3.3.1 从函数观点看一元二次方程
1.函数y＝x2－8x＋16的零点是（ ）
A.（0，4） B.（4，0）
C.0 D.4
2.函数y＝x2－（a＋1）x＋a的零点个数为（ ）
A.1 B.2
C.1或2 D.0
3.（2024·南京月考）函数y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点为－2和3，a＜0，那么函数y2＝cx2－bx＋a的零点为（ ）
A.－和 B.和－
C.－3和2 D.无法确定
4.二次函数y＝ax2＋5x＋4（a≠0）有两个异号零点的一个必要不充分条件是（ ）
A.a＜0 B.a＞0
C.a＜2 D.a＜－1
5.关于x的函数y＝x2－2ax－8a2（a＞0）的两个零点为x1， x2，且x2－x1＝15，则a＝（ ）
A. B.
C. D.
6.（多选）对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是（ ）
A.函数一定有两个零点
B.a＞0时，函数一定有两个零点
C.a＜0时，函数一定有两个零点
D.函数的零点个数是1或2
7.（2024·无锡月考）若函数y＝2x2－3x－7的两个零点为a，b，则a2＋b2＝ .
8.函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为 .
9.（2024·连云港月考）函数y＝（1－k）x2－2x－1有两个零点，则实数k的取值范围是 .
10.求证：函数y＝x2－ax－a－2（a∈R）一定有两个零点.
11.函数y＝ax2－2x＋1在区间（－1，1）和区间（1，2）上分别有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－3，－1） B.（，1）
C.（－3，） D.（－∞，－3）∪（，＋∞）
12.（多选）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）＝m有实数根x1，x2，且x1＜x2，则下列结论中正确的是（ ）
A.当m＝0时，x1＝2，x2＝3
B.m＞－
C.当m＞0时，2＜x1＜x2＜3
D.当m＞0时，x1＜2＜3＜x2
13.已知y＝（x－a）（x－b）－2（a＜b），并且α，β是方程y＝0的两根（α＜β），则实数a，b，α，β的大小关系是 .（用“＜”连接）
14.若x1，x2是函数y＝x2－2mx＋m2－m－1的两个不同零点，且x1＋x2＝1－x1x2，求实数m的值.
15.已知函数y＝x2－kx＋k2＋n有两个不相等的零点x1，x2，且（2x1＋x2）2－8（2x1＋x2）＋15＝0.
（1）求证：n＜0；
（2）试用含k的代数式表示x1；
（3）当n＝－3时，求k的值.
3.3.1 从函数观点看一元二次方程
1.D 函数y＝x2－8x＋16，令x2－8x＋16＝0得x1＝x2＝4，所以函数y＝x2－8x＋16的零点是4.故选D.
2.C 法一 由x2－（a＋1）x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，当a＝1时函数的零点有1个，当a≠1时，函数的零点有2个，所以该函数的零点个数是1或2.故选C.
法二 Δ＝（a＋1）2－4a＝（a－1）2，当a＝1时，Δ＝0，函数有1个零点；当a≠1时，Δ＞0，函数有2个零点.故选C.
3.A 由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a，由cx2－bx＋a＝0得－6ax2＋ax＋a＝0，即6x2－x－1＝0，解得x1＝－，x2＝，故选A.
4.C y＝ax2＋5x＋4（a≠0）有两个异号零点，需满足解得a＜0，A选项，a＜0是y＝ax2＋5x＋4（a≠0）有两个异号零点的充要条件，A错误；B选项，a＜0与a＞0无包含关系，不合要求，B错误；C选项，{a｜a＜0}是{a｜a＜2}的真子集，满足要求，C正确；D选项，{a｜a＜－1}是{a｜a＜0}的真子集，故a＜－1是充分不必要条件，D错误.故选C.
5.A 由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.由（x2－x1）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（2a）2－4×（－8a2）＝36a2＝152，解得a＝.故选A.
6.BCD 当a≠0时，相应方程ax2－x－2a＝0中Δ＝1＋8a2＞0，所以函数一定有两个零点，故B、C正确.当a＝0时，函数有唯一零点为0，故D正确，A不正确.
7. 解析：因为函数y＝2x2－3x－7，所以由根与系数的关系可知，两个零点a，b满足a＋b＝，ab＝－，所以a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝（）2－2×（－）＝.
8. 解析：因为函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，所以解得0＜m＜.
9.{k｜k＜2且k≠1} 解析：函数y＝（1－k）x2－2x－1有两个零点，即一元二次方程（1－k）x2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则解得k＜2且k≠1.
