第五章 数列 章末检测(五) 数列(课件 练习)高中数学人教B版(2019)选择性必修 第三册

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名称 第五章 数列 章末检测(五) 数列(课件 练习)高中数学人教B版(2019)选择性必修 第三册
格式 zip
文件大小 2.1MB
资源类型 教案
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-06 18:54:28

文档简介

章末检测(五) 数列
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在等差数列{an}中,a3+a9=10,则该数列的前11项和S11=(  )
A.58          B.55
C.44 D.33
2.在数列{an}中,a1=,an=(-1)n·2an-1(n≥2),则a5=(  )
A.- B.
C.- D.
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5=(  )
A.3∶4 B.2∶3
C.1∶2 D.1∶3
4.设{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=230,那么a3·a6·…·a30=(  )
A.210 B.215
C.220 D.216
5.已知数列{an}满足a1=1,an+1=则254是该数列的(  )
A.第8项 B.第10项
C.第12项 D.第14项
6.已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a1a2a3=15,且++=,则a2=(  )
A.2 B.
C.3 D.
7.设Sn是公差d不为0的等差数列{an}的前n项和,S3=,且S1,S2,S4成等比数列,则a10=(  )
A.15 B.19
C.21 D.30
8.已知数列{bn}是公比为q(q≠1)的正项等比数列,且ln b1 013=0,若f(x)=,则f(b1)+f(b2)+…+f(b2 025)=(  )
A.4 050 B.2 025
C.4 052 D.2 026
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知等比数列{an}的公比q=-,等差数列{bn}的首项b1=12,若a9>b9且a10>b10,则以下结论正确的有(  )
A.a9·a10<0 B.a9>a10
C.b10>0 D.b9>b10
10.已知{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,则以下结论正确的是(  )
A.a10=0 B.S10最小
C.S7=S12 D.S19=0
11.若数列{an}满足:对任意正整数n,{an+1-an}为递减数列,则称数列{an}为“差递减数列”.给出下列数列{an}(n∈N+),其中是“差递减数列”的有(  )
A.an=3n B.an=n2+1
C.an= D.an=ln
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中横线上)
12.已知数列{an}为等比数列,首项a1=4,数列{bn}满足bn=log2an,且b1+b2+b3=12,则a4=    .
13.设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=则数列{an}的通项公式为    .
14.已知数列{an}满足a1=1,nan+1-(n+1)an=1+2+3+…+n,则=    .
  
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=2n,求Tn=(b1-a1)+(b2-a2)+(b3-a3)+…+(bn-an).
16.(本小题满分15分)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+pn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)已知a4,a7,a12成等比数列,求p的值;
(3)在(2)的条件下,若bn=1+,求数列{bn}的前n项和Tn.
17.(本小题满分15分)设{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足bn=.已知a1,3a2,9a3成等差数列.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和.证明:Tn<.
18.(本小题满分17分)某市2024年发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万张,电动型汽车牌照2万张.为了节能减排和控制汽车总量,从2024年开始,每年电动型汽车牌照按50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张,以后每一年发放的电动型的牌照的数量维持在这一年的水平不变.
(1)记2024年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{an},每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{bn},完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式.
a1=10 a2=9.5 a3=  a4=  …
b1=2 b2=  b3=  b4=  …
(2)从2024年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过200万张?
19.(本小题满分17分)对任意正整数n,定义n的丰度指数I(n)=,其中S(n)为n的所有正因数的和.
(1)若an=I(2n),求数列{nan}的前n项和Tn;
(2)对互不相等的质数p,m,n,证明:I(p3mn)=I(p3)I(m)I(n),并求I(2 024)的值.
章末检测(五) 数 列
1.B 2.B 3.A 4.C 5.D 6.C 7.B 8.A 9.AD 
10.ACD 因为2a1+3a3=S6,所以2a1+3a1+6d=6a1+15d,所以a1+9d=0,即a10=0,A正确;当d<0时,Sn没有最小值,B错误;S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,所以S12=S7,C正确;S19==19a10=0,D正确.
