第一课时 函数的导数与极值
1.若函数y＝f（x）可导，则“f'（x）＝0有实根”是“f（x）有极值”的（ ）
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.函数f（x）＝x2－ln x的极值点为（ ）
A.0，1，－1 B.
C.－ D.，－
3.已知函数f（x）＝ln x＋ax2－（a＋1）x＋1在x＝1处取得极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，1] B.（－∞，1）
C.（1，＋∞） D.（0，＋∞）
4.若函数f（x）＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C.（0，4e2） D.（0，＋∞）
5.（多选）已知函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）（ ）
A.在（－∞，0）上单调递减
B.在x＝0处取极大值
C.在（4，＋∞）上单调递减
D.在x＝2处取极小值
6.（多选）函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数f（x）＝xx（x＞0），我们可以作变形：f（x）＝xx＝＝exln x＝et（t＝xln x），所以f（x）可看作是由函数f（t）＝et和g（x）＝xln x复合而成的，即f（x）＝xx（x＞0）为初等函数.根据以上材料，对于初等函数h（x）＝（x＞0）的说法正确的是（ ）
A.无极小值 B.有极小值1
C.无极大值 D.有极大值
7.设a∈R，若函数y＝ex＋ax（x∈R）有大于零的极值点，则a的取值范围是 .
8.函数f（x）＝x3－6x2－15x＋2的极大值是 ，极小值是 .
9.已知函数y＝2x3－6x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝ .
10.设a为实数，函数f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R，求f（x）的单调区间与极值.
11.（多选）已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f'（x）的图象经过点（1，0），（2，0）.如图，则下列说法中正确的是（ ）
A.当x＝时，函数f（x）取得极小值
B.f（x）有两个极值点
C.当x＝2时函数取得极小值
D.当x＝1时函数取得极大值
12.已知函数f（x）＝6ln x－ax2－8x＋b（a，b为常数），且x＝3为f（x）的一个极值点.则a的值为 ；函数f（x）的单调递减区间为 .
13.已知函数f（x）＝ex（ax＋b）－x2－4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝4x＋4.
（1）求a，b的值；
（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值.
14.（多选）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，则下列结论中正确的是（ ）
A. x0∈R，f（x0）＝0
B.函数f（x）可能无极值点
C.若x0是f（x）的极值点，则f'（x0）＝0
D.若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（－∞，x0）上单调递减
15.已知函数f（x）＝（a∈R，a≠0）.
（1）当a＝－1时，求函数f（x）的极值；
（2）若函数F（x）＝f（x）＋1没有零点，求实数a的取值范围.
第一课时 函数的导数与极值
1.A 若f（x）可导，由f'（x）＝0有实根，则f（x）不一定有极值，若f（x）有极值，则f'（x）＝0一定有实根.
2.B 由已知，得f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝3x－＝，令f'（x）＝0，得x＝.当x＞时，f'（x）＞0；当0＜x＜时，f'（x）＜0.所以当x＝时，f（x）取得极小值，从而f（x）的极小值点为x＝，无极大值点，故选B.
3.C f（x）的定义域是（0，＋∞），∵f（x）＝ln x＋ax2－（a＋1）x＋1，∴f'（x）＝＋ax－（a＋1）＝，令f'（x）＝0，解得x＝或x＝1.若f（x）在x＝1处取得极小值，则0＜＜1，解得a＞1.
4.B 令g（x）＝x2ex，则g'（x）＝2xex＋x2ex＝xex（2＋x）.令g'（x）＝0，得x＝0或x＝－2，∴g（x）在（－2，0）上单调递减，在（－∞，－2），（0，＋∞）上单调递增，∴g（x）极大值＝g（－2）＝，g（x）极小值＝g（0）＝0.又f（x）＝x2ex－a恰有三个零点，∴0＜a＜.
5.BCD 由导函数的图象可知：x∈（－∞，0）∪（2，4）时，f'（x）＞0，x∈（0，2）∪（4，＋∞）时，f'（x）＜0，因此f（x）在（－∞，0），（2，4）上单调递增，在（0，2），（4，＋∞）上单调递减，所以在x＝0处取得极大值，x＝2处取得极小值，x＝4处取得极大值，故选B、C、D.
6.AD 根据材料知：h（x）＝＝＝（x＞0），所以h'（x）＝·'＝·＝（1－ln x），令h'（x）＝0得x＝e，当0＜x＜e时，h'（x）＞0，此时函数h（x）单调递增；当x＞e时，h'（x）＜0，此时函数h（x）单调递减.所以h（x）有极大值且为h（e）＝，无极小值.故选A、D.
7.（－∞，－1） 解析：∵y＝ex＋ax，∴y'＝ex＋a.令y'＝ex＋a＝0，则ex＝－a，∴x＝ln（－a）.又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.
8.10 －98 解析：f'（x）＝3x2－12x－15＝3（x－5）（x＋1），在（－∞，－1），（5，＋∞）上f'（x）＞0，在（－1，5）上，f'（x）＜0，所以f（x）极大值＝f（－1）＝10，f（x）极小值＝f（5）＝－98.
9.－4或4 解析：设f（x）＝2x3－6x＋c，对f（x）求导可得，f'（x）＝6x2－6，令f'（x）＝0，可得x＝±1，易知f（x）在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，在（－1，1）上单调递减.若f（1）＝2－6＋c＝0，可得c＝4；若f（－1）＝－2＋6＋c＝0，可得c＝－4.
10.解：由f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R知f'（x）＝ex－2，x∈R.令f'（x）＝0，得x＝ln 2.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，ln 2） ln 2 （ln 2，＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） 单调递减 极小值 2（1－ln 2＋a） 单调递增
故f（x）的单调递减区间是（－∞，ln 2），单调递增区间是（ln 2，＋∞）；f（x）在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f（ln 2）＝2（1－ln 2＋a），无极大值.
11.BCD 由图象可知，x＝1，x＝2是函数的两个极值点，∴B正确；又x∈（－∞，1）∪（2，＋∞）时，f'（x）＞0；x∈（1，2）时，f'（x）＜0，∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值点，故C、D正确.故选B、C、D.
12.－1 （1，3） 解析：因为f'（x）＝－2ax－8，所以f'（3）＝2－6a－8＝0，解得a＝－1.函数f（x）的定义域为（0，＋∞）.由a＝－1知f（x）＝6ln x＋x2－8x＋b.所以f'（x）＝＋2x－8＝.由f'（x）＞0可得x＞3或0＜x＜1，由f'（x）＜0可得1＜x＜3所以函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（3，＋∞），单调递减区间为（1，3）.
