2.1 命题、定理、定义
1.以下语句：①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2＞x；④{x｜x2＋1＝0}，其中命题的个数是（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
2.下列命题为真命题的是（ ）
A.mx2＋2x－1＝0是一元二次方程
B.函数y＝2x－1的图象与x轴没有交点
C.互相包含的两个集合相等
D.空集是任何集合的真子集
3.下列说法正确的是（ ）
A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B.语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C.命题“对角线互相垂直的平行四边形是正方形”是真命题
D.“x＝1时，x2－3x＋2＝0”是真命题
4.下列命题中是真命题的为（ ）
A.面积相等的三角形全等
B.若ab＝0，则｜a｜＋｜b｜＝0
C.若x∈N，则x3＞x2成立
D.矩形的对角线相等
5.（多选）给出命题“方程x2＋ax＋1＝0有实数根”，则使该命题为真命题的a的值可以是（ ）
A.4 B.2
C.0 D.－3
6.命题“若实数a，b满足2a＋b＞3，则a＞1且b＞1”是 命题.（填“真”或“假”）
7.把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为 .
8.命题“若x＞1，则x＞a”是真命题，则实数a的取值范围是 .
9.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是 .（填序号）
10.写出下列命题的条件p和结论q，并判断真假：
（1）若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；
（2）若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.
11.设a，b∈R，则下列命题是真命题的是（ ）
A.若a＜b，则a2＜b2
B.若a≠b，则a2≠b2
C.若a＜｜b｜，则a2＜b2
D.若a＞｜b｜，则a2＞b2
12.（多选）已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中是真命题的是（ ）
A.M中的元素都不是P中的元素
B.M中有不属于P的元素
C.M中有属于P的元素
D.M中的元素不都是P中的元素
13.若“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a的取值范围是 .
14.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：
（1）负数的立方是负数；
（2）等底等高的两个三角形是全等三角形；
（3）已知a∈R，当x＋a为无理数时，x为无理数.
15.在某次数学讨论课上，关于x的方程x2＋ax＋b＝0的根，有四名同学发表了自己的看法：
学生甲：x＝1是该方程的根；
学生乙：x＝3是该方程的根；
学生丙：该方程两根之和为2；
学生丁：该方程两根异号.
若这四名同学只有一人说法错误，你能找到这名同学吗？
2.1 命题、定理、定义
1.B ①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题.故选B.
2.C A中，当m＝0时，是一元一次方程，是假命题；B中，函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点，是假命题；C是真命题；D中，空集不是本身的真子集，是假命题.故选C.
3.D A中，命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以A错误；B中，语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以B错误；C中，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C错误；只有D正确.故选D.
4.D A中，面积相等的三角形不一定全等，是假命题；B中，若a＝3，b＝0，则ab＝0，但｜a｜＋｜b｜≠0，是假命题；C是假命题，当x＝0时，x3＞x2不成立；D中，矩形的对角线一定相等，是真命题.故选D.
5.ABD 方程有实根时，应满足Δ＝a2－4≥0，故符合条件的值为4，2，－3.故选A、B、D.
6.假 解析：当a＝0，b＝4时，满足2a＋b＞3，所以命题是假命题.
7.若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除
8.（－∞，1] 解析：若x＞1，则x＞a是真命题，则a≤1.
9.① 解析：对于①，假设a≤1，b≤1，则a＋b≤2，与已知条件a＋b＞2矛盾，故假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1，①正确；对于②，若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2成立，故由②不能推出“a，b中至少有一个大于1.”
10.解：（1）p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6，是真命题.
（2）p：xy＝0，q：x，y中至少有一个为0，是真命题.
11.D 因为a＝－1＜b＝1，a2＝b2，所以A错误；因为a＝1≠b＝－1，a2＝b2，所以B错误；因为a＝－1＜｜b｜＝1，a2＝b2，所以C错误；因为a＞｜b｜≥0，a2＞b2，所以D正确.故选D.
12.BD A、C错误；B、D正确.故选B、D.
