2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
1.（2024·扬州广陵红桥高中期中）已知命题q： x∈R，x2＋1＞0，则q的否定为（ ）
A. x∈R，x2＋1≤0
B. x∈R，x2＋1＜0
C. x∈R，x2＋1≤0
D. x∈R，x2＋1＞0
2.（2024·徐州铜山期中）已知命题p： x∈R，x2－2x＋a＋6＞0，则命题p的否定是（ ）
A. x∈R，x2－2x＋a＋6＜0
B. x∈R，x2－2x＋a＋6＞0
C. x∈R，x2－2x＋a＋6≤0
D. x∈R，x2－2x＋a＋6≤0
3.下列命题的否定是真命题的为（ ）
A.p1：每一个合数都是偶数
B.p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等
C.p3：全等三角形的周长相等
D.p4：所有的无理数都是实数
4.已知命题p： x∈R，x＜｜x｜＜x3，命题q： x∈R，x2－5x＋4＝0，则下列命题中为真命题的是（ ）
A.p，q B. p，q
C.p， q D. p， q
5.（多选）关于命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是（ ）
A. p： x∈R，x2＋1＝0
B. p： x∈R，x2＋1＝0
C.p是真命题， p是假命题
D.p是假命题， p是真命题
6.（多选）下列说法正确的有（ ）
A.命题“ x∈R，1＜y≤2”的否定是“ x∈R，y≤1或y＞2”
B.“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是全称量词命题
C.“ x∈R，x－2＞”是真命题
D.“ x∈R，x2＞0”的否定是真命题
7.（2024·无锡月考）命题“ x∈R，x＋2≤0”的否定是 .
8.“有一个平行四边形，它的对角线不相等”的否定是 命题（填“真”或“假”）.
9.已知命题p：“ x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是 .
10.写出下列命题的否定并判断其真假：
（1）所有的正方形都是矩形；
（2）有的四边形没有外接圆；
（3）任意平行四边形都不是菱形.
11.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.命题“ x∈R，x2＞－1”的否定是“ x∈R，x2＜－1”
B.命题“ x∈{x｜x＞－3}，x2≤9”的否定是“ x∈{x｜x＞－3}，x2＞9”
C.“x2＞y2”是“x＞y”的必要不充分条件
D.“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件
12.（多选）甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出了如下预测：
甲说：获奖者在乙、丙、丁三人中；
乙说：我不会获奖，丙获奖；
丙说：甲和丁中有一人获奖；
丁说：乙的猜测是对的.
成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符.已知有两人获奖，则获奖的是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
13.已知命题“ x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，则实数a的取值范围是 .
14.已知命题p： x∈{x｜1≤x≤3}，都有m≥x，命题q： x∈{x｜1≤x≤3}，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围.
15.在① x∈R，x2＋2x＋4a＝0；② A＝{x｜2＜x＜4}，B＝{x｜a＜x＜3a}，使得A∩B＝ ，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.
问题：已知命题p： x∈{x｜1≤x≤2}，x2－a≥0，命题q： .
若p，q都是真命题，求实数a的取值范围.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
1.C 原命题为全称量词命题，故其否定为存在量词命题，所以q的否定为 x∈R，x2＋1≤0.故选C.
2.D 原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，命题p： x∈R，x2－2x＋a＋6＞0的否定为 x∈R，x2－2x＋a＋6≤0.故选D.
3.A p1为全称量词命题，且是假命题，所以 p1是真命题.命题p2，p3，p4均为真命题，即 p2， p3， p4均为假命题.故选A.
4.B 对于命题p，采用特殊值法，取x＝1，可知p为假命题，则 p为真命题；命题q：当x0＝1时，－5x0＋4＝0成立，故q为真命题，则 q为假命题.故选B.
5.AC 命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的否定是“ x∈R，x2＋1＝0”.所以p是真命题， p是假命题.故选A、C.