10.证明：法一 对于一元二次方程x2－ax－a－2＝0，Δ＝a2＋4a＋8＝（a＋2）2＋4＞0，
所以函数y＝x2－ax－a－2（a∈R）一定有两个零点.
法二 因为函数y＝x2－ax－a－2（a∈R）的图象为开口向上的抛物线，
无论a为任何实数，当x＝－1时，y＝（－1）2＋a－a－2＝－1，即函数的图象始终经过点M（－1，－1）.
所以函数y＝x2－ax－a－2（a∈R）一定有两个零点.
11.B 当a＝－2时，y＝－2x2－2x＋1，此时函数有两个零点，不符合题意，排除A、C选项.当a＝1时，y＝x2－2x＋1＝（x－1）2，此时函数只有一个零点1，不符合题意，排除D选项，故选B.
12.ABD 对于A，m＝0时，方程为（x－2）·（x－3）＝0，解得x1＝2，x2＝3，所以A正确；对于B，将方程整理可得x2－5x＋6－m＝0，由于方程有两个不同的实数根，所以Δ＝25－4（6－m）＞0，解得m＞－，所以B正确；对于C和D，当m＞0时，x1，2＝，则x2＝，又m＞0，所以x2＝＞＝3，又x1＋x2＝5，所以x1＜2.故选项C不符合题意，选项D符合题意.故选A、B、D.
13.α＜a＜b＜β
解析：设y1＝（x－a）（x－b），则a，b是y1＝（x－a）（x－b）的两个零点，函数y＝（x－a）（x－b）－2的图象可以看成y1＝（x－a）（x－b）的图象向下平移2个单位长度得到，且a＜b，α＜β，如图所示.∴α＜a＜b＜β.
14.解：因为x1，x2是函数y＝x2－2mx＋m2－m－1的两个不同零点，
则x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个不相等的实数根，
所以x1＋x2＝2m，x1x2＝m2－m－1，
Δ＝4m2－4（m2－m－1）＞0，即m＞－1.
因为x1＋x2＝1－x1x2，所以2m＝2－m2＋m，
解得m＝1或m＝－2，
又m＞－1，所以m＝1.
15.解：（1）证明：由题意知，关于x的一元二次方程x2－kx＋k2＋n＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝k2－4（k2＋n）＝－3k2－4n＞0，
∴n＜－k2.又－k2≤0，∴n＜0.
（2）∵（2x1＋x2）2－8（2x1＋x2）＋15＝0，
x1＋x2＝k，
∴（x1＋x1＋x2）2－8（x1＋x1＋x2）＋15＝0，
∴（x1＋k）2－8（x1＋k）＋15＝0，
∴[（x1＋k）－3][（x1＋k）－5]＝0，
∴x1＋k＝3或x1＋k＝5，
∴x1＝3－k或x1＝5－k.
（3）由（1）知n＜－k2，当n＝－3时，解得k2＜4，即－2＜k＜2.
把n＝－3代入原方程，得x2－kx＋k2－3＝0，①
把x1＝3－k代入①，得k2－3k＋2＝0，
解得k1＝1，k2＝2（舍去），
把x1＝5－k代入①，得3k2－15k＋22＝0，
Δ＝－39＜0，
∴此时k不存在.
综上，k＝1.
2 / 23.3.1 从函数观点看一元二次方程
新课程标准解读 核心素养
1.正确理解二次函数零点的概念 数学抽象
2.理解一元二次方程与二次函数的关系 逻辑推理
3.掌握图象法解一元二次方程 直观想象、数学运算
函数与方程有着一定的联系，如一次函数y＝ax＋b与一元一次方程ax＋b＝0之间关系的探究：
a＞0 a＜0
一次函数y＝ax＋b的图象
一元一次方程ax＋b＝0的根 有一个实数根 有一个实数根
通过探究，我们发现一次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应方程的解.
【问题】 你能否对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象与x轴交点的横坐标和对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解建立联系？
知识点一 二次函数的零点
一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）当函数值取 时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的 ，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点.
提醒 函数的零点不是点，是函数的图象与x轴交点的横坐标.
知识点二 一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点之间的关系
当a＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示：
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程ax2＋bx＋c＝0 的根 有两个相异的实数根 x1，2＝ 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
二次函数y＝ax2＋ bx＋c的图象
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋ bx＋c的零点 有两个零点 x1，2＝ 有一个零点 无零点
提醒 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标.
