6.1.3 基本初等函数的导数
1.已知f（x）＝，则f'（16）＝（ ）
A.－ B.
C.－4 D.4
2.对任意的x，有f'（x）＝4x3，f（1）＝－1，则函数f（x）的解析式为（ ）
A.f（x）＝x3 B.f（x）＝x4－2
C.f（x）＝x3＋1 D.f（x）＝x4－1
3.曲线y＝f（x）＝sin x在x＝0处的切线的倾斜角是（ ）
A. B.
C. D.
4.质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的瞬时速度为（ ）
A. B.
C. D.
5.函数y＝ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴围成三角形的面积为（ ）
A.e2 B.2e2
C.e2 D.
6.（多选）在曲线f（x）＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为（ ）
A.（1，1） B.（－1，－1）
C. D.
7.若函数f（x）在R上可导，且f（x）·f'（x）为单调函数.写出满足上述条件的一个函数 .
8.曲线y＝f（x）＝ln x在点M（e，1）处的切线的斜率是 ，切线方程为 .
9.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
10.过点P（－1，0）作直线l与曲线C1：y＝和曲线C2：y＝x2＋x＋c都相切，求c的值.
11.（多选）若f（x）＝x2，g（x）＝x3，则能满足g'（x）－f'（x）＞0的区间有（ ）
A.（－∞，0） B.
C. D.
12.若曲线y＝在点P（a，）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 .
13.已知曲线方程为y＝f（x）＝x2，求过点B（3，5）且与曲线相切的直线方程.
14.设曲线y＝（n∈N＋）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为（ ）
A. B.
C. D.1
15.求证：曲线xy＝1上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数.
6.1.3 基本初等函数的导数
1.B ∵f'（x）＝，∴f'（16）＝＝.
2.B 由f'（x）＝4x3知f（x）中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得f（x）＝x4－2.故选B.
3.D 由题意知，f'（x）＝cos x，∴f'（0）＝cos 0＝1.设此切线的倾斜角为α，则tan α＝1，∵α∈[0，π），∴α＝.
4.B ∵s'＝，∴当t＝4时，s'＝×＝ .
5.D 因为当x＝2时，y'＝e2，所以切线方程为y－e2＝e2（x－2）.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.故切线与坐标轴围成三角形的面积为×｜－e2｜×1＝.
6.AB 因为f（x）＝，所以f'（x）＝－，因为切线的倾斜角为π，所以切线斜率为－1，即f'（x）＝－＝－1，所以x＝±1，则当x＝1时，f（1）＝1；当x＝－1时，f（1）＝－1，则点的坐标为（1，1）或（－1，－1）.
7.f（x）＝x2（答案不唯一） 解析：设f（x）＝x2，则f'（x）＝2x，所以f（x）·f'（x）＝2x3在R上为单调递增，满足条件.所以f（x）＝x2满足条件.
8. x－ey＝0 解析：∵f'（x）＝（ln x）'＝，∴f'（e）＝.∴切线方程为y－1＝（x－e），即x－ey＝0.
9.（e，1） 解析：因为y＝ln x，所以y'＝（x＞0），设A（x0，ln x0），则在点A处的切线方程为y－ln x0＝（x－x0），化简为y＝x＋ln x0－1，因为切线过点（－e，－1），所以－1＝（－e）＋ln x0－1，所以ln x0－＝0，所以x0＝e时方程成立，又因为y＝ln x－递增（x＞0），所以方程有唯一解x0＝e，A（e，1）.
10.解：设直线l与曲线C1：y＝相切于点M（x0，y0），则＝，又y0＝，解得x0＝1，y0＝1，所以切点为（1，1），切线l的方程为y＝（x＋1），因为直线l与曲线C2：y＝x2＋x＋c相切，所以由方程组消元整理得x2＋x＋c－＝0，所以判别式Δ＝－4＝0，所以c＝.
11.AB 因为g'（x）＝3x2，f'（x）＝2x，由g'（x）－f'（x）＞0，得3x2－2x＞0，得x＞或x＜0.
12.4 解析：∵y'＝，∴切线方程为y－＝（x－a），令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知··a＝2，∴a＝4.