6.ACD 由存在量词命题的否定是全称量词命题，知选项A中说法正确；“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是存在量词命题，故选项B中说法错误；当x＝9时，x－2＞，即7＞3成立，故选项C中说法正确；命题“ x∈R，x2＞0”的否定是“ x∈R，x2≤0”，当x＝0时，x2≤0成立，故选项D中说法正确.故选A、C、D.
7. x∈R，x＋2＞0 解析：存在量词命题的否定形式是全称量词命题，“ x∈R，x＋2≤0”的否定为“ x∈R，x＋2＞0”.
8.假 解析：原命题是一个真命题，因此其否定是一个假命题.
9.5 解析：当x≥3时，2x≥6 2x－1≥5，因为“ x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，所以m≤5.
10.解：（1）至少存在一个正方形不是矩形，假命题.
（2）所有的四边形都有外接圆，假命题.
（3）存在一个平行四边形是菱形，真命题.
11.BD 命题“ x∈R，x2＞－1”的否定是“ x∈R，x2≤－1”，故A错误；命题“ x∈{x｜x＞－3}，x2≤9”的否定是“ x∈{x｜x＞－3}，x2＞9”，B正确；x2＞y2 ｜x｜＞｜y｜，｜x｜＞｜y｜不能推出x＞y，x＞y也不能推出｜x｜＞｜y｜，所以“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根 m＜0，所以“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件，D正确，故选B、D.
12.BD 易知乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不相符，若乙、丁的预测与结果相符，则甲、丙的预测与结果不相符，矛盾，故乙、丁的预测与结果不相符，从而获奖的是乙和丁.故选B、D.
13.（－∞，1] 解析：题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“ x∈R，ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根.所以a＝0或即a＝0或a≤1且a≠0，综上，a≤1.
14.解：因为 q为假命题，所以q为真命题，
命题p： x∈{x｜1≤x≤3}，都有m≥x，为真命题，则m≥xmax，即m≥3.
命题q： x∈{x｜1≤x≤3}，使m≥x，为真命题，则m≥xmin，即m≥1.
因为命题p，q同时为真命题，所以解得m≥3，
故实数m的取值范围是{m｜m≥3}.
15.解：由命题p为真命题，可得不等式x2－a≥0对于1≤x≤2恒成立.
因为1≤x≤2，所以1≤x2≤4，所以a≤1.
选条件①.
若命题q为真命题，则关于x的方程x2＋2x＋4a＝0有解，
所以Δ＝22－16a≥0，解得a≤.
又p，q都是真命题，所以a≤，
所以实数a的取值范围是{a｜a≤}.
选条件②.
当B＝ ，即a≤0时，A∩B＝ ，命题q为真命题；
当a＞0时，由A∩B＝ 得a≥4或3a≤2，所以0＜a≤或a≥4.
综上，a≤或a≥4.
又p，q都是真命题，所以a≤，
所以实数a的取值范围是.
2 / 22.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
新课程标准解读 核心素养
1.理解全称量词命题或存在量词命题的否定的意义 数学抽象
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定以及真假判别 数学抽象、逻辑推理
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定以及真假判别 数学抽象、逻辑推理
一位探险家来到一个荒岛，被土著人抓住，土著首领说：“你只能说一句话，说真话你将被烧死，说假话你将被淹死”.探险家想了想说“我将被淹死”.
【问题】 探险家如此回答，能保住性命吗？
知识点一 全称量词命题的否定
p p 结论
全称量词命题： x∈M，p（x） x∈M， p（x） 全称量词命题的否定是
知识点二 存在量词命题的否定
p p 结论
存在量词命题： x∈M，p（x） x∈M， p（x） 存在量词命题的否定是
提醒 （1）常见词语的否定形式
原词语 否定词语 原词语 否定词语
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有（n－1）个
小于 不小于 至多有n个 至少有（n＋1）个
任意的 某个 能 不能
所有的 某些 等于 不等于
（2）对全称量词命题和存在量词命题进行否定，总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对量词改变且对结论进行了否定.
