一、充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用
若p q，且q / p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若p q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件.
【例1】 （1）（2024·徐州期中）设a∈R，则“a＝－2”是“关于x的方程x2＋x＋a＝0有实数根”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
（2）设p：实数x满足A＝{x｜x≤3a或x≥a（a＜0）}.q：实数x满足B＝{x｜－4≤x＜－2}，且q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 .
反思感悟
充分、必要、充要条件的常用判断方法
（1）定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题；
（2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.
提醒 判断条件p，q之间的关系时要注意条件之间关系的方向，要注意“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”的区别，同时，还要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义.
二、充要条件的探求或证明
在理解充分、必要与充要条件定义的基础上，能寻求一个命题成立的充分、必要或充要条件；掌握充要条件的证明方法.
【例2】 （1）（多选）不等式1≤｜x｜≤4成立的充分不必要条件可以为（ ）
A.[－4，－1]
B.[1，4]
C.[－4，－1]∪[1，4]
D.[－4，4]
（2）已知m，n∈R，证明：m4－n4＝2n2＋1成立的充要条件是m2－n2＝1.
反思感悟
充要条件证明的两个思路
（1）直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性；
（2）集合思想：记p：A＝{x｜p（x）}，q：B＝{x｜q（x）}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
三、全称量词与存在量词
1.含有量词的命题进行否定时，全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时条件不能改变，只对结论进行否定，还要注意更改量词.
2.判断全称量词命题与存在量词命题的真假，可利用特值（例）法进行研判，也可利用原命题与其命题的否定真假性相反进行判断.
【例3】 （1）（多选）下列命题中的真命题是（ ）
A. x∈Z，x2－2x－3＝0
B.任意x∈Z，x能同时被2和3整除
C. x∈R，｜x｜≥0
D.所有的自然数都是正数
（2）命题“ m∈R，方程x2＋x－m＝0没有实数根”的否定为 ；
（3）已知命题p： x＞0，x＋a－1＝0.若p为假命题，则a的取值范围是 .
反思感悟
全称量词命题与存在量词命题问题的关注点
（1）对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论；
（2）根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决.
章末复习与总结
【例1】 （1）A （2）{a｜a≤－4或－≤a＜0} 解析：（1）因为关于x的方程x2＋x＋a＝0有实数根，所以该方程的判别式Δ＝1－4a≥0 a≤，显然由a＝－2能推出a≤，但是由a≤不能推出a＝－2，所以“a＝－2”是“关于x的方程x2＋x＋a＝0有实数根”的充分不必要条件.故选A.
（2）因为q是p的充分不必要条件，可得B A，所以有或解得a≤－4或－≤a＜0.所以实数a的取值范围为{a｜a≤－4或－≤a＜0}.
【例2】 （1）解析：AB 由不等式1≤｜x｜≤4，解得－4≤x≤－1，或1≤x≤4.∴不等式1≤｜x｜≤4成立的充分不必要条件可以为A、B.故选A、B.
（2）证明：①充分性：因为m2－n2＝1，所以m2＝n2＋1，
所以m4－n4＝（m2＋n2）（m2－n2）
＝m2＋n2＝n2＋1＋n2＝2n2＋1，
所以m4－n4＝2n2＋1成立.
②必要性：因为m4－n4＝2n2＋1，
所以m4＝n4＋2n2＋1＝（n2＋1）2，
所以m2＝n2＋1，
即m2－n2＝1，
所以m2－n2＝1成立.
综上，m4－n4＝2n2＋1成立的充要条件是m2－n2＝1.
【例3】 （1）AC （2） m∈R，方程x2＋x－m＝0有实数根 （3）[1，＋∞）
解析：（1）A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，5不能同时被2和3整除，所以B是假命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是真命题；D中，0是自然数但不是正数，所以D是假命题.故选A、C.
（2）易知原命题的否定是“ m∈R，方程x2＋x－m＝0有实数根”.
（3）∵p为假命题，∴ p为真命题，即 x＞0，x＋a－1≠0，∴x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1.故a的取值范围是[1，＋∞）.
2 / 2(共16张PPT)
章末复习与总结
一、充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用
若 p q ，且 q / p ，则 p 是 q 的充分不必要条件，同时 q 是 p
的必要不充分条件；若 p q ，则 p 是 q 的充要条件，同时 q 是 p
的充要条件.
【例1】 （1）（2024·徐州期中）设 a ∈R，则“ a ＝－2”是“关于
x 的方程 x2＋ x ＋ a ＝0有实数根”的（ A ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
解析：因为关于 x 的方程 x2＋ x ＋ a ＝0有实数根，所以该方程的判别
式Δ＝1－4 a ≥0 a ≤ ，显然由 a ＝－2能推出 a ≤ ，但是由 a ≤ 不
能推出 a ＝－2，所以“ a ＝－2”是“关于 x 的方程 x2＋ x ＋ a ＝0有实
数根”的充分不必要条件.故选A.
