第二课时 简单复合函数的求导法则
1.下列求导运算正确的是（ ）
A.（sin x）'＝－cos x
B.（log2x）'＝
C.'＝
D.（e2x＋1）'＝2e2x＋1
2.设函数f（x）＝（1－2x3）10，则f'（1）＝（ ）
A.0 B.60
C.－1 D.－60
3.曲线y＝f（x）＝e－2x＋1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（ ）
A. B.
C. D.1
4.曲线y＝xex－1在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）
A.2e B.e
C.2 D.1
5.设f（x）＝ln（2x－1），若f（x）在x0处的导数f'（x0）＝1，则x0的值为（ ）
A. B.
C.1 D.
6.函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（ ）
A.0 B.
C. D.
7.若y＝f（x）＝（2x＋a）2，且f'（2）＝20，则a＝ .
8.已知函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋，则x＞0时，f（x）＝ ，f（1）＋f'（1）＝ .
9.已知函数f（x）＝x（1－ax）2（a＞0），且f'（2）＝5，则实数a的值为 .
10.曲线y＝e2xcos 3x在（0，1）处的切线与直线l平行，且与l的距离为 ，求直线l的方程.
11.（多选）给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）＝（f'（x））'，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）
A.f（x）＝sin x－cos x
B.f（x）＝ln x－2x
C.f（x）＝－x3＋2x－1
D.f（x）＝xex
12.已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e－x－1－x，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是 .
13.设曲线y＝e－x（x≥0）在点M（t，e－t）处的切线l与x轴，y轴围成的三角形面积为S（t）.
（1）求切线l的方程；
（2）求S（t）的解析式.
14.设函数f（x）＝cos（x＋φ），其中常数φ满足－π＜φ＜0.若函数g（x）＝f（x）＋f'（x）（其中f'（x）是函数f（x）的导数）是偶函数，则φ等于（ ）
A.－π B.－π
C.－π D.－π
15.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系P（t）＝P0，其中P0为t＝0时该放射性同位素的含量.已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，求该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需的时间.
第二课时 简单复合函数的求导法则
1.D 选项A，（sin x）'＝cos x，故A错误；选项B，（log2x）'＝，故B错误；选项C，'＝，故C错误；选项D，（e2x＋1）'＝e2x＋1·（2x＋1）'＝2e2x＋1正确.故选D.
2.B f'（x）＝10（1－2x3）9（－6x2），所以f'（1）＝10×（1－2）9×（－6）＝60.
3.A ∵f'（x）＝－2e－2x，f'（0）＝－2e－2×0＝－2，∴曲线在点（0，2）处的切线方程为y＝－2x＋2.由得x＝y＝，∴A，则围成的三角形的面积为××1＝.
4.C 由y＝xex－1，得y'＝ex－1＋xex－1，故y'｜x＝1＝2，故切线的斜率为2.
5.B 由f（x）＝ln（2x－1），得f'（x）＝，由f'（x0）＝＝1，解得x0＝.
6.D ∵f'（x）＝，∴函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率k＝f'（1）＝＝1.设函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为θ，则tan θ＝1，∴θ＝.
7.1 解析：令u＝2x＋a，则yx'＝yu'·ux'＝（u2）'（2x＋a）'＝4（2x＋a），则f'（2）＝4（2×2＋a）＝20，∴a＝1.
8.－ex＋ －2e 解析：∵函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋，∴令x＞0，则－x＜0，∴f（－x）＝ex－＝－f（x），∴f（x）＝－ex＋，x＞0.∴f'（x）＝－ex－，x＞0，∴f'（1）＝－e－1，f（1）＝－e＋1，∴f（1）＋f'（1）＝－e－1－e＋1＝－2e.
9.1 解析：∵f'（x）＝（1－ax）2－2ax（1－ax），∴f'（2）＝（1－2a）2－4a（1－2a）＝12a2－8a＋1＝5（a＞0），解得a＝1.
10.解：由y'＝（e2xcos 3x）'＝（e2x）'cos 3x＋e2x（cos 3x）'
＝2e2xcos 3x＋e2x（－3sin 3x）＝e2x（2cos 3x－3sin 3x），
得y'x＝0＝2.
则切线方程为 y－1＝2（x－0），
即2x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，
两平行线间的距离d＝＝，解得c＝6或c＝－4.
故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.