1.（2024·南京期中）命题“ x∈R，x＋2≤0”的否定是（ ）
A. x∈R，x＋2＞0 B. x∈R，x＋2≤0
C. x∈R，x＋2＞0 D. x R，x＋2＞0
2.（2024·常州金坛期中）命题“ x∈R，x2＋x＜0”的否定是（ ）
A. x∈R，x2＋x＞0 B. x∈R，x2＋x≥0
C. x∈R，x2＋x＞0 D. x∈R，x2＋x≥0
3.（2024·徐州期中）命题p：所有的质数都是奇数，则命题p的否定是 .
题型一 全称量词命题与存在量词命题的否定
【例1】 （链接教科书第38页例2）写出下列命题的否定：
（1） x∈R，x2－2x＋1≥0；
（2）平行四边形的对边相等；
（3） x∈R，x2＋x＋1≠0；
（4）有些三角形是锐角三角形.
通性通法
全称量词命题与存在量词命题的否定的思路
（1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论；
（2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.
【跟踪训练】
1.（2024·南通海安月考）命题：“ x∈R，x2＋2x≤0”的否定是（ ）
A. x∈R，x2＋2x≤0
B. x∈R，x2＋2x≥0
C. x∈R，x2＋2x＞0
D. x∈R，x2＋2x＞0
2.（2024·苏州质检）命题“ x＞0，x2－sin x＞0”的否定是 .
题型二 全称量词命题与存在量词命题的否定的真假判断
【例2】 （链接教科书第40页习题5题）写出下列命题的否定并判断其真假：
（1）p： a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点；
（2）q：有的有理数没有倒数；
（3）s：等圆的面积相等.
通性通法
全称量词命题与存在量词命题否定的真假判断
（1）全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，一个命题和它的否定的真假性相反；
（2）要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可，否则这一命题就是假命题.
【跟踪训练】
（多选）对下列命题进行否定，得到的新命题是全称量词命题且为真命题的有（ ）
A. x∈R，x2－x＋＝0
B.所有的正方形都是矩形
C. x∈R，｜x｜＋2≤0
D.至少有一个实数x，使x3＋1＝0
题型三 根据全称量词命题与存在量词命题否定的真假求参数
【例3】 若命题“ x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围为 .
通性通法
根据含量词命题否定的真假求参数范围的两个关注点
【跟踪训练】
已知命题p： x∈{x｜－3≤x≤2}，都有x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}，且 p是假命题，则实数a的取值范围为 .
1.（2024·连云港赣榆期中）命题“ x＞0，x2＋x＋1＞0”的否定是（ ）
A. x≤0，x2＋x＋1＜0
B. x＞0，x2＋x＋1＞0
C. x≤0，x2＋x＋1≤0
D. x＞0，x2＋x＋1≤0
2.（2024·泰州期末）命题“存在x∈R，x2≥1”的否定为（ ）
A.存在x R，x2≥1
B.存在x∈R，x2＜1
C.任意x∈R，x2＜1
D.任意x∈R，x2≥1
3.命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”，用符号表示为 ，此命题的否定是 （填“真”或“假”）命题.
4.（2024·苏州质检）命题“存在x＞1，使得2x＋a＜3”是假命题，则实数a的取值范围为 .
2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
【基础知识·重落实】
知识点一
存在量词命题
知识点二
全称量词命题
自我诊断
1.A 全称量词命题的否定形式是存在量词命题， x∈R，x＋2≤0的否定为 x∈R，x＋2＞0.故选A.
2.B 命题“ x∈R，x2＋x＜0”为存在量词命题，其否定为全称量词命题： x∈R，x2＋x≥0.故选B.
3.存在一个质数不是奇数 解析：原命题是全称量词命题，其否定是“存在一个质数不是奇数”.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）“ x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是“ x∈R，x2－2x＋1＜0”.
（2）“平行四边形的对边相等”是指“任意一个平行四边形的对边相等”，它的否定是“存在一个平行四边形的对边不相等”.