A
（2）设 p ：实数 x 满足 A ＝{ x ｜ x ≤3 a 或 x ≥ a （ a ＜0）}. q ：实数 x
满足 B ＝{ x ｜－4≤ x ＜－2}，且 q 是 p 的充分不必要条件，则实
数 a 的取值范围为 .
解析：因为 q 是 p 的充分不必要条件，可得 B A ，所以有
或解得 a ≤－4或－ ≤ a ＜0.所以实数 a
的取值范围为{ a ｜ a ≤－4或－ ≤ a ＜0}.
{ a ｜ a ≤－4或－ ≤ a ＜0}
反思感悟
充分、必要、充要条件的常用判断方法
（1）定义法：根据 p q ， q p 进行判断，适用于定义、定理判断性
问题；
（2）集合法：根据 p ， q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适
用于命题中涉及字母范围的推断问题.
提醒 判断条件 p ， q 之间的关系时要注意条件之间关系的方
向，要注意“ p 是 q 的充分不必要条件”与“ p 的充分不必要条
件是 q ”的区别，同时，还要正确理解“ p 的一个充分不必要条
件是 q ”的含义.
二、充要条件的探求或证明
在理解充分、必要与充要条件定义的基础上，能寻求一个命题成
立的充分、必要或充要条件；掌握充要条件的证明方法.
【例2】 （1）（多选）不等式1≤｜ x ｜≤4成立的充分不必要条件
可以为（ ）
A. [－4，－1] B. [1，4]
C. [－4，－1]∪[1，4] D. [－4，4]
解析： 由不等式1≤｜ x ｜≤4，解得－4≤ x ≤－1，或1≤ x
≤4.∴不等式1≤｜ x ｜≤4成立的充分不必要条件可以为A、B. 故选
A、B.
（2）已知 m ， n ∈R，证明： m4－ n4＝2 n2＋1成立的充要条件是 m2－
n2＝1.
证明：①充分性：因为 m2－ n2＝1，所以 m2＝ n2＋1，
所以 m4－ n4＝（ m2＋ n2）（ m2－ n2）
＝ m2＋ n2＝ n2＋1＋ n2＝2 n2＋1，
所以 m4－ n4＝2 n2＋1成立.
②必要性：因为 m4－ n4＝2 n2＋1，
所以 m4＝ n4＋2 n2＋1＝（ n2＋1）2，
所以 m2＝ n2＋1，
即 m2－ n2＝1，
所以 m2－ n2＝1成立.
综上， m4－ n4＝2 n2＋1成立的充要条件是 m2－ n2＝1.
反思感悟
充要条件证明的两个思路
（1）直接法：证明 p 是 q 的充要条件，首先要明确 p 是条件， q 是结
论；其次推证 p q 是证明充分性，推证 q p 是证明必要性；
（2）集合思想：记 p ： A ＝{ x ｜ p （ x ）}， q ： B ＝{ x ｜ q （ x ）}，
若 A ＝ B ，则 p 与 q 互为充要条件.
三、全称量词与存在量词
1. 含有量词的命题进行否定时，全称量词命题的否定是存在量词命
题，存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时条件不能改变，
只对结论进行否定，还要注意更改量词.
2. 判断全称量词命题与存在量词命题的真假，可利用特值（例）法进
行研判，也可利用原命题与其命题的否定真假性相反进行判断.
【例3】 （1）（多选）下列命题中的真命题是（ AC ）
A. x ∈Z， x2－2 x －3＝0
B. 任意 x ∈Z， x 能同时被2和3整除
C. x ∈R，｜ x ｜≥0
D. 所有的自然数都是正数
解析：A中， x ＝－1时，满足 x2－2 x －3＝0，所以A是真命题；B
中，5不能同时被2和3整除，所以B是假命题；C中，因为所有实数
的绝对值非负，所以C是真命题；D中，0是自然数但不是正数，所
以D是假命题.故选A、C.
AC
（2）命题“ m ∈R，方程 x2＋ x － m ＝0没有实数根”的否定为
；
解析：易知原命题的否定是“ m ∈R，方程 x2＋ x － m ＝0有
实数根”.
（3）已知命题 p ： x ＞0， x ＋ a －1＝0.若 p 为假命题，则 a 的取
值范围是 .
解析：∵ p 为假命题，∴ p 为真命题，即 x ＞0， x ＋ a －
1≠0，∴ x ≠1－ a ，∴1－ a ≤0，则 a ≥1.故 a 的取值范围是
[1，＋∞）.
m ∈R，方程 x2＋ x － m ＝0有实数根
[1，＋∞）
反思感悟
全称量词命题与存在量词命题问题的关注点
（1）对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二
要否定结论；
（2）根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，
一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决.
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