3.2.1 基本不等式的证明
1.下列结论正确的是（ ）
A.当x＞0且x≠1时，x＋≥2
B.当x＞0时，＋≥2
C.当x≠0时，x＋的最小值为2
D.当x＞0时，x＋的最小值为2
2.当x＞0时，y＝的最小值为（ ）
A. B.1 C. D.
3.（2024·南京月考）若a，b都是正数，则的最小值为（ ）
A.5 B.7 C.9 D.13
4.设p＝，q＝，r＝（b＞a＞0），则下列关系式正确的是（ ）
A.r＞q＞p B.q＞p＞r
C.q＞r＞p D.r＝q＞p
5.（多选）已知实数a，b，下列不等式一定成立的是（ ）
A.≥ B.＋≥2
C.｜＋｜≥2 D.2（a2＋b2）≥（a＋b）2
6.（多选）（2024·南通海安期中）已知x＞0，则（ ）
A.x（2－x）的最大值为1
B.3－x－的最大值为1
C.的最小值为2
D.x＋的最小值为5
7.若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为 .
8.（2024·苏州月考）已知x＜0，则x＋的最大值为 .
9.已知x＞，则y＝x－1＋的最小值为 .
10.（1）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋；
（2）已知a＞0，求证：≤≤.
11.（2024·无锡质检）已知当x＝3时，代数式4x＋（x＞0，a＞0）取得最小值，则a＝（ ）
A.1 B.6 C.30 D.36
12.（多选）已知a，b＞0，则下列不等式中成立的是（ ）
A.a＋b＋≥2 B.（a＋b）（＋）≥4
C.≥2 D.＞
13.已知p＝a＋（a＞2），q＝－b2－2b＋3（b∈R），则p，q的大小关系为 （用不等号表示）.
14.（1）设0＜x＜，求4x（3－2x）的最大值；
（2）已知a＞b＞c，求（a－c）（＋）的最小值.
15.（2024·连云港月考）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点（不同于A，B，O），点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E，设AC＝a，BC＝b，则由该图形中DE，DC，DO的大小关系可以完成的“无字证明”是（ ）
A.≤（a＞0，b＞0）
B.＜（a＞0，b＞0，a≠b）
C.≤（a＞0，b＞0）
D.＜＜（a＞0，b＞0，a≠b）
3.2.1 基本不等式的证明
1.B 选项A不满足“取等号时的条件”，故A错误；选项C不满足“各项必须为正”，故C错误；选项D不满足“积为定值”，故D错误.故选B.
2.D 当x＞0时，＝＋＋≥2＋＝，当且仅当x＝2时等号成立，所以当x＞0时，y＝的最小值为.
3.C 因为a，b都是正数，所以（1＋）·（1＋）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a时，等号成立.故选C.
4.A ∵b＞a＞0，∴a2＋b2＞2ab，∴2（a2＋b2）＞（a＋b）2，∴＞，∴＞.又∵＞，∴＞＞，即r＞q＞p.
5.BCD 对于A，当a＜0，b＜0时，≥不成立，故A错误；对于B，由式子有意义，故a＞0，故＋≥2，当且仅当a＝1时等号成立，故B正确；对于C，｜＋｜＝｜｜＋｜｜≥2，当且仅当a＝±b时，等号成立，故C正确；对于D，∵2（a2＋b2）－（a＋b）2＝a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2，故D正确.故选B、C、D.
6.ABD 对于A，x（2－x）≤（）2＝1，当且仅当x＝2－x，即x＝1时，等号成立，即x（2－x）的最大值为1，故A正确；对于B，3－x－＝3－（x＋），而x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时，等号成立，即3－x－的最大值1，故B正确；对于C，令g（x）＝＝＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立，但此时x不为实数，故无法取等号，即无法取到最小值2，故C错误；对于D，x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝5，当且仅当x＝2时，等号成立，即x＋的最小值为5，故D正确.故选A、B、D.
7.3 解析：由a＋b＝0，a＞0，得b＝－a，－＝＞0，所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号.
8.－3 解析：因为x＜0，则x＋＝－≤－2＝－3，当且仅当－x＝，即x＝－时，等号成立，所以x＋（x＜0）的最大值为－3.
9. 解析：由x＞得x－＞0，则函数y＝x－1＋＝x－＋＋≥2＋＝2＋＝，当且仅当即x＝时，等号成立，此时y取得最小值.
