第2课时 一元二次不等式的综合问题
1.若0<t<1,则不等式(x-t)(x-)<0的解集为( )
A.{x|<x<t} B.{x|x>或x<t}
C.{x|x<或x>t} D.{x|t<x<}
2.关于x的不等式(mx-1)(x-2)>0,若此不等式的解集为{x|<x<2},则m的取值范围为( )
A.(-∞,0) B.(0,)
C.(0,2) D.(2,+∞)
3.某文具店购进一批新型台灯,每盏最低售价为15元,若按最低售价销售,每天能卖出30盏,若售价每提高1元,日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入,则这批台灯的销售单价x(单位:元)的取值范围是( )
A.{x|10<x<20} B.{x|15≤x<20}
C.{x|15<x<20} D.{x|10≤x<20}
4.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是( )
A.{x|-<x<} B.R
C.{x|x<-1或x>} D.
5.(多选)关于实数x的不等式a(x-a)(x+1)>0(a∈R)的解集可能是( )
A.{x|x<-1或x>a} B.R
C.{x|-1<x<a} D.{x|a<x<-1}
6.(多选)(2024·徐州月考)已知关于x的不等式ax2+bx+3>0,关于此不等式的解集有下列结论,其中正确的是( )
A.不等式的解集可以是{x|x>3}
B.不等式的解集可以是R
C.不等式的解集可以是
D.不等式的解集可以是{x|-1<x<3}
7.(2024·扬州月考)当a<0时,关于x的不等式42x2+ax-a2<0的解集为 .
8.(2024·南通月考)制作一个高为20 cm的长方体容器,底面矩形的长比宽多10 cm,并且容积不少于4 000 cm3.设底面矩形的宽为x,则x的最小值为 cm.
9.已知a,b,c是常数,若不等式ax2+bx-c>0的解集是{x|1<x<2},则不等式bx(ax+c)>0的解集是 .
10.解关于x的不等式:x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).
11.设a>1,则关于x的不等式(1-a)(x-a)(x-)<0的解集是( )
A.(-∞,a)∪(,+∞)
B.(a,+∞)
C.(a,)
D.(-∞,)∪(a,+∞)
12.(2024·南通月考)若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的非空解集为{x|1<x<m},则m= .
13.若关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有3个整数,则实数a的取值范围是 .
14.某公司销售一批新型削笔器,该削笔器原来每个售价15元,年销售18万个.
(1)据市场调查,若削笔器的售价每提高1元,年销售量将相应减少2 000个,要使年销售总收入不低于原收入,该削笔器每件售价最多为多少元?
(2)为了提高年销售量,公司立即对该削笔器进行技术革新和销售策略改革,并提高售价到x元.公司计划投入x2万元作为技改费用,投入30万元作为固定宣传费用.试问:技术革新后,该削笔器的年销售量t至少达到多少万个时,才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和?并求此时每个削笔器售价.
15.解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a∈R).
第2课时 一元二次不等式的综合问题
1.D 当t∈(0,1)时,t<,∴解集为{x|t<x<}.故选D.
2.A 由题意知m<0,∵不等式(mx-1)(x-2)>0的解集为{x|<x<2},∴方程(mx-1)(x-2)=0的两个实数根为和2,且解得m<0,∴m的取值范围是(-∞,0).
3.B 由题意可知x[30-2(x-15)]>400,则-2x2+60x-400>0,即x2-30x+200<0,∴(x-10)(x-20)<0,解得10<x<20.又∵每盏最低售价为15元,∴15≤x<20.故选B.
4.C 因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点.又m>0,所以原不等式的解集不可能是A、B、D,故选C.
5.ACD 当a>0时,不等式a(x-a)·(x+1)>0可化为(x-a)(x+1)>0,解得x>a或x<-1;当a=0时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为0>0,此时不等式的解集为 ;当-1<a<0时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x-a)(x+1)<0,解得-1<x<a;当a=-1时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x+1)2<0,此时不等式的解集为 ;当a<-1时,不等式a(x-a)·(x+1)>0可化为(x-a)(x+1)<0,解得a<x<-1.故A、C、D都有可能,B不可能.故选A、C、D.
