一、不等式及其性质
理解不等式的概念,掌握不等式的性质.不等式及其性质贯穿整个高中数学,只要是涉及到范围的问题,都和不等式有关.
【例1】 (1)(多选)下列命题正确的有( )
A.若a>1,则<1
B.若a+c>b,则<
C.对任意实数a,都有a2≥a
D.若ac2>bc2,且ac>bc,则c>0
(2)若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是( )
A.A≤B
B.A≥B
C.A<B或A>B
D.A>B
(3)已知2<a<3,-2<b<-1,求ab,的取值范围.
反思感悟
不等式及其性质的2个关注点
(1)作差法是比较两个实数大小的基本方法;
(2)应用不等式的基本性质可以证明不等式,但一定要注意应用条件;当判断不等式是否成立时,常选择特殊值法.
二、基本不等式
能利用基本不等式求函数的最值并能证明简单的不等式,掌握基本不等式的一些常见变形.
【例2】 (1)已知x>1,且x-y=1,则x+的最小值是 ;
(2)已知-1<x<3,则y=(1+x)(3-x)的最大值是 .
反思感悟
利用基本不等式求最值的注意点
(1)把握不等式成立的条件:一正、二定、三相等;
(2)注意寻求已知条件与目标函数之间的联系;
(3)利用添项和拆项的配凑方法,使积(或和)产生定值.特别注意“1”的代换.
三、一元二次不等式的解法
通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系,掌握一元二次不等式及分式不等式的解法.
【例3】 (1)(多选)若关于x的不等式ax2-bx+c<0的解集为(-3,4),则( )
A.a>0 B.a+b=0
C.12a+c=0 D.b2-4ac=49a2
(2)解下列关于x的不等式:
①-x2+5x-4>0;②≥-2;
③m2x2+2mx-3<0.
反思感悟
一元二次不等式的解集问题
(1)不含参数的一元二次不等式的解集受a的符号、b2-4ac的符号的影响,且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系;
(2)含有参数的一元二次不等式的求解,常就“二次项系数”“判别式Δ”“两个根的大小”对参数进行讨论.
四、不等式在实际问题中的应用
不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,根据题设条件构建数学模型是解题关键.
【例4】 (1)某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱,为了避免混养,箱中要安装一些筛网,如平面图所示.如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元,筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元,网箱底面建造单价为每平方米100元,网衣及筛网的厚度忽略不计.把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(单位:米)的函数,并求出最低造价;
(2)某商品的成本价为80元/件,售价为100元/件,每天售出100件,若售价降低x成(1成=10%),售出商品的数量就增加x成,要求售价不能低于成本价.
①设该商店一天的营业额为y,试求出y与x之间的函数关系式;
②若要求该商品一天营业额至少为10 260元,求x的取值范围.
反思感悟
解决与不等式有关的实际应用问题的关注点
(1)审题要准,初步建模;
(2)设出变量,列出函数关系式;
(3)根据题设构造应用不等式的形式并解决问题.
章末复习与总结
【例1】 (1)解析:AD 因为a>1,所以<1,所以A正确;若a+c>b,可令a=1,c=1,b=-1,则有>,故B错误;对于C,可取a=,则a2<a,故C错误;因为ac2>bc2,所以c2>0,即c≠0,且a>b,假设c<0,则有ac<bc与已知ac>bc矛盾,所以c>0,故D正确.
(2)解析:B ∵A-B=a2+3ab-(4ab-b2)=a2+b2-ab=(a-)2+b2≥0,∴A≥B.
(3)解:因为-2<b<-1,所以1<-b<2,
又因为2<a<3,所以2<-ab<6,
所以-6<ab<-2.
因为-2<b<-1,
所以1<b2<4,
因为2<a<3,所以<<,所以<<2.
【例2】 (1)3 (2)4 解析:(1)∵x>1,∴x-1>0.又y=x-1,∴x+=x+=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x=2时,等号成立,则x+的最小值是3.
(2)∵-1<x<3,∴1+x>0,3-x>0,∴≤=2.∴(1+x)(3-x)≤4,当且仅当1+x=3-x,即x=1时取等号.