1.函数y＝x2－3x＋2的零点是（ ）
A.－1，－2 B.－1，2 C.1，2 D.1，－2
2.（多选）以下四个命题正确的是（ ）
A.二次函数的零点是其图象与x轴的交点
B.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）一定有零点
C.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点即为对应方程ax2＋bx＋c＝0的根
D.二次函数y＝4x2－4x＋1有一个零点为
3.（2024·南通月考）二次函数y＝2x2＋ax－3（a∈R）的零点个数是 .
题型一 二次函数的零点
【例1】 （链接教科书第64页练习3题）（1）二次函数y＝x2－7x＋12的零点为 ；
（2）若函数y1＝x2－ax－b的图象如图所示，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是 .
通性通法
求解二次函数的零点，即转化为求二次函数所对应一元二次方程的根.
【跟踪训练】
求下列函数的零点：
（1）y＝3x2－2x－1；
（2）y＝ax2－x－a－1（a∈R）；
（3）y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示.
题型二 二次函数零点个数的判断与证明
【例2】 （链接教科书第64页例1）求证：函数y＝－x2－2x＋5有两个零点.
通性通法
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点个数的判断
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2－4ac.
（1）Δ＞0 函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）有两个零点；
（2）Δ＝0 函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）有一个零点；
（3）Δ＜0 函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）无零点.
【跟踪训练】
1.若a＞2，则函数y＝（a－2）x2－2（a－2）x－4的零点个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.无法确定
2.求证：函数y＝ax2－x－a（a∈R）有零点.
题型三 二次函数零点的分布探究
【例3】 （链接教科书第64页例2）（1）判断二次函数y＝－x2－2x＋1在（－3，－2）上是否存在零点；
（2）若二次函数y＝x2－5x＋1－m的两个零点均大于2，求实数m的取值范围.
通性通法
由二次函数的零点分布求参数范围问题，一般要结合对应一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，列出不等式组进行求解；或结合二次函数图象，得出开口方向、对称轴、判别式及端点函数值符号（此端点指的是与方程的根比较大小的数），列出不等式组进行求解.
【跟踪训练】
（2024·苏州月考）已知函数y＝x2－x－a2＋a（a∈R）.
（1）若该函数有两个不相等的正零点，求a的取值范围；
（2）若该函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，求a的取值范围.
1.函数y＝2x2－3x＋1的零点是（ ）
A.－，－1 B.－，1
C.，－1 D.，1
2.若函数y＝kx2－x＋1（k≠0）有零点，则k的取值范围是（ ）
A.k＞ B.k＜且k≠0
C.k≤且k≠0 D.k＜
3.（2024·扬州月考）已知函数y＝x2－ax－3a的一个零点是－2，则它的另一个零点是 .
4.讨论函数y＝（ax－1）（x－2）（a∈R）的零点.
3.3.1 从函数观点看一元二次方程
【基础知识·重落实】
知识点一
零 横坐标
知识点二
x＝－
自我诊断
1.C 由x2－3x＋2＝0得x1＝1，x2＝2，故函数y＝x2－3x＋2的零点为1和2.故选C.
2.CD 对于A，零点不是点，是图象与x轴交点的横坐标，故A错误；对于B，当Δ＝b2－4ac＜0时，没有零点，故B错误；对于C，由二次函数的零点与方程根的关系，易知C正确；对于D，由Δ＝（－4）2－4×4×1＝0，知二次函数y＝4x2－4x＋1有一个零点为x＝－＝－＝.故D正确.
3.2 解析：因为Δ＝a2－4×2×（－3）＝a2＋24＞0，所以二次函数y＝2x2＋ax－3（a∈R）的零点个数为2.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）3和4 （2）－和－
解析：（1）由x2－7x＋12＝0得x1＝3，x2＝4.所以函数y＝x2－7x＋12的零点为3和4.
（2）由题图可知函数y1＝x2－ax－b的零点是2和3，由函数的零点与对应方程根的关系知方程x2－ax－b＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，即a＝5，b＝－6.所以y2＝－6x2－5x－1，易得y2＝－6x2－5x－1的零点为－和－.
跟踪训练
解：（1）由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－.
（2）①当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1.
②当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0得（ax－a－1）·（x＋1）＝0，解得x1＝，x2＝－1，
当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1.
当a≠－且a≠0时，x1≠x2，
函数有两个零点－1和.
综上：当a＝0或－时，函数的零点为－1.
当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和.
（3）由图象可知，函数有两个零点－1和3.
【例2】 证明：考察一元二次方程－x2－2x＋5＝0，
因为Δ＝（－2）2－4×（－1）×5＝24＞0，所以方程－x2－2x＋5＝0有两个不相等的实数根，
因此，二次函数y＝－x2－2x＋5有两个零点.