11.AD 对于A，f'（x）＝cos x＋sin x，f″（x）＝－sin x＋cos x＝－sin，当x∈时，－＜x－＜0，f″（x）＞0，故f（x）＝sin x－cos x不是凸函数；对于B，f'（x）＝－2，f″（x）＝－＜0，故f（x）＝ln x－2x是凸函数；对于C，f'（x）＝－3x2＋2，对任意的x∈，f″（x）＝－6x＜0，故f（x）＝－x3＋2x－1是凸函数；对于D，f'（x）＝（x＋1）ex，对任意的x∈，f″（x）＝（x＋2）ex＞0，故f（x）＝xex不是凸函数.故选A、D.
12.2x－y＝0 解析：设x＞0，则－x＜0，f（－x）＝ex－1＋x.因为f（x）为偶函数，所以当x＞0时，f（x）＝ex－1＋x，f'（x）＝ex－1＋1，f'（1）＝2，即所求的切线方程为y－2＝2（x－1），即2x－y＝0.
13.解：（1）∵y＝e－x，∴yx'＝（e－x）'＝－e－x，
当x＝t时，yx'＝－e－t.
故切线方程为y－e－t＝－e－t（x－t），
即x＋ety－（t＋1）＝0.
（2）令y＝0，得x＝t＋1.
令x＝0，得y＝e－t（t＋1）.
∴S（t）＝（t＋1）·e－t（t＋1）＝（t＋1）2e－t（t≥0）.
14.A ∵f（x）＝cos（x＋φ），∴f'（x）＝－sin（x＋φ），∴g（x）＝f（x）＋f'（x）＝cos（x＋φ）－sin（x＋φ）＝2cos.∵函数g（x）为偶函数，∴φ＋＝kπ，k∈Z，∴φ＝－＋kπ，k∈Z.∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.故选A.
15.解：由P（t）＝P0得P'（t）＝－·P0·ln 2，因为t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，即P'（15）＝－P0＝－，解得P0＝18，则P（t）＝18·，当该放射性同位素含量为4.5贝克时，即P（t）＝4.5，所以18·＝4.5，即＝，所以－＝－2，解得t＝60.
故该放射性同位元素含量为4.5贝克时衰变所需的时间为60天.
2 / 2第二课时 简单复合函数的求导法则
新课程标准解读 核心素养
能求简单的复合函数的导数 数学运算
观察函数y＝（3x－1）2和y＝sin 2x，不难发现，y＝（3x－1）2由y＝u2及u＝3x－1复合而成，y＝sin 2x由y＝sin u及u＝2x复合而成.像这样由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数.
【问题】 怎样求复合函数的导数呢？
知识点 复合函数
1.复合函数的定义
已知函数y＝f（u）与u＝g（x），给定x的任意一个值，就能确定u的值.如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f（g（x））有意义，且称y＝h（x）＝ 为函数f（u）与g（x）的复合函数，其中 称为中间变量.
2.复合函数的求导法则
如果函数y＝f（u）与u＝g（x）的复合函数为y＝h（x）＝f（g（x）），则
（1）h'（x）＝[f（g（x））]'＝ ＝ ；
（2）y'x＝ .
【想一想】
1.已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln（2x＋5），y＝sin（x＋2）.这三个函数都是复合函数吗？
2.试说明函数y＝ln（2x＋5）是如何复合的？
3.求复合函数的导数与顺序有关吗？
1.函数y＝cos 2x的导数为（ ）
A.y'＝sin 2x B.y'＝－sin 2x
C.y'＝－2sin 2x D.y'＝2sin 2x
2.函数f（x）＝（2x＋1）5，则f'（0）的值为 .
3.若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝ex－2的切线，则k＝ .
题型一 简单复合函数求导
【例1】 求下列函数的导数：
（1）y＝ecos x＋1；（2）y＝log2（2x＋1）；
（3）y＝2sin；（4）y＝ .
尝试解答
通性通法
1.求复合函数的导数的步骤
2.求复合函数的导数的注意点
（1）分解的函数通常为基本初等函数；
（2）求导时分清是对哪个变量求导；
（3）计算结果尽量简洁.
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1）y＝103x－2；
（2）y＝ln（ex＋x2）；
（3）y＝sin4x＋cos4x.
题型二 复合函数与导数的运算法则的综合应用
【例2】 求下列函数的导数：
（1）y＝；
（2）y＝x；
（3）y＝xcossin.
尝试解答
通性通法
1.在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的.
2.复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导.
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1）y＝sin2；（2）y＝sin3x＋sin x3.
题型三 复合函数的导数与导数几何意义的综合应用
【例3】 曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是（ ）
A. B.2
C.3 D.0
尝试解答
【母题探究】
（变条件，变设问）若本例条件变为“曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值.
