第1课时 一元二次不等式的解法
1.不等式x（4－x）＜3的解集为（ ）
A.{x｜x＜1或x＞3} B.{x｜x＜0或x＞4}
C.{x｜1＜x＜3} D.{x｜0＜x＜4}
2.不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是（ ）
A.{x｜x＜－1}
B.
C.
D.
3.不等式≥1的解集是（ ）
A.{x｜≤x≤2} B.{x｜≤x＜2}
C.{x｜x＞2或x≤} D.{x｜x≥}
4.（2024·徐州月考）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2，3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为（ ）
A.{x｜x＞3或x＜－2} B.{x｜x＞2或x＜－3}
C.{x｜－2＜x＜3} D.{x｜－3＜x＜2}
5.（多选）下列不等式的解集为R的有（ ）
A.x2＋x＋1≥0 B.x2－2x＋＞0
C.x2＋6x＋10＞0 D.2x2－3x＋4＜1
6.（多选）若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是（－，2），则以下结论正确的有（ ）
A.a＜0
B.＝－1
C.cx2＋bx＋a＞0的解集为（－2，）
D.a＋2b＋3c＞0
7.不等式8x－1≥16x2的解集为 .
8.若不等式－x2＋2x＞mx的解集是（0，2），则实数m的值是 .
9.（2024·淮安月考）已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是 .
10.解下列不等式：
（1）4（2x2－2x＋1）＞x（4－x）；
（2）0≤x2－2x－3＜5.
11.（2024·泰州月考）在R上定义运算“☉”：a☉b＝ab＋2a＋b，则满足x☉（x－2）＜0的实数x的取值范围为（ ）
A.{x｜0＜x＜2} B.{x｜－2＜x＜1}
C.{x｜x＜－2或x＞1} D.{x｜－1＜x＜2}
12.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0，x∈R）的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是（ ）
A.R B.
C.（－∞，－2）∪（3，＋∞） D.（－2，3）
13.（多选）已知a∈Z，若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（ ）
A.5 B.6
C.7 D.9
14.（2024·盐城月考）已知关于x的不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为{x｜＜x＜}.
（1）求a，c的值；
（2）解关于x的不等式ax2＋（ac＋2）x＋2c≥0.
15.对于实数x，当且仅当n≤x＜n＋1（n∈N*）时，[x]＝n，试求关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45＜0的解集.
第1课时 一元二次不等式的解法
1.A 不等式x（4－x）＜3化为x2－4x＋3＞0，即（x－1）（x－3）＞0，解得x＜1或x＞3.故选A.
2.D 不等式－2x2＋x＋3＜0可化为2x2－x－3＞0，因为Δ＝（－1）2－4×2×（－3）＝25＞0，方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝，又二次函数y＝2x2－x－3的图象开口向上，所以不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是x｜x＜－1或x＞，故选D.
3.B 不等式≥1，移项得－1＝≥0，即≤0，可化为（4x－3）（x－2）≤0且x－2≠0，解得≤x＜2，则原不等式的解集为{x｜≤x＜2}.故选B.
4.C 由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a，∴ax2＋bx＋c＝ax2－ax－6a＞0.∵a＜0，∴x2－x－6＜0，∴（x－3）（x＋2）＜0，∴－2＜x＜3.故选C.
5.AC A中，Δ＝12－4×1＜0，满足条件，故A正确；B中，Δ＝（－2）2－4×＞0，解集不为R，故B错误；C中，Δ＝62－4×10＜0，满足条件，故C正确；D中，不等式可化为2x2－3x＋3＜0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能，故D错误.故选A、C.
6.ABD 选项A中，由题意可知a＜0，故A正确；选项B中，－，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，＝2×（－）＝－1，故B正确；选项C中，－＝2－＝，所以b＝－a，c＝－a，故cx2＋bx＋a＝－ax2－ax＋a＞0，解得x∈（－∞，－2）∪（，＋∞），故C错误；选项D中，a＋2b＋3c＝a＋2×（－a）－3a＝－5a＞0，故D正确.故选A、B、D.
7.{} 解析：原不等式等价于16x2－8x＋1≤0 （4x－1）2≤0，而只有当4x－1＝0，即x＝时不等式成立，故不等式的解集为{}.
8.1 解析：原不等式化为x2＋（m－2）x＜0，即x（x＋2m－4）＜0，故0，2是对应方程x（x＋2m－4）＝0的两个根，代入得m＝1.
9.{k｜k≥4或k≤2} 解析：x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
10.解：（1）由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝，
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为{x｜x≠}.
（2）由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3；
由x2－2x－3＜5得－2＜x＜4.
∴－2＜x≤－1或3≤x＜4.
∴原不等式的解集为{x｜－2＜x≤－1或3≤x＜4}.