10.证明：（1）因为a＞0，b＞0，c＞0，所以a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2.
所以2（a＋b＋c）≥2（＋＋），即a＋b＋c≥＋＋，当且仅当a＝b＝c时等号成立.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立.所以a＋b＋c＞＋＋.
（2）因为a＞0，所以≥（当且仅当a＝1时，等号成立），所以≤，所以≤＝，所以≤≤.
11.D 因为x＞0，a＞0，所以4x＞0，＞0，所以4x＋≥2＝4（x＞0，a＞0），当且仅当4x＝，即x＝时，等号成立，所以＝3，a＝36.
12.ABC a＋b＋≥2＋≥2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；（a＋b）（＋）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；∵a2＋b2≥2ab＞0，∴≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；∵a＋b≥2，且a，b＞0，∴≤1，≤，当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立.
13.p≥q 解析：因为a＞2，所以p＝a＋＝（a－2）＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝，即a＝3时，等号成立，所以p≥4.又q＝－b2－2b＋3＝－（b＋1）2＋4，所以q≤4，所以p≥q.
14.解：（1）4x（3－2x）＝2[2x（3－2x）]≤2［］2＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立.
∵0＜＜，∴4x（3－2x）（0＜x＜）的最大值为.
（2）（a－c）（＋）＝（a－b＋b－c）（＋）＝1＋1＋＋.
∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，
∴2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，取等号，
∴（a－c）（＋）的最小值为4.
15.D 由AC＝a，BC＝b，可得半圆O的半径DO＝，由三角形相似，知DC2＝DE·DO＝AC·BC，易得DC＝＝，DE＝＝＝.∵DE＜DC＜DO，∴＜＜（a＞0，b＞0，a≠b）.故选D.
2 / 23.2.1 基本不等式的证明
新课程标准解读 核心素养
1.掌握基本不等式≤（a，b≥0，当且仅当a＝b时等号成立） 逻辑推理
2.能用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小 数学运算
3.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 数学建模、数学运算
某金店有一台天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的算术平均数作为项链的重量来计算.顾客对这个重量的真实性提出了质疑.
【问题】 你认为顾客的质疑有道理吗？
知识点一 算术平均数与几何平均数
对于正数a，b，我们把 称为a，b的算术平均数， 称为a，b的几何平均数.
知识点二 基本不等式与重要不等式
1.基本不等式
如果a，b是正数，那么 （当且仅当 时，等号成立）.
基本不等式表明：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数.
【想一想】
“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？
2.重要不等式
当a，b∈R时，ab≤ （当且仅当 时，等号成立）；ab≤（当且仅当 时，等号成立）.
提醒 基本不等式的常见变形：①a＋b≥2（其中a，b≥0，当且仅当a＝b时等号成立）；②ab≤≤（其中a，b∈R，当且仅当a＝b时等号成立）；③a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac（其中a，b，c∈R，当且仅当a＝b＝c时等号成立）.
【想一想】
1.基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？
2.基本不等式成立的条件“a≥0，b≥0”能省略吗？请举例说明.
1.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0
B.a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R
C.a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0
D.a＋b≥2成立的条件是ab＞0
2.若x＞0，则y＝＋x的最小值为 .
3.已知0＜x＜1，则x（1－x）的最大值为 ，此时x＝ .
题型一 对基本不等式的理解
【例1】 给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－［（－）＋］≤－2＝－2.
其中正确的推导为（ ）
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
通性通法
利用基本不等式判断命题真假的步骤
第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件；
第二步：应用基本不等式；
第三步：检验等号是否成立.
【跟踪训练】
下列不等式中正确的是（ ）
A.当x＞0时，x2＋≥2
B.当x≥2时，x＋的最小值为2
C.≥
D.a2＋b2≥4ab
题型二 利用基本不等式证明不等式
【例2】 （链接教科书第57页例1）设a，b为正数，证明下列不等式成立：
（1）a＋≥2；（2）＋≥＋.
通性通法
运用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
（1）策略：从问题的已知条件出发，借助不等式的性质和基本不等式或已证的重要不等式，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；
（2）注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模型再使用.
【跟踪训练】
设a，b，c为正数，证明下列不等式成立：
（1）a＋b＋c＋＋＋≥6；
（2）（a＋b）（b＋c）（a＋c）≥8abc.