13.{a｜a＜且a≠0} 解析：由题意知解得a＜且a≠0.
14.解：（1）若一个数是负数，则它的立方是负数.真命题.
（2）若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形.假命题.
（3）已知a∈R，若x＋a为无理数，则x为无理数.假命题.
15.解：若学生甲说法错误，则学生乙、丙、丁说法正确，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的一根为3，由于两根之和为2，则该方程的另一根为－1，两根异号，符合题意；
若学生乙说法错误，则学生甲、丙、丁说法正确，则x＝1是方程x2＋ax＋b＝0的一根，由于两根之和为2，则另一根也为1，两根同号，不符合题意；
若学生丙说法错误，则学生甲、乙、丁说法正确，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的两根为1和3，两根同号，不符合题意；
若学生丁说法错误，则学生甲、乙、丙说法正确，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的两根为1和3，两根之和为4，不符合题意.
综上所述，说法错误的同学是甲.
2 / 2第二章 常用逻辑用语
2.1 命题、定理、定义
新课程标准解读 核心素养
1.理解命题、定理、定义的概念 数学抽象、逻辑推理
2.会判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式 数学抽象、逻辑推理
“红豆生南国，春来发几枝.愿君多采撷，此物最相思.”这首诗名为《相思》，是唐代诗人王维的作品.
【问题】 （1）在这4句诗中，哪句是陈述句？哪句是疑问句？哪句是祈使句？哪句是感叹句？
（2）疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题？诗中哪句可以作为命题？
知识点一 命题
1.命题的定义：可 的陈述句叫作命题.
2.命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中 叫作命题的条件， 叫作命题的结论.
3.命题的分类：判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题.
提醒 判断命题为真，需要进行证明，判断命题为假，只需举出一个反例即可.
【想一想】
1.陈述句一定是命题吗？
2.命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”的条件和结论分别是什么？
3.“若p，则q”形式的命题一定是真命题吗？
知识点二 定理、定义
1.定理：在数学中，有些已经被证明为 的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理.
2.定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵.
提醒 （1）数学中的定理、推论和定义都是真命题；（2）数学中的定义既可以用于对某些对象的判断，也可以作为某类对象所具有的性质.
1.（多选）下列语句是命题的是（ ）
A.集合{a，b，c}有3个子集
B.x2－3x＋2＝0
C.一个数不是合数就是素数
D.4是集合{1，2，3}中的元素
2.语句“若a＝b，则a＋c＝b＋c”（ ）
A.不是命题
B.是真命题
C.是假命题
D.不能判断真假
3.下列命题是真命题的是 （填序号）.
①若a＝b，则a2＝b2；
②若a2＝b2，则a＝b；
③对顶角相等；
④两直线平行，同旁内角互补.
题型一 命题的概念
【例1】 判断下列语句是否是命题，并说明理由：
（1）有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形；
（2）3x2≤5；
（3）2是质数吗？
（4）若x2＝1，则x＝1.
通性通法
判断语句是否是命题的策略
（1）命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；
（2）对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题.
【跟踪训练】
下列语句中是命题的有 ；是真命题的有 .（填序号）
①求证是无理数；②二次函数的图象太美了！③四条边都相等的四边形是矩形；④若x＝2，则x2－1＞0.
题型二 命题的结构
【例2】 （链接教科书第27页例1）指出下列命题中的条件p和结论q：
（1）若a≤0，则｜a｜≥0；
（2）如果四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；
（3）菱形的对角线互相垂直.
通性通法
确定命题的条件和结论
命题若表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论.
【跟踪训练】
指出下列命题中的条件p和结论q：
（1）若x＋y＝0，则x，y互为相反数；
（2）当x＝4时，2x＋1＜0；
（3）若x＝3或x＝7，则（x－3）（x－7）＝0.
题型三 命题的改写
【例3】 （链接教科书第28页例2）将下列命题改写成“若p，则q”的形式：
（1）当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有实数解；
（2）已知x，y∈N，当y－x＝2时，y＝4，x＝2；
（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
通性通法
将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则
提醒 若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中.