11.CD 对A,若an=3n,则an+1-an=3(n+1)-3n=3,所以{an+1-an}不为递减数列,故A错误;对B,若an=n2+1,则an+1-an=(n+1)2-n2=2n+1,所以{an+1-an}为递增数列,故B错误;对C,若an=,则an+1-an=-=,所以{an+1-an}为递减数列,故C正确;对D,若an=ln,则an+1-an=ln-ln=ln·=ln,由函数y=ln(1+)在(0,+∞)递减,所以数列{an+1-an}为递减数列,故D正确.故选C、D.
12.256 解析:因为数列{an}为等比数列,首项a1=4,数列{bn}满足bn=log2an,且b1+b2+b3=log2a1+log2a2+log2a3=12,所以log2(a1a2a3)=12,即a1a2a3=212,因为数列{an}为等比数列,所以a1a2a3==212,所以a2=16,q=4,则a4=256.
13.an= 解析:由题意知,当n=1时,a1=S1=8;当n≥2,n∈N+时,an=Sn-Sn-1=4n-4n-1=3×4n-1,经检验,当n=1时不符合上式,所以an=
14. 解析:因为nan+1-(n+1)an=1+2+3+…+n,所以nan+1-(n+1)an=,所以-=,令bn=,所以bn+1-bn=,因为a1=1,所以数列{bn}是以1为首项,为公差的等差数列,所以bn=n+,所以b2 025==1 013,所以a2 025=1 013×2 025,同理a2 026=×2 026,所以=.
15.解:(1)由题意得即解得则{an}的通项公式为an=1-(n-1)=2-n.
(2)Tn=(b1-a1)+(b2-a2)+(b3-a3)+…+(bn-an)=-(1+2-n)=2n+1+n2-n-2.
16.解:(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1+p,
又当n=1时,a1=S1=1+p,也满足an=2n-1+p,
故an=2n-1+p.
(2)∵a4,a7,a12成等比数列,∴a4a12=,
∴(7+p)(23+p)=(13+p)2,∴p=2.
(3)由(1)可得bn=1+=1+=1+-.
∴Tn=n+(-+-+…+-)=n+-=n+.
又由(2)知p=2,故Tn=n+.
17.解:(1)设{an}的公比为q,则an=qn-1.
因为a1,3a2,9a3成等差数列,所以1+9q2=2×3q,解得q=,故an=,bn=.
(2)证明:由(1)知Sn==,Tn=+++…+, ①
Tn=+++…++, ②
①-②得Tn=+++…+-,
即Tn=-=-,
整理得Tn=-,则2Tn-Sn=2-=-<0,故Tn<.
18.解:(1)
a1=10 a2=9.5 a3=9 a4=8.5 …
b1=2 b2=3 b3=4.5 b4=6.75 …
当1≤n≤20且n∈N+时,an=10+(n-1)×(-0.5)=-0.5n+10.5;
当n≥21且n∈N+时,an=0.
所以an=
而a4+b4=15.25>15,
所以bn=
(2)当n=4时,Sn=a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b4=53.25.
当5≤n≤21时,Sn=(a1+a2+a3+…+an)+(b1+b2+b3+b4+b5+…+bn)=10n+·++(n-4)=-n2+17n-,
由Sn≥200得-n2+17n-≥200,
即n2-68n+843≤0,得34-≤n≤21.
所以结合实际情况,可知到2040年累计发放汽车牌照超过200万张.
19.解:(1)因为2n共有n+1个正因数,它们是1,2,22,…,2n,
所以an=I(2n)==1+++…+==2-,
即an=2-,所以nan=2n-,
所以Tn=(2×1-)+(2×2-)+(2×3-)+…+(2n-)
=2(1+2+3+…+n)-(+++…+).
令An=1+2+3+…+n,则An=;
令Gn=+++…++,
则Gn=+++…++,
两式相减,得Gn=+++…+-=-=1-,
所以Gn=2-,
所以Tn=n2+n-2+.
(2)证明:因为p,m,n为互不相等的质数,则p3的正因数有4个,它们是1,p,p2,p3,
m,n的正因数均有2个,分别为1,m和1,n;
p3mn的正因数有4×2×2=16个,分别为1,p,p2,p3,m,mp,mp2,mp3,n,np,np2,np3,mn,mnp,mnp2,mnp3.
