6.2.1 导数与函数的单调性
1.函数f（x）＝x2ln x的单调递减区间为（ ）
A.（0，） B.
C.（，＋∞） D.
2.函数y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f'（x）的图象可能是（ ）
3.函数y＝x2－ln x的单调递减区间为（ ）
A.（0，1） B.（－∞，－1）∪（0，1）
C.（－∞，1） D.（－∞，＋∞）
4.若f（x）＝，e＜a＜b，则（ ）
A.f（a）＞f（b） B.f（a）＝f（b）
C.f（a）＜f（b） D.f（a）f（b）＞1
5.已知f（x）＝2aln x＋x2，若 x1，x2∈（0，＋∞）且x1≠x2都有＞4，则a的取值范围是（ ）
A.（1，＋∞） B.[1，＋∞）
C.（0，1） D.（0，1]
6.（多选）下列函数中，在（0，＋∞）内为增函数的是（ ）
A.y＝sin x B.y＝xex
C.y＝x3＋x D.y＝ln x－x
7.函数y＝的单调递减区间是 .
8.已知函数f（x）＝x3－ax－1，若f（x）在（－1，1）上单调递减，则a的取值范围为 .
9.如图为函数f（x）的图象，f'（x）为函数f（x）的导函数，则不等式＜0的解集为 .
10.已知二次函数h（x）＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h'（x）的图象如图，f（x）＝6ln x＋h（x）.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间.
11.（多选）若函数exf（x）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质.下列函数中具有M性质的增函数是（ ）
A.f（x）＝2－x B.f（x）＝3－x
C.f（x）＝x3 D.f（x）＝x2＋2
12.已知函数f（x）＝ax3＋bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直.则实数a＝ ；若函数f（x）在区间[m，m＋1]上单调递增，则m的取值范围为 .
13.已知函数f（x）＝aln x－ax－3（a∈R）.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＝－1时，证明：当x∈（1，＋∞）时，f（x）＋2＞0.
14.（多选）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）＝f（2－x），且（x－1）f'（x）＜0，若a＝f（0），b＝f，c＝f（3），则a，b，c的大小关系正确的有（ ）
A.b＞a B.c＞b
C.b＞c D.c＞a
15.已知函数f（x）＝a（x－1）－ln x，g（x）＝ex.
（1）讨论y＝f（x）的单调性；
（2）若函数F（x）＝f（x）·g（x）在[1，＋∞）上单调递增，求实数a的取值范围.
6.2.1 导数与函数的单调性
1.D 由题意得，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝2x·ln x＋x2·＝2xln x＋x＝x（2ln x＋1）.
令f'（x）＜0，得2ln x＋1＜0，解得0＜x＜，
故函数f（x）＝x2ln x的单调递减区间为.
2.D ∵函数f（x）在（0，＋∞），（－∞，0）上都是减函数，∴当x＞0时，f'（x）＜0；当x＜0时，f'（x）＜0.故选D.
3.A ∵y＝x2－ln x的定义域为（0，＋∞），∴y'＝x－，令y'＜0，即x－＜0，解得0＜x＜1.故选A.
4.A 由f'（x）＝＜0，解得x＞e，∴f（x）在（e，＋∞）上为减函数，∵e＜a＜b，∴f（a）＞f（b）.
5.B 任取x1，x2∈（0，＋∞），假设x1＜x2，因为＞4，所以f（x1）－f（x2）＜4（x1－x2），即f（x1）－4x1＜f（x2）－4x2.构造函数g（x）＝f（x）－4x，由题意知，g（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以g'（x）＝f'（x）－4≥0，即＋2x－4≥0，所以a≥2x－x2，又2x－x2＝－（x－1）2＋1≤1，所以a≥1，所以a的取值范围是[1，＋∞）.
6.BC B项中，y＝xex，y'＝ex＋xex＝ex（1＋x），当x∈（0，＋∞）时，y'＞0，∴y＝xex在（0，＋∞）内为增函数；对于选项C，y'＝3x2＋1＞0，∴y＝x3＋x在（0，＋∞）内为增函数.
7.（－∞，0）和（0，1） 解析：函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），y'＝＝，令y'＜0，得x＜1，且x≠0.故函数的单调递减区间是（－∞，0）和（0，1）.
8.[3，＋∞） 解析：∵f（x）＝x3－ax－1，∴f'（x）＝3x2－a.要使f（x）在（－1，1）上单调递减，则f'（x）≤0在x∈（－1，1）上恒成立，故a≥3x2在x∈（－1，1）上恒成立，在x∈（－1，1）上，3x2＜3，即a≥3，∴a的取值范围为[3，＋∞）.
9.（－3，－1）∪（0，1） 解析：由题图知，当x∈（－∞，－3）∪（－1，1）时，f'（x）＜0，当x∈（－3，－1）∪（1，＋∞）时，f'（x）＞0，故不等式＜0的解集为（－3，－1）∪（0，1）.
10.解：（1）由已知，h'（x）＝2ax＋b，
其图象为直线，且过（0，－8），（4，0）两点，
把两点坐标代入h'（x）＝2ax＋b，解得
∴h（x）＝x2－8x＋2，h'（x）＝2x－8，
∴f（x）＝6ln x＋x2－8x＋2.
（2）∵f'（x）＝＋2x－8＝（x＞0）.