【跟踪训练】
将下列命题改写成“若p，则q”的形式：
（1）奇数不能被2整除；
（2）当（a－1）2＋（b－1）2＝0时，a＝b＝1；
（3）两个相似三角形是全等三角形.
题型四 命题真假的判断
【例4】 （链接教科书第28页例3）判断下列命题的真假，并说明理由：
（1）若｜a｜＜b，则a2＜b2；
（2）若a＝b，则＝；
（3）正方形的邻边互相垂直；
（4）同底等高的两个三角形面积相等.
通性通法
命题真假的判定方法
（1）真命题的判断方法：要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证；
（2）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.
【跟踪训练】
1.下列命题是真命题的是（ ）
A.若ab＝1，则a，b互为倒数
B.平面内，四条边相等的四边形是正方形
C.平行四边形是梯形
D.若ac2＝bc2，则a＝b
2.已知不等式x－5≤0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是 .
1.下列语句为命题的是（ ）
A.x2－1＝0 B.2＋3＝8
C.你会说英语吗？ D.这是一棵大树
2.（多选）下列命题是真命题的是（ ）
A.所有质数都是奇数
B.若a≥0，则｜a｜≥0
C.相似三角形的对应角相等
D.若m是偶数，则m是合数
3.将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假：
（1）当a＞b时，有ac2＞bc2；
（2）实数的平方是非负实数；
（3）能被6整除的数既能被3整除也能被2整除.
2.1 命题、定理、定义
【基础知识·重落实】
知识点一
1.判断真假 2.p q
想一想
1.提示：不一定.
2.提示：条件：x＝2；结论：x2－3x＋2＝0.
3.提示：不一定.
知识点二
1.真
自我诊断
1.ACD 选项A、C、D是陈述句，且能判断真假，是命题，选项B不能判断真假.故选A、C、D.
2.B 语句是陈述句，且是真的，所以是真命题.故选B.
3.①③④ 解析：序号①③④的命题是真命题，序号②中，若a2＝b2，则a＝±b，是假命题.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）“有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形”是陈述句，且是真的，所以它是命题.
（2）因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题.
（3）“2是质数吗？”是疑问句，所以它不是命题.
（4）“若x2＝1，则x＝1”是陈述句，且是假的，所以它是命题.
跟踪训练
③④ ④ 解析：①是祈使句，不是命题.
②是感叹句，不是命题.
③是命题，四条边都相等的四边形是矩形，该陈述句是假的，所以是假命题.
④是命题，x＝2时，x2－1＝3＞0，可以判断该陈述句的真假，故它是命题，并且是真命题.
【例2】 解：（1）p：a≤0，q：｜a｜≥0.
（2）p：四边形的一组对边平行且相等，q：这个四边形是平行四边形.
（3）p：四边形是菱形，q：对角线互相垂直.
跟踪训练
解：（1）p：x＋y＝0，q：x，y互为相反数.
（2）p：x＝4，q：2x＋1＜0.
（3）p：x＝3或x＝7，q：（x－3）（x－7）＝0.
【例3】 解：（1）若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有实数解.
（2）已知x，y∈N，若y－x＝2，则y＝4，x＝2.
（3）若一个四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形.
跟踪训练
解：（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除.
（2）若（a－1）2＋（b－1）2＝0，则a＝b＝1.
（3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形.
【例4】 解：（1）是真命题，因为b＞｜a｜≥0，所以b2＞a2，即a2＜b2.
（2）是假命题，当a＝b＝－2时，与没有意义.
（3）是真命题，由正方形的性质可知，正方形四个内角都是90°，所以其邻边互相垂直.
（4）是真命题，由三角形的面积公式可知，同底等高的两个三角形面积相等.
跟踪训练
1.A A是真命题；B中，平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形；C中，平行四边形不是梯形；D中，当c＝0时，a，b可能不相等.故选A.
2.（5，＋∞） 解析：由题意得A＝{x｜x≤5}，又∵a∈A是假命题，即a A，∴a＞5.
随堂检测
1.B 命题是可以判断真假的陈述句.A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假.
