第一课时 瞬时变化率与导数
1.如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是（ ）
A.圆 B.抛物线
C.椭圆 D.直线
2.如果质点A按照规律s（t）＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为（ ）
A.6 B.18
C.54 D.81
3.已知f（x）＝x2－3x，则f'（0）＝（ ）
A.Δx－3 B.（Δx）2－3Δx
C.－3 D.0
4.函数y＝f（x）的图象如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A.0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2）
B.0＜f'（2）＜f（3）－f（2）＜f'（3）
C.0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2）
D.0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3）
5.设函数f（x）＝ax＋3，若f'（1）＝3，则a＝（ ）
A.2 B.－2
C.－3 D.3
6.某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（t）＝t3－2表示，则此物体在t＝1 s时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ）
A.1 B.3
C.－1 D.0
7.一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 米/秒.
8.若f'（2）＝3，则＝ .
9.若某物体的运动规律是s＝t3－6t2＋5（t＞0），则在t＝ 时的瞬时速度为0.
10.已知函数y＝f（x）＝求f'（4）·f'（－1）的值.
11.（多选）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f'（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的是（ ）
A.（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0
B.（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0
C.f＞
D.f＜
12.函数f（x）＝ 在x＝1处的导数f'（1）＝ .
13.甲、乙两人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②.
（1）甲、乙两人谁跑得快？
（2）甲、乙两人百米赛跑，问：快到终点时，谁跑得较快？
14.已知f（x）＝，且f'（m）＝－，则m的值等于（ ）
A.－4 B.2
C.－2 D.±2
15.某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，y＝f（x）＝.
（1）当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
（2）求f'（27）并解释它的实际意义.
第一课时 瞬时变化率与导数
1.D 当f（x）＝b时，瞬时变化率＝＝0，所以f（x）的图象为一条直线.
2.B ∵s（t）＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）＝3（3＋Δt）2－3×32＝18Δt＋3（Δt）2.∴＝18＋3Δt.∴＝（18＋3Δt）＝18.故选B.
3.C f'（0）＝
＝＝（Δx－3）＝－3.故选C.
4.C f'（2）为函数y＝f（x）的图象在点B处的切线的斜率，f'（3）为函数y＝f（x）的图象在点A处的切线的斜率，f（3）－f（2）＝，其几何意义为割线AB的斜率，由题图可知，0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2），故选C.
5.D 因为f'（x）＝
＝＝a，
所以f'（1）＝a.又f'（1）＝3，所以a＝3.
6.B Δs＝（1＋Δt）3－2－13＋2＝1＋3Δt＋3（Δt）2＋（Δt）3－2－1＋2＝3Δt＋3（Δt）2＋（Δt）3，＝3＋3Δt＋（Δt）2，＝3.所以t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
7.5 解析：∵Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝1－（3＋Δt）＋（3＋Δt）2－1＋3－32＝Δt2＋5Δt，∴＝5＋Δt，∴当t＝3时，瞬时速度是（5＋Δt）＝5 （米/秒）.
8.6 解析：＝2＝2f'（2）＝6.
9.4 解析：设t＝t0时，瞬时速度为0，
＝
＝[（Δt）2＋（3t0－6）Δt＋3－12t0]＝3－12t0＝0，∴t0＝0或t0＝4.又t0＞0，∴t0＝4，∴t＝4时的瞬时速度为0.
10.解：当x＝4时，Δy＝－＋
＝－＝
＝.
∴＝.
∴f'（4）＝＝
＝＝.
当x＝－1时，＝
＝＝Δx－2，
由导数的定义，得f'（－1）＝（Δx－2）＝－2，
∴f'（4）·f'（－1）＝×（－2）＝－.
11.AD 由题中图象可知，导函数f'（x）的图象在x轴下方，即f'（x）＜0，且其绝对值越来越小，因此过函数f（x）图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得f（x）的大致图象如图所示.A选项表示x1－x2与f（x1）－f（x2）异号，即f（x）图象的割线斜率为负，故A正确；B选项表示x1－x2与f（x1）－f（x2）同号，即f（x）图象的割线斜率为正，故B不正确；f表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有f＜，故C不正确，D正确.故选A、D.