13.解：（1）f'（x）＝ex（ax＋a＋b）－2x－4.
由已知得f（0）＝4，f'（0）＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
（2）由（1）知，f（x）＝4ex（x＋1）－x2－4x，
f'（x）＝4ex（x＋2）－2x－4＝4（x＋2）.
令f'（x）＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈（－∞，－2）∪（－ln 2，＋∞）时，f'（x）＞0；当x∈（－2，－ln 2）时，f'（x）＜0.
故f（x）在（－∞，－2），（－ln 2，＋∞）上单调递增，在（－2，－ln 2）上单调递减.
当x＝－2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（－2）＝4（1－e－2）.
14.ABC 函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f'（x）＝3x2＋2ax＋b，当x→－∞时，f'（x）→＋∞，当x→＋∞时，f'（x）→＋∞，又当x→－∞时，f（x）＜0，当x→＋∞时，f（x）＞0，又f（x）为连续函数，所以 x0∈R，f（x0）＝0，故A正确；当a＝b＝0时，f'（x）＝3x2≥0，所以f（x）＝x3＋c在R上单调递增，无极值点，故B正确；三次函数是连续的，若x0是f（x）的极值点，则f'（x0）＝0，故C正确；若x0是f（x）的极小值点，即f'（x0）＝0，则3x2＋2ax＋b＝0必有两个不相等的实数根，又f'（x）＝3x2＋2ax＋b在（－∞，－）上单调递减，在（－，＋∞）上单调递增，当x→－∞时，f'（x）→＋∞，当x→＋∞时，f'（x）→＋∞，所以f（x）有极大值点x1且x1＜x0，此时f（x）在区间（－∞，x1）上单调递增，在（x1，x0）上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增，故D错误.故选A、B、C.
15.解：（1）当a＝－1时，f（x）＝，f'（x）＝.
由f'（x）＝0，得x＝2.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，2） 2 （2， ＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f（x）的极小值为f（2）＝－，
函数f（x）无极大值.
（2）F'（x）＝f'（x）＝＝，令F'（x）＝0，得x＝2.
①当a＜0时，F'（x），F（x）随x的变化情况如下表：
x （－∞，2） 2 （2，＋∞）
F'（x） － 0 ＋
F（x） 单调递减 极小值 单调递增
若使函数F（x）没有零点，当且仅当F（2）＝＋1＞0，
解得a＞－e2，所以此时－e2＜a＜0；
②当a＞0时，F'（x），F（x）随x的变化情况如下表：
x （－∞，2） 2 （2，＋∞）
F'（x） ＋ 0 －
F（x） 单调递增 极大值 单调递减
当x＞2时，F（x）＝＋1＞1，
当x＜2时，令F（x）＝＋1＜0，
即a（x－1）＋ex＜0，
由于a（x－1）＋ex＜a（x－1）＋e2，
令a（x－1）＋e2≤0，得x≤1－，
即x≤1－时，F（x）＜0，
所以F（x）总存在零点，
综上所述，所求实数a的取值范围是（－e2，0）.
2 / 26.2.2 导数与函数的极值、最值
新课程标准解读 核心素养
1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 数学抽象、直观想象
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值 数学运算
3.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系 逻辑推理
第一课时 函数的导数与极值
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致.在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，它却是其附近的最低点.
【问题】 在数学上，这种现象如何来刻画呢？
知识点一 函数极值的定义
1.极大值与极小值
设函数y＝f（x）的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有
（1）f（x） f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极大值点，且f（x）在x0处取极大值；
（2）f（x） f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极小值点，且f（x）在x0处取极小值.
2.极值点与极值
极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值.显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小.
【想一想】
1.函数的极大值一定大于极小值吗？
2.函数y＝f（x）在给定区间（a，b）内一定有极值点吗？
知识点二 函数的极值与导数的关系
1.如果x0是y＝f（x）的极值点，且f（x）在x0处可导，则必有f'（x0）＝ .
2.判断函数y＝f（x）的极值点的方法：
设函数f（x）在x0处可导，且f'（x0）＝0.
（1）如果对于x0左侧附近的任意x，都有f'（x）＞0，对于x0右侧附近的任意x，都有f'（x）＜0，那么此时x0是f（x）的 ；
（2）如果对于x0左侧附近的任意x，都有f'（x）＜0，对于x0右侧附近的任意x，都有f'（x）＞0，那么此时x0是f（x）的 ；
（3）如果f'（x）在x0的左侧附近与右侧附近均为 （或均为负号），则x0一定不是y＝f（x）的极值点.
【想一想】
1.导数为0的点都是极值点吗？
2.若f'（x0）存在，则“f'（x0）＝0”是“x0是y＝f（x）的极值点”的什么条件？
1.（多选）下列函数在x＝0处取得极小值的是（ ）
A.y＝sin x B.y＝x2＋1
C.y＝｜x｜ D.y＝2x
2.函数y＝x3－3x2－9x（－2＜x＜2）有（ ）
A.极大值5，极小值－27 B.极大值5，极小值－11
C.极大值5，无极小值 D.极小值－27，无极大值
3.设f（x）＝xex＋1，则f（x）的极小值点为 .
题型一 求函数的极值
角度1 求不含参数的函数的极值
【例1】 求函数f（x）＝x2e－x的极值.
尝试解答
角度2 求含参数的函数的极值
【例2】 设函数f（x）＝－x3＋x2＋（m2－1）x（x∈R），其中m＞0.
（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值.
尝试解答
通性通法
求函数y＝f（x）的极值的步骤
（1）求出函数的定义域及导数f'（x）；
（2）解方程f'（x）＝0，得方程的根x0（可能不止一个）；
（3）用方程f'（x）＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f'（x），f（x）在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
（4）由f'（x）在各个开区间内的符号，判断f（x）在f'（x）＝0的各个根处的极值情况：
如果左正右负，那么函数f（x）在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数f（x）在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝x－aln x（a∈R），求函数f（x）的极值.
题型二 已知函数的极值求参数
【例3】 已知f（x）＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值.
尝试解答
通性通法
已知函数的极值求参数需注意的问题
（1）根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.
【跟踪训练】
函数f（x）＝mln x－cos x在x＝1处取得极值，则m的值为（ ）
A.sin 1 B.－sin 1
C.cos 1 D.－cos 1
题型三 函数极值的综合应用
【例4】 已知函数f（x）＝x3－3ax－1（a≠0）.若函数f（x）在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）若本例中条件改为“已知函数f（x）＝－x3＋ax2－4在x＝处取得极值”，其他条件不变，求m的取值范围.
