培优课 不等式恒成立、能成立问题
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数的条件是（ ）
A. B.
C. D.
2.对于任意实数x，不等式x2＋4x－1＞m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A.（－∞，－4） B.（－∞，－5）
C.（－∞，－4] D.（－∞，－5]
3.已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（ ）
A.{a｜a≤－4或a≥4}
B.{a｜－4＜a＜4}
C.{a｜－4≤a≤4}
D.{a｜a＜－4或a＞4}
4.已知对 x∈{x｜2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1＜0恒成立，则m的取值范围为（ ）
A.（－∞，） B.（0，）
C.（0，） D.（，＋∞）
5.已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为（ ）
A.{a｜－1≤a≤4}
B.{a｜－1＜a＜4}
C.{a｜a≥4或a≤－1}
D.{a｜－4≤a≤1}
6.（多选）不等式ax2－2x＋1＜0的解集非空的一个必要不充分条件是（ ）
A.a＜1 B.a≤1
C.a＜2 D.a＜0
7.（多选）若不等式≥m对任意实数x恒成立，则正整数m的值可能为（ ）
A.3 B.4
C.1 D.2
8.若对任意的－1≤x≤2，都有x2－2x＋a≤0（a为常数），则a的取值范围为 .
9.（2024·盐城大丰南阳中学期中）若命题“ x0∈R，＋2mx0＋m＋2＜0”为假命题，则m的取值范围是 .
10.若关于x的不等式x2－4x－2－a≥0在x∈{x｜1≤x≤4}上有解，则实数a的取值范围是 .
11.（2024·无锡月考）在R上定义运算：x y＝x（1－y），若 x∈R使得（x－a） （x＋a）＞1成立，则实数a的取值范围是 .
12.关于x的不等式（a2－1）x2－（a－1）x－1≤0的解集为R，求实数a的取值范围.
13.已知函数y＝ax2－x－（a＞0），且当x＝时，y≥－.是否存在实数a，使得y的最小值的最大值是－1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
培优课 不等式恒成立、能成立问题
1.D 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要故选D.
2.B 由题意可知，不等式x2＋4x－1－m＞0对任意的x∈R恒成立，则Δ＝16＋4（m＋1）＝4m＋20＜0，解得m＜－5.因此，实数m的取值范围是（－∞，－5）.故选B.
3.C 由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4.故选C.
4.A 由不等式mx2－mx－1＜0，得m（x2－x）＜1，因为x∈{x｜2≤x≤3}，所以x2－x＞0，所以m（x2－x）＜1可化为m＜，当2≤x≤3时，因为x2－x＝（x－）2－∈[2，6]，所以≥，所以m＜.即m的取值范围为（－∞，）.
5.A 由题意知，－（x－2）2＋4≥a2－3a在R上有解，∴a2－3a≤4，即（a－4）·（a＋1）≤0，∴－1≤a≤4.故选A.
6.BC 因为ax2－2x＋1＜0的解集非空，显然当a≤0时恒成立，又由解得0＜a＜1，综上，ax2－2x＋1＜0的解集非空的充要条件为a＜1.由选项知a＜1的一个必要不充分条件为B、C.
7.CD 因为x2＋x＋1＞0对于任意实数x恒成立，所以不等式≥m可化为3x2＋2x＋2≥m（x2＋x＋1），即（3－m）x2＋（2－m）x＋2－m≥0.当m＝3时，不等式化为x＋1≤0，不符合题意.当m≠3时，依题意，得整理得解得所以m≤2.又m∈N*，所以m＝1或2，故选C、D.
8.（－∞，－3] 解析：法一 令y＝x2－2x＋a，则由题意，得解得a≤－3.
法二 当－1≤x≤2时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意，得a≤（－x2＋2x）min（－1≤x≤2）.而－x2＋2x＝－（x－1）2＋1，则当x＝－1时，（－x2＋2x）min＝－3，所以a≤－3.
9.[－1，2] 解析：命题“ x0∈R，＋2mx0＋m＋2＜0”的否定为“ x∈R，x2＋2mx＋m＋2≥0”，该命题为真命题，即Δ＝4m2－4（m＋2）≤0，解得－1≤m≤2.