12. 解析：由导数的定义知，函数在x＝1处的导数f'（1）＝，而＝＝，又＝，所以f'（1）＝.
13.解：（1）乙跑得快.因为在相同的时间内，甲跑的路程少于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小.
（2）乙跑得较快.因为在终点附近的某一时刻甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度.
14.D f'（x）＝ ＝－，于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
15.解：（1）当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为＝＝（m3/min），
表示时间从1 min到8 min的过程中，水流量平均以 m3/min的速度增加.
（2）f'（27）＝
＝＝
＝
＝＝（m3/min）.
其实际意义是第27 min时，水流量以 m3/min的速度增加.
2 / 26.1.2 导数及其几何意义
新课程标准解读 核心素养
1.理解瞬时变化率、导数的概念 数学抽象
2.理解导数的几何意义 数学抽象
3.会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的切线方程 数学运算
第一课时 瞬时变化率与导数
上一节我们学习了用平均速度刻画物体在一段时间内运动的快慢.在实际中，还常常要考虑物体在某一瞬间的速度.比如，我们看到汽车在行驶过程中不断变化的速度表，每个时刻指针指向的数字就是汽车在该时刻的瞬时速度.
【问题】 如何理解瞬时速度？它与平均速度有何关系？
知识点 函数的瞬时变化率与导数
1.物体运动的瞬时速度
设物体运动路程与时间的关系是s＝f（t），当Δt趋近于0时，函数f（t）在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度.
2.函数的瞬时变化率
设函数y＝f（x）在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限趋近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f（x）在点x＝x0处的瞬时变化率.记作当Δx→0时，→k.
还可以说：当Δx→0时，函数平均变化率的极限值等于函数在x0的瞬时变化率，记作 ＝k.
3.函数f（x）在x＝x0处的导数
函数y＝f（x）在点x0的瞬时变化率，通常称为f（x）在点x0处的导数，并记作f'（x0），即f'（x0）＝ .
【想一想】
1.函数y＝f（x）在x＝x0处的导数与Δx值的正、负有关吗？
2.瞬时速度与平均速度有何区别与联系？
1.在f'（x0）＝中，Δx不可能（ ）
A.大于0 B.小于0
C.等于0 D.大于0或小于0
2.一个物体的运动方程为s（t）＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么该物体在3 s末的瞬时速度是（ ）
A.7 m/s B.6 m/s
C.5 m/s D.8 m/s
3.设函数f（x）在x＝x0附近有定义，且有f（x0＋Δx）－f（x0）＝aΔx＋b（Δx）2（a，b为常数），则（ ）
A.f'（x）＝a B.f'（x）＝b
C.f'（x0）＝a D.f'（x0）＝b
4.函数f（x）＝x2在x＝1处的瞬时变化率是 .
题型一 求瞬时速度
【例1】 以初速度v0（v0＞0）垂直上抛的物体，t秒时的高度为s（t）＝v0t－gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为 .
尝试解答
通性通法
求瞬时速度的步骤
（1）求物体运动位移与时间的关系s＝s（t）；
（2）求时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）；
（3）求平均速度＝；
（4）求瞬时速度v'＝.
【跟踪训练】
一质点按规律s（t）＝at2＋1做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.
题型二 求函数在某一点处的导数
【例2】 利用导数的定义求函数y＝f（x）＝3x2－2x在x＝1处的导数.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）本例条件不变，试求函数y＝f（x）在x＝2处的导数.
2.（变条件）若本例中的条件变为“y＝f（x）＝2x－x3”，其他条件不变，试求f'（1）.
通性通法
求函数y＝f（x）在点x0处的导数的步骤
简称：一差、二比、三极限.
