章末检测（二） 常用逻辑用语
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.“1＜x＜3”是“x＜3”成立的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2.下列全称量词命题中真命题的个数为（ ）
①末位是0的整数可以被2整除；②锐角都相等；③正方形中任意两条边都相等.
A.0 B.1
C.2 D.3
3.命题“ x∈R，x2≠x”的否定是（ ）
A. x∈R，x2≠x B. x∈R，x2＝x
C. x R，x2≠x D. x∈R，x2＝x
4.已知命题p： x＞0，x2＋2x＋1＝0，则 p为（ ）
A. x≤0，x2＋2x＋1≠0
B. x≤0，x2＋2x＋1≠0
C. x＞0，x2＋2x＋1≠0
D. x＞0，x2＋2x＋1≠0
5.“｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜”是“ab＜0”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
6.下列命题中的真命题是（ ）
A. x∈R，x2＋1≤0
B. x∈R，2x＞x2
C.“a＋b＝0”的充要条件是“＝－1”
D.“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件
7.下列选项中，使｜x－1｜＜2成立的一个必要不充分条件是（ ）
A.－1＜x＜3 B.－3＜x＜3
C.0＜x＜3 D.0＜x＜4
8.若命题“存在x∈R，x2－2x－m＝0”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A.m≤－1 B.m≥－1
C.－1≤m≤1 D.m＞－1
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.对任意实数a，b，c，下列命题中的假命题是（ ）
A.“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件
B.“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C.“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件
D.“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
10.命题“ x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A.a≥10 B.a≤9
C.a≥9 D.a＝9.5
11.下列说法正确的是（ ）
A.a＞b的一个必要不充分条件是a－1＞b
B.若集合A＝{x｜ax2＋x＋1＝0}中只有一个元素，则a＝
C.若命题“ x∈R，x2－x＋a＝0”是假命题，则实数a的取值范围是{a｜a＞}
D.已知集合M＝{0，1}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为4
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.命题“ x∈R，x2－x＋3＞0”的否定是 .
13.已知p：－1＜x＜3，q：－1＜x＜m＋1，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 .
14.已知函数y1＝x2－2x，y2＝ax＋2（a＞0）.若 －1≤x1≤2， －1≤x2≤2，使得－2x1＝ax2＋2，则实数a的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定，判断其真假：
（1）有一个奇数不能被3整除；
（2） x∈Z，x2与3的和不等于0；
（3）三角形的三个内角都为60°；
（4）存在一个实数x，使＞2.
16.（本小题满分15分）已知P＝{x｜1≤x≤2}，S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.
（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
17.（本小题满分15分）已知p：实数x满足a＜x＜4a（其中a＞0），q：实数x满足2＜x＜5.
（1）若a＝1，且p与q都为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p与q一真一假，求实数a的取值范围.
18.（本小题满分17分）设x，y∈R，求证：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜成立的充要条件是xy≥0.
19.（本小题满分17分）已知非空集合P＝{x｜a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x｜－2≤x≤5}.
（1）若a＝3，求（ RP）∩Q；
（2）若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
章末检测（二） 常用逻辑用语
1.A “1＜x＜3”可以推得“x＜3”，即满足充分性，但由“x＜3”得不出“1＜x＜3”，所以为充分不必要条件.故选A.
2.C 要判断全称量词命题“ x∈M，p（x）”为真命题，要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立，如果在M中找到一个元素x，使p（x）不成立，那么这个全称量词命题为假命题，故①③都是真命题.故选C.
3.D 全称量词命题的否定为存在量词命题，原命题的否定为 x∈R，x2＝x，故选D.
4.C 存在量词命题的否定为全称量词命题，“ ”改为“ ”，“＝”改为“≠”.即“ x＞0，x2＋2x＋1≠0”.故选C.
5.B ∵｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜，∴两边同时平方得a2－2ab＋b2＝a2＋2｜ab｜＋b2，即｜ab｜＝－ab，∴ab≤0.故“｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜”是“ab＜0”的必要不充分条件.
