4.1.1 根式
1.若＋（a－4）0有意义，则a的取值范围是（ ）
A.[2，＋∞）
B.[2，4）∪（4，＋∞）
C.（－∞，2）∪（2，＋∞）
D.（－∞，4）∪（4，＋∞）
2.下列各式正确的是（ ）
A.＝－3 B.＝a
C.＝2 D.＝7
3.已知m10＝2，则m＝（ ）
A. B.－
C. D.±
4.若a＜，则化简的结果是（ ）
A.4a－1 B.1－4a
C.－ D.－
5.化简－＝（ ）
A.6 B.2x
C.6或－2x D.6或2x或－2x
6.（多选）下列选项中正确的是（ ）
A.＝5
B.64的6次方根是±2
C.＝±3
D.＝｜x＋y｜
7.若＝，则实数a的取值范围为 .
8.已知y＝－｜2－x｜，则当2＜x＜3时，y＝ ；当x＞3时，y＝ .
9.计算：＋＝ .
10.化简：（1）（a≤－）；
（2）（x＜y，n＞1，n∈N*）.
11.当a＞0时，＝（ ）
A.x＝ B.x
C.－x D.－x
12.化简（）2＋＋的结果是（ ）
A.1－a B.2（1－a）
C.a－1 D.2（a－1）
13.已知＋＝－a－b，则＋＝ .
14.已知a＜b＜0，n＞1，n∈N*，化简＋.
4.1.1 根式
1.B 由题意可知，a－2≥0且a－4≠0，∴a的取值范围是a≥2且a≠4.故选B.
2.C 由于＝3，＝｜a｜，＝－7，故A、B、D错误.故选C.
3.D 因为m10＝2，所以m是2的10次方根.又10是偶数，所以2的10次方根有两个，且互为相反数.所以m＝±.
4.B ∵a＜，∴4a－1＜0，∴＝｜4a－1｜＝－（4a－1）＝1－4a.故选B.
5.C 原式＝｜x＋3｜－（x－3），当x≥－3时，原式＝6；当x＜－3时，原式＝－2x.故选C.
6.BD n为奇数时，负数的n次方根是一个负数，＝－5，故A错误；64的6次方根有两个，为±2，故B正确；＝3，故C错误；是正数，故＝｜x＋y｜，故D正确.故选B、D.
7. 解析：＝｜2a－1｜，＝1－2a.因为｜2a－1｜＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤.
8.5－2x －1
解析：y＝－｜2－x｜＝－｜2－x｜＝｜x－3｜－｜2－x｜，当2＜x＜3时，y＝3－x＋2－x＝5－2x；当x＞3时，y＝x－3＋2－x＝－1.
9.2 解析：法一 原式＝
＋＝＋＝＋1＋－1＝2.
法二 令x＝＋，两边平方得x2＝6＋2＝8.因为x＞0，所以x＝2.
10.解：（1）∵a≤－，∴2a＋1≤0，
∴＝＝｜2a＋1｜＝－2a－1.
（2）∵x＜y，∴x－y＜0，
∴当n为大于1的偶数时，＝｜x－y｜＝y－x；
当n为大于1的奇数时，＝x－y.
11.C ∵a＞0，∴x＜0，＝｜x｜＝－x.故选C.
12.C ∵有意义，∴a－1≥0，即a≥1.∴（）2＋＋＝（a－1）＋｜1－a｜＋（1－a）＝（a－1）＋（a－1）＋（1－a）＝a－1，故选C.
13.0 解析：因为＋＝－a－b.所以＝－a，＝－b，所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，所以原式＝｜a＋b｜＋a＋b＝－（a＋b）＋a＋b＝0.
14.解：∵a＜b＜0，∴a－b＜0，a＋b＜0.
当n是奇数时，原式＝（a－b）＋（a＋b）＝2a；
当n是偶数时，原式＝｜a－b｜＋｜a＋b｜＝（b－a）＋（－a－b）＝－2a.
∴＋＝
2 / 24.1.1 根式
新课程标准解读 核心素养
理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值 数学抽象、数学运算
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一名成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生.
【问题】 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫作3的什么？怎样表示？
知识点 n次方根
1.n次方根
定义 一般地，如果xn＝a（n＞1，n∈N*），那么称x为a的
性质 n是奇数 a∈R x＝
n是偶数 a＞0 x＝
a＜0 x不存在
0的n次方根等于0
2.根式：式子叫作 ，其中n叫作 ，a叫作 .