【跟踪训练】
若函数y＝f（x）在x＝x0处可导，则＝（ ）
A.f'（x0） B.2f'（x0）
C.－2f'（x0） D.0
1.某物体的运动方程为s（t）＝3t2（位移单位：m，时间单位：s），若v＝＝18 m/s，则下列说法中正确的是（ ）
A.18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度
B.18 m/s是物体从3 s到（3＋Δt）s这段时间内的速度
C.18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D.18 m/s是物体从3 s到（3＋Δt）s这段时间内的平均速度
2.设f（x）是可导函数，且＝－2，则f'（x0）＝（ ）
A.2 B.－1
C.1 D.－2
3.一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）
A.2 B.1
C. D.
4.设函数f（x）＝ax＋b，若f（1）＝f'（1）＝2，则f（2）＝ .
5.求函数y＝f（x）＝x－在x＝1处的导数.
第一课时 瞬时变化率与导数
【基础知识·重落实】
想一想
1.提示：无关.
2.提示：区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关.联系：瞬时速度是平均速度的极限值.
自我诊断
1.C 由导数定义可知Δx≠0.
2.C 因为Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝1－（3＋Δt）＋（3＋Δt）2－（1－3＋9）＝5Δt＋（Δt）2，所以s'（3）＝（5＋Δt）＝5（m/s），即该物体在3 s末的瞬时速度是5 m/s.
3.C f'（x0）＝＝（a＋bΔx）＝a.
4.2 解析：∵f（x）＝x2，∴函数f（x）在x＝1处的瞬时变化率是f'（1）＝ ＝ ＝ ＝ （2＋Δx）＝2.
【典型例题·精研析】
【例1】 v0－gt0 解析：∵Δs＝v0（t0＋Δt）－g（t0＋Δt）2－＝v0Δt－gt0Δt－g（Δt）2，∴＝v0－gt0－gΔt，∴ ＝v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.
跟踪训练
解：因为Δs＝s（2＋Δt）－s（2）＝a（2＋Δt）2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a（Δt）2，所以＝4a＋aΔt，故在t＝2 s时，瞬时速度为s'（2）＝＝（aΔt＋4a）＝4a.
由题意知，4a＝8，所以a＝2.
【例2】 解：Δy＝3（1＋Δx）2－2（1＋Δx）－（3×12－2×1）＝3（Δx）2＋4Δx，
∵＝＝3Δx＋4，
∴f'（1）＝＝（3Δx＋4）＝4.
母题探究
1.解：∵Δy＝3（2＋Δx）2－2（2＋Δx）－（3×22－2×2）
＝3（Δx）2＋10Δx，∴＝3Δx＋10，
∴f'（2）＝＝（3Δx＋10）＝10.
2.解：∵Δy＝2（1＋Δx）－（1＋Δx）3－（2×1－13）
＝－（Δx）3－3（Δx）2－Δx，
∴＝－（Δx）2－3Δx－1，
∴f'（1）＝＝[－（Δx）2－3Δx－1]＝－1.
跟踪训练
B 法一
＝
＝＋
＝f'（x0）＋
＝f'（x0）＋f'（x0）＝2f'（x0）.
法二
＝
＝2＝2f'（x0）.
随堂检测
1.C v＝ 是物体在3 s这一时刻的瞬时速度.故选C.
2.D 根据题意，＝f'（x0）＝－2，故f'（x0）＝－2.故选D.
3.A ∵＝＝Δt＋2，∴＝＝2，故选A.
4.4 解析：函数f（x）＝ax＋b在x＝1处的导数为f'（1）＝＝＝＝a，又f'（1）＝2，得a＝2，而f（1）＝2，有a＋b＝2，于是b＝0，所以f（x）＝2x，所以f（2）＝4.
5.解：因为Δf＝（1＋Δx）－－＝Δx＋，所以＝＝1＋.
所以f'（1）＝＝＝2，
所以函数y＝f（x）＝x－在x＝1处的导数为2.
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6.1.2 导数及其几何意义
新课程标准解读 核心素养
1.理解瞬时变化率、导数的概念 数学抽象
2.理解导数的几何意义 数学抽象
3.会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的
切线方程 数学运算
第一课时 瞬时变化率与导数
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
上一节我们学习了用平均速度刻画物体在一段时间内运动的快慢.在
实际中，还常常要考虑物体在某一瞬间的速度.比如，我们看到汽车
在行驶过程中不断变化的速度表，每个时刻指针指向的数字就是汽车
在该时刻的瞬时速度.