13.解：设切点P的坐标为（x0，）.
∵y＝x2，∴y'＝2x，
∴k＝2x0，
∴切线方程为y－＝2x0（x－x0）.
将点B（3，5）代入上式，得5－＝2x0（3－x0），
即－6x0＋5＝0，
∴（x0－1）（x0－5）＝0，
∴x0＝1或x0＝5，
∴切点坐标为（1，1）或（5，25），
故所求切线方程为y－1＝2（x－1）或y－25＝10（x－5），
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
14.B 对y＝（n∈N＋）求导得y'＝（n＋1）xn. 令x＝1，得在点（1，1）处的切线的斜率k＝n＋1，所以在点（1，1）处的切线方程为y－1＝（n＋1）（x－1）.令y＝0，得xn＝，所以x1·x2·…·xn＝×××…××＝.故选B.
15.证明：由xy＝1，得y＝，所以y'＝－.
在曲线xy＝1上任取一点P，
则过点P的切线的斜率k＝－，
切线方程为y－＝－（x－x0），
即y＝－x＋.
设该切线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，
则A（2x0，0），B.
故S△OAB＝｜OA｜·｜OB｜＝·｜2x0｜·＝2.
所以曲线xy＝1上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数.
1 / 26.1.3 基本初等函数的导数
新课程标准解读 核心素养
1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数 数学运算
2.会使用导数公式表 数学运算
求f（t） 的导数，根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值，运算比较复杂，而且，有的函数如y＝sin x，y＝ln x等很难运用定义求导数.
【问题】 （1）是否有更简便的求导数的方法呢？
（2）基本初等函数的导数公式可否直接应用？
知识点一 常数函数与幂函数的导数
1.导函数的概念
（1）定义：如果函数y＝f（x）在其定义域内的每一点x都可导，则称f（x）可导.此时，对定义域内的每一个值 ，都对应一个确定的导数f'（x）.于是，在f（x）的定义域内，f'（x）是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f（x）的导函数，也简称为导数；
（2）记法：函数y＝f（x）的导函数记作f'（x）（或y'，y'x），即f'（x）＝y'＝y'x＝ .
2.常数函数与幂函数的导数
函数 导数 文字叙述
f（x）＝C （C为常数） f'（x）＝C'＝0 函数f（x）＝C的 导数为f'（x）＝0
f（x）＝x f'（x）＝x'＝1 函数f（x）＝x的 导数为f'（x）＝1
f（x）＝x3 f'（x）＝（x3）' ＝3x2 函数f（x）＝x3的 导数为f'（x）＝3x2
f（x）＝ f'（x）＝' ＝－ 函数f（x）＝的 导数为f'（x）＝－
f（x）＝ （x＞0） f'（x）＝（）' ＝ 函数f（x）＝（x＞0） 的导数为f'（x）＝
f（x）＝xα f'（x）＝αxα－1 函数f（x）＝xα的导 数为f'（x）＝αxα－1
【想一想】
1.常数函数的导数为0说明了什么？
2.奇（偶）函数的导函数有什么规律？
1.（多选）下列结论正确的是（ ）
A.若y＝0，则y'＝0
B.若y＝5x，则y'＝5
C.若y＝x－1，则y'＝－x－2
D.若y＝，则y'＝
2.已知f（x）＝x2，则f'（3）＝（ ）
A.0 B.2x
C.6 D.9
3.曲线y＝xα在x＝2处的导数为12，则α＝ .
知识点二 导数公式表
原函数 导函数
f（x）＝C（C为常数） f'（x）＝
f（x）＝xα f'（x）＝
f（x）＝sin x f'（x）＝
f（x）＝cos x f'（x）＝
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝
f（x）＝ex f'（x）＝
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝
f（x）＝ln x f'（x）＝
【想一想】
对于公式“若f（x）＝xα，则f'（x）＝αxα－1”，α＝0时，公式是否仍然成立？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若y＝，则y'＝×2＝1.（ ）
（2）若f'（x）＝sin x，则f（x）＝cos x.（ ）
（3）f（x）＝，则f'（x）＝－.（ ）
2.下列命题中正确的是（ ）
①若f'（x）＝cos x，则f（x）＝sin x；
②若f'（x）＝0，则f（x）＝1；
③若f（x）＝sin x，则f'（x）＝cos x；
④若f（x）＝，则f'（x）＝.
