第六章 导数及其应用 章末复习与总结(课件 学案)高中数学人教B版(2019)选择性必修 第三册

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名称 第六章 导数及其应用 章末复习与总结(课件 学案)高中数学人教B版(2019)选择性必修 第三册
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文件大小 2.3MB
资源类型 教案
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-06 18:59:54

文档简介

一、数学运算
数学运算、逻辑推理这两大核心素养在本章中体现较多,主要涉及以下内容:(1)导数的计算;(2)利用导数研究函数的单调性、极值、最值;(3)函数不等式的证明;(4)恒成立(能成立)的转化.
培优一 导数的几何意义
1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0),明确“过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程”与“在点P(x0,y0)处的曲线y=f(x)的切线方程”的异同点.
2.围绕着切点有三个等量关系:切点(x0,y0),则k=f'(x0),y0=f(x0),(x0,y0)满足切线方程,在求解参数问题中经常用到.
【例1】 已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.
尝试解答
培优二 利用导数研究函数的单调性
 借助导数研究函数的单调性,尤其是研究含有ln x,ex,-x3等初等函数(或复合函数)的单调性,是近几年高考的一个重点.其特点是导数f'(x)的符号一般由二次函数来确定;经常同一元二次方程、一元二次不等式结合,集分类讨论、数形结合于一体.
【例2】 (1)(2023·新高考Ⅱ卷6题)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,则实数a的最小值为(  )
A.e2        B.e
C.e-1 D.e-2
(2)(多选)(2024·新高考Ⅰ卷10题)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则(  )
A.x=3是f(x)的极小值点
B.当0<x<1时,f(x)<f(x2)
C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0
D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x)
尝试解答
培优三 利用导数研究函数的极值和最值
1.极值和最值是两个迥然不同的概念,前者是函数的“局部”性质,而后者是函数的“整体”性质.另函数有极值未必有最值,反之亦然.
2.判断函数“极值”是否存在时,务必把握以下原则:
(1)求定函数f(x)的定义域;
(2)求方程f'(x)=0的根;
(3)检验f'(x)=0的根的两侧f'(x)的符号:
若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值;
若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值.
导数的零点未必是极值点,这一点是解题时的主要失分点,学习时务必引起注意.
3.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法与步骤:
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将(1)求得的极值与f(a),f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为最小值.
【例3】 (1)(2022·全国甲卷6题)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)=(  )
A.-1 B.-
C. D.1
(2)(多选)(2023·新高考Ⅱ卷11题)若函数f(x)= aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则(  )
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac<0
尝试解答
培优四 利用导数证明不等式
 利用导数解决不等式问题(如:证明不等式、比较大小等),其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性,而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关.因此,解决该类问题通常是构造一个函数,然后考查这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.其实质是这样的:
要证不等式f(x)>g(x),则构造函数φ(x)=f(x)-g(x),只需证φ(x)>0即可,由此转化成求φ(x)最小值问题,借助于导数解决.
【例4】 (2023·新高考Ⅰ卷19题)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)证明:当a>0时,f(x)>2ln a+.
尝试解答
培优五 利用导数解决恒成立问题
解决恒成立问题的方法:
(1)若关于x的不等式f(x)≤m在区间D上恒成立,则转化为f(x)max≤m;
(2)若关于x的不等式f(x)≥m在区间D上恒成立,则转化为f(x)min≥m.
【例5】 (2023·全国甲卷21题)已知函数f(x)=ax-,x∈(0,).
(1)当a=8时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)<sin 2x,求a的取值范围.
尝试解答
培优六 利用导数研究方程的根或函数的零点
 讨论方程根的个数、研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不等式恒成立等问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用.破解问题的方法是根据题目的要求,借助导数将函数的单调性与极(最)值列出,然后再借助单调性和极(最)值情况,画出函数图象的草图,数形结合求解.
【例6】 已知a>0且a≠1,函数f(x)=(x>0).
(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;
(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.
尝试解答
二、数学建模
利用导数解决函数在实际问题中的应用问题,培养学生的数学建模核心素养.
培优七 导数的实际应用
解决优化问题的步骤:
(1)首先要分析问题中各个数量之间的关系,建立适当的函数模型,并确定函数的定义域;
(2)其次要通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最值,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具;
(3)最后验证数学问题的解是否满足实际意义.