6.BD 选项A,假设结论成立,则无解,故选项A错误;选项B,当a=1,b=0时,不等式x2+3>0恒成立,则解集是R,故选项B正确;选项C,若不等式的解集是 ,则a<0且Δ=b2-12a≤0,而a<0时,Δ=b2-12a>0,所以不等式的解集不可能是 ,故选项C错误;选项D,假设结论成立,则解得符合题意,故选项D正确.故选B、D.
7.(,-) 解析:因为42x2+ax-a2<0,所以(7x-a)(6x+a)<0.因为a<0,所以->,则原不等式的解集为(,-).
8.10 解析:由题意可得20x(x+10)≥4 000,整理可得x2+10x-200≥0,解得x≤-20(舍),或x≥10.
9.(0,2) 解析:因为不等式ax2+bx-c>0的解集是{x|1<x<2},所以a<0,且1和2是方程ax2+bx-c=0的两根,由根与系数的关系可得b=-3a,c=-2a.于是不等式bx(ax+c)>0可化为-3ax(ax-2a)>0,所以x(x-2)<0,解得0<x<2,所以不等式bx(ax+c)>0的解集是(0,2).
10.解:原不等式可化为(x-a)(x-a2)>0,
当a<a2,即a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|x<a或x>a2};
当a2=a,即a=0或a=1时,原不等式的解集为{x|x≠a,x∈R};
当a2<a,即0<a<1时,原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}.
综上所述,当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|x<a或x>a2};
当0<a<1时,原不等式的解集为{x|x<a2或x>a};
当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠1,x∈R};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0,x∈R}.
11.D a>1时,1-a<0,且a>,则关于x的不等式(1-a)(x-a)(x-)<0可化为(x-a)·(x-)>0,解得x<或x>a,所以不等式的解集为(-∞,)∪(a,+∞).故选D.
12.2 解析:因为ax2-6x+a2<0的解集为{x|1<x<m},所以a>0,且1与m是方程ax2-6x+a2=0的根.则即1+m=,所以m2+m-6=0,解得m=-3或m=2,当m=-3时,a=m<0(舍去),故m=2.
13.{a|-3≤a<-2或4<a≤5}
解析:原不等式可等价为(x-a)(x-1)<0,不等式解集中恰有3个整数,当a>1时,即4<a≤5时,不等式的解集为1<x<a,符合题意;当a=1时,不等式无解,不符合题意;当a<1时,即-3≤a<-2时,不等式的解集为a<x<1,符合题意;综上,实数a的取值范围是{a|-3≤a<-2或4<a≤5}.
14.解:(1)设每件零售价为x元,由题意可得x[18-0.2(x-15)]≥15×18,
即x2-105x+15×90≤0,∴(x-15)·(x-90)≤0,∴15≤x≤90.
故要使年销售总收入不低于原收入,该削笔器每件售价最多为90元.
(2)由题意知x>15,tx≥15×18+30+x2,
即t≥+.
∵+≥2=20,当且仅当=,即x=30时,等号成立,∴t≥20,
因此,该削笔器的年销售量t至少达到20万个时,才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和,此时每个削笔器售价30元.
15.解:原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.
①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.
②当a>0时,原不等式化为(x-)·(x+1)≥0,解得x≥或x≤-1.
③当a<0时,原不等式化为(x-)·(x+1)≤0.
当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤;
当=-1,即a=-2时,解得x=-1;
当<-1,即a>-2时,解得≤x≤-1.
综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};
当a>0时,不等式的解集为{x或x≤-1};
当-2<a<0时,不等式的解集为{x≤x≤-1};
当a=-2时,不等式的解集为{x|x=-1};
当a<-2时,不等式的解集为{x}.