11.B 根据给出的定义得，x☉（x－2）＝x（x－2）＋2x＋（x－2）＝x2＋x－2＝（x＋2）（x－1），又x☉（x－2）＜0，则（x＋2）（x－1）＜0，故不等式的解集是{x｜－2＜x＜1}.故选B.
12.C 由题意知，二次函数图象开口向上，当x＝－2和x＝3时，y＝0，故ax2＋bx＋c＞0的解集为（－∞，－2）∪（3，＋∞）.
13.BC 设y＝x2－6x＋a，函数图象开口向上，且对称轴为x＝3，因此关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数时，需满足x＝2时，y≤0，x＝1时，y＞0，即解得5＜a≤8，又因为a∈Z，所以a＝6或7或8，故选B、C.
14.解：（1）由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，
由根与系数的关系，得解得a＝－6，c＝－1.
（2）由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋（ac＋2）x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，
即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，
所以所求不等式的解集为.
15.解：由4[x]2－36[x]＋45＜0，得＜[x]＜，
又当且仅当n≤x＜n＋1（n∈N*）时，[x]＝n，
所以[x]＝2，3，4，5，6，7，
所以所求不等式的解集为{x｜2≤x＜8}.
2 / 23.3.2 从函数观点看一元二次不等式
新课程标准解读 核心素养
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义 数学抽象
2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 数学抽象、数学运算
3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决 数学建模、数学运算
第1课时 一元二次不等式的解法
园艺师打算在空地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉，栅栏的长度是24 m.
【问题】 若围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长要满足什么条件？
知识点一 一元二次不等式
1.定义：只含有 未知数，并且未知数最高次数是 的整式不等式叫作一元二次不等式.
2.一般形式：ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c≥0或ax2＋bx＋c＜0或ax2＋bx＋c≤0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
提醒 对一元二次不等式的再理解：①一元：即只含一个未知数，其他元素均为常数（或参数）；②二次：即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.
【想一想】
1.不等式x2＋＞0是一元二次不等式吗？
2.一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？
知识点二 二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有两个相异的实数根x1，2＝ （x1＜x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝ 没有实 数根
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象
ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 （－∞，x1）∪（x2，＋∞） （－∞，－）∪（－，＋∞） R
ax2＋bx＋c≥0（a＞0）的解集 （－∞，x1]∪[x2，＋∞） R R
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 （x1，x2）
ax2＋bx＋c≤0（a＞0）的解集 [x1，x2] {x｜x＝－}
提醒 三个“二次”关系的实质：①ax2＋bx＋c＝0的解 y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标（即二次函数的零点）；②ax2＋bx＋c＞0的解集 y＝ax2＋bx＋c的图象上的点（x，y）在x轴上方时，对应x的取值集合；③ax2＋bx＋c＜0的解集 y＝ax2＋bx＋c的图象上的点（x，y）在x轴下方时，对应x的取值集合.
1.一元二次不等式（x＋2）（5－x）＞0的解集为（ ）
A.{x｜x＜－2或x＞5}
B.{x｜x＜－5或x＞2}
C.{x｜－2＜x＜5}
D.{x｜－5＜x＜2}
2.（多选）下列不等式是一元二次不等式的是（ ）
A.x2＋＋1＜0 B.x2＋x＜－1
C.ax2＋4x－7＞0 D.x2＜－1
3.求不等式3x2－2x＋1＞0的解集.
题型一 不含参数的一元二次不等式的解法
【例1】 （链接教科书第66页例1）解下列不等式：
（1）x2－7x＋12＜0；
（2）－3x2＋6x≤2；
（3）4x2＋4x＋1＞0；
（4）2x－2＞x2.
通性通法
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
（1）化标准：通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正；
（2）判别式：对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式；
（3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根；
（4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；
（5）写解集：根据图象写出不等式的解集.
【跟踪训练】
1.（2024·连云港东海县期中）不等式（x－1）2＜x＋5的解集为（ ）
A.{x｜1＜x＜4} B.{x｜－1＜x＜4}
C.{x｜－4＜x＜1} D.{x｜－1＜x＜3}
2.解下列不等式：
（1）（2－x）（x＋3）＜0；
（2）－2＜x2－3x≤10.
题型二 “三个二次”间的关系
【例2】 （链接教科书第69页习题12题）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x｜2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集.
【母题探究】
（变条件、变设问）若本例中条件改为“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜2＜x＜3}”，求关于x的不等式cx2－bx＋a≥0的解集.
通性通法
已知以a，b，c为参数的不等式（如ax2＋bx＋c＞0）的解集，求解其他不等式解集的步骤：
（1）根据解集来判断二次项系数的符号；
（2）根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
（3）约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.【跟踪训练】
1.（多选）（2024·盐城东元中学期中）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－∞，－1）∪（2，＋∞），则（ ）
A.a＞0
B.不等式bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－2}
C.a＋b＋c＞0
D.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为（－∞，－）∪（1，＋∞）
2.已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x｜1＜x＜2}，则关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集是 .