2.BC 2是质数，但不是奇数，选项A错误；易知选项B正确；由相似三角形的性质，易知选项C正确；2是偶数，但不是合数，选项D错误.故选B、C.
3.解：（1）若a＞b，则ac2＞bc2，是假命题.
（2）若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题.
（3）若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，是真命题.
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2.1 命题、定理、定义
新课程标准解读 核心素养
1.理解命题、定理、定义的概念 数学抽象、逻
辑推理
2.会判断命题的真假；能把命题改写成“若 p ，则
q ”的形式 数学抽象、逻
辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
“红豆生南国，春来发几枝.愿君多采撷，此物最相思.”这首诗名为《相思》，是唐代诗人王维的作品.
【问题】 （1）在这4句诗中，哪句是陈述句？哪句是疑问句？哪句
是祈使句？哪句是感叹句？
（2）疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题？诗中哪句可以作为
命题？
知识点一 命题
1. 命题的定义：可 的陈述句叫作命题.
2. 命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果 p ，那么
q ”或“若 p ，则 q ”的形式，其中 叫作命题的条件，
叫作命题的结论.
3. 命题的分类：判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假
命题.
判断真假
p
q
提醒 判断命题为真，需要进行证明，判断命题为假，只需举出一
个反例即可.
【想一想】
1. 陈述句一定是命题吗？
提示：不一定.
2. 命题“当 x ＝2时， x2－3 x ＋2＝0”的条件和结论分别是什么？
提示：条件： x ＝2；结论： x2－3 x ＋2＝0.
3. “若 p ，则 q ”形式的命题一定是真命题吗？
提示：不一定.
知识点二 定理、定义
1. 定理：在数学中，有些已经被证明为 的命题可以作为推理的
依据而直接使用，一般称之为定理.
2. 定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问
题中对象的内涵.
提醒 （1）数学中的定理、推论和定义都是真命题；（2）数学中
的定义既可以用于对某些对象的判断，也可以作为某类对象所具有
的性质.
真
1. （多选）下列语句是命题的是（ ）
A. 集合{ a ， b ， c }有3个子集
B. x2－3 x ＋2＝0
C. 一个数不是合数就是素数
D. 4是集合{1，2，3}中的元素
解析： 选项A、C、D是陈述句，且能判断真假，是命题，
选项B不能判断真假.故选A、C、D.
2. 语句“若 a ＝ b ，则 a ＋ c ＝ b ＋ c ”（ ）
A. 不是命题
B. 是真命题
C. 是假命题
D. 不能判断真假
解析： 语句是陈述句，且是真的，所以是真命题.故选B.
3. 下列命题是真命题的是 （填序号）.
①若 a ＝ b ，则 a2＝ b2；②若 a2＝ b2，则 a ＝ b ；③对顶角相等；④
两直线平行，同旁内角互补.
解析：序号①③④的命题是真命题，序号②中，若 a2＝ b2，则 a ＝
± b ，是假命题.
①③④
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 命题的概念
【例1】 判断下列语句是否是命题，并说明理由：
（1）有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形；
解： “有一个内角是60°的等腰三角形是正三角形”是陈述
句，且是真的，所以它是命题.
（2）3 x2≤5；
解：因为无法判断“3 x2≤5”的真假，所以它不是命题.
（3）2是质数吗？
解：“2是质数吗？”是疑问句，所以它不是命题.
（4）若 x2＝1，则 x ＝1.
解：“若 x2＝1，则 x ＝1”是陈述句，且是假的，所以它是
命题.
通性通法
判断语句是否是命题的策略
（1）命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹
句等都不是命题；
（2）对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断
其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题.
【跟踪训练】
下列语句中是命题的有 ；是真命题的有 .（填序号）
①求证 是无理数；
②二次函数的图象太美了！
③四条边都相等的四边形是矩形；
④若 x ＝2，则 x2－1＞0.
③④
④
解析：①是祈使句，不是命题.
②是感叹句，不是命题.
③是命题，四条边都相等的四边形是矩形，该陈述句是假的，所以是
假命题.