通性通法
本类题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时要注意所给点是否为切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f'（x）是f（x）的导函数，且a＝f'，求过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程.
导函数的奇偶性及周期性探究
1.若f（x）＝xα，则f'（x）＝αxα－1，如f（x）＝x3，f'（x）＝3x2，g（x）＝x4，g'（x）＝4x3.
2.若f（x）＝sin x，则f'（x）＝cos x.
3.若f（x）＝cos x，则f'（x）＝－sin x.
【问题探究】
由上述导数公式试归纳猜想以下命题成立：
（1）奇函数的导数是偶函数；
（2）偶函数的导数是奇函数；
（3）周期函数的导数还是周期函数.
提示：（1）设f（x）是可导的奇函数，则有f（－x）＝－f（x），两边对x求导，得f'（－x）·（－x）'＝－f'（x），即－f'（－x）＝－f'（x），f'（－x）＝f'（x），从而f'（x）为偶函数，故原命题成立.
（2）设f（x）是可导的偶函数，则f（－x）＝f（x），两边对x求导，得f'（－x）×（－x）'＝f'（x），即－f'（－x）＝f'（x），从而f'（x）是奇函数，故原命题成立.
（3）设f（x）为可导的周期函数，T为f（x）的一个周期，则对定义域内的每一个x，都有f（x＋T）＝f（x），两边同时对x求导得f'（x＋T）（x＋T）'＝f'（x），即f'（x＋T）＝f'（x），从而f'（x）也是以T为周期的周期函数，故原命题成立.
【迁移应用】
推广1：可导函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对称的充要条件是导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称.
推广2：函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称的充要条件是导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称.
1.已知f（x）＝cos 2x＋e2x，则f'（x）＝（ ）
A.－2sin 2x＋2e2x B.sin 2x＋e2x
C.2sin 2x＋2e2x D.－sin 2x＋e2x
2.函数y＝x2cos的导数为（ ）
A.y'＝2xcos－x2sin
B.y'＝2xcos－2x2sin
C.y'＝x2cos－2xsin
D.y'＝2xcos＋2x2sin
3.设曲线y＝ax－ln（x＋1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，则a＝（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
4.已知f（x）＝ln（3x－1）， 则f'（1）＝ .
5.设曲线y＝eax在点（0，1）处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝ .
第二课时 简单复合函数的求导法则
【基础知识·重落实】
知识点
1.f（g（x）） u 2.（1）f'（u）·g'（x） f'（g（x））·g'（x） （2）y'u·u'x
想一想
1.提示：函数y＝ln（2x＋5），y＝sin（x＋2）是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数.
2.提示：设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln（2x＋5）可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.
3.提示：一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导.
自我诊断
1.C y'＝（cos 2x）'＝－2sin 2x.
2.10 解析：f'（x）＝5（2x＋1）4·（2x＋1）'＝10（2x＋1）4，∴f'（0）＝10.
3.1或 解析：设y＝kx＋b与y＝ex－2和y＝ln x的切点分别为（x1，），（x2，ln x2），由导数的几何意义可得k＝＝，曲线y＝ex－2在点（x1，）处的切线方程为y－＝（x－x1），即y＝x＋（1－x1），曲线y＝ln x在点（x2，ln x2）处的切线方程为y－ln x2＝（x－x2），即y＝x＋ln x2－1，则解得x2＝1，或x2＝e，所以k＝1或.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）设y＝eu，u＝cos x＋1，
则y' x＝y' u·u' x＝eu·（－sin x）＝－ecos x＋1sin x.
（2）设y＝log2u，u＝2x＋1，
则y' x＝y' u·u' x＝＝.
（3）设y＝2sin u，u＝3x－，
则y' x＝y' u·u' x＝2cos u×3＝6cos.
（4）设y＝，u＝1－2x，
则y' x＝y' u·u' x＝'·（1－2x）'
＝－×（－2）＝（1－2x.
跟踪训练
解：（1）令u＝3x－2，则y＝10u，
所以y' x＝y' u·u' x＝10uln 10·（3x－2）'
＝3×103x－2ln 10.
（2）令u＝ex＋x2，则y＝ln u，
所以y' x＝y' u·u' x＝·（ex＋x2）'
＝·（ex＋2x）＝.
（3）因为y＝sin4x＋cos4x
＝（sin2x＋cos2x）2－2sin2x·cos2x
＝1－sin22x＝1－（1－cos 4x）
＝＋cos 4x，
所以y'＝'＝－sin 4x.