A.① B.①②
C.③ D.①②③④
3.若f（x）＝ex，则f'（0）等于（ ）
A.e B.1 C.－1 D.－e
4.已知f（x）＝x2，g（x）＝ln x，且f'（x）＜g'（x），则（ ）
A.x＜ B.x＞
C.0＜x＜ D.x＜
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数：
（1）y＝x12；（2）y＝；（3）y＝；（4）y＝3x；（5）y＝log5x.
尝试解答
通性通法
求简单函数导函数的两种基本方法
（1）用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
（2）用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1）y＝；（2）y＝x；（3）y＝lox.
题型二 利用导数公式求切线方程
【例2】 已知函数f（x）＝，而l是曲线y＝f（x）的切线，且l经过点Q（1，0）.
（1）判断点Q是否在曲线y＝f（x）上；
（2）求l的方程.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）本例条件不变，求函数f（x）＝在点P（1，1）处的切线方程.
2.（变条件，变设问）本例中的条件“f（x）＝”若换为“f（x）＝sin x”，试求f（x）在点P（π，sin π）处的切线方程.
通性通法
求切线方程的两种情况
（1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
（2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.
【跟踪训练】
1.若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为（ ）
A.y＝2x＋1 B.y＝2x＋
C.y＝x＋1 D.y＝x＋
2.曲线f（x）＝2x在点（0，1）处的切线方程为 .
题型三 导数的简单应用
【例3】 （1）质点的运动方程是S（t）＝sin t，则质点在t＝时的速度为 ，质点运动的加速度为 ；
（2）已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.
尝试解答
通性通法
导数应用的解题技巧
（1）导数的几何意义为导数与解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，这往往是解决问题的关键所在；
（2）导数作为重要的数学工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义分析.
【跟踪训练】
已知点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.
1.（多选）下列函数求导运算正确的有（ ）
A.（3x）'＝3xlog3e
B.（log2x）'＝
C.＝x
D.若f（x）＝，则f'（3）＝－
2.已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'＝（ ）
A.－ B. C. D.－
3.已知函数f1（x）＝sin x，fn＋1（x）＝f'n（x），则f2 025＝（ ）
A.－ B.－ C. D.
4.设函数f（x）＝logax，f'（1）＝－1，则a＝ .
5.求与曲线y＝f（x）＝在点P（8，4）处的切线垂直，且过点（4，8）的直线方程.
6.1.3 基本初等函数的导数
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（1）x （2）
想一想
1.提示：说明常数函数f（x）＝C图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行（或重合）于x轴.
2.提示：奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数.
自我诊断
1.ABC 由导数定义及常数函数与幂函数的导数公式可知，A、B、C三项正确.
2.C ∵f（x）＝x2，∴f'（x）＝2x，∴f'（3）＝6.
3.3 解析：因为y'＝αxα－1，所以α·2α－1＝12，解得α＝3.
知识点二
0 αxα－1 cos x －sin x axln a ex
想一想
提示：公式对任意不为0的实数α都成立.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√
2.C ①当f（x）＝sin x＋1时，f'（x）＝cos x；②当f（x）＝2时，f'（x）＝0；④若f（x）＝，则f'（x）＝－.
3.B 因为f'（x）＝ex，所以f'（0）＝e0＝1.
4.C 由题意可知x＞0，因为f'（x）＝2x，g'（x）＝，所以f'（x）＜g'（x），即2x＜，解得0＜x＜.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）y'＝（x12）'＝12x11.
（2）y'＝'＝（x－4）'＝－4x－5＝－.
（3）y'＝（）'＝（）'＝.
（4）y'＝（3x）'＝3xln 3.
（5）y'＝（log5x）'＝.
跟踪训练
解：（1）y'＝'＝ln ＝－ln 2.
（2）y'＝（x）'＝（）'＝＝.