∴当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （0，1] （1，3] （3，＋∞）
f'（x） ＋ － ＋
f（x） 单调递增 单调递减 单调递增
∴f（x）的单调递增区间为（0，1]和（3，＋∞），
f（x）的单调递减区间为（1，3].
11.AD 对于A，exf（x）＝ex·2－x＝，在R上为增函数，故A符合要求；对于B，exf（x）＝ex·3－x＝，在R上为减函数，故B不符合要求；对于C，exf（x）＝ex·x3，故[exf（x）]'＝（ex·x3）'＝ex·（x3＋3x2），显然函数exf（x）＝ex·x3在R上不单调，故C不符合要求；对于D，exf（x）＝ex·（x2＋2），故[exf（x）]'＝[ex·（x2＋2）]'＝ex·（x2＋2x＋2）＝ex·[（x＋1）2＋1]＞0，故函数exf（x）＝ex·（x2＋2）在R上为增函数，故D符合要求，故选A、D.
12.1 m≥0或m≤－3 解析：因为函数f（x）＝ax3＋bx2的图象经过点M（1，4），所以a＋b＝4. ①
f'（x）＝3ax2＋2bx，则f'（1）＝3a＋2b.
由条件f'（1）·＝－1，即3a＋2b＝9. ②
由①②解得a＝1，b＝3.
f（x）＝x3＋3x2，则f'（x）＝3x2＋6x.令f'（x）＝3x2＋6x≥0，得x≥0或x≤－2.因为函数f（x）在区间[m，m＋1]上单调递增，所以[m，m＋1] （－∞，－2]∪[0，＋∞），所以m≥0或m＋1≤－2，所以m≥0或m≤－3.
13.解：（1）根据题意知，f'（x）＝（x＞0），
当a＞0时，则当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，＋∞）；
同理，当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0，1）；
当a＝0时，f（x）＝－3，不是单调函数，无单调区间.
（2）证明：当a＝－1时，f（x）＝－ln x＋x－3，
所以f（1）＝－2，
由（1）知f（x）＝－ln x＋x－3在（1，＋∞）上单调递增，
所以当x∈（1，＋∞）时，f（x）＞f（1），
即f（x）＞－2，所以f（x）＋2＞0.
14.AC 由f（x）＝f（2－x）得f（x＋1）＝f（1－x），则函数关于x＝1对称，当x＞1时，由（x－1）f'（x）＜0得f'（x）＜0，函数单调递减；当x＜1时，由（x－1）f'（x）＜0得f'（x）＞0，函数单调递增.又a＝f（0）＝f（2），b＝f＝f，c＝f（3），故b＞a＞c.故选A、C.
15.解：（1）y＝f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝，
当a≤0时，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，
所以y＝f（x）在（0，＋∞）上单调递减.
当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝，
当f'（x）＜0时，0＜x＜，当f'（x）＞0时，x＞，
则y＝f（x）在上单调递减，在上单调递增.
（2）F（x）＝[a（x－1）－ln x]·ex，
由题意知F'（x）＝·ex≥0在[1，＋∞）上恒成立，
所以ax－ln x－≥0在[1，＋∞）上恒成立.
令h（x）＝ax－ln x－，则至少有h（1）≥0 a－1≥0 a≥1（经检验a＝1符合题意）.
当a≥1时，有h'（x）＝a－＋＝.
令φ（x）＝ax2－x＋1，其图象开口向上，对称轴方程为x＝∈，
故φ（x）在[1，＋∞）上单调递增，所以φ（x）≥φ（1）＝a＞0，
所以h'（x）＞0，所以h（x）在[1，＋∞）上单调递增.
综上，实数a的取值范围为[1，＋∞）.
2 / 26.2.1 导数与函数的单调性
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系 数学抽象、直观想象
2.能利用导数研究函数的单调性 逻辑推理、数学运算
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间 数学运算
研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势（走高或走低）以及股票价格的变化范围（封顶或保底）.从股票走势曲线图来看，股票有升有降.在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性.
【问题】 函数的单调性与导数有什么关系？
知识点 函数的单调性与其导数正负的关系
一般地，函数f（x）的单调性与其导函数f'（x）的正负之间具有如下的关系：
（1）在某个区间（a，b）上，如果 ，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）上单调递增；
（2）在某个区间（a，b）上，如果 ，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）上单调递减.
【想一想】
1.如果在某个区间上恒有f'（x）＝0，那么函数y＝f（x）在这个区间上单调性如何？
2.在区间（a，b）内，若f'（x）＞0，则f（x）在此区间上单调递增，反之也成立吗？
3.函数图象的变化趋势与导数值大小有何关系？
1.函数f（x）＝2x－sin x在（－∞，＋∞）上（ ）
A.是增函数
B.是减函数
C.在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减
D.在（0，＋∞）上单调递减，在（－∞，0）上单调递增
2.已知二次函数y＝f（x）的图象如图所示，则其导函数y＝f'（x）的图象大致形状是（ ）
3.如图为导函数y＝f'（x）的图象，则函数y＝f（x）的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
题型一 导数与函数单调性的关系
角度1 根据原函数图象确定导函数图象
【例1】 已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝f'（x）的图象可能是图中的（ ）
尝试解答
通性通法
对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在该区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图象.
角度2 由导函数图象确定原函数图象
【例2】 （1）已知y＝f'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象最有可能是图中的（ ）
（2）已知f'（x）是f（x）的导函数，f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象只可能是（ ）
尝试解答
通性通法
通过观察导函数图象，确定导数值正负所在区间，也就确定了增减区间；根据导函数图象的变化，可确定原函数增减快慢.