【例2】 解：（1）∵（ln 3x）'＝×（3x）'＝，
∴y'＝
＝＝.
（2）y'＝（x）'
＝x'＋x（）'
＝＋
＝.
（3）∵y＝xcossin
＝x（－sin 2x）cos 2x＝－xsin 4x，
∴y'＝'
＝－sin 4x－cos 4x·4
＝－sin 4x－2xcos 4x.
跟踪训练
解：（1）∵y＝，
∴y'＝（－）'＝sinx.
（2）y'＝（sin3x＋sin x3）'＝（sin3x）'＋（sin x3）'
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2
＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
【例3】 A 设曲线y＝ln（2x－1）在点（x0，y0）处的切线与直线2x－y＋3＝0平行.∵y＝ln（2x－1），∴y'＝，y＝＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln（2－1）＝0，即切点坐标为（1，0）.∴切点（1，0）到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
母题探究
解：由题意可知，设切点为P（x0，y0），∵y＝ln（2x－1），
∴y'＝，y＝＝2，解得x0＝1，∴y0＝0，即切点P（1，0），∴＝2，解得m＝8或－12.即实数m的值为8或－12.
跟踪训练
解：∵f'（x）＝3－2sin 2x＋2cos 2x，∴f'＝3－2sin ＋2cos ＝1，即a＝1，∵P（a，b）在曲线y＝x3上，∴b＝a3＝1，即P（1，1），
①若P是切点，∵y'＝3x2，∴曲线y＝x3在P（1，1）处的切线斜率k＝3，
∴所求切线方程为y－1＝3（x－1），即3x－y－2＝0；
②若P不是切点，可设切点坐标为（t，t3），
∴切线斜率k＝3t2＝，解得t＝－，∴k＝，
∴所求切线方程为y－1＝（x－1），即3x－4y＋1＝0.
综上所述：过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.
拓视野 导函数的奇偶性及周期性探究
迁移应用
推广1：证明：必要性：由函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对称，得f（x）＋f（2a－x）＝2f（a），于是[f（x）＋f（2a－x）]'＝[2f（a）]'，又[f（2a－x）]'＝f'（2a－x）×（－1）＝－f'（2a－x），
因此f'（x）－f'（2a－x）＝0，即f'（x）＝f'（2a－x）.
所以导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称.
充分性：导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称，则f'（x）＝f'（2a－x），
即[f（x）＋f（2a－x）]'＝0，于是f（x）＋f（2a－x）＝C（C为常数）.
令x＝a，则有2f（a）＝C.所以f（x）＋f（2a－x）＝2f（a）.
因此可导函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对称.
推广2：证明：必要性：函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称，则f（x）＝f（2a－x），于是f'（x）＝[f（2a－x）]'，故f'（x）＝－f'（2a－x），
即f'（x）＋f'（2a－x）＝0.
因此导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称.
充分性：导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称，则f'（x）＋f'（2a－x）＝0.
即[f（x）－f（2a－x）]'＝0，因此f（x）－f（2a－x）＝C（C为常数）.
令x＝a，得C＝0.所以f（x）＝f（2a－x）.
故函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.
随堂检测
1.A f'（x）＝－sin 2x·（2x）'＋e2x·（2x）'＝－2sin 2x＋2e2x，故选A.
2.B y'＝（x2）'cos＋x2'
＝2xcos＋x2'＝2xcos－2x2sin.
3.D y'＝a－，则y'｜x＝0＝a－1.又切线方程为y＝2x，所以a－1＝2，解得a＝3.
4. 解析：∵f'（x）＝·（3x－1）'＝，∴f'（1）＝.
5.2 解析：由题意知y'＝aeax，∴k＝a·ea×0＝a＝2.
4 / 4(共71张PPT)
第二课时
简单复合函数的求导法则
新课程标准解读 核心素养
能求简单的复合函数的导数 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
观察函数y＝（3x－1）2和y＝ sin 2x，不难发现，y＝（3x－
1）2由y＝u2及u＝3x－1复合而成，y＝ sin 2x由y＝ sin u及u＝2x复
合而成.像这样由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数.