10.{a｜a≤－2} 解析：由x2－4x－2－a≥0，得a≤x2－4x－2＝（x－2）2－6，所以当1≤x≤4时，（x－2）2－6∈[－6，－2]，所以a≤－2.
11. 解析：由题意知（x－a） （x＋a）＝（x－a）[1－（x＋a）]＝－x2＋x＋a2－a＝－（x－）2＋a2－a＋，若 x∈R，使得不等式（x－a） （x＋a）＞1成立，则需函数y＝－（x－）2＋a2－a＋的最大值大于1，即当x＝时，y＝a2－a＋＞1成立，解得a＜－或a＞.
12.解：当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1，
若a＝1，不等式为－1≤0恒成立，符合题意，
若a＝－1，不等式为2x－1≤0，解得x≤，不符合题意；
当a2－1≠0时，若要不等式（a2－1）x2－（a－1）x－1≤0的解集为R，
则a2－1＜0，且Δ＝（a－1）2＋4（a2－1）≤0，解得－≤a＜1，
综上可得－≤a≤1，即实数a的取值范围是{a｜－≤a≤1}.
13.解：因为y＝ax2－x－＝a（x－）2－（＋），a＞0，所以ymin＝－－，由－－≤－1，解得0＜a≤，由x＝时，y≥－，得－－≥－，解得a≥，所以a＝.
2 / 2培优课 不等式恒成立、能成立问题
题型一 在R上的恒成立问题
【例1】 （1）已知不等式kx2＋2kx－（k＋2）＜0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
通性通法
一元二次不等式在R上的恒成立问题转化为一元二次不等式解集为R的情况，即
ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立
ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立
ax2＋bx＋c≥0（a≠0）恒成立
ax2＋bx＋c≤0（a≠0）恒成立
提醒 若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0.【跟踪训练】
1.对于任意实数x，不等式（a－2）x2－2（a－2）x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A.{a｜a＜2} B.{a｜a≤2}
C.{a｜－2＜a＜2} D.{a｜－2＜a≤2}
2.若关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为实数集R，则实数m的取值范围是 .
题型二 在给定区间上的恒成立问题
【例2】 （1）当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则实数m的取值范围为 ；
（2）若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈（0，2]恒成立，则a的最小值是 .
通性通法
一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题
（1）当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0；当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0；
（2）通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.【跟踪训练】
1.（2024·泰州月考）若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈{x｜0≤x≤3}恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A.{m｜m≥－3} B.{m｜－3≤m≤0}
C.{m｜m≤－4} D.{m｜m≤－3或m≥0}
2.若对任意的－3≤x≤－1都有ax2－x－3＜0恒成立，则实数a的取值范围是 .
题型三 简单的能成立问题
【例3】 若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围.
通性通法
能成立问题的解题思路
（1）结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决；
（2）对一些简单的问题，可转化为m＞ymin或m＜ymax的形式，通过求y的最小值或最大值，求得参数的取值范围.
【跟踪训练】
1.（2024·连云港赣马中学期中）关于x的不等式x2－6－a≥0在{x｜1≤x≤4}内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A.{a｜a≤6} B.{a｜a≥－10}
C.{a｜a≥－6} D.{a｜a≤10}
2.（2024·南京第九中学期中）若命题“ x∈[0，3]，x2－2x－a＞0”为假命题，则实数a可取的最小整数值是 .
1.已知1≤x≤2，x2－ax＞0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.{a｜a≥1} B.{a｜a＞1}
C.{a｜a≤1} D.{a｜a＜1}
2.若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是（ ）
A.{m｜m≤－2或m≥2}
B.{m｜－2≤m≤2}
C.{m｜m＜－2或m＞2}
D.{m｜－2＜m＜2}
3.已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2.
（1）当a＝3时，解此不等式；
（2）若此不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.
培优课 不等式恒成立、能成立问题
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）当k＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意.
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－（k＋2），由y＜0恒成立，
∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.
∴解得－1＜k＜0.
综上，实数k的取值范围是{k｜－1＜k≤0}.