题型三 简单的分式不等式
【例3】 解下列不等式：
（1）＜0；（2）≤1.
通性通法
解分式不等式的策略
（1）对于形如＞0（＜0）的不等式可等价转化为f（x）g（x）＞0（＜0）来解决；对于形如≥0（≤0）的不等式可等价转化为来解决；
（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使不等号右边为零，然后再用上述方法转化为整式不等式（组）求解.
【跟踪训练】
1.（2024·常州金坛区期中）＞1的解集为 .
2.不等式≥0的解集是{x｜－1≤x＜5}，则a的值为 .
1.已知不等式ax2＋bx＋2＜0的解集为{x｜1＜x＜2}，则a＋b＝（ ）
A.－2 B.2 C.－3 D.3
2.若0＜m＜1，则不等式（x－m）（x－）＜0的解集为 .
3.不等式≥0的解集为 .
4.解下列不等式：
（1）x（7－x）≥12；
（2）x2＞2（x－1）.
第1课时 一元二次不等式的解法
【基础知识·重落实】
知识点一
1.一个 2
想一想
1.提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式.
2.提示：不可以，若a＝0，就不是二次不等式了.
知识点二
－
自我诊断
1.C 原一元二次不等式可化为（x＋2）·（x－5）＜0，解得－2＜x＜5，所以原不等式的解集为{x｜－2＜x＜5}.故选C.
2.BD 选项A中，由于x2＋＋1＜0不符合一元二次不等式的定义，故A错误；选项C中，当a＝0时，不等式为一次不等式，故C错误；选项B和D中，x2＋x＜－1，x2＋1＜0是一元二次不等式.故选B、D.
3.解：因为Δ＝（－2）2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）因为Δ＝（－7）2－4×1×12＝1＞0，
又方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3，x2＝4.
作出函数y＝x2－7x＋12的图象，如图①所示.
由图象可得原不等式的解集为{x｜3＜x＜4}.
（2）原不等式等价于3x2－6x＋2≥0，Δ＝12＞0，
解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝，
作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，
由图象可得原不等式的解集为{x｜x≤或x≥}.
（3）因为Δ＝0，所以方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.
作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示.
由图象可得原不等式的解集为{x｜x≠－，x∈R}.
（4）原不等式可化为x2－2x＋2＜0.
因为Δ＝（－2）2－4×1×2＜0，函数y＝x2－2x＋2的图象开口向上，所以函数图象与x轴无交点，
作出函数y＝x2－2x＋2的图象如图④所示.
观察图象可得，原不等式的解集为 .
跟踪训练
1.B 不等式（x－1）2＜x＋5可化为x2－3x－4＜0，即（x－4）（x＋1）＜0，解得－1＜x＜4，所以不等式的解集为{x｜－1＜x＜4}.故选B.
2.解：（1）原不等式可化为（x－2）（x＋3）＞0.
方程（x－2）（x＋3）＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝（x－2）（x＋3）的图象（图略）知，
原不等式的解集为{x｜x＜－3或x＞2}.
（2）原不等式等价于不等式组
不等式①可化为x2－3x＋2＞0，解得x＞2或x＜1.
不等式②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5.
故原不等式的解集为{x｜－2≤x＜1或2＜x≤5}.
【例2】 解：由题意可知a＞0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系可知－＝2＋3＝5，＝2×3＝6，则b＝－5a，c＝6a，
故不等式cx2＋bx＋a＞0可化为6ax2－5ax＋a＞0，即a（6x2－5x＋1）＞0，
由a＞0得，6x2－5x＋1＞0，解得x＜或x＞，
所以不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为{x或x＞}.
母题探究
解：由题意可知a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系可知－＝2＋3＝5，＝2×3＝6，则b＝－5a，c＝6a，
故不等式cx2－bx＋a≥0可化为6ax2＋5ax＋a≥0，即a（6x2＋5x＋1）≥0，
由a＜0得，6x2＋5x＋1≤0，解得－≤x≤－，
所以不等式cx2－bx＋a≥0的解集为{x｜－≤x≤－}.
跟踪训练
1.ABD 由题意知ax2＋bx＋c＝0的两个根为－1与2，且a＞0，故A正确；由根与系数的关系知，所以不等式bx＋c＞0化简为：－ax－2a＞0，且a＞0，解得x＜－2，故B正确；因为a＞0，则a＋b＋c＝a＋（－a）＋（－2a）＝－2a＜0，故C错误；不等式cx2－bx＋a＜0可化为－2ax2＋ax＋a＜0，且a＞0，即2x2－x－1＞0，解得x＜－或x＞1，故D正确.故选A、B、D.
2.{x｜x＜或x＞1} 解析：由题意得，方程x2＋ax＋b＝0的两根为1，2.由根与系数的关系得得代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0，解得x＜或x＞1.∴bx2＋ax＋1＞0的解集为{x｜x＜或x＞1}.