题型三 利用基本不等式求最值
【例3】 （链接教科书第58页例2）（1）已知x＞0，求x＋的最小值；
（2）当x＞3时，求2x＋的最小值.
【母题探究】
（变条件、变设问）若x＜0，则x＋的最大值为 .
通性通法
1.利用基本不等式求最值时要牢记“一正、二定、三相等”
（1）一正：各项必须为正；
（2）二定：各项之和或各项之积为定值；
（3）三相等：必须验证取等号时条件是否具备.
2.拼凑法求最值的策略
将已知数学表达式变形，拼凑出符合基本不等式条件的形式（和或积为定值）.解题时应对照已知和所求的式子进行适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.
【跟踪训练】
1.（－6≤a≤3）的最大值为（ ）
A.9 B.
C.3 D.
2.设y＝，x＞1，则y的最小值为 .
1.不等式（x－2y）＋≥2成立的前提条件为（ ）
A.x≥2y B.x＞2y C.x≤2y D.x＜2y
2.下列各式中，最小值为4的是（ ）
A.x＋ B.2t＋
C.4t＋（t＞0） D.t＋
3.（2024·盐城五校联盟期中）设实数x满足x＞－1，则函数y＝x＋的最小值为（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
4.已知a，b＞0，证明：（a＋）（b＋）≥4.
3.2.1 基本不等式的证明
【基础知识·重落实】
知识点一
知识点二
1.≤ a＝b 不小于
想一想
提示：一方面是当a＝b时取等号，即a＝b ＝；另一方面是仅当a＝b时取等号，即＝ a＝b.
2. a＝b a＝b
想一想
1.提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式.
2.提示：不能，如≥是不成立的.
自我诊断
1.BC 根据不等式成立的条件可知只有B、C正确，故选B、C.
2.4 解析：∵x＞0，＞0，∴y＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，故y＝＋x的最小值为4.
3. 解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x（1－x）≤＝＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立，即当x＝时，x（1－x）取得最大值.
【典型例题·精研析】
【例1】 B ①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确.②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的.③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确.
跟踪训练
A 对于选项A，符合基本不等式的条件，故A正确；对于选项B，忽视了验证等号成立的条件，即x＝，则x＝1，不满足x≥2，故B错误；对于C，当a≥0，b≥0时，≤，当且仅当a＝b时取等号，故C错误；对于D，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，故D错误.故选A.
【例2】 证明：（1）因为a为正数，所以也为正数.
由基本不等式，得a＋≥2＝2，
当且仅当a＝，即a＝1时，等号成立.所以原不等式成立.
（2）因为a＞0，b＞0，
所以＋≥2＝2， ①
＋≥2＝2. ②
①②两式相加，得＋＋＋≥2＋2，
所以＋≥＋，当且仅当a＝b时等号成立.所以原不等式成立.
跟踪训练
证明：（1）因为a，b，c为正数，所以，，也为正数.
由基本不等式，得a＋≥2＝2，b＋≥2＝2，c＋≥2＝2，
所以a＋b＋c＋＋＋≥6.
当且仅当a＝，b＝，c＝，即a＝b＝c＝1时，等号成立.
所以原不等式成立.
（2）因为a，b，c为正数，所以由基本不等式，得a＋b≥2，b＋c≥2，a＋c≥2，
所以（a＋b）（b＋c）（a＋c）≥2·2·2＝8abc，
当且仅当a＝b，b＝c，a＝c，即a＝b＝c时，等号成立.
所以原不等式成立.
【例3】 解：（1）因为x＞0，所以＞0，由基本不等式，得x＋≥2＝8，
当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立.
所以x＋的最小值为8.
（2）因为x＞3，所以2x－6＞0，由基本不等式，
得2x＋＝（2x－6）＋＋6≥2＋6＝2×2＋6＝10，当且仅当2x－6＝，即x＝4时取等号.所以2x＋的最小值为10.
母题探究
－8 解析：∵x＜0，∴－x＞0，∴（－x）＋（－）≥2＝8，∴x＋＝－（－x＋）≤－8，当且仅当－x＝－，即x＝－4时，等号成立.故x＋的最大值为－8.
跟踪训练
1.B 当a＝－6或a＝3时，＝0；当－6＜a＜3时，≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时取等号.