（3）“ x∈R，x2＋x＋1≠0”的否定是“ x∈R，x2＋x＋1＝0”.
（4）“有些三角形是锐角三角形”的否定是“所有三角形不是锐角三角形”.
跟踪训练
1.C 由存在量词命题的否定为全称量词命题可知，原命题的否定为： x∈R，x2＋2x＞0.故选C.
2. x＞0，x2－sin x≤0 解析：全称量词命题的否定形式是存在量词命题，“ x＞0，x2－sin x＞0”的否定为“ x＞0，x2－sin x≤0”.
【例2】 解：（1） p： a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点.因为当a＝0时，一次函数y＝x＋a的图象经过原点，所以 p是假命题.
（2） q：所有的有理数都有倒数.因为0为有理数且没有倒数，所以 q为假命题.
（3） s：存在一对等圆，其面积不相等，由等圆的概念知 s是假命题.
跟踪训练
AC 命题的否定是全称量词命题，则原命题为存在量词命题，故排除B选项.命题的否定为真命题，则原命题为假命题.又选项A、C中的命题为假命题，选项D中的命题为真命题，故选A、C.
【例3】 （－∞，4] 解析：∵命题 x∈R，x2－4x＋a≠0为假命题，∴ x∈R，x2－4x＋a＝0是真命题，∴方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝（－4）2－4a≥0，解得a≤4.∴实数a的取值范围为（－∞，4].
跟踪训练
[－3，1] 解析： p是假命题即p是真命题，即 x∈{x｜－3≤x≤2}，x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}成立，所以解得－3≤a≤1，所以实数a的取值范围为[－3，1].
随堂检测
1.D 命题“ x＞0，x2＋x＋1＞0”的否定是“ x＞0，x2＋x＋1≤0”.故选D.
2.C 命题“存在x∈R，x2≥1”的否定为“任意x∈R，x2＜1”.故选C.
3. x，y∈R，x＋y＞1 假 解析：此命题用符号表示为 x，y∈R，x＋y＞1，此命题的否定是 x，y∈R，x＋y≤1，原命题为真命题，它的否定为假命题.
4.[1，＋∞） 解析：命题“存在x＞1，使得2x＋a＜3”是假命题，所以此命题的否定“任意x＞1，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x＞1，都有2x＋a＞2＋a，所以2＋a≥3，所以a≥1.
2 / 3(共52张PPT)
2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
新课程标准解读 核心素养
1.理解全称量词命题或存在量词命题的否定的意义 数学抽象
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定以及
真假判别 数学抽象、
逻辑推理
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定以及
真假判别 数学抽象、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
一位探险家来到一个荒岛，被土著人抓住，土著首领说：“你只能说一句话，说真话你将被烧死，说假话你将被淹死”.探险家想了想说“我将被淹死”.
【问题】 探险家如此回答，能保住性命吗？
知识点一 全称量词命题的否定
p p 结论
全称量词命题： x ∈
M ， p （ x ） x ∈ M ， p （ x ） 全称量词命题的否定
是
存在量词命题
知识点二 存在量词命题的否定
p p 结论
存在量词命题： x
∈ M ， p （ x ） x ∈ M ， p
（ x ） 存在量词命题的否定是
提醒 （1）常见词语的否定形式
全称量
词命题
原词语 否定词语 原词语 否定词语
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有 n 个 至多有（ n －1）个
小于 不小于 至多有 n 个 至少有（ n ＋1）个
任意的 某个 能 不能
所有的 某些 等于 不等于
（2）对全称量词命题和存在量词命题进行否定，总结起来八个字
“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看， x 的范围没有
变，只是对量词改变且对结论进行了否定.
1. （2024·南京期中）命题“ x ∈R， x ＋2≤0”的否定是（ ）
A. x ∈R， x ＋2＞0 B. x ∈R， x ＋2≤0
C. x ∈R， x ＋2＞0 D. x R， x ＋2＞0
解析： 全称量词命题的否定形式是存在量词命题， x ∈R， x
＋2≤0的否定为 x ∈R， x ＋2＞0.故选A.