【跟踪训练】
1.设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数f'（x）的图象可能是（ ）
2.已知函数y＝f（x），y＝g（x）的导函数图象如图所示，则y＝f（x），y＝g（x）的图象可能是（ ）
题型二 利用导数求函数的单调区间
角度1 不含参数的函数求单调区间
【例3】 已知函数f（x）＝，判断函数f（x）的单调性.
尝试解答
通性通法
求函数y＝f（x）的单调区间的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导函数f'（x）；
（3）解不等式f'（x）＞0（或f'（x）＜0），并写出解集；
（4）结合函数f（x）的定义域，根据（3）的结果确定函数f（x）的单调区间.
角度2 含参数的函数求单调区间
【例4】 已知函数f（x）＝（x－1）ex－ax2＋b.讨论f（x）的单调性.
尝试解答
通性通法
含参数的单调性问题解题步骤
【跟踪训练】
设函数f（x）＝ex－ax－2，求f（x）的单调区间.
题型三 已知函数的单调性求参数的范围
【例5】 若函数f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调递增，则k的取值范围是 .
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）本例条件不变，若函数f（x）在区间（1，＋∞）上单调递减，求k的取值范围.
2.（变条件，变设问）若本例中的函数“f（x）＝kx－ln x”换为“f（x）＝x2＋aln（x＋1）（a为常数）”.若函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增，求实数a的取值范围.
3.（变条件）若将本例中条件“单调递增”改为“不单调”，求k的取值范围.
通性通法
1.利用导数求参数范围的基本思路
（1）将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f'（x）≥0（或f'（x）≤0）恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；
（2）先令f'（x）＞0（或f'（x）＜0），求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f（x）是否满足题意.
2.恒成立问题的重要思路
（1）m≥f（x）恒成立 m≥f（x）max；
（2）m≤f（x）恒成立 m≤f（x）min.
【跟踪训练】
已知函数y＝x3－ax＋b.
（1）若函数y在（1，＋∞）上是增函数，求a的取值范围；
（2）若函数y的一个单调递增区间为（1，＋∞），求a的值.
1.设函数f（x）的图象如图所示，则导函数f'（x）的图象可能为（ ）
2.若函数f（x）＝－cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A.[－1，＋∞） B.[1，＋∞）
C.（－1，＋∞） D.（1，＋∞）
3.函数f（x）＝3＋xln x的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
4.已知函数f（x）＝x＋bln x在区间（0，2）上不是单调函数，则b的取值范围是 .
5.已知函数f（x）＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是（－3，1），则m＋n＝ .
6.2.1 导数与函数的单调性
【基础知识·重落实】
知识点
（1）f'（x）＞0 （2）f'（x）＜0
想一想
1.提示：函数y＝f（x）在这个区间上是常数函数，不具有单调性.
2.提示：不一定成立.比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零.也就是说f'（x）＞0是y＝f（x）在某个区间上单调递增的充分不必要条件.
3.提示：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的较快，其图象比较陡峭.即｜f'（x）｜越大，则函数f（x）的切线斜率的绝对值越大，函数f（x）的变化率就越大.
自我诊断
1.A 因为f'（x）＝2－cos x＞0，所以f（x）在（－∞，＋∞）上是单调递增函数.
2.C 观察y＝f（x）的图象可知，函数在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，所以导函数y＝f'（x）在（－∞，0）上小于0，在（0，＋∞）上大于0.结合各选项可知，只有选项C符合题意.
3.（－∞，－3]，（－2，1]，（3，＋∞） （－3，－2]，（1，3]
解析：由f'（x）的图象可知，当x在区间（－3，－2]和（1，3]时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减；当x在区间（－∞，－3]，（－2，1]，（3，＋∞）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增.所以f（x）的单调递增区间是（－∞，－3]，（－2，1]，（3，＋∞）；f（x）的单调递减区间是（－3，－2]，（1，3].
【典型例题·精研析】
【例1】 C 由函数y＝f（x）的图象的增减变化趋势判断函数y＝f'（x）的正、负情况如下表：
x [－1，b） [b，a） [a，1]
f'（x） － ＋ －
f（x） 单调递减 单调递增 单调递减
由表可知函数y＝f'（x）的图象，当x∈[－1，b）时，在x轴下方；当x∈[b，a）时，在x轴上方；当x∈[a，1]时，在x轴下方.故选C.
【例2】 （1）C （2）D 解析：（1）由f'（x）＞0（f'（x）＜0）的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势.由已知可得x的取值范围和f'（x）的正、负，f（x）的增减变化情况如下表所示：
x （－∞，0] （0，2] （2，＋∞）
f'（x） ＋ － ＋
f（x） 单调递增 单调递减 单调递增
由表可知f（x）在（－∞，0]内单调递增，在（0，2]内单调递减，在（2，＋∞）内单调递增，故满足条件的只有C，故选C.
（2）从f'（x）的图象可以看出，在区间内，导数递增；在区间内，导数递减.即函数f（x）的图象在内越来越陡峭，在内越来越平缓.
跟踪训练
1.C 原函数的单调性是当x＜0时，函数为增函数；当x＞0时，函数的单调性变化依次为增、减、增.故当 x＜0时，f'（x）＞0；当x＞0时，f'（x）的符号变化依次为“＋”“－”“＋”.故选C.
