3.2.2 基本不等式的应用
1.已知a>0,b>0,2a+b=1,则+的最小值是( )
A.2 B.3-2 C.3+2 D.3+
2.若a>0,b>0,a+2b=5,则ab的最大值为( )
A.25 B.
C. D.
3.文具店的某种商品的年进货量为1 000件,分若干次进货,每次进货量相同,且所需运费为10元,运来的货物需租仓库存放,一年的租金按一次进货量的一半来计算,每件2元.为使一年的运费和租金最省,每次进货量应为( )
A.20件 B.500件
C.100件 D.250件
4.(2024·淮安月考)已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
5.港珠澳大桥通车后,经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行.刘先生在某段时间内共加油两次,期间燃油的价格有升也有降,现刘先生有两种加油方案,第一种方案:每次均加30升的燃油;第二种方案:每次均加200元的燃油,则下列说法正确的是( )
A.采用第一种方案划算
B.采用第二种方案划算
C.两种方案一样
D.无法确定
6.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦—秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a=3,b+c=5,则此三角形面积的最大值为( )
A. B.3
C. D.
7.为教室消毒,向室内喷洒某消毒液,已知室内消毒液浓度C(单位:mg/L)随时间t(单位:min)的变化关系为C=,则经过 min后室内消毒液浓度达到最大.
8.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转 年时,年平均利润最大,最大值是 万元.
9. x>0,使得+x-a≤0,则实数a的取值范围是 .
10.为了增强生物实验课的趣味性,丰富生物实验教学内容,某校计划沿着围墙(足够长)划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场,规定ABCD的每条边长均不超过20米.如图所示,矩形EFGH为羊驼养殖区,且点A,B,E,F四点共线,阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设AB=x(单位:米),养殖区域EFGH的面积为S(单位:平方米).
(1)将S表示为x的函数,并写出x的取值范围;
(2)当AB为多长时,S取得最大值?并求出此最大值.
11.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为900元,若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )
A.30件 B.60件 C.80件 D.100件
12.某商场对商品进行两次提价,现提出四种提价方案,其中p,q(p≠q)为正百分数,则提价幅度较大的一种是( )
A.先提价p,后提价q(p≠q)
B.先提价q,后提价p(p≠q)
C.分两次提价(p≠q)
D.分两次提价(p≠q)
13.(多选)(2024·扬州月考)已知正数m,n满足m+n2=2,则下列说法正确的是( )
A.m+3n的最大值为
B.mn2的最大值为2
C.+的最小值为2
D.m2+n4的最小值为2
14.(2024·南京师大附中期末)中国政府在第七十五届联合国大会上提出,“中国将努力争取在2060年前实现碳中和.”随后,国务院印发了《关于加快建立健全绿色低碳循环发展经济体系的指导意见》.某企业去年消耗电费50万元,预计今年若不作任何改变,则今年消耗电费与去年相同.为了响应号召,节能减排,该企业决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备,并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用(单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:m2)成正比,比例系数约为0.6.为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下,安装太阳能供电设备后该企业每年消耗的电费C(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:m2)之间的函数关系是C=(x≥0,k为常数).记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为y(单位:万元).
(1)求常数k,并写出y关于x的函数关系式;
(2)当太阳能电池板的面积为多少平方米时,y取得最小值?最小值是多少万元?
15.(2024·宿迁期末)如图,某居民小区要建一座八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为400 m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为1 000元/m2;在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪,造价为400元/m2;在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,造价为200元/m2.设AD长为x(单位:m).
(1)用x表示AM的长度,并求x的取值范围;
(2)当AD的长为何值时,总造价最低?最低总造价是多少?
3.2.2 基本不等式的应用
1.C +=(2a+b)(+)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即a=1-,b=-1时,等号成立.∴+的最小值是3+2.故选C.
2.D 因为a>0,b>0,a+2b=5,所以ab=a·2b≤×()2=,当且仅当a=,b=时取等号,故ab的最大值为.
3.C 设每次进货量为x件,一年的运费和租金总费用为y元.由题意,得y=10·+2·=+x≥2=200,当且仅当x=100时取等号.故为使一年的运费和租金最省,每次进货量应为100件.
4.B ∵(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,∴(x+y)(+)≥(1+)2≥9,∴≥2,即a≥4,故正实数a的最小值为4.