2.（变条件）若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？
通性通法
1.研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f（x）＝0的根就是函数f（x）的图象与x轴交点的横坐标，方程f（x）＝g（x）的根就是函数f（x）与g（x）的图象的交点的横坐标.
2.事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
【跟踪训练】
设a为实数，函数f（x）＝－x3＋3x＋a.
（1）求f（x）的极值；
（2）是否存在实数a，使得方程f（x）＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
三次函数的极值与零点的关系
利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象，当a＝－4，b＝1，c＝5，d＝－1时，f（x）的图象如图所示.改变a，b，c，d的值，观察图象的形状：
（1）你能归纳函数f（x）的图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？
（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间.
【问题探究】
1.给定三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），求导得f'（x）＝3ax2＋2bx＋c.用Δ表示方程f'（x）＝0的根的判别式，有以下结论：
（1）当Δ＝4（b2－3ac）＞0时，有两个极值点；
当Δ＝4（b2－3ac）≤0时，无极值点.
（2）函数f（x）的图象存在水平切线，则f'（x）＝0有实数解，从而Δ＝4（b2－3ac）≥0；
（3）函数在R上单调递增，则a＞0且Δ＝4（b2－3ac）≤0.
2.对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），为了描述方便简洁，这里只给出a＞0的情形.令x1，x2为f（x）的极值点，用Δ表示f'（x）＝3ax2＋2bx＋c对应方程的根的判别式，则结合零点存在性定理，有如下结论：
（1）y＝f（x）有一个零点 Δ≤0或f（x1）·f（x2）＞0；
（2）y＝f（x）有两个零点
（3）y＝f（x）有三个零点
3.相应函数图象的情况如下：
（1）三次函数有一个零点意味着函数单调或者极大值和极小值同号，如图①所示；
（2）三次函数有两个零点意味着函数有两个极值点，且其中一个极值点为零点，如图②所示；
（3）三次函数有三个零点，则函数的极大值和极小值异号，如图③所示.
【迁移应用】
1.已知函数f（x）＝x3－3x＋m只有一个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A.[－2，2]
B.（－∞，－2）∪（2，＋∞）
C.（－2，2）
D.（－∞，－2]∪[2，＋∞）
2.若x3＋ax＋1＝0有两个不同的实数根，求实数a的值.
3.若2x3＋3（1－2a）x2＋6a（a－1）x＝0有三个不同的实数根，求实数a的取值范围.
1. 函数f（x）＝x＋2cos x在上的极大值点为（ ）
A.0 B. C. D.
2.设函数f（x）＝＋ln x，则（ ）
A.x＝为f（x）的极大值点
B.x＝为f（x）的极小值点
C.x＝2为f（x）的极大值点
D.x＝2为f（x）的极小值点
3.函数f（x）＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为（ ）
A.1，－3 B.1，3
C.－1，3 D.－1，－3
4.已知函数f（x）＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点（1，0），则f（x）的（ ）
A.极大值为，极小值为0
B.极大值为0，极小值为
C.极小值为－，极大值为0
D.极大值为－，极小值为0
5.函数f（x）＝ax－1－ln x（a≤0）在定义域内的极值点的个数为 .
第一课时 函数的导数与极值
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（1）＜ （2）＞
想一想
1.提示：不一定，如图中c处的极小值大于f处的极大值.
2.提示：不一定，若函数y＝f（x）在区间（a，b）内是单调函数，就没有极值点.
知识点二
1.0 2.（1）极大值点 （2）极小值点 （3）正号
想一想
1.提示：不一定，如f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是f（x）＝x3的极值点.所以，当f'（x0）＝0时，要判断x＝x0是否为f（x）的极值点，还要看f'（x）在x0两侧的符号是否相反.
2.提示：必要不充分条件.
自我诊断
1.BC 利用函数图象和极小值的定义可知，选项B、C中的函数在x＝0处取得极小值.
2.C 由y'＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.当x＜－1或x＞3时，y'＞0；当－1＜x＜3时，y'＜0.所以当x＝－1时，函数有极大值5；3 （－2，2），故无极小值.
3.－1 解析：∵f（x）＝xex＋1的定义域为R，∴f'（x）＝（x＋1）ex，令f'（x）＞0，可得x＞－1；f'（x）＜0可得x＜－1，∴f（x）在（－∞，－1）上单调递减，在（－1，＋∞）上单调递增，故x＝－1为f（x）极小值点.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：函数的定义域为R，
f'（x）＝2xe－x＋x2·e－x·（－x）'
＝2xe－x－x2·e－x
＝x（2－x）e－x.
令f'（x）＝0，得x（2－x）·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，0） 0 （0，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） 单调递减 极小值0 单调递增 极大值4e－2 单调递减
因此当x＝0时，f（x）有极小值，并且极小值为f（0）＝0；
当x＝2时，f（x）有极大值，并且极大值为f（2）＝4e－2＝.
【例2】 解：（1）当m＝1时，f（x）＝－x3＋x2，
f'（x）＝－x2＋2x，故f'（1）＝1.
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1.
（2）f'（x）＝－x2＋2x＋m2－1.
令f'（x）＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.
因为m＞0，所以1＋m＞1－m.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，1－m） 1－m （1－m，1＋m） 1＋m （1＋m，＋∞）
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以f（x）在（－∞，1－m），（1＋m，＋∞）内单调递减，在（1－m，1＋m）内单调递增.
函数f（x）在x＝1－m处取得极小值f（1－m），且f（1－m）＝－m3＋m2－.
函数f（x）在x＝1＋m处取得极大值f（1＋m），且f（1＋m）＝m3＋m2－.
跟踪训练
解：由f'（x）＝1－＝（x＞0）知，
①当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）为（0，＋∞）上的增函数，函数f（x）无极值；
②当a＞0时，由f'（x）＝0，解得x＝a，
又当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，
当x∈（a，＋∞）时，f'（x）＞0，
∴函数f（x）在x＝a处取得极小值，且极小值为f（a）＝a－aln a，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.
【例3】 解：f'（x）＝5ax4－3bx2＝x2（5ax2－3b）.
由题意，f'（x）＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，
于是f'（x）＝5ax2（x2－1），
①当a＞0，x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，－1） －1 （－1，0） 0 （0，1） 1 （1，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 － 0 ＋
f（x） 单调 递增 极大值 单调 递减 无极值 单调 递减 极小值 单调 递增
由表可知
又5a＝3b，解得a＝3，b＝5，c＝2.