2.B 两个导函数的图象在x轴上方说明两个函数都是增函数，y＝f'（x）的函数值由小到大，说明y＝f（x）的图象越来越“陡峭”，y＝g'（x）的函数值由大到小，说明y＝g（x）的图象越来越“平缓”.故选B.
【例3】 解：函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，＋∞），
f'（x）＝.
由f'（x）＝0，可得x＝e.
则当0＜x＜1和1＜x＜e时，
f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞e时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.
故f（x）在（0，1）和（1，e）上单调递减，在（e，＋∞）上单调递增.
【例4】 解：f'（x）＝xe x－2ax＝x（ex－2a），
①当a≤0时，令f'（x）＝0 x＝0，
且当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.
②当0＜a＜时，令f'（x）＝0 x1＝0，x2＝ln 2a＜0，
且当x＜ln 2a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当ln 2a＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.
③当a＝时，f'（x）＝x（ex－1）≥0，f（x）在[WT][WTHZ]R[WT][WTBX]上单调递增.
④当a＞时，令f'（x）＝0 x1＝0，x2＝ln 2a＞0，
且当x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜x＜ln 2a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln 2a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.
跟踪训练
解：函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝ex－a.
若a≤0，则f'（x）＞0.
所以f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增.
若a＞0，则当x∈（－∞，ln a）时，f'（x）＜0；
当x∈（ln a，＋∞）时，f'（x）＞0.
所以f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增.
综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增；
当a＞0时，f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增.
【例5】 [1，＋∞） 解析：由于f'（x）＝k－，f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调递增可得f'（x）＝k－≥0在（1，＋∞）上恒成立，即k≥在（1，＋∞）上恒成立，又0＜＜1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞）.
母题探究
1.解：∵f'（x）＝k－，且f（x）在（1，＋∞）上单调递减，
∴f'（x）＝k－≤0在（1，＋∞）上恒成立，
即k≤，∵0＜＜1，∴k≤0.
即k的取值范围为（－∞，0].
2.解：由题意知，f'（x）＝≥0在[1，＋∞）上恒成立，即a≥－2x2－2x在区间[1，＋∞）上恒成立.
∵y＝－2x2－2x在区间[1，＋∞）上的最大值为－4，∴a≥－4.
经检验，当a＝－4时，f'（x）＝＝≥0，x∈[1，＋∞）.
故实数a的取值范围是[－4，＋∞）.
3.解：f（x）＝kx－ln x，f'（x）＝k－.
当k≤0时，f'（x）＜0.
∴f（x）在（1，＋∞）上单调递减，不合题意.
当k＞0时，令f'（x）＝0，得x＝，
只需∈（1，＋∞），即＞1，则0＜k＜1.
∴k的取值范围是（0，1）.
跟踪训练
解：y'＝3x2－a.
（1）若函数y＝x3－ax＋b在（1，＋∞）上是增函数，
则y'＝3x2－a≥0在（1，＋∞）上恒成立，
即a≤3x2在（1，＋∞）上恒成立，则a≤（3x2）min.
因为x＞1，所以3x2＞3，
所以a≤3，即a的取值范围是（－∞，3].
（2）令y'＞0，得x2＞.
若a≤0，则x2＞恒成立，即y'＞0恒成立，
此时，函数y＝x3－ax＋b在R上是增函数，与题意不符.
若a＞0，令y'＞0，得x＞或x＜－.
因为（1，＋∞）是函数的一个单调递增区间，
所以＝1，即a＝3.
所以当a＝3时，函数y＝x3－ax＋b的一个单调递增区间是（1，＋∞）.
随堂检测
1.C 由f（x）的图象可知，函数f（x）的单调递增区间为（1，4），单调递减区间为（－∞，1）和（4，＋∞），因此，当x∈（1，4）时，f'（x）＞0，当x∈（－∞，1）或x∈（4，＋∞）时，f'（x）＜0，结合选项知选C.
2.B 由题意可得，f'（x）＝sin x＋a≥0恒成立，故a≥－sin x恒成立，因为－1≤－sin x≤1，所以a≥1.故选B.
3. 解析：f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ln x＋1，令f'（x）＞0，即ln x＋1＞0，得x＞.令f'（x）＜0得0＜x＜，故函数f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是.
4.（－2，0） 解析：f'（x）＝1＋＝，令g（x）＝x＋b（x＞0），则g（x）是增函数，故需g（0）＝b＜0，g（2）＝b＋2＞0，b＞－2，所以b∈（－2，0）.
5.－2 解析：由题知f'（x）＝x2＋2mx＋n，由于函数f（x）＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是（－3，1），所以x＝－3，x＝1是f'（x）＝x2＋2mx＋n的两个零点，根据一元二次方程根与系数的关系得解得所以m＋n＝－2.
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6.2.1 导数与函数的单调性
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性
与导数的关系 数学抽象、直观想
象
2.能利用导数研究函数的单调性 逻辑推理、数学运
算
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式
函数的单调区间 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势（走高或走
低）以及股票价格的变化范围（封顶或保底）.从股票走势曲线图
来看，股票有升有降.在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们
常说的单调性.