2.4 解析：因为x＞1，所以x－1＞0，所以y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当＝x－1，即x＝2时，等号成立，所以当x＝2时，y的最小值为4.
随堂检测
1.B 因为不等式成立的前提条件是x－2y和均为正数，所以x－2y＞0，即x＞2y，故选B.
2.C A中，当x＝－1时，x＋＝－5＜4，故A错误；B中，当t＝－1时，2t＋＝－3＜4，故B错误；C中，4t＋≥2＝4，当且仅当t＝时，等号成立，故C正确；D中，当t＝－1时，t＋＝－2＜4，故D错误.故选C.
3.A ∵x＞－1，∴函数y＝x＋＝（x＋1）＋－1≥2－1＝4－1＝3，当且仅当x＋1＝，即x＝1时取等号.因此函数y＝x＋的最小值为3.故选A.
4.证明：因为a，b＞0，所以ab＞0，＞0，所以（a＋）（b＋）＝2＋ab＋≥2＋2＝4，
当且仅当ab＝，即ab＝1时，等号成立.
所以原不等式成立.
4 / 4(共62张PPT)
3.2.1 基本不等式的证明
新课程标准解读 核心素养
1.掌握基本不等式 ≤ （ a ， b ≥0，当且
仅当 a ＝ b 时等号成立） 逻辑推理
2.能用基本不等式证明简单的不等式及比较代数
式的大小 数学运算
3.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最
大值或最小值问题 数学建模、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某金店有一台天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不
准确.有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各
称一次，得到两个不同的重量 a 和 b ，然后就把两次称得的重量的算
术平均数 作为项链的重量来计算.顾客对这个重量的真实性提出
了质疑.
【问题】 你认为顾客的质疑有道理吗？
知识点一 算术平均数与几何平均数
对于正数 a ， b ，我们把 称为 a ， b 的算术平均数，
称为 a ， b 的几何平均数.
知识点二 基本不等式与重要不等式
1. 基本不等式
如果 a ， b 是正数，那么 （当且仅当
时，等号成立）.
基本不等式表明：两个正数的算术平均数 它们的几何平
均数.
≤
a ＝ b
不小于
【想一想】
“当且仅当 a ＝ b 时，等号成立”的含义是什么？
提示：一方面是当 a ＝ b 时取等号，即 a ＝ b ＝ ；另一方面
是仅当 a ＝ b 时取等号，即 ＝ a ＝ b .
2. 重要不等式
当 a ， b ∈R时， ab ≤ （当且仅当 时，等号成
立）； ab ≤ （当且仅当 时，等号成立）.
提醒 基本不等式的常见变形：① a ＋ b ≥2 （其中 a ， b ≥0，
当且仅当 a ＝ b 时等号成立）；② ab ≤ ≤ （其中
a ， b ∈R，当且仅当 a ＝ b 时等号成立）；③ a2＋ b2＋ c2≥ ab ＋ bc
＋ ac （其中 a ， b ， c ∈R，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等号成立）.
a ＝ b
a ＝ b
【想一想】
1. 基本不等式中的 a ， b 只能是具体的某个数吗？
提示： a ， b 既可以是具体的某个数，也可以是代数式.
2. 基本不等式成立的条件“ a ≥0， b ≥0”能省略吗？请举例说明.
提示：不能，如 ≥ 是不成立的.
1. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. a2＋ b2≥2 ab 成立的条件是 a ≥0， b ≥0
B. a2＋ b2≥2 ab 成立的条件是 a ， b ∈R
C. a ＋ b ≥2 成立的条件是 a ≥0， b ≥0
D. a ＋ b ≥2 成立的条件是 ab ＞0
解析：根据不等式成立的条件可知只有B、C正确，故选B、C.
2. 若 x ＞0，则 y ＝ ＋ x 的最小值为 .
解析：∵ x ＞0， ＞0，∴ y ＝ x ＋ ≥2 ＝4，当且仅当 x ＝
，即 x ＝2时，等号成立，故 y ＝ ＋ x 的最小值为4.