5.B 假设第一次的油价为m元/升,第二次的油价为n元/升.第一种方案的均价为=≥;第二种方案的均价为=≤.所以无论油价如何变化,第二种方案都更划算.
6.B 由题意知,p=×(3+5)=4,则S===2≤2×=8-(b+c)=3,当且仅当4-b=4-c,即b=c时,等号成立.∴此三角形面积的最大值为3.故选B.
7.5 解析:由题意可得t>0,C==≤=2,当且仅当t=,即t=5时取等号.
8.5 8 解析:每台机器运转x年的年平均利润为=18-(x+),且x∈N*,故≤18-2=8,当且仅当x=5时,等号成立.所以当每台机器运转5年时,年平均利润最大,最大值为8万元.
9.[2,+∞) 解析: x>0,使得+x-a≤0,等价于x>0时a≥,∵x+≥2=2,当且仅当x=1时等号成立,∴a≥2.
10.解:(1)因为AB=x,所以AD=,EF=x-2,FG=-1,
所以S=(x-2)(-1)=102--x,
因为0<x≤20,0<≤20,解得5≤x≤20,
所以S=102--x,5≤x≤20.
(2)S=102--x≤102-2=102-20,
当且仅当x=10时,等号成立,经验证,符合题意.
故当AB=10米时,S取得最大值,最大值为(102-20)平方米.
11.B 设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元,则y==+≥2=30,当且仅当=,即x=60时等号成立,故每批应生产产品60件.故选B.
12.D 设提价前的价格为1,由题意可知,A、B选项的两次提价后的价格均为(1+p)(1+q),C选项的提价后的价格为(1+)2,D选项的提价后的价格为(1+)2,又∵<,∴(1+p)(1+q)<(1+)2<(1+)2,∴提价幅度较大的为D选项.
13.CD ∵m=2-n2>0,∴0<n<,∴m+3n=2-n2+3n=-(n-)2+,则m+3n<,故A错误;依题意,mn2≤=1,当且仅当m=n=1时,等号成立,故B错误;∵+=(m+n2)(+)=(2++)≥2,当且仅当m=n=1时,等号成立,故C正确;∵≥()2=1,∴m2+n4≥2,当且仅当m=n=1时等号成立.故D正确.故选C、D.
14.解:(1)由题意知,当x=0时,C=50,即=50,解得k=3 000,
则y=×20+0.6x=+0.6x(x≥0).
(2)由于x≥0,故y=+0.6x=+(x+6)-≥2-=116.4(万元),
当且仅当=(x+6),即x=94(m2)时,等号成立.
故当太阳能电池板的面积为94平方米时,y取得最小值,最小值是116.4万元.
15.解:(1)由题意可得,矩形AMQD的面积为,因此AM=,
因为AM>0,所以0<x<20.
(2)设总造价为y元,由题意可得,y=1 000x2+400×(400-x2)+200×4××()2=100(+)+140 000,
由基本不等式得y≥100×2+140 000=240 000,
当且仅当=,即x=4时,等号成立,
所以当x=4时,总造价y最小,最小值为240 000元.
3 / 33.2.2 基本不等式的应用
新课程标准解读 核心素养
1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用 数学运算
2.会用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 逻辑推理、数学运算
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题 数学建模、数学运算
一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a,b的矩形牧场,现在已有材料能做成l km的栅栏.
【问题】 如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大?
知识点一 用基本不等式求最值
已知x,y都是正数,则
(1)如果积xy等于定值P,那么当 时,和x+y有最小值 ;
(2)如果和x+y等于定值S,那么当 时,积xy有最大值 .
知识点二 利用基本不等式解决实际问题的步骤
1.先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
2.建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
3.在定义域内求出函数的最大值或最小值.
4.正确写出答案.
1.已知直角三角形面积为50,则两直角边和的最小值是 .
2.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次应都购买 吨.
题型一 求“和为定值”模型的最值
【例1】 (链接教科书第59页例3)欲用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的面积最大的矩形菜园,墙长18 m,则这个矩形的长、宽分别为( )
A.15 m, m B.15 m, m
C.7 m, m D.7 m, m
通性通法
两个正数和为定值,求它们积的最大值
(1)应满足基本不等式成立的条件;
(2)若所给代数式具备和为定值的形式,可利用重要不等式ab≤()2,求出积的最大值;
(3)若所给代数式不具备和为定值的形式,应配凑出和为定值的形式后再求解.
