专题2　有理数及其运算（含答案） 2025-2026学年数学北师大版（2024）七年级上册

期末复习
专题2　有理数及其运算
考点一　有理数的认识与分类
　在0，2.1，－4，－3.2这四个数中，是负分数的是(　 　)
A．0 B．2.1
C．－4 D．－3.2
考点二　数轴的应用
　有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是(　 　)
A．|a|＜1 B．ab＞0
C．a＋b＞0 D．1－a＞1
考点三　相反数与绝对值
　[2024·铁西区期末]如图，数轴上点A，B，C，D表示的数分别为a，b，c，d，相邻两点间的距离均为2个单位长度。
(1)若a与c互为相反数，则d＝______；
(2)若这四个数中最小数与最大数的和等于10，求a的值。
考点四　有理数的混合运算
　计算：
(1)－(－3＋5)＋32×(1－3)；
(2)6×－22＋|－3|；
(3)(－1)100×5＋(－2)4÷；
(4)÷(－5)。
　近日市场上一种“果冻橙”比较畅销。现有8箱这种橙子，以每箱10 kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后的记录如图，回答下列问题：
(1)这8箱“果冻橙”的总质量是多少千克？
(2)若这种橙子每千克售价12元，则出售这8箱“果冻橙”可卖多少元？
考点五　科学记数法
　光速约为3×105 km/s，太阳光照射到地球上大约需5×102 s，地球与太阳的距离大约是(　 　)
A．0.15×109 km
B．1.5×108 km
C．1.5×107 km
D．15×107 km
考点六　数字规律型问题
　将从1开始的连续自然数按如下规律排列：
第1行 1
第2行 2 3 4
第3行 9 8 7 6 5
第4行 10 11 12 13 14 15 16
第5行 25 24 23 22 21 20 19 18 17
… …
则2 023在第________行。
一、选择题
1．[2025·二道区校级模拟]化简：－1 ，，，，，结果是－1的有(　 　)
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
2．数轴上表示数m和m＋2的点到原点的距离相等，则m的值为(　 　)
A．－2 B．2
C．1 D．－1
3．点A在数轴上，点A所对应的数用2a＋1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为(　 　)
A．－2或1 B．－2或2
C．－2 D．1
4．如图，乐乐将－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则a－b＋c的值为(　 　)
A．－1 B．0
C．1 D．3
5．已知a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，－a，b，－b按照由小到大的顺序排列是(　 　)
A．－b＜－a＜b＜a
B．－a＜b＜－b＜a
C．－a＜－b＜b＜a
D．b＜－a＜－b＜a
6．下列几种说法中，正确的是(　 　)
A．有理数的绝对值一定比0大
B．有理数的相反数一定比0小
C．互为倒数的两个数的积为1
D．两个互为相反的数(0除外)的商是0
7．若＋(y＋1)2＝0，则x2＋y3的值是(　 　)
A． B．
C．－ D．－
8．观察下列树枝分杈的规律图，若第n个图树枝数用Yn表示，则Y9－Y4＝(　 　)
A．240 B．496
C．528 D．1 008
9．[2024·山东青岛期中]数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和简洁性。在数学中，记，，，，…，。则的值为（ ）
A．－1 B．0
C．1 D．2
二、填空题
10．若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a－c|－|b＋c|可化简为____________。
11．“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到解决问题的方法。例如，借助图1，可以把算式1＋3＋5＋7＋9＋11转化为62＝36。请你观察图2，可以把算式＋＋＋＋转化为___________＝_______.
图1　　 图2
12．如图所示的是一组有规律的图案，第1个图案由4个菱形组成，第2个图案由7个菱形组成……则第5个图案由________个菱形组成。
13．阅读下列运算程序，探究其运算规律：m△n＝a，且m△(n＋x)＝a－x，(m＋x)△n＝a＋3x。若1△1＝－2，则1△2＝________,2△1＝______，20△23＝________。
三、解答题
14．计算：
(1)1.25×(－4)－32×；
(2)－14－×[2－(－3)2]。
15．计算：
(1)－÷；
(2)100÷52－14－×12。
16．李师傅在某玩具厂工作，厂里规定每名工人每周要生产某种玩具210个，平均每天生产30个，但由于各种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入。下表是李师傅某周的生产情况（超产记为正、不足记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
生产量/个 ＋9 －10 －4 ＋8 －3 ＋6 0
（1）根据记录的数据可知，李师傅星期三生产玩具________个；本周实际生产玩具________个。
（2）该厂实行“每日计件工资制”：每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成每日任务，则超过部分每个另奖励2元；若未完成每日任务，则每少生产一个倒扣3元。问李师傅这一周的工资总额是多少元？
（3）现有“每周计件工资制”：每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成每周任务，则超过部分每个另奖2元；若未完成每周任务，则每少生产一个倒扣3元。与（2）中的“每日计件工资制”相比，实行“每_____计件工资制”李师傅的工资更多（填“日”或“周”），多______元。
17．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是______；表示－3和2的两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m－n|。如果表示数a和－1的两点之间的距离是3，那么a的值为____________。
(2)若数轴上表示数a的点位于－4与2之间，则|a＋4|＋|a－2|的值为______。
(3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x＋2|＋|x－5|＝7，这些点表示的数的和是________。
(4)当a取何值时，|a＋3|＋|a－1|＋|a－4|的值最小？最小值是多少？
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18．【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的商的运算叫作除方，比如2÷2÷2，(－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，(－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)写作(－3)④，读作“(－3)的圈4次方”，一般地把____________ (a≠0)写作a，读作“a的圈n次方”。
【初步探究】
(1)直接写出计算结果：3②＝______，③＝________。
(2)下列关于除方的说法中，错误的有______(在横线上填写序号即可)。
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
D．圈n次方等于它本身的数是1或－1
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
(3)归纳：请把有理数a(a≠0)的圈n(n≥3)次方写成幂的形式为：a＝______。
(4)比较：(－2)⑩______(－4)⑩(填“＞”“＜”或“＝”)。
(5)计算：－1③＋142÷①×(－7)⑥－(－48)÷④。
参考答案
【考点归类】
【例1】D　【例2】D
【例3】(1)4　(2)a＝2
【例4】(1)－20　(2)－2　(3)－59　(4)－
【例5】(1)74.5 kg。
(2)出售这8箱“果冻橙”可卖894元。
【例6】B　【例7】45
【过关训练】
1．C　2.D　3.A　4.C　5.B　6.C　7.D　8.B　9.B　10.－a－b　11.1－　　12.16
13．－3　1　33　　14.(1)21　(2)
15．(1)　(2)2
16．(1)26 216 (2)李师傅这一周的工资总额是1075元。 (3)周 17
17．(1)3　5　－4或2　(2)6　(3)12　(4)a＝1时有最小值，最小值为7。
18．(1)1　－3　(2)D　(3)　(4)>　(5)－
。