【例3】 解：（1）＜0 （x－3）（x＋2）＜0 －2＜x＜3，
所以原不等式的解集为{x｜－2＜x＜3}.
（2）由≤1，得－1＝≤0，即≥0.
此不等式等价于（x－4）（2x－3）≥0且2x－3≠0，解得x＜或x≥4，
所以原不等式的解集为{x｜x＜或x≥4}.
跟踪训练
1.{x｜－＜x＜1} 解析：由＞1，得－1＞0，即＜0，所以（x－1）·（2x＋1）＜0，解得－＜x＜1，所以原不等式的解集为{x｜－＜x＜1}.
2.5 解析：由于原不等式等价于因此结合不等式解集知a＝5.
随堂检测
1.A 方程ax2＋bx＋2＝0的两根为x1＝1，x2＝2，由根与系数的关系可知－＝3，＝2，解得a＝1，b＝－3，故a＋b＝－2.
2.{xm＜x＜} 解析：∵0＜m＜1，∴＞1＞m，故原不等式的解集为{xm＜x＜}.
3.{x｜－1＜x≤2} 解析：由≥0得，≤0 （x－2）（x＋1）≤0且x＋1≠0，解得－1＜x≤2.
4.解：（1）原不等式可化为x2－7x＋12≤0.
因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4.
所以原不等式的解集为{x｜3≤x≤4}.
（2）原不等式可以化为x2－2x＋2＞0，
因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0，
所以方程x2－2x＋2＝0无实数根，
又函数y＝x2－2x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
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3.3.2 从函数观点看一元二次不等式
新课程标准解读 核心素养
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，
了解一元二次不等式的现实意义 数学抽象
2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与
相应函数、方程的联系 数学抽象、
数学运算
3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的
模型，并加以解决 数学建模、
数学运算
第1课时
一元二次不等式的解法
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
园艺师打算在空地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉，栅栏的长
度是24 m.
【问题】 若围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长要满足什么条件？
知识点一 一元二次不等式
1. 定义：只含有 未知数，并且未知数最高次数是 的整
式不等式叫作一元二次不等式.
2. 一般形式： ax2＋ bx ＋ c ＞0或 ax2＋ bx ＋ c ≥0或 ax2＋ bx ＋ c ＜0或
ax2＋ bx ＋ c ≤0，其中 a ， b ， c 均为常数， a ≠0.
提醒 对一元二次不等式的再理解：①一元：即只含一个未知数，
其他元素均为常数（或参数）；②二次：即未知数的最高次数必须
为2，且其系数不能为0.
一个
2
【想一想】
1. 不等式 x2＋ ＞0是一元二次不等式吗？
提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式.
2. 一元二次不等式的一般形式中“ a ≠0”可以省略吗？
提示：不可以，若 a ＝0，就不是二次不等式了.
知识点二 二次函数与一元二次方程、不等式的解集的对应关系
判别式Δ＝ b2－4
ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程 ax2＋ bx ＋
c ＝0（ a ＞0）
的根 有两个相异的实
数根 x1，2
＝
（ x1＜ x2） 有两个相等的实
数根 x1＝ x2
＝ 没有实数根
二次函数 y ＝
ax2＋ bx ＋ c （ a
＞0）的图象
－
判别式Δ＝ b2－4
ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
ax2＋ bx ＋ c ＞0
（ a ＞0）的解集 （－∞， x1）∪
（ x2，＋∞） （－∞，－ ）∪（－ ，＋∞） R
ax2＋ bx ＋ c ≥0
（ a ＞0）的解集 （－∞， x1]∪[ x2，＋∞） R R
判别式Δ＝ b2－4
ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
ax2＋ bx ＋ c ＜0
（ a ＞0）的解集 （ x1， x2）
ax2＋ bx ＋ c ≤0
（ a ＞0）的解集 [ x1， x2] { x ｜ x ＝－ }
提醒 三个“二次”关系的实质：① ax2＋ bx ＋ c ＝0的解 y ＝ ax2＋
bx ＋ c 的图象与 x 轴交点的横坐标（即二次函数的零点）；② ax2＋ bx
＋ c ＞0的解集 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象上的点（ x ， y ）在 x 轴上方
时，对应 x 的取值集合；③ ax2＋ bx ＋ c ＜0的解集 y ＝ ax2＋ bx ＋ c
的图象上的点（ x ， y ）在 x 轴下方时，对应 x 的取值集合.
1. 一元二次不等式（ x ＋2）（5－ x ）＞0的解集为（ ）
A. { x ｜ x ＜－2或 x ＞5} B. { x ｜ x ＜－5或 x ＞2}
C. { x ｜－2＜ x ＜5} D. { x ｜－5＜ x ＜2}
解析： 原一元二次不等式可化为（ x ＋2）（ x －5）＜0，解得
－2＜ x ＜5，所以原不等式的解集为{ x ｜－2＜ x ＜5}.故选C.