【问题】 怎样求复合函数的导数呢？
知识点 复合函数
1. 复合函数的定义
已知函数y＝f（u）与u＝g（x），给定x的任意一个值，就能确
定u的值.如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时
称f（g（x））有意义，且称y＝h（x）＝ 为函
数f（u）与g（x）的复合函数，其中 称为中间变量.
f（g（x））
u
2. 复合函数的求导法则
如果函数y＝f（u）与u＝g（x）的复合函数为y＝h（x）＝f
（g（x）），则
（1）h'（x）＝[f（g（x））]'＝ ＝
；
（2）y'x＝ .
f'（u）·g'（x）
f'（g
（x））·g'（x）
y'u·u'x
【想一想】
1. 已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln（2x＋5），y＝ sin （x＋2）.这
三个函数都是复合函数吗？
提示：函数y＝ln（2x＋5），y＝ sin （x＋2）是复合函数，函数
y＝2x＋5＋ln x不是复合函数.
2. 试说明函数y＝ln（2x＋5）是如何复合的？
提示：设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln（2x＋5）可以看作是
由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间
变量u表示为自变量x的函数.
3. 求复合函数的导数与顺序有关吗？
提示：一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导.
1. 函数y＝ cos 2x的导数为（ ）
A. y'＝ sin 2x B. y'＝－ sin 2x
C. y'＝－2 sin 2x D. y'＝2 sin 2x
解析： y'＝（ cos 2x）'＝－2 sin 2x.
2. 函数f（x）＝（2x＋1）5，则f'（0）的值为 .
解析：f'（x）＝5（2x＋1）4·（2x＋1）'＝10（2x＋1）4，∴f'
（0）＝10.
10
3. 若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝ex－2的切
线，则k＝ .
解析：设y＝kx＋b与y＝ex－2和y＝ln x的切点分别为（x1，
），（x2，ln x2），由导数的几何意义可得k＝ ＝ ，
曲线y＝ex－2在点（x1， ）处的切线方程为y－ ＝
（x－x1），即y＝ x＋（1－x1） ，曲线y＝ln x在点
（x2，ln x2）处的切线方程为y－ln x2＝ （x－x2），即y＝ x＋
ln x2－1，则解得x2＝1，或x2＝e，
所以k＝1或 .
1或
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 简单复合函数求导
【例1】 求下列函数的导数：
（1）y＝e cos x＋1；
解： 设y＝eu，u＝ cos x＋1，
则y' x＝y' u·u' x＝eu·（－ sin x）＝－e cos x＋1 sin x.
（2）y＝log2（2x＋1）；
解： 设y＝log2u，u＝2x＋1，
则y' x＝y' u·u' x＝ ＝ .
（3）y＝2 sin ；
解： 设y＝2 sin u，u＝3x－ ，
则y' x＝y' u·u' x＝2 cos u×3＝6 cos .
（4）y＝ .
解： 设y＝ ，u＝1－2x，则y' x＝y' u·u' x＝'·（1－2x）'＝－ ×（－2）＝（1－2x .
通性通法
1. 求复合函数的导数的步骤
2. 求复合函数的导数的注意点
（1）分解的函数通常为基本初等函数；
（2）求导时分清是对哪个变量求导；
（3）计算结果尽量简洁.
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1）y＝103x－2；
解：令u＝3x－2，则y＝10u，
所以y' x＝y' u·u' x＝10uln 10·（3x－2）'
＝3×103x－2ln 10.
（2）y＝ln（ex＋x2）；
解：令u＝ex＋x2，则y＝ln u，
所以y' x＝y' u·u' x＝ ·（ex＋x2）'
＝ ·（ex＋2x）＝ .
（3）y＝ sin 4x＋ cos 4x.
解：因为y＝ sin 4x＋ cos 4x
＝（ sin 2x＋ cos 2x）2－2 sin 2x· cos 2x
＝1－ sin 22x＝1－ （1－ cos 4x）
＝ ＋ cos 4x，
所以y'＝ '＝－ sin 4x.
题型二 复合函数与导数的运算法则的综合应用
【例2】 求下列函数的导数：
（1）y＝ ；
解：∵（ln 3x）'＝ ×（3x）'＝ ，
∴y'＝
＝ ＝ .
（2）y＝x ；
解： y'＝（x ）'
＝x' ＋x（ ）'
＝ ＋
＝ .
（3）y＝x cos sin .
解： ∵y＝x cos sin
＝x（－ sin 2x） cos 2x＝－ x sin 4x，
∴y'＝ '
＝－ sin 4x－ cos 4x·4
＝－ sin 4x－2x cos 4x.
通性通法
1. 在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法
则，联系学过的求导公式，对不易用求导法求导的函数，可适当地
进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的.
2. 复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的
复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导.
【跟踪训练】
求下列函数的导数：
（1）y＝ sin 2 ；
解： ∵y＝ ，
∴y'＝（ － ）'＝ sin x.
（2）y＝ sin 3x＋ sin x3.