（3）y'＝'＝＝－.
【例2】 解：（1）因为f（1）＝＝1≠0，所以点Q（1，0）不是曲线y＝f（x）上的点.
（2）设过点Q（1，0）的切线的切点为A，
那么该切线斜率为k＝f'（a）＝－.
则切线方程为y－＝－（x－a）. ①
将Q（1，0）代入方程0－＝－（1－a），
得a＝，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4.
母题探究
1.解：因为f（x）＝，所以f'（x）＝－.
显然P（1，1）是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数f（x）＝在点P（1，1）处的导数，即k＝f'（1）＝－1.
所以曲线在P（1，1）处的切线方程为y－1＝－（x－1），即为x＋y－2＝0.
2.解：因为f'（x）＝（sin x）'＝cos x，
所以所求切线的斜率k＝cos π＝－1.
又因为sin π＝0，所以所求切线方程为y－0＝－（x－π），即x＋y－π＝0.
跟踪训练
1.D 易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，则＝ ①，设直线l与曲线y＝的切点坐标为（x0，）（x0＞0），则y＝＝k ②，＝kx0＋b ③，由②③可得b＝，将b＝，k＝－代入①得x0＝1或x0＝－（舍去），所以k＝b＝，故直线l的方程为y＝x＋.
2.y＝xln 2＋1 解析：∵f（x）＝2x，∴f'（x）＝2xln 2，∴f'（0）＝ln 2.故所求切线方程为y－1＝（x－0）ln 2，即y＝xln 2＋1.
【例3】 （1） －sin t 解析：v（t）＝S'（t）＝cos t，∴v＝cos ＝，即质点在t＝时的速度为，∵v（t）＝cos t，∴加速度a（t）＝v'（t）＝（cos t）'＝－sin t.
（2）解：由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P（x0，y0）.∴两条曲线在P（x0，y0）处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须cos x0·（－sin x0）＝－1，
即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的.
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直.
跟踪训练
解：如图，由题意得，平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离最近的点.设P（x0，y0），
∵y'＝（ex）'＝ex，∴＝1，∴x0＝0，代入y＝ex得y0＝1，∴P（0，1）.
由点到直线的距离公式得，点P到直线y＝x的距离为.
随堂检测
1.BCD 在A中（3x）'＝3xln 3，错误；由运算法则可知B、C、D均正确.
2.C ∵f（x）＝sin x，∴f'（x）＝cos x，∴f'＝cos ＝.
3.C f1（x）＝sin x，fn＋1（x）＝f'n（x），故f2（x）＝cos x，f3（x）＝－sin x，f4（x）＝－cos x，f5（x）＝sin x，周期为4，故f2 025（x）＝f1（x）＝sin x，f2 025＝sin ＝.
4. 解析：∵f'（x）＝，∴f'（1）＝＝－1.∴ln a＝－1，即a＝.
5.解：因为f（x）＝，所以f'（x）＝（）'＝（）'＝，所以f'（8）＝×＝，即曲线在点P（8，4）处的切线的斜率为，所以所求直线的斜率为－3，从而所求直线方程为y－8＝－3（x－4），即3x＋y－20＝0.
4 / 4(共60张PPT)
6.1.3 基本初等函数的导数
新课程标准解读 核心素养
1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y
＝x3，y＝ ，y＝ 的导数 数学运算
2.会使用导数公式表 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
求f（t） 的导数，根据导数的定义，就是求当Δt→0时， 所趋
近的那个定值，运算比较复杂，而且，有的函数如y＝ sin x，y＝ln x
等很难运用定义求导数.
【问题】 （1）是否有更简便的求导数的方法呢？
（2）基本初等函数的导数公式可否直接应用？
知识点一 常数函数与幂函数的导数
1. 导函数的概念
（1）定义：如果函数y＝f（x）在其定义域内的每一点x都可导，
则称f（x）可导.此时，对定义域内的每一个值 ，都对
应一个确定的导数f'（x）.于是，在f（x）的定义域内，f'
（x）是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f（x）的导函
数，也简称为导数；
x
（2）记法：函数y＝f（x）的导函数记作f'（x）（或y'，y'x），
即f'（x）＝y'＝y'x＝ .