【问题】 如何理解瞬时速度？它与平均速度有何关系？
知识点 函数的瞬时变化率与导数
1. 物体运动的瞬时速度
设物体运动路程与时间的关系是s＝f（t），当Δt趋近于0时，函
数f（t）在t0到t0＋Δt之间的平均变化率 趋近于
常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度.
2. 函数的瞬时变化率
设函数y＝f（x）在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为
Δx，当Δx无限趋近于0时，若平均变化率 ＝
无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f（x）在点x＝x0处
的瞬时变化率.记作当Δx→0时， →k.
还可以说：当Δx→0时，函数平均变化率的极限值等于函数在x0的
瞬时变化率，记作 ＝k.
3. 函数f（x）在x＝x0处的导数
函数y＝f（x）在点x0的瞬时变化率，通常称为f（x）在点x0处的
导数，并记作f'（x0），即f'（x0）＝ .
【想一想】
1. 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数与Δx值的正、负有关吗？
提示：无关.
2. 瞬时速度与平均速度有何区别与联系？
提示：区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均
速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一
时刻无关.联系：瞬时速度是平均速度的极限值.
1. 在f'（x0）＝ 中，Δx不可能（ ）
A. 大于0 B. 小于0
C. 等于0 D. 大于0或小于0
解析： 由导数定义可知Δx≠0.
2. 一个物体的运动方程为s（t）＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的
单位是s，那么该物体在3 s末的瞬时速度是（ ）
A. 7 m/s B. 6 m/s
C. 5 m/s D. 8 m/s
解析： 因为Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝1－（3＋Δt）＋（3＋
Δt）2－（1－3＋9）＝5Δt＋（Δt）2，所以s'（3）＝ （5＋
Δt）＝5（m/s），即该物体在3 s末的瞬时速度是5 m/s.
3. 设函数f（x）在x＝x0附近有定义，且有f（x0＋Δx）－f（x0）
＝aΔx＋b（Δx）2（a，b为常数），则（ ）
A. f'（x）＝a B. f'（x）＝b
C. f'（x0）＝a D. f'（x0）＝b
解析： f'（x0）＝ ＝ （a＋
bΔx）＝a.
4. 函数f（x）＝x2在x＝1处的瞬时变化率是 .
解析：∵f（x）＝x2，∴函数f（x）在x＝1处的瞬时变化率是f'
（1）＝ ＝ ＝ ＝
（2＋Δx）＝2.
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求瞬时速度
【例1】 以初速度v0（v0＞0）垂直上抛的物体，t秒时的高度为s
（t）＝v0t－ gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为 .
解析：∵Δs＝v0（t0＋Δt）－ g（t0＋Δt）2－ ＝v0Δt
－gt0Δt－ g（Δt）2，∴ ＝v0－gt0－ gΔt，∴ ＝v0－gt0，
即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.
v0－gt0
通性通法
求瞬时速度的步骤
（1）求物体运动位移与时间的关系s＝s（t）；
（2）求时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）；
（3）求平均速度 ＝ ；
（4）求瞬时速度v'＝ .
【跟踪训练】
一质点按规律s（t）＝at2＋1做直线运动（位移单位：m，时间单
位：s），若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.
解：因为Δs＝s（2＋Δt）－s（2）＝a（2＋Δt）2＋1－a·22－1＝
4aΔt＋a（Δt）2，所以 ＝4a＋aΔt，故在t＝2 s时，瞬时速度为s'
（2）＝ ＝ （aΔt＋4a）＝4a.
由题意知，4a＝8，所以a＝2.
题型二 求函数在某一点处的导数
【例2】 利用导数的定义求函数y＝f（x）＝3x2－2x在x＝1处的
导数.
解：Δy＝3（1＋Δx）2－2（1＋Δx）－（3×12－2×1）＝3（Δx）2
＋4Δx，
∵ ＝ ＝3Δx＋4，
∴f'（1）＝ ＝ （3Δx＋4）＝4.
【母题探究】
1. （变设问）本例条件不变，试求函数y＝f（x）在x＝2处的导数.