2. （2024·常州金坛期中）命题“ x ∈R， x2＋ x ＜0”的否定是（ ）
A. x ∈R， x2＋ x ＞0 B. x ∈R， x2＋ x ≥0
C. x ∈R， x2＋ x ＞0 D. x ∈R， x2＋ x ≥0
解析： 命题“ x ∈R， x2＋ x ＜0”为存在量词命题，其否定为
全称量词命题： x ∈R， x2＋ x ≥0.故选B.
3. （2024·徐州期中）命题 p ：所有的质数都是奇数，则命题 p 的否定
是 .
解析：原命题是全称量词命题，其否定是“存在一个质数不是奇
数”.
存在一个质数不是奇数
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 全称量词命题与存在量词命题的否定
【例1】 （链接教科书第38页例2）写出下列命题的否定：
（1） x ∈R， x2－2 x ＋1≥0；
解： “ x ∈R， x2－2 x ＋1≥0”的否定是“ x ∈R， x2－2 x ＋
1＜0”.
（2）平行四边形的对边相等；
解：“平行四边形的对边相等”是指“任意一个平行四边形的
对边相等”，它的否定是“存在一个平行四边形的对边不相等”.
（3） x ∈R， x2＋ x ＋1≠0；
解：“ x ∈R， x2＋ x ＋1≠0”的否定是“ x ∈R， x2＋ x ＋1＝
0”.
（4）有些三角形是锐角三角形.
解：“有些三角形是锐角三角形”的否定是“所有三角形不是
锐角三角形”.
通性通法
全称量词命题与存在量词命题的否定的思路
（1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题
是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，
然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量
词，同时否定结论；
（2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含
量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.
【跟踪训练】
1. （2024·南通海安月考）命题：“ x ∈R， x2＋2 x ≤0”的否定是
（ ）
A. x ∈R， x2＋2 x ≤0 B. x ∈R， x2＋2 x ≥0
C. x ∈R， x2＋2 x ＞0 D. x ∈R， x2＋2 x ＞0
解析： 由存在量词命题的否定为全称量词命题可知，原命题的
否定为： x ∈R， x2＋2 x ＞0.故选C.
2. （2024·苏州质检）命题“ x ＞0， x2－ sin x ＞0”的否定是
.
解析：全称量词命题的否定形式是存在量词命题，“ x ＞0， x2－
sin x ＞0”的否定为“ x ＞0， x2－ sin x ≤0”.
x ＞
0， x2－ sin x ≤0
题型二 全称量词命题与存在量词命题的否定的真假判断
【例2】 （链接教科书第40页习题5题）写出下列命题的否定并判
断其真假：
（1） p ： a ∈R，一次函数 y ＝ x ＋ a 的图象经过原点；
解： p ： a ∈R，一次函数 y ＝ x ＋ a 的图象不经过原点.因
为当 a ＝0时，一次函数 y ＝ x ＋ a 的图象经过原点，所以 p
是假命题.
（2） q ：有的有理数没有倒数；
解： q ：所有的有理数都有倒数.因为0为有理数且没有倒
数，所以 q 为假命题.
（3） s ：等圆的面积相等.
解： s ：存在一对等圆，其面积不相等，由等圆的概念知
s 是假命题.
通性通法
全称量词命题与存在量词命题否定的真假判断
（1）全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是
全称量词命题，一个命题和它的否定的真假性相反；
（2）要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即
可，否则这一命题就是假命题.
【跟踪训练】
（多选）对下列命题进行否定，得到的新命题是全称量词命题且为真
命题的有（ ）
A. x ∈R， x2－ x ＋ ＝0
B. 所有的正方形都是矩形
C. x ∈R，｜ x ｜＋2≤0
D. 至少有一个实数 x ，使 x3＋1＝0
解析： 命题的否定是全称量词命题，则原命题为存在量词命
题，故排除B选项.命题的否定为真命题，则原命题为假命题.又选项
A、C中的命题为假命题，选项D中的命题为真命题，故选A、C.
