第二课时 函数最值的求法
1.已知函数f（x）＝x2＋ln x，则函数f（x）在[1，e]上的最大值为（ ）
A. B.
C. D.＋1
2.函数f（x）＝2＋，x∈（0，5]的最小值为（ ）
A.2 B.3
C. D.2＋
3.函数f（x）＝x3－3ax－a在（0，1）内有最小值，则a的取值范围为（ ）
A.[0，1） B.（0，1）
C.（－1，1） D.
4.若函数f（x）＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为（ ）
A.－10 B.－71
C.－15 D.－22
5.已知函数f（x）＝－x3－ax在（－∞，－1]上单调递减，且g（x）＝x2－在区间（1，2]上既有最大值，又有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A.a＞－2 B.a≥－3
C.－3≤a＜－2 D.－3≤a≤－2
6.（多选）已知函数f（x）＝x3＋x2－2在区间（a－2，a＋3）上存在最小值，则整数a可以取（ ）
A.－2 B.－1
C.0 D.1
7.当x∈[－1，1]时，函数f（x）＝的值域是 .
8.若函数f（x）＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝ .
9.设函数f（x）＝x2ex，若当x∈[－2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，则实数m的取值范围是 .
10.已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y＝3x＋1.
（1）求a，b的值；
（2）求y＝f（x）在[－3，1]上的最大值.
11.（多选）已知函数f（x）＝x3－4x＋2，下列说法中正确的有（ ）
A.函数f（x）的极大值为，极小值为－
B.当x∈[3，4]时，函数f（x）的最大值为，最小值为－
C.函数f（x）的单调递减区间为[－2，2]
D.曲线y＝f（x）在点（0，2）处的切线的方程为y＝－4x＋2
12.已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a，2]上的最大值为，则a＝ .
13.已知函数f（x）＝ax4ln x＋bx4－c（x＞0）在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数.若对任意x＞0，不等式f（x）≥－2c2恒成立，求c的取值范围.
14.设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝ln x的图象分别交于点M，N，则当｜MN｜达到最小值时t的值为（ ）
A.1 B.
C. D.
15.已知函数f（x）＝ax2＋bx－ln x（a，b∈R）.
（1）当a＝－1，b＝3时，求函数f（x）在上的最大值和最小值；
（2）当a＝0时，是否存在正实数b，使x∈（0，e]时，函数f（x）的最小值是3？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由.
第二课时 函数最值的求法
1.D 因为函数f（x）＝x2＋ln x，则f'（x）＝x＋，显然在[1，e]上f'（x）＞0，故函数f（x）单调递增，故f（x）max＝f（e）＝e2＋ln e＝＋1.
2.B 由f'（x）＝－＝＝0，得x＝1，且x∈（0，1）时，f'（x）＜0，x∈（1，5]时，f'（x）＞0，所以x＝1时，f（x）取得极小值且为最小值，故最小值为f（1）＝3.
3.B ∵f'（x）＝3x2－3a，令f'（x）＝0，可得a＝x2，又∵x∈（0，1），∴0＜a＜1.故选B.
4.B f'（x）＝3x2－6x－9＝3（x－3）（x＋1）.由f'（x）＝0，得x＝3或x＝－1.又因为f（－4）＝k－76，f（3）＝k－27，f（－1）＝k＋5，f（4）＝k－20.由f（x）max＝k＋5＝10，得k＝5，所以f（x）min＝k－76＝－71.
5.C 因为函数f（x）＝－x3－ax在（－∞，－1]上单调递减，所以f'（x）＝－3x2－a≤0对于一切x∈（－∞，－1]恒成立，得－3x2≤a，所以a≥－3.又因为g（x）＝x2－在区间（1，2]上既有最大值，又有最小值，所以可知g'（x）＝2x＋在（1，2）上有零点，也就是极值点，即2x＋＝0有解，解得a＝－2x3，可得－16＜a＜－2，所以－3≤a＜－2.
6.BCD f'（x）＝x2＋2x＝x（x＋2），f'（x）＝0时，x＝－2或x＝0，当x＜－2或x＞0时，f'（x）＞0，当－2＜x＜0时，f'（x）＜0，所以函数的单调递增区间是（－∞，－2）和（0，＋∞），函数的单调递减区间是（－2，0），所以函数的极大值点是－2，极小值点是0，且f（0）＝－2，那么当x3＋x2－2＝－2，解得x＝0或x＝－3，所以函数在区间（a－2，a＋3）上存在最小值，则解得－1≤a＜2.故选B、C、D.
7.[0，e] 解析：由f'（x）＝＝＝0，得x＝0或2（舍去），f（－1）＝e，f（0）＝0，f（1）＝，所以f（x）的值域为[0，e].
8.20 解析：∵f'（x）＝3x2－3，∴当x＞1或x＜－1时，f'（x）＞0；当－1＜x＜1时，f'（x）＜0.∴f（x）在[0，1）上单调递减，在（1，3]上单调递增.∴f（x）min＝f（1）＝1－3－a＝－2－a＝n.又∵f（0）＝－a，f（3）＝18－a，∴f（0）＜f（3）.∴f（x）max＝f（3）＝18－a＝m，∴m－n＝18－a－（－2－a）＝20.
9.（－∞，0） 解析：f'（x）＝xex＋x2ex＝·x（x＋2），令f'（x）＝0得x＝0或x＝－2.当x∈[－2，2]时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x －2 （－2，0） 0 （0，2） 2
f'（x） 0 － 0 ＋
f（x） 单调递减 极小值0 单调递增
∴当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝0，要使f（x）＞m对x∈[－2，2]恒成立，只需m＜f（x）min，∴m＜0.
10.解：（1）依题意可知点P（1，f（1））为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f（1）＝3×1＋1＝4，
∴f（1）＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，
又由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋5得，
f'（x）＝3x2＋2ax＋b，
而由切线y＝3x＋1的斜率可知f'（1）＝3，
∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，
由解得∴a＝2，b＝－4.
（2）由（1）知f（x）＝x3＋2x2－4x＋5，
f'（x）＝3x2＋4x－4＝（3x－2）（x＋2），
令f'（x）＝0，得x＝或x＝－2.
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：
x －3 （－3，－2） －2 1
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 8 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 4
∴f（x）的极大值为f（－2）＝13，极小值为f＝，
又∵f（－3）＝8，f（1）＝4，
∴f（x）在[－3，1]上的最大值为13.
