专题5　一元一次方程（含答案） 2025-2026学年数学北师大版（2024）七年级上册

期末复习
专题5　一元一次方程
考点一　一元一次方程的概念
　已知方程(m＋2)xn2＋1＋6＝0是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且m为整数，则2m2＝____________________________。
　已知关于x的方程(m＋3)x|m＋4|＋18＝0是一元一次方程。求2(3m＋2)－3(4m－1)的值。
考点二　解一元一次方程
　解方程：
(1)－1＝；
(2)－＝3。
考点三　同解方程
　已知6－x＝与a－2(4－x)＝5a都是关于x的方程，且有相同的解，求a的值。
考点四　一元一次方程的应用
　某公司有若干件新产品需要精加工，现有红星和巨星两个加工厂，已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天；红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品；红星厂每天加工费800元，巨星厂每天加工费1 200元。
(1)该公司要加工多少件新产品？
(2)在加工过程中，该公司需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并承担每天20元的午餐补助费，产品加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作同时完成，请你帮助该公司从所有可供选择的方案中选择一种最省钱的加工方案。
一、选择题
1．下列方程中，解是x＝2的方程是(　 　)
A．4x＋8＝0 B．－x＋＝0
C．x＝2 D．1－3x＝5
2．已知关于x的方程x－2(x－a)＝3的解为x＝－1，则a的值为(　 　)
A．1 B．3
C．－1 D．－3
3．若关于x的方程(m－2)x|m－1|－3＝0是一元一次方程，则m的值是(　 　)
A．2 B．0
C．1 D．0 或2
4．下列对方程的变形：
①将3x＝－4系数化为1，得x＝－；
②将5＝2－x移项，得x＝5－2；
③将＝1＋去分母，得2(2x－1)＝1＋3(x－3)；
④将2(2x－1)－3(x－3)＝1去括号，得4x－2－3x－9＝1。
其中正确的有(　 　)
A．0个 B．1个
C．3个 D．4个
5．一个密封的瓶子里装着一些水(如图所示)，已知瓶子的底面积为10 cm2，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是(　 　)
A．80 cm3 B．70 cm3
C．60 cm3 D．50 cm3
6．如图，钟面上的时间是8：30，再经过t min，时针、分针第一次重合，则t的值为(　 　)
A． B．
C． D．
二、填空题
7．[2024·铁西区校级期末]小红在解关于x的一元一次方程5a－x＝13时，误将－x看作＋2x，得方程的解为x＝－2，则原方程的解为x＝______。
8．[2024·和平区校级期末]某商场购进一批服装，每件服装销售的标价为400元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装的进价是__________元。
9．图书馆计划整理一批图书，由一个人做要40 h才能完成，现在计划由一部分人先做6 h，再增加2人和他们一起做8 h，刚好完成这项工作的，假设每个人的工作效率相同，则具体先安排______人工作。
10．观察“田”字中各数之间的关系：，则c的值为__________。
11．[2024·合肥期中]对于整数a，b，定义一种新运算“”：当a＋b为偶数时，规定；当a＋b为奇数时，规定。请解答下列问题：
(1)当a＝－1，b＝5 时， ；
(2)若，则m的值为 。
三、解答题
12．解方程：
(1)4x－7(x＋2)＝3－2(x－1)；
(2)＋＝2－；
(3)－＝0.75。
13．已知关于x的两个方程3(2x－1)＝k＋2x和＝x＋2k。
(1)若方程3(2x－1)＝k＋2x的解为x＝4，求方程＝x＋2k的解；
(2)若方程3(2x－1)＝k＋2x和＝x＋2k的解相同，求k的值。
14．聪聪在对方程－＝去分母时，错误地得到了方程2(x＋3)－mx－1＝3(5－x)，因而求得的解是x＝。试求m的值，并求方程的正确解。
15．[2023·河北]某磁性飞镖游戏的靶盘如图。珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投。计分规则如下：
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分/分 3 1 －2
在某一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次。
(1)求珍珍第一局的得分；
(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶，若本局得分比第一局提高了13分，求k的值。
16．榨菜鲜嫩香脆、鲜香可口，是经独特的加工工艺制成的风味产品。A，B两地分别有榨菜50 t和40 t，需要全部运送到C，D两地去销售，其中C地需要榨菜30 t，D地需要榨菜60 t。已知从A，B两地到C，D两地的运价如下表：
到C地 到D地
A地 每吨20元 每吨16元
B地 每吨15元 每吨10元
请选择相关数据解决下列问题：
(1)若从A地运到C地的榨菜为10 t，则从A地运到D地的榨菜为________t，从A地运到D地的这部分榨菜的运输费为__________元；
