一、数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.数学运算是解决数学问题的基本手段,数学运算是演绎推理,是计算机解决问题的基础.
在本章中,数学运算主要体现在等差、等比数列的基本运算及数列求和等问题中.
培优一 等差、等比数列的基本运算
1.在等差(比)数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量a1,d(或q),n,an及Sn,已知这5个量中任意3个量的值,就可以运用方程思想,解方程(或方程组)求出另外2个量的值.
2.数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集)的特殊函数.运用函数思想去研究数列,就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决与数列相关的问题.等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系,等差数列前n项和公式与二次函数有着密切关系,故可用函数的思想来解决数列问题.
【例1】 (1)(2023·新高考Ⅱ卷8题)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=( )
A.120 B.85
C.-85 D.-120
(2)(2024·新高考Ⅱ卷12题)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10= .
尝试解答
培优二 数列通项公式的求法
1.定义法:直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法,这种方法适用于已知数列类型的题目.
2.已知Sn求an:若已知数列的前n项和Sn与an的关系,求数列的通项公式an可用公式an=求解.
3.由递推公式求数列通项:对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列.
4.待定系数法(构造法):求数列通项公式的方法灵活多样,特别是由给定的递推关系求通项公式,对于观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推公式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的转化思想,而运用待定系数法变换递推公式中的常数就是一种重要的转化方法.
【例2】 (2023·新高考Ⅰ卷20题)设等差数列{an}的公差为d,且d>1.令bn=,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.
(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.
尝试解答
培优三 数列求和
一般常见的求和方法有:
(1)公式法(直接利用等差或等比数列的前n项和公式);
(2)分组求和法;
(3)错位相减法;
(4)倒序相加法;
(5)裂项相消法(把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和);
(6)并项求和法(一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解).
【例3】 (2023·全国甲卷17题)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Tn.
尝试解答
二、逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养.逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证,是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.
在本章中,逻辑推理主要体现在等差(比)数列的判断与证明及数学归纳法的应用问题中.
培优四 等差、等比数列的判断与证明
【例4】 记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知+=2.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
尝试解答
培优五 数学归纳法
【例5】 已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=+-1,且an>0,n∈N+.
(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;
(2)证明通项公式的正确性.
尝试解答
章末复习与总结
【例1】 (1)C (2)95 解析:(1)法一 设等比数列{an}的公比为q.若q=1,则Sn=na1,不满足S6=21S2,∴q≠1.由S6=21S2,得=21a1(1+q).整理,得1-q6=21(1-q2),即(1-q2)(q4+q2-20)=0.显然q≠±1,∴q4+q2-20=0,解得q2=-5(舍去)或q2=4.∴S8===(1+q4)S4=(1+42)×(-5)=-85.故选C.
法二 易知S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6,…为等比数列,∴(S4-S2)2=S2·(S6-S4),解得S2= -1或S2=.当S2=-1时,由(S6-S4)2=(S4-S2)·(S8-S6),解得S8=-85;当S2=时,结合S4=-5得化简可得q2=-5,不成立,舍去.∴S8=-85,故选C.
(2)法一(基本量法) 因为数列{an}为等差数列,
则由题意得解得
则S10=10a1+d=10×(-4)+45×3=95.
法二(下标和性质法) 设{an}的公差为d,由a3+a4=a2+a5=7,3a2+a5=5,得a2=-1,a5=8,故d==3,a6=11,则S10=×10=5(a5+a6)=5×19=95.
【例2】 解:(1)∵3a2=3a1+a3,∴3(a2-a1)=a3,
∴3d=a1+2d,∴a1=d,则an=nd(d>1),
∴bn=,
∴S3=a1+a2+a3=6d,T3=b1+b2+b3=,
∴6d+=21.整理,得2d2-7d+3=0,
即(2d-1)(d-3)=0,解得d=3或d=(舍去).
∴an=3n,n∈N*.
(2)若{bn}为等差数列,
则b1+b3=2b2,即+=2·.
整理,得-3a1d+2d2=0.
解得a1=d或a1=2d.
当a1=d时,an=nd,bn==,
∴S99-T99=(d+99d)-(+)=99.
整理,得50d2-d-51=0,
解得d=或d=-1(舍去).
当a1=2d时,an=(n+1)d,bn==,
∴S99-T99=(2d+100d)-(+)=99.
整理,得51d2-d-50=0,
解得d=-或d=1.
∵d>1,∴此时无解.
综上可知,d=.
【例3】 解:(1)当n=1时,2S1=a1,即2a1=a1,所以a1=0.