解： y'＝（ sin 3x＋ sin x3）'＝（ sin 3x）'＋（ sin x3）'
＝3 sin 2x cos x＋ cos x3·3x2
＝3 sin 2x cos x＋3x2 cos x3.
题型三 复合函数的导数与导数几何意义的综合应用
【例3】 曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距
离是（ ）
A. B. 2
C. 3 D. 0
解析： 设曲线y＝ln（2x－1）在点（x0，y0）处的切线与直线2x
－y＋3＝0平行.∵y＝ln（2x－1），∴y'＝ ，y ＝ ＝
2，解得x0＝1，∴y0＝ln（2－1）＝0，即切点坐标为（1，0）.∴切
点（1，0）到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝ ＝ ，即曲
线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 .
【母题探究】
（变条件，变设问）若本例条件变为“曲线y＝ln（2x－1）上的点到
直线2x－y＋m＝0的最小距离为2 ”，求m的值.
解：由题意可知，设切点为P（x0，y0），
∵y＝ln（2x－1），
∴y'＝ ，y ＝ ＝2，解得x0＝1，
∴y0＝0，即切点P（1，0），
∴ ＝2 ，解得m＝8或－12.即实数m的值为8或－12.
通性通法
本类题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时要注意所给点
是否为切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的
切线问题，寻求切点是解决问题的关键.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝3x＋ cos 2x＋ sin 2x，f'（x）是f（x）的导函
数，且a＝f' ，求过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程.
解：∵f'（x）＝3－2 sin 2x＋2 cos 2x，∴f' ＝3－2 sin ＋2 cos
＝1，即a＝1，∵P（a，b）在曲线y＝x3上，∴b＝a3＝1，即P
（1，1），
①若P是切点，∵y'＝3x2，∴曲线y＝x3在P（1，1）处的切线斜率k
＝3，
∴所求切线方程为y－1＝3（x－1），即3x－y－2＝0；
②若P不是切点，可设切点坐标为（t，t3），
∴切线斜率k＝3t2＝ ，解得t＝－ ，
∴k＝ ，
∴所求切线方程为y－1＝ （x－1），即3x－4y＋1＝0.
综上所述：过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程为3x－y－2＝
0或3x－4y＋1＝0.
导函数的奇偶性及周期性探究
1. 若f（x）＝xα，则f'（x）＝αxα－1，如f（x）＝x3，f'（x）＝
3x2，g（x）＝x4，g'（x）＝4x3.
2. 若f（x）＝ sin x，则f'（x）＝ cos x.
3. 若f（x）＝ cos x，则f'（x）＝－ sin x.
【问题探究】
由上述导数公式试归纳猜想以下命题成立：
（1）奇函数的导数是偶函数；
提示： 设f（x）是可导的奇函数，则有f（－x）＝－f
（x），两边对x求导，得f'（－x）·（－x）'＝－f'（x），即
－f'（－x）＝－f'（x），f'（－x）＝f'（x），从而f'（x）为
偶函数，故原命题成立.
（2）偶函数的导数是奇函数；
提示：设f（x）是可导的偶函数，则f（－x）＝f
（x），两边对x求导，得f'（－x）×（－x）'＝f'（x），即－
f'（－x）＝f'（x），从而f'（x）是奇函数，故原命题成立.
（3）周期函数的导数还是周期函数.
提示：设f（x）为可导的周期函数，T为f（x）的一个周
期，则对定义域内的每一个x，都有f（x＋T）＝f（x），两
边同时对x求导得f'（x＋T）（x＋T）'＝f'（x），即f'（x＋
T）＝f'（x），从而f'（x）也是以T为周期的周期函数，故原命
题成立.
【迁移应用】
推广1：可导函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对
称的充要条件是导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称.
证明：必要性：由函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心
对称，得f（x）＋f（2a－x）＝2f（a），于是[f（x）＋f（2a－
x）]'＝[2f（a）]'，又[f（2a－x）]'＝f'（2a－x）×（－1）＝－f'
（2a－x），
因此f'（x）－f'（2a－x）＝0，即f'（x）＝f'（2a－x）.
所以导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称.
充分性：导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称，则f'（x）＝f'
（2a－x），
即[f（x）＋f（2a－x）]'＝0，于是f（x）＋f（2a－x）＝C（C
为常数）.
令x＝a，则有2f（a）＝C. 所以f（x）＋f（2a－x）＝2f（a）.
因此可导函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对称.
证明：必要性：函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称，则f
（x）＝f（2a－x），于是f'（x）＝[f（2a－x）]'，故f'（x）＝－
f'（2a－x），
即f'（x）＋f'（2a－x）＝0.