②当a＜0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.
综上可知a＝3，b＝5，c＝2或a＝－3，b＝－5，c＝2.
跟踪训练
B 因为f'（x）＝＋sin x，由题意得：f'（1）＝m＋sin 1＝0，所以m＝－sin 1.
【例4】 解：因为f（x）在x＝－1处取得极值且f'（x）＝3x2－3a，所以f'（－1）＝3×（－1）2－3a＝0，所以a＝1.
所以f（x）＝x3－3x－1，f'（x）＝3x2－3，
由f'（x）＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
当x＜－1时，f'（x）＞0；
当－1＜x＜1时，f'（x）＜0；
当x＞1时，f'（x）＞0.
所以由f（x）的单调性可知，
f（x）在x＝－1处取得极大值f（－1）＝1，
在x＝1处取得极小值f（1）＝－3.
作出f（x）的大致图象如图所示：
因为直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有三个不同的交点，结合f（x）的图象可知，m的取值范围是（－3，1）.
母题探究
1.解：由题意可得f'（x）＝－3x2＋2ax，由f'＝0，
可得a＝2，所以f（x）＝－x3＋2x2－4，
则f'（x）＝－3x2＋4x.
令f'（x）＝0，得x＝0或x＝，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，0） 0
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） 单调递减 极小 值－4 单调 递增 极大值 － 单调递减
作出函数f（x）的大致图象如图所示：
因为直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有三个不同的交点，所以m的取值范围是.
2.解：由例题解析可知：当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有两个不同的交点；当m＜－3或m＞1时，直线y＝m与y＝f（x）的图象只有一个交点.
跟踪训练
解：（1）令f'（x）＝－3x2＋3＝0，
得x1＝－1，x2＝1.
又因为当x∈（－∞，－1）时，f'（x）＜0；
当x∈（－1，1）时，f'（x）＞0；
当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，所以f（x）的极小值为f（－1）＝a－2，f（x）的极大值为f（1）＝a＋2.
（2）因为f（x）在（－∞，－1）和（1，＋∞）上单调递减，
而a＋2＞a－2，即函数的极大值大于极小值，
所以当极大值等于0时，极小值小于0，
此时曲线f（x）与x轴恰有两个交点，
即方程f（x）＝0恰好有两个实数根，所以a＋2＝0，a＝－2，如图①.
当极小值等于0时，有极大值大于0，
此时曲线f（x）与x轴恰有两个交点，
即方程f（x）＝0恰好有两个实数根，所以a－2＝0，a＝2，如图②.
综上，当a＝2或a＝－2时方程恰有两个实数根.
拓视野 三次函数的极值与零点的关系
迁移应用
1.B ∵f（x）＝x3－3x＋m，∴f'（x）＝3x2－3.由f'（x）＞0，得x＞1或x＜－1，此时函数单调递增；由f'（x）＜0，得－1＜x＜1，此时函数单调递减.即当x＝－1时，函数f（x）取得极大值；当x＝1时，函数f（x）取得极小值.要使函数f（x）＝x3－3x＋m只有一个零点，则需满足f（－1）·f（1）＞0，即（m＋2）·（m－2）＞0，解得m＞2或m＜－2.综上，实数m的取值范围是m＜－2或m＞2.
2.解：令f（x）＝x3＋ax＋1，则f'（x）＝x2＋a.
由f（x）＝0有两个不同的实数根，得
由Δ＞0，得a＜0，令f'（x）＝0，得x1＝，x2＝－，
所以f（x1）＝（）3＋a＋1＝－（－a＋1，
f（x2）＝（－）3－a＋1＝（－a＋1，
则f（x1）·f（x2）＝·＝1－（－a）3＝0，解得a＝－.
综上，实数a的值为－.
3.解：令f（x）＝2x3＋3（1－2a）x2＋6a（a－1）x，则f'（x）＝6x2＋6（1－2a）x＋6a（a－1）＝6（x－a）（x－a＋1）.
由f（x）＝0有三个不同的实数根，得
Δ＝36＞0，显然成立，令f'（x）＝0，得x1＝a，x2＝a－1，
所以f（x1）＝2a3－3a2＝a2（2a－3），f（x2）＝（a－1）2（2a－2＋3－6a＋6a）＝（a－1）2（1＋2a），
则f（x1）·f（x2）＝a2（2a－3）（a－1）2（1＋2a）＜0，
解得－＜a＜0或0＜a＜1或1＜a＜.
综上，实数a的取值范围是∪（0，1）∪.
随堂检测
1.B 令f'（x）＝0，即1－2sin x＝0得x＝，且x∈，f'（x）＞0；x∈，f'（x）＜0.
∴x＝是f（x）的极大值点.故选B.
2.D 由f'（x）＝－＋＝＝0（x＞0）可得x＝2.当0＜x＜2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.故x＝2为f（x）的极小值点.
3.A ∵f'（x）＝3ax2＋b，由题意知f'（1）＝0，f（1）＝－2，∴∴a＝1，b＝－3.
4.A f'（x）＝3x2－2px－q.由函数f（x）的图象与x轴切于点（1，0），得f（1）＝0，f'（1）＝0，∴p＋q＝1，即q＝1－p.①
3－2p－q＝0. ②
联立①②，解得p＝2，q＝－1，∴函数f（x）＝x3－2x2＋x，则f'（x）＝3x2－4x＋1.令f'（x）＝0得x＝1或x＝.当x≤时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，当＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x≥1时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，∴f（x）极大值＝f＝，f（x）极小值＝f（1）＝0.故选A.
5.0 解析：∵x＞0，f'（x）＝a－＝，∴当a≤0时，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递减，∴f（x）在（0，＋∞）上无极值点.
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第一课时 函数的导数与极值
新课程标准解读 核心素养
1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的
必要条件和充分条件 数学抽象、直观
想象
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及
给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大
值、最小值 数学运算
3.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起
伏，错落有致.在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的
最高处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群
山之中的最低处，它却是其附近的最低点.
【问题】 在数学上，这种现象如何来刻画呢？
知识点一 函数极值的定义
1. 极大值与极小值
设函数y＝f（x）的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任
意不同于x0的x，都有
（1）f（x） f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极大值
点，且f（x）在x0处取极大值；
（2）f（x） f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极小值
点，且f（x）在x0处取极小值.
＜
＞
2. 极值点与极值
极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极
值.显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函
数值最小.
【想一想】
1. 函数的极大值一定大于极小值吗？
提示：不一定，如图中c处的极小值大于f
处的极大值.