解：∵Δy＝3（2＋Δx）2－2（2＋Δx）－（3×22－2×2）
＝3（Δx）2＋10Δx，∴ ＝3Δx＋10，
∴f'（2）＝ ＝ （3Δx＋10）＝10.
2. （变条件）若本例中的条件变为“y＝f（x）＝2x－x3”，其他条
件不变，试求f'（1）.
解：∵Δy＝2（1＋Δx）－（1＋Δx）3－（2×1－13）
＝－（Δx）3－3（Δx）2－Δx，
∴ ＝－（Δx）2－3Δx－1，
∴f'（1）＝ ＝ [－（Δx）2－3Δx－1]＝－1.
通性通法
求函数y＝f（x）在点x0处的导数的步骤
简称：一差、二比、三极限.
【跟踪训练】
若函数y＝f（x）在x＝x0处可导，则 ＝
（ ）
A. f'（x0） B. 2f'（x0）
C. －2f'（x0） D. 0
解析： 法一
＝
＝ ＋
＝f'（x0）＋
＝f'（x0）＋f'（x0）＝2f'（x0）.
法二
＝
＝2 ＝2f'（x0）.
1. 某物体的运动方程为s（t）＝3t2（位移单位：m，时间单位：
s），若v＝ ＝18 m/s，则下列说法中正确的是
（ ）
A. 18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度
B. 18 m/s是物体从3 s到（3＋Δt）s这段时间内的速度
C. 18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D. 18 m/s是物体从3 s到（3＋Δt）s这段时间内的平均速度
解析： v＝ 是物体在3 s这一时刻的瞬时速
度.故选C.
2. 设f（x）是可导函数，且 ＝－2，则f'
（x0）＝（ ）
A. 2 B. －1
C. 1 D. －2
解析： 根据题意， ＝f'（x0）＝－2，
故f'（x0）＝－2.故选D.
3. 一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s与时间t之间
的函数关系为s＝ t2，则t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为
（ ）
A. 2 B. 1
C. D.
解析： ∵ ＝ ＝ Δt＋2，
∴ ＝ ＝2，故选A.
4. 设函数f（x）＝ax＋b，若f（1）＝f'（1）＝2，则f（2）
＝ .
解析：函数f（x）＝ax＋b在x＝1处的导数为f'（1）＝
＝ ＝
＝a，又f'（1）＝2，得a＝2，而f（1）＝2，有a＋b＝2，于是b
＝0，所以f（x）＝2x，所以f（2）＝4.
4
5. 求函数y＝f（x）＝x－ 在x＝1处的导数.
解：因为Δf＝（1＋Δx）－ － ＝Δx＋ ，所以
＝ ＝1＋ .
所以f'（1）＝ ＝ ＝2，
所以函数y＝f（x）＝x－ 在x＝1处的导数为2.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是
（ ）
A. 圆 B. 抛物线
C. 椭圆 D. 直线
解析： 当f（x）＝b时，瞬时变化率 ＝ ＝0，
所以f（x）的图象为一条直线.
1
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15
2. 如果质点A按照规律s（t）＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为
（ ）
A. 6 B. 18
C. 54 D. 81
解析： ∵s（t）＝3t2，t0＝3，
∴Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）＝3（3＋Δt）2－3×32＝18Δt＋3
（Δt）2.∴ ＝18＋3Δt.∴ ＝ （18＋3Δt）＝18.故
选B.
1
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6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 已知f（x）＝x2－3x，则f'（0）＝（ ）
A. Δx－3 B. （Δx）2－3Δx
C. －3 D. 0
解析： f'（0）＝
＝ ＝ （Δx－3）＝－3.故选C.
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4. 函数y＝f（x）的图象如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A. 0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2）
B. 0＜f'（2）＜f（3）－f（2）＜f'（3）
C. 0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2）
D. 0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3）
解析： f'（2）为函数y＝f（x）的图象在点B处的切线的斜
率，f'（3）为函数y＝f（x）的图象在点A处的切线的斜率，f
（3）－f（2）＝ ，其几何意义为割线AB的斜率，由
题图可知，0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2），故选C.