【例3】 (1)解析:ACD 由不等式ax2-bx+c<0的解集为(-3,4),可得a>0,且x1=-3,x2=4是一元二次方程ax2-bx+c=0的两个根,由根与系数的关系可得即b=a,
c=-12a,即12a+c=0,a+b=2a>0,b2-4ac=a2+48a2=49a2.故选A、C、D.
(2)解:①原不等式等价于x2-5x+4<0,
∵方程x2-5x+4=0的两根分别为x1=1,x2=4,
∴原不等式的解集为{x|1<x<4}.
②不等式≥-2可化为+2≥0,即≥0,
则原不等式等价于(x-11)(x-5)≥0且x-5≠0,解得x<5或x≥11,
故≥-2的解集为{x|x<5或x≥11}.
③当m=0时,-3<0恒成立,解集为R.
当m≠0时,二次项系数m2>0,Δ=16m2>0,不等式可化为(mx+3)(mx-1)<0.
当m>0时,解不等式得-<x<,
当m<0时,解不等式得<x<-.
∴当m=0时不等式的解集为R;
当m>0时,不等式的解集为{x|-<x<};
当m<0时,不等式的解集为{x|<x<-}.
【例4】 解:(1)依题意y=112(2x+×2)+96(x+×3)+100×160=320(x+)+16 000≥26 240.
当且仅当x=,
即x=16时,取等号.
故建造网箱的最低造价为26 240元.
(2)①依题意y=100·100.
又售价不能低于成本价,
所以100-80≥0,
解得x≤2,
所以y=40(10-x)(25+4x)(0≤x≤2).
②由题意得40(10-x)(25+4x)≥10 260,
化简得8x2-30x+13≤0,解得≤x≤.
又x∈{x|0≤x≤2},
所以x的取值范围为{x≤x≤2}.
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章末复习与总结
一、不等式及其性质
理解不等式的概念,掌握不等式的性质.不等式及其性质贯穿整
个高中数学,只要是涉及到范围的问题,都和不等式有关.
【例1】 (1)(多选)下列命题正确的有( )
A. 若 a >1,则 <1
B. 若 a + c > b ,则 <
C. 对任意实数 a ,都有 a2≥ a
D. 若 ac2> bc2,且 ac > bc ,则 c >0
解析: 因为 a >1,所以 <1,所以A正确;若 a + c > b ,可令
a =1, c =1, b =-1,则有 > ,故B错误;对于C,可取 a = ,
则 a2< a ,故C错误;因为 ac2> bc2,所以 c2>0,即 c ≠0,且 a > b ,
假设 c <0,则有 ac < bc 与已知 ac > bc 矛盾,所以 c >0,故D正确.
(2)若 A = a2+3 ab , B =4 ab - b2,则 A , B 的大小关系是( )
A. A ≤ B B. A ≥ B
C. A < B 或 A > B D. A > B
解析: ∵ A - B = a2+3 ab -(4 ab - b2)= a2+ b2- ab =
( a - )2+ b2≥0,∴ A ≥ B .
(3)已知2< a <3,-2< b <-1,求 ab , 的取值范围.
解:因为-2< b <-1,所以1<- b <2,
又因为2< a <3,所以2<- ab <6,所以-6< ab <-2.
因为-2< b <-1,所以1< b2<4,
因为2< a <3,所以 < < ,所以 < <2.
反思感悟
不等式及其性质的2个关注点
(1)作差法是比较两个实数大小的基本方法;
(2)应用不等式的基本性质可以证明不等式,但一定要注意应用条
件;当判断不等式是否成立时,常选择特殊值法.
二、基本不等式
能利用基本不等式求函数的最值并能证明简单的不等式,掌握基
本不等式的一些常见变形.
【例2】 (1)已知 x >1,且 x - y =1,则 x + 的最小值是 ;
解析:∵ x >1,∴ x -1>0.又 y = x -1,∴ x + = x + = x -1+
+1≥2 +1=3,当且仅当 x =2时,等号成立,则
x + 的最小值是3.
3
(2)已知-1< x <3,则 y =(1+ x )(3- x )的最大值是 .
解析:∵-1< x <3,∴1+ x >0,3- x >0,
∴ ≤ =2.∴(1+ x )(3
- x )≤4,当且仅当1+ x =3- x ,即 x =1时取等号.