11.ACD f（x）定义域为R，f'（x）＝x2－4.令f'（x）＝0，得x＝－2或x＝2，所以f（x）在（－∞，－2）和（2，＋∞）上单调递增，在[－2，2]上单调递减，故C正确；f（x）极大值＝f（－2）＝×（－2）3－4×（－2）＋2＝，f（x）极小值＝f（2）＝×23－4×2＋2＝－，故A正确；当x∈[3，4]时，函数f（x）单调递增，f（3）＝×33－4×3＋2＝－1，f（4）＝×43－4×4＋2＝，所以当x∈[3，4]时，f（x）的最大值为，最小值为－1，故B不正确；f'（0）＝－4，曲线在点（0，2）处的切线的方程为y－2＝－4（x－0），即y＝－4x＋2，故D正确.
12.－ 解析：y'＝－2x－2，令y'＝0，得x＝－1，∴函数在（－∞，－1）上单调递增，在（－1，＋∞）上单调递减.若－1＜a＜2，则最大值为f（a）＝－a2－2a＋3＝，解得a＝－；若a≤－1，则最大值为f（－1）＝－1＋2＋3＝4≠.综上知，a＝－.
13.解：f'（x）＝4ax3ln x＋ax4×＋4bx3
＝x3（4aln x＋a＋4b）.
∵函数f（x）在x＝1处取得极值－3－c，
∴
即解得a＝12，b＝－3.
∴f'（x）＝48x3ln x（x＞0），
令f'（x）＝0，解得x＝0或x＝1.
∵x＞0，∴x＝1.
当x变化时，f'（x）及f（x）的变化情况如下表：
x （0，1） 1 （1，＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） ↘ －3－c ↗
∴当x＝1时，f（x）有极小值为－3－c，
并且该极小值为函数的最小值.
∴要使对任意x＞0，不等式f（x）≥－2c2恒成立，
只需－3－c≥－2c2即可.
整理得2c2－c－3≥0.解得c≥或c≤－1.
∴c的取值范围为（－∞，－1]∪.
14.D 因为f（x）的图象始终在g（x）的上方，所以｜MN｜＝f（x）－g（x）＝x2－ln x，设h（x）＝x2－ln x，则h'（x）＝2x－＝，令h'（x）＝＝0，得x＝或x＝－（舍去），所以h（x）在上单调递减，在上单调递增，所以当x＝时有最小值，故t＝.
15.解：（1）当a＝－1，b＝3时，f（x）＝－x2＋3x－ln x，且x∈，
f'（x）＝－2x＋3－＝－＝－.
当＜x＜1时，f'（x）＞0；当1＜x＜2时，f'（x）＜0，
所以函数f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，
所以函数f（x）在区间上仅有极大值点x＝1，
故这个极大值点也是最大值点，
即函数在上的最大值是f（1）＝2.
又f（2）－f＝（2－ln 2）－＝－2ln 2＝－ln 4＜0，
所以f（2）＜f，
故函数f（x）在上的最小值为f（2）＝2－ln 2.
（2）存在.
当a＝0时，f（x）＝bx－ln x，得f'（x）＝b－＝.
①当0＜b≤，即≥e，x∈（0，e]时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
f（x）min＝f（e）＝be－1＜0，不合题意；
②当b＞，即0＜＜e，x∈时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）min＝f＝1＋ln b＝3，得b＝e2.
综上所述，存在实数b＝e2使得函数f（x）的最小值是3.
2 / 2第二课时 函数最值的求法
观察如图所示的函数y＝f（x），x∈[－3，2]的图象，回忆函数极值的定义，回答下列问题.
【问题】 （1）图中所示函数的极值点与极值分别是什么？
（2）图中所示函数最值点与最值分别是什么？
知识点一 函数的最值点与极值点的关系
1.如果函数y＝f（x）在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个 .
2.如果函数y＝f（x）的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f（x）在（a，b）内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是 .
【想一想】
在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间（a，b）上呢？
知识点二 函数极值与最值之间的关系
1.函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念.
2.函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较 附近的函数值得出的，函数的极值可以有 ，但最值只能有一个.
3.极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值.
1.函数f（x）＝2x＋sin x在区间[0，π]上的（ ）
A.最小值为0，最大值为π＋1
B.最小值为0，最大值为2π
C.最小值为π＋1，最大值为2π
D.最小值为0，最大值为2
2.函数f（x）＝3x＋sin x在x∈[0，π]上的最小值为 .
3.已知f（x）＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f（x）的极大值，求m的取值范围.
题型一 求函数的最值
【例1】 （1）函数f（x）＝｜2x－1｜－2ln x的最小值为 ；
（2）已知函数f（x）＝＋ln x，求f（x）在上的最大值和最小值.
尝试解答
通性通法
求函数最值的基本思路
（1）从极值点和端点处找最值：求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值；
（2）单调区间取端点：当图象连续不断的函数f（x）在[a，b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.
【跟踪训练】
函数y＝x＋2cos x在上取最大值时，x的值为（ ）
A.0 B.
C. D.
题型二 含参数的最值问题
【例2】 已知函数f（x）＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数.设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若a＝1，b＝－2，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值.
通性通法
1.含参数的函数最值问题的两类情况
（1）能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题；
（2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.
2.已知函数最值求参数值（范围）的思路
已知函数在某区间上的最值求参数的值（范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围.
【跟踪训练】
若函数f（x）＝ax－ln x在区间（0，e]上的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A.e2 B.2e
C. D.
题型三 与最值有关的恒成立问题
【例3】 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值.
（1）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
（2）若对x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）若将本例中条件“若对x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立”改为“若存在x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2成立”，结果如何？
2.（变条件）若本例中的条件“x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立”换为“x∈[－2，0]，不等式f（x）＞－c恒成立”，求c的取值范围.
通性通法
恒成立问题向最值转化的方法
（1）要使不等式f（x）＜h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f（x）的最大值f（x）max，只要h＞f（x）max，则上面的不等式恒成立；
（2）要使不等式f（x）＞h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f（x）的最小值f（x）min，只要f（x）min＞h，则不等式f（x）＞h恒成立.
【跟踪训练】
设a∈R，已知函数f（x）＝ax3－3x2.
（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x∈[1，3]，都有f（x）＋f'（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围.
构造函数证明（求解）不等式
1.证明：当x＞0时，ln（1＋x）＜x.
2.利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证.