2 / 2第2课时 一元二次不等式的综合问题
题型一 含参一元二次不等式的解法
角度1 讨论两根的大小
【例1】 解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.
通性通法
根据方程根的大小讨论含参一元二次不等式的解
(1)若一元二次不等式可因式分解,则将一元二次不等式因式分解或求出一元二次不等式对应方程的根;
(2)比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论;
(3)写出不等式的解集.
角度2 讨论判别式的符号
【例2】 解关于x的不等式:x2+ax-a≥0.
通性通法
根据判别式的符号讨论含参一元二次不等式的解
(1)若二次项系数不含参数且不能因式分解时,先求出一元二次不等式所对应方程的判别式;
(2)讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集;
(3)写出不等式的解集.
角度3 讨论二次项系数的符号
【例3】 解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0.
通性通法
根据二次项系数的符号讨论含参一元二次不等式的解
二次项系数若含有参数,应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,若小于0,则将不等式转化为二次项系数为正的形式,然后再进行求解.【跟踪训练】
解关于x的不等式:ax2-2ax+2≤0(a≥0).
题型二 一元二次不等式的实际应用
【例4】 (链接教科书第67页例3)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?
通性通法
利用不等式解决实际问题的一般步骤
(1)选取合适的字母表示题目中的未知数;
(2)由题目中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组);
(3)求解所列出的不等式(组);
(4)结合题目的实际意义确定答案.
【跟踪训练】
如图,在某住宅小区的Rt△ABC区域内,修建一地面为矩形AMPQ的凉亭供小区居民休闲.测得AB=8 m,AC=6 m,要使修建的凉亭占地面积不小于9 m2,该怎样设计?
1.若a>2,则关于x的不等式ax2-(2+a)x+2>0的解集为( )
A.{x|x<或x>1} B.{x|<x<1}
C.{x|x>或x<1} D.{x|1<x<}
2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )
A.50 B.100
C.150 D.200
3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}= ,则实数a的取值范围是 .
4.解关于x的不等式x2-ax+4>0.
第2课时 一元二次不等式的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】 解:方程x2+(1-a)x-a=0的两根分别为x1=-1,x2=a.
又函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,
当a<-1时,原不等式的解集为{x|a<x<-1};
当a=-1时,原不等式的解集为 ;
当a>-1时,原不等式的解集为{x|-1<x<a}.
综上所述,当a<-1时,原不等式的解集为{x|a<x<-1};
当a=-1时,原不等式的解集为 ;
当a>-1时,原不等式的解集为{x|-1<x<a}.
【例2】 解:①当Δ=a2+4a=0,即a=0或a=-4时,
由函数y=x2+ax-a的图象开口向上,故不等式x2+ax-a≥0的解集为R.
②当Δ=a2+4a<0,即-4<a<0时,x2+ax-a>0恒成立,所以解集为R.
③当Δ=a2+4a>0,即a<-4或a>0时,
由x2+ax-a=0,解得x=或x=,
不等式的解集为{x|x≤或x≥}.
综上所述,当-4≤a≤0时,不等式的解集为R,
当a<-4或a>0时,不等式的解集为{x|x≤或x≥}.
【例3】 解:①当a=0时,原不等式即为-x+1<0,解得x>1.
②当a<0时,原不等式化为(x-)·(x-1)>0,解得x<或x>1.
③当a>0时,原不等式化为(x-)·(x-1)<0.
若a=1,即=1时,不等式无解;
若a>1,即<1时,解得<x<1;
若0<a<1,即>1时,解得1<x<.
综上可知,当a<0时,不等式的解集为{x|x<或x>1};
当a=0时,不等式的解集为{x|x>1};
当0<a<1时,不等式的解集为{x};
当a=1时,不等式的解集为 ;
当a>1时,不等式的解集为{x<x<1}.
跟踪训练
解:(1)当a=0时,原不等式即为2≤0,无解;
(2)当a>0时,Δ=4a2-8a,
①当Δ=0,即4a2-8a=0,得a=2,原不等式对应的方程有两个相等的实根.