④是命题， x ＝2时， x2－1＝3＞0，可以判断该陈述句的真假，故它
是命题，并且是真命题.
题型二 命题的结构
【例2】 （链接教科书第27页例1）指出下列命题中的条件 p 和结论
q ：
（1）若 a ≤0，则｜ a ｜≥0；
解： p ： a ≤0， q ：｜ a ｜≥0.
（2）如果四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四
边形；
解： p ：四边形的一组对边平行且相等， q ：这个四边形是平行
四边形.
（3）菱形的对角线互相垂直.
解： p ：四边形是菱形， q ：对角线互相垂直.
通性通法
确定命题的条件和结论
命题若表示为“如果 p ，那么 q ”或“若 p ，则 q ”的形式，其中
p 叫作命题的条件， q 叫作命题的结论.
【跟踪训练】
指出下列命题中的条件 p 和结论 q ：
（1）若 x ＋ y ＝0，则 x ， y 互为相反数；
解： p ： x ＋ y ＝0， q ： x ， y 互为相反数.
（2）当 x ＝4时，2 x ＋1＜0；
解： p ： x ＝4， q ：2 x ＋1＜0.
（3）若 x ＝3或 x ＝7，则（ x －3）（ x －7）＝0.
解： p ： x ＝3或 x ＝7， q ：（ x －3）（ x －7）＝0.
题型三 命题的改写
【例3】 （链接教科书第28页例2）将下列命题改写成“若 p ，则
q ”的形式：
（1）当 a ＞－1时，方程 ax2＋2 x －1＝0有实数解；
解：若 a ＞－1，则方程 ax2＋2 x －1＝0有实数解.
（2）已知 x ， y ∈N，当 y － x ＝2时， y ＝4， x ＝2；
解：已知 x ， y ∈N，若 y － x ＝2，则 y ＝4， x ＝2.
（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
解：若一个四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行
四边形.
通性通法
将命题改写为“若 p ，则 q ”形式的方法及原则
提醒 若一个命题有大前提，则在将其改写成“若 p ，则 q ”的形式
时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中.
【跟踪训练】
将下列命题改写成“若 p ，则 q ”的形式：
（1）奇数不能被2整除；
解：若一个数是奇数，则它不能被2整除.
（2）当（ a －1）2＋（ b －1）2＝0时， a ＝ b ＝1；
解：若（ a －1）2＋（ b －1）2＝0，则 a ＝ b ＝1.
（3）两个相似三角形是全等三角形.
解：若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三
角形.
题型四 命题真假的判断
【例4】 （链接教科书第28页例3）判断下列命题的真假，并说
明理由：
（1）若｜ a ｜＜ b ，则 a2＜ b2；
解：是真命题，因为 b ＞｜ a ｜≥0，所以 b2＞ a2，即 a2＜ b2.
（2）若 a ＝ b ，则 ＝ ；
解：是假命题，当 a ＝ b ＝－2时， 与 没有意义.
（3）正方形的邻边互相垂直；
解：是真命题，由正方形的性质可知，正方形四个内角都是
90°，所以其邻边互相垂直.
（4）同底等高的两个三角形面积相等.
解：是真命题，由三角形的面积公式可知，同底等高的两个三
角形面积相等.
通性通法
命题真假的判定方法
（1）真命题的判断方法：要判断一个命题是真命题，一般要有严格
的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证
明或根据已知的正确结论推证；
（2）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这
是判断一个命题为假命题的常用方法.
【跟踪训练】
1. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若 ab ＝1，则 a ， b 互为倒数
B. 平面内，四条边相等的四边形是正方形
C. 平行四边形是梯形
D. 若 ac2＝ bc2，则 a ＝ b
解析： A是真命题；B中，平面内，四条边相等的四边形是菱
形，但不一定是正方形；C中，平行四边形不是梯形；D中，当 c
＝0时， a ， b 可能不相等.故选A.
2. 已知不等式 x －5≤0的解集是 A ，若 a ∈ A 是假命题，则 a 的取值范
围是 .