4
3. 已知0＜ x ＜1，则 x （1－ x ）的最大值为 ，此时 x ＝
解析：因为0＜ x ＜1，所以1－ x ＞0，所以 x （1－ x ）≤
＝ ＝ ，当且仅当 x ＝1－ x ，即 x ＝ 时等号成
立，即当 x ＝ 时， x （1－ x ）取得最大值 .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 对基本不等式的理解
【例1】 给出下面三个推导过程：
①∵ a ， b 为正实数，∴ ＋ ≥2 ＝2；
②∵ a ∈R， a ≠0，∴ ＋ a ≥2 ＝4；
③∵ x ， y ∈R， xy ＜0，∴ ＋ ＝－［（－ ）＋ ］≤－2
＝－2.
其中正确的推导为（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
解析： ①∵ a ， b 为正实数，∴ ， 为正实数，符合基本不等式
的条件，故①的推导正确.②∵ a ∈R， a ≠0，不符合基本不等式的条
件，∴ ＋ a ≥2 ＝4是错误的.③由 xy ＜0，得 ， 均为负数，
但在推导过程中将整体 ＋ 提出负号后，－ ，－ 均变为正数，符
合基本不等式的条件，故③正确.
通性通法
利用基本不等式判断命题真假的步骤
第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件；
第二步：应用基本不等式；
第三步：检验等号是否成立.
【跟踪训练】
下列不等式中正确的是（ ）
A. 当 x ＞0时， x2＋ ≥2
B. 当 x ≥2时， x ＋ 的最小值为2
C. ≥
D. a2＋ b2≥4 ab
解析： 对于选项A，符合基本不等式的条件，故A正确；对于选项
B，忽视了验证等号成立的条件，即 x ＝ ，则 x ＝1，不满足 x ≥2，
故B错误；对于C，当 a ≥0， b ≥0时， ≤ ，当且仅当 a ＝ b
时取等号，故C错误；对于D，由基本不等式得 a2＋ b2≥2 ab ，当且仅
当 a ＝ b 时取等号，故D错误.故选A.
题型二 利用基本不等式证明不等式
【例2】 （链接教科书第57页例1）设 a ， b 为正数，证明下列不等
式成立：
（1） a ＋ ≥2；
证明：因为 a 为正数，所以 也为正数.
由基本不等式，得 a ＋ ≥2 ＝2，
当且仅当 a ＝ ，即 a ＝1时，等号成立.所以原不等式成立.
（2） ＋ ≥ ＋ .
证明：因为 a ＞0， b ＞0，
所以 ＋ ≥2 ＝2 ， ①
＋ ≥2 ＝2 . ②
①②两式相加，得 ＋ ＋ ＋ ≥2 ＋2 ，
所以 ＋ ≥ ＋ ，当且仅当 a ＝ b 时等号成立.所以原不
等式成立.
通性通法
运用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
（1）策略：从问题的已知条件出发，借助不等式的性质和基本不等
式或已证的重要不等式，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所
求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未
知”；
（2）注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意
使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成
基本不等式模型再使用.
【跟踪训练】
设 a ， b ， c 为正数，证明下列不等式成立：
（1） a ＋ b ＋ c ＋ ＋ ＋ ≥6；
证明：因为 a ， b ， c 为正数，所以 ， ， 也为正数.
由基本不等式，得 a ＋ ≥2 ＝2， b ＋ ≥2 ＝2， c ＋
≥2 ＝2，
所以 a ＋ b ＋ c ＋ ＋ ＋ ≥6.
当且仅当 a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ，即 a ＝ b ＝ c ＝1时，等号成立.
所以原不等式成立.
（2）（ a ＋ b ）（ b ＋ c ）（ a ＋ c ）≥8 abc .
证明：因为 a ， b ， c 为正数，所以由基本不等式，得 a ＋ b ≥2
， b ＋ c ≥2 ， a ＋ c ≥2 ，
所以（ a ＋ b ）（ b ＋ c ）（ a ＋ c ）≥2 ·2 ·2 ＝8
abc ，
当且仅当 a ＝ b ， b ＝ c ， a ＝ c ，即 a ＝ b ＝ c 时，等号成立.
所以原不等式成立.
题型三 利用基本不等式求最值
【例3】 （链接教科书第58页例2）（1）已知 x ＞0，求 x ＋ 的最
小值；
解：因为 x ＞0，所以 ＞0，由基本不等式，得 x ＋ ≥2
＝8，
当且仅当 x ＝ ，即 x ＝4时，等号成立.
所以 x ＋ 的最小值为8.
（2）当 x ＞3时，求2 x ＋ 的最小值.