【问题】 函数的单调性与导数有什么关系？
知识点 函数的单调性与其导数正负的关系
一般地，函数f（x）的单调性与其导函数f'（x）的正负之间具有
如下的关系：
（1）在某个区间（a，b）上，如果 ，那么函数y＝f
（x）在区间（a，b）上单调递增；
（2）在某个区间（a，b）上，如果 ，那么函数y＝f
（x）在区间（a，b）上单调递减.
f'（x）＞0
f'（x）＜0
【想一想】
1. 如果在某个区间上恒有f'（x）＝0，那么函数y＝f（x）在这个区
间上单调性如何？
提示：函数y＝f（x）在这个区间上是常数函数，不具有单调性.
2. 在区间（a，b）内，若f'（x）＞0，则f（x）在此区间上单调递
增，反之也成立吗？
提示：不一定成立.比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导
数等于零.也就是说f'（x）＞0是y＝f（x）在某个区间上单调递增
的充分不必要条件.
3. 函数图象的变化趋势与导数值大小有何关系？
提示：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函
数在这个范围内变化的较快，其图象比较陡峭.即｜f'（x）｜越
大，则函数f（x）的切线斜率的绝对值越大，函数f（x）的变化
率就越大.
1. 函数f（x）＝2x－ sin x在（－∞，＋∞）上（ ）
A. 是增函数
B. 是减函数
C. 在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减
D. 在（0，＋∞）上单调递减，在（－∞，0）上单调递增
解析： 因为f'（x）＝2－ cos x＞0，所以f（x）在（－∞，＋
∞）上是单调递增函数.
2. 已知二次函数y＝f（x）的图象如图所示，则其导函数y＝f'（x）
的图象大致形状是（ ）
解析： 观察y＝f（x）的图象可知，函数在（－∞，0）上单调
递减，在（0，＋∞）上单调递增，所以导函数y＝f'（x）在（－
∞，0）上小于0，在（0，＋∞）上大于0.结合各选项可知，只有
选项C符合题意.
3. 如图为导函数y＝f'（x）的图象，则函数y＝f（x）的单调递增区
间是 ，单调递减区间
是 .
（－∞，－3]，（－2，1]，（3，＋∞）
（－3，－2]，（1，3]
解析：由f'（x）的图象可知，当x在区间（－3，－2]和（1，3]
时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减；当x在区间（－∞，－
3]，（－2，1]，（3，＋∞）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递
增.所以f（x）的单调递增区间是（－∞，－3]，（－2，1]，
（3，＋∞）；f（x）的单调递减区间是（－3，－2]，（1，3].
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 导数与函数单调性的关系
角度1 根据原函数图象确定导函数图象
【例1】 已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝f'（x）的
图象可能是图中的（ ）
解析： 由函数y＝f（x）的图象的增减变化趋势判断函数y＝f'
（x）的正、负情况如下表：
x [－1，b） [b，a） [a，1]
f'（x） － ＋ －
f（x） 单调递减 单调递增 单调递减
由表可知函数y＝f'（x）的图象，当x∈[－1，b）时，在x轴下方；
当x∈[b，a）时，在x轴上方；当x∈[a，1]时，在x轴下方.故选C.
通性通法
对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在该区间内
导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.
根据导数值的正负可判定导函数图象.
角度2 由导函数图象确定原函数图象
【例2】 （1）已知y＝f'（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图
象最有可能是图中的（ ）
解析： 由f'（x）＞0（f'（x）＜0）的分界点判断原函数在
此分界点两侧的图象的上升和下降趋势.由已知可得x的取值范
围和f'（x）的正、负，f（x）的增减变化情况如下表所示：
x （－∞，0] （0，2] （2，＋∞）
f'（x） ＋ － ＋
f（x） 单调递增 单调递减 单调递增
由表可知f（x）在（－∞，0]内单调递增，在（0，2]内单调递
减，在（2，＋∞）内单调递增，故满足条件的只有C，故选C.
（2）已知f'（x）是f（x）的导函数，f'（x）的图象如图所示，则f
（x）的图象只可能是（ ）
解析：从f'（x）的图象可以看出，在区间 内，导数递
增；在区间 内，导数递减.即函数f（x）的图象在
内越来越陡峭，在 内越来越平缓.
通性通法
通过观察导函数图象，确定导数值正负所在区间，也就确定了增
减区间；根据导函数图象的变化，可确定原函数增减快慢.
【跟踪训练】
1. 设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导
函数f'（x）的图象可能是（ ）
解析： 原函数的单调性是当x＜0时，函数为增函数；当x＞0
时，函数的单调性变化依次为增、减、增.故当 x＜0时，f'（x）＞
0；当x＞0时，f'（x）的符号变化依次为“＋”“－”“＋”.故
选C.
2. 已知函数y＝f（x），y＝g（x）的导函数图象如图所示，则y＝
f（x），y＝g（x）的图象可能是（ ）
解析： 两个导函数的图象在x轴上方说明两个函数都是增函
数，y＝f'（x）的函数值由小到大，说明y＝f（x）的图象越来越
“陡峭”，y＝g'（x）的函数值由大到小，说明y＝g（x）的图
象越来越“平缓”.故选B.
题型二 利用导数求函数的单调区间
角度1 不含参数的函数求单调区间
【例3】 已知函数f（x）＝ ，判断函数f（x）的单调性.
解：函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，＋∞），
f'（x）＝ .
由f'（x）＝0，可得x＝e.
则当0＜x＜1和1＜x＜e时，
f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞e时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.
故f（x）在（0，1）和（1，e）上单调递减，在（e，＋∞）上单调
递增.
通性通法
求函数y＝f（x）的单调区间的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导函数f'（x）；
（3）解不等式f'（x）＞0（或f'（x）＜0），并写出解集；
（4）结合函数f（x）的定义域，根据（3）的结果确定函数f（x）
的单调区间.