因此导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称.
推广2：函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称的充要条件是导函
数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称.
充分性：导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称，则f'
（x）＋f'（2a－x）＝0.
即[f（x）－f（2a－x）]'＝0，因此f（x）－f（2a－x）＝C（C
为常数）.
令x＝a，得C＝0.所以f（x）＝f（2a－x）.
故函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.
1. 已知f（x）＝ cos 2x＋e2x，则f'（x）＝（ ）
A. －2 sin 2x＋2e2x
B. sin 2x＋e2x
C. 2 sin 2x＋2e2x
D. － sin 2x＋e2x
解析： f'（x）＝－ sin 2x·（2x）'＋e2x·（2x）'＝－2 sin 2x＋
2e2x，故选A.
2. 函数y＝x2 cos 的导数为（ ）
A. y'＝2x cos －x2 sin
B. y'＝2x cos －2x2 sin
C. y'＝x2 cos －2x sin
D. y'＝2x cos ＋2x2 sin
解析： y'＝（x2）' cos ＋x2 '
＝2x cos ＋x2 '＝2x cos －
2x2 sin .
3. 设曲线y＝ax－ln（x＋1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，
则a＝（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： y'＝a－ ，则y'｜x＝0＝a－1.又切线方程为y＝2x，
所以a－1＝2，解得a＝3.
4. 已知f（x）＝ln（3x－1）， 则f'（1）＝ .
解析：∵f'（x）＝ ·（3x－1）'＝ ，∴f'（1）＝ .
5. 设曲线y＝eax在点（0，1）处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则
a＝ .
解析：由题意知y'＝aeax，∴k＝a·ea×0＝a＝2.
2
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. （ sin x）'＝－ cos x
B. （log2x）'＝
C. '＝
D. （e2x＋1）'＝2e2x＋1
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解析： 选项A，（ sin x）'＝ cos x，故A错误；选项B，
（log2x）'＝ ，故B错误；选项C， '＝ ，故C错误；
选项D，（e2x＋1）'＝e2x＋1·（2x＋1）'＝2e2x＋1正确.故选D.
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2. 设函数f（x）＝（1－2x3）10，则f'（1）＝（ ）
A. 0 B. 60
C. －1 D. －60
解析： f'（x）＝10（1－2x3）9（－6x2），所以f'（1）＝10×
（1－2）9×（－6）＝60.
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3. 曲线y＝f（x）＝e－2x＋1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y
＝x围成的三角形的面积为（ ）
A. B.
C. D. 1
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解析： ∵f'（x）＝－2e－2x，f'（0）＝－2e－2×0＝－2，∴曲线
在点（0，2）处的切线方程为y＝－2x＋2.由得x
＝y＝ ，∴A ，则围成的三角形的面积为 × ×1＝ .
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4. 曲线y＝xex－1在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）
A. 2e B. e
C. 2 D. 1
解析： 由y＝xex－1，得y'＝ex－1＋xex－1，故y'｜x＝1＝2，故切
线的斜率为2.
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5. 设f（x）＝ln（2x－1），若f（x）在x0处的导数f'（x0）＝1，则
x0的值为（ ）
A. B.
C. 1 D.
解析： 由f（x）＝ln（2x－1），得f'（x）＝ ，由f'（x0）
＝ ＝1，解得x0＝ .
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6. 函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾
斜角为（ ）
A. 0 B.
C. D.
解析： ∵f'（x）＝ ，∴函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象
在点（1，f（1））处的切线的斜率k＝f'（1）＝ ＝1.设函数f
（x）＝ln（x2＋1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角
为θ，则tan θ＝1，∴θ＝ .
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7. 若y＝f（x）＝（2x＋a）2，且f'（2）＝20，则a＝ .
解析：令u＝2x＋a，则yx'＝yu'·ux'＝（u2）'（2x＋a）'＝4（2x
＋a），则f'（2）＝4（2×2＋a）＝20，∴a＝1.
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8. 已知函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋ ，则x＞0
时，f（x）＝ ，f（1）＋f'（1）＝ .
解析：∵函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋ ，
∴令x＞0，则－x＜0，∴f（－x）＝ex－ ＝－f（x），∴f
（x）＝－ex＋ ，x＞0.∴f'（x）＝－ex－ ，x＞0，∴f'（1）
＝－e－1，f（1）＝－e＋1，∴f（1）＋f'（1）＝－e－1－e＋1＝
－2e.