【例7】 如图,四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域,地域内有一条河流MD,其经过的路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计).某公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN,试求游乐园的最大面积.
尝试解答
章末复习与总结
【例1】 解:(1)∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,
∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为f'(2)=13.
∴切线的方程为y=13(x-2)-6,
即y=13x-32.
(2)法一 设切点为(x0,y0),
则直线l的斜率为f'(x0)=3+1,
∴直线l的方程为
y=(3+1)(x-x0)++x0-16.
又∵直线l过点(0,0),∴0=(3+1)(-x0)++x0-16.
整理得,=-8,
∴x0=-2.
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.
f'(-2)=3×(-2)2+1=13.
∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
法二 设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),
则k==,
又∵k=f'(x0)=3+1,
∴=3+1.
解得x0=-2,
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.
k=3×(-2)2+1=13.
∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
【例2】 (1)C (2)ACD 解析:(1)法一 由题意,得f'(x)=aex-,∴f'(x)=aex-≥0在区间(1,2)上恒成立,即a≥在区间(1,2)上恒成立.设函数g(x)=,x∈(1,2),则g'(x)=-<0,∴函数g(x)在区间(1,2)单调递减.∴ x∈(1,2),g(x)<g(1)==e-1.∴a≥e-1,∴a的最小值为e-1.故选C.
法二 ∵函数f(x)=aex-ln x,∴f'(x)=aex-.∵函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,∴f'(x)≥0在(1,2)恒成立,即aex-≥0在(1,2)恒成立,易知a>0,则0<≤xex在(1,2)恒成立.设g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex.当x∈(1,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,∴在(1,2)上,g(x)>g(1)=e,∴≤e,即a≥=e-1,故选C.
(2)对A,因为函数f(x)的定义域为R,而f'(x)=2(x-1)·(x-4)+(x-1)2=3(x-1)·(x-3),易知当x∈(1,3)时,f'(x)<0,当x∈(-∞,1)或x∈(3,+∞)时,f'(x)>0,故函数f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,故x=3是函数f(x)的极小值点,A正确;对B,当0<x<1时,x-x2=x(1-x)>0,所以x>x2,又函数f(x)在(0,1)上单调递增,所以f(x)>f(x2),B错误;对C,当1<x<2时,1<2x-1<3,而由上可知,函数f(x)在(1,3)上单调递减,所以f(1)>f(2x-1)>f(3),即-4<f(2x-1)<0,C正确;对D,由2-x-x=2-2x,又-1<x<0,故2-2x>0,所以f(2-x)-f(x)=(1-x)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2·(2-2x)>0,D正确.故选A、C、D.
【例3】 (1)B (2)BCD 解析:(1)由题意知,f(1)=aln 1+b=b=-2.求导得f'(x)=-(x>0),因为f(x)的定义域为(0,+∞),所以易得f'(1)=a-b=0,所以a=-2,所以f'(2)=-=-.故选B.
(2)因为函数f(x)=aln x++(a≠0),所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=,因为函数f(x)既有极大值也有极小值,所以关于x的方程ax2-bx-2c=0有两个不等的正实根x1,x2,则即所以故选B、C、D.
【例4】 解:(1)由题意知,f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=aex-1.
当a≤0时,易知f'(x)<0,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.
当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln.
当x∈(-∞,ln)时,f'(x)<0;当x∈(ln,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,ln)上单调递减,在(ln,+∞)上单调递增.
综上可知,当a≤0时,f(x)在(-∞,+∞)上是减函数;当a>0时,f(x)在(-∞,ln)上单调递减,在(ln,+∞)上单调递增.
(2)证明:法一 由(1)知,当a>0时,f(x)在(-∞,ln)上单调递减,在(ln,+∞)上单调递增.
所以f(x)min=f(ln)=a(+a)-ln=1+a2+ln a.
令g(x)=1+x2+ln x-(2ln x+),x>0,
即g(x)=x2-ln x-,x>0,
则g'(x)=2x-=.
令g'(x)=0,得x=.
当x∈(0,)时,g'(x)<0;当x∈(,+∞)时,g'(x)>0.
所以g(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
所以g(x)min=g()=()2-ln -=-ln>0,
所以1+x2+ln x>2ln x+对 x>0恒成立,
所以当a>0时,1+a2+ln a>2ln a+恒成立.