角度2 含参数的函数求单调区间
【例4】 已知函数f（x）＝（x－1）ex－ax2＋b.讨论f（x）的单
调性.
解：f'（x）＝xe x－2ax＝x（ex－2a），
①当a≤0时，令f'（x）＝0 x＝0，
且当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞0时，f'（x）＞
0，f（x）单调递增.
②当0＜a＜ 时，令f'（x）＝0 x1＝0，x2＝ln 2a＜0，
且当x＜ln 2a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当ln 2a＜x＜0时，
f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调
递增.
④当a＞ 时，令f'（x）＝0 x1＝0，x2＝ln 2a＞0，
且当x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜x＜ln 2a时，f'
（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln 2a时，f'（x）＞0，f（x）单
调递增.
③当a＝ 时，f'（x）＝x（ex－1）≥0，f（x）在R上单调递增.
通性通法
含参数的单调性问题解题步骤
【跟踪训练】
设函数f（x）＝ex－ax－2，求f（x）的单调区间.
解：函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝ex－a.
若a≤0，则f'（x）＞0.
所以f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增.
若a＞0，则当x∈（－∞，ln a）时，f'（x）＜0；
当x∈（ln a，＋∞）时，f'（x）＞0.
所以f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调
递增.
综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增；
当a＞0时，f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）
上单调递增.
题型三 已知函数的单调性求参数的范围
【例5】 若函数f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调递增，
则k的取值范围是 .
解析：由于f'（x）＝k－ ，f（x）＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上
单调递增可得f'（x）＝k－ ≥0在（1，＋∞）上恒成立，即k≥ 在
（1，＋∞）上恒成立，又0＜ ＜1，所以k≥1.即k的取值范围为
[1，＋∞）.
[1，＋∞）
【母题探究】
1. （变设问）本例条件不变，若函数f（x）在区间（1，＋∞）上单
调递减，求k的取值范围.
解：∵f'（x）＝k－ ，且f（x）在（1，＋∞）上单调递减，
∴f'（x）＝k－ ≤0在（1，＋∞）上恒成立，
即k≤ ，∵0＜ ＜1，∴k≤0.
即k的取值范围为（－∞，0].
2. （变条件，变设问）若本例中的函数“f（x）＝kx－ln x”换为
“f（x）＝x2＋aln（x＋1）（a为常数）”.若函数y＝f（x）在
区间[1，＋∞）上单调递增，求实数a的取值范围.
解：由题意知，f'（x）＝ ≥0在[1，＋∞）上恒成立，
即a≥－2x2－2x在区间[1，＋∞）上恒成立.
∵y＝－2x2－2x在区间[1，＋∞）上的最大值为－4，
∴a≥－4.
经检验，当a＝－4时，f'（x）＝ ＝ ≥0，
x∈[1，＋∞）.
故实数a的取值范围是[－4，＋∞）.
3. （变条件）若将本例中条件“单调递增”改为“不单调”，求k的
取值范围.
解：f（x）＝kx－ln x，f'（x）＝k－ .
当k≤0时，f'（x）＜0.
∴f（x）在（1，＋∞）上单调递减，不合题意.
当k＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ ，
只需 ∈（1，＋∞），即 ＞1，则0＜k＜1.
∴k的取值范围是（0，1）.
通性通法
1. 利用导数求参数范围的基本思路
（1）将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f'（x）
≥0（或f'（x）≤0）恒成立，利用分离参数或函数性质求解
参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；
（2）先令f'（x）＞0（或f'（x）＜0），求出参数的取值范围后，
再验证参数取“＝”时f（x）是否满足题意.
2. 恒成立问题的重要思路
（1）m≥f（x）恒成立 m≥f（x）max；
（2）m≤f（x）恒成立 m≤f（x）min.
【跟踪训练】
已知函数y＝x3－ax＋b.
（1）若函数y在（1，＋∞）上是增函数，求a的取值范围；
若函数y＝x3－ax＋b在（1，＋∞）上是增函数，
则y'＝3x2－a≥0在（1，＋∞）上恒成立，
即a≤3x2在（1，＋∞）上恒成立，则a≤（3x2）min.
因为x＞1，所以3x2＞3，
所以a≤3，即a的取值范围是（－∞，3].
解：y'＝3x2－a.
（2）若函数y的一个单调递增区间为（1，＋∞），求a的值.
解：令y'＞0，得x2＞ .
若a≤0，则x2＞ 恒成立，即y'＞0恒成立，
此时，函数y＝x3－ax＋b在R上是增函数，与题意不符.
若a＞0，令y'＞0，得x＞ 或x＜－ .
因为（1，＋∞）是函数的一个单调递增区间，
所以 ＝1，即a＝3.
所以当a＝3时，函数y＝x3－ax＋b的一个单调递增区间是
（1，＋∞）.
1. 设函数f（x）的图象如图所示，则导函数f'（x）的图象可能为
（ ）
解析： 由f（x）的图象可知，函数f（x）的单调递增区间为
（1，4），单调递减区间为（－∞，1）和（4，＋∞），因此，当
x∈（1，4）时，f'（x）＞0，当x∈（－∞，1）或x∈（4，＋
∞）时，f'（x）＜0，结合选项知选C.