6.D ∵ x∈R，x2＋1＞0为真命题，∴A为假命题；∵函数y＝2x与y＝x2的图象有交点，如点（2，2），此时2x＝x2，∴B为假命题；∵当a＝b＝0时，a＋b＝0，而0作分母无意义，∴C为假命题；当a＞1，b＞1时，ab＞1，∴D为真命题，故选D.
7.B 解｜x－1｜＜2得－1＜x＜3，对于A，－1＜x＜3是充要条件，A错误；对于B，（－1，3） （－3，3），－3＜x＜3是｜x－1｜＜2成立的一个必要不充分条件，B正确；对于C，（0，3） （－1，3），0＜x＜3是｜x－1｜＜2成立的一个充分不必要条件，C错误；对于D，（0，4）与（－1，3）没有包含关系，0＜x＜4是既不充分也不必要条件，D错误.故选B.
8.B 由题意知方程x2－2x－m＝0有实数解，∴Δ＝（－2）2－4×（－m）≥0，解得m≥－1.
9.ACD ac＞bc / a＞b且a＞b / ac＞bc，故A、C错误；a＝b a－b＝0 （a－b）c＝0 ac＝bc，但ac＝bc / a＝b，∴ac＝bc是a＝b的必要条件，故B正确，D错误.
10.AD 若命题“ x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题，则a≥9.因为a≥10 a≥9，但a≥9 / a≥10，所以a≥10是命题“ x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.又因为a＝9.5 a≥9，但a≥9 / a＝9.5，所以a＝9.5是命题“ x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.故选A、D.
11.CD 对于A，当a－1＞b，即a＞b＋1时，则a＞b，即充分性成立；当a＞b时，例如a＝1，b＝0，则a－1＝b＝0，即必要性不成立，所以a＞b的充分不必要条件为a－1＞b，故A错误；对于B，若集合A＝{x｜ax2＋x＋1＝0}中只有一个元素，当a＝0时，集合A＝{x｜x＋1＝0}＝{－1}，只有一个元素，符合题意；当a≠0时，由Δ＝1－4a＝0，解得a＝.综上所述：a＝0或a＝，故B错误；对于C，命题“ x∈R，x2－x＋a＝0”是假命题，则命题“ x∈R，x2－x＋a≠0”是真命题，所以Δ＝1－4a＜0，解得a＞，故C正确；对于D，因为M∪N＝M，则N M，且集合M＝{0，1}，则满足条件的集合N为{0}或{1}或{0，1}或 ，故集合N的个数为4，故D正确.故选C、D.
12. x∈R，x2－x＋3≤0 解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题，所以原命题的否定为 x∈R，x2－x＋3≤0.
13.{m｜m＞2} 解析：由p：－1＜x＜3，q：－1＜x＜m＋1，q是p的必要不充分条件，即3＜m＋1，即m＞2.
14.[3，＋∞） 解析：由二次函数的性质可得函数y1＝x2－2x，－1≤x1≤2的取值范围为{y1｜－1≤y1≤3}.由一次函数的性质可知函数y2＝ax＋2（a＞0），－1≤x≤2的取值范围为{y2｜2－a≤y2≤2＋2a}.因为 －1≤x1≤2， －1≤
x2≤2，使得－2x1＝ax2＋2，即{y1｜－1≤y1≤3} {y2｜2－a≤y2≤2＋2a}，所以解得a≥3.
15.解：（1）是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除，假命题.
（2）是全称量词命题，否定为： x∈Z，x2与3的和等于0，假命题.
（3）是全称量词命题，否定为：存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题.
（4）是存在量词命题，否定为：任意一个实数x，都满足≤2，假命题.
16.解：（1）要使x∈P是x∈S的充要条件，需使P＝S，即此方程组无解，故不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.
（2）要使x∈P是x∈S的必要条件，需使S P.