2. 函数y＝f（x）在给定区间（a，b）内一定有极值点吗？
提示：不一定，若函数y＝f（x）在区间（a，b）内是单调函
数，就没有极值点.
知识点二 函数的极值与导数的关系
1. 如果x0是y＝f（x）的极值点，且f（x）在x0处可导，则必有f'
（x0）＝ .
2. 判断函数y＝f（x）的极值点的方法：
0
设函数f（x）在x0处可导，且f'（x0）＝0.
（1）如果对于x0左侧附近的任意x，都有f'（x）＞0，对于x0右侧
附近的任意x，都有f'（x）＜0，那么此时x0是f（x）的
；
极
大值点
（2）如果对于x0左侧附近的任意x，都有f'（x）＜0，对于x0右侧
附近的任意x，都有f'（x）＞0，那么此时x0是f（x）的
；
（3）如果f'（x）在x0的左侧附近与右侧附近均为 （或均
为负号），则x0一定不是y＝f（x）的极值点.
极
小值点
正号
【想一想】
1. 导数为0的点都是极值点吗？
提示：不一定，如f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是f（x）
＝x3的极值点.所以，当f'（x0）＝0时，要判断x＝x0是否为f（x）
的极值点，还要看f'（x）在x0两侧的符号是否相反.
2. 若f'（x0）存在，则“f'（x0）＝0”是“x0是y＝f（x）的极值点”
的什么条件？
提示：必要不充分条件.
1. （多选）下列函数在x＝0处取得极小值的是（ ）
A. y＝ sin x B. y＝x2＋1
C. y＝｜x｜ D. y＝2x
解析： 利用函数图象和极小值的定义可知，选项B、C中的函
数在x＝0处取得极小值.
2. 函数y＝x3－3x2－9x（－2＜x＜2）有（ ）
A. 极大值5，极小值－27
B. 极大值5，极小值－11
C. 极大值5，无极小值
D. 极小值－27，无极大值
解析： 由y'＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.当x＜－1或x
＞3时，y'＞0；当－1＜x＜3时，y'＜0.所以当x＝－1时，函数有
极大值5；3 （－2，2），故无极小值.
3. 设f（x）＝xex＋1，则f（x）的极小值点为 .
解析：∵f（x）＝xex＋1的定义域为R，∴f'（x）＝（x＋1）
ex，令f'（x）＞0，可得x＞－1；f'（x）＜0可得x＜－1，∴f
（x）在（－∞，－1）上单调递减，在（－1，＋∞）上单调递
增，故x＝－1为f（x）极小值点.
－1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求函数的极值
角度1 求不含参数的函数的极值
【例1】 求函数f（x）＝x2e－x的极值.
解：函数的定义域为R，
f'（x）＝2xe－x＋x2·e－x·（－x）'
＝2xe－x－x2·e－x
＝x（2－x）e－x.
令f'（x）＝0，得x（2－x）·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，0） 0 （0，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） 单调递减 极小值0 单调递增 极大值4e
－2 单调递减
因此当x＝0时，f（x）有极小值，并且极小值为f（0）＝0；
当x＝2时，f（x）有极大值，并且极大值为f（2）＝4e－2＝ .
角度2 求含参数的函数的极值
【例2】 设函数f（x）＝－ x3＋x2＋（m2－1）x（x∈R），其中
m＞0.
（1）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的
斜率；
解：当m＝1时，f（x）＝－ x3＋x2，
f'（x）＝－x2＋2x，故f'（1）＝1.
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1.
（2）求函数f（x）的单调区间与极值.
解：f'（x）＝－x2＋2x＋m2－1.
令f'（x）＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.
因为m＞0，所以1＋m＞1－m.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－∞， 1－m） 1－m （1－m， 1＋m） 1＋m （1＋m，
＋∞）
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以f（x）在（－∞，1－m），（1＋m，＋∞）内单调递
减，在（1－m，1＋m）内单调递增.
函数f（x）在x＝1－m处取得极小值f（1－m），且f（1－
m）＝－ m3＋m2－ .
函数f（x）在x＝1＋m处取得极大值f（1＋m），且f（1＋
m）＝ m3＋m2－ .
通性通法
求函数y＝f（x）的极值的步骤
（1）求出函数的定义域及导数f'（x）；
（2）解方程f'（x）＝0，得方程的根x0（可能不止一个）；
（3）用方程f'（x）＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区
间，可将x，f'（x），f（x）在每个区间内的变化情况列在同
一个表格中；
（4）由f'（x）在各个开区间内的符号，判断f（x）在f'（x）＝0的
各个根处的极值情况：
如果左正右负，那么函数f（x）在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数f（x）在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝x－aln x（a∈R），求函数f（x）的极值.
解：由f'（x）＝1－ ＝ （x＞0）知，
②当a＞0时，由f'（x）＝0，解得x＝a，
又当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，
当x∈（a，＋∞）时，f'（x）＞0，
∴函数f（x）在x＝a处取得极小值，且极小值为f（a）＝a－aln
a，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x
＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.
①当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）为（0，＋∞）上的增函数，
函数f（x）无极值；
题型二 已知函数的极值求参数
【例3】 已知f（x）＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小
值为0，试确定a，b，c的值.
解：f'（x）＝5ax4－3bx2＝x2（5ax2－3b）.
由题意，f'（x）＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，
于是f'（x）＝5ax2（x2－1），
①当a＞0，x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－
∞，－
1） －1 （－
1，0） 0 （0，
1） 1 （1，
＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 － 0 ＋
f（x） 单调 递增 极大值 单调 递减 无极值 单调递
减 极小值 单调
递增
由表可知
又5a＝3b，解得a＝3，b＝5，c＝2.
②当a＜0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.
综上可知a＝3，b＝5，c＝2或a＝－3，b＝－5，c＝2.
通性通法
已知函数的极值求参数需注意的问题
（1）根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系
数法求解；
（2）因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待
定系数法求解后必须验证充分性.
【跟踪训练】
函数f（x）＝mln x－ cos x在x＝1处取得极值，则m的值为
（ ）
A. sin 1 B. － sin 1
C. cos 1 D. － cos 1
解析： 因为f'（x）＝ ＋ sin x，由题意得：f'（1）＝m＋ sin 1＝
0，所以m＝－ sin 1.
题型三 函数极值的综合应用
【例4】 已知函数f（x）＝x3－3ax－1（a≠0）.若函数f（x）在
x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f（x）的图象有三个不同的交
点，求m的取值范围.