2. 若函数f（x）＝－ cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围为
（ ）
A. [－1，＋∞） B. [1，＋∞）
C. （－1，＋∞） D. （1，＋∞）
解析： 由题意可得，f'（x）＝ sin x＋a≥0恒成立，故a≥－
sin x恒成立，因为－1≤－ sin x≤1，所以a≥1.故选B.
3. 函数f（x）＝3＋xln x的单调递增区间是 ，单调递
减区间是 .
解析：f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ln x＋1，令f'
（x）＞0，即ln x＋1＞0，得x＞ .令f'（x）＜0得0＜x＜ ，故函
数f（x）的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
4. 已知函数f（x）＝x＋bln x在区间（0，2）上不是单调函数，则b
的取值范围是 .
解析：f'（x）＝1＋ ＝ ，令g（x）＝x＋b（x＞0），则g
（x）是增函数，故需g（0）＝b＜0，g（2）＝b＋2＞0，b＞－
2，所以b∈（－2，0）.
（－2，0）
5. 已知函数f（x）＝ x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是（－3，
1），则m＋n＝ .
解析：由题知f'（x）＝x2＋2mx＋n，由于函数f（x）＝ x3＋mx2
＋nx＋1的单调递减区间是（－3，1），所以x＝－3，x＝1是f'
（x）＝x2＋2mx＋n的两个零点，根据一元二次方程根与系数的
关系得解得所以m＋n＝－2.
－2
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数f（x）＝x2ln x的单调递减区间为（ ）
A. （0， ） B.
C. （ ，＋∞） D.
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解析： 由题意得，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'
（x）＝2x·ln x＋x2· ＝2xln x＋x＝x（2ln x＋1）.令f'（x）＜
0，得2ln x＋1＜0，解得0＜x＜ ，故函数f（x）＝x2ln x的单调
递减区间为 .
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2. 函数y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f'（x）的图象可能
是（ ）
解析： ∵函数f（x）在（0，＋∞），（－∞，0）上都是减函
数，∴当x＞0时，f'（x）＜0；当x＜0时，f'（x）＜0.故选D.
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3. 函数y＝ x2－ln x的单调递减区间为（ ）
A. （0，1） B. （－∞，－1）∪（0，1）
C. （－∞，1） D. （－∞，＋∞）
解析： ∵y＝ x2－ln x的定义域为（0，＋∞），∴y'＝x－ ，
令y'＜0，即x－ ＜0，解得0＜x＜1.故选A.
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4. 若f（x）＝ ，e＜a＜b，则（ ）
A. f（a）＞f（b） B. f（a）＝f（b）
C. f（a）＜f（b） D. f（a）f（b）＞1
解析： 由f'（x）＝ ＜0，解得x＞e，∴f（x）在（e，＋
∞）上为减函数，∵e＜a＜b，∴f（a）＞f（b）.
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5. 已知f（x）＝2aln x＋x2，若 x1，x2∈（0，＋∞）且x1≠x2都有
＞4，则a的取值范围是（ ）
A. （1，＋∞） B. [1，＋∞）
C. （0，1） D. （0，1]
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解析： 任取x1，x2∈（0，＋∞），假设x1＜x2，因为
＞4，所以f（x1）－f（x2）＜4（x1－x2），即f
（x1）－4x1＜f（x2）－4x2.构造函数g（x）＝f（x）－4x，由
题意知，g（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以g'（x）＝f'
（x）－4≥0，即 ＋2x－4≥0，所以a≥2x－x2，又2x－x2＝－
（x－1）2＋1≤1，所以a≥1，所以a的取值范围是[1，＋∞）.
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6. （多选）下列函数中，在（0，＋∞）内为增函数的是（ ）
A. y＝ sin x B. y＝xex
C. y＝x3＋x D. y＝ln x－x
解析： B项中，y＝xex，y'＝ex＋xex＝ex（1＋x），当x∈
（0，＋∞）时，y'＞0，∴y＝xex在（0，＋∞）内为增函数；对
于选项C，y'＝3x2＋1＞0，∴y＝x3＋x在（0，＋∞）内为增函数.
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7. 函数y＝ 的单调递减区间是 .
解析：函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），y'＝ ＝
，令y'＜0，得x＜1，且x≠0.故函数的单调递减区间是
（－∞，0）和（0，1）.
（－∞，0）和（0，1）
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8. 已知函数f（x）＝x3－ax－1，若f（x）在（－1，1）上单调递
减，则a的取值范围为 .
解析：∵f（x）＝x3－ax－1，∴f'（x）＝3x2－a.要使f（x）在
（－1，1）上单调递减，则f'（x）≤0在x∈（－1，1）上恒成
立，故a≥3x2在x∈（－1，1）上恒成立，在x∈（－1，1）上，
3x2＜3，即a≥3，∴a的取值范围为[3，＋∞）.
[3，＋∞）
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9. 如图为函数f（x）的图象，f'（x）为函数f（x）的导函数，则不
等式 ＜0的解集为 .
解析：由题图知，当x∈（－∞，－3）∪（－1，1）时，f'（x）
＜0，当x∈（－3，－1）∪（1，＋∞）时，f'（x）＞0，故不等
式 ＜0的解集为（－3，－1）∪（0，1）.
（－3，－1）∪（0，1）
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10. 已知二次函数h（x）＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h'（x）的图象
如图，f（x）＝6ln x＋h（x）.