（1）ex＞1＋x，x≠0；（2）ln x＜x＜ex，x＞0.
【问题探究】
利用导数证明不等式（或求解不等式）关键是构造函数，构造的函数类型有如下几种：
（1）对于f'（x）＞g'（x），构造h（x）＝f（x）－g（x），更一般地，遇到f'（x）＞a（a≠0），即导函数大于某个非零常数（若a＝0，则无需构造），则可构造h（x）＝f（x）－ax；
（2）对于f'（x）＋g'（x）＞0，构造h（x）＝f（x）＋g（x）；
（3）对于f'（x）＋f（x）＞0，构造h（x）＝exf（x）；
（4）对于f'（x）－f（x）＞0，构造h（x）＝；
（5）对于xf'（x）＋f（x）＞0，构造h（x）＝xf（x）；
（6）对于xf'（x）－f（x）＞0，构造h（x）＝；
（7）对于＞0，分类讨论：①若f（x）＞0，则构造h（x）＝lnf（x）；②若f（x）＜0，则构造h（x）＝ln [－f（x）].
【迁移应用】
1.函数f（x）的定义域是R，f（0）＝2，对任意的x∈R，f（x）＋f'（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex＋1的解集是（ ）
A.{x｜x＞0}
B.{x｜x＜0}
C.{x｜x＜－1或x＞1}
D.{x｜x＜－1或0＜x＜1}
2.若定义在R上的函数y＝f（x）满足f'（x）＞f（x），则当a＞0时，f（a）与eaf（0）的大小关系为（ ）
A.f（a）＜eaf（0） B.f（a）＞eaf（0）
C.f（a）＝eaf（0） D.不能确定
3.证明不等式x－sin x＜tan x－x，x∈成立.
1.函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2，1]上的最大值、最小值分别是（ ）
A.12，－8 B.1，－8
C.12，－15 D.5，－16
2.若函数f（x）＝asin x＋sin 3x在x＝处有最值，则a＝（ ）
A.2 B.1 C. D.0
3.设函数f（x）＝x3－－2x＋5，若对任意x∈[－1，2]，都有f（x）＞m，则实数m的取值范围是 .
4.函数f（x）＝x－sin x，x∈[0，π]的最小值为 .
5.设f（x）＝－x3＋x2＋2ax.当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为－，求f（x）在该区间上的最大值.
第二课时 函数最值的求法
【基础知识·重落实】
知识点一
1.极值点 2.极值点
想一想
提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.如果函数f（x）在[a，b]上是单调的，此时f（x）在[a，b]上无极值；如果f（x）在[a，b]上不是单调函数，则f（x）在[a，b]上有极值.当f（x）在（a，b）上为单调函数时，它既没有最值也没有极值.
知识点二
2.极值点 多个
自我诊断
1.B f'（x）＝2＋cos x＞0，所以f（x）在区间[0，π]上单调递增，因此f（x）的最小值为f（0）＝0，最大值为f（π）＝2π.
2.1 解析：由题意得f'（x）＝3xln 3＋cos x，当x∈[0，π]时，f'（x）＞0，所以f（x）在x∈[0，π]上单调递增，所以f（x）在[0，π]上的最小值为f（0）＝1.
3.解：由题意可知x＝为函数的极大值点，且－2＜＜－1，解得－4＜m＜－2.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）1 解析：函数f（x）＝｜2x－1｜－2ln x的定义域为（0，＋∞）.①当x＞时，f（x）＝2x－1－2ln x，所以f'（x）＝2－＝，当＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0，所以f（x）min＝f（1）＝2－1－2ln 1＝1；②当0＜x≤时，f（x）＝1－2x－2ln x在单调递减，所以f（x）min＝f＝－2ln＝2ln 2＝ln 4＞ln e＝1.综上，f（x）min＝1.
（2）解：f'（x）＝＋＝.
由f'（x）＝0，得x＝1.
所以在上，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：
x 1 （1，2） 2
f'（x） － 0 ＋
f（x） 1－ln 2 单调递减 极小值0 单调 递增 －＋ln 2
因为f－f（2）＝－2ln 2＝（ln e3－ln 16），
而e3＞16，所以f＞f（2）＞0.
所以f（x）在上的最大值为f＝1－ln 2，最小值为f（1）＝0.
跟踪训练
B y'＝1－2sin x，令y'＝0，得sin x＝，∵x∈，∴x＝. 由y'＞0得sin x＜，∴0≤x＜；由y'＜0得sin x＞，∴＜x≤，∴原函数在上单调递增，在上单调递减.当x＝0时，y＝2，当x＝时，y＝，当x＝时，y＝＋，∵＋＞2＞，∴当x＝时取最大值.故选B.
【例2】 解：因为f（x）＝ex－ax2－bx－1，
所以g（x）＝f'（x）＝ex－2ax－b，
又g'（x）＝ex－2a，
因为x∈[0，1]，1≤ex≤e，
所以①若a≤，则2a≤1，g'（x）＝ex－2a≥0，
所以函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min＝g（0）＝1－b.
②若＜a＜，则1＜2a＜e，
于是当0＜x＜ln（2a）时，g'（x）＝ex－2a＜0，
当ln（2a）＜x＜1时，g'（x）＝ex－2a＞0，
所以函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，
在区间[ln（2a），1]上单调递增，
g（x）min＝g（ln（2a））＝2a－2aln（2a）－b.
③若a≥，则2a≥e，g'（x）＝ex－2a≤0，
所以函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，
g（x）min＝g（1）＝e－2a－b.
综上所述，当a≤时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为1－b；
当＜a＜时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为2a－2aln（2a）－b；
当a≥时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为e－2a－b.
母题探究
解：因为a＝1，b＝－2，g（x）＝f'（x）＝ex－2x＋2，
又g'（x）＝ex－2，令g'（x）＝0，
因为x∈[0，1]，解得x＝ln 2，已知当x＝ln 2时，函数取极小值，也是最小值，
故g（x）min＝g（ln 2）＝2－2ln 2＋2＝4－2ln 2.
跟踪训练
A f'（x）＝a－（x＞0）.
（1）当a≤0时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min＝f（e）＝ae－1＝3，解得a＝，矛盾，舍去.