【跟踪训练】从等腰直角三角形纸片ABC上,剪下如图所示的两个正方形,其中BC=2,∠A=90°,则这两个正方形的面积之和的最小值为 .
题型二 求“积为定值”模型的最值
【例2】 (链接教科书第60页例6)如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各宽2 dm,左右空白各宽1 dm,则四周空白部分面积的最小值是 dm2.
通性通法
两个正数积为定值,求它们和的最小值
(1)应满足基本不等式成立的条件;
(2)若所给代数式具备积为定值的形式,可利用基本不等式的变形a+b≥2,求出和的最小值;
(3)若所给代数式不具备积为定值的形式,应化简(或配凑)出积为定值的形式后再求解.
【跟踪训练】
要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )
A.80元 B.120元
C.160元 D.240元
题型三 利用基本不等式求代数式的最值
【例3】 (链接教科书第60页例5)(1)设a>0,b>0,且+=1,求ab的最小值;
(2)设x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.
通性通法
“1的代换”问题的解题步骤
(1)构造值为“1”的表达式;
(2)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商;
(3)变形产生和式或积式为定值的式子,利用基本不等式求解最值.【跟踪训练】
1.(2024·南京月考)已知x,y为正实数,且+=2,则x+2y的最小值是( )
A.2 B.4
C.8 D.16
2.设x>0,y>0,且xy=1,则+的最小值是 .
1.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A.6.5 m B.6.8 m
C.7 m D.7.2 m
2.(2024·苏州期末)已知正数a,b满足+b=1,则a+的最小值为 .
3.某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池,要求池底面的长和宽之和为20米.若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍,则为了使蓄水池的造价最低,蓄水池的高应该为 米.
3.2.2 基本不等式的应用
【基础知识·重落实】
知识点一
(1)x=y 2 (2)x=y S2
自我诊断
1.20 解析:设直角边分别为a,b,则ab=50,即ab=100.∴a+b≥2=20,当且仅当a=b=10时取等号.∴两直角边和的最小值是20.
2.20 解析:设总运费与总存储费用之和为y,则y=4x+×4=4x+≥2=160,当且仅当4x=,即x=20时取等号.故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,每次应都购买20吨.
【典型例题·精研析】
【例1】 A 设矩形的长为x m,宽为y m,则x+2y=30,所以S=xy=x·(2y)≤()2=,当且仅当x=2y,即x=15,y=时取等号.
跟踪训练
解析:设两个正方形边长分别为a,b,则由∠B=∠C=45°,可得a+b=BC=1,且≤a≤,≤b≤,S=a2+b2≥2×=,当且仅当a=b=时取等号.
【例2】 56 解析:设阴影部分的高为x dm,则宽为 dm,四周空白部分的面积为y dm2.由题意,得y=(x+4)·-72=8+2≥8+2×2=56.当且仅当x=,即x=12时等号成立.
跟踪训练
C 设底面相邻两边的长分别为x m,y m,总造价为T元,则xy·1=4 xy=4.T=4×20+(2x+2y)×1×10=80+20(x+y)≥80+20×2=80+20×4=160(当且仅当x=y=2时取等号).故该容器的最低总造价是160元.故选C.
【例3】 解:(1)因为a>0,b>0,
由基本不等式,得+≥2=4.
因为+=1,所以1≥4,故ab≥16,
当且仅当=,即a=2,b=8时,等号成立,
所以ab的最小值是16.
(2)因为x>0,y>0,+=1,
所以x+y=(x+y)=1+++9=++10≥6+10=16,
当且仅当=,且+=1,即x=4,y=12时,等号成立.
故x+y的最小值为16.
跟踪训练
1.B 依题意,x>0,y>0,x+2y=(x+2y)(+)=(4++)≥(4+2)=4,当且仅当=,即x=2y=2时,等号成立.
2.2 解析:因为x>0,y>0,且xy=1,所以>0,>0,所以+≥2=2=2,当且仅当=,即x=y=1时取等号.所以+的最小值是2.