2. （多选）下列不等式是一元二次不等式的是（ ）
A. x2＋ ＋1＜0 B. x2＋ x ＜－1
C. ax2＋4 x －7＞0 D. x2＜－1
解析： 选项A中，由于 x2＋ ＋1＜0不符合一元二次不等式
的定义，故A错误；选项C中，当 a ＝0时，不等式为一次不等式，
故C错误；选项B和D中， x2＋ x ＜－1， x2＋1＜0是一元二次不
等式.故选B、D.
3. 求不等式3 x2－2 x ＋1＞0的解集.
解：因为Δ＝（－2）2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3 x2
－2 x ＋1＞0的解集为R.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 不含参数的一元二次不等式的解法
【例1】 （链接教科书第66页例1）解下列不等式：
（1） x2－7 x ＋12＜0；
解：因为Δ＝（－7）2－4×1×12＝1＞0，
又方程 x2－7 x ＋12＝0的解为 x1＝3， x2＝4.
作出函数 y ＝ x2－7 x ＋12的图象，如图①所示.
由图象可得原不等式的解集为{ x ｜3＜ x ＜4}.
解方程3 x2－6 x ＋2＝0，得 x1＝ ， x2＝ ，
作出函数 y ＝3 x2－6 x ＋2的图象，如图②所示，
由图象可得原不等式的解集为{ x ｜ x ≤ 或 x ≥ }.
（2）－3 x2＋6 x ≤2；
解：原不等式等价于3 x2－6 x ＋2≥0，Δ＝12＞0，
（3）4 x2＋4 x ＋1＞0；
解：因为Δ＝0，所以方程4 x2＋4 x ＋1＝0有两个相等的实根 x1＝
x2＝－ .
作出函数 y ＝4 x2＋4 x ＋1的图象如图③所示.
由图象可得原不等式的解集为{ x ｜ x ≠－ ， x ∈R}.
（4）2 x －2＞ x2.
解：原不等式可化为 x2－2 x ＋2＜0.
因为Δ＝（－2）2－4×1×2＜0，函数 y ＝ x2－2 x ＋2的图象开口
向上，所以函数图象与 x 轴无交点，
作出函数 y ＝ x2－2 x ＋2的图象如图④所示.
观察图象可得，原不等式的解集为 .
通性通法
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
（1）化标准：通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系
数为正；
（2）判别式：对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算
对应方程的判别式；
（3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程
无实根；
（4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的
草图；
（5）写解集：根据图象写出不等式的解集.
【跟踪训练】
1. （2024·连云港东海县期中）不等式（ x －1）2＜ x ＋5的解集为
（ ）
A. { x ｜1＜ x ＜4} B. { x ｜－1＜ x ＜4}
C. { x ｜－4＜ x ＜1} D. { x ｜－1＜ x ＜3}
解析： 不等式（ x －1）2＜ x ＋5可化为 x2－3 x －4＜0，即（ x
－4）（ x ＋1）＜0，解得－1＜ x ＜4，所以不等式的解集为{ x ｜
－1＜ x ＜4}.故选B.
2. 解下列不等式：
（1）（2－ x ）（ x ＋3）＜0；
解：原不等式可化为（ x －2）（ x ＋3）＞0.
方程（ x －2）（ x ＋3）＝0的两根为 x1＝2， x2＝－3.
结合二次函数 y ＝（ x －2）（ x ＋3）的图象（图略）知，
原不等式的解集为{ x ｜ x ＜－3或 x ＞2}.
（2）－2＜ x2－3 x ≤10.
解：原不等式等价于不等式组
不等式①可化为 x2－3 x ＋2＞0，解得 x ＞2或 x ＜1.
不等式②可化为 x2－3 x －10≤0，解得－2≤ x ≤5.
故原不等式的解集为{ x ｜－2≤ x ＜1或2＜ x ≤5}.
题型二 “三个二次”间的关系
【例2】 （链接教科书第69页习题12题）已知关于 x 的不等式 ax2＋
bx ＋ c ＜0的解集为{ x ｜2＜ x ＜3}，求关于 x 的不等式 cx2＋ bx ＋ a ＞0
的解集.
解：由题意可知 a ＞0，且2和3是方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两根，
由根与系数的关系可知－ ＝2＋3＝5， ＝2×3＝6，则 b ＝－5 a ， c
＝6 a ，
故不等式 cx2＋ bx ＋ a ＞0可化为6 ax2－5 ax ＋ a ＞0，即 a （6 x2－5 x ＋
1）＞0，
由 a ＞0得，6 x2－5 x ＋1＞0，解得 x ＜ 或 x ＞ ，
所以不等式 cx2＋ bx ＋ a ＞0的解集为{ x 或 x ＞ }.