当S＝ 时，1－m＞1＋m，解得m＜0，满足题意；
当S≠ 时，1－m≤1＋m，解得m≥0，要使S P，
则有解得m≤0，所以m＝0.
综上可得，存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件.m的取值范围为（－∞，0].
17.解：（1）当a＝1时，p：实数x满足1＜x＜4，
由题意得解得2＜x＜4，即实数x的取值范围为（2，4）.
（2）当p真q假时，由p得a＜x＜4a，由q得 q：x≤2或x≥5，画出数轴（图略），
可得4a≤2或a≥5，即a的取值范围为0＜a≤或a≥5，
当p假q真时，由p得 p：x≤a或x≥4a，
q：2＜x＜5，画出数轴（图略），可得4a≤2或a≥5，得0＜a≤或a≥5，
故当p与q一真一假时，实数a的取值范围为（0，］∪[5，＋∞）.
18.证明：充分性：如果xy＝0，那么，①x＝0，y≠0，②x≠0，y＝0，③x＝0，y＝0.总有｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，显然成立.
如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，
当x＞0，y＞0时，｜x＋y｜＝x＋y＝｜x｜＋｜y｜，
当x＜0，y＜0时，｜x＋y｜＝－x－y＝（－x）＋（－y）＝｜x｜＋｜y｜，
总之，当xy≥0时，｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜成立.
必要性：由｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜及x，y∈R，得（x＋y）2＝（｜x｜＋｜y｜）2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜xy｜＋y2，
故｜xy｜＝xy，所以xy≥0，故必要性成立，
综上，原命题成立.
19.解：因为集合P是非空集合，所以2a＋1≥a＋1，即a≥0.
（1）当a＝3时，P＝{x｜4≤x≤7}，
RP＝{x｜x＜4或x＞7}，
又Q＝{x｜－2≤x≤5}，
所以（ RP）∩Q＝{x｜－2≤x＜4}.
（2）若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则P Q，
即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a≤2，即实数a的取值范围为{a｜0≤a≤2}.
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章末检测（二）常用逻辑用语
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. “1＜ x ＜3”是“ x ＜3”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
解析： “1＜ x ＜3”可以推得“ x ＜3”，即满足充分性，但由
“ x ＜3”得不出“1＜ x ＜3”，所以为充分不必要条件.故选A.
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2. 下列全称量词命题中真命题的个数为（ ）
①末位是0的整数可以被2整除；②锐角都相等；③正方形中任意两
条边都相等.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解析： 要判断全称量词命题“ x ∈ M ， p （ x ）”为真命题，
要对集合 M 中的每一个元素 x ，证明 p （ x ）成立，如果在 M 中找
到一个元素 x ，使 p （ x ）不成立，那么这个全称量词命题为假命
题，故①③都是真命题.故选C.
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3. 命题“ x ∈R， x2≠ x ”的否定是（ ）
A. x ∈R， x2≠ x B. x ∈R， x2＝ x
C. x R， x2≠ x D. x ∈R， x2＝ x
解析： 全称量词命题的否定为存在量词命题，原命题的否定为
x ∈R， x2＝ x ，故选D.
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4. 已知命题 p ： x ＞0， x2＋2 x ＋1＝0，则 p 为（ ）
A. x ≤0， x2＋2 x ＋1≠0
B. x ≤0， x2＋2 x ＋1≠0
C. x ＞0， x2＋2 x ＋1≠0
D. x ＞0， x2＋2 x ＋1≠0
解析： 存在量词命题的否定为全称量词命题，“ ”改为
“ ”，“＝”改为“≠”.即“ x ＞0， x2＋2 x ＋1≠0”.故选C.
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5. “｜ a － b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜”是“ ab ＜0”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
解析： ∵｜ a － b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜，∴两边同时平方得 a2－
2 ab ＋ b2＝ a2＋2｜ ab ｜＋ b2，即｜ ab ｜＝－ ab ，∴ ab ≤0.故
“｜ a － b ｜＝｜ a ｜＋｜ b ｜”是“ ab ＜0”的必要不充分条件.