2. 常数函数与幂函数的导数
函数 导数 文字叙述
f（x）＝C（C为
常数） f'（x）＝C'＝0 函数f（x）＝C的导数为f'
（x）＝0
f（x）＝x f'（x）＝x'＝1 函数f（x）＝x的导数为f'
（x）＝1
f（x）＝x3 f'（x）＝
（x3）'＝3x2 函数f（x）＝x3的导数为f'
（x）＝3x2
函数 导数 文字叙述
f（x）＝ f'（x）＝ '
＝－ 函数f（x）＝ 的导数为f'
（x）＝－
f（x）＝ （x＞
0） f'（x）＝
（ ）'＝ 函数f（x）＝ （x＞0）的
导数为f'（x）＝
f（x）＝xα f'（x）＝αxα
－1 函数f（x）＝xα的导数为f'
（x）＝αxα－1
【想一想】
1. 常数函数的导数为0说明了什么？
提示：说明常数函数f（x）＝C图象上每一点处的切线的斜率都为
0，即每一点处的切线都平行（或重合）于x轴.
2. 奇（偶）函数的导函数有什么规律？
提示：奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数.
1. （多选）下列结论正确的是（ ）
A. 若y＝0，则y'＝0
B. 若y＝5x，则y'＝5
C. 若y＝x－1，则y'＝－x－2
D. 若y＝ ，则y'＝
解析： 由导数定义及常数函数与幂函数的导数公式可知，
A、B、C三项正确.
2. 已知f（x）＝x2，则f'（3）＝（ ）
A. 0 B. 2x C. 6 D. 9
解析： ∵f（x）＝x2，∴f'（x）＝2x，∴f'（3）＝6.
3. 曲线y＝xα在x＝2处的导数为12，则α＝ .
解析：因为y'＝αxα－1，所以α·2α－1＝12，解得α＝3.
3
知识点二 导数公式表
原函数 导函数
f（x）＝C（C为常数） f'（x）＝
f（x）＝xα f'（x）＝
f（x）＝ sin x f'（x）＝
f（x）＝ cos x f'（x）＝
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝
f（x）＝ex f'（x）＝
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝
f（x）＝ln x f'（x）＝
0
αxα－1
cos x
－ sin x
axln a
ex
【想一想】
对于公式“若f（x）＝xα，则f'（x）＝αxα－1”，α＝0时，公式
是否仍然成立？
提示：公式对任意不为0的实数α都成立.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若y＝ ，则y'＝ ×2＝1. （ × ）
（2）若f'（x）＝ sin x，则f（x）＝ cos x. （ × ）
（3）f（x）＝ ，则f'（x）＝－ . （ √ ）
×
×
√
④若f（x）＝ ，则f'（x）＝ .
A. ① B. ①②
C. ③ D. ①②③④
解析： ①当f（x）＝ sin x＋1时，f'（x）＝ cos x；②当f
（x）＝2时，f'（x）＝0；④若f（x）＝ ，则f'（x）＝－ .
2. 下列命题中正确的是（ ）
①若f'（x）＝ cos x，则f（x）＝ sin x；
②若f'（x）＝0，则f（x）＝1；
③若f（x）＝ sin x，则f'（x）＝ cos x；
3. 若f（x）＝ex，则f'（0）等于（ ）
A. e B. 1
C. －1 D. －e
解析： 因为f'（x）＝ex，所以f'（0）＝e0＝1.
4. 已知f（x）＝x2，g（x）＝ln x，且f'（x）＜g'（x），则
（ ）
A. x＜ B. x＞
C. 0＜x＜ D. x＜
解析： 由题意可知x＞0，因为f'（x）＝2x，g'（x）＝ ，所
以f'（x）＜g'（x），即2x＜ ，解得0＜x＜ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数：
（1）y＝x12；（2）y＝ ；（3）y＝ ；（4）y＝3x；（5）y＝
log5x.
解：（1）y'＝（x12）'＝12x11.
（2）y'＝ '＝（x－4）'＝－4x－5＝－ .