即当a>0时,f(x)>2ln a+.
法二 当a>0时,由(1)得,f(x)min=f(-ln a)=1+a2+ln a,
故欲证f(x)>2ln a+成立,
只需证1+a2+ln a>2ln a+,
即证a2->ln a.
构造函数u(a)=ln a-(a-1)(a>0),
则u'(a)=-1=,所以当a>1时,u'(a)<0;当0<a<1时,u'(a)>0.
所以函数u(a)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以u(a)≤u(1)=0,即ln a≤a-1,
故只需证a2->a-1,即证a2-a+>0,
因为a2-a+=(a-)2+>0恒成立,
所以当a>0时,f(x)>2ln a+.
【例5】 解:(1)当a=8时,f(x)=8x-(x∈(0,)),
f'(x)=8-=8+-.
令=t,则t∈(1,+∞),
令h(t)=-3t2+2t+8=-(3t+4)(t-2),
当t∈(1,2)时,h(t)>0;当t∈(2,+∞)时,h(t)<0.
故当x∈(0,)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(,) 时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
∴f(x)在区间(0,)上单调递增,在区间(,)上单调递减.
(2)令g(x)=f(x)-sin 2x=ax--sin 2x,
则g'(x)=a--2cos 2x=a--4cos2x+2=a-(+4cos2x-2),
令u=cos2x,则u∈(0,1),令k(u)=+4u-2,
则k'(u)=+4=.
当u∈(0,1)时,k'(u)<0,
∴k(u)在(0,1)上单调递减,
∵k(1)=3,∴当u∈(0,1)时,k(u)>3,
∴k(u)的值域为(3,+∞).
①当a≤3时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,)上单调递减,
又g(0)=0,
∴当x∈(0,)时,g(x)<0,即f(x)<sin 2x.
②当a>3时, x0∈(0,)使得g'(x0)=0,
∴g(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,)上单调递减,
∴g(x0)>g(0)=0,
∴f(x)<sin 2x不成立.
综上所述,a的取值范围为(-∞,3].
【例6】 解:(1)当a=2时,f(x)=(x>0),
f'(x)=(x>0),
令f'(x)>0,则0<x<,此时函数f(x)单调递增,
令f'(x)<0,则x>,此时函数f(x)单调递减,
所以函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,
可转化为方程=1(x>0)有两个不同的解,即方程=有两个不同的解.
设g(x)=(x>0),则g'(x)=(x>0),
令g'(x)==0,得x=e,
当0<x<e时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,
当x>e时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,
故g(x)max=g(e)=,
且当x>e时,g(x)∈,
又g(1)=0, 所以0<<,所以a>1且a≠e,
即a的取值范围为(1,e)∪(e,+∞).
【例7】 解:如图,以M点为原点,AB所在直线为y轴建立直角坐标系,则D(4,2).
设抛物线方程为y2=2px.
∵点D在抛物线上,
∴22=8p,解得p=.
∴抛物线方程为y2=x(0≤x≤4,0≤y≤2).
设P(y2,y)(0≤y≤2)是曲线MD上任一点,
则|PQ|=2+y,|PN|=4-y2.
∴矩形游乐园面积为
S=|PQ|·|PN|=(2+y)(4-y2)=8-y3-2y2+4y.
求导得,S'=-3y2-4y+4,令S'=0,
得3y2+4y-4=0,
解得y=或y=-2(舍).
当y∈时,S'>0,函数单调递增;
当y∈时,S'<0,函数单调递减.
∴当y=时,S有极大值且为最大值.
此时|PQ|=2+y=2+=,
|PN|=4-y2=4-=.
∴游乐园的最大面积为Smax=×=(km2).
3 / 3(共48张PPT)
章末复习与总结
一、数学运算与逻辑推理
数学运算、逻辑推理这两大核心素养在本章中体现较多,主要涉
及以下内容:(1)导数的计算;(2)利用导数研究函数的单调
性、极值、最值;(3)函数不等式的证明;(4)恒成立(能成
立)的转化.
题型一 导数的几何意义
1. 利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y-y0
=f'(x0)(x-x0),明确“过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)
的切线方程”与“在点P(x0,y0)处的曲线y=f(x)的切线方
程”的异同点.