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6. 下列命题中的真命题是（ ）
A. x ∈R， x2＋1≤0
B. x ∈R，2 x ＞ x2
C. “ a ＋ b ＝0”的充要条件是“ ＝－1”
D. “ a ＞1， b ＞1”是“ ab ＞1”的充分条件
解析： ∵ x ∈R， x2＋1＞0为真命题，∴A为假命题；∵函数 y
＝2 x 与 y ＝ x2的图象有交点，如点（2，2），此时2 x ＝ x2，∴B为
假命题；∵当 a ＝ b ＝0时， a ＋ b ＝0，而0作分母无意义，∴C为
假命题；当 a ＞1， b ＞1时， ab ＞1，∴D为真命题，故选D.
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7. 下列选项中，使｜ x －1｜＜2成立的一个必要不充分条件是（ ）
A. －1＜ x ＜3 B. －3＜ x ＜3
C. 0＜ x ＜3 D. 0＜ x ＜4
解析： 解｜ x －1｜＜2得－1＜ x ＜3，对于A，－1＜ x ＜3是充
要条件，A错误；对于B，（－1，3） （－3，3），－3＜ x ＜3
是｜ x －1｜＜2成立的一个必要不充分条件，B正确；对于C，
（0，3） （－1，3），0＜ x ＜3是｜ x －1｜＜2成立的一个充分
不必要条件，C错误；对于D，（0，4）与（－1，3）没有包含关
系，0＜ x ＜4是既不充分也不必要条件，D错误.故选B.
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8. 若命题“存在 x ∈R， x2－2 x － m ＝0”是真命题，则实数 m 的取值
范围是（ ）
A. m ≤－1 B. m ≥－1
C. －1≤ m ≤1 D. m ＞－1
解析： 由题意知方程 x2－2 x － m ＝0有实数解，∴Δ＝（－2）2
－4×（－ m ）≥0，解得 m ≥－1.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 对任意实数 a ， b ， c ，下列命题中的假命题是（ ）
A. “ ac ＞ bc ”是“ a ＞ b ”的必要条件
B. “ ac ＝ bc ”是“ a ＝ b ”的必要条件
C. “ ac ＞ bc ”是“ a ＞ b ”的充分条件
D. “ ac ＝ bc ”是“ a ＝ b ”的充分条件
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解析： ac ＞ bc / a ＞ b 且 a ＞ b / ac ＞ bc ，故A、C错误；
a ＝ b a － b ＝0 （ a － b ） c ＝0 ac ＝ bc ，但 ac ＝ bc / a ＝
b ，∴ ac ＝ bc 是 a ＝ b 的必要条件，故B正确，D错误.
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10. 命题“ x ∈[1，3]， x2－ a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件
是（ ）
A. a ≥10 B. a ≤9
C. a ≥9 D. a ＝9.5
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解析： 若命题“ x ∈[1，3]， x2－ a ≤0”为真命题，
则 a ≥9.因为 a ≥10 a ≥9，但 a ≥9 / a ≥10，所以 a ≥10
是命题“ x ∈[1，3]， x2－ a ≤0”为真命题的一个充分不必
要条件.又因为 a ＝9.5 a ≥9，但 a ≥9 / a ＝9.5，所以 a ＝
9.5是命题“ x ∈[1，3]， x2－ a ≤0”为真命题的一个充分
不必要条件.故选A、D.