跟踪训练
1.C 考察一元二次方程（a－2）x2－2（a－2）x－4＝0，因为Δ＝4（a－2）2＋16（a－2）＝4（a－2）·（a＋2），又a＞2，所以Δ＞0，所以函数y＝（a－2）x2－2（a－2）x－4有两个零点.
2.证明：当a＝0时，y＝－x，该函数有零点0；
当a≠0时，对于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2＞0，函数y＝ax2－x－a有两个零点.
综上，函数y＝ax2－x－a（a∈R）有零点.
【例3】 解：（1）由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋，x2＝－1－，因为－3＜－1－＜－2，所以二次函数y＝－x2－2x＋1在（－3，－2）上存在零点.
（2）设二次函数的两个零点分别为x1，x2，
因为二次函数y＝x2－5x＋1－m的两个零点均大于2，
所以方程x2－5x＋1－m＝0有两个不相等的根且两根均大于2，
则x1－2＞0，x2－2＞0，
所以
即
解得－＜m＜－5，
所以实数m的取值范围是（－，－5）.
跟踪训练
解：由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a，
（1）因为该函数有两个不相等的正零点，所以
解得0＜a＜或＜a＜1，
所以a的取值范围是∪.
（2）因为函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，
所以或
解得a＞1或a＜0.
所以a的取值范围是（－∞，0）∪（1，＋∞）.
随堂检测
1.D 解方程2x2－3x＋1＝0，得x1＝，x2＝1，故函数y＝2x2－3x＋1的零点是和1.故选D.
2.C 依题意得Δ＝1－4k≥0，解得k≤，又k≠0.故k的取值范围为k≤且k≠0.故选C.
3.6 解析：由题意知，4＋2a－3a＝0，解得a＝4，故方程为x2－4x－12＝0，解出另一个根为6.
4.解：当a＝0时，函数为y＝－x＋2，则函数的零点为2；
当a＝时，则（x－2）＝0，
解得x1＝x2＝2，则函数的零点为2；
当a≠0且a≠时，由（ax－1）（x－2）＝0，
解得x1＝，x2＝2，则函数的零点为和2.
3 / 3(共56张PPT)
3.3.1
从函数观点看一元二次方程
新课程标准解读 核心素养
1.正确理解二次函数零点的概念 数学抽象
2.理解一元二次方程与二次函数的关系 逻辑推理
3.掌握图象法解一元二次方程 直观想象、数
学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
函数与方程有着一定的联系，如一次函数 y ＝ ax ＋ b 与一元一次
方程 ax ＋ b ＝0之间关系的探究：
a ＞0 a ＜0
一次函数 y ＝ ax ＋ b
的图象
一元一次方程 ax ＋ b
＝0的根 有一个实数根 有一个实数根
通过探究，我们发现一次函数图象与 x 轴交点的横坐标就是对应
方程的解.
【问题】 你能否对二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）图象与 x 轴交
点的横坐标和对应的一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的解建立
联系？
知识点一 二次函数的零点
一般地，一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的根就是二次函数
y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）当函数值取 时自变量 x 的值，即二次
函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的图象与 x 轴交点的 ，也称
为二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的零点.
提醒 函数的零点不是点，是函数的图象与 x 轴交点的横坐标.
零
横坐标
知识点二 一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点之
间的关系
当 a ＞0时，一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的根、二次函数 y ＝
ax2＋ bx ＋ c 的图象、二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的零点之间的关
系如表所示：
判别式Δ＝ b2－4
ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程 ax2＋ bx ＋
c ＝0 的根 有两个相异 的实数根 x1，2＝
有两个相等的实
数根 x1＝ x2＝－ 没有实
数根
判别式Δ＝ b2－4
ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y ＝
ax2＋ bx ＋ c 的图象
二次函数 y ＝
ax2＋ bx ＋ c 的零点 有两个零点 x1，2
＝
有一个零点
无零点
x
＝－
提醒 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的零点 一元二次方程 ax2
＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的实数根
二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的图象与 x 轴交点的横坐标.
1. 函数 y ＝ x2－3 x ＋2的零点是（ ）
A. －1，－2 B. －1，2
C. 1，2 D. 1，－2
解析： 由 x2－3 x ＋2＝0得 x1＝1， x2＝2，故函数 y ＝ x2－3 x ＋2
的零点为1和2.故选C.