随堂检测
1.C 设两直角边分别为a,b,直角三角形的框架的周长为l,则ab=2,∴ab=4,l=a+b+≥2+=4+2≈6.828(m),当且仅当a=b=2时等号成立.故C既够用,浪费也最少.
2.9 解析:由正数a,b满足+b=1,则a+=(a+)(+b)=5+ab+≥5+2=9,当且仅当ab=时,即a=6,b=时,等号成立,所以a+的最小值为9.
3.5 解析:设长方体蓄水池长为y,宽为x,高为h,每平方米池侧壁造价为a,蓄水池总造价为W,则由题意可得∴W=2a(xh+yh)+2axy=2ah(x+y)+2axy=40ah+,∴W≥2=400a,当且仅当h=5时,W取最小值.
2 / 3(共57张PPT)
3.2.2 基本不等式的应用
新课程标准解读 核心素养
1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用 数学运算
2.会用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 逻辑推理、数学
运算
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题 数学建模、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为 a , b 的矩形牧场,现在已有材料能做成 l km的栅栏.
【问题】 如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大?
知识点一 用基本不等式求最值
已知 x , y 都是正数,则
(1)如果积 xy 等于定值 P ,那么当 时,和 x + y 有最小
值 ;
(2)如果和 x + y 等于定值 S ,那么当 时,积 xy 有最大
值 .
x = y
2
x = y
S2
知识点二 利用基本不等式解决实际问题的步骤
1. 先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量
定为函数.
2. 建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值
问题.
3. 在定义域内求出函数的最大值或最小值.
4. 正确写出答案.
1. 已知直角三角形面积为50,则两直角边和的最小值是 .
解析:设直角边分别为 a , b ,则 ab =50,即 ab =100.∴ a + b
≥2 =20,当且仅当 a = b =10时取等号.∴两直角边和的最小
值是20.
20
2. 某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买 x 吨,运费为4万元/
次,一年的总存储费用为4 x 万元,要使一年的总运费与总存储费
用之和最小,则每次应都购买 吨.
解析:设总运费与总存储费用之和为 y ,则 y =4 x + ×4=4 x +
≥2 =160,当且仅当4 x = ,即 x =20时取等号.
故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,每次应都购买20吨.
20
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求“和为定值”模型的最值
【例1】 (链接教科书第59页例3)欲用一段长为30 m的篱笆围成一
个一边靠墙的面积最大的矩形菜园,墙长18 m,则这个矩形的长、宽
分别为( )
A. 15 m, m B. 15 m, m
C. 7 m, m D. 7 m, m
解析: 设矩形的长为 x m,宽为 y m,则 x +2 y =30,所以 S = xy
= x ·(2 y )≤ ( )2= ,当且仅当 x =2 y ,即 x =15, y =
时取等号.
通性通法
两个正数和为定值,求它们积的最大值
(1)应满足基本不等式成立的条件;
(2)若所给代数式具备和为定值的形式,可利用重要不等式 ab ≤
( )2,求出积的最大值;
(3)若所给代数式不具备和为定值的形式,应配凑出和为定值的形
式后再求解.
【跟踪训练】
从等腰直角三角形纸片 ABC 上,剪下如图所示的两个正方形,其中
BC =2,∠ A =90°,则这两个正方形的面积之和的最小值为 .
解析:设两个正方形边长分别为 a , b ,则由∠ B =∠ C =45°,可得
a + b = BC =1,且 ≤ a ≤ , ≤ b ≤ , S = a2+ b2≥2×
= ,当且仅当 a = b = 时取等号.
题型二 求“积为定值”模型的最值
【例2】 (链接教科书第60页例6)如图,有一张单栏的竖向张贴的
海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各宽2
dm,左右空白各宽1 dm,则四周空白部分面积的最小值是 dm2.
56
解析:设阴影部分的高为 x dm,则宽为 dm,四周空白部分的面积
为 y dm2.由题意,得 y =( x +4)· -72=8+2 ≥8
+2×2 =56.当且仅当 x = ,即 x =12时等号成立.
通性通法
两个正数积为定值,求它们和的最小值
(1)应满足基本不等式成立的条件;
(2)若所给代数式具备积为定值的形式,可利用基本不等式的变形 a
+ b ≥2 ,求出和的最小值;
(3)若所给代数式不具备积为定值的形式,应化简(或配凑)出积
为定值的形式后再求解.