解：因为f（x）在x＝－1处取得极值且f'（x）＝3x2－3a，
所以f'（－1）＝3×（－1）2－3a＝0，所以a＝1.
所以f（x）＝x3－3x－1，f'（x）＝3x2－3，
由f'（x）＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
当x＜－1时，f'（x）＞0；
当－1＜x＜1时，f'（x）＜0；
当x＞1时，f'（x）＞0.
所以由f（x）的单调性可知，
f（x）在x＝－1处取得极大值f（－1）＝1，
在x＝1处取得极小值f（1）＝－3.
作出f（x）的大致图象如图所示：
因为直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有三个不同
的交点，结合f（x）的图象可知，m的取值范围是
（－3，1）.
【母题探究】
1. （变条件）若本例中条件改为“已知函数f（x）＝－x3＋ax2－4
在x＝ 处取得极值”，其他条件不变，求m的取值范围.
解：由题意可得f'（x）＝－3x2＋2ax，
由f' ＝0，
可得a＝2，所以f（x）＝－x3＋2x2－4，
则f'（x）＝－3x2＋4x.
令f'（x）＝0，得x＝0或x＝ ，
x （－∞，0） 0
f'（x） － 0 ＋ 0 －
f（x） 单调递减 极小值－4 单调递增 极大值－
单调递减
作出函数f（x）的大致图象如图所示：
因为直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有三个不
同的交点，所以m的取值范围是 .
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
2. （变条件）若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结
果如何？改为“一个交点”呢？
解：由例题解析可知：当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f
（x）的图象有两个不同的交点；当m＜－3或m＞1时，直线y＝
m与y＝f（x）的图象只有一个交点.
通性通法
1. 研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，
方程f（x）＝0的根就是函数f（x）的图象与x轴交点的横坐标，
方程f（x）＝g（x）的根就是函数f（x）与g（x）的图象的交
点的横坐标.
2. 事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并
能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴
的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问
题提供了方便.
【跟踪训练】
设a为实数，函数f（x）＝－x3＋3x＋a.
（1）求f（x）的极值；
解：令f'（x）＝－3x2＋3＝0，得x1＝－1，x2＝1.
又因为当x∈（－∞，－1）时，f'（x）＜0；
当x∈（－1，1）时，f'（x）＞0；
当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，所以f（x）的极小值为f
（－1）＝a－2，f（x）的极大值为f（1）＝a＋2.
（2）是否存在实数a，使得方程f（x）＝0恰好有两个实数根？若存
在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
解：因为f（x）在（－∞，－1）和（1，＋∞）上单调递减，
而a＋2＞a－2，即函数的极大值大于极小值，
所以当极大值等于0时，极小值小于0，
此时曲线f（x）与x轴恰有两个交点，
即方程f（x）＝0恰好有两个实数根，
所以a＋2＝0，a＝－2，如图①.
当极小值等于0时，有极大值大于0，
此时曲线f（x）与x轴恰有两个交点，
即方程f（x）＝0恰好有两个实数根，所以a－2＝0，a＝2，
如图②.
综上，当a＝2或a＝－2时方程恰有两个实数根.
三次函数的极值与零点的关系
利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象，当a＝－4，b＝1，c＝5，d＝－1时，f（x）的图象如图所示.改变a，b，c，d的值，观察图象的形状：
（1）你能归纳函数f（x）的图象的大致形状吗？它的图象有什么特
点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？
（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间.
【问题探究】
1. 给定三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），求导得f'
（x）＝3ax2＋2bx＋c.用Δ表示方程f'（x）＝0的根的判别式，有
以下结论：
（1）当Δ＝4（b2－3ac）＞0时，有两个极值点；
当Δ＝4（b2－3ac）≤0时，无极值点.
（2）函数f（x）的图象存在水平切线，则f'（x）＝0有实数解，
从而Δ＝4（b2－3ac）≥0；
（3）函数在R上单调递增，则a＞0且Δ＝4（b2－3ac）≤0.
2. 对于三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），为了描述方
便简洁，这里只给出a＞0的情形.令x1，x2为f（x）的极值点，用
Δ表示f'（x）＝3ax2＋2bx＋c对应方程的根的判别式，则结合零点
存在性定理，有如下结论：
（1）y＝f（x）有一个零点 Δ≤0或f（x1）·f（x2）＞0；
（2）y＝f（x）有两个零点
（3）y＝f（x）有三个零点
3. 相应函数图象的情况如下：
（1）三次函数有一个零点意味着函数单调或者极大值和极小值同
号，如图①所示；
（2）三次函数有两个零点意味着函数有两个极值点，且其中一个
极值点为零点，如图②所示；
（3）三次函数有三个零点，则函数的极大值和极小值异号，如图
③所示.
【迁移应用】
1. 已知函数f（x）＝x3－3x＋m只有一个零点，则实数m的取值范
围是（ ）
A. [－2，2]
B. （－∞，－2）∪（2，＋∞）
C. （－2，2）
D. （－∞，－2]∪[2，＋∞）
解析： ∵f（x）＝x3－3x＋m，∴f'（x）＝3x2－3.由f'（x）
＞0，得x＞1或x＜－1，此时函数单调递增；由f'（x）＜0，得－1
＜x＜1，此时函数单调递减.即当x＝－1时，函数f（x）取得极大
值；当x＝1时，函数f（x）取得极小值.要使函数f（x）＝x3－
3x＋m只有一个零点，则需满足f（－1）·f（1）＞0，即（m＋
2）·（m－2）＞0，解得m＞2或m＜－2.综上，实数m的取值范
围是m＜－2或m＞2.
2. 若 x3＋ax＋1＝0有两个不同的实数根，求实数a的值.
解：令f（x）＝ x3＋ax＋1，则f'（x）＝x2＋a.
由f（x）＝0有两个不同的实数根，得
由Δ＞0，得a＜0，令f'（x）＝0，得x1＝ ，x2＝－ ，
所以f（x1）＝ （ ）3＋a ＋1＝－ （－a ＋1，
则f（x1）·f（x2）＝ · ＝1－ （－
a）3＝0，解得a＝－ .
综上，实数a的值为－ .
3. 若2x3＋3（1－2a）x2＋6a（a－1）x＝0有三个不同的实数根，
求实数a的取值范围.
解：令f（x）＝2x3＋3（1－2a）x2＋6a（a－1）x，则f'（x）
＝6x2＋6（1－2a）x＋6a（a－1）＝6（x－a）（x－a＋1）.