（2）原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，
∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，即4－4（a2－3a－3）≤0，即a2－3a－4≥0，
解得a≤－1或a≥4，
∴实数a的取值范围是{a｜a≤－1或a≥4}.
跟踪训练
1.D 当a－2＝0，即a＝2时，－4＜0，恒成立，符合题意；当a－2≠0时，由题意知，解得－2＜a＜2，∴－2＜a≤2，故选D.
2.[－2，2] 解析：因为关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为实数集R，所以只需Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2，即实数m的取值范围是[－2，2].
【例2】 （1）{m｜m＜－5} （2）－2
解析：（1）令y＝x2＋mx＋4.∵y＜0在1≤x≤2上恒成立，∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.如图，可得∴m的取值范围是{m｜m＜－5}.
（2）由于x∈（0，2]，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则a≥－，x∈（0，2]时恒成立.令m＝x＋，x∈（0，2]，则m≥2＝2（当且仅当x＝1时等号成立）.∴－的最大值是－2.因此a≥－2，则a的最小值为－2.
跟踪训练
1.C 因为不等式x2－4x≥m对任意x∈{x｜0≤x≤3}恒成立，令y＝x2－4x，0≤x≤3，则m≤ymin，因为y＝x2－4x在x∈{x｜0≤x≤3}上的最小值为－4，故m≤－4.故选C.
2.{a｜a＜0} 解析：ax2－x－3＜0在－3≤x≤－1上恒成立，等价于a＜＝＋在－1≤≤－上恒成立，令m＝，即a＜3m2＋m在－1≤m≤－上恒成立，二次函数y＝3m2＋m的对称轴为m＝－，所以当m＝－时，y有最小值0，故a＜0.
【例3】 解：∵x2－2x＋3＝（x－1）2＋2＞0，∴4x＋m≥2（x2－2x＋3）能成立，
∴m≥2x2－8x＋6能成立，
又y＝2x2－8x＋6＝2（x－2）2－2≥－2，
∴m≥－2，
∴m的取值范围为{m｜m≥－2}.
跟踪训练
1.D 不等式x2－6－a≥0在{x｜1≤x≤4}内有解等价于在{x｜1≤x≤4}内，a≤（x2－6）max.当1≤x≤4时，－5≤x2－6≤10，所以a≤10.故选D.
2.－1 解析：因为命题“ x∈[0，3]，x2－2x－a＞0”为假命题，所以“ x∈[0，3]，x2－2x－a≤0”为真命题，则 x∈[0，3]，使得a≥x2－2x，所以a≥（x2－2x）min，因为y＝x2－2x＝（x－1）2－1，x∈[0，3]，所以当x＝1时，y＝x2－2x有最小值－1，所以a≥－1，所以实数a可取的最小整数值是－1.
随堂检测
1.D 因为1≤x≤2，故x＞0，故x2－ax＞0在1≤x≤2上恒成立等价于x－a＞0在1≤x≤2上恒成立，即a＜1.故选D.
2.A ∵关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，且函数y＝－x2＋mx－1的图象开口向下，∴函数图象与x轴有交点，∴Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.故选A.
3.解：（1）当a＝3时，不等式为5x2＋4x＋2＞0.
因为5x2＋4x＋2＝0中Δ＝16－40＜0，
可知不等式的解集为R，
所以当a＝3时，不等式的解集为R.
（2）已知不等式可整理成（a＋2）x2＋4x＋a－1＞0，
当a＋2＜0，即a＜－2时，不符合题意.
当a＋2＝0，即a＝－2时，也不符合题意.
当a＋2＞0，即a＞－2时，要使（a＋2）x2＋4x＋a－1＞0恒成立，
则有42－4（a＋2）（a－1）＜0，解得a＞2.
综上所述，使不等式对一切实数x恒成立的实数a的取值范围是{a｜a＞2}.
2 / 2(共38张PPT)
培优课
不等式恒成立、能成立问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 在R上的恒成立问题
【例1】 （1）已知不等式 kx2＋2 kx －（ k ＋2）＜0恒成立，求实数 k
的取值范围；
解：当 k ＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意.
当 k ≠0时，令 y ＝ kx2＋2 kx －（ k ＋2），由 y ＜0恒成立，
∴其图象都在 x 轴的下方，即开口向下，且与 x 轴无交点.