（2）当a＞0时，f'（x）＝.①当0＜a≤时，≥e，此时f'（x）＜0在（0，e]上恒成立，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min＝f（e）＝ae－1＝3，解得a＝，矛盾，舍去.②当a＞时，0＜＜e.当0＜x＜时，f'（x）＜0，所以f（x）在上单调递减，当＜x＜e时，f'（x）＞0，所以f（x）在上单调递增，于是f（x）min＝f＝1＋ln a＝3，解得a＝e2.综上，a＝e2.故选A.
【例3】 解：（1）由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f'（x）＝3x2＋2ax＋b，
因为f'（1）＝3＋2a＋b＝0，f'＝－a＋b＝0，解得a＝－，b＝－2，所以f'（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）·（x－1），
令f'（x）＝0，解得x＝－或x＝1，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：
x － 1 （1，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f（x）的单调递增区间为和（1，＋∞）；单调递减区间为.
（2）由（1）知，f（x）＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1，2]，
当x＝－时，f＝＋c为极大值，
因为f（2）＝2＋c，f（－1）＝＋c，
所以f（2）＝2＋c为最大值.
要使f（x）＜c2（x∈[－1，2]）恒成立，只需c2＞f（2）＝2＋c，
解得c＜－1或c＞2.
故c的取值范围为（－∞，－1）∪（2，＋∞）.
母题探究
1.解：由本例（2）知当x＝1时，f（1）＝c－为极小值，
又f（－1）＝＋c＞c－，
所以f（1）＝c－为最小值.
因为存在x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2成立，
所以只需c2＞f（1）＝c－，即2c2－2c＋3＞0，
解得c∈R.故c的取值范围为R.
2.解：由题意只需x∈[－2，0]时，f（x）min＞－c即可.
由本例可知f（x）在上单调递增，f（x）在上单调递减.
且f（0）＝c，f（－2）＝－6＋c，
所以f（x）min＝f（－2）＝－6＋c，所以－6＋c＞－c，所以c＞3.
故c的取值范围为（3，＋∞）.
跟踪训练
解：（1）当a＝1时，f（x）＝x3－3x2，则f'（x）＝3x2－6x.
由f'（x）＞0，得x＜0或x＞2，由f'（x）＜0，得0＜x＜2，
所以f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（2，＋∞）；单调递减区间为（0，2）.
（2）依题意，对任意的x∈[1，3]，f（x）＋f'（x）＝ax3－3x2＋3ax2－6x≤0恒成立，
这等价于不等式a≤＝对任意的x∈[1，3]恒成立.
令h（x）＝（x∈[1，3]），
则h'（x）＝－＝－＜0，
所以h（x）在区间[1，3]上单调递减，
所以h（x）的最小值为h（3）＝，
所以a≤，即实数a的取值范围是.
拓视野 构造函数证明（求解）不等式
迁移应用
1.A 构造函数g（x）＝exf（x）－ex－1，则g'（x）＝exf（x）＋exf'（x）－ex＝ex[f（x）＋f'（x）－1].由已知f（x）＋f'（x）＞1，可得g'（x）＞0，所以g（x）为R上的增函数.又因为g（0）＝e0f（0）－e0－1＝0，所以当x＞0时，g（x）＞g（0）＝0，即exf（x）＞ex＋1.故不等式exf（x）＞ex＋1的解集为{x｜x＞0}.
2.B 令F（x）＝，则F'（x）＝＝＞0，从而F（x）＝在R上单调递增，于是当a＞0时，F（a）＝＞F（0）＝＝f（0），即f（a）＞eaf（0）.
3.证明：令f（x）＝tan x－2x＋sin x，x∈，
则f'（x）＝'－（2x）'＋（sin x）'
＝－2＋cos x
＝
＝
＝
＝.
∵x∈，∴1－cos x＞0，cos x＋sin2x＞0，
∴f'（x）＞0，∴f（x）在上单调递增，
∴f（x）＞f（0）＝0，即tan x－2x＋sin x＞0，
故不等式x－sin x＜tan x－x，x∈成立.
随堂检测
1.A y'＝6x2－6x－12，由y'＝0解得x＝－1或x＝2（舍去）.x＝－2时，y＝1；x＝－1时，y＝12；x＝1时，y＝－8.所以ymax＝12，ymin＝－8.故选A.
2.A ∵f（x）在x＝处有最值，∴x＝是函数f（x）的极值点.又f'（x）＝acos x＋cos 3x，∴f'＝acos ＋cos π＝0，∴a＝2.
3. 解析：令f'（x）＝3x2－x－2＝0，得x＝1或x＝－.f（－1）＝，f＝，f（1）＝，f（2）＝7，∴m＜.
4.－ 解析：f'（x）＝－cos x，
所以x∈时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
x∈时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
所以f（x）min＝f＝－.
5.解：令f'（x）＝－x2＋x＋2a＝0，
得两根x1＝，x2＝.
所以f（x）在（－∞，x1），（x2，＋∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增.当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，
所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x2）.
又因为f（4）－f（1）＝－＋6a＜0，即f（4）＜f（1），
所以f（x）在[1，4]上的最小值为f（4）＝8a－＝－，
得a＝1，x2＝2，
从而f（x）在[1，4]上的最大值为f（2）＝.
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第二课时 函数最值的求法
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
观察如图所示的函数y＝f（x），x∈[－3，2]的图象，回忆函
数极值的定义，回答下列问题.
【问题】 （1）图中所示函数的极值点与极值分别是什么？
（2）图中所示函数最值点与最值分别是什么？
知识点一 函数的最值点与极值点的关系
1. 如果函数y＝f（x）在定义域内的每一点都可导，且函数存在最
值，则函数的最值点一定是某个 .
2. 如果函数y＝f（x）的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f
（x）在（a，b）内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或
b，要么是 .
极值点
极值点
【想一想】
在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，想
一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间（a，b）上呢？
提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.如果函数f
（x）在[a，b]上是单调的，此时f（x）在[a，b]上无极值；如果f
（x）在[a，b]上不是单调函数，则f（x）在[a，b]上有极值.当f
（x）在（a，b）上为单调函数时，它既没有最值也没有极值.
知识点二 函数极值与最值之间的关系
1. 函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小
值是一个整体性概念.
2. 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数
的极值是比较 附近的函数值得出的，函数的极值可以
有 ，但最值只能有一个.
3. 极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必
有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端
点处取得时必定是极值.