（3）y'＝（ ）'＝（ ）'＝ .
（4）y'＝（3x）'＝3xln 3.
（5）y'＝（log5x）'＝ .
通性通法
求简单函数导函数的两种基本方法
（1）用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
（2）用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根
据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适
的求导公式.
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1）y＝ ；（2）y＝x ；（3）y＝lo x.
解：（1）y'＝ '＝ ln ＝－ ln 2.
（2）y'＝（x ）'＝（ ）'＝ ＝ .
（3）y'＝ '＝ ＝－ .
题型二 利用导数公式求切线方程
【例2】 已知函数f（x）＝ ，而l是曲线y＝f（x）的切线，且l
经过点Q（1，0）.
（1）判断点Q是否在曲线y＝f（x）上；
解：因为f（1）＝ ＝1≠0，所以点Q（1，0）不是曲线y
＝f（x）上的点.
（2）求l的方程.
解：设过点Q（1，0）的切线的切点为A ，
那么该切线斜率为k＝f'（a）＝－ .
则切线方程为y－ ＝－ （x－a）. ①
将Q（1，0）代入方程0－ ＝－ （1－a），
得a＝ ，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4.
【母题探究】
1. （变设问）本例条件不变，求函数f（x）＝ 在点P（1，1）处的
切线方程.
解：因为f（x）＝ ，所以f'（x）＝－ .
显然P（1，1）是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函
数f（x）＝ 在点P（1，1）处的导数，即k＝f'（1）＝－1.
所以曲线在P（1，1）处的切线方程为y－1＝－（x－1），即为x
＋y－2＝0.
2. （变条件，变设问）本例中的条件“f（x）＝ ”若换为“f
（x）＝ sin x”，试求f（x）在点P（π， sin π）处的切线方程.
解：因为f'（x）＝（ sin x）'＝ cos x，
所以所求切线的斜率k＝ cos π＝－1.
又因为 sin π＝0，所以所求切线方程为y－0＝－（x－π），即x＋
y－π＝0.
通性通法
求切线方程的两种情况
（1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
（2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜
率公式进行求解.
【跟踪训练】
1. 若直线l与曲线y＝ 和圆x2＋y2＝ 都相切，则l的方程为
（ ）
A. y＝2x＋1 B. y＝2x＋
C. y＝ x＋1 D. y＝ x＋
解析： 易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，
则 ＝ ①，设直线l与曲线y＝ 的切点坐标为（x0，
）（x0＞0），则y ＝ ＝k ②， ＝kx0＋b ③，
由②③可得b＝ ，将b＝ ，k＝ 代入①得x0＝1或
x0＝－ （舍去），所以k＝b＝ ，故直线l的方程为y＝ x＋ .
2. 曲线f（x）＝2x在点（0，1）处的切线方程为 .
解析：∵f（x）＝2x，∴f'（x）＝2xln 2，∴f'（0）＝ln 2.故所求
切线方程为y－1＝（x－0）ln 2，即y＝xln 2＋1.
y＝xln 2＋1
题型三 导数的简单应用
【例3】 （1）质点的运动方程是S（t）＝ sin t，则质点在t＝ 时
的速度为 ，质点运动的加速度为 ；
－ sin t
解析：v（t）＝S'（t）＝ cos t，∴v ＝ cos ＝ ，即质点
在t＝ 时的速度为 ，∵v（t）＝ cos t，∴加速度a（t）＝v'
（t）＝（ cos t）'＝－ sin t.
（2）已知两条曲线y＝ sin x，y＝ cos x，是否存在这两条曲线的
一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并
说明理由.
解：由于y＝ sin x，y＝ cos x，设这两条曲线的一个公共
点为P（x0，y0）.∴两条曲线在P（x0，y0）处的斜率分别为k1
＝ cos x0，k2＝－ sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须 cos x0·（－ sin x0）＝－1，
即 sin x0· cos x0＝1，也就是 sin 2x0＝2，这是不可能的.
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互
相垂直.