∴解得－1＜ k ＜0.
综上，实数 k 的取值范围是{ k ｜－1＜ k ≤0}.
（2）若不等式－ x2＋2 x ＋3≤ a2－3 a 对任意实数 x 恒成立，求实数 a
的取值范围.
解：原不等式可化为 x2－2 x ＋ a2－3 a －3≥0，
∵该不等式对任意实数 x 恒成立，∴Δ≤0，即4－4（ a2－3 a －
3）≤0，即 a2－3 a －4≥0，
解得 a ≤－1或 a ≥4，
∴实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≤－1或 a ≥4}.
通性通法
一元二次不等式在R上的恒成立问题转化为一元二次不等式解集
为R的情况，即
ax2＋ bx ＋ c ＞0（ a ≠0）恒成立
ax2＋ bx ＋ c ＜0（ a ≠0）恒成立
ax2＋ bx ＋ c ≥0（ a ≠0）恒成立
ax2＋ bx ＋ c ≤0（ a ≠0）恒成立
提醒 若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一
定要讨论二次项系数是否为0.
【跟踪训练】
1. 对于任意实数 x ，不等式（ a －2） x2－2（ a －2） x －4＜0恒成
立，则实数 a 的取值范围为（ ）
A. { a ｜ a ＜2} B. { a ｜ a ≤2}
C. { a ｜－2＜ a ＜2} D. { a ｜－2＜ a ≤2}
解析： 当 a －2＝0，即 a ＝2时，－4＜0，恒成立，符合题意；
当 a －2≠0时，由题意知，解
得－2＜ a ＜2，∴－2＜ a ≤2，故选D.
2. 若关于 x 的一元二次不等式 x2＋ mx ＋1≥0的解集为实数集R，则实
数 m 的取值范围是 .
解析：因为关于 x 的一元二次不等式 x2＋ mx ＋1≥0的解集为实数集
R，所以只需Δ＝ m2－4≤0，解得－2≤ m ≤2，即实数 m 的取值范
围是[－2，2].
[－2，2]
题型二 在给定区间上的恒成立问题
【例2】 （1）当1≤ x ≤2时，不等式 x2＋ mx ＋4＜0恒成立，则实数
m 的取值范围为 ；
{ m ｜ m ＜－5}
解析：令 y ＝ x2＋ mx ＋4.∵ y ＜0在1≤ x ≤2上恒成立，∴ y ＝0的根一个小于1，另一个大于2.如图，可得∴ m 的取值范围
是{ m ｜ m ＜－5}.
（2）若不等式 x2＋ ax ＋1≥0对一切 x ∈（0，2]恒成立，则 a 的最小
值是 .
解析：由于 x ∈（0，2]，若不等式 x2＋ ax ＋1≥0恒成立，则 a
≥－ ， x ∈（0，2]时恒成立.令 m ＝ x ＋ ， x ∈（0，
2]，则 m ≥2 ＝2（当且仅当 x ＝1时等号成立）.∴－
的最大值是－2.因此 a ≥－2，则 a 的最小值为－2.
－2
通性通法
一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题
（1）当 a ＞0时， ax2＋ bx ＋ c ＜0在 x ∈{ x ｜α≤ x ≤β}上恒成立 y
＝ ax2＋ bx ＋ c 在 x ＝α， x ＝β时的函数值同时小于0；当 a ＜0
时， ax2＋ bx ＋ c ＞0在 x ∈{ x ｜α≤ x ≤β}上恒成立 y ＝ ax2
＋ bx ＋ c 在 x ＝α， x ＝β时的函数值同时大于0；
（2）通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.
【跟踪训练】
1. （2024·泰州月考）若关于 x 的不等式 x2－4 x ≥ m 对任意 x ∈{ x ｜
0≤ x ≤3}恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. { m ｜ m ≥－3} B. { m ｜－3≤ m ≤0}
C. { m ｜ m ≤－4} D. { m ｜ m ≤－3或 m ≥0}
解析： 因为不等式 x2－4 x ≥ m 对任意 x ∈{ x ｜0≤ x ≤3}恒成
立，令 y ＝ x2－4 x ，0≤ x ≤3，则 m ≤ ymin，因为 y ＝ x2－4 x 在 x
∈{ x ｜0≤ x ≤3}上的最小值为－4，故 m ≤－4.故选C.