当n≥2时,由2Sn=nan,得2Sn-1=(n-1)an-1,
两式相减得2an=nan-(n-1)an-1,
即(n-1)an-1=(n-2)an,
当n=2时,可得a1=0,
故当n≥3时,=,则··…·=··…·,整理得=n-1,因为a2=1,所以an=n-1(n≥3).
当n=1,n=2时,均满足上式,所以an=n-1.
(2)法一 令bn==,
则Tn=b1+b2+…+bn-1+bn=++…++, ①
Tn=++…++, ②
由①-②得Tn=+++…+-=-=1-,
即Tn=2-.
法二 设bn=,
所以bn===(n+0)×()n-1,故a=,b=0,q=.
故A===-1,B===-2,C=-B=2.
故Tn=(An+B)·qn+C=(-n-2)()n+2,整理得Tn=2-.
【例4】 解:(1)证明:因为bn是数列{Sn}的前n项积,
所以n≥2时,Sn=,
代入+=2可得,+=2,
整理可得2bn-1+1=2bn,即bn-bn-1=(n≥2).
又+==2,所以b1=,
故{bn}是以为首项,为公差的等差数列.
(2)由(1)可知,bn=,则+=2,所以Sn=,
当n=1时,a1=S1=,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=-.故an=
【例5】 解:(1)当n=1时,
由已知得a1=+-1,即+2a1-2=0.
所以a1=-1(a1>0).
当n=2时,由已知得a1+a2=+-1,
将a1=-1代入并整理得+2a2-2=0.
所以a2=-(a2>0).
同理可得a3=-.
猜想an=-(n∈N+).
(2)证明:①由(1)知,当n=1时,通项公式成立.
②假设当n=k(k∈N+)时,通项公式成立,
即ak=-.
由于ak+1=Sk+1-Sk=+--,
将ak=-代入上式,整理得+2ak+1-2=0,
所以ak+1=-=-,
即n=k+1时公式也成立.
由①②可知对所有n∈N+,an=-都成立.
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章末复习与总结
一、数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题
的素养.数学运算是解决数学问题的基本手段,数学运算是演绎推
理,是计算机解决问题的基础.
在本章中,数学运算主要体现在等差、等比数列的基本运算及数列求
和等问题中.
培优一 等差、等比数列的基本运算
1. 在等差(比)数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量a1,d
(或q),n,an及Sn,已知这5个量中任意3个量的值,就可以运
用方程思想,解方程(或方程组)求出另外2个量的值.
2. 数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集)的特殊函数.
运用函数思想去研究数列,就是要借助于函数的单调性、图象和最
值等知识解决与数列相关的问题.等差数列与一次函数、等比数列
与指数函数有着密切的关系,等差数列前n项和公式与二次函数有
着密切关系,故可用函数的思想来解决数列问题.
【例1】 (1)(2023·新高考Ⅱ卷8题)记Sn为等比数列{an}的前n项
和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=( C )
A. 120 B. 85
C. -85 D. -120
C
解析:法一 设等比数列{an}的公比为q.若q=1,则Sn
=na1,不满足S6=21S2,∴q≠1.由S6=21S2,得
=21a1(1+q).整理,得1-q6=21(1-q2),即(1-q2)
(q4+q2-20)=0.显然q≠±1,∴q4+q2-20=0,解得q2=
-5(舍去)或q2=4.∴S8= = =
(1+q4)S4=(1+42)×(-5)=-85.故选C.
法二 易知S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6,…为等比数列,∴(S4-
S2)2=S2·(S6-S4),解得S2= -1或S2= .当S2=-1时,由(S6
-S4)2=(S4-S2)·(S8-S6),解得S8=-85;当S2= 时,结合
S4=-5得化简可得q2=-5,不成立,舍
去.∴S8=-85,故选C.
(2)(2024·新高考Ⅱ卷12题)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3
+a4=7,3a2+a5=5,则S10= .
95
则由题意得解得
则S10=10a1+ d=10×(-4)+45×3=95.
解析:法一(基本量法) 因为数列{an}为等差数列,
法二(下标和性质法) 设{an}的公差为d,由a3+a4=a2+a5=7,
3a2+a5=5,得a2=-1,a5=8,故d= =3,a6=11,则S10=
×10=5(a5+a6)=5×19=95.
培优二 数列通项公式的求法
1. 定义法:直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法,这种
方法适用于已知数列类型的题目.
2. 已知Sn求an:若已知数列的前n项和Sn与an的关系,求数列 的
通项公式an可用公式an=求解.
3. 由递推公式求数列通项:对于递推公式确定的数列的求解,通常可
以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也
用到一些特殊的转化方法与特殊数列.