3.根式的性质
（1） 没有偶次方根；
（2）0的任何次方根都是0，记作＝ ；
（3）（）n＝ （n∈N*，且n＞1）；
（4）①当n为奇数时，＝ ；
②当n为偶数时，＝｜a｜＝
1.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是（ ）
A. B.
C. D.
2.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.16的4次方根是2
B.的运算结果是±2
C.当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义
D.当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义
3.＝ ；＝ .
题型一 n次方根的概念
【例1】 （1）已知x7＝8，则x＝ ；
（2）若有意义，则实数x的取值范围是 .
通性通法
1.方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个.
2.符号：根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定.
（1）当n为偶数，且a≥0时，为非负实数；
（2）当n为奇数时，的符号与a的符号一致.
【跟踪训练】
1.若有意义，则x的取值范围为 .
2.若16的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝ .
题型二 利用根式的性质化简或求值
【例2】 （链接教科书第82页例1）化简或求值：
（1）（）2； （2）（）3； （3）（）2；
（4）； （5）；
（6）（a＞b）.
通性通法
正确区分与（）n
（1）（）n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围；
（2）中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性.
【跟踪训练】
化简或求值：
（1）＋（）5；
（2）＋（）6；
（3）.
题型三 有限制条件的根式的化简
【例3】 设－3＜x＜3，化简－.
【母题探究】
（变条件）本例中，若将“－3＜x＜3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？
通性通法
有限制条件的根式的化简
（1）有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简；
（2）有限制条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.当n为偶数时，先化为｜a｜，再根据a的正负去绝对值符号.
【跟踪训练】
已知x∈[1，2]，化简（）4＋＝ .
1.（多选）若n∈N，a∈R，则下列式子有意义的是（ ）
A. B.
C. D.
2.若x≠0，则｜x｜－＋＝ .
3.当有意义时，化简－＝ .
4.1.1 根式
【基础知识·重落实】
知识点
1.n次方根 ± 2.根式 根指数
被开方数 3.（1）负数 （2）0 （3）a （4）①a ②a －a
自我诊断
1.C 选项C中，m＜0时，没有意义.故选C.
2.CD 16的4次方根应是±2；＝2；易知C、D正确.故选C、D.
3.2 －2 解析：当n为偶数时，＝｜a｜，∴＝2；当n为奇数时，＝a，∴＝－2.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1） （2）[2，＋∞）
解析：（1）∵7为奇数，∴8的7次方根只有一个.
（2）∵有意义，∴x－2≥0，∴x≥2，即x的取值范围是[2，＋∞）.
跟踪训练
1.R
2.－6或2 解析：16的平方根为－4或4，即a＝－4或4，－8的立方根为－2，即b＝－2，∴a＋b＝－6或2.
【例2】 解：（1）（）2＝3.
（2）（）3＝－5.
（3）（）2＝a－1.
（4）＝－4.
（5）＝｜3－π｜＝π－3.
（6）∵a＞b，∴＝｜a－b｜＝a－b.
跟踪训练
解：（1）原式＝（－2）＋（－2）＝－4.
（2）原式＝｜－2｜＋2＝2＋2＝4.
（3）原式＝｜x＋2｜＝
【例3】 解：原式＝－＝｜x－1｜－｜x＋3｜.
∵－3＜x＜3，∴当－3＜x＜1时，原式＝－（x－1）－（x＋3）＝－2x－2；
当1≤x＜3时，原式＝（x－1）－（x＋3）＝－4.
∴原式＝
母题探究
解：原式＝－＝｜x－1｜－｜x＋3｜.
∵x≤－3，∴x－1＜0，x＋3≤0，
∴原式＝－（x－1）＋（x＋3）＝4.
跟踪训练
1 解析：∵x∈[1，2]，∴x－1≥0，x－2≤0，∴原式＝x－1＋｜x－2｜＝x－1－（x－2）＝1.
随堂检测
1.AC （－4）2n＞0，故A有意义；（－4）2n＋1＜0，故B无意义；C显然有意义；当a＜0时，a5＜0，此时无意义.
2.1 解析：∵x≠0，∴原式＝｜x｜－｜x｜＋＝1.