2. 围绕着切点有三个等量关系:切点(x0,y0),则k=f'(x0),
y0=f(x0),(x0,y0)满足切线方程,在求解参数问题中经常
用到.
【例1】 已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;
解:∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,
∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为f'(2)=13.
∴切线的方程为y=13(x-2)-6,
即y=13x-32.
(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程
及切点坐标.
解:法一 设切点为(x0,y0),
则直线l的斜率为f'(x0)=3 +1,
∴直线l的方程为
y=(3 +1)(x-x0)+ +x0-16.
又∵直线l过点(0,0),
∴0=(3 +1)(-x0)+ +x0-16.
整理得, =-8,
∴x0=-2.
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.
f'(-2)=3×(-2)2+1=13.
∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
法二 设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),
则k= = ,
又∵k=f'(x0)=3 +1,
∴ =3 +1.
解得x0=-2,
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.
k=3×(-2)2+1=13.
∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).
题型二 利用导数研究函数的单调性
 借助导数研究函数的单调性,尤其是研究含有ln x,ex,-x3等初等
函数(或复合函数)的单调性,是近几年高考的一个重点.其特点是
导数f'(x)的符号一般由二次函数来确定;经常同一元二次方程、一
元二次不等式结合,集分类讨论、数形结合于一体.
【例2】 (1)(2023·新高考Ⅱ卷6题)已知函数f(x)=aex-ln x
在区间(1,2)上单调递增,则实数a的最小值为(  )
A. e2 B. e
C. e-1 D. e-2
解析:法一 由题意,得f'(x)=aex- ,∴f'(x)=
aex- ≥0在区间(1,2)上恒成立,即a≥ 在区间(1,
2)上恒成立.设函数g(x)= ,x∈(1,2),则g'(x)
=- <0,∴函数g(x)在区间(1,2)单调递减.∴ x∈
(1,2),g(x)<g(1)= =e-1.∴a≥e-1,∴a的最小
值为e-1.故选C.
法二 ∵函数f(x)=aex-ln x,∴f'(x)=aex- .∵函数f
(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,∴f'(x)≥0在(1,
2)恒成立,即aex- ≥0在(1,2)恒成立,易知a>0,则0<
≤xex在(1,2)恒成立.设g(x)=xex,则g'(x)=(x+1)ex.
当x∈(1,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,∴在(1,2)
上,g(x)>g(1)=e,∴ ≤e,即a≥ =e-1,故选C.
(2)(多选)(2024·新高考Ⅰ卷10题)设函数f(x)=(x-1)2
(x-4),则(  )
A. x=3是f(x)的极小值点
B. 当0<x<1时,f(x)<f(x2)
C. 当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0
D. 当-1<x<0时,f(2-x)>f(x)
解析:对A,因为函数f(x)的定义域为R,而f'(x)=2(x-1)
(x-4)+(x-1)2=3(x-1)·(x-3),易知当x∈(1,3)
时,f'(x)<0,当x∈(-∞,1)或x∈(3,+∞)时,f'(x)
>0,故函数f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,3)上单调
递减,在(3,+∞)上单调递增,故x=3是函数f(x)的极小值
点,A正确;对B,当0<x<1时,x-x2=x(1-x)>0,所以x>
x2,又函数f(x)在(0,1)上单调递增,所以f(x)>f(x2),
B错误;对C,当1<x<2时,1<2x-1<3,而由上可知,函数f
(x)在(1,3)上单调递减,所以f(1)>f(2x-1)>f
(3),即-4<f(2x-1)<0,C正确;
对D,由2-x-x=2-2x,又-1<x<0,故2-2x>0,所以f(2
-x)-f(x)=(1-x)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x
-1)2(2-2x)>0,D正确.故选A、C、D.
题型三 利用导数研究函数的极值和最值
1. 极值和最值是两个迥然不同的概念,前者是函数的“局部”性
质,而后者是函数的“整体”性质.另函数有极值未必有最值,
反之亦然.
2. 判断函数“极值”是否存在时,务必把握以下原则:
(1)求定函数f(x)的定义域;
(2)求方程f'(x)=0的根;
(3)检验f'(x)=0的根的两侧f'(x)的符号:
若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值;
若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值.
导数的零点未必是极值点,这一点是解题时的主要失分点,
学习时务必引起注意.