【母题探究】
（变条件、变设问）若本例中条件改为“已知关于 x 的不等式 ax2＋ bx
＋ c ＞0的解集为{ x ｜2＜ x ＜3}”，求关于 x 的不等式 cx2－ bx ＋ a ≥0
的解集.
解：由题意可知 a ＜0，且2和3是方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两根，
由根与系数的关系可知－ ＝2＋3＝5， ＝2×3＝6，则 b ＝－5 a ， c
＝6 a ，
故不等式 cx2－ bx ＋ a ≥0可化为6 ax2＋5 ax ＋ a ≥0，即 a （6 x2＋5 x ＋
1）≥0，
由 a ＜0得，6 x2＋5 x ＋1≤0，解得－ ≤ x ≤－ ，
所以不等式 cx2－ bx ＋ a ≥0的解集为{ x ｜－ ≤ x ≤－ }.
通性通法
已知以 a ， b ， c 为参数的不等式（如 ax2＋ bx ＋ c ＞0）的解集，
求解其他不等式解集的步骤：
（1）根据解集来判断二次项系数的符号；
（2）根据根与系数的关系把 b ， c 用 a 表示出来并代入所要解的
不等式；
（3）约去 a ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
【跟踪训练】
1. （多选）（2024·盐城东元中学期中）已知关于 x 的不等式 ax2＋ bx
＋ c ＞0的解集为（－∞，－1）∪（2，＋∞），则（ ）
A. a ＞0
B. 不等式 bx ＋ c ＞0的解集是{ x ｜ x ＜－2}
C. a ＋ b ＋ c ＞0
D. 不等式 cx2－ bx ＋ a ＜0的解集为（－∞，－ ）∪（1，＋∞）
解析： 由题意知 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两个根为－1与2，且 a ＞
0，故A正确；由根与系数的关系知，所以
不等式 bx ＋ c ＞0化简为：－ ax －2 a ＞0，且 a ＞0，解
得 x ＜－2，故B正确；因为 a ＞0，则 a ＋ b ＋ c ＝ a ＋（－ a ）＋
（－2 a ）＝－2 a ＜0，故C错误；不等式 cx2－ bx ＋ a ＜0可化为－2
ax2＋ ax ＋ a ＜0，且 a ＞0，即2 x2－ x －1＞0，解得 x ＜－ 或 x ＞
1，故D正确.故选A、B、D.
2. 已知关于 x 的不等式 x2＋ ax ＋ b ＜0的解集为{ x ｜1＜ x ＜2}，则关
于 x 的不等式 bx2＋ ax ＋1＞0的解集是 .
解析：由题意得，方程 x2＋ ax ＋ b ＝0的两根为1，2.由根与系数的
关系得得代入所求不等式，得2 x2－3 x ＋
1＞0，解得 x ＜ 或 x ＞1.∴ bx2＋ ax ＋1＞0的解集为{ x ｜ x ＜ 或 x
＞1}.
{ x ｜ x ＜ 或 x ＞1}
题型三 简单的分式不等式
【例3】 解下列不等式：
（1） ＜0；
解： ＜0 （ x －3）（ x ＋2）＜0 －2＜ x ＜3，
所以原不等式的解集为{ x ｜－2＜ x ＜3}.
（2） ≤1.
解：由 ≤1，得 －1＝ ≤0，即 ≥0.
此不等式等价于（ x －4）（2 x －3）≥0且2 x －3≠0，解得 x ＜
或 x ≥4，
所以原不等式的解集为{ x ｜ x ＜ 或 x ≥4}.
通性通法
解分式不等式的策略
（1）对于形如 ＞0（＜0）的不等式可等价转化为 f （ x ） g
（ x ）＞0（＜0）来解决；对于形如 ≥0（≤0）的不等
式可等价转化为来解决；
（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分
（不要去分母），使不等号右边为零，然后再用上述方法转化
为整式不等式（组）求解.
【跟踪训练】
1. （2024·常州金坛区期中） ＞1的解集为 { x ｜－ ＜ x ＜1} .
解析：由 ＞1，得 －1＞0，即 ＜0，所以（ x －1）（2
x ＋1）＜0，解得－ ＜ x ＜1，所以原不等式的解集为{ x ｜－ ＜ x
＜1}.
{ x ｜－ ＜ x ＜1}
2. 不等式 ≥0的解集是{ x ｜－1≤ x ＜5}，则 a 的值为 .
解析：由于原不等式等价于因此结合不等
式解集知 a ＝5.
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1. 已知不等式 ax2＋ bx ＋2＜0的解集为{ x ｜1＜ x ＜2}，则 a ＋ b ＝
（ ）
A. －2 B. 2
C. －3 D. 3
解析： 方程 ax2＋ bx ＋2＝0的两根为 x1＝1， x2＝2，由根与
系数的关系可知－ ＝3， ＝2，解得 a ＝1， b ＝－3，故 a ＋
b ＝－2.