解：因为 x ＞3，所以2 x －6＞0，由基本不等式，
得2 x ＋ ＝（2 x －6）＋ ＋6≥2 ＋6＝
2×2＋6＝10，当且仅当2 x －6＝ ，即 x ＝4时取等号.所以2
x ＋ 的最小值为10.
【母题探究】
（变条件、变设问）若 x ＜0，则 x ＋ 的最大值为 .
解析：∵ x ＜0，∴－ x ＞0，∴（－ x ）＋（－ ）≥2
＝8，∴ x ＋ ＝－（－ x ＋ ）≤－8，当且仅当
－ x ＝－ ，即 x ＝－4时，等号成立.故 x ＋ 的最大值为－8.
－8
通性通法
1. 利用基本不等式求最值时要牢记“一正、二定、三相等”
（1）一正：各项必须为正；
（2）二定：各项之和或各项之积为定值；
（3）三相等：必须验证取等号时条件是否具备.
2. 拼凑法求最值的策略
将已知数学表达式变形，拼凑出符合基本不等式条件的形式（和或
积为定值）.解题时应对照已知和所求的式子进行适当的“拆项、
添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.
【跟踪训练】
1. （－6≤ a ≤3）的最大值为（ ）
A. 9 B. C. 3 D.
解析： 当 a ＝－6或 a ＝3时， ＝0；当－6＜
a ＜3时， ≤ ＝ ，当且仅当3－ a ＝ a
＋6，即 a ＝－ 时取等号.
2. 设 y ＝ ， x ＞1，则 y 的最小值为 .
解析：因为 x ＞1，所以 x －1＞0，所以 y ＝ ＝ ＝ x ＋1＋
＝ x －1＋ ＋2≥2＋2＝4.当且仅当 ＝ x －1，即 x ＝2时，
等号成立，所以当 x ＝2时， y 的最小值为4.
4
1. 不等式（ x －2 y ）＋ ≥2成立的前提条件为（ ）
A. x ≥2 y B. x ＞2 y
C. x ≤2 y D. x ＜2 y
解析： 因为不等式成立的前提条件是 x －2 y 和 均为正数，
所以 x －2 y ＞0，即 x ＞2 y ，故选B.
2. 下列各式中，最小值为4的是（ ）
A. x ＋ B. 2 t ＋
C. 4 t ＋ （ t ＞0） D. t ＋
解析： A中，当 x ＝－1时， x ＋ ＝－5＜4，故A错误；B中，
当 t ＝－1时，2 t ＋ ＝－3＜4，故B错误；C中，4 t ＋ ≥2
＝4，当且仅当 t ＝ 时，等号成立，故C正确；D中，当 t ＝－1
时， t ＋ ＝－2＜4，故D错误.故选C.
3. （2024·盐城五校联盟期中）设实数 x 满足 x ＞－1，则函数 y ＝ x ＋
的最小值为（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析： ∵ x ＞－1，∴函数 y ＝ x ＋ ＝（ x ＋1）＋ －1≥2
－1＝4－1＝3，当且仅当 x ＋1＝ ，即 x ＝1时
取等号.因此函数 y ＝ x ＋ 的最小值为3.故选A.
4. 已知 a ， b ＞0，证明：（ a ＋ ）（ b ＋ ）≥4.
证明：因为 a ， b ＞0，所以 ab ＞0， ＞0，所以（ a ＋ ）（ b ＋
）＝2＋ ab ＋ ≥2＋2 ＝4，
当且仅当 ab ＝ ，即 ab ＝1时，等号成立.
所以原不等式成立.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列结论正确的是（ ）
A. 当 x ＞0且 x ≠1时， x ＋ ≥2
B. 当 x ＞0时， ＋ ≥2
C. 当 x ≠0时， x ＋ 的最小值为2
D. 当 x ＞0时， x ＋ 的最小值为2
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解析： 选项A不满足“取等号时的条件”，故A错误；选项C不
满足“各项必须为正”，故C错误；选项D不满足“积为定值”，
故D错误.故选B.
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2. 当 x ＞0时， y ＝ 的最小值为（ ）
A. B. 1 C. D.
解析： 当 x ＞0时， ＝ ＋ ＋ ≥2 ＋ ＝ ，当且
仅当 x ＝2时等号成立，所以当 x ＞0时， y ＝ 的最小值为 .