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11. 下列说法正确的是（ ）
A. a ＞ b 的一个必要不充分条件是 a －1＞ b
B. 若集合 A ＝{ x ｜ ax2＋ x ＋1＝0}中只有一个元素，则 a ＝
C. 若命题“ x ∈R， x2－ x ＋ a ＝0”是假命题，则实数 a 的取值范围
是{ a ｜ a ＞ }
D. 已知集合 M ＝{0，1}，则满足条件 M ∪ N ＝ M 的集合 N 的个数为4
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解析： 对于A，当 a －1＞ b ，即 a ＞ b ＋1时，则 a ＞ b ，即
充分性成立；当 a ＞ b 时，例如 a ＝1， b ＝0，则 a －1＝ b ＝0，即
必要性不成立，所以 a ＞ b 的充分不必要条件为 a －1＞ b ，故A错
误；对于B，若集合 A ＝{ x ｜ ax2＋ x ＋1＝0}中只有一个元素，当
a ＝0时，集合 A ＝{ x ｜ x ＋1＝0}＝{－1}，只有一个元素，符合
题意；当 a ≠0时，由Δ＝1－4 a ＝0，解得 a ＝ .综上所述： a ＝0
或 a ＝ ，故B错误；
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对于C，命题“ x ∈R， x2－ x ＋ a ＝0”是假命题，则命题“ x ∈R，
x2－ x ＋ a ≠0”是真命题，所以Δ＝1－4 a ＜0，解得 a ＞ ，故C正确；
对于D，因为 M ∪ N ＝ M ，则 N M ，且集合 M ＝{0，1}，则满足条
件的集合 N 为{0}或{1}或{0，1}或 ，故集合 N 的个数为4，故D正确.
故选C、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 命题“ x ∈R， x2－ x ＋3＞0”的否定是 .
解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题，所以原命题的否
定为 x ∈R， x2－ x ＋3≤0.
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13. 已知 p ：－1＜ x ＜3， q ：－1＜ x ＜ m ＋1，若 q 是 p 的必要不充分
条件，则实数 m 的取值范围是 .
解析：由 p ：－1＜ x ＜3， q ：－1＜ x ＜ m ＋1， q 是 p 的必要不充
分条件，即3＜ m ＋1，即 m ＞2.
{ m ｜ m ＞2}
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14. 已知函数 y1＝ x2－2 x ， y2＝ ax ＋2（ a ＞0）.若 －1≤ x1≤2， －
1≤ x2≤2，使得 －2 x1＝ ax2＋2，则实数 a 的取值范围是
.
解析：由二次函数的性质可得函数 y1＝ x2－2 x ，－1≤ x1≤2的取
值范围为{ y1｜－1≤ y1≤3}.由一次函数的性质可知函数 y2＝ ax ＋
2（ a ＞0），－1≤ x ≤2的取值范围为{ y2｜2－ a ≤ y2≤2＋2 a }.
因为 －1≤ x1≤2， －1≤ x2≤2，使得 －2 x1＝ ax2＋2，即
{ y1｜－1≤ y1≤3} { y2｜2－ a ≤ y2≤2＋2 a }，所以
解得 a ≥3.
[3，
＋∞）
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词
命题，并写出这些命题的否定，判断其真假：
（1）有一个奇数不能被3整除；
解：是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除，假命题.
（2） x ∈Z， x2与3的和不等于0；
解：是全称量词命题，否定为： x ∈Z， x2与3的和等
于0，假命题.
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（3）三角形的三个内角都为60°；
解：是全称量词命题，否定为：存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题.
（4）存在一个实数 x ，使 ＞2.
解：是存在量词命题，否定为：任意一个实数 x ，都满足 ≤2，假命题.
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16. （本小题满分15分）已知 P ＝{ x ｜1≤ x ≤2}， S ＝{ x ｜1－ m ≤ x
≤1＋ m }.
（1）是否存在实数 m ，使 x ∈ P 是 x ∈ S 的充要条件？若存在，求
出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由；
解：要使 x ∈ P 是 x ∈ S 的充要条件，需使 P ＝ S ，即
此方程组无解，故不存在实数 m ，使 x ∈ P 是 x
∈ S 的充要条件.
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（2）是否存在实数 m ，使 x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件？若存在，求
出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：要使 x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件，需使 S P .