所以I(p3)=,I(m)=,I(n)=,
I(p3mn)=



=··
=I(p3)I(m)I(n).
因为2 024=23×11×23,所以I(2 024)=I(23×11×23)=I(23)I(11)I(23)
=××=××=.
2 / 2(共41张PPT)
章末检测(五) 数列
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给
出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 在等差数列{an}中,a3+a9=10,则该数列的前11项和S11=
(  )
A. 58 B. 55
C. 44 D. 33
解析: 由题意得S11= = = =55.
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2. 在数列{an}中,a1= ,an=(-1)n·2an-1(n≥2),则a5=
(  )
A. - B.
C. - D.
解析: ∵a1= ,an=(-1)n·2an-1(n≥2),∴a2=(-
1)2×2× = ,a3=(-1)3×2× =- ,a4=(-1)
4×2× =- ,a5=(-1)5×2× = .
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3. 设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5=
(  )
A. 3∶4 B. 2∶3
C. 1∶2 D. 1∶3
解析: 在等比数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10,…,成等
比数列,因为S10∶S5=1∶2,所以S5=2S10,S15= S5,得S15∶S5
=3∶4,故选A.
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4. 设{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=
230,那么a3·a6·…·a30=(  )
A. 210 B. 215
C. 220 D. 216
解析: 法一 a1·a2·a3·…·a30= q1+2+3+…+29=( q145)
3,a3·a6·a9·…·a30= q2+5+8+…+29= q155,所以
a3·a6·a9·…·a30=(a1·a2·a3·…·a30 q10=(230 ·210=220.
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法二 易知a1·a4·a7·…·a28,a2·a5·a8·…·a29,a3·a6·a9·…·a30成等比
数列,公比为210.
设a3·a6·a9·…·a30=x,则有a1·a2·a3·…·a30= · ·x=230.所以x3
=260,故a3·a6·a9·…·a30=220.
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5. 已知数列{an}满足a1=1,an+1=则254是该
数列的(  )
A. 第8项 B. 第10项
C. 第12项 D. 第14项
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解析: 当n为正奇数时,an+1=2an,则a2=2a1=2,当n为正
偶数时,an+1=an+1,得a3=3,依此类推得a4=6,a5=7,a6=
14,a7=15,…,归纳可得数列{an}的通项公式an=
则 -2=254,n=14,故选D.
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6. 已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a1a2a3=15,且
+ + = ,则a2=(  )
A. 2 B.
C. 3 D.
解析: ∵S1=a1,S3=3a2,S5=5a3, + + = ,
a1a2a3=15,∴ = + + = ,∴a2=3.故选C.
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7. 设Sn是公差d不为0的等差数列{an}的前n项和,S3= ,且S1,
S2,S4成等比数列,则a10=(  )
A. 15 B. 19
C. 21 D. 30
解析: 由S3= 得3a2= ,故a2=0或a2=3.由S1,S2,S4成
等比数列可得 =S1·S4,又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+
2d,故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d),化简得3d2=
2a2d,又d≠0,∴a2=3,d=2,a1=1,∴an=1+2(n-1)=
2n-1,∴a10=19.
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8. 已知数列{bn}是公比为q(q≠1)的正项等比数列,且ln b1 013=
0,若f(x)= ,则f(b1)+f(b2)+…+f(b2 025)=
(  )
A. 4 050 B. 2 025
C. 4 052 D. 2 026
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解析: 由数列{bn}是公比为q(q≠1)的正项等比数列,故bn
>0,因为ln b1 013=0,故b1 013=1,b1·b2 025= =1,即有
b1·b2 025=b2·b2 024=…=b2 025·b1=1,由f(x)= ,则当x>0
时,有f(x)+f( )= + = + =4,设S
=f(b1)+f(b2)+…+f(b2 025),S=f(b2 025)+f(b2
024)+…+f(b1),则2S=2 025×4,解得S=4 050,故f(b1)
+f(b2)+…+f(b2 025)=4 050.故选A.