极值点
多个
1. 函数f（x）＝2x＋ sin x在区间[0，π]上的（ ）
A. 最小值为0，最大值为π＋1
B. 最小值为0，最大值为2π
C. 最小值为π＋1，最大值为2π
D. 最小值为0，最大值为2
解析： f'（x）＝2＋ cos x＞0，所以f（x）在区间[0，π]上单
调递增，因此f（x）的最小值为f（0）＝0，最大值为f（π）＝
2π.
2. 函数f（x）＝3x＋ sin x在x∈[0，π]上的最小值为 .
解析：由题意得f'（x）＝3xln 3＋ cos x，当x∈[0，π]时，f'（x）
＞0，所以f（x）在x∈[0，π]上单调递增，所以f（x）在[0，π]
上的最小值为f（0）＝1.
3. 已知f（x）＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函
数f（x）的极大值，求m的取值范围.
解：由题意可知x＝ 为函数的极大值点，且－2＜ ＜－1，解得
－4＜m＜－2.
1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求函数的最值
【例1】 （1）函数f（x）＝｜2x－1｜－2ln x的最小值为 ；
解析：函数f（x）＝｜2x－1｜－2ln x的定义域为（0，＋∞）.
1
①当x＞ 时，f（x）＝2x－1－2ln x，所以f'（x）＝2－ ＝
，当 ＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞
0，所以f（x）min＝f（1）＝2－1－2ln 1＝1；
②当0＜x≤ 时，f（x）＝1－2x－2ln x在 单调递减，
所以f（x）min＝f ＝－2ln ＝2ln 2＝ln 4＞ln e＝1.
综上，f（x）min＝1.
（2）已知函数f（x）＝ ＋ln x，求f（x）在 上的最大值和
最小值.
解：f'（x）＝ ＋ ＝ .
由f'（x）＝0，得x＝1.
所以在 上，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：
x 1 （1，2） 2
f'（x） － 0 ＋
f（x） 1－ln 2 单调递减 极小值0 单调递增 － ＋ln 2
因为f －f（2）＝ －2ln 2＝ （ln e3－ln 16），
而e3＞16，所以f ＞f（2）＞0.
所以f（x）在 上的最大值为f ＝1－ln 2，最小值为f
（1）＝0.
通性通法
求函数最值的基本思路
（1）从极值点和端点处找最值：求函数的最值需先确定函数的极
值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是
极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大
值和最小值；
（2）单调区间取端点：当图象连续不断的函数f（x）在[a，b]上单
调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.
【跟踪训练】
函数y＝x＋2 cos x在 上取最大值时，x的值为（ ）
A. 0 B.
C. D.
解析： y'＝1－2 sin x，令y'＝0，得 sin x＝ ，∵x∈ ，∴x
＝ . 由y'＞0得 sin x＜ ，∴0≤x＜ ；由y'＜0得 sin x＞ ，∴ ＜
x≤ ，∴原函数在 上单调递增，在 上单调递减.当x＝
0时，y＝2，当x＝ 时，y＝ ，当x＝ 时，y＝ ＋ ，∵ ＋
＞2＞ ，∴当x＝ 时取最大值.故选B.
题型二 含参数的最值问题
【例2】 已知函数f（x）＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝
2.718 28…为自然对数的底数.设g（x）是函数f（x）的导函数，求
函数g（x）在区间[0，1]上的最小值.
解：因为f（x）＝ex－ax2－bx－1，
所以g（x）＝f'（x）＝ex－2ax－b，
又g'（x）＝ex－2a，
因为x∈[0，1]，1≤ex≤e，
所以①若a≤ ，则2a≤1，g'（x）＝ex－2a≥0，
所以函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min＝g（0）＝1
－b.
②若 ＜a＜ ，则1＜2a＜e，
于是当0＜x＜ln（2a）时，g'（x）＝ex－2a＜0，
当ln（2a）＜x＜1时，g'（x）＝ex－2a＞0，
所以函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，
在区间[ln（2a），1]上单调递增，
g（x）min＝g（ln（2a））＝2a－2aln（2a）－b.
③若a≥ ，则2a≥e，g'（x）＝ex－2a≤0，
所以函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，
g（x）min＝g（1）＝e－2a－b.
综上所述，当a≤ 时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为1－b；
当 ＜a＜ 时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为2a－2aln（2a）
－b；
当a≥ 时，g（x）在区间[0，1]上的最小值为e－2a－b.
【母题探究】
（变条件）若a＝1，b＝－2，求函数g（x）在区间[0，1]上的最
小值.
解：因为a＝1，b＝－2，
g（x）＝f'（x）＝ex－2x＋2，
又g'（x）＝ex－2，令g'（x）＝0，
因为x∈[0，1]，解得x＝ln 2，已知当x＝ln 2时，函数取极小值，也
是最小值，
故g（x）min＝g（ln 2）＝2－2ln 2＋2＝4－2ln 2.
通性通法
1. 含参数的函数最值问题的两类情况
（1）能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问
题；
（2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质
是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不
等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取
得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点
值比较后确定最值.
2. 已知函数最值求参数值（范围）的思路
已知函数在某区间上的最值求参数的值（范围）是求函数最值的逆
向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用
参数表示出最值后求参数的值或范围.
【跟踪训练】
若函数f（x）＝ax－ln x在区间（0，e]上的最小值为3，则实数a
的值为（ ）
A. e2 B. 2e
C. D.
解析： f'（x）＝a－ （x＞0）.
（1）当a≤0时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f
（x）min＝f（e）＝ae－1＝3，解得a＝ ，矛盾，舍去.
（2）当a＞0时，f'（x）＝ .①当0＜a≤ 时， ≥e，此时f'
（x）＜0在（0，e]上恒成立，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f
（x）min＝f（e）＝ae－1＝3，解得a＝ ，矛盾，舍去.②当a＞
时，0＜ ＜e.当0＜x＜ 时，f'（x）＜0，所以f（x）在 上
单调递减，当 ＜x＜e时，f'（x）＞0，所以f（x）在 上单调
递增，于是f（x）min＝f ＝1＋ln a＝3，解得a＝e2.综上，a＝e2.
故选A.
题型三 与最值有关的恒成立问题
【例3】 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－ 与x＝1处都
取得极值.
（1）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
解：由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f'（x）＝3x2＋2ax＋b，
因为f'（1）＝3＋2a＋b＝0，f' ＝ － a＋b＝0，解得a
＝－ ，b＝－2，
所以f'（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），
令f'（x）＝0，解得x＝－ 或x＝1，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：
x － 1 （1，＋
∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f（x）的单调递增区间为 和（1，＋∞）；
单调递减区间为 .
