f
(n)部分,则f(n)=1+ .”证明第二步归纳递推
时,用到f(k+1)=f(k)+ .
解析:f(k)=1+ ,f(k+1)=1+ ,
∴f(k+1)-f(k)= - =k
+1,∴f(k+1)=f(k)+(k+1).
k+1
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10. 设f(n)=1+ + +…+ (n∈N+).求证:f(1)+f(2)
+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N+).
证明:(1)当n=2时,左边=f(1)=1,
右边=2× =1,左边=右边,等式成立.
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(2)假设n=k(k≥2,k∈N+)时,等式成立,
即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1],
那么,当n=k+1时,
f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)
=k[f(k)-1]+f(k)
=(k+1)f(k)-k
=(k+1) -k
=(k+1)f(k+1)-(k+1)
=(k+1)[f(k+1)-1],
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∴当n=k+1时等式仍然成立.
由(1)(2)可知,f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f
(n)-1](n≥2,n∈N+)成立.
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11. 如图所示,一条螺旋线是用以下方法画成的:△ABC是边长为1的
正三角形,曲线CA1,A1A2,A2A3是分别以A,B,C为圆心,
AC,BA1,CA2为半径画的圆弧,曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一
圈.然后又以A为圆心,AA3为半径画圆弧…这样画到第n圈,则
所得螺旋线的长度Ln为( )
A. (3n2+n)π B. (3n2-n+1)π
C. D.
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解析: 由条件知 , , ,…, 对应的
圆心角都是 ,且半径依次为1,2,3,4,…,
故弧长依次为 , ×2, ×3,….
据题意,第1圈长度为 (1+2+3),
第2圈长度为 (4+5+6),
……
第n圈长度为 [(3n-2)+(3n-1)+3n],
故Ln= (1+2+3+…+3n)= · =(3n2+n)π.
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12. 已知数列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N+).
(1)计算a2,a3,a4;
解:a1=1,a2= = ,
a3= = ,a4= = .
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(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明.
解:由(1)的计算猜想an= .
下面用数学归纳法进行证明.
①当n=1时,a1=1,猜想成立.
②假设当n=k时,猜想成立,即ak= ,
那么ak+1= = = ,
即当n=k+1时,猜想也成立.
根据①②可知,对任意n∈N+都有an= .
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13. 已知f(n)=1+ + + +…+ ,g(n)= - ,
n∈N+.
(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小;
解:当n=1时,f(1)=1,g(1)=1,所以f(1)=g(1);
当n=2时,f(2)= ,g(2)= ,
所以f(2)<g(2);
当n=3时,f(3)= ,g(3)= ,
所以f(3)<g(3).
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(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.
解:由(1)猜想f(n)≤g(n).
下面用数学归纳法给出证明:
①当n=1,2,3时,不等式显然成立.
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②假设当n=k(k≥3,k∈N+)时,不等式成立,
即1+ + + +…+ < - .
那么,当n=k+1时,
f(k+1)=f(k)+ < - + .
因为f(k+1)-g(k+1)< - + -
= -
= - = <0,所以f(k+1)<g(k+1).
由①②可知,对一切n∈N+,都有f(n)≤g(n)成立.
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14. 对任意n∈N+,34n+2+a2n+1都能被14整除,则最小的自然数a
= .
解析:当n=1时,36+a3能被14整除的数为a=3或5; 当a=3且
n=2时,310+35不能被14整除,故a=5.
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15. 已知点Pn(an,bn)满足an+1=an·bn+1,bn+1= (n∈N
+)且点P1的坐标为(1,-1).
(1)求过点P1,P2的直线l的方程;
解:由P1的坐标为(1,-1)知,a1=1,b1=-1,
∴b2= = ,a2=a1·b2= ,
∴点P2的坐标为 ,故直线l的方程为2x+y=1.
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(2)试用数学归纳法证明:对任意的n∈N+,点Pn都在(1)中
的直线l上.
解:证明:①当n=1时,2a1+b1=2×1+(-1)=1,命题成立.
②假设当n=k(k∈N+)时,2ak+bk=1成立,则当n=k
+1时,2ak+1+bk+1=2ak·bk+1+bk+1= (2ak+1)=
= =1,故当n=k+1时,命题也成立.
由①和②知,对任意的n∈N+,都有2an+bn=1成立,即
点Pn都在直线l上.
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谢 谢 观 看!