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二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给
出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得6
分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9. 已知等比数列{an}的公比q=- ,等差数列{bn}的首项b1=12,
若a9>b9且a10>b10,则以下结论正确的有(  )
A. a9·a10<0 B. a9>a10
C. b10>0 D. b9>b10
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解析:  ∵等比数列{an}的公比q=- ,∴a9和a10异号,
∴a9a10= <0,故A正确;但不能确定a9和a10的大小关
系,故B不正确;∵a9和a10异号,且a9>b9且a10>b10,∴b9和b10
中至少有一个数是负数,又∵b1=12>0,∴d<0,∴b9>b10,故
D正确;∴b10一定是负数,即b10<0,故C不正确.故选A、D.
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10. 已知{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,则以
下结论正确的是(  )
A. a10=0 B. S10最小
C. S7=S12 D. S19=0
解析:  因为2a1+3a3=S6,所以2a1+3a1+6d=6a1+
15d,所以a1+9d=0,即a10=0,A正确;当d<0时,Sn没有最
小值,B错误;S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,所以
S12=S7,C正确;S19= =19a10=0,D正确.
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11. 若数列{an}满足:对任意正整数n,{an+1-an}为递减数列,则
称数列{an}为“差递减数列”.给出下列数列{an}(n∈N+),
其中是“差递减数列”的有(  )
A. an=3n B. an=n2+1
C. an= D. an=ln
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解析: 对A,若an=3n,则an+1-an=3(n+1)-3n=
3,所以{an+1-an}不为递减数列,故A错误;对B,若an=n2+
1,则an+1-an=(n+1)2-n2=2n+1,所以{an+1-an}为递
增数列,故B错误;对C,若an= ,则an+1-an= -
= ,所以{an+1-an}为递减数列,故C正确;对D,若an
=ln ,则an+1-an=ln -ln =ln · =ln
,由函数y=ln 在(0,+∞)递减,所以数列
{an+1-an}为递减数列,故D正确.故选C、D.
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三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中
横线上)
12. 已知数列{an}为等比数列,首项a1=4,数列{bn}满足bn=
log2an,且b1+b2+b3=12,则a4= .
解析:因为数列{an}为等比数列,首项a1=4,数列{bn}满足bn=
log2an,且b1+b2+b3=log2a1+log2a2+log2a3=12,所以log2
(a1a2a3)=12,即a1a2a3=212,因为数列{an}为等比数列,所
以a1a2a3= =212,所以a2=16,q=4,则a4=256.
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13. 设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=则数
列{an}的通项公式为 .
解析:由题意知,当n=1时,a1=S1=8;当n≥2,n∈N+时,
an=Sn-Sn-1=4n-4n-1=3×4n-1,经检验,当n=1时不符合上
式,所以an=
an= 
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14. 已知数列{an}满足a1=1,nan+1-(n+1)an=1+2+3+…+
n,则 =   .
解析:因为nan+1-(n+1)an=1+2+3+…+n,所以nan+1-
(n+1)an= ,所以 - = ,令bn= ,所以bn
+1-bn= ,因为a1=1,所以数列{bn}是以1为首项, 为公差的
等差数列,所以bn= n+ ,所以b2 025= =1 013,所以a2
025=1 013×2 025,同理a2 026= ×2 026,所以 = .
 
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四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分13分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,
S5=-5.
(1)求{an}的通项公式;
解:由题意得即
解得则{an}的通项公式为an=1
-(n-1)=2-n.
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(2)设bn=2n,求Tn=(b1-a1)+(b2-a2)+(b3-a3)
+…+(bn-an).
解: Tn=(b1-a1)+(b2-a2)+(b3-a3)+…+(bn-an)= - (1+2-n)=2n+1+ n2- n-2.
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16. (本小题满分15分)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+pn.
(1)求数列{an}的通项公式;
解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1+p,
又当n=1时,a1=S1=1+p,也满足an=2n-1+p,
故an=2n-1+p.
(2)已知a4,a7,a12成等比数列,求p的值;
解:∵a4,a7,a12成等比数列,∴a4a12= ,
∴(7+p)(23+p)=(13+p)2,∴p=2.