解析：由题意得 A ＝{ x ｜ x ≤5}，又∵ a ∈ A 是假命题，即 a A ，
∴ a ＞5.
（5，＋∞）
1. 下列语句为命题的是（ ）
A. x2－1＝0 B. 2＋3＝8
C. 你会说英语吗？ D. 这是一棵大树
解析： 命题是可以判断真假的陈述句.A中 x 不确定， x2－1＝0
的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述
句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假.
2. （多选）下列命题是真命题的是（ ）
A. 所有质数都是奇数
B. 若 a ≥0，则｜ a ｜≥0
C. 相似三角形的对应角相等
D. 若 m 是偶数，则 m 是合数
解析： 2是质数，但不是奇数，选项A错误；易知选项B正
确；由相似三角形的性质，易知选项C正确；2是偶数，但不是合
数，选项D错误.故选B、C.
3. 将下列命题改写为“若 p ，则 q ”的形式，并判断真假：
（1）当 a ＞ b 时，有 ac2＞ bc2；
解：若 a ＞ b ，则 ac2＞ bc2，是假命题.
（2）实数的平方是非负实数；
解：若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题.
（3）能被6整除的数既能被3整除也能被2整除.
解：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，是真命题.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 以下语句：①{0}∈N；② x2＋ y2＝0；③ x2＞ x ；④{ x ｜ x2＋1＝
0}，其中命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： ①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命
题；④不是陈述句，不是命题.故选B.
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2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. mx2＋2 x －1＝0是一元二次方程
B. 函数 y ＝2 x －1的图象与 x 轴没有交点
C. 互相包含的两个集合相等
D. 空集是任何集合的真子集
解析： A中，当 m ＝0时，是一元一次方程，是假命题；B中，
函数 y ＝2 x －1的图象与 x 轴有一个交点，是假命题；C是真命题；
D中，空集不是本身的真子集，是假命题.故选C.
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3. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B. 语句“当 a ＞4时，方程 x2－4 x ＋ a ＝0有实根”不是命题
C. 命题“对角线互相垂直的平行四边形是正方形”是真命题
D. “ x ＝1时， x2－3 x ＋2＝0”是真命题
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解析： A中，命题“直角相等”写成“若 p ，则 q ”的形式为：
若两个角都是直角，则这两个角相等，所以A错误；B中，语句
“当 a ＞4时，方程 x2－4 x ＋ a ＝0有实根”是陈述句，而且可以判
断真假，故该语句是命题，所以B错误；C中，对角线互相垂直的
平行四边形是菱形，所以C错误；只有D正确.故选D.
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4. 下列命题中是真命题的为（ ）
A. 面积相等的三角形全等
B. 若 ab ＝0，则｜ a ｜＋｜ b ｜＝0
C. 若 x ∈N，则 x3＞ x2成立
D. 矩形的对角线相等
解析： A中，面积相等的三角形不一定全等，是假命题；B
中，若 a ＝3， b ＝0，则 ab ＝0，但｜ a ｜＋｜ b ｜≠0，是假命
题；C是假命题，当 x ＝0时， x3＞ x2不成立；D中，矩形的对角线
一定相等，是真命题.故选D.
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5. （多选）给出命题“方程 x2＋ ax ＋1＝0有实数根”，则使该命题
为真命题的 a 的值可以是（ ）
A. 4 B. 2
C. 0 D. －3
解析： 方程有实根时，应满足Δ＝ a2－4≥0，故符合条件的
值为4，2，－3.故选A、B、D.
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6. 命题“若实数 a ， b 满足2 a ＋ b ＞3，则 a ＞1且 b ＞1”是 命题.
（填“真”或“假”）
解析：当 a ＝0， b ＝4时，满足2 a ＋ b ＞3，所以命题是假命题.
假
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7. 把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若 p ，则
q ”的形式为 .
若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除
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8. 命题“若 x ＞1，则 x ＞ a ”是真命题，则实数 a 的取值范围是
.
解析：若 x ＞1，则 x ＞ a 是真命题，则 a ≤1.
