1.2 集合间的基本关系 学案（含答案） 2024~2025学年高一数学人教A版（2019）必修第一册

1.2 集合间的基本关系
【学习目标】
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.(数学抽象)
2.能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力.(逻辑推理)
3.会由集合间的关系求相关参数的取值范围,并在具体情境中了解空集的含义.(数学运算、数学抽象)
4.掌握并能使用Venn图表达集合间的关系.(直观想象)
【自主预习】
1.集合中元素的三个特性是什么
2.常见的数集有哪些
3.集合的表示方法有哪些
4.集合A={x|y=x2+1}表示使函数y=x2+1有意义的自变量x的取值范围,且x的取值范围是R,因此A=R,对吗
5.集合B={y|y=x2+1}表示使函数y=x2+1有意义的函数值y的取值范围,而y的取值范围是y=x2+1≥1,因此B={y|y≥1},对吗
6.集合B={y|y=x2+1}中的元素是否都属于集合A={x|y=x2+1} 集合A和集合B是什么关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)空集没有子集. (　　)
(2)任何集合至少有两个子集. (　　)
(3)空集是任何一个集合的真子集. (　　)
(4)若集合A是集合B的子集,集合B是集合C的子集,则集合A是集合C的子集. (　　)
2.已知集合M={1},N={1,2,3},能够准确表示集合M与N之间关系的是(　　).
A.MB.M∈N
C.N M
D.M N
3.已知集合A={x|-1A.B A
B.A B
C.BD.A4.(人教A版必修第一册习题1.2第1题改编)选用适当的符号填空:若集合A={x|2x+3<3x},B={x|x>2},则4　　　　A,{5}　　　　B,-1　　　　A,A　　　　B.
【合作探究】
探究1　子集,真子集
草原上,蓝蓝的天上白云飘,白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A,草原上的所有马组成集合B.
问题1:集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的
问题2:集合A与集合B又存在什么关系
1.子集
一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素集合B中的元素,就称集合A为集合B的,记作A B(或B A),读作“A包含于B”(或“B包含A”).
特别提醒:(1)子集是刻画两个集合之间关系的一个数学概念,它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系).
(2)并不是任意两个集合之间都具有包含关系.例如A={1,2},B={1,3},因为2∈A,但2 B,所以A不是B的子集;同理,因为3∈B,但3 A,所以B也不是A的子集.
2.Venn图
在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.如A B可用Venn图表示,如图所示.
3.集合相等
一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B.
也就是说,若A B,且B A,则A=B.
4.真子集
如果集合A B,但存在元素x∈B,且x A,就称集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A).
例1　(1)能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是(　　).
A. B. C. D.
(2)已知M={y|y=x2-2x-1,x∈R},N={x|-2≤x≤4},则集合M与N之间的关系是.
【方法总结】在处理集合间的关系时,要注意以下两点:
(1)A B隐含着A=B和A B两种关系;
(2)要注意数形结合思想与分类讨论思想在集合问题中的应用.
已知A={(x,y)|y=2x},B=(x,y)=2,则集合A,B之间的关系是　　　　.
探究2　空集
小米解方程x2+x+1=0时,发现方程无实数解.
问题1:如何用描述法表示x2+x+1=0在实数范围内的解集A
问题2:问题1的集合A中有元素吗
一般地,我们把不含任何元素的集合叫作,记为,并规定:是任何集合的子集.
在这个规定的基础上,结合子集和真子集的有关概念,可以得到:
(1)空集子集,即;
(2)空集是集合的子集;
(3)空集是集合的真子集.
特别提醒:{0}与 不同.{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素0;而 表示空集,其不含有任何元素,故{0}与 不相同.
例2　下列关系表述正确的是(　　).
A.0∈
B.{-1,0,1} {0,1,-1}
C. R
D.0 {0}
下列四个集合中,是空集的是(　　).
A.{x|x+3=3}
B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}
C.{x|x2≤0}
D.{x|x2-x+1=0}
已知集合M={x|2m探究3　子集的性质
问题1:与实数中的结论“若a≥b,且a≤b,则a=b”相类比,你对集合间的基本关系有什么体会
问题2:根据实数关系的其他结论,你还能猜想出哪些集合间关系的结论
1.任何一个集合都是它本身的子集,即A A.
2.对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C.
3.对于集合A,若A中有n(n∈N*)个元素,则A 的子集个数为2n,A 的真子集个数为2n-1,A 的非空子集个数为2n-1,A的非空真子集个数为2n-2.
例3　已知集合M=,则M的真子集的个数是(　　).
A.7
B.8
C.15
D.16
例4　已知集合A={x|-2≤x≤5}.
(1)若B A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数m的取值范围;
(2)若A C且C B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围.
满足{1} A {1,2,3,4}的集合A的个数为(　　).
A.5
B.6
C.7
D.8
已知集合M={x|x2+2x-a=0}.
(1)若 M,求实数a的取值范围;
(2)若N={x|x2+x=0}且M N,求实数a的取值范围.
【随堂检测】
1.满足{x|x2-2x-3=0} A {-1,0,1,2,3}的集合A的个数为(　　).
