6.4 数学建模活动：描述体重与脉搏率的关系
关于生物心率与体重之间的关系建立初等模型.
一、问题提出
生物学家认为，对于休息状态的热血动物，消耗的能量与用于维持体温、从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物（体重：g）与心率（单位：次/min）之间的关系模型，并用下面的数据加以检验.
动物 体重（g） 心率（次/min）
田鼠 25 670
家鼠 200 420
兔 2 000 205
小狗 5 000 120
大狗 30 000 85
羊 50 000 70
马 450 000 38
二、问题分析
1.根据生活经验可知，心率大小的影响因素不止一两个，由于很多因素我们无法控制，如在运动或休息状态下，心率的大小明显不同；随着年龄的增长，心率也会改变……为了能简化问题，我们假设所讨论的结果是在休息的状态下，显而易见，这样的假设比较粗略.
2.从问题的提出可以看到，对于热血动物来说，消耗能量与全身血流量成正比.体温从体表散失，于是有：体表散热率＝心跳产热率，而动物消耗的能量主要用于维持体温，而体内热量通过表面积散失，则有：能量∝动物的表面积，能量∝血流量.
3.建模的目的在于找出体重与心率之间的近似数量关系，由上表可看出，体重越大，其心率就越小；反之，动物体重越小，其心率就越大.
三、问题假设
1.本次模型只考虑在外界温度不变，动物在休息状态且身体正常的情况下的心率问题.
2.假设生物的体积与长度的立方完全成正比，表面积与长度的平方也完全成正比.
3.假设体表散热率等于心跳产热率.
4.假设每分钟总的血流量等于心率与每次心跳从心脏到全身的血流量的乘积.
5.假设供血能力与体重成正比.
6.假设每分钟通过血液提供的能量与每分钟总血流量成正比.
四、符号说明
符号 说明
S 生物身体的表面积
L 生物的长度
V 生物的体积
W 生物的体重
Q 每分钟为维持体温而流失的能量
E 每分钟通过血液提供的能量
T 每分钟总血流量
n 生物的心率
q 每次心跳从心脏到全身的血流量
k1 表面积S与长度L的比例系数
k2 体积V与长度L的比例系数
k3 体重W与体积V的比例系数
k4 能量Q与表面积S的比例系数
k5 q与W，n的比例系数
k6 能量E与总血流量T的比例系数
k 心率n与生物的体重W的比例系数
五、模型建立
根据以往的数学知识，可知：表面积S∝长度L的平方，体积V∝长度L的立方，即：S＝k1L2，V＝k2L3（其中k1，k2为常数且大于0），于是，有S＝， ①
又生物的体积V与体重W成正比，即W＝k3V，将其代入①式可得S＝， ②
为维持体温而流失的能量Q与动物的表面积有关，且是一种正比例关系，则有Q＝k4S，③
将③代入②得Q＝， ④
由假设体表散热率等于心跳产热率，即Q＝E，
则有E＝·， ⑤
由于假设供血能力与体重成正比，则有q＝k5W， ⑥
由于假设每分钟总的血流量等于心率与每次心跳从心脏到全身的血流量的乘积，则有T＝nq，由⑥式可得T＝k5nW， ⑦
由于假设每分钟通过血液提供的能量与每分钟总血流量成正比，则有E＝k6T， ⑧
将⑤式与⑦式代入⑧式可得
n＝， ⑨
⑨式就是通过比例关系所推导出的数学模型.
六、模型求解
要利用⑨由W来计算n，则首先要确定其中的参数k1，k2，k3，k4，k5，k6.由于要确定这六个参数需要进行测量以及查阅相关资料，为了方便起见，可以用另一种简便方法：将⑨式改写成n＝k（其中k＝）.这样，我们只需要确定参数k就可以得出n与W之间的关系.
七、模型推广
通过对生物体重与心率模型的研究，可以大致看出，体重越大，心率越小，在实际医疗问题中，对于通过控制体重来预防心脏病的发生这一举措，可以通过进一步优化，利用足够的数据，改进这个模型使人们能更有效的认识心脏病的发生和发展规律，从而研究出更为有效的心脏病防治措施.
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6.4 数学建模活动：描述体重与脉搏率的关系
关于生物心率与体重之间的关系建立初等模型.