（2）若对x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范
围.
解：由（1）知，f（x）＝x3－ x2－2x＋c，x∈[－1，2]，
当x＝－ 时，f ＝ ＋c为极大值，
因为f（2）＝2＋c，f（－1）＝ ＋c，
所以f（2）＝2＋c为最大值.
要使f（x）＜c2（x∈[－1，2]）恒成立，只需c2＞f（2）＝2
＋c，
解得c＜－1或c＞2.
故c的取值范围为（－∞，－1）∪（2，＋∞）.
【母题探究】
1. （变条件）若将本例中条件“若对x∈[－1，2]，不等式f（x）＜
c2恒成立”改为“若存在x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2成
立”，结果如何？
解：由本例（2）知当x＝1时，f（1）＝c－ 为极小值，
又f（－1）＝ ＋c＞c－ ，
所以f（1）＝c－ 为最小值.
因为存在x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2成立，
所以只需c2＞f（1）＝c－ ，即2c2－2c＋3＞0，
解得c∈R. 故c的取值范围为R.
2. （变条件）若本例中的条件“x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2恒
成立”换为“x∈[－2，0]，不等式f（x）＞－c恒成立”，求c
的取值范围.
解：由题意只需x∈[－2，0]时，f（x）min＞－c即可.
由本例可知f（x）在 上单调递增，f（x）在 上
单调递减.
且f（0）＝c，f（－2）＝－6＋c，
所以f（x）min＝f（－2）＝－6＋c，
所以－6＋c＞－c，所以c＞3.
故c的取值范围为（3，＋∞）.
通性通法
恒成立问题向最值转化的方法
（1）要使不等式f（x）＜h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间
[m，n]上求出函数f（x）的最大值f（x）max，只要h＞f
（x）max，则上面的不等式恒成立；
（2）要使不等式f（x）＞h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间
[m，n]上求出函数f（x）的最小值f（x）min，只要f（x）min
＞h，则不等式f（x）＞h恒成立.
【跟踪训练】
设a∈R，已知函数f（x）＝ax3－3x2.
（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；
解：当a＝1时，f（x）＝x3－3x2，则f'（x）＝3x2－6x.
由f'（x）＞0，得x＜0或x＞2，由f'（x）＜0，得0＜x＜2，
所以f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（2，＋∞）；单
调递减区间为（0，2）.
（2）若对任意的x∈[1，3]，都有f（x）＋f'（x）≤0恒成立，求实
数a的取值范围.
解：依题意，对任意的x∈[1，3]，f（x）＋f'（x）＝
ax3－3x2＋3ax2－6x≤0恒成立，
这等价于不等式a≤ ＝ 对任意的x∈[1，3]恒成立.
令h（x）＝ （x∈[1，3]），
则h'（x）＝－ ＝－ ＜0，
所以h（x）在区间[1，3]上单调递减，
所以h（x）的最小值为h（3）＝ ，
所以a≤ ，即实数a的取值范围是 .
构造函数证明（求解）不等式
1. 证明：当x＞0时，ln（1＋x）＜x.
2. 利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证.
（1）ex＞1＋x，x≠0；（2）ln x＜x＜ex，x＞0.
【问题探究】
利用导数证明不等式（或求解不等式）关键是构造函数，构造的函
数类型有如下几种：
（1）对于f'（x）＞g'（x），构造h（x）＝f（x）－g（x），更一
般地，遇到f'（x）＞a（a≠0），即导函数大于某个非零常数
（若a＝0，则无需构造），则可构造h（x）＝f（x）－ax；
（2）对于f'（x）＋g'（x）＞0，构造h（x）＝f（x）＋g（x）；
（3）对于f'（x）＋f（x）＞0，构造h（x）＝exf（x）；
（4）对于f'（x）－f（x）＞0，构造h（x）＝ ；
（5）对于xf'（x）＋f（x）＞0，构造h（x）＝xf（x）；
（6）对于xf'（x）－f（x）＞0，构造h（x）＝ ；
（7）对于 ＞0，分类讨论：①若f（x）＞0，则构造h（x）＝
lnf（x）；②若f（x）＜0，则构造h（x）＝ln [－f（x）].
【迁移应用】
1. 函数f（x）的定义域是R，f（0）＝2，对任意的x∈R，f（x）＋
f'（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex＋1的解集是（ ）
A. {x｜x＞0}
B. {x｜x＜0}
C. {x｜x＜－1或x＞1}
D. {x｜x＜－1或0＜x＜1}
解析： 构造函数g（x）＝exf（x）－ex－1，则g'（x）＝exf
（x）＋exf'（x）－ex＝ex[f（x）＋f'（x）－1].由已知f（x）＋
f'（x）＞1，可得g'（x）＞0，所以g（x）为R上的增函数.又因
为g（0）＝e0f（0）－e0－1＝0，所以当x＞0时，g（x）＞g
（0）＝0，即exf（x）＞ex＋1.故不等式exf（x）＞ex＋1的解集
为{x｜x＞0}.
2. 若定义在R上的函数y＝f（x）满足f'（x）＞f（x），则当a＞0
时，f（a）与eaf（0）的大小关系为（ ）
A. f（a）＜eaf（0） B. f（a）＞eaf（0）
C. f（a）＝eaf（0） D. 不能确定
解析： 令F（x）＝ ，则F'（x）＝ ＝
＞0，从而F（x）＝ 在R上单调递增，于是当a
＞0时，F（a）＝ ＞F（0）＝ ＝f（0），即f（a）
＞eaf（0）.
3. 证明不等式x－ sin x＜tan x－x，x∈ 成立.
证明：令f（x）＝tan x－2x＋ sin x，x∈ ，
则f'（x）＝ '－（2x）'＋（ sin x）'
＝ －2＋ cos x
＝ ＝
＝
＝ .
∵x∈ ，∴1－ cos x＞0， cos x＋ sin 2x＞0，
∴f'（x）＞0，∴f（x）在 上单调递增，
∴f（x）＞f（0）＝0，即tan x－2x＋ sin x＞0，
故不等式x－ sin x＜tan x－x，x∈ 成立.
1. 函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2，1]上的最大值、最小值分别是
（ ）
A. 12，－8 B. 1，－8
C. 12，－15 D. 5，－16
解析： y'＝6x2－6x－12，由y'＝0解得x＝－1或x＝2（舍
去）.x＝－2时，y＝1；x＝－1时，y＝12；x＝1时，y＝－8.所
以ymax＝12，ymin＝－8.故选A.