题型三 根据全称量词命题与存在量词命题否定的真假求参数
【例3】 若命题“ x ∈R， x2－4 x ＋ a ≠0”为假命题，则实数 a 的
取值范围为 .
解析：∵命题 x ∈R， x2－4 x ＋ a ≠0为假命题，∴ x ∈R， x2－4 x
＋ a ＝0是真命题，∴方程 x2－4 x ＋ a ＝0有实数根，则Δ＝（－4）2－
4 a ≥0，解得 a ≤4.∴实数 a 的取值范围为（－∞，4].
（－∞，4]
通性通法
根据含量词命题否定的真假求参数范围的两个关注点
【跟踪训练】
已知命题 p ： x ∈{ x ｜－3≤ x ≤2}，都有 x ∈{ x ｜ a －4≤ x ≤ a ＋
5}，且 p 是假命题，则实数 a 的取值范围为 .
解析： p 是假命题即 p 是真命题，即 x ∈{ x ｜－3≤ x ≤2}， x
∈{ x ｜ a －4≤ x ≤ a ＋5}成立，所以解得－3≤ a ≤1，
所以实数 a 的取值范围为[－3，1].
[－3，1]
1. （2024·连云港赣榆期中）命题“ x ＞0， x2＋ x ＋1＞0”的否定是
（ ）
A. x ≤0， x2＋ x ＋1＜0 B. x ＞0， x2＋ x ＋1＞0
C. x ≤0， x2＋ x ＋1≤0 D. x ＞0， x2＋ x ＋1≤0
解析： 命题“ x ＞0， x2＋ x ＋1＞0”的否定是“ x ＞0， x2＋
x ＋1≤0”.故选D.
2. （2024·泰州期末）命题“存在 x ∈R， x2≥1”的否定为（ ）
A. 存在 x R， x2≥1 B. 存在 x ∈R， x2＜1
C. 任意 x ∈R， x2＜1 D. 任意 x ∈R， x2≥1
解析： 命题“存在 x ∈R， x2≥1”的否定为“任意 x ∈R， x2＜
1”.故选C.
3. 命题“存在实数 x ， y ，使得 x ＋ y ＞1”，用符号表示为
，此命题的否定是 （填“真”或
“假”）命题.
解析：此命题用符号表示为 x ， y ∈R， x ＋ y ＞1，此命题的否定
是 x ， y ∈R， x ＋ y ≤1，原命题为真命题，它的否定为假命题.
x ， y ∈R， x ＋ y ＞1
假
4. （2024·苏州质检）命题“存在 x ＞1，使得2 x ＋ a ＜3”是假命题，
则实数 a 的取值范围为 .
解析：命题“存在 x ＞1，使得2 x ＋ a ＜3”是假命题，所以此命题
的否定“任意 x ＞1，使得2 x ＋ a ≥3”是真命题，因为对任意 x ＞
1，都有2 x ＋ a ＞2＋ a ，所以2＋ a ≥3，所以 a ≥1.
[1，＋∞）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. （2024·扬州广陵红桥高中期中）已知命题 q ： x ∈R， x2＋1＞0，
则 q 的否定为（ ）
A. x ∈R， x2＋1≤0
B. x ∈R， x2＋1＜0
C. x ∈R， x2＋1≤0
D. x ∈R， x2＋1＞0
解析： 原命题为全称量词命题，故其否定为存在量词命题，所
以 q 的否定为 x ∈R， x2＋1≤0.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. （2024·徐州铜山期中）已知命题 p ： x ∈R， x2－2 x ＋ a ＋6＞0，
则命题 p 的否定是（ ）
A. x ∈R， x2－2 x ＋ a ＋6＜0
B. x ∈R， x2－2 x ＋ a ＋6＞0
C. x ∈R， x2－2 x ＋ a ＋6≤0
D. x ∈R， x2－2 x ＋ a ＋6≤0
解析： 原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，命
题 p ： x ∈R， x2－2 x ＋ a ＋6＞0的否定为 x ∈R， x2－2 x ＋ a ＋
6≤0.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 下列命题的否定是真命题的为（ ）
A. p1：每一个合数都是偶数
B. p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等
C. p3：全等三角形的周长相等
D. p4：所有的无理数都是实数
解析： p1为全称量词命题，且是假命题，所以 p1是真命题.