【跟踪训练】
要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底
面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低
总造价是( )
A. 80元 B. 120元
C. 160元 D. 240元
解析: 设底面相邻两边的长分别为 x m, y m,总造价为 T 元,则
xy ·1=4 xy =4. T =4×20+(2 x +2 y )×1×10=80+20( x + y )
≥80+20×2 =80+20×4=160(当且仅当 x = y =2时取等号).
故该容器的最低总造价是160元.故选C.
题型三 利用基本不等式求代数式的最值
【例3】 (链接教科书第60页例5)(1)设 a >0, b >0,且 +
=1,求 ab 的最小值;
解:因为 a >0, b >0,
由基本不等式,得 + ≥2 =4 .
因为 + =1,所以1≥4 ,故 ab ≥16,
当且仅当 = ,即 a =2, b =8时,等号成立,
所以 ab 的最小值是16.
(2)设 x >0, y >0,且 + =1,求 x + y 的最小值.
解:因为 x >0, y >0, + =1,
所以 x + y = ( x + y )=1+ + +9= + +10≥6
+10=16,
当且仅当 = ,且 + =1,即 x =4, y =12时,等号成立.
故 x + y 的最小值为16.
通性通法
“1的代换”问题的解题步骤
(1)构造值为“1”的表达式;
(2)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商;
(3)变形产生和式或积式为定值的式子,利用基本不等式求解最值.
【跟踪训练】
1. (2024·南京月考)已知 x , y 为正实数,且 + =2,则 x +2 y 的
最小值是( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
解析: 依题意, x >0, y >0, x +2 y = ( x +2 y )( + )
= (4+ + )≥ (4+2 )=4,当且仅当 = ,即 x
=2 y =2时,等号成立.
2. 设 x >0, y >0,且 xy =1,则 + 的最小值是 .
解析:因为 x >0, y >0,且 xy =1,所以 >0, >0,所以 +
≥2 =2 =2,当且仅当 = ,即 x = y =1时取等号.所以
+ 的最小值是2.
2
1. 将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2,形状为直角三角形的框
架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的
是( )
A. 6.5 m B. 6.8 m C. 7 m D. 7.2 m
解析: 设两直角边分别为 a , b ,直角三角形的框架的周长为
l ,则 ab =2,∴ ab =4, l = a + b + ≥2 + =
4+2 ≈6.828(m),当且仅当 a = b =2时等号成立.故C既够
用,浪费也最少.
2. (2024·苏州期末)已知正数 a , b 满足 + b =1,则 a + 的最小
值为 .
解析:由正数 a , b 满足 + b =1,则 a + =( a + )( + b )
=5+ ab + ≥5+2 =9,当且仅当 ab = 时,即 a =
6, b = 时,等号成立,所以 a + 的最小值为9.
9
3. 某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖
蓄水池,要求池底面的长和宽之和为20米.若每平方米的池底面造
价是池侧壁的两倍,则为了使蓄水池的造价最低,蓄水池的高应该
为 米.
解析:设长方体蓄水池长为 y ,宽为 x ,高为 h ,每平方米池侧壁
造价为 a ,蓄水池总造价为 W ,则由题意可得∴ W =
2 a ( xh + yh )+2 axy =2 ah ( x + y )+2 axy =40 ah + ,
∴ W ≥2 =400 a ,当且仅当 h =5时, W 取最小值.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 a >0, b >0,2 a + b =1,则 + 的最小值是( )
A. 2 B. 3-2
C. 3+2 D. 3+
解析: + =(2 a + b )( + )=3+ + ≥3+2
=3+2 ,当且仅当 = ,即 a =1- , b = -1时,等号
成立.∴ + 的最小值是3+2 .故选C.
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2. 若 a >0, b >0, a +2 b =5,则 ab 的最大值为( )
A. 25 B.
C. D.
解析: 因为 a >0, b >0, a +2 b =5,所以 ab = a ·2 b ≤ ×
( )2= ,当且仅当 a = , b = 时取等号,故 ab 的最大值
为 .
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3. 文具店的某种商品的年进货量为1 000件,分若干次进货,每次进
货量相同,且所需运费为10元,运来的货物需租仓库存放,一年的
租金按一次进货量的一半来计算,每件2元.为使一年的运费和租金
最省,每次进货量应为( )
A. 20件 B. 500件
C. 100件 D. 250件
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解析: 设每次进货量为 x 件,一年的运费和租金总费用为 y 元.