2. 若函数f（x）＝a sin x＋ sin 3x在x＝ 处有最值，则a＝（ ）
A. 2 B. 1
C. D. 0
解析： ∵f（x）在x＝ 处有最值，∴x＝ 是函数f（x）的极
值点.又f'（x）＝a cos x＋ cos 3x，∴f' ＝a cos ＋ cos π＝0，
∴a＝2.
3. 设函数f（x）＝x3－ －2x＋5，若对任意x∈[－1，2]，都有f
（x）＞m，则实数m的取值范围是 .
解析：令f'（x）＝3x2－x－2＝0，得x＝1或x＝－ .f（－1）＝
，f ＝ ，f（1）＝ ，f（2）＝7，∴m＜ .
4. 函数f（x）＝ x－ sin x，x∈[0，π]的最小值为 － .
解析：f'（x）＝ － cos x，所以x∈ 时，f'（x）＜0，f
（x）单调递减；x∈ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
所以f（x）min＝f ＝ － .
－
5. 设f（x）＝－ x3＋ x2＋2ax.当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上
的最小值为－ ，求f（x）在该区间上的最大值.
解：令f'（x）＝－x2＋x＋2a＝0，
得两根x1＝ ，x2＝ .
所以f（x）在（－∞，x1），（x2，＋∞）上单调递减，在（x1，
x2）上单调递增.当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，
所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x2）.
又因为f（4）－f（1）＝－ ＋6a＜0，
即f（4）＜f（1），
所以f（x）在[1，4]上的最小值为f（4）＝8a－ ＝－ ，
得a＝1，x2＝2，
从而f（x）在[1，4]上的最大值为f（2）＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数f（x）＝ x2＋ln x，则函数f（x）在[1，e]上的最大值
为（ ）
A. B.
C. D. ＋1
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解析： 因为函数f（x）＝ x2＋ln x，则f'（x）＝x＋ ，显然
在[1，e]上f'（x）＞0，故函数f（x）单调递增，故f（x）max＝f
（e）＝ e2＋ln e＝ ＋1.
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2. 函数f（x）＝2 ＋ ，x∈（0，5]的最小值为（ ）
A. 2 B. 3
C. D. 2 ＋
解析： 由f'（x）＝ － ＝ ＝0，得x＝1，且x∈（0，
1）时，f'（x）＜0，x∈（1，5]时，f'（x）＞0，所以x＝1时，f
（x）取得极小值且为最小值，故最小值为f（1）＝3.
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3. 函数f（x）＝x3－3ax－a在（0，1）内有最小值，则a的取值范
围为（ ）
A. [0，1） B. （0，1）
C. （－1，1） D.
解析： ∵f'（x）＝3x2－3a，令f'（x）＝0，可得a＝x2，又
∵x∈（0，1），∴0＜a＜1.故选B.
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4. 若函数f（x）＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为
10，则其最小值为（ ）
A. －10 B. －71
C. －15 D. －22
解析： f'（x）＝3x2－6x－9＝3（x－3）（x＋1）.由f'（x）
＝0，得x＝3或x＝－1.又因为f（－4）＝k－76，f（3）＝k－
27，f（－1）＝k＋5，f（4）＝k－20.由f（x）max＝k＋5＝10，
得k＝5，所以f（x）min＝k－76＝－71.
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5. 已知函数f（x）＝－x3－ax在（－∞，－1]上单调递减，且g
（x）＝x2－ 在区间（1，2]上既有最大值，又有最小值，则实数
a的取值范围是（ ）
A. a＞－2 B. a≥－3
C. －3≤a＜－2 D. －3≤a≤－2
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解析： 因为函数f（x）＝－x3－ax在（－∞，－1]上单调递
减，所以f'（x）＝－3x2－a≤0对于一切x∈（－∞，－1]恒成
立，得－3x2≤a，所以a≥－3.又因为g（x）＝x2－ 在区间
（1，2]上既有最大值，又有最小值，所以可知g'（x）＝2x＋
在（1，2）上有零点，也就是极值点，即2x＋ ＝0有解，解得a
＝－2x3，可得－16＜a＜－2，所以－3≤a＜－2.
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6. （多选）已知函数f（x）＝ x3＋x2－2在区间（a－2，a＋3）上
存在最小值，则整数a可以取（ ）
A. －2 B. －1
C. 0 D. 1
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解析： f'（x）＝x2＋2x＝x（x＋2），f'（x）＝0时，x＝
－2或x＝0，当x＜－2或x＞0时，f'（x）＞0，当－2＜x＜0时，f'
（x）＜0，所以函数的单调递增区间是（－∞，－2）和（0，＋
∞），函数的单调递减区间是（－2，0），所以函数的极大值点是
－2，极小值点是0，且f（0）＝－2，那么当 x3＋x2－2＝－2，解
得x＝0或x＝－3，所以函数在区间（a－2，a＋3）上存在最小
值，则解得－1≤a＜2.故选B、C、D.
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7. 当x∈[－1，1]时，函数f（x）＝ 的值域是 .
解析：由f'（x）＝ ＝ ＝0，得x＝0或2（舍去），f
（－1）＝e，f（0）＝0，f（1）＝ ，所以f（x）的值域为[0，
e].
[0，e]
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8. 若函数f（x）＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别
为m，n，则m－n＝ .
解析：∵f'（x）＝3x2－3，∴当x＞1或x＜－1时，f'（x）＞0；
当－1＜x＜1时，f'（x）＜0.∴f（x）在[0，1）上单调递减，在
（1，3]上单调递增.∴f（x）min＝f（1）＝1－3－a＝－2－a＝
n.又∵f（0）＝－a，f（3）＝18－a，∴f（0）＜f（3）.∴f
（x）max＝f（3）＝18－a＝m，∴m－n＝18－a－（－2－a）
＝20.
20
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9. 设函数f（x）＝ x2ex，若当x∈[－2，2]时，不等式f（x）＞m
恒成立，则实数m的取值范围是 .