通性通法
导数应用的解题技巧
（1）导数的几何意义为导数与解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综
合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线
的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，这往往是解决问题
的关键所在；
（2）导数作为重要的数学工具，常与函数、数列、解析几何、不等
式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积相关的
最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义分析.
【跟踪训练】
已知点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离.
解：如图，由题意得，平行于直线y＝x的直线与曲
线y＝ex相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离
最近的点.设P（x0，y0），
∵y'＝（ex）'＝ex，∴ ＝1，
∴x0＝0，代入y＝ex得y0＝1，∴P（0，1）.
由点到直线的距离公式得，点P到直线y＝x的距离为 .
1. （多选）下列函数求导运算正确的有（ ）
A. （3x）'＝3xlog3e
B. （log2x）'＝
C. ＝x
D. 若f（x）＝ ，则f'（3）＝－
解析： 在A中（3x）'＝3xln 3，错误；由运算法则可知B、
C、D均正确.
2. 已知函数f（x）＝ sin x，其导函数为f'（x），则f' ＝（ ）
A. － B.
C. D. －
解析： ∵f（x）＝ sin x，∴f'（x）＝ cos x，∴f' ＝ cos
＝ .
3. 已知函数f1（x）＝ sin x，fn＋1（x）＝f'n（x），则f2 025 ＝
（ ）
A. － B. －
C. D.
解析： f1（x）＝ sin x，fn＋1（x）＝f'n（x），故f2（x）＝
cos x，f3（x）＝－ sin x，f4（x）＝－ cos x，f5（x）＝ sin x，周
期为4，故f2 025（x）＝f1（x）＝ sin x，f2 025 ＝ sin ＝ .
4. 设函数f（x）＝logax，f'（1）＝－1，则a＝ .
解析：∵f'（x）＝ ，∴f'（1）＝ ＝－1.∴ln a＝－1，即a
＝ .
5. 求与曲线y＝f（x）＝ 在点P（8，4）处的切线垂直，且过点
（4，8）的直线方程.
解：因为f（x）＝ ，所以f'（x）＝（ ）'＝（ ）'＝
，
所以f'（8）＝ × ＝ ，即曲线在点P（8，4）处的切线的斜率
为 ，所以所求直线的斜率为－3，从而所求直线方程为y－8＝－3
（x－4），即3x＋y－20＝0.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知f（x）＝ ，则f'（16）＝（ ）
A. － B.
C. －4 D. 4
解析： ∵f'（x）＝ ，∴f'（16）＝ ＝ .
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2. 对任意的x，有f'（x）＝4x3，f（1）＝－1，则函数f（x）的解析
式为（ ）
A. f（x）＝x3 B. f（x）＝x4－2
C. f（x）＝x3＋1 D. f（x）＝x4－1
解析： 由f'（x）＝4x3知f（x）中含有x4项，然后将x＝1代入
选项中验证可得f（x）＝x4－2.故选B.
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3. 曲线y＝f（x）＝ sin x在x＝0处的切线的倾斜角是（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由题意知，f'（x）＝ cos x，∴f'（0）＝ cos 0＝1.设此
切线的倾斜角为α，则tan α＝1，∵α∈[0，π），∴α＝ .
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4. 质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝ ，则质点在t＝4
时的瞬时速度为（ ）
A. B.
C. D.
解析： ∵s'＝ ，∴当t＝4时，s'＝ × ＝ .
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5. 函数y＝ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴围成三角形的面积为
（ ）
A. e2 B. 2e2
C. e2 D.
解析： 因为当x＝2时，y'＝e2，所以切线方程为y－e2＝e2（x
－2）.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.故切线与坐标轴围
成三角形的面积为 ×｜－e2｜×1＝ .
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6. （多选）在曲线f（x）＝ 上切线的倾斜角为 π的点的坐标为
（ ）
A. （1，1） B. （－1，－1）
C. D.
解析： 因为f（x）＝ ，所以f'（x）＝－ ，因为切线的倾
斜角为 π，所以切线斜率为－1，即f'（x）＝－ ＝－1，所以x
＝±1，则当x＝1时，f（1）＝1；当x＝－1时，f（1）＝－1，则
点的坐标为（1，1）或（－1，－1）.