2. 若0＜ m ＜1，则不等式（ x － m ）（ x － ）＜0的解集为
.
解析：∵0＜ m ＜1，∴ ＞1＞ m ，故原不等式的解集为{ x ｜ m ＜
x ＜ }.
3. 不等式 ≥0的解集为 .
解析：由 ≥0得， ≤0 （ x －2）（ x ＋1）≤0且 x ＋1≠0，
解得－1＜ x ≤2.
{ x ｜ m
＜ x ＜ }
{ x ｜－1＜ x ≤2}
4. 解下列不等式：
（1） x （7－ x ）≥12；
解：原不等式可化为 x2－7 x ＋12≤0.
因为方程 x2－7 x ＋12＝0的两根为 x1＝3， x2＝4.
所以原不等式的解集为{ x ｜3≤ x ≤4}.
（2） x2＞2（ x －1）.
解：原不等式可以化为 x2－2 x ＋2＞0，
因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0，
所以方程 x2－2 x ＋2＝0无实数根，
又函数 y ＝ x2－2 x ＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 不等式 x （4－ x ）＜3的解集为（ ）
A. { x ｜ x ＜1或 x ＞3} B. { x ｜ x ＜0或 x ＞4}
C. { x ｜1＜ x ＜3} D. { x ｜0＜ x ＜4}
解析： 不等式 x （4－ x ）＜3化为 x2－4 x ＋3＞0，即（ x －1）
（ x －3）＞0，解得 x ＜1或 x ＞3.故选A.
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2. 不等式－2 x2＋ x ＋3＜0的解集是（ ）
A. { x ｜ x ＜－1} B.
C. D.
解析： 不等式－2 x2＋ x ＋3＜0可化为2 x2－ x －3＞0，因为Δ＝
（－1）2－4×2×（－3）＝25＞0，方程2 x2－ x －3＝0的两根为 x1
＝－1， x2＝ ，又二次函数 y ＝2 x2－ x －3的图象开口向上，所以
不等式－2 x2＋ x ＋3＜0的解集是 ，故选D.
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3. 不等式 ≥1的解集是（ ）
A. { x ｜ ≤ x ≤2} B. { x ｜ ≤ x ＜2}
C. { x ｜ x ＞2或 x ≤ } D. { x ｜ x ≥ }
解析： 不等式 ≥1，移项得 －1＝ ≥0，即
≤0，可化为（4 x －3）（ x －2）≤0且 x －2≠0，解得 ≤ x ＜2，
则原不等式的解集为{ x ｜ ≤ x ＜2}.故选B.
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4. （2024·徐州月考）一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两根为－2，
3， a ＜0，那么 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集为（ ）
A. { x ｜ x ＞3或 x ＜－2} B. { x ｜ x ＞2或 x ＜－3}
C. { x ｜－2＜ x ＜3} D. { x ｜－3＜ x ＜2}
解析： 由题意知，－2＋3＝－ ，－2×3＝ ，∴ b ＝－ a ， c
＝－6 a ，∴ ax2＋ bx ＋ c ＝ ax2－ ax －6 a ＞0.∵ a ＜0，∴ x2－ x －6
＜0，∴（ x －3）（ x ＋2）＜0，∴－2＜ x ＜3.故选C.
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5. （多选）下列不等式的解集为R的有（ ）
A. x2＋ x ＋1≥0 B. x2－2 x ＋ ＞0
C. x2＋6 x ＋10＞0 D. 2 x2－3 x ＋4＜1
解析： A中，Δ＝12－4×1＜0，满足条件，故A正确；B中，Δ
＝（－2 ）2－4× ＞0，解集不为R，故B错误；C中，Δ＝62
－4×10＜0，满足条件，故C正确；D中，不等式可化为2 x2－3 x ＋
3＜0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能，故D错误.故选
A、C.
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6. （多选）若不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集是（－ ，2），则以下结
论正确的有（ ）
A. a ＜0
B. ＝－1
C. cx2＋ bx ＋ a ＞0的解集为（－2， ）
D. a ＋2 b ＋3 c ＞0
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解析： 选项A中，由题意可知 a ＜0，故A正确；选项B中，
－ ，2是方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两个根， ＝2×（－ ）＝－1，
故B正确；选项C中，－ ＝2－ ＝ ，所以 b ＝－ a ， c ＝－ a ，
故 cx2＋ bx ＋ a ＝－ ax2－ ax ＋ a ＞0，解得 x ∈（－∞，－2）∪
（ ，＋∞），故C错误；选项D中， a ＋2 b ＋3 c ＝ a ＋2×（－
a ）－3 a ＝－5 a ＞0，故D正确.故选A、B、D.
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7. 不等式8 x －1≥16 x2的解集为 .