3. 求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法与步
骤:
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将(1)求得的极值与f(a),f(b)相比较,其中最大的
一个值为最大值,最小的一个值为最小值.
【例3】 (1)(2022·全国甲卷6题)当x=1时,函数f(x)=aln
x+ 取得最大值-2,则f'(2)=(  )
A. -1 B. -
C. D. 1
解析:由题意知,f(1)=aln 1+b=b=-2.求导得f'
(x)= - (x>0),因为f(x)的定义域为(0,+
∞),所以易得f'(1)=a-b=0,所以a=-2,所以f'(2)
= - =- .故选B.
(2)(多选)(2023·新高考Ⅱ卷11题)若函数f(x)= aln x+ +
(a≠0)既有极大值也有极小值,则(  )
A. bc>0 B. ab>0
C. b2+8ac>0 D. ac<0
解析:因为函数f(x)=aln x+ + (a≠0),所以函数f
(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= ,因为函数
f(x)既有极大值也有极小值,所以关于x的方程ax2-bx-2c
=0有两个不等的正实根x1,x2,则即
所以故选B、C、D.
题型四 利用导数证明不等式
 利用导数解决不等式问题(如:证明不等式、比较大小等),其实
质就是利用求导数的方法研究函数的单调性,而证明不等式(或比较
大小)常与函数最值问题有关.因此,解决该类问题通常是构造一个
函数,然后考查这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间
端点的函数值使问题得以求解.其实质是这样的:
要证不等式f(x)>g(x),则构造函数φ(x)=f(x)-g
(x),只需证φ(x)>0即可,由此转化成求φ(x)最小值问题,
借助于导数解决.
【例4】 (2023·新高考Ⅰ卷19题)已知函数f(x)=a(ex+a)
-x.
(1)讨论f(x)的单调性;
解:由题意知,f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'
(x)=aex-1.
当a≤0时,易知f'(x)<0,则f(x)在(-∞,+∞)上是
减函数.
当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln .
当x∈(-∞,ln )时,f'(x)<0;当x∈(ln ,+∞)
时,f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,ln )上单调递减,在(ln ,+∞)上
单调递增.
综上可知,当a≤0时,f(x)在(-∞,+∞)上是减函数;
当a>0时,f(x)在(-∞,ln )上单调递减,在(ln ,+
∞)上单调递增.
(2)证明:当a>0时,f(x)>2ln a+ .
解:证明:法一 由(1)知,当a>0时,f(x)在
(-∞,ln )上单调递减,在(ln ,+∞)上单调递增.
所以f(x)min=f(ln )=a( +a)-ln =1+a2+ln
a.
令g(x)=1+x2+ln x-(2ln x+ ),x>0,
即g(x)=x2-ln x- ,x>0,
则g'(x)=2x- = .
令g'(x)=0,得x= .
当x∈(0, )时,g'(x)<0;当x∈( ,+∞)时,g'
(x)>0.
所以g(x)在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单
调递增,
所以g(x)min=g( )=( )2-ln - =-ln >0,
所以1+x2+ln x>2ln x+ 对 x>0恒成立,
所以当a>0时,1+a2+ln a>2ln a+ 恒成立.
即当a>0时,f(x)>2ln a+ .
法二 当a>0时,由(1)得,f(x)min=f(-ln a)=1+a2+lna,
故欲证f(x)>2ln a+ 成立,
只需证1+a2+ln a>2ln a+ ,
即证a2- >ln a.
构造函数u(a)=ln a-(a-1)(a>0),
则u'(a)= -1= ,
所以当a>1时,u'(a)<0;当0<a<1时,u'(a)>0.
所以函数u(a)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递
减,
所以u(a)≤u(1)=0,即ln a≤a-1,
故只需证a2- >a-1,即证a2-a+ >0,
因为a2-a+ =(a- )2+ >0恒成立,
所以当a>0时,f(x)>2ln a+ .
题型五 利用导数解决恒成立问题
解决恒成立问题的方法:
(1)若关于x的不等式f(x)≤m在区间D上恒成立,则转化为f
(x)max≤m;
(2)若关于x的不等式f(x)≥m在区间D上恒成立,则转化为f
(x)min≥m.
【例5】 (2023·全国甲卷21题)已知函数f(x)=ax- ,x∈
(0, ).