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7. 若函数f（x）在R上可导，且f（x）·f'（x）为单调函数.写出满
足上述条件的一个函数 .
解析：设f（x）＝x2，则f'（x）＝2x，所以f（x）·f'（x）＝2x3
在R上为单调递增，满足条件.所以f（x）＝x2满足条件.
f（x）＝x2（答案不唯一）
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8. 曲线y＝f（x）＝ln x在点M（e，1）处的切线的斜率是 ，切
线方程为 .
解析：∵f'（x）＝（ln x）'＝ ，∴f'（e）＝ .∴切线方程为y－1
＝ （x－e），即x－ey＝0.
x－ey＝0
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9. 在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A
处的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的
坐标是 .
（e，1）
解析：因为y＝ln x，所以y'＝ （x＞0），设A（x0，ln x0），则
在点A处的切线方程为y－ln x0＝ （x－x0），化简为y＝ x＋ln
x0－1，因为切线过点（－e，－1），所以－1＝ （－e）＋ln x0－
1，所以ln x0－ ＝0，所以x0＝e时方程成立，又因为y＝ln x－ 递
增（x＞0），所以方程有唯一解x0＝e，A（e，1）.
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10. 过点P（－1，0）作直线l与曲线C1：y＝ 和曲线C2：y＝x2＋
x＋c都相切，求c的值.
解：设直线l与曲线C1：y＝ 相切于点M（x0，y0），则
＝ ，又y0＝ ，解得x0＝1，y0＝1，所以切点为（1，1），
切线l的方程为y＝ （x＋1），因为直线l与曲线C2：y＝x2＋x
＋c相切，所以由方程组消元整理得x2＋ x＋c
－ ＝0，所以判别式Δ＝ －4 ＝0，所以c＝ .
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11. （多选）若f（x）＝x2，g（x）＝x3，则能满足g'（x）－f'
（x）＞0的区间有（ ）
A. （－∞，0） B.
C. D.
解析： 因为g'（x）＝3x2，f'（x）＝2x，由g'（x）－f'
（x）＞0，得3x2－2x＞0，得x＞ 或x＜0.
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12. 若曲线y＝ 在点P（a， ）处的切线与两坐标轴围成的三角
形的面积为2，则实数a的值是 .
解析：∵y'＝ ，∴切线方程为y－ ＝ （x－a），令x＝
0，得y＝ ，令y＝0，得x＝－a，由题意知 · ·a＝2，∴a＝
4.
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13. 已知曲线方程为y＝f（x）＝x2，求过点B（3，5）且与曲线相
切的直线方程.
解：设切点P的坐标为（x0， ）.
∵y＝x2，∴y'＝2x，
∴k＝2x0，
∴切线方程为y－ ＝2x0（x－x0）.
将点B（3，5）代入上式，得5－ ＝2x0（3－x0），
即 －6x0＋5＝0，
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∴（x0－1）（x0－5）＝0，
∴x0＝1或x0＝5，
∴切点坐标为（1，1）或（5，25），
故所求切线方程为y－1＝2（x－1）或y－25＝10（x－5），
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
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14. 设曲线y＝ （n∈N＋）在点（1，1）处的切线与x轴的交点
的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为（ ）
A. B. C. D. 1
解析： 对y＝ （n∈N＋）求导得y'＝（n＋1）xn.令x＝
1，得在点（1，1）处的切线的斜率k＝n＋1，所以在点（1，1）
处的切线方程为y－1＝（n＋1）（x－1）.令y＝0，得xn＝
，所以x1·x2·…·xn＝ × × ×…× × ＝ .故选B.
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15. 求证：曲线xy＝1上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积
为常数.
证明：由xy＝1，得y＝ ，所以y'＝－ .
在曲线xy＝1上任取一点P ，
则过点P的切线的斜率k＝－ ，
切线方程为y－ ＝－ （x－x0），
即y＝－ x＋ .
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设该切线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，
则A（2x0，0），B .
故S△OAB＝ ｜OA｜·｜OB｜＝ ·｜2x0｜· ＝2.
所以曲线xy＝1上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
常数.
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