当a=2时,原不等式的解集为{x|x=1}.
②当Δ<0,即0<a<2时,原不等式无解.
③当Δ>0,即a>2时,原不等式对应的方程有两个不相等的实根,
x1=,x2=,且x1<x2,
所以不等式的 解集为{x|≤x≤}.
综上,当0≤a<2时,原不等式的解集为 ;
当a=2时,原不等式的解集为{x|x=1}.
当a>2时,原不等式的解集为{x|≤x≤}.
【例4】 解:(1)由题意,得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1 000×(1+0.6x)(0<x<1),整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1).
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,当且仅当
即
解不等式组,得0<x<,
所以为使本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x的范围为.
跟踪训练
解:设AM=x m,PM=y m,0<x<8,0<y<6.
则由PM∥CA得,
=,所以y=(8-x).
由题意得
解得所以2≤x≤6.
所以当矩形AMPQ的边为2≤AM≤6 m时,满足设计要求.
随堂检测
1.A 由ax2-(2+a)x+2>0,得(x-1)·(ax-2)>0.∵a>2,∴0<<1,∴原不等式的解集为{x|x<或x>1}.故选A.
2.C 依题意得25x≥3000+20x-0.1x2,整理得x2+50x-30 000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).因为0<x<240,所以150≤x<240,即最低产量是150台.故选C.
3.{a|0≤a≤4} 解析:①若a=0,则1<0不成立,此时不等式ax2-ax+1<0的解集为空集;②若a≠0,则解得0<a≤4.综上,0≤a≤4.
4.解:Δ=a2-16,当Δ<0,即-4<a<4时,不等式x2-ax+4>0的解集为R.
当Δ=0,即a=±4时,原不等式对应的方程有两个相等的实根,
当a=4时,原不等式的解集为{x|x≠2}.
当a=-4时,原不等式的解集为{x|x≠-2}.
当Δ>0,即a<-4或a>4时,原不等式对应的方程有两个不相等实根,
x1=,x2=,且x1>x2,
所以原不等式的解集为{x|x<或x>}.
综上,当-4<a<4时,不等式的解集为R;
当a=-4时,不等式的解集为{x|x≠-2};
当a=4时,不等式的解集为{x|x≠2};
当a<-4或a>4时,不等式的解集为{x|x<或x>}.
1 / 2(共50张PPT)
第2课时 一元二次不等式的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 含参一元二次不等式的解法
角度1 讨论两根的大小
【例1】 解关于 x 的不等式: x2+(1- a ) x - a <0.
解:方程 x2+(1- a ) x - a =0的两根分别为 x1=-1, x2= a .
又函数 y = x2+(1- a ) x - a 的图象开口向上,
当 a <-1时,原不等式的解集为{ x | a < x <-1};
当 a =-1时,原不等式的解集为 ;
当 a >-1时,原不等式的解集为{ x |-1< x < a }.
综上所述,当 a <-1时,原不等式的解集为{ x | a < x <-1};
当 a =-1时,原不等式的解集为 ;
当 a >-1时,原不等式的解集为{ x |-1< x < a }.
通性通法
根据方程根的大小讨论含参一元二次不等式的解
(1)若一元二次不等式可因式分解,则将一元二次不等式因式分解
或求出一元二次不等式对应方程的根;
(2)比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论;
(3)写出不等式的解集.
角度2 讨论判别式的符号
【例2】 解关于 x 的不等式: x2+ ax - a ≥0.
解:①当Δ= a2+4 a =0,即 a =0或 a =-4时,
由函数 y = x2+ ax - a 的图象开口向上,故不等式 x2+ ax - a ≥0的解
集为R.
②当Δ= a2+4 a <0,即-4< a <0时, x2+ ax - a >0恒成立,所以
解集为R.
③当Δ= a2+4 a >0,即 a <-4或 a >0时,
由 x2+ ax - a =0,解得 x = 或 x = ,
不等式的解集为{ x | x ≤ 或 x ≥ }.