由f（x）＝0有三个不同的实数根，得
Δ＝36＞0，显然成立，令f'（x）＝0，得x1＝a，x2＝a－1，
所以f（x1）＝2a3－3a2＝a2（2a－3），f（x2）＝（a－1）2
（2a－2＋3－6a＋6a）＝（a－1）2（1＋2a），
则f（x1）·f（x2）＝a2（2a－3）（a－1）2（1＋2a）＜0，解得
－ ＜a＜0或0＜a＜1或1＜a＜ .
综上，实数a的取值范围是 ∪（0，1）∪ .
1. 函数f（x）＝x＋2 cos x在 上的极大值点为（ ）
A. 0 B. C. D.
解析： 令f'（x）＝0，即1－2 sin x＝0得x＝ ，且x∈
，f'（x）＞0；x∈ ，f'（x）＜0.
∴x＝ 是f（x）的极大值点.故选B.
2. 设函数f（x）＝ ＋ln x，则（ ）
A. x＝ 为f（x）的极大值点
B. x＝ 为f（x）的极小值点
C. x＝2为f（x）的极大值点
D. x＝2为f（x）的极小值点
解析： 由f'（x）＝－ ＋ ＝ ＝0（x＞0）可得x＝
2.当0＜x＜2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f'
（x）＞0，f（x）单调递增.故x＝2为f（x）的极小值点.
3. 函数f（x）＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为
（ ）
A. 1，－3 B. 1，3
C. －1，3 D. －1，－3
解析： ∵f'（x）＝3ax2＋b，由题意知f'（1）＝0，f（1）＝－
2，∴∴a＝1，b＝－3.
4. 已知函数f（x）＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点（1，0），则f
（x）的（ ）
A. 极大值为 ，极小值为0
B. 极大值为0，极小值为
C. 极小值为－ ，极大值为0
D. 极大值为－ ，极小值为0
解析： f'（x）＝3x2－2px－q.由函数f（x）的图象与x轴切
于点（1，0），得f（1）＝0，f'（1）＝0，∴p＋q＝1，即q＝1
－p. ①
3－2p－q＝0. ②
联立①②，解得p＝2，q＝－1，∴函数f（x）＝x3－2x2＋x，则
f'（x）＝3x2－4x＋1.令f'（x）＝0得x＝1或x＝ .当x≤ 时，f'
（x）≥0，f（x）单调递增，当 ＜x＜1时，f'（x）＜0，f
（x）单调递减，当x≥1时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，∴f
（x）极大值＝f ＝ ，f（x）极小值＝f（1）＝0.故选A.
5. 函数f（x）＝ax－1－ln x（a≤0）在定义域内的极值点的个数
为 .
解析：∵x＞0，f'（x）＝a－ ＝ ，∴当a≤0时，f'（x）＜0
在（0，＋∞）上恒成立，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递减，
∴f（x）在（0，＋∞）上无极值点.
0
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若函数y＝f（x）可导，则“f'（x）＝0有实根”是“f（x）有极
值”的（ ）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 若f（x）可导，由f'（x）＝0有实根，则f（x）不一定
有极值，若f（x）有极值，则f'（x）＝0一定有实根.
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2. 函数f（x）＝ x2－ln x的极值点为（ ）
A. 0，1，－1 B.
C. － D. ，－
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解析： 由已知，得f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝
3x－ ＝ ，令f'（x）＝0，得x＝ （x＝－ 舍去）.当x＞
时，f'（x）＞0；当0＜x＜ 时，f'（x）＜0.所以当x＝
时，f（x）取得极小值，从而f（x）的极小值点为x＝ ，无极
大值点，故选B.
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3. 已知函数f（x）＝ln x＋ ax2－（a＋1）x＋1在x＝1处取得极小
值，则实数a的取值范围是（ ）
A. （－∞，1] B. （－∞，1）
C. （1，＋∞） D. （0，＋∞）
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解析： f（x）的定义域是（0，＋∞），∵f（x）＝ln x＋ ax2
－（a＋1）x＋1，∴f'（x）＝ ＋ax－（a＋1）＝
，令f'（x）＝0，解得x＝ 或x＝1.若f（x）在x＝
1处取得极小值，则0＜ ＜1，解得a＞1.
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4. 若函数f（x）＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是
（ ）
A. B.
C. （0，4e2） D. （0，＋∞）
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解析： 令g（x）＝x2ex，则g'（x）＝2xex＋x2ex＝xex（2＋
x）.令g'（x）＝0，得x＝0或x＝－2，∴g（x）在（－2，0）上
单调递减，在（－∞，－2），（0，＋∞）上单调递增，∴g
（x）极大值＝g（－2）＝ ，g（x）极小值＝g（0）＝0.又f（x）
＝x2ex－a恰有三个零点，∴0＜a＜ .
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5. （多选）已知函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图所
示，则函数y＝f（x）（ ）
A. 在（－∞，0）上单调递减
B. 在x＝0处取极大值
C. 在（4，＋∞）上单调递减
D. 在x＝2处取极小值
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解析： 由导函数的图象可知：x∈（－∞，0）∪（2，4）
时，f'（x）＞0，x∈（0，2）∪（4，＋∞）时，f'（x）＜0，因
此f（x）在（－∞，0），（2，4）上单调递增，在（0，2），
（4，＋∞）上单调递减，所以在x＝0处取得极大值，x＝2处取得
极小值，x＝4处取得极大值，故选B、C、D.
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6. （多选）函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的
高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，
即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步
骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数f（x）＝xx（x＞
0），我们可以作变形：f（x）＝xx＝ ＝exln x＝et（t＝xln
x），所以f（x）可看作是由函数f（t）＝et和g（x）＝xln x复
合而成的，即f（x）＝xx（x＞0）为初等函数.根据以上材料，对
于初等函数h（x）＝ （x＞0）的说法正确的是（ ）
A. 无极小值 B. 有极小值1
C. 无极大值 D. 有极大值
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解析： 根据材料知：h（x）＝ ＝ ＝ （x＞
0），所以h'（x）＝ · '＝ · ＝
（1－ln x），令h'（x）＝0得x＝e，当0＜x＜e时，h'
（x）＞0，此时函数h（x）单调递增；当x＞e时，h'（x）＜0，
此时函数h（x）单调递减.所以h（x）有极大值且为h（e）＝
，无极小值.故选A、D.
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7. 设a∈R，若函数y＝ex＋ax（x∈R）有大于零的极值点，则a的
取值范围是 .
解析：∵y＝ex＋ax，∴y'＝ex＋a.令y'＝ex＋a＝0，则ex＝－
a，∴x＝ln（－a）.又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.