(2)设从A地运到C地的榨菜为x t，若从B地运到D地的这部分榨菜的运输费为300元，求x的值。
17．小明、小杰两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长420 m，小杰每秒钟跑6 m，小明的速度是小杰的速度的倍，如果小明、小杰在跑道上同一地点同时反向出发。问：
(1)经过多少秒两人首次相遇？
(2)第2次相遇时与出发点相距多远？
(3)若他们继续跑下去，他们有可能在出发点相遇吗？若有可能，说出可能的情况；若无可能，说明理由。
18．据电力部门统计，每天8：00至21：00是用电的高峰期，简称“峰时”，21：00至次日8：00是用电的低谷时期，简称“谷时”。为了缓解供电需求紧张矛盾，某市电力部门于本月初统一换装“峰谷分时”电表，对用电实行“峰谷分时电价”新政策，具体见下表：
时间 电价
换表前 每千瓦时0.52元
换表后 峰时(8：00～21：00) 每千瓦时0.55元
谷时(21：00～次日8：00) 每千瓦时0.30元
(1)小张家上月“峰时”用电50千瓦时，“谷时”用电20千瓦时，若上月初换表，则相对于换表前小张家的电费是增多了还是减少了？增多或减少了多少元？请说明理由。
(2)小张家这个月用电95千瓦时，经测算比换表前使用95千瓦时电节省了5.9元，问小张家这个月“峰时”用电和“谷时”用电分别是多少千瓦时？
19．[2023秋·大东区期末]【问题情景】
“综合与实践”课上，老师提出如下问题，如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上点A左侧的一点，且A，B两点之间的距离为10。动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t s(t＞0)。
【发现问题】
(1)直接写出数轴上点B表示数是________，点P表示的数是____________(用含t的式子表示)。
【拓展延伸】
(2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发。
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q之间的距离为4个单位长度？
20．【阅读材料】
数轴是数学学习中重要的工具，利用数轴可以将数与形结合，通过数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上A，B两点表示的数分别是a和b，点C为线段AB的中点。当a＞b时，则A，B两点之间的距离为a－b；当a＜b时，则A，B两点之间的距离为b－a。线段AB的中点C表示的数为。
【问题情境】
如图，数轴上点A，B表示的数分别为－2和6。动点P，Q分别从点A和点B同时出发，沿数轴正方向运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度。设运动时间为t s(t＞0)。
【综合运用】
(1)A，B两点之间的距离为______，线段AB的中点表示的数为______；
(2)点P表示的数为______________，点Q表示的数为__________(用含t的代数式表示)；
(3)当t为何值时，点P与点Q相距2个单位长度？
(4)若B，P，Q三个点中，一个点是以另外两个点为端点的线段的中点，请直接写出t的值。
21．点O为数轴的原点，点A，B在数轴上分别表示数a，b，且a，b满足(a＋5)2＋|b－3|＝0。
(1)填空：a＝________，b＝______，AB＝______；
(2)如图1，在数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数；
(3)如图2，在数轴上有两个动点P，Q，点P，Q同时分别从点A，B出发，沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位长度/s，点Q的运动速度为n个单位长度/s，在运动过程中，取线段AQ的中点C(点C始终在线段PQ上)，若线段PC的长度总为一个固定的值，求出m与n的数量关系。
图1
图2
参考答案
【考点归类】
【例1】18或32或50或128　
【例2】37
【例3】(1)x＝－6　(2)x＝5
【例4】a＝－
【例5】(1)该公司要加工960件新产品。
(2)由巨星厂单独完成时最省钱。
【过关训练】
1．B　2.A　3.B　4.A　5.C　6.B　7.4
8．200　9.－3　10.1　11.(1)14　(2)2或－18　
12．(1)x＝－19　(2)y＝　(3)x＝－
13．(1)x＝－65　(2)k＝－
14．m＝1，方程的正确解为x＝2。
15．(1)珍珍第一局的得分为6分。
(2)k＝6
16．(1)40　640　(2)x的值是20。
17．(1)经过30 s两人首次相遇。
(2)第二次相遇时与出发点相距60 m。
(3)有可能在出发点相遇。如当小杰跑6圈，小明跑8圈时他们会在出发点相遇，或在420 s时会在出发点相遇，或第14次相遇在出发点。
18．(1)若上月初换表，则相对于换表前小张家的电费是减少了2.9元。
(2)小张家这个月“峰时”用电是60千瓦时，“谷时”用电是35千瓦时。
19．(1)－4　6－6t　(2)①当点P运动 s时，点P与点Q相遇。
②当点P运动2 s或 s时，点P与点Q之间的距离为4个单位长度。
20．(1)8　2　(2)－2＋3t　6＋t　(3)①当t的值为3或5时，点P与点Q相距2个单位长度。
(4)当t的值为2，或8时，B，P，Q三个点中，一个点是以另外两个点为端点的线段的中点。
21．(1)－5　3　8　(2)点M对应的数为－9或－3。　(3)n＝2m
。