综上所述,当-4≤ a ≤0时,不等式的解集为R,
当 a <-4或 a >0时,不等式的解集为{ x | x ≤ 或 x ≥
}.
通性通法
根据判别式的符号讨论含参一元二次不等式的解
(1)若二次项系数不含参数且不能因式分解时,先求出一元二次不
等式所对应方程的判别式;
(2)讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集;
(3)写出不等式的解集.
角度3 讨论二次项系数的符号
【例3】 解关于 x 的不等式: ax2-( a +1) x +1<0.
解:①当 a =0时,原不等式即为- x +1<0,解得 x >1.
②当 a <0时,原不等式化为( x - )( x -1)>0,解得 x < 或 x
>1.
③当 a >0时,原不等式化为( x - )( x -1)<0.
若 a =1,即 =1时,不等式无解;
若 a >1,即 <1时,解得 < x <1;
若0< a <1,即 >1时,解得1< x < .
综上可知,当 a <0时,不等式的解集为{ x | x < 或 x >1};
当 a =0时,不等式的解集为{ x | x >1};
当0< a <1时,不等式的解集为{ x };
当 a =1时,不等式的解集为 ;
当 a >1时,不等式的解集为{ x < x <1}.
通性通法
根据二次项系数的符号讨论含参一元二次不等式的解
二次项系数若含有参数,应讨论参数是等于0,小于0,还是大于
0,若小于0,则将不等式转化为二次项系数为正的形式,然后再进行
求解.
【跟踪训练】
解关于 x 的不等式: ax2-2 ax +2≤0( a ≥0).
解:(1)当 a =0时,原不等式即为2≤0,无解;
(2)当 a >0时,Δ=4 a2-8 a ,
①当Δ=0,即4 a2-8 a =0,得 a =2,原不等式对应的方程有两个相
等的实根.
当 a =2时,原不等式的解集为{ x | x =1}.
③当Δ>0,即 a >2时,原不等式对应的方程有两个不相等的实根,
x1= , x2= ,且 x1< x2,
所以不等式的 解集为{ x | ≤ x ≤ }.
综上,当0≤ a <2时,原不等式的解集为 ;
当 a =2时,原不等式的解集为{ x | x =1}.
当 a >2时,原不等式的解集为{ x | ≤ x ≤ }.
②当Δ<0,即0< a <2时,原不等式无解.
题型二 一元二次不等式的实际应用
【例4】 (链接教科书第67页例3)某摩托车生产企业,上年度生产
摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1
000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成
本.若每辆车投入成本增加的比例为 x (0< x <1),则出厂价相应的
提高比例为0.75 x ,同时预计年销售量增加的比例为0.6 x .已知年利
润=(出厂价-投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式;
解:由题意,得 y =[1.2×(1+0.75 x )-1×(1+ x )]×1
000×(1+0.6 x )(0< x <1),整理得 y =-60 x2+20 x +200
(0< x <1).
解不等式组,得0< x < ,
所以为使本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的
比例 x 的范围为 .
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比
例 x 应在什么范围内?
解:要保证本年度的年利润比上年度有所增加,当且仅当
即
通性通法
利用不等式解决实际问题的一般步骤
(1)选取合适的字母表示题目中的未知数;
(2)由题目中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组);
(3)求解所列出的不等式(组);
(4)结合题目的实际意义确定答案.
【跟踪训练】
如图,在某住宅小区的Rt△ ABC 区域内,修建一地面为矩形 AMPQ 的
凉亭供小区居民休闲.测得 AB =8 m, AC =6 m,要使修建的凉亭占
地面积不小于9 m2,该怎样设计?
解:设 AM = x m, PM = y m,0< x <8,0< y <6.
则由 PM ∥ CA 得,
= ,所以 y = (8- x ).
由题意得
解得所以2≤ x ≤6.
所以当矩形 AMPQ 的边为2≤ AM ≤6 m时,满足设计要求.