A.5
B.6
C.7
D.8
2.定义:集合P-Q={x|x=p-q,p∈P,q∈Q}.若集合P={4,5,6},Q={1,2,3},则集合P-Q的所有真子集的个数为(　　).
A.32
B.31
C.16
D.15
3.可以同时满足以下两个条件的一个集合M=　　　　　　　　,且非空集合M的个数为　　　　.
(1)M {1,2,3,4,5};(2)若a∈M,则6-a∈M.
4.已知集合A={a,a-1},B={2,y},C={x|1(1)若A=B,求y的值;
(2)若A C,求实数a的取值范围.
参考答案
1.2　集合间的基本关系
自主预习·悟新知
预学忆思
1.确定性、无序性、互异性.
2. 正整数集,自然数集,整数集,有理数集,正实数集,实数集.
3. 列举法,描述法.
4.正确.
5.正确.
6.是,集合B是集合A的子集.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.D　【解析】∵集合M中的元素在集合N中,但是M≠N,∴M N.故选D.
3.A　【解析】结合集合在数轴上的表示即可确定两集合的关系.如图所示,由图可知,B A.
4.∈　 　 　 　【解析】由题意得A={x|x>3},4在集合A中,元素与集合的关系要用∈符号,所以4∈A.又5在集合B中,所以{5}是集合B的真子集,所以{5} A.同理可得-1 A,A B.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:集合A中的元素都是集合B中的元素.
问题2:集合A是集合B的子集.
新知生成
1.都是　子集
新知运用
例1　(1)B　(2)N M　【解析】(1)由x2-x=0,得x=1或x=0,故N={0,1},易得N M,其对应的Venn图如选项B所示.
(2)∵y=(x-1)2-2≥-2,∴M={y|y≥-2},
∴N M.
巩固训练　B A　【解析】集合A表示直线y=2x上所有的点组成的集合,
在集合B中,y=2x,x≠0,所以集合B表示直线y=2x上除了原点之外的所有点组成的集合,
所以有B A.
探究2　情境设置
问题1:A={x|x2+x+1=0}.
问题2:没有.
新知生成
空集　 　空集　(1)只有一个　它本身　(2)任何　(3)任何非空
新知运用
例2　B　【解析】0 ,A错误;
{-1,0,1}={0,1,-1},则{-1,0,1} {0,1,-1},B正确;
是实数,C错误;
0∈{0},D错误.故选B.
巩固训练1　D　【解析】对于A,{x|x+3=3}={0};
对于B,{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}={(0,0)};
对于C,{x|x2≤0}={0};
对于D,x2-x+1=0,Δ=1-4=-3<0,方程无实数解,
∴{x|x2-x+1=0}= .
巩固训练2　{m|m≥1}　【解析】∵M= ,∴2m≥m+1,
∴m≥1.
探究3　情境设置
问题1:若A B,且B A,则A=B.
问题2:若A B,且B C,则A C.
新知运用
例3　C　【解析】∵集合M=={1,2,3,4},集合M中有4个元素,
∴M的真子集的个数是24-1=15.
例4　【解析】(1)因为A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},B A,
所以当B= 时,m+1>2m-1,解得m<2;
当B≠ 时,解得2≤m≤3.
综上所述,实数m的取值范围是{m|m≤3}.
(2)因为A C且C B,所以A B,
则 解得3≤m≤4,
所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}.
巩固训练1　D　【解析】∵{1} A {1,2,3,4},
∴集合A可能为{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{1,2,3,4},共有8个.
故选D.
巩固训练2　【解析】(1)由题意得,关于x的方程x2+2x-a=0有实数根,
∴Δ=22-4×(-a)≥0,得a≥-1,
即实数a的取值范围为{a|a≥-1}.
(2)∵N={x|x2+x=0}={0,-1},且M N,
∴当M= 时,Δ=22-4×(-a)<0,得a<-1;
当M≠ 时,若Δ=0,则a=-1,
此时M={-1},满足M N,符合题意,
若Δ>0,则a>-1,M中有两个元素,
∵M N,∴M=N,从而该方程组无解.
综上所述,实数a的取值范围为{a|a≤-1}.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】因为{x|x2-2x-3=0}={-1,3},
所以{-1,3} A {-1,0,1,2,3},
所以A中一定包含-1和3,且A是{-1,0,1,2,3}的真子集.
除了-1和3之外,A还可以包含0,1,2中的部分元素.
对于0,1,2这三个元素,每个元素都有两种情况(在A中或者不在A中),根据真子集个数的结论可知,总共有23-1=7种情况.故选C.
2.B　【解析】由题中所给定义,可知P-Q={1,2,3,4,5},∴集合P-Q的所有真子集的个数为25-1=31.故选B.
3.{1,2,3,4,5}(答案不唯一)　7　【解析】根据题意可知,若a∈M,且6-a∈M,
则1和5,2和4必须同时属于M,
所以集合M={1,2,3,4,5}(答案不唯一),
所以非空集合M可以是{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个.
4.【解析】(1)若a=2,则A={1,2},所以y=1;
若a-1=2,即a=3,则A={2,3},所以y=3.
综上,y的值为1或3.
(2)因为集合C={x|2所以解得3故实数a的取值范围为{a|3