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5. 设函数f（x）＝ax＋3，若f'（1）＝3，则a＝（ ）
A. 2 B. －2
C. －3 D. 3
解析： 因为f'（x）＝
＝ ＝a，
所以f'（1）＝a.又f'（1）＝3，所以a＝3.
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6. 某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用
函数s（t）＝t3－2表示，则此物体在t＝1 s时的瞬时速度（单位：
m/s）为（ ）
A. 1 B. 3
C. －1 D. 0
解析： Δs＝（1＋Δt）3－2－13＋2＝1＋3Δt＋3（Δt）2＋
（Δt）3－2－1＋2＝3Δt＋3（Δt）2＋（Δt）3， ＝3＋3Δt＋
（Δt）2， ＝3.所以t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
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7. 一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位
是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 米/秒.
解析：∵Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝1－（3＋Δt）＋（3＋Δt）2
－1＋3－32＝Δt2＋5Δt，∴ ＝5＋Δt，∴当t＝3时，瞬时速度是
（5＋Δt）＝5 （米/秒）.
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8. 若f'（2）＝3，则 ＝ .
解析： ＝2 ＝2f'（2）
＝6.
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9. 若某物体的运动规律是s＝t3－6t2＋5（t＞0），则在t＝ 时
的瞬时速度为0.
解析：设t＝t0时，瞬时速度为0，
＝ ＝
[（Δt）2＋（3t0－6）Δt＋3 －12t0]＝3 －12t0＝0，∴t0
＝0或t0＝4.又t0＞0，∴t0＝4，∴t＝4时的瞬时速度为0.
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10. 已知函数y＝f（x）＝求f'（4）·f'（－1）的值.
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解：当x＝4时，Δy＝－ ＋
＝ － ＝
＝ .
∴ ＝ .
∴f'（4）＝ ＝
＝ ＝ .
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当x＝－1时， ＝
＝ ＝Δx－2，
由导数的定义，得f'（－1）＝ （Δx－2）＝－2，
∴f'（4）·f'（－1）＝ ×（－2）＝－ .
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11. （多选）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f'（x）的图象
如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的是
（ ）
A. （x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0
B. （x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0
C. f ＞
D. f ＜
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解析： 由题中图象可知，导函数f'（x）
的图象在x轴下方，即f'（x）＜0，且其绝对
值越来越小，因此过函数f（x）图象上任一点
的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜
角是越来越大的钝角，由此可得f（x）的大致
图象如图所示.A选项表示x1－x2与f（x1）－f
（x2）异号，即f（x）图象的割线斜率
为负，故A正确；
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B选项表示x1－x2与f（x1）－f（x2）同号，即f（x）图象的割线斜
率 为正，故B不正确；f 表示 对应的函
数值，即图中点B的纵坐标， 表示当x＝x1和x＝x2
时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有f
＜ ，故C不正确，D正确.故选A、D.
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12. 函数f（x）＝ 在x＝1处的导数f'（1）＝ .
解析：由导数的定义知，函数在x＝1处的导数f'（1）＝
，而 ＝ ＝
，又 ＝ ，所以f'（1）＝ .
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13. 甲、乙两人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分
别如图①②.
（1）甲、乙两人谁跑得快？
解：乙跑得快.因为在相同的时间内，甲跑的路程少于
乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小.
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（2）甲、乙两人百米赛跑，问：快到终点时，谁跑得较快？
解：乙跑得较快.因为在终点附近的某一时刻甲的瞬时
速度小于乙的瞬时速度.
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14. 已知f（x）＝ ，且f'（m）＝－ ，则m的值等于（ ）
A. －4 B. 2
C. －2 D. ±2
解析： f'（x）＝ ＝－ ，于是有－
＝－ ，m2＝4，解得m＝±2.
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15. 某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，y＝
f（x）＝ .
（1）当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么
实际意义？
解： 当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为
＝ ＝ （m3/min），
表示时间从1 min到8 min的过程中，水流量平均以 m3/min
的速度增加.
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（2）求f'（27）并解释它的实际意义.
解： f'（27）＝
＝ ＝
＝
＝ ＝ （m3/min）.
其实际意义是第27 min时，水流量以 m3/min的速度增加.
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