解析：原不等式等价于16 x2－8 x ＋1≤0 （4 x －1）2≤0，而只有
当4 x －1＝0，即 x ＝ 时不等式成立，故不等式的解集为{ }.
{ }
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8. 若不等式－ x2＋2 x ＞ mx 的解集是（0，2），则实数 m 的值是 .
解析：原不等式化为 x2＋（ m －2） x ＜0，即 x （ x ＋2 m －
4）＜0，故0，2是对应方程 x （ x ＋2 m －4）＝0的两个根，代
入得 m ＝1.
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9. （2024·淮安月考）已知 x ＝1在不等式 k2 x2－6 kx ＋8≥0的解集内，
则 k 的取值范围是 .
解析： x ＝1在不等式 k2 x2－6 kx ＋8≥0的解集内，把 x ＝1代入不等
式得 k2－6 k ＋8≥0，解得 k ≥4或 k ≤2.
{ k ｜ k ≥4或 k ≤2}
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10. 解下列不等式：
（1）4（2 x2－2 x ＋1）＞ x （4－ x ）；
解：由原不等式得8 x2－8 x ＋4＞4 x － x2.
∴原不等式等价于9 x2－12 x ＋4＞0.
解方程9 x2－12 x ＋4＝0，得 x1＝ x2＝ ，
结合二次函数 y ＝9 x2－12 x ＋4的图象知，原不等式的解集
为{ x ｜ x ≠ }.
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（2）0≤ x2－2 x －3＜5.
解：由 x2－2 x －3≥0得 x ≤－1或 x ≥3；
由 x2－2 x －3＜5得－2＜ x ＜4.
∴－2＜ x ≤－1或3≤ x ＜4.
∴原不等式的解集为{ x ｜－2＜ x ≤－1或3≤ x ＜4}.
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11. （2024·泰州月考）在R上定义运算“☉”： a ☉ b ＝ ab ＋2 a ＋ b ，
则满足 x ☉（ x －2）＜0的实数 x 的取值范围为（ ）
A. { x ｜0＜ x ＜2} B. { x ｜－2＜ x ＜1}
C. { x ｜ x ＜－2或 x ＞1} D. { x ｜－1＜ x ＜2}
解析： 根据给出的定义得， x ☉（ x －2）＝ x （ x －2）＋2 x ＋
（ x －2）＝ x2＋ x －2＝（ x ＋2）（ x －1），又 x ☉（ x －2）＜
0，则（ x ＋2）（ x －1）＜0，故不等式的解集是{ x ｜－2＜ x ＜
1}.故选B.
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12. 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0， x ∈R）的部分对应值如
下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
则不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集是（ ）
A. R B.
C. （－∞，－2）∪（3，＋∞） D. （－2，3）
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解析： 由题意知，二次函数图象开口向上，当 x ＝－2和 x ＝3
时， y ＝0，故 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集为（－∞，－2）∪（3，＋∞）.
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13. （多选）已知 a ∈Z，若关于 x 的一元二次不等式 x2－6 x ＋ a ≤0的
解集中有且仅有3个整数，则 a 的值可以是（ ）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 9
解析： 设 y ＝ x2－6 x ＋ a ，函数图象开口向上，且对称轴为 x
＝3，因此关于 x 的一元二次不等式 x2－6 x ＋ a ≤0的解集中有且仅
有3个整数时，需满足 x ＝2时， y ≤0， x ＝1时， y ＞0，即
解得5＜ a ≤8，又因为 a ∈Z，所以 a ＝6或7或
8，故选B、C.
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14. （2024·盐城月考）已知关于 x 的不等式 ax2＋5 x ＋ c ＞0的解集为
{ x ｜ ＜ x ＜ }.
（1）求 a ， c 的值；
解：由题意知，不等式对应的方程 ax2＋5 x ＋ c ＝0
的两个实数根为 和 ，
由根与系数的关系，得解得 a ＝－6， c
＝－1.
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（2）解关于 x 的不等式 ax2＋（ ac ＋2） x ＋2 c ≥0.
解：由 a ＝－6， c ＝－1知不等式 ax2＋（ ac ＋2） x ＋
2 c ≥0可化为－6 x2＋8 x －2≥0，
即3 x2－4 x ＋1≤0，解得 ≤ x ≤1，
所以所求不等式的解集为 .
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15. 对于实数 x ，当且仅当 n ≤ x ＜ n ＋1（ n ∈N*）时，[ x ]＝ n ，试
求关于 x 的不等式4[ x ]2－36[ x ]＋45＜0的解集.
解：由4[ x ]2－36[ x ]＋45＜0，得 ＜[ x ]＜ ，
又当且仅当 n ≤ x ＜ n ＋1（ n ∈N*）时，[ x ]＝ n ，
所以[ x ]＝2，3，4，5，6，7，
所以所求不等式的解集为{ x ｜2≤ x ＜8}.
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