命题 p2， p3， p4均为真命题，即 p2， p3， p4均为假命题.故
选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 已知命题 p ： x ∈R， x ＜｜ x ｜＜ x3，命题 q ： x ∈R， x2－5 x ＋
4＝0，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. p ， q B. p ， q
C. p ， q D. p ， q
解析： 对于命题 p ，采用特殊值法，取 x ＝1，可知 p 为假命
题，则 p 为真命题；命题 q ：当 x0＝1时， －5 x0＋4＝0成立，
故 q 为真命题，则 q 为假命题.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. （多选）关于命题 p ：“ x ∈R， x2＋1≠0”的叙述，正确的是
（ ）
A. p ： x ∈R， x2＋1＝0
B. p ： x ∈R， x2＋1＝0
C. p 是真命题， p 是假命题
D. p 是假命题， p 是真命题
解析： 命题 p ：“ x ∈R， x2＋1≠0”的否定是“ x ∈R， x2
＋1＝0”.所以 p 是真命题， p 是假命题.故选A、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多选）下列说法正确的有（ ）
A. 命题“ x ∈R，1＜ y ≤2”的否定是“ x ∈R， y ≤1或 y ＞2”
B. “至少有一个 x 使 x2＋2 x ＋1＝0成立”是全称量词命题
C. “ x ∈R， x －2＞ ”是真命题
D. “ x ∈R， x2＞0”的否定是真命题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 由存在量词命题的否定是全称量词命题，知选项A中
说法正确；“至少有一个 x 使 x2＋2 x ＋1＝0成立”是存在量词命
题，故选项B中说法错误；当 x ＝9时， x －2＞ ，即7＞3成立，
故选项C中说法正确；命题“ x ∈R， x2＞0”的否定是“ x
∈R， x2≤0”，当 x ＝0时， x2≤0成立，故选项D中说法正确.故选
A、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. （2024·无锡月考）命题“ x ∈R， x ＋2≤0”的否定是
.
解析：存在量词命题的否定形式是全称量词命题，“ x ∈R， x ＋
2≤0”的否定为“ x ∈R， x ＋2＞0”.
x ∈R， x
＋2＞0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. “有一个平行四边形，它的对角线不相等”的否定是 命题（填
“真”或“假”）.
解析：原命题是一个真命题，因此其否定是一个假命题.
假
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 已知命题 p ：“ x ≥3，使得2 x －1≥ m ”是真命题，则实数 m 的
最大值是 .
解析：当 x ≥3时，2 x ≥6 2 x －1≥5，因为“ x ≥3，使得2 x －
1≥ m ”是真命题，所以 m ≤5.
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 写出下列命题的否定并判断其真假：
（1）所有的正方形都是矩形；
解：至少存在一个正方形不是矩形，假命题.
（2）有的四边形没有外接圆；
解：所有的四边形都有外接圆，假命题.
（3）任意平行四边形都不是菱形.