2. （多选）以下四个命题正确的是（ ）
A. 二次函数的零点是其图象与 x 轴的交点
B. 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）一定有零点
C. 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的零点即为对应方程 ax2＋ bx ＋
c ＝0的根
D. 二次函数 y ＝4 x2－4 x ＋1有一个零点为
解析： 对于A，零点不是点，是图象与 x 轴交点的横坐标，故
A错误；对于B，当Δ＝ b2－4 ac ＜0时，没有零点，故B错误；对于
C，由二次函数的零点与方程根的关系，易知C正确；对于D，由Δ
＝（－4）2－4×4×1＝0，知二次函数 y ＝4 x2－4 x ＋1有一个零点
为 x ＝－ ＝－ ＝ .故D正确.
3. （2024·南通月考）二次函数 y ＝2 x2＋ ax －3（ a ∈R）的零点个数
是 .
解析：因为Δ＝ a2－4×2×（－3）＝ a2＋24＞0，所以二次函数 y
＝2 x2＋ ax －3（ a ∈R）的零点个数为2.
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 二次函数的零点
【例1】 （链接教科书第64页练习3题）（1）二次函数 y ＝ x2－7 x ＋
12的零点为 ；
解析：由 x2－7 x ＋12＝0得 x1＝3， x2＝4.所以函数 y ＝ x2－7 x ＋12的
零点为3和4.
3和4
（2）若函数 y1＝ x2－ ax － b 的图象如图所示，则函数 y2＝ bx2－ ax －1
的零点是 .
－ 和－
解析：由题图可知函数 y1＝ x2－ ax － b 的零点是2和3，由函数的
零点与对应方程根的关系知方程 x2－ ax － b ＝0的两根为2和3，
再由根与系数的关系得 a ＝2＋3＝5，－ b ＝2×3＝6，即 a ＝5，
b ＝－6.所以 y2＝－6 x2－5 x －1，易得 y2＝－6 x2－5 x －1的零点
为－ 和－ .
通性通法
求解二次函数的零点，即转化为求二次函数所对应一元二次方程
的根.
【跟踪训练】
求下列函数的零点：
（1） y ＝3 x2－2 x －1；
解：由3 x2－2 x －1＝0解得 x1＝1， x2＝－ ，所以函数 y ＝3 x2－
2 x －1的零点为1和－ .
（2） y ＝ ax2－ x － a －1（ a ∈R）；
解：①当 a ＝0时， y ＝－ x －1，由－ x －1＝0得 x ＝－1，所以
函数的零点为－1.
②当 a ≠0时，由 ax2－ x － a －1＝0得（ ax － a －1）·（ x ＋1）
＝0，解得 x1＝ ， x2＝－1，
当 a ＝－ 时， x1＝ x2＝－1，函数有唯一的零点－1.
当 a ≠－ 且 a ≠0时， x1≠ x2，
函数有两个零点－1和 .
综上：当 a ＝0或－ 时，函数的零点为－1.
当 a ≠－ 且 a ≠0时，函数有两个零点－1和 .
（3） y ＝ ax2＋ bx ＋ c ，其图象如图所示.
解：由图象可知，函数有两个零点－1和3.
题型二 二次函数零点个数的判断与证明
【例2】 （链接教科书第64页例1）求证：函数 y ＝－ x2－2 x ＋5有两
个零点.
证明：考察一元二次方程－ x2－2 x ＋5＝0，
因为Δ＝（－2）2－4×（－1）×5＝24＞0，所以方程－ x2－2 x ＋5＝
0有两个不相等的实数根，
因此，二次函数 y ＝－ x2－2 x ＋5有两个零点.
通性通法
二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的零点个数的判断
一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的根的判别式Δ＝ b2－4
ac .
（1）Δ＞0 函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）有两个零点；
（2）Δ＝0 函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）有一个零点；
（3）Δ＜0 函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）无零点.
【跟踪训练】
1. 若 a ＞2，则函数 y ＝（ a －2） x2－2（ a －2） x －4的零点个数为
（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 无法确定
解析： 考察一元二次方程（ a －2） x2－2（ a －2） x －4＝0，
因为Δ＝4（ a －2）2＋16（ a －2）＝4（ a －2）·（ a ＋2），又 a ＞
2，所以Δ＞0，所以函数 y ＝（ a －2） x2－2（ a －2） x －4有两个
零点.
2. 求证：函数 y ＝ ax2－ x － a （ a ∈R）有零点.
证明：当 a ＝0时， y ＝－ x ，该函数有零点0；
当 a ≠0时，对于一元二次方程 ax2－ x － a ＝0，Δ＝1＋4 a2＞0，函
数 y ＝ ax2－ x － a 有两个零点.