(1)当a=8时,讨论f(x)的单调性;
解:当a=8时,f(x)=8x- (x∈(0, )),
f'(x)=8- =8+ - .
令 =t,则t∈(1,+∞),
令h(t)=-3t2+2t+8=-(3t+4)(t-2),
当t∈(1,2)时,h(t)>0;当t∈(2,+∞)时,h(t)
<0.
故当x∈(0, )时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈( , ) 时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
∴f(x)在区间(0, )上单调递增,在区间( , )上单
调递减.
(2)若f(x)< sin 2x,求a的取值范围.
解:令g(x)=f(x)- sin 2x=ax- - sin 2x,
则g'(x)=a- -2 cos 2x=a- -
4 cos 2x+2=a-( +4 cos 2x-2),
令u= cos 2x,则u∈(0,1),令k(u)= +4u-2,
则k'(u)= +4= .
当u∈(0,1)时,k'(u)<0,
∴k(u)在(0,1)上单调递减,
∵k(1)=3,∴当u∈(0,1)时,k(u)>3,
∴k(u)的值域为(3,+∞).
①当a≤3时,g'(x)<0,
∴g(x)在(0, )上单调递减,
又g(0)=0,∴当x∈(0, )时,g(x)<0,即f(x)<
sin 2x.
②当a>3时, x0∈(0, )使得g'(x0)=0,
∴g(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0, )上单调递减,
∴g(x0)>g(0)=0,
∴f(x)< sin 2x不成立.
综上所述,a的取值范围为(-∞,3].
题型六 利用导数研究方程的根或函数的零点
 讨论方程根的个数、研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不
等式恒成立等问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应
用.破解问题的方法是根据题目的要求,借助导数将函数的单调性与
极(最)值列出,然后再借助单调性和极(最)值情况,画出函数图
象的草图,数形结合求解.
【例6】 已知a>0且a≠1,函数f(x)= (x>0).
(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;
解:当a=2时,f(x)= (x>0),
f'(x)= (x>0),
令f'(x)>0,则0<x< ,此时函数f(x)单调递增,
令f'(x)<0,则x> ,此时函数f(x)单调递减,
所以函数f(x)的单调递增区间为 ,单调递减区间为
.
(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值
范围.
解:曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,
可转化为方程 =1(x>0)有两个不同的解,即方程 =
有两个不同的解.
设g(x)= (x>0),
则g'(x)= (x>0),
令g'(x)= =0,得x=e,
当0<x<e时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,
当x>e时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减,
故g(x)max=g(e)= ,
且当x>e时,g(x)∈ ,
又g(1)=0, 所以0< < ,所以a>1且a≠e,
即a的取值范围为(1,e)∪(e,+∞).
二、数学建模
利用导数解决函数在实际问题中的应用问题,培养学生的数学建模核
心素养.
题型七 导数的实际应用
解决优化问题的步骤:
(1)首先要分析问题中各个数量之间的关系,建立适当的函数模
型,并确定函数的定义域;
(2)其次要通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最值,提
出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有
力的工具;
(3)最后验证数学问题的解是否满足实际意义.
【例7】 如图,四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域,地域
内有一条河流MD,其经过的路线是以AB中点M为顶点且开口向右的
抛物线(河流宽度忽略不计).某公司准备投资建一个大型矩形游乐
园PQCN,试求游乐园的最大面积.
解:如图,以M点为原点,AB所在直线为y轴建立直
角坐标系,则D(4,2).
设抛物线方程为y2=2px.
∵点D在抛物线上,
∴22=8p,解得p= .
∴抛物线方程为y2=x(0≤x≤4,0≤y≤2).
设P(y2,y)(0≤y≤2)是曲线MD上任一点,
则|PQ|=2+y,|PN|=4-y2.
∴矩形游乐园面积为
S=|PQ|·|PN|=(2+y)(4-y2)=8-y3-2y2+4y.
求导得,S'=-3y2-4y+4,令S'=0,
得3y2+4y-4=0,
解得y= 或y=-2(舍).
当y∈ 时,S'>0,函数单调递增;
当y∈ 时,S'<0,函数单调递减.
∴当y= 时,S有极大值且为最大值.
此时|PQ|=2+y=2+ = ,
|PN|=4-y2=4- = .
∴游乐园的最大面积为Smax= × = (km2).
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