当 S ＝ 时，1－ m ＞1＋ m ，解得 m ＜0，满足题意；
当 S ≠ 时，1－ m ≤1＋ m ，解得 m ≥0，要使 S P ，
则有解得 m ≤0，所以 m ＝0.
综上可得，存在实数 m ，使 x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件. m 的
取值范围为（－∞，0].
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17. （本小题满分15分）已知 p ：实数 x 满足 a ＜ x ＜4 a （其中 a ＞
0）， q ：实数 x 满足2＜ x ＜5.
（1）若 a ＝1，且 p 与 q 都为真命题，求实数 x 的取值范围；
解：当 a ＝1时， p ：实数 x 满足1＜ x ＜4，
由题意得解得2＜ x ＜4，即实数 x 的取值范围
为（2，4）.
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（2）若 p 与 q 一真一假，求实数 a 的取值范围.
解：当 p 真 q 假时，由 p 得 a ＜ x ＜4 a ，由 q 得 q ： x
≤2或 x ≥5，画出数轴（图略），
可得4 a ≤2或 a ≥5，即 a 的取值范围为0＜ a ≤ 或 a ≥5，
当 p 假 q 真时，由 p 得 p ： x ≤ a 或 x ≥4 a ，
q ：2＜ x ＜5，画出数轴（图略），可得4 a ≤2或 a ≥5，得0
＜ a ≤ 或 a ≥5，
故当 p 与 q 一真一假时，实数 a 的取值范围为（0， ］
∪[5，＋∞）.
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18. （本小题满分17分）设 x ， y ∈R，求证：｜ x ＋ y ｜＝｜ x ｜＋｜
y ｜成立的充要条件是 xy ≥0.
证明：充分性：如果 xy ＝0，那么，① x ＝0， y ≠0，② x
≠0， y ＝0，③ x ＝0， y ＝0.总有｜ x ＋ y ｜＝｜ x ｜＋｜
y ｜，显然成立.
如果 xy ＞0，即 x ＞0， y ＞0或 x ＜0， y ＜0，
当 x ＞0， y ＞0时，｜ x ＋ y ｜＝ x ＋ y ＝｜ x ｜＋｜ y ｜，
当 x ＜0， y ＜0时，｜ x ＋ y ｜＝－ x － y ＝（－ x ）＋（－
y ）＝｜ x ｜＋｜ y ｜，
总之，当 xy ≥0时，｜ x ＋ y ｜＝｜ x ｜＋｜ y ｜成立.
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必要性：由｜ x ＋ y ｜＝｜ x ｜＋｜ y ｜及 x ， y ∈R，得（ x ＋ y ）
2＝（｜ x ｜＋｜ y ｜）2，
即 x2＋2 xy ＋ y2＝ x2＋2｜ xy ｜＋ y2，
故｜ xy ｜＝ xy ，所以 xy ≥0，故必要性成立，
综上，原命题成立.
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19. （本小题满分17分）已知非空集合 P ＝{ x ｜ a ＋1≤ x ≤2 a ＋1}，
Q ＝{ x ｜－2≤ x ≤5}.
（1）若 a ＝3，求（ R P ）∩ Q ；
解：因为集合 P 是非空集合，所以2 a ＋1≥ a ＋1，即 a ≥0.
当 a ＝3时， P ＝{ x ｜4≤ x ≤7}，
R P ＝{ x ｜ x ＜4或 x ＞7}，
又 Q ＝{ x ｜－2≤ x ≤5}，
所以（ R P ）∩ Q ＝{ x ｜－2≤ x ＜4}.
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（2）若“ x ∈ P ”是“ x ∈ Q ”的充分不必要条件，求实数 a 的取
值范围.
解：若“ x ∈ P ”是“ x ∈ Q ”的充分不必要条件，则 P Q ，
即且 a ＋1≥－2和2 a ＋1≤5的等号不能同时
取得，解得0≤ a ≤2，
即实数 a 的取值范围为{ a ｜0≤ a ≤2}.
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