综上，函数 y ＝ ax2－ x － a （ a ∈R）有零点.
题型三 二次函数零点的分布探究
【例3】 （链接教科书第64页例2）（1）判断二次函数 y ＝－ x2－2 x
＋1在（－3，－2）上是否存在零点；
解：由－ x2－2 x ＋1＝0得 x1＝－1＋ ， x2＝－1－ ，因为－3＜
－1－ ＜－2，所以二次函数 y ＝－ x2－2 x ＋1在（－3，－2）上存
在零点.
（2）若二次函数 y ＝ x2－5 x ＋1－ m 的两个零点均大于2，求实数 m 的
取值范围.
解：设二次函数的两个零点分别为 x1， x2，
因为二次函数 y ＝ x2－5 x ＋1－ m 的两个零点均大于2，
所以方程 x2－5 x ＋1－ m ＝0有两个不相等的根且两根均大于2，
则 x1－2＞0， x2－2＞0，
所以即
解得－ ＜ m ＜－5，
所以实数 m 的取值范围是（－ ，－5）.
通性通法
由二次函数的零点分布求参数范围问题，一般要结合对应一
元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，列出不等式组进行
求解；或结合二次函数图象，得出开口方向、对称轴、判别式及
端点函数值符号（此端点指的是与方程的根比较大小的数），列
出不等式组进行求解.
【跟踪训练】
（2024·苏州月考）已知函数 y ＝ x2－ x － a2＋ a （ a ∈R）.
（1）若该函数有两个不相等的正零点，求 a 的取值范围；
解：由 x2－ x － a2＋ a ＝0得 x1＝ a ， x2＝1－ a ，
因为该函数有两个不相等的正零点，所以解得0＜
a ＜ 或 ＜ a ＜1，
所以 a 的取值范围是 ∪ .
（2）若该函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，求 a 的取
值范围.
解：因为函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，
所以或
解得 a ＞1或 a ＜0.
所以 a 的取值范围是（－∞，0）∪（1，＋∞）.
1. 函数 y ＝2 x2－3 x ＋1的零点是（ ）
A. － ，－1 B. － ，1
C. ，－1 D. ，1
解析： 解方程2 x2－3 x ＋1＝0，得 x1＝ ， x2＝1，故函数 y ＝2
x2－3 x ＋1的零点是 和1.故选D.
2. 若函数 y ＝ kx2－ x ＋1（ k ≠0）有零点，则 k 的取值范围是（ ）
A. k ＞ B. k ＜ 且 k ≠0
C. k ≤ 且 k ≠0 D. k ＜
解析： 依题意得Δ＝1－4 k ≥0，解得 k ≤ ，又 k ≠0.故 k 的取
值范围为 k ≤ 且 k ≠0.故选C.
3. （2024·扬州月考）已知函数 y ＝ x2－ ax －3 a 的一个零点是－2，则
它的另一个零点是 .
解析：由题意知，4＋2 a －3 a ＝0，解得 a ＝4，故方程为 x2－4 x －
12＝0，解出另一个根为6.
6
4. 讨论函数 y ＝（ ax －1）（ x －2）（ a ∈R）的零点.
解：当 a ＝0时，函数为 y ＝－ x ＋2，则函数的零点为2；
当 a ＝ 时，则 （ x －2）＝0，
解得 x1＝ x2＝2，则函数的零点为2；
当 a ≠0且 a ≠ 时，由（ ax －1）（ x －2）＝0，
解得 x1＝ ， x2＝2，则函数的零点为 和2.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 y ＝ x2－8 x ＋16的零点是（ ）
A. （0，4） B. （4，0）
C. 0 D. 4
解析： 函数 y ＝ x2－8 x ＋16，令 x2－8 x ＋16＝0得 x1＝ x2＝4，
所以函数 y ＝ x2－8 x ＋16的零点是4.故选D.
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2. 函数 y ＝ x2－（ a ＋1） x ＋ a 的零点个数为（ ）
A. 1 B. 2
C. 1或2 D. 0
解析： 法一 由 x2－（ a ＋1） x ＋ a ＝0得 x1＝ a ， x2＝1，当 a
＝1时函数的零点有1个，当 a ≠1时，函数的零点有2个，所以该函
数的零点个数是1或2.故选C.
法二 Δ＝（ a ＋1）2－4 a ＝（ a －1）2，当 a ＝1时，Δ＝0，函数有1
个零点；当 a ≠1时，Δ＞0，函数有2个零点.故选C.