－ex＋
－2e
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9. 已知函数f（x）＝x（1－ax）2（a＞0），且f'（2）＝5，则实数
a的值为 .
解析：∵f'（x）＝（1－ax）2－2ax（1－ax），∴f'（2）＝（1－
2a）2－4a（1－2a）＝12a2－8a＋1＝5（a＞0），解得a＝1.
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10. 曲线y＝e2x cos 3x在（0，1）处的切线与直线l平行，且与l的距
离为 ，求直线l的方程.
解：由y'＝（e2x cos 3x）'
＝（e2x）' cos 3x＋e2x（ cos 3x）'
＝2e2x cos 3x＋e2x（－3 sin 3x）
＝e2x（2 cos 3x－3 sin 3x），
得y'x＝0＝2.
则切线方程为 y－1＝2（x－0），
即2x－y＋1＝0.
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若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，
两平行线间的距离d＝ ＝ ，解得c＝6或c＝－4.
故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.
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11. （多选）给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，
且导函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函
数，记f″（x）＝（f'（x））'，若f″（x）＜0在D上恒成立，则
称f（x）在D上为凸函数.以下四个函数在 上不是凸函数
的是（ ）
A. f（x）＝ sin x－ cos x B. f（x）＝ln x－2x
C. f（x）＝－x3＋2x－1 D. f（x）＝xex
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解析： 对于A，f'（x）＝ cos x＋ sin x，f″（x）＝－ sin x＋
cos x＝－ sin ，当x∈ 时，－ ＜x－ ＜0，f″
（x）＞0，故f（x）＝ sin x－ cos x不是凸函数；对于B，f'
（x）＝ －2，f″（x）＝－ ＜0，故f（x）＝ln x－2x是凸函
数；对于C，f'（x）＝－3x2＋2，对任意的x∈ ，f″（x）
＝－6x＜0，故f（x）＝－x3＋2x－1是凸函数；对于D，f'（x）
＝（x＋1）ex，对任意的x∈ ，f″（x）＝（x＋2）ex＞
0，故f（x）＝xex不是凸函数.故选A、D.
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12. 已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e－x－1－x，则曲线y
＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是 .
解析：设x＞0，则－x＜0，f（－x）＝ex－1＋x.因为f（x）为
偶函数，所以当x＞0时，f（x）＝ex－1＋x，f'（x）＝ex－1＋
1，f'（1）＝2，即所求的切线方程为y－2＝2（x－1），即2x
－y＝0.
2x－y＝0
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13. 设曲线y＝e－x（x≥0）在点M（t，e－t）处的切线l与x轴，y轴
围成的三角形面积为S（t）.
（1）求切线l的方程；
解： ∵y＝e－x，∴yx'＝（e－x）'＝－e－x，
当x＝t时，yx'＝－e－t.
故切线方程为y－e－t＝－e－t（x－t），
即x＋ety－（t＋1）＝0.
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（2）求S（t）的解析式.
解： 令y＝0，得x＝t＋1.
令x＝0，得y＝e－t（t＋1）.
∴S（t）＝ （t＋1）·e－t（t＋1）＝ （t＋1）2e－t（t≥0）.
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14. 设函数f（x）＝ cos （ x＋φ），其中常数φ满足－π＜φ＜0.若
函数g（x）＝f（x）＋f'（x）（其中f'（x）是函数f（x）的导
数）是偶函数，则φ等于（ ）
A. － π B. － π
C. － π D. － π
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解析： ∵f（x）＝ cos （ x＋φ），∴f'（x）＝－ sin
（ x＋φ），∴g（x）＝f（x）＋f'（x）＝ cos （ x＋φ）
－ sin （ x＋φ）＝2 cos （ x＋φ＋ ）.∵函数g（x）为
偶函数，∴φ＋ ＝kπ，k∈Z，∴φ＝－ ＋kπ，k∈Z. ∵－π＜φ
＜0，∴φ＝－ .故选A.
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15. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、
航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的
衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足
函数关系P（t）＝P0 ，其中P0为t＝0时该放射性同位素的含
量.已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－ ，求
该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需的时间.
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解：由P（t）＝P0 得P'（t）＝－ ·P0· ln 2，因为t＝
15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－ ，即P'（15）＝－
P0＝－ ，解得P0＝18，则P（t）＝18· ，当该放
射性同位素含量为4.5贝克时，即P（t）＝4.5，所以18· ＝
4.5，即 ＝ ，所以－ ＝－2，解得t＝60.
故该放射性同位元素含量为4.5贝克时衰变所需的时间为60天.
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谢 谢 观 看！