由题意,得 y =10· +2· = + x ≥2 =200,当且
仅当 x =100时取等号.故为使一年的运费和租金最省,每次进货量
应为100件.
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4. (2024·淮安月考)已知不等式( x + y )( + )≥9对任意正实
数 x , y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( )
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
解析: ∵( x + y )( + )≥9对任意正实数 x , y 恒成立,
∴( x + y )( + )≥(1+ )2≥9,∴ ≥2,即 a ≥4,故
正实数 a 的最小值为4.
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5. 港珠澳大桥通车后,经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾
出行.刘先生在某段时间内共加油两次,期间燃油的价格有升也有
降,现刘先生有两种加油方案,第一种方案:每次均加30升的燃
油;第二种方案:每次均加200元的燃油,则下列说法正确的是
( )
A. 采用第一种方案划算
B. 采用第二种方案划算
C. 两种方案一样
D. 无法确定
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解析: 假设第一次的油价为 m 元/升,第二次的油价为 n 元/升.
第一种方案的均价为 = ≥ ;第二种方案的均价
为 = ≤ .所以无论油价如何变化,第二种方案都
更划算.
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6. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三
边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为 a , b ,
c ,则三角形的面积 S 可由公式 S = 求
得,其中 p 为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦—秦九韶
公式,现有一个三角形的边长满足 a =3, b + c =5,则此三角形
面积的最大值为( )
A. B. 3
C. D.
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解析: 由题意知, p = ×(3+5)=4,则 S =
= =2
≤2× =8-( b + c )=3,当且仅当4
- b =4- c ,即 b = c 时,等号成立.∴此三角形面积的最大值为3.
故选B.
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7. 为教室消毒,向室内喷洒某消毒液,已知室内消毒液浓度 C (单
位:mg/L)随时间 t (单位:min)的变化关系为 C = ,则经
过 min后室内消毒液浓度达到最大.
解析:由题意可得 t >0, C = = ≤ =2,当且仅当 t =
,即 t =5时取等号.
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8. 某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品
可获得的总利润 y (单位:万元)与机器运转时间 x (单位:年)
的关系为 y =- x2+18 x -25( x ∈N*),则当每台机器运转 年
时,年平均利润最大,最大值是 万元.
解析:每台机器运转 x 年的年平均利润为 =18-( x + ),且 x
∈N*,故 ≤18-2 =8,当且仅当 x =5时,等号成立.所以当
每台机器运转5年时,年平均利润最大,最大值为8万元.
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9. x >0,使得 + x - a ≤0,则实数 a 的取值范围是 .
解析: x >0,使得 + x - a ≤0,等价于 x >0时 a ≥ ,∵ x + ≥2 =2,当且仅当 x =1时等号成立,∴ a
≥2.
[2,+∞)
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10. 为了增强生物实验课的趣味性,丰富生物实验教学内容,某校计
划沿着围墙(足够长)划出一块面积为100平方米的矩形区域
ABCD 修建一个羊驼养殖场,规定 ABCD 的每条边长均不超过20
米.如图所示,矩形 EFGH 为羊驼养殖区,且点 A , B , E , F 四
点共线,阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设 AB = x (单位:
米),养殖区域 EFGH 的面积为 S (单位:平方米).
(1)将 S 表示为 x 的函数,并写出 x 的取值范围;
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解:因为 AB = x ,所以 AD = ,
EF = x -2, FG = -1,
所以 S =( x -2)( -1)=102- - x ,
因为0< x ≤20,0< ≤20,解得5≤ x ≤20,
所以 S =102- - x ,5≤ x ≤20.
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(2)当 AB 为多长时, S 取得最大值?并求出此最大值.
解: S =102- - x ≤102-2
=102-20 ,
当且仅当 x =10 时,等号成立,经验
证,符合题意.
故当 AB =10 米时, S 取得最大值,最大
值为(102-20 )平方米.
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11. 某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为900元,若每批
生产 x 件,则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为
1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,
每批应生产产品( )
A. 30件 B. 60件
C. 80件 D. 100件
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解析: 设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为 y
元,则 y = = + ≥2 =30,当且仅当 =
,即 x =60时等号成立,故每批应生产产品60件.故选B.