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3. （2024·南京月考）函数 y1＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的零点为－2和
3， a ＜0，那么函数 y2＝ cx2－ bx ＋ a 的零点为（ ）
A. － 和 B. 和－
C. －3和2 D. 无法确定
解析： 由题意知，－2＋3＝－ ，－2×3＝ ，∴ b ＝－ a ， c
＝－6 a ，由 cx2－ bx ＋ a ＝0得－6 ax2＋ ax ＋ a ＝0，即6 x2－ x －1＝
0，解得 x1＝－ ， x2＝ ，故选A.
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4. 二次函数 y ＝ ax2＋5 x ＋4（ a ≠0）有两个异号零点的一个必要不充
分条件是（ ）
A. a ＜0 B. a ＞0
C. a ＜2 D. a ＜－1
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解析： y ＝ ax2＋5 x ＋4（ a ≠0）有两个异号零点，需满足
解得 a ＜0，A选项， a ＜0是 y ＝ ax2＋5 x ＋4
（ a ≠0）有两个异号零点的充要条件，A错误；B选项， a ＜0与 a
＞0无包含关系，不合要求，B错误；C选项，{ a ｜ a ＜0}是{ a ｜ a
＜2}的真子集，满足要求，C正确；D选项，{ a ｜ a ＜－1}是{ a ｜
a ＜0}的真子集，故 a ＜－1是充分不必要条件，D错误.故选C.
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5. 关于 x 的函数 y ＝ x2－2 ax －8 a2（ a ＞0）的两个零点为 x1， x2，且
x2－ x1＝15，则 a ＝（ ）
A. B. C. D.
解析： 由条件知 x1， x2为方程 x2－2 ax －8 a2＝0的两根，则 x1＋
x2＝2 a ， x1 x2＝－8 a2.由（ x2－ x1）2＝（ x1＋ x2）2－4 x1 x2＝（2
a ）2－4×（－8 a2）＝36 a2＝152，解得 a ＝ .故选A.
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6. （多选）对于函数 y ＝ ax2－ x －2 a ，下列说法中正确的是（ ）
A. 函数一定有两个零点
B. a ＞0时，函数一定有两个零点
C. a ＜0时，函数一定有两个零点
D. 函数的零点个数是1或2
解析： 当 a ≠0时，相应方程 ax2－ x －2 a ＝0中Δ＝1＋8 a2＞
0，所以函数一定有两个零点，故B、C正确.当 a ＝0时，函数有唯
一零点为0，故D正确，A不正确.
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7. （2024·无锡月考）若函数 y ＝2 x2－3 x －7的两个零点为 a ， b ，则
a2＋ b2＝ .
解析：因为函数 y ＝2 x2－3 x －7，所以由根与系数的关系可知，两
个零点 a ， b 满足 a ＋ b ＝ ， ab ＝－ ，所以 a2＋ b2＝（ a ＋ b ）2
－2 ab ＝（ ）2－2×（－ ）＝ .
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8. 函数 y ＝ x2＋ x ＋ m 的两个零点都是负数，则 m 的取值范围为 .
解析：因为函数 y ＝ x2＋ x ＋ m 的两个零点都是负数，所以
解得0＜ m ＜ .
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9. （2024·连云港月考）函数 y ＝（1－ k ） x2－2 x －1有两个零点，则
实数 k 的取值范围是 .
解析：函数 y ＝（1－ k ） x2－2 x －1有两个零点，即一元二次方程
（1－ k ） x2－2 x －1＝0有两个不相等的实数根，则
解得 k ＜2且 k ≠1.
{ k ｜ k ＜2且 k ≠1}
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10. 求证：函数 y ＝ x2－ ax － a －2（ a ∈R）一定有两个零点.
证明：法一 对于一元二次方程 x2－ ax － a －2＝0，Δ＝ a2＋4 a
＋8＝（ a ＋2）2＋4＞0，
所以函数 y ＝ x2－ ax － a －2（ a ∈R）一定有两个零点.
法二 因为函数 y ＝ x2－ ax － a －2（ a ∈R）的图象为开口向上的抛
物线，
无论 a 为任何实数，当 x ＝－1时， y ＝（－1）2＋ a － a －2＝－1，即
函数的图象始终经过点 M （－1，－1）.
所以函数 y ＝ x2－ ax － a －2（ a ∈R）一定有两个零点.