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3. （2024·南京月考）若 a ， b 都是正数，则 的最小
值为（ ）
A. 5 B. 7
C. 9 D. 13
解析： 因为 a ， b 都是正数，所以（1＋ ）（1＋ ）＝5＋
＋ ≥5＋2 ＝9，当且仅当 b ＝2 a 时，等号成立.故选C.
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4. 设 p ＝ ， q ＝ ， r ＝ （ b ＞ a ＞0），则下列关系式
正确的是（ ）
A. r ＞ q ＞ p B. q ＞ p ＞ r
C. q ＞ r ＞ p D. r ＝ q ＞ p
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解析： ∵ b ＞ a ＞0，∴ a2＋ b2＞2 ab ，∴2（ a2＋ b2）＞（ a ＋
b ）2，∴ ＞ ，∴ ＞ .又∵ ＞
，∴ ＞ ＞ ，即 r ＞ q ＞ p .
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5. （多选）已知实数 a ， b ，下列不等式一定成立的是（ ）
A. ≥ B. ＋ ≥2
C. ｜ ＋ ｜≥2 D. 2（ a2＋ b2）≥（ a ＋ b ）2
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解析： 对于A，当 a ＜0， b ＜0时， ≥ 不成立，故
A错误；对于B，由式子有意义，故 a ＞0，故 ＋ ≥2，当且仅
当 a ＝1时等号成立，故B正确；对于C，｜ ＋ ｜＝｜ ｜＋｜
｜≥2，当且仅当 a ＝± b 时，等号成立，故C正确；对于D，∵2
（ a2＋ b2）－（ a ＋ b ）2＝ a2＋ b2－2 ab ＝（ a － b ）2≥0，∴2
（ a2＋ b2）≥（ a ＋ b ）2，故D正确.故选B、C、D.
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6. （多选）（2024·南通海安期中）已知 x ＞0，则（ ）
A. x （2－ x ）的最大值为1
B. 3－ x － 的最大值为1
C. 的最小值为2
D. x ＋ 的最小值为5
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解析： 对于A， x （2－ x ）≤（ ）2＝1，当且仅当 x ＝
2－ x ，即 x ＝1时，等号成立，即 x （2－ x ）的最大值为1，故A正
确；对于B，3－ x － ＝3－（ x ＋ ），而 x ＋ ≥2 ＝2，当且
仅当 x ＝1时，等号成立，即3－ x － 的最大值1，故B正确；对于
C，令 g （ x ）＝ ＝ ＋ ≥2 ＝2，当且仅当
＝ 时，等号成立，但此时 x 不为实数，故无法取等
号，即 无法取到最小值2，故C错误；
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对于D， x ＋ ＝ x ＋1＋ －1≥2 －1＝5，当且仅
当 x ＝2时，等号成立，即 x ＋ 的最小值为5，故D正确.故选A、B、
D.
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7. 若 a ＞0，且 a ＋ b ＝0，则 a － ＋1的最小值为 .
解析：由 a ＋ b ＝0， a ＞0，得 b ＝－ a ，－ ＝ ＞0，所以 a －
＋1＝ a ＋ ＋1≥3，当且仅当 a ＝1， b ＝－1时取等号.
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8. （2024·苏州月考）已知 x ＜0，则 x ＋ 的最大值为 .
解析：因为 x ＜0，则 x ＋ ＝－ ≤－2 ＝－3，当且
仅当－ x ＝ ，即 x ＝－ 时，等号成立，所以 x ＋ （ x ＜0）的
最大值为－3.
－3
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9. 已知 x ＞ ，则 y ＝ x －1＋ 的最小值为 .
解析：由 x ＞ 得 x － ＞0，则函数 y ＝ x －1＋ ＝ x － ＋
＋ ≥2 ＋ ＝2＋ ＝ ，当且仅当
即 x ＝ 时，等号成立，此时 y 取得最小值 .
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10. （1）已知 a ， b ， c 为不全相等的正实数，求证： a ＋ b ＋ c ＞
＋ ＋ ；
证明：因为 a ＞0， b ＞0， c ＞0，所以 a ＋ b ≥2
， b ＋ c ≥2 ， c ＋ a ≥2 .