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12. 某商场对商品进行两次提价,现提出四种提价方案,其中 p , q
( p ≠ q )为正百分数,则提价幅度较大的一种是( )
A. 先提价 p ,后提价 q ( p ≠ q )
B. 先提价 q ,后提价 p ( p ≠ q )
C. 分两次提价 ( p ≠ q )
D. 分两次提价 ( p ≠ q )
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解析: 设提价前的价格为1,由题意可知,A、B选项的两次
提价后的价格均为(1+ p )(1+ q ),C选项的提价后的价格为
(1+ )2,D选项的提价后的价格为(1+ )2,
又∵ < ,∴(1+ p )(1+ q )<(1+ )2<
(1+ )2,∴提价幅度较大的为D选项.
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13. (多选)(2024·扬州月考)已知正数 m , n 满足 m + n2=2,则下
列说法正确的是( )
A. m +3 n 的最大值为
B. mn2的最大值为2
C. + 的最小值为2
D. m2+ n4的最小值为2
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解析: ∵ m =2- n2>0,∴0< n < ,∴ m +3 n =2- n2
+3 n =-( n - )2+ ,则 m +3 n < ,故A错误;依题意,
mn2≤ =1,当且仅当 m = n =1时,等号成立,故B错
误;∵ + = ( m + n2)( + )= (2+ + )
≥2,当且仅当 m = n =1时,等号成立,故C正确;∵ ≥
( )2=1,∴ m2+ n4≥2,当且仅当 m = n =1时等号成立.
故D正确.故选C、D.
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14. (2024·南京师大附中期末)中国政府在第七十五届联合国大会上
提出,“中国将努力争取在2060年前实现碳中和.”随后,国务院
印发了《关于加快建立健全绿色低碳循环发展经济体系的指导意
见》.某企业去年消耗电费50万元,预计今年若不作任何改变,则
今年消耗电费与去年相同.为了响应号召,节能减排,该企业决定
安装一个可使用20年的太阳能供电设备,并接入本企业的电网.安
装这种供电设备的费用(单位:万元)与太阳能电池板的面积
(单位:m2)成正比,比例系数约为0.6.为了保证正常用电,安
装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下,安装太阳
能供电设备后该企业每年消耗的电费 C (单位:万元)与安装的
这种太阳能电池板的面积 x (单位:m2)之间的函数关系是 C =
( x ≥0, k 为常数).记该企业安装这种太阳能供电设备的
费用与20年所消耗的电费之和为 y (单位:万元).
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解:由题意知,当 x =0时, C =50,即 =50,解得
k =3 000,
则 y = ×20+0.6 x = +0.6 x ( x ≥0).
(1)求常数 k ,并写出 y 关于 x 的函数关系式;
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(2)当太阳能电池板的面积为多少平方米时, y 取得最小值?最
小值是多少万元?
解:由于 x ≥0,故 y = +0.6 x = +
( x +6)- ≥2 - =116.4(万元),
当且仅当 = ( x +6),即 x =94(m2)时,等号
成立.
故当太阳能电池板的面积为94平方米时, y 取得最小
值,最小值是116.4万元.
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15. (2024·宿迁期末)如图,某居民小区要建一座八边形的休闲场
所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构
成的面积为400 m2的十字形地域.计划在正方形 MNPQ 上建一座花
坛,造价为1 000元/m2;在四个相同的矩形(图中
阴影部分)上铺花岗岩地坪,造价为400元/m2;
在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,造价
为200元/m2.设 AD 长为 x (单位:m).
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解:由题意可得,矩形 AMQD 的面积
为 ,因此 AM = ,
因为 AM >0,所以0< x <20.
(1)用 x 表示 AM 的长度,并求 x 的取值范围;
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(2)当 AD 的长为何值时,总造价最低?最低总造价是多少?
解:设总造价为 y 元,由题意可得,
y =1 000 x2+400×(400- x2)+200×4× ×( )2
=100( + )+140 000,
由基本不等式得 y ≥100×2 +140 000=240 000,
当且仅当 = ,即 x =4 时,等号成立,
所以当 x =4 时,总造价 y 最小,最小值为240 000元.
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谢 谢 观 看!