1. 若 a >2,则关于 x 的不等式 ax2-(2+ a ) x +2>0的解集为
( )
A. { x | x < 或 x >1} B. { x | < x <1}
C. { x | x > 或 x <1} D. { x |1< x < }
解析: 由 ax2-(2+ a ) x +2>0,得( x -1)·( ax -2)>
0.∵ a >2,∴0< <1,∴原不等式的解集为{ x | x < 或 x >1}.
故选A.
2. 某产品的总成本 y (万元)与产量 x (台)之间的函数关系是 y =3
000+20 x -0.1 x2(0< x <240),若每台产品的售价为25万元,
则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )
A. 50 B. 100 C. 150 D. 200
解析: 依题意得25 x ≥3000+20 x -0.1 x2,整理得 x2+50 x -
30 000≥0,解得 x ≥150或 x ≤-200(舍去).因为0< x <240,所
以150≤ x <240,即最低产量是150台.故选C.
3. 若集合 A ={ x | ax2- ax +1<0}= ,则实数 a 的取值范围是
.
解析:①若 a =0,则1<0不成立,此时不等式 ax2- ax +1<0的解
集为空集;②若 a ≠0,则解得0< a ≤4.综上,0≤
a ≤4.
{ a |
0≤ a ≤4}
4. 解关于 x 的不等式 x2- ax +4>0.
解:Δ= a2-16,当Δ<0,即-4< a <4时,不等式 x2- ax +4>0
的解集为R.
当Δ=0,即 a =±4时,原不等式对应的方程有两个相等的实根,
当 a =4时,原不等式的解集为{ x | x ≠2}.
当 a =-4时,原不等式的解集为{ x | x ≠-2}.
当Δ>0,即 a <-4或 a >4时,原不等式对应的方程有两个不相等
实根,
x1= , x2= ,且 x1> x2,
所以原不等式的解集为{ x | x < 或 x > }.
综上,当-4< a <4时,不等式的解集为R;
当 a =-4时,不等式的解集为{ x | x ≠-2};
当 a =4时,不等式的解集为{ x | x ≠2};
当 a <-4或 a >4时,不等式的解集为{ x | x < 或 x >
}.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 若0< t <1,则不等式( x - t )( x - )<0的解集为( )
A. { x | < x < t } B. { x | x > 或 x < t }
C. { x | x < 或 x > t } D. { x | t < x < }
解析: 当 t ∈(0,1)时, t < ,∴解集为{ x | t < x < }.故
选D.
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2. 关于 x 的不等式( mx -1)( x -2)>0,若此不等式的解集为
{ x | < x <2},则 m 的取值范围为( )
A. (-∞,0) B. (0, )
C. (0,2) D. (2,+∞)
解析:由题意知 m <0,∵不等式( mx -1)( x -2)>0的解集为{ x | < x <2},∴方程( mx -1)( x -2)=0的两个实数根为 和2,且解得 m <0,∴ m 的取值范围是(-∞,0).
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3. 某文具店购进一批新型台灯,每盏最低售价为15元,若按最低售价
销售,每天能卖出30盏,若售价每提高1元,日销售量将减少2盏.
为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入,则
这批台灯的销售单价 x (单位:元)的取值范围是( )
A. { x |10< x <20} B. { x |15≤ x <20}
C. { x |15< x <20} D. { x |10≤ x <20}
解析: 由题意可知 x [30-2( x -15)]>400,则-2 x2+60 x
-400>0,即 x2-30 x +200<0,∴( x -10)( x -20)<0,解
得10< x <20.又∵每盏最低售价为15元,∴15≤ x <20.故选B.
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4. 不等式 mx2- ax -1>0( m >0)的解集可能是( )
A. { x |- < x < } B. R
C. { x | x <-1或 x > } D.
解析: 因为Δ= a2+4 m >0,所以函数 y = mx2- ax -1的图象
与 x 轴有两个交点.又 m >0,所以原不等式的解集不可能是A、B、
D,故选C.