解：存在一个平行四边形是菱形，真命题.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 命题“ x ∈R， x2＞－1”的否定是“ x ∈R， x2＜－1”
B. 命题“ x ∈{ x ｜ x ＞－3}， x2≤9”的否定是“ x ∈{ x ｜ x ＞－
3}， x2＞9”
C. “ x2＞ y2”是“ x ＞ y ”的必要不充分条件
D. “ m ＜0”是“关于 x 的方程 x2－2 x ＋ m ＝0有一正根一负根”的充
要条件
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 命题“ x ∈R， x2＞－1”的否定是“ x ∈R， x2≤
－1”，故A错误；命题“ x ∈{ x ｜ x ＞－3}， x2≤9”的否定是
“ x ∈{ x ｜ x ＞－3}， x2＞9”，B正确； x2＞ y2 ｜ x ｜＞｜
y ｜，｜ x ｜＞｜ y ｜不能推出 x ＞ y ， x ＞ y 也不能推出｜ x ｜＞｜
y ｜，所以“ x2＞ y2”是“ x ＞ y ”的既不充分也不必要条件，故C
错误；关于 x 的方程 x2－2 x ＋ m ＝0有一正根一负根
m ＜0，所以“ m ＜0”是“关于 x 的方程 x2－
2 x ＋ m ＝0有一正根一负根”的充要条件，D正确，故选B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. （多选）甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布
前做出了如下预测：
甲说：获奖者在乙、丙、丁三人中；
乙说：我不会获奖，丙获奖；
丙说：甲和丁中有一人获奖；
丁说：乙的猜测是对的.
成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的
预测与结果不相符.已知有两人获奖，则获奖的是（ ）
A. 甲 B. 乙
C. 丙 D. 丁
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 易知乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与
结果不相符，若乙、丁的预测与结果相符，则甲、丙的预测与结
果不相符，矛盾，故乙、丁的预测与结果不相符，从而获奖的是
乙和丁.故选B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 已知命题“ x ∈R， ax2＋2 x ＋1≠0”为假命题，则实数 a 的取值
范围是 .
解析：题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否
定“ x ∈R， ax2＋2 x ＋1＝0”为真命题，即关于 x 的方程 ax2＋2
x ＋1＝0有实数根.所以 a ＝0或即 a ＝0或 a ≤1且 a
≠0，综上， a ≤1.
（－∞，1]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 已知命题 p ： x ∈{ x ｜1≤ x ≤3}，都有 m ≥ x ，命题 q ： x
∈{ x ｜1≤ x ≤3}，使 m ≥ x ，若命题 p 为真命题，命题 q 的否定
为假命题，求实数 m 的取值范围.
解：因为 q 为假命题，所以 q 为真命题，
命题 p ： x ∈{ x ｜1≤ x ≤3}，都有 m ≥ x ，为真命题，则 m ≥
xmax，即 m ≥3.
命题 q ： x ∈{ x ｜1≤ x ≤3}，使 m ≥ x ，为真命题，则 m ≥
xmin，即 m ≥1.
因为命题 p ， q 同时为真命题，所以解得 m ≥3，
故实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ≥3}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 在① x ∈R， x2＋2 x ＋4 a ＝0；② A ＝{ x ｜2＜ x ＜4}， B ＝
{ x ｜ a ＜ x ＜3 a }，使得 A ∩ B ＝ ，这2个条件中任选一个，补充
在下面问题中，并求解.
问题：已知命题 p ： x ∈{ x ｜1≤ x ≤2}， x2－ a ≥0，命题
q ： .
若 p ， q 都是真命题，求实数 a 的取值范围.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解：由命题 p 为真命题，可得不等式 x2－ a ≥0对于1≤ x ≤2恒
成立.
因为1≤ x ≤2，所以1≤ x2≤4，所以 a ≤1.
选条件①.
若命题 q 为真命题，则关于 x 的方程 x2＋2 x ＋4 a ＝0有解，
所以Δ＝22－16 a ≥0，解得 a ≤ .
又 p ， q 都是真命题，所以 a ≤ ，
所以实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≤ }.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
选条件②.
当 B ＝ ，即 a ≤0时， A ∩ B ＝ ，命题 q 为真命题；
当 a ＞0时，由 A ∩ B ＝ 得 a ≥4或3 a ≤2，所以0＜ a ≤ 或 a ≥4.
综上， a ≤ 或 a ≥4.
又 p ， q 都是真命题，所以 a ≤ ，
所以实数 a 的取值范围是 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢 观 看！