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11. 函数 y ＝ ax2－2 x ＋1在区间（－1，1）和区间（1，2）上分别有
一个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. （－3，－1） B. （ ，1）
C. （－3， ） D. （－∞，－3）∪（ ，＋∞）
解析： 当 a ＝－2时， y ＝－2 x2－2 x ＋1，此时函数有两个零
点 ，不符合题意，排除A、C选项.当 a ＝1时， y ＝ x2－2 x
＋1＝（ x －1）2，此时函数只有一个零点1，不符合题意，排除D
选项，故选B.
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12. （多选）若关于 x 的一元二次方程（ x －2）（ x －3）＝ m 有实数
根 x1， x2，且 x1＜ x2，则下列结论中正确的是（ ）
A. 当 m ＝0时， x1＝2， x2＝3
B. m ＞－
C. 当 m ＞0时，2＜ x1＜ x2＜3
D. 当 m ＞0时， x1＜2＜3＜ x2
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解析： 对于A， m ＝0时，方程为（ x －2）（ x －3）＝0，
解得 x1＝2， x2＝3，所以A正确；对于B，将方程整理可得 x2－5 x
＋6－ m ＝0，由于方程有两个不同的实数根，所以Δ＝25－4（6
－ m ）＞0，解得 m ＞－ ，所以B正确；对于C和D，当 m ＞0
时， x1，2＝ ，则 x2＝ ，又 m ＞0，所以 x2＝
＞ ＝3，又 x1＋ x2＝5，所以 x1＜2.故选项C不符合题
意，选项D符合题意.故选A、B、D.
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13. 已知 y ＝（ x － a ）（ x － b ）－2（ a ＜ b ），并且α，β是方程 y
＝0的两根（α＜β），则实数 a ， b ，α，β的大小关系是
.（用“＜”连接）
解析：设 y1＝（ x － a ）（ x － b ），则 a ， b 是
y1＝（ x － a ）（ x － b ）的两个零点，函数 y ＝
（ x － a ）（ x － b ）－2的图象可以看成 y1＝（ x
－ a ）（ x － b ）的图象向下平移2个单位长度得
到，且 a ＜ b ，α＜β，如图所示.∴α＜ a ＜ b
＜β.
α＜
a ＜ b ＜β
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14. 若 x1， x2是函数 y ＝ x2－2 mx ＋ m2－ m －1的两个不同零点，且 x1
＋ x2＝1－ x1 x2，求实数 m 的值.
解：因为 x1， x2是函数 y ＝ x2－2 mx ＋ m2－ m －1的两个不同
零点，
则 x1， x2是方程 x2－2 mx ＋ m2－ m －1＝0的两个不相等的实
数根，
所以 x1＋ x2＝2 m ， x1 x2＝ m2－ m －1，
Δ＝4 m2－4（ m2－ m －1）＞0，即 m ＞－1.
因为 x1＋ x2＝1－ x1 x2，所以2 m ＝2－ m2＋ m ，
解得 m ＝1或 m ＝－2，
又 m ＞－1，所以 m ＝1.
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15. 已知函数 y ＝ x2－ kx ＋ k2＋ n 有两个不相等的零点 x1， x2，且（2
x1＋ x2）2－8（2 x1＋ x2）＋15＝0.
（1）求证： n ＜0；
解：证明：由题意知，关于 x 的一元二次方程 x2－ kx
＋ k2＋ n ＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝ k2－4（ k2＋ n ）＝－3 k2－4 n ＞0，
∴ n ＜－ k2.又－ k2≤0，∴ n ＜0.
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（2）试用含 k 的代数式表示 x1；
解：∵（2 x1＋ x2）2－8（2 x1＋ x2）＋15＝0，
x1＋ x2＝ k ，
∴（ x1＋ x1＋ x2）2－8（ x1＋ x1＋ x2）＋15＝0，
∴（ x1＋ k ）2－8（ x1＋ k ）＋15＝0，
∴[（ x1＋ k ）－3][（ x1＋ k ）－5]＝0，
∴ x1＋ k ＝3或 x1＋ k ＝5，
∴ x1＝3－ k 或 x1＝5－ k .
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（3）当 n ＝－3时，求 k 的值.
解：由（1）知 n ＜－ k2，当 n ＝－3时，解得 k2＜4，
即－2＜ k ＜2.
把 n ＝－3代入原方程，得 x2－ kx ＋ k2－3＝0，①
把 x1＝3－ k 代入①，得 k2－3 k ＋2＝0，
解得 k1＝1， k2＝2（舍去），
把 x1＝5－ k 代入①，得3 k2－15 k ＋22＝0，
Δ＝－39＜0，∴此时 k 不存在.
综上， k ＝1.
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谢 谢 观 看！