解析：f'（x）＝xex＋ x2ex＝ ·x（x＋2），令f'（x）＝0得x＝
0或x＝－2.当x∈[－2，2]时，f'（x），f（x）随x的变化情况如
下表：
（－∞，0）
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x －2 （－2，
0） 0 （0，2） 2
f'（x） 0 － 0 ＋
f（x） 单调递减 极小值0 单调递增
∴当x＝0时，f（x）min＝f（0）＝0，要使f（x）＞m对x∈[－
2，2]恒成立，只需m＜f（x）min，∴m＜0.
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10. 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f（x）在点P（1，
f（1））处的切线方程为y＝3x＋1.
（1）求a，b的值；
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解：依题意可知点P（1，f（1））为切点，代入切线
方程y＝3x＋1可得，f（1）＝3×1＋1＝4，
∴f（1）＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，
又由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋5得，
f'（x）＝3x2＋2ax＋b，
而由切线y＝3x＋1的斜率可知f'（1）＝3，
∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，
由解得∴a＝2，b＝－4.
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（2）求y＝f（x）在[－3，1]上的最大值.
解：由（1）知f（x）＝x3＋2x2－4x＋5，
f'（x）＝3x2＋4x－4＝（3x－2）（x＋2），
令f'（x）＝0，得x＝ 或x＝－2.
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：
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x －3 （－3，－2） －2
1
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 8 单调递
增 极大值 单调递
减 极小值 单调递
增 4
∴f（x）的极大值为f（－2）＝13，极小值为f ＝ ，
又∵f（－3）＝8，f（1）＝4，
∴f（x）在[－3，1]上的最大值为13.
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11. （多选）已知函数f（x）＝ x3－4x＋2，下列说法中正确的有
（ ）
A. 函数f（x）的极大值为 ，极小值为－
B. 当x∈[3，4]时，函数f（x）的最大值为 ，最小值为－
C. 函数f（x）的单调递减区间为[－2，2]
D. 曲线y＝f（x）在点（0，2）处的切线的方程为y＝－4x＋2
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解析： f（x）定义域为R，f'（x）＝x2－4.令f'（x）＝
0，得x＝－2或x＝2，所以f（x）在（－∞，－2）和（2，＋
∞）上单调递增，在[－2，2]上单调递减，故C正确；f（x）极大
值＝f（－2）＝ ×（－2）3－4×（－2）＋2＝ ，f（x）极小值
＝f（2）＝ ×23－4×2＋2＝－ ，故A正确；
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当x∈[3，4]时，函数f（x）单调递增，f（3）＝ ×33－4×3＋2＝
－1，f（4）＝ ×43－4×4＋2＝ ，所以当x∈[3，4]时，f（x）
的最大值为 ，最小值为－1，故B不正确；f'（0）＝－4，曲线在点
（0，2）处的切线的方程为y－2＝－4（x－0），即y＝－4x＋2，故
D正确.
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12. 已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a，2]上的最大值为 ，则a
＝ .
解析：y'＝－2x－2，令y'＝0，得x＝－1，∴函数在（－∞，－
1）上单调递增，在（－1，＋∞）上单调递减.若－1＜a＜2，则
最大值为f（a）＝－a2－2a＋3＝ ，解得a＝－
；若a≤－1，则最大值为f（－1）＝－1＋2＋3＝
4≠ .综上知，a＝－ .
－
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13. 已知函数f（x）＝ax4ln x＋bx4－c（x＞0）在x＝1处取得极值－
3－c，其中a，b，c为常数.若对任意x＞0，不等式f（x）≥－
2c2恒成立，求c的取值范围.
解：f'（x）＝4ax3ln x＋ax4× ＋4bx3
＝x3（4aln x＋a＋4b）.
∵函数f（x）在x＝1处取得极值－3－c，
∴
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即解得a＝12，b＝－3.
∴f'（x）＝48x3ln x（x＞0），
令f'（x）＝0，解得x＝0或x＝1.
∵x＞0，∴x＝1.
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当x变化时，f'（x）及f（x）的变化情况如下表：
x （0，1） 1 （1，＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） ↘ －3－c ↗
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∴当x＝1时，f（x）有极小值为－3－c，
并且该极小值为函数的最小值.
∴要使对任意x＞0，不等式f（x）≥－2c2恒成立，
只需－3－c≥－2c2即可.
整理得2c2－c－3≥0.解得c≥ 或c≤－1.
∴c的取值范围为（－∞，－1]∪ .
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14. 设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝ln x的图象分别交于点
M，N，则当｜MN｜达到最小值时t的值为（ ）
A. 1 B.
C. D.
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解析： 因为f（x）的图象始终在g（x）的上方，所以｜
MN｜＝f（x）－g（x）＝x2－ln x，设h（x）＝x2－ln x，则h'
（x）＝2x－ ＝ ，令h'（x）＝ ＝0，得x＝ 或x＝
－ （舍去），所以h（x）在 上单调递减，在
上单调递增，所以当x＝ 时有最小值，故t＝ .
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15. 已知函数f（x）＝ax2＋bx－ln x（a，b∈R）.
（1）当a＝－1，b＝3时，求函数f（x）在 上的最大值和
最小值；
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解：当a＝－1，b＝3时，f（x）＝－x2＋3x－ln x，
且x∈ ，
f'（x）＝－2x＋3－ ＝－ ＝－ .
当 ＜x＜1时，f'（x）＞0；当1＜x＜2时，f'（x）＜0，
所以函数f（x）在 上单调递增，在（1，2）上单调
递减，
所以函数f（x）在区间 上仅有极大值点x＝1，
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故这个极大值点也是最大值点，
即函数在 上的最大值是f（1）＝2.
又f（2）－f ＝（2－ln 2）－ ＝ －2ln 2＝ －
ln 4＜0，
所以f（2）＜f ，
故函数f（x）在 上的最小值为f（2）＝2－ln 2.
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（2）当a＝0时，是否存在正实数b，使x∈（0，e]时，函数f
（x）的最小值是3？若存在，求出b的值；若不存在，说明
理由.
解：存在.
当a＝0时，f（x）＝bx－ln x，得f'（x）＝b－ ＝ .
①当0＜b≤ ，即 ≥e，x∈（0，e]时，f'（x）＜0，f
（x）单调递减，
f（x）min＝f（e）＝be－1＜0，不合题意；
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②当b＞ ，即0＜ ＜e，x∈ 时，f'（x）＜0，f
（x）单调递减，
x∈ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）min＝f ＝1＋ln b＝3，得b＝e2.
综上所述，存在实数b＝e2使得函数f（x）的最小值是3.
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谢 谢 观 看！