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5. (多选)关于实数 x 的不等式 a ( x - a )( x +1)>0( a ∈R)
的解集可能是( )
A. { x | x <-1或 x > a } B. R
C. { x |-1< x < a } D. { x | a < x <-1}
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解析: 当 a >0时,不等式 a ( x - a )( x +1)>0可化为
( x - a )( x +1)>0,解得 x > a 或 x <-1;当 a =0时,不等式
a ( x - a )( x +1)>0可化为0>0,此时不等式的解集为 ;当
-1< a <0时,不等式 a ( x - a )( x +1)>0可化为( x - a )
( x +1)<0,解得-1< x < a ;当 a =-1时,不等式 a ( x -
a )( x +1)>0可化为( x +1)2<0,此时不等式的解集为 ;当
a <-1时,不等式 a ( x - a )( x +1)>0可化为( x - a )( x
+1)<0,解得 a < x <-1.故A、C、D都有可能,B不可能.故选
A、C、D.
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6. (多选)(2024·徐州月考)已知关于 x 的不等式 ax2+ bx +3>0,
关于此不等式的解集有下列结论,其中正确的是( )
A. 不等式的解集可以是{ x | x >3}
B. 不等式的解集可以是R
C. 不等式的解集可以是
D. 不等式的解集可以是{ x |-1< x <3}
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解析:选项A,假设结论成立,则无解,故选项A错误;选项B,当 a =1, b =0时,不等式 x2+3>0恒成立,则解集是R,故选项B正确;选项C,若不等式的解集是 ,则 a <0且Δ= b2-12 a ≤0,而 a <0时,Δ= b2-12 a >0,所以不等式的解集不可能是 ,故选项C错误;选项D,假设结论成立,则解得符合题意,故选项D正确.故选B、D.
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7. (2024·扬州月考)当 a <0时,关于 x 的不等式42 x2+ ax - a2<0的
解集为 .
解析:因为42 x2+ ax - a2<0,所以(7 x - a )(6 x + a )<0.因
为 a <0,所以- > ,则原不等式的解集为( ,- ).
( ,- )
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8. (2024·南通月考)制作一个高为20 cm的长方体容器,底面矩形的
长比宽多10 cm,并且容积不少于4 000 cm3.设底面矩形的宽为 x ,
则 x 的最小值为 cm.
解析:由题意可得20 x ( x +10)≥4 000,整理可得 x2+10 x -
200≥0,解得 x ≤-20(舍),或 x ≥10.
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9. 已知 a , b , c 是常数,若不等式 ax2+ bx - c >0的解集是{ x |1<
x <2},则不等式 bx ( ax + c )>0的解集是 .
解析:因为不等式 ax2+ bx - c >0的解集是{ x |1< x <2},所以 a
<0,且1和2是方程 ax2+ bx - c =0的两根,由根与系数的关系可
得 b =-3 a , c =-2 a .于是不等式 bx ( ax + c )>0可化为-3 ax
( ax -2 a )>0,所以 x ( x -2)<0,解得0< x <2,所以不等式
bx ( ax + c )>0的解集是(0,2).
(0,2)
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10. 解关于 x 的不等式: x2-( a + a2) x + a3>0( a ∈R).
解:原不等式可化为( x - a )( x - a2)>0,
当 a < a2,即 a <0或 a >1时,原不等式的解集为{ x | x < a 或 x >
a2};
当 a2= a ,即 a =0或 a =1时,原不等式的解集为{ x | x ≠ a , x
∈R};
当 a2< a ,即0< a <1时,原不等式的解集为{ x | x < a2或 x > a }.
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综上所述,当 a <0或 a >1时,原不等式的解集为{ x | x < a 或 x
> a2};
当0< a <1时,原不等式的解集为{ x | x < a2或 x > a };
当 a =1时,原不等式的解集为{ x | x ≠1, x ∈R};
当 a =0时,原不等式的解集为{ x | x ≠0, x ∈R}.