（－
∞，1]
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9. 设 a ， b 是两个实数，给出下列条件：① a ＋ b ＞2；② a2＋ b2
＞2.其中能推出“ a ， b 中至少有一个大于1”的条件是 .
（填序号）
解析：对于①，假设 a ≤1， b ≤1，则 a ＋ b ≤2，与已知条件 a ＋ b
＞2矛盾，故假设不成立，所以 a ， b 中至少有一个大于1，①正
确；对于②，若 a ＝－2， b ＝－3，则 a2＋ b2＞2成立，故由②不能
推出“ a ， b 中至少有一个大于1.”
①
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10. 写出下列命题的条件 p 和结论 q ，并判断真假：
（1）若 x ＋ y ≠8，则 x ≠2或 y ≠6；
解： p ： x ＋ y ≠8， q ： x ≠2或 y ≠6，是真命题.
（2）若 xy ＝0，则 x ， y 中至少有一个为0.
解： p ： xy ＝0， q ： x ， y 中至少有一个为0，是真命题.
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11. 设 a ， b ∈R，则下列命题是真命题的是（ ）
A. 若 a ＜ b ，则 a2＜ b2
B. 若 a ≠ b ，则 a2≠ b2
C. 若 a ＜｜ b ｜，则 a2＜ b2
D. 若 a ＞｜ b ｜，则 a2＞ b2
解析：因为 a ＝－1＜ b ＝1， a2＝ b2，所以A错误；因为 a ＝1≠ b ＝－1， a2＝ b2，所以B错误；因为 a ＝－1＜｜ b ｜＝1， a2＝ b2，所以C错误；因为 a ＞｜ b ｜≥0， a2＞ b2，所以D正确.故选D.
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12. （多选）已知命题“非空集合 M 中的元素都是集合 P 中的元素”
是假命题，那么下列命题中是真命题的是（ ）
A. M 中的元素都不是 P 中的元素
B. M 中有不属于 P 的元素
C. M 中有属于 P 的元素
D. M 中的元素不都是 P 中的元素
解析： A、C错误；B、D正确.故选B、D.
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13. 若“方程 ax2－3 x ＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则 a
的取值范围是 .
解析：由题意知解得 a ＜ 且 a ≠0.
{ a ｜ a ＜ 且 a ≠0}
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14. 把下列命题改写成“若 p ，则 q ”的形式，并判断真假：
（1）负数的立方是负数；
解：若一个数是负数，则它的立方是负数.真命题.
（2）等底等高的两个三角形是全等三角形；
解：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等
三角形.假命题.
（3）已知 a ∈R，当 x ＋ a 为无理数时， x 为无理数.
解：已知 a ∈R，若 x ＋ a 为无理数，则 x 为无理数.假命题.
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15. 在某次数学讨论课上，关于 x 的方程 x2＋ ax ＋ b ＝0的根，有四名
同学发表了自己的看法：
学生甲： x ＝1是该方程的根；
学生乙： x ＝3是该方程的根；
学生丙：该方程两根之和为2；
学生丁：该方程两根异号.
若这四名同学只有一人说法错误，你能找到这名同学吗？
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解：若学生甲说法错误，则学生乙、丙、丁说法正确，则关于 x
的方程 x2＋ ax ＋ b ＝0的一根为3，由于两根之和为2，则该方程的
另一根为－1，两根异号，符合题意；
若学生乙说法错误，则学生甲、丙、丁说法正确，则 x ＝1是方程
x2＋ ax ＋ b ＝0的一根，由于两根之和为2，则另一根也为1，两根
同号，不符合题意；
若学生丙说法错误，则学生甲、乙、丁说法正确，则关于 x 的方
程 x2＋ ax ＋ b ＝0的两根为1和3，两根同号，不符合题意；
若学生丁说法错误，则学生甲、乙、丙说法正确，则关于 x 的方
程 x2＋ ax ＋ b ＝0的两根为1和3，两根之和为4，不符合题意.
综上所述，说法错误的同学是甲.
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谢 谢 观 看！