2. 若对任意的－3≤ x ≤－1都有 ax2－ x －3＜0恒成立，则实数 a 的取
值范围是 .
解析： ax2－ x －3＜0在－3≤ x ≤－1上恒成立，等价于 a ＜ ＝
＋ 在－1≤ ≤－ 上恒成立，令 m ＝ ，即 a ＜3 m2＋ m 在－
1≤ m ≤－ 上恒成立，二次函数 y ＝3 m2＋ m 的对称轴为 m ＝－
，所以当 m ＝－ 时， y 有最小值0，故 a ＜0.
{ a ｜ a ＜0}
题型三 简单的能成立问题
【例3】 若存在 x ∈R，使得 ≥2成立，求实数 m 的取值
范围.
解：∵ x2－2 x ＋3＝（ x －1）2＋2＞0，∴4 x ＋ m ≥2（ x2－2 x ＋3）
能成立，
∴ m ≥2 x2－8 x ＋6能成立，
又 y ＝2 x2－8 x ＋6＝2（ x －2）2－2≥－2，
∴ m ≥－2，
∴ m 的取值范围为{ m ｜ m ≥－2}.
通性通法
能成立问题的解题思路
（1）结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决；
（2）对一些简单的问题，可转化为 m ＞ ymin或 m ＜ ymax的形式，通过
求 y 的最小值或最大值，求得参数的取值范围.
【跟踪训练】
1. （2024·连云港赣马中学期中）关于 x 的不等式 x2－6－ a ≥0在{ x ｜
1≤ x ≤4}内有解，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. { a ｜ a ≤6} B. { a ｜ a ≥－10}
C. { a ｜ a ≥－6} D. { a ｜ a ≤10}
解析： 不等式 x2－6－ a ≥0在{ x ｜1≤ x ≤4}内有解等价于在
{ x ｜1≤ x ≤4}内， a ≤（ x2－6）max.当1≤ x ≤4时，－5≤ x2－
6≤10，所以 a ≤10.故选D.
2. （2024·南京第九中学期中）若命题“ x ∈[0，3]， x2－2 x － a ＞
0”为假命题，则实数 a 可取的最小整数值是 .
解析：因为命题“ x ∈[0，3]， x2－2 x － a ＞0”为假命题，所以
“ x ∈[0，3]， x2－2 x － a ≤0”为真命题，则 x ∈[0，3]，使得
a ≥ x2－2 x ，所以 a ≥（ x2－2 x ）min，因为 y ＝ x2－2 x ＝（ x －1）2
－1， x ∈[0，3]，所以当 x ＝1时， y ＝ x2－2 x 有最小值－1，所以
a ≥－1，所以实数 a 可取的最小整数值是－1.
－1
1. 已知1≤ x ≤2， x2－ ax ＞0恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. { a ｜ a ≥1} B. { a ｜ a ＞1}
C. { a ｜ a ≤1} D. { a ｜ a ＜1}
解析： 因为1≤ x ≤2，故 x ＞0，故 x2－ ax ＞0在1≤ x ≤2上恒成
立等价于 x － a ＞0在1≤ x ≤2上恒成立，即 a ＜1.故选D.
2. 若关于 x 的不等式－ x2＋ mx －1≥0有解，则实数 m 的取值范围是
（ ）
A. { m ｜ m ≤－2或 m ≥2}
B. { m ｜－2≤ m ≤2}
C. { m ｜ m ＜－2或 m ＞2}
D. { m ｜－2＜ m ＜2}
解析： ∵关于 x 的不等式－ x2＋ mx －1≥0有解，且函数 y ＝－
x2＋ mx －1的图象开口向下，∴函数图象与 x 轴有交点，∴Δ＝ m2
－4≥0，解得 m ≥2或 m ≤－2.故选A.
3. 已知不等式 ax2＋4 x ＋ a ＞1－2 x2.
（1）当 a ＝3时，解此不等式；
解：当 a ＝3时，不等式为5 x2＋4 x ＋2＞0.