4. 待定系数法(构造法):求数列通项公式的方法灵活多样,特别是
由给定的递推关系求通项公式,对于观察、分析、推理能力要求较
高.通常可对递推公式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)
来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的转化思想,而运用
待定系数法变换递推公式中的常数就是一种重要的转化方法.
【例2】 (2023·新高考Ⅰ卷20题)设等差数列{an}的公差为d,且d
>1.令bn= ,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和.
(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式;
解: ∵3a2=3a1+a3,∴3(a2-a1)=a3,
∴3d=a1+2d,∴a1=d,则an=nd(d>1),
∴bn= ,
∴S3=a1+a2+a3=6d,T3=b1+b2+b3= ,
∴6d+ =21.整理,得2d2-7d+3=0,
即(2d-1)(d-3)=0,解得d=3或d= (舍去).
∴an=3n,n∈N*.
(2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d.
解: 若{bn}为等差数列,
则b1+b3=2b2,即 + =2· .
整理,得 -3a1d+2d2=0.
解得a1=d或a1=2d.
当a1=d时,an=nd,bn= = ,
∴S99-T99= (d+99d)- ( + )=99.
整理,得50d2-d-51=0,
解得d= 或d=-1(舍去).
当a1=2d时,an=(n+1)d,bn= = ,
∴S99-T99= (2d+100d)- ( + )=99.
整理,得51d2-d-50=0,
解得d=- 或d=1.
∵d>1,∴此时无解.
综上可知,d= .
培优三 数列求和
一般常见的求和方法有:
(1)公式法(直接利用等差或等比数列的前n项和公式);
(2)分组求和法;
(3)错位相减法;
(4)倒序相加法;
(5)裂项相消法(把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一
些项可以相互抵消,从而求得其和);
(6)并项求和法(一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之
为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求
解).
【例3】 (2023·全国甲卷17题)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan.
(1)求{an}的通项公式;
解:当n=1时,2S1=a1,即2a1=a1,所以a1=0.
当n≥2时,由2Sn=nan,得2Sn-1=(n-1)an-1,
两式相减得2an=nan-(n-1)an-1,
即(n-1)an-1=(n-2)an,
当n=2时,可得a1=0,
故当n≥3时, = ,则 · ·…· =
· ·…· ,整理得 =n-1,因为a2=1,所以an=n-1
(n≥3).
当n=1,n=2时,均满足上式,所以an=n-1.
(2)求数列 的前n项和Tn.
解:法一 令bn= = ,
则Tn=b1+b2+…+bn-1+bn= + +…+ + , ①
Tn= + +…+ + , ②
由①-②得 Tn= + + +…+ - = -
=1- ,
即Tn=2- .
法二 设bn= ,
所以bn= = =( n+0)×( )n-1,故a= ,b=0,q= .
故A= = =-1,B= = =-2,C=-B=2.
故Tn=(An+B)·qn+C=(-n-2)( )n+2,整理得Tn=2-
.
二、逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素
养.逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严
谨性的基本保证,是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.
在本章中,逻辑推理主要体现在等差(比)数列的判断与证明及数学
归纳法的应用问题中.
培优四 等差、等比数列的判断与证明
【例4】 记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已
知 + =2.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
解:证明:因为bn是数列{Sn}的前n项积,
所以n≥2时,Sn= ,
代入 + =2可得, + =2,
整理可得2bn-1+1=2bn,即bn-bn-1= (n≥2).
又 + = =2,所以b1= ,
故{bn}是以 为首项, 为公差的等差数列.
(2)求{an}的通项公式.
解:由(1)可知,bn= ,则 + =2,所以Sn= ,
当n=1时,a1=S1= ,当n≥2时,an=Sn-Sn-1= -
=- .故an=
培优五 数学归纳法
【例5】 已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn= + -1,且an>
0,n∈N+.
(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;
解:当n=1时,由已知得a1= + -1,
即 +2a1-2=0.所以a1= -1(a1>0).
当n=2时,由已知得a1+a2= + -1,
将a1= -1代入并整理得 +2 a2-2=0.
所以a2= - (a2>0).同理可得a3= - .
猜想an= - (n∈N+).
(2)证明通项公式的正确性.
解:证明:①由(1)知,当n=1时,通项公式成立.
②假设当n=k(k∈N+)时,通项公式成立,
即ak= - .
由于ak+1=Sk+1-Sk= + - - ,
将ak= - 代入上式,整理得 +2
ak+1-2=0,
所以ak+1= - = -
,即n=k+1时公式也成立.
由①②可知对所有n∈N+,an= - 都成立.
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