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(3)在(2)的条件下,若bn=1+ ,求数列{bn}的前n项
和Tn.
解:由(1)可得bn=1+ =1+
=1+ - .
∴Tn=n+( - + - +…+ -
)=n+ - =n+ .
又由(2)知p=2,故Tn=n+ .
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17. (本小题满分15分)设{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满
足bn= .已知a1,3a2,9a3成等差数列.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
解:设{an}的公比为q,则an=qn-1.
因为a1,3a2,9a3成等差数列,所以1+9q2=2×3q,解得
q= ,
故an= ,bn= .
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(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和.证明:Tn< .
解:证明:由(1)知Sn= = ,Tn=
+ + +…+ , ①
Tn= + + +…+ + , ②
①-②得 Tn= + + +…+ - ,
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即 Tn= - = - ,
整理得Tn= - ,
则2Tn-Sn=2 - =- <0,故Tn< .
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18. (本小题满分17分)某市2024年发放汽车牌照12万张,其中燃油
型汽车牌照10万张,电动型汽车牌照2万张.为了节能减排和控制
汽车总量,从2024年开始,每年电动型汽车牌照按50%增长,而
燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张,同时规定一旦某年
发放的牌照超过15万张,以后每一年发放的电动型的牌照的数量
维持在这一年的水平不变.
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(1)记2024年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列
{an},每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{bn},完成下
列表格,并写出这两个数列的通项公式.
a1=10 a2=9.5 a3= a4= …
b1=2 b2= b3= b4= …
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解:
a1=10 a2=9.5 a3=  9 a4=  8.5   …
b1=2 b2=  3   b3=  4.5   b4=  6.75 …
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当1≤n≤20且n∈N+时,an=10+(n-1)×(-0.5)
=-0.5n+10.5;
当n≥21且n∈N+时,an=0.
所以an=而a4+b4=
15.25>15,
所以bn=
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(2)从2024年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过
200万张?
解:当n=4时,Sn=a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+
b4=53.25.
当5≤n≤21时,Sn=(a1+a2+a3+…+an)+(b1+b2
+b3+b4+b5+…+bn)
=10n+ · + + (n-4)=- n2
+17n- ,
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由Sn≥200得- n2+17n- ≥200,
即n2-68n+843≤0,得34- ≤n≤21.
所以结合实际情况,可知到2040年累计发放汽车牌照超过
200万张.
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19. (本小题满分17分)对任意正整数n,定义n的丰度指数I(n)
= ,其中S(n)为n的所有正因数的和.
(1)若an=I(2n),求数列{nan}的前n项和Tn;
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解:因为2n共有n+1个正因数,它们是1,2,22,…,2n,
所以an=I(2n)= =1+ + +…+ =
=2- ,
即an=2- ,所以nan=2n- ,
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所以Tn=(2×1- )+(2×2- )+(2×3- )
+…+(2n- )
=2(1+2+3+…+n)-( + + +…+ ).
令An=1+2+3+…+n,则An= ;
令Gn= + + +…+ + ,
则 Gn= + + +…+ + ,
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两式相减,得 Gn= + + +…+ - =
- =1- ,
所以Gn=2- ,
所以Tn=n2+n-2+ .
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(2)对互不相等的质数p,m,n,证明:I(p3mn)=I(p3)
I(m)I(n),并求I(2 024)的值.
证明:因为p,m,n为互不相等的质数,则p3的正因
数有4个,它们是1,p,p2,p3,
m,n的正因数均有2个,分别为1,m和1,n;
p3mn的正因数有4×2×2=16个,分别为1,p,p2,p3,
m,mp,mp2,mp3,n,np,np2,np3,mn,mnp,
mnp2,mnp3.
所以I(p3)= ,I(m)= ,I(n)= ,
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I(p3mn)=



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= · ·
=I(p3)I(m)I(n).
因为2 024=23×11×23,所以I(2 024)=I
(23×11×23)=I(23)I(11)I(23)
= × × = × × = .
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谢 谢 观 看!