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11. 设 a >1,则关于 x 的不等式(1- a )( x - a )( x - )<0的解
集是( )
A. (-∞, a )∪( ,+∞)
B. ( a ,+∞)
C. ( a , )
D. (-∞, )∪( a ,+∞)
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解析: a >1时,1- a <0,且 a > ,则关于 x 的不等式(1-
a )( x - a )( x - )<0可化为( x - a )·( x - )>0,解
得 x < 或 x > a ,所以不等式的解集为(-∞, )∪( a ,+
∞).故选D.
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12. (2024·南通月考)若关于 x 的不等式 ax2-6 x + a2<0的非空解集
为{ x |1< x < m },则 m =
解析:因为 ax2-6 x + a2<0的解集为{ x |1< x < m },所以 a >
0,且1与 m 是方程 ax2-6 x + a2=0的根.则 即1+ m
= ,所以 m2+ m -6=0,解得 m =-3或 m =2,当 m =-3时,
a = m <0(舍去),故 m =2.
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13. 若关于 x 的不等式 x2-( a +1) x + a <0的解集中恰有3个整数,
则实数 a 的取值范围是 .
解析:原不等式可等价为( x - a )( x -1)<0,不等式解集中
恰有3个整数,当 a >1时,即4< a ≤5时,不等式的解集为1< x
< a ,符合题意;当 a =1时,不等式无解,不符合题意;当 a <1
时,即-3≤ a <-2时,不等式的解集为 a < x <1,符合题意;
综上,实数 a 的取值范围是{ a |-3≤ a <-2或4< a ≤5}.
{ a |-3≤ a <-2或4< a ≤5}
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14. 某公司销售一批新型削笔器,该削笔器原来每个售价15元,年销
售18万个.
(1)据市场调查,若削笔器的售价每提高1元,年销售量将相应
减少2 000个,要使年销售总收入不低于原收入,该削笔器
每件售价最多为多少元?
解:设每件零售价为 x 元,由题意可得 x [18-0.2( x -15)]≥15×18,
即 x2-105 x +15×90≤0,∴( x -15)( x -90)≤0,
∴15≤ x ≤90.
故要使年销售总收入不低于原收入,该削笔器每件售价最多
为90元.
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(2)为了提高年销售量,公司立即对该削笔器进行技术革新和销
售策略改革,并提高售价到 x 元.公司计划投入 x2万元作为
技改费用,投入30万元作为固定宣传费用.试问:技术革新
后,该削笔器的年销售量 t 至少达到多少万个时,才能使革
新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和?并求此时每
个削笔器售价.
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解:由题意知 x >15, tx ≥15×18+30+ x2,
即 t ≥ + .
∵ + ≥2 =20,当且仅当 = ,即 x =30时,
等号成立,∴ t ≥20,
因此,该削笔器的年销售量 t 至少达到20万个时,才能使革
新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和,此时每个削
笔器售价30元.
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15. 解关于 x 的不等式: ax2-2≥2 x - ax ( a ∈R).
解:原不等式可化为 ax2+( a -2) x -2≥0.
①当 a =0时,原不等式化为 x +1≤0,解得 x ≤-1.
②当 a >0时,原不等式化为( x - )( x +1)≥0,解得 x ≥
或 x ≤-1.
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③当 a <0时,原不等式化为( x - )( x +1)≤0.
当 >-1,即 a <-2时,解得-1≤ x ≤ ;
当 =-1,即 a =-2时,解得 x =-1;
当 <-1,即 a >-2时,解得 ≤ x ≤-1.
综上所述,当 a =0时,不等式的解集为{ x | x ≤-1};
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当 a >0时,不等式的解集为{ x 或 x ≤-1};
当-2< a <0时,不等式的解集为{ x ≤ x ≤-1};
当 a =-2时,不等式的解集为{ x | x =-1};
当 a <-2时,不等式的解集为{ x }.
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谢 谢 观 看!