因为5 x2＋4 x ＋2＝0中Δ＝16－40＜0，
可知不等式的解集为R，
所以当 a ＝3时，不等式的解集为R.
（2）若此不等式对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围.
解：已知不等式可整理成（ a ＋2） x2＋4 x ＋ a －1＞0，
当 a ＋2＜0，即 a ＜－2时，不符合题意.
当 a ＋2＝0，即 a ＝－2时，也不符合题意.
当 a ＋2＞0，即 a ＞－2时，要使（ a ＋2） x2＋4 x ＋ a －
1＞0恒成立，
则有42－4（ a ＋2）（ a －1）＜0，解得 a ＞2.
综上所述，使不等式对一切实数 x 恒成立的实数 a 的取值
范围是{ a ｜ a ＞2}.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 一元二次不等式 ax2＋ bx ＋ c ＜0的解集为全体实数的条件是（ ）
A. B.
C. D.
解析： 一元二次不等式 ax2＋ bx ＋ c ＜0的解集为全体实数等价
于二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象全部在 x 轴下方，需要开口向
下，且与 x 轴无交点，故需要故选D.
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2. 对于任意实数 x ，不等式 x2＋4 x －1＞ m 恒成立，则实数 m 的取值
范围是（ ）
A. （－∞，－4） B. （－∞，－5）
C. （－∞，－4] D. （－∞，－5]
解析： 由题意可知，不等式 x2＋4 x －1－ m ＞0对任意的 x ∈R
恒成立，则Δ＝16＋4（ m ＋1）＝4 m ＋20＜0，解得 m ＜－5.因
此，实数 m 的取值范围是（－∞，－5）.故选B.
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3. 已知不等式 x2＋ ax ＋4＜0的解集为空集，则 a 的取值范围是（ ）
A. { a ｜ a ≤－4或 a ≥4} B. { a ｜－4＜ a ＜4}
C. { a ｜－4≤ a ≤4} D. { a ｜ a ＜－4或 a ＞4}
解析： 由题意得，Δ＝ a2－16≤0，解得－4≤ a ≤4.故选C.
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4. 已知对 x ∈{ x ｜2≤ x ≤3}，不等式 mx2－ mx －1＜0恒成立，则 m
的取值范围为（ ）
A. （－∞， ） B. （0， ）
C. （0， ） D. （ ，＋∞）
解析： 由不等式 mx2－ mx －1＜0，得 m （ x2－ x ）＜1，因为 x
∈{ x ｜2≤ x ≤3}，所以 x2－ x ＞0，所以 m （ x2－ x ）＜1可化为 m
＜ ，当2≤ x ≤3时，因为 x2－ x ＝（ x － ）2－ ∈[2，6]，所
以 ≥ ，所以 m ＜ .即 m 的取值范围为（－∞， ）.
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5. 已知关于 x 的不等式－ x2＋4 x ≥ a2－3 a 在R上有解，则实数 a 的取
值范围为（ ）
A. { a ｜－1≤ a ≤4} B. { a ｜－1＜ a ＜4}
C. { a ｜ a ≥4或 a ≤－1} D. { a ｜－4≤ a ≤1}
解析： 由题意知，－（ x －2）2＋4≥ a2－3 a 在R上有解，∴ a2
－3 a ≤4，即（ a －4）（ a ＋1）≤0，∴－1≤ a ≤4.故选A.
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6. （多选）不等式 ax2－2 x ＋1＜0的解集非空的一个必要不充分条件
是（ ）
A. a ＜1 B. a ≤1
C. a ＜2 D. a ＜0
解析： 因为 ax2－2 x ＋1＜0的解集非空，显然当 a ≤0时恒成
立，又由解得0＜ a ＜1，综上， ax2－2 x ＋1＜0
的解集非空的充要条件为 a ＜1.由选项知 a ＜1的一个必要不充分条
件为B、C.