（－∞，－1）
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8. 函数f（x）＝x3－6x2－15x＋2的极大值是 ，极小值是
.
解析：f'（x）＝3x2－12x－15＝3（x－5）（x＋1），在（－
∞，－1），（5，＋∞）上f'（x）＞0，在（－1，5）上，f'（x）
＜0，所以f（x）极大值＝f（－1）＝10，f（x）极小值＝f（5）＝－
98.
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9. 已知函数y＝2x3－6x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c
＝ .
解析：设f（x）＝2x3－6x＋c，对f（x）求导可得，f'（x）＝
6x2－6，令f'（x）＝0，可得x＝±1，易知f（x）在（－∞，－
1），（1，＋∞）上单调递增，在（－1，1）上单调递减.若f
（1）＝2－6＋c＝0，可得c＝4；若f（－1）＝－2＋6＋c＝0，可
得c＝－4.
－4或4
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10. 设a为实数，函数f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R，求f（x）的单
调区间与极值.
解：由f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R知f'（x）＝ex－2，x∈R.
令f'（x）＝0，得x＝ln 2.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，ln 2） ln 2 （ln 2，＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） 单调递减 极小值2（1－ln
2＋a） 单调递增
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故f（x）的单调递减区间是（－∞，ln 2），单调递增区间是（ln
2，＋∞）；f（x）在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f（ln 2）
＝2（1－ln 2＋a），无极大值.
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11. （多选）已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f'（x）
的图象经过点（1，0），（2，0）.如图，则下列说法中正确的是
（ ）
A. 当x＝ 时，函数f（x）取得极小值
B. f（x）有两个极值点
C. 当x＝2时函数取得极小值
D. 当x＝1时函数取得极大值
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解析： 由图象可知，x＝1，x＝2是函数的两个极值点，
∴B正确；又x∈（－∞，1）∪（2，＋∞）时，f'（x）＞0；
x∈（1，2）时，f'（x）＜0，∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值
点，故C、D正确.故选B、C、D.
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12. 已知函数f（x）＝6ln x－ax2－8x＋b（a，b为常数），且x＝3
为f（x）的一个极值点.则a的值为 ；函数f（x）的单调
递减区间为 .
－1
（1，3）
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解析：因为f'（x）＝ －2ax－8，所以f'（3）＝2－6a－8＝0，
解得a＝－1.函数f（x）的定义域为（0，＋∞）.由a＝－1知f
（x）＝6ln x＋x2－8x＋b.所以f'（x）＝ ＋2x－8＝
.由f'（x）＞0可得x＞3或0＜x＜1，由f'（x）＜0可
得1＜x＜3所以函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（3，＋
∞），单调递减区间为（1，3）.
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13. 已知函数f（x）＝ex（ax＋b）－x2－4x，曲线y＝f（x）在点
（0，f（0））处的切线方程为y＝4x＋4.
（1）求a，b的值；
解：f'（x）＝ex（ax＋a＋b）－2x－4.
由已知得f（0）＝4，f'（0）＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
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（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值.
解：由（1）知，f（x）＝4ex（x＋1）－x2－4x，
f'（x）＝4ex（x＋2）－2x－4＝4（x＋2） .
令f'（x）＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈（－∞，－2）∪（－ln 2，＋∞）时，f'（x）＞
0；当x∈（－2，－ln 2）时，f'（x）＜0.
故f（x）在（－∞，－2），（－ln 2，＋∞）上单调递
增，在（－2，－ln 2）上单调递减.
当x＝－2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（－2）
＝4（1－e－2）.
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14. （多选）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，则下列结论中正确
的是（ ）
A. x0∈R，f（x0）＝0
B. 函数f（x）可能无极值点
C. 若x0是f（x）的极值点，则f'（x0）＝0
D. 若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（－∞，x0）上单调
递减
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解析： 函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f'（x）＝3x2＋
2ax＋b，当x→－∞时，f'（x）→＋∞，当x→＋∞时，f'（x）
→＋∞，又当x→－∞时，f（x）＜0，当x→＋∞时，f（x）＞
0，又f（x）为连续函数，所以 x0∈R，f（x0）＝0，故A正
确；当a＝b＝0时，f'（x）＝3x2≥0，所以f（x）＝x3＋c在R
上单调递增，无极值点，故B正确；三次函数是连续的，若x0
是f（x）的极值点，则f'（x0）＝0，故C正确；
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若x0是f（x）的极小值点，即f'（x0）＝0，则3x2＋2ax＋b＝0必有
两个不相等的实数根，又f'（x）＝3x2＋2ax＋b在（－∞，－ ）
上单调递减，在（－ ，＋∞）上单调递增，当x→－∞时，f'（x）
→＋∞，当x→＋∞时，f'（x）→＋∞，所以f（x）有极大值点x1
且x1＜x0，此时f（x）在区间（－∞，x1）上单调递增，在（x1，x0）
上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增，故D错误.故选A、B、
C.
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15. 已知函数f（x）＝ （a∈R，a≠0）.
（1）当a＝－1时，求函数f（x）的极值；
解：当a＝－1时，f（x）＝ ，f'（x）＝ .
由f'（x）＝0，得x＝2.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （－∞，2） 2 （2， ＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f（x）的极小值为f（2）＝－ ，
函数f（x）无极大值.
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（2）若函数F（x）＝f（x）＋1没有零点，求实数a的取值范围.
解：F'（x）＝f'（x）＝ ＝ ，
令F'（x）＝0，得x＝2.
①当a＜0时，F'（x），F（x）随x的变化情况如下表：
x （－∞，2） 2 （2，＋∞）
F'（x） － 0 ＋
F（x） 单调递减 极小值 单调递增
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若使函数F（x）没有零点，当且仅当F（2）＝ ＋1＞0，
解得a＞－e2，所以此时－e2＜a＜0；
②当a＞0时，F'（x），F（x）随x的变化情况如下表：
x （－∞，2） 2 （2，＋∞）
F'（x） ＋ 0 －
F（x） 单调递增 极大值 单调递减
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当x＞2时，F（x）＝ ＋1＞1，
当x＜2时，令F（x）＝ ＋1＜0，
即a（x－1）＋ex＜0，
由于a（x－1）＋ex＜a（x－1）＋e2，
令a（x－1）＋e2≤0，
得x≤1－ ，
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即x≤1－ 时，
F（x）＜0，
所以F（x）总存在零点，
综上所述，所求实数a的取值范围是（－e2，0）.
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