所以2（ a ＋ b ＋ c ）≥2（ ＋ ＋ ），即 a ＋ b ＋
c ≥ ＋ ＋ ，当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等号成立.由
于 a ， b ， c 为不全相等的正实数，故等号不成立.所以 a ＋
b ＋ c ＞ ＋ ＋ .
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（2）已知 a ＞0，求证： ≤ ≤ .
证明：因为 a ＞0，所以 ≥ （当且仅当 a ＝1
时，等号成立），所以 ≤ ，所以 ≤ ＝ ，所
以 ≤ ≤ .
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11. （2024·无锡质检）已知当 x ＝3时，代数式4 x ＋ （ x ＞0， a ＞
0）取得最小值，则 a ＝（ ）
A. 1 B. 6 C. 30 D. 36
解析： 因为 x ＞0， a ＞0，所以4 x ＞0， ＞0，所以4 x ＋ ≥2
＝4 （ x ＞0， a ＞0），当且仅当4 x ＝ ，即 x ＝ 时，
等号成立，所以 ＝3， a ＝36.
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12. （多选）已知 a ， b ＞0，则下列不等式中成立的是（ ）
A. a ＋ b ＋ ≥2 B. （ a ＋ b ）（ ＋ ）≥4
C. ≥2 D. ＞
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解析： a ＋ b ＋ ≥2 ＋ ≥2 ，当且仅当 a ＝ b
＝ 时，等号成立，A成立；（ a ＋ b ）（ ＋ ）＝2＋ ＋ ≥2
＋2 ＝4，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立，B成立；∵ a2＋
b2≥2 ab ＞0，∴ ≥2 ，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立，
C成立；∵ a ＋ b ≥2 ，且 a ， b ＞0，∴ ≤1， ≤
，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立，D不成立.
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13. 已知 p ＝ a ＋ （ a ＞2）， q ＝－ b2－2 b ＋3（ b ∈R），则 p ，
q 的大小关系为 （用不等号表示）.
解析：因为 a ＞2，所以 p ＝ a ＋ ＝（ a －2）＋ ＋2≥2
＋2＝4，当且仅当 a －2＝ ，即 a ＝3时，等号
成立，所以 p ≥4.又 q ＝－ b2－2 b ＋3＝－（ b ＋1）2＋4，所以 q
≤4，所以 p ≥ q .
p ≥ q
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14. （1）设0＜ x ＜ ，求4 x （3－2 x ）的最大值；
解：4 x （3－2 x ）＝2[2 x （3－2 x ）]≤2
［ ］2＝ ，当且仅当2 x ＝3－2 x ，即 x ＝
时，等号成立.
∵0＜ ＜ ，∴4 x （3－2 x ）（0＜ x ＜ ）的最大值为 .
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（2）已知 a ＞ b ＞ c ，求（ a － c ）（ ＋ ）的最小值.
解：（ a － c ）（ ＋ ）＝（ a － b ＋ b － c ）
（ ＋ ）＝1＋1＋ ＋ .
∵ a ＞ b ＞ c ，∴ a － b ＞0， b － c ＞0，
∴2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4，
当且仅当 a － b ＝ b － c ，即2 b ＝ a ＋ c 时，取等号，
∴（ a － c ）（ ＋ ）的最小值为4.
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15. （2024·连云港月考）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法
研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过
这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，因此
这种方法也被称为“无字证明”.如图所示， AB 是半圆 O 的直
径，点 C 是 AB 上一点（不同于 A ， B ， O ），点 D 在半圆 O 上，
且 CD ⊥ AB ， CE ⊥ OD 于点 E ，设 AC ＝ a ， BC ＝ b ，则由该图
形中 DE ， DC ， DO 的大小关系可以完成的“无字证明”是（ ）
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A. ≤ （ a ＞0， b ＞0）
B. ＜ （ a ＞0， b ＞0， a ≠ b ）
C. ≤ （ a ＞0， b ＞0）
D. ＜ ＜ （ a ＞0， b ＞0， a ≠ b ）
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解析： 由 AC ＝ a ， BC ＝ b ，可得半圆 O 的半径 DO ＝ ，
由三角形相似，知 DC2＝ DE · DO ＝ AC · BC ，易得 DC ＝
＝ ， DE ＝ ＝ ＝ .∵ DE ＜ DC ＜ DO ，∴ ＜
＜ （ a ＞0， b ＞0， a ≠ b ）.故选D.
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谢 谢 观 看！