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7. （多选）若不等式 ≥ m 对任意实数 x 恒成立，则正整数 m
的值可能为（ ）
A. 3 B. 4
C. 1 D. 2
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解析： 因为 x2＋ x ＋1＞0对于任意实数 x 恒成立，所以不等式
≥ m 可化为3 x2＋2 x ＋2≥ m （ x2＋ x ＋1），即（3－ m ）
x2＋（2－ m ） x ＋2－ m ≥0.当 m ＝3时，不等式化为 x ＋1≤0，不
符合题意.当 m ≠3时，依题意，得
整理得
解得所以 m ≤2.又 m
∈N*，所以 m ＝1或2，故选C、D.
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8. 若对任意的－1≤ x ≤2，都有 x2－2 x ＋ a ≤0（ a 为常数），则 a 的
取值范围为 .
解析：法一 令 y ＝ x2－2 x ＋ a ，则由题意，得
解得 a ≤－3.
（－∞，－3]
法二 当－1≤ x ≤2时，不等式 x2－2 x ＋ a ≤0恒成立等价于 a ≤－ x2
＋2 x 恒成立，则由题意，得 a ≤（－ x2＋2 x ）min（－1≤ x ≤2）.而－
x2＋2 x ＝－（ x －1）2＋1，则当 x ＝－1时，（－ x2＋2 x ）min＝－3，
所以 a ≤－3.
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9. （2024·盐城大丰南阳中学期中）若命题“ x0∈R， ＋2 mx0＋ m
＋2＜0”为假命题，则 m 的取值范围是 .
解析：命题“ x0∈R， ＋2 mx0＋ m ＋2＜0”的否定为“ x
∈R， x2＋2 mx ＋ m ＋2≥0”，该命题为真命题，即Δ＝4 m2－4
（ m ＋2）≤0，解得－1≤ m ≤2.
[－1，2]
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10. 若关于 x 的不等式 x2－4 x －2－ a ≥0在 x ∈{ x ｜1≤ x ≤4}上有
解，则实数 a 的取值范围是 .
解析：由 x2－4 x －2－ a ≥0，得 a ≤ x2－4 x －2＝（ x －2）2－6，
所以当1≤ x ≤4时，（ x －2）2－6∈[－6，－2]，所以 a ≤－2.
{ a ｜ a ≤－2}
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11. （2024·无锡月考）在R上定义运算： x y ＝ x （1－ y ），若 x
∈R使得（ x － a ） （ x ＋ a ）＞1成立，则实数 a 的取值范围
是 .
解析：由题意知（ x － a ） （ x ＋ a ）＝（ x － a ）[1－（ x ＋
a ）]＝－ x2＋ x ＋ a2－ a ＝－（ x － ）2＋ a2－ a ＋ ，若 x ∈R，
使得不等式（ x － a ） （ x ＋ a ）＞1成立，则需函数 y ＝－（ x
－ ）2＋ a2－ a ＋ 的最大值大于1，即当 x ＝ 时， y ＝ a2－ a ＋
＞1成立，解得 a ＜－ 或 a ＞ .
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12. 关于 x 的不等式（ a2－1） x2－（ a －1） x －1≤0的解集为R，求
实数 a 的取值范围.
解：当 a2－1＝0时， a ＝1或 a ＝－1，
若 a ＝1，不等式为－1≤0恒成立，符合题意，
若 a ＝－1，不等式为2 x －1≤0，解得 x ≤ ，不符合题意；
当 a2－1≠0时，若要不等式（ a2－1） x2－（ a －1） x －1≤0
的解集为R，
则 a2－1＜0，且Δ＝（ a －1）2＋4（ a2－1）≤0，解得－ ≤
a ＜1，
综上可得－ ≤ a ≤1，即实数 a 的取值范围是{ a ｜－ ≤ a ≤1}.
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13. 已知函数 y ＝ ax2－ x － （ a ＞0），且当 x ＝ 时， y ≥－ .是
否存在实数 a ，使得 y 的最小值的最大值是－1？若存在，求出 a
的值；若不存在，请说明理由.
解：因为 y ＝ ax2－ x － ＝ a （ x － ）2－（ ＋ ）， a ＞0，
所以 ymin＝－ － ，由－ － ≤－1，解得0＜ a ≤ ，由 x ＝
时， y ≥－ ，得 － － ≥－ ，解得 a ≥ ，所以 a ＝ .
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