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反思感悟
利用基本不等式求最值的注意点
(1)把握不等式成立的条件:一正、二定、三相等;
(2)注意寻求已知条件与目标函数之间的联系;
(3)利用添项和拆项的配凑方法,使积(或和)产生定值.特别注意
“1”的代换.
三、一元二次不等式的解法
通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系,掌
握一元二次不等式及分式不等式的解法.
【例3】 (1)(多选)若关于 x 的不等式 ax2- bx + c <0的解集为
(-3,4),则( )
A. a >0 B. a + b =0
C. 12 a + c =0 D. b2-4 ac =49 a2
解析: 由不等式 ax2- bx + c <0的解集为(-3,4),可得 a
>0,且 x1=-3, x2=4是一元二次方程 ax2- bx + c =0的两个根,由
根与系数的关系可得即 b = a , c =-12 a ,即12 a + c
=0, a + b =2 a >0, b2-4 ac = a2+48 a2=49 a2.故选A、C、D.
①- x2+5 x -4>0;
② ≥-2;
③ m2 x2+2 mx -3<0.
(2)解下列关于 x 的不等式:
解:①原不等式等价于 x2-5 x +4<0,
∵方程 x2-5 x +4=0的两根分别为 x1=1, x2=4,
∴原不等式的解集为{ x |1< x <4}.
②不等式 ≥-2可化为 +2≥0,即 ≥0,
则原不等式等价于( x -11)( x -5)≥0且 x -5≠0,解得 x <
5或 x ≥11,
故 ≥-2的解集为{ x | x <5或 x ≥11}.
③当 m =0时,-3<0恒成立,解集为R.
当 m ≠0时,二次项系数 m2>0,Δ=16 m2>0,不等式可化为
( mx +3)( mx -1)<0.
当 m >0时,解不等式得- < x < ,
当 m <0时,解不等式得 < x <- .
∴当 m =0时不等式的解集为R;
当 m >0时,不等式的解集为{ x |- < x < };
当 m <0时,不等式的解集为{ x | < x <- }.
反思感悟
一元二次不等式的解集问题
(1)不含参数的一元二次不等式的解集受 a 的符号、 b2-4 ac 的符号
的影响,且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系;
(2)含有参数的一元二次不等式的求解,常就“二次项系数”“判
别式Δ”“两个根的大小”对参数进行讨论.
四、不等式在实际问题中的应用
不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的
优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,根
据题设条件构建数学模型是解题关键.
【例4】 (1)某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平
方米的水产养殖网箱,为了避免混养,箱中要安装一些筛网,如平面
图所示.如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元,
筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元,网箱底面建造单价为
每平方米100元,网衣及筛网的厚度忽略不计.把建造网箱的总造价 y
(元)表示为网箱的长 x (单位:米)的函数,并求出最低造价;
解:依题意 y =112(2 x + ×2)+96( x + ×3)+100×160=
320( x + )+16 000≥26 240.
当且仅当 x = ,即 x =16时,取等号.
故建造网箱的最低造价为26 240元.
①设该商店一天的营业额为 y ,试求出 y 与 x 之间的函数关 系式;
②若要求该商品一天营业额至少为10 260元,求 x 的取值范围.
(2)某商品的成本价为80元/件,售价为100元/件,每天售出100件,
若售价降低 x 成(1成=10%),售出商品的数量就增加 x 成,
要求售价不能低于成本价.
②由题意得40(10- x )(25+4 x )≥10 260,
化简得8 x2-30 x +13≤0,解得 ≤ x ≤ .
又 x ∈{ x |0≤ x ≤2},
所以 x 的取值范围为{ x ≤ x ≤2}.
解:①依题意 y =100 ·100 .
又售价不能低于成本价,
所以100 -80≥0,解得 x ≤2,
所以 y =40(10- x )(25+4 x )(0≤ x ≤2).
反思感悟
解决与不等式有关的实际应用问题的关注点
(1)审题要准,初步建模;
(2)设出变量,列出函数关系式;
(3)根据题设构造应用不等式的形式并解决问题.
谢 谢 观 看!