一、问题提出
生物学家认为，对于休息状态的热血动物，消耗的能量与用于维持
体温、从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散
失，建立一个动物（体重：g）与心率（单位：次/min）之间的关系模
型，并用下面的数据加以检验.
动物 体重（g） 心率（次/min）
田鼠 25 670
家鼠 200 420
兔 2 000 205
小狗 5 000 120
大狗 30 000 85
羊 50 000 70
马 450 000 38
二、问题分析
1. 根据生活经验可知，心率大小的影响因素不止一两个，由于很多因
素我们无法控制，如在运动或休息状态下，心率的大小明显不同；
随着年龄的增长，心率也会改变……为了能简化问题，我们假设所
讨论的结果是在休息的状态下，显而易见，这样的假设比较粗略.
2. 从问题的提出可以看到，对于热血动物来说，消耗能量与全身血流
量成正比.体温从体表散失，于是有：体表散热率＝心跳产热率，
而动物消耗的能量主要用于维持体温，而体内热量通过表面积散
失，则有：能量∝动物的表面积，能量∝血流量.
3. 建模的目的在于找出体重与心率之间的近似数量关系，由上表
可看出，体重越大，其心率就越小；反之，动物体重越小，其
心率就越大.
三、问题假设
1. 本次模型只考虑在外界温度不变，动物在休息状态且身体正常的情
况下的心率问题.
2. 假设生物的体积与长度的立方完全成正比，表面积与长度的平方也
完全成正比.
3. 假设体表散热率等于心跳产热率.
4. 假设每分钟总的血流量等于心率与每次心跳从心脏到全身的血流量
的乘积.
5. 假设供血能力与体重成正比.
6. 假设每分钟通过血液提供的能量与每分钟总血流量成正比.
四、符号说明
符号 说明
S 生物身体的表面积
L 生物的长度
V 生物的体积
W 生物的体重
Q 每分钟为维持体温而流失的能量
E 每分钟通过血液提供的能量
符号 说明
T 每分钟总血流量
n 生物的心率
q 每次心跳从心脏到全身的血流量
k1 表面积S与长度L的比例系数
k2 体积V与长度L的比例系数
k3 体重W与体积V的比例系数
k4 能量Q与表面积S的比例系数
k5 q与W，n的比例系数
k6 能量E与总血流量T的比例系数
k 心率n与生物的体重W的比例系数
五、模型建立
根据以往的数学知识，可知：表面积S∝长度L的平方，体积V∝
长度L的立方，即：S＝k1L2，V＝k2L3（其中k1，k2为常数且大于
0），于是，有S＝ ， ①
又生物的体积V与体重W成正比，即W＝k3V，将其代入①式可得S
＝ ， ②
为维持体温而流失的能量Q与动物的表面积有关，且是一种正比例关
系，则有Q＝k4S， ③
将③代入②得Q＝ ， ④
由假设体表散热率等于心跳产热率，即Q＝E，
则有E＝ · ， ⑤
由于假设供血能力与体重成正比，则有q＝k5W， ⑥
由于假设每分钟总的血流量等于心率与每次心跳从心脏到全身的血流
量的乘积，则有T＝nq，由⑥式可得T＝k5nW， ⑦
由于假设每分钟通过血液提供的能量与每分钟总血流量成正比，则有
E＝k6T， ⑧
将⑤式与⑦式代入⑧式可得
n＝ ， ⑨
⑨式就是通过比例关系所推导出的数学模型.
六、模型求解
要利用⑨由W来计算n，则首先要确定其中的参数k1，k2，k3，
k4，k5，k6.由于要确定这六个参数需要进行测量以及查阅相关资料，
为了方便起见，可以用另一种简便方法：将⑨式改写成n＝
k .这样，我们只需要确定参数k就可以
得出n与W之间的关系.
七、模型推广
通过对生物体重与心率模型的研究，可以大致看出，体重越大，心
率越小，在实际医疗问题中，对于通过控制体重来预防心脏病的发生
这一举措，可以通过进一步优化，利用足够的数据，改进这个模型使
人们能更有效的认识心脏病的发生和发展规律，从而研究出更为有效
的心脏病防治措施.
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