（1）求函数f（x）的解析式；
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解： 由已知，h'（x）＝2ax＋b，
其图象为直线，且过（0，－8），（4，0）两点，
把两点坐标代入h'（x）＝2ax＋b，解得
∴h（x）＝x2－8x＋2，h'（x）＝2x－8，
∴f（x）＝6ln x＋x2－8x＋2.
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（2）求f（x）的单调区间.
解：∵f'（x）＝ ＋2x－8＝
（x＞0）.
∴当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （0，1] （1，3] （3，＋∞）
f'（x） ＋ － ＋
f（x） 单调递增 单调递减 单调递增
∴f（x）的单调递增区间为（0，1]和（3，＋∞），
f（x）的单调递减区间为（1，3].
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11. （多选）若函数exf（x）在f（x）的定义域上单调递增，则称函
数f（x）具有M性质.下列函数中具有M性质的增函数是（ ）
A. f（x）＝2－x B. f（x）＝3－x
C. f（x）＝x3 D. f（x）＝x2＋2
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解析： 对于A，exf（x）＝ex·2－x＝ ，在R上为增函
数，故A符合要求；
对于B，exf（x）＝ex·3－x＝ ，在R上为减函数，故B不符
合要求；
对于C，exf（x）＝ex·x3，故[exf（x）]'＝（ex·x3）'＝ex·（x3
＋3x2），显然函数exf（x）＝ex·x3在R上不单调，故C不符合
要求；
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对于D，exf（x）＝ex·（x2＋2），故[exf（x）]'＝[ex·（x2＋2）]'
＝ex·（x2＋2x＋2）＝ex·[（x＋1）2＋1]＞0，故函数exf（x）＝
ex·（x2＋2）在R上为增函数，故D符合要求，故选A、D.
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12. 已知函数f（x）＝ax3＋bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点
M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直.则实数a＝ ；若函数f
（x）在区间[m，m＋1]上单调递增，则m的取值范围为
.
解析：因为函数f（x）＝ax3＋bx2的图象经过点M（1，4），所
以a＋b＝4. ①
f'（x）＝3ax2＋2bx，则f'（1）＝3a＋2b.
由条件f'（1）· ＝－1，即3a＋2b＝9. ②
1
m≥0
或m≤－3
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由①②解得a＝1，b＝3.
f（x）＝x3＋3x2，则f'（x）＝3x2＋6x.令f'（x）＝3x2＋
6x≥0，得x≥0或x≤－2.因为函数f（x）在区间[m，m＋1]上
单调递增，所以[m，m＋1] （－∞，－2]∪[0，＋∞），所以
m≥0或m＋1≤－2，所以m≥0或m≤－3.
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13. 已知函数f（x）＝aln x－ax－3（a∈R）.
（1）求函数f（x）的单调区间；
解：根据题意知，f'（x）＝ （x＞0），
当a＞0时，则当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，
＋∞）时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为
（0，1），单调递减区间为（1，＋∞）；
同理，当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（1，＋∞），
单调递减区间为（0，1）；
当a＝0时，f（x）＝－3，不是单调函数，无单调区间.
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（2）当a＝－1时，证明：当x∈（1，＋∞）时，f（x）＋2＞
0.
解：证明：当a＝－1时，f（x）＝－ln x＋x－3，
所以f（1）＝－2，
由（1）知f（x）＝－ln x＋x－3在（1，＋∞）上单调递
增，
所以当x∈（1，＋∞）时，f（x）＞f（1），
即f（x）＞－2，所以f（x）＋2＞0.
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14. （多选）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）＝f（2－
x），且（x－1）f'（x）＜0，若a＝f（0），b＝f ，c＝f
（3），则a，b，c的大小关系正确的有（ ）
A. b＞a B. c＞b
C. b＞c D. c＞a
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解析： 由f（x）＝f（2－x）得f（x＋1）＝f（1－x），
则函数关于x＝1对称，当x＞1时，由（x－1）f'（x）＜0得f'
（x）＜0，函数单调递减；当x＜1时，由（x－1）f'（x）＜0得
f'（x）＞0，函数单调递增.又a＝f（0）＝f（2），b＝f ＝
f ，c＝f（3），故b＞a＞c.故选A、C.
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15. 已知函数f（x）＝a（x－1）－ln x，g（x）＝ex.
（1）讨论y＝f（x）的单调性；
解：y＝f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ ，
当a≤0时，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，
所以y＝f（x）在（0，＋∞）上单调递减.
当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ ，
当f'（x）＜0时，0＜x＜ ，当f'（x）＞0时，x＞ ，
则y＝f（x）在 上单调递减，在 上单调递增.
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（2）若函数F（x）＝f（x）·g（x）在[1，＋∞）上单调递
增，求实数a的取值范围.
解：F（x）＝[a（x－1）－ln x]·ex，
由题意知F'（x）＝ ·ex≥0在[1，＋∞）上恒
成立，
所以ax－ln x－ ≥0在[1，＋∞）上恒成立.
令h（x）＝ax－ln x－ ，则至少有h（1）≥0 a－
1≥0 a≥1（经检验a＝1符合题意）.
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当a≥1时，有h'（x）＝a－ ＋ ＝ .
令φ（x）＝ax2－x＋1，其图象开口向上，对称轴方程为x
＝ ∈ ，
故φ（x）在[1，＋∞）上单调递增，所以φ（x）≥φ（1）
＝a＞0，
所以h'（x）＞0，所以h（x）在[1，＋∞）上单调递增.
综上，实数a的取值范围为[1，＋∞）.
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