3.－1 解析：因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2，所以原式＝－＝（2－x）－（3－x）＝－1.
3 / 3(共41张PPT)
4.1.1 根式
新课程标准解读 核心素养
理解 n 次方根、 n 次根式的概念，能正确运用根式运
算性质化简求值 数学抽象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其
学派中的一名成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对
角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来
表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数 的诞生.
【问题】 若 x2＝3，这样的 x 有几个？它们叫作3的什么？怎样表
示？
知识点 n 次方根
1. n 次方根
定
义 一般地，如果 xn ＝ a （ n ＞1， n ∈N*），那么称 x 为 a 的
性
质 n 是奇数 a ∈R x ＝
n 是偶数 a ＞0 x ＝
a ＜0 x 不存在
0的 n 次方根等于0
n 次方
根
±
2. 根式：式子 叫作 ，其中 n 叫作 ， a 叫
作 .
3. 根式的性质
（1） 没有偶次方根；
（2）0的任何次方根都是0，记作 ＝ ；
（3）（ ） n ＝ （ n ∈N*，且 n ＞1）；
（4）①当 n 为奇数时， ＝ ；
②当 n 为偶数时， ＝｜ a ｜＝
根式
根指数
被开方数
负数
0
a
a
1. m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是（ ）
A. B.
C. D.
解析： 选项C中， m ＜0时， 没有意义.故选C.
2. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 16的4次方根是2
B. 的运算结果是±2
C. 当 n 为大于1的奇数时， 对任意 a ∈R都有意义
D. 当 n 为大于1的偶数时， 只有当 a ≥0时才有意义
解析：16的4次方根应是±2； ＝2；易知C、D正确.故选C、D.
3. ＝ ； ＝ .
解析：当 n 为偶数时， ＝｜ a ｜，∴ ＝2；当 n 为奇数
时， ＝ a ，∴ ＝－2.
2
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典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 n次方根的概念
【例1】 （1）已知 x7＝8，则 x ＝ ；
解析：∵7为奇数，∴8的7次方根只有一个 .
（2）若 有意义，则实数 x 的取值范围是 .
解析：∵ 有意义，∴ x －2≥0，∴ x ≥2，即 x 的取值范
围是[2，＋∞）.
[2，＋∞）
通性通法
1. 方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次
方根只有一个.
2. 符号：根式 的符号由根指数 n 的奇偶性及被开方数 a 的符号共
同确定.
（1）当 n 为偶数，且 a ≥0时， 为非负实数；
（2）当 n 为奇数时， 的符号与 a 的符号一致.
【跟踪训练】
1. 若 有意义，则 x 的取值范围为 .
2. 若16的平方根为 a ，－8的立方根为 b ，则 a ＋ b ＝ .
解析：16的平方根为－4或4，即 a ＝－4或4，－8的立方根为－2，
即 b ＝－2，∴ a ＋ b ＝－6或2.
R
－6或2
题型二 利用根式的性质化简或求值
【例2】 （链接教科书第82页例1）化简或求值：
（1）（ ）2；
解：（ ）2＝3.
（2）（ ）3；
解：（ ）3＝－5.
（3）（ ）2；
解：（ ）2＝ a －1.
（4） ；
解： ＝－4.
（5） ；
解： ＝｜3－π｜＝π－3.
（6） （ a ＞ b ）.
解：∵ a ＞ b ，∴ ＝｜ a － b ｜＝ a － b .
通性通法
正确区分 与（ ） n
（1）（ ） n 已暗含了 有意义，根据 n 的奇偶性可知 a 的范围；
（2） 中的 a 可以是全体实数， 的值取决于 n 的奇偶性.
【跟踪训练】
化简或求值：
（1） ＋（ ）5；
解：原式＝（－2）＋（－2）＝－4.
（2） ＋（ ）6；
解：原式＝｜－2｜＋2＝2＋2＝4.
（3） .
解：原式＝｜ x ＋2｜＝
题型三 有限制条件的根式的化简
【例3】 设－3＜ x ＜3，化简 － .
解：原式＝ － ＝｜ x －1｜－｜ x ＋3｜.
∵－3＜ x ＜3，∴当－3＜ x ＜1时，原式＝－（ x －1）－（ x ＋3）＝
－2 x －2；
当1≤ x ＜3时，原式＝（ x －1）－（ x ＋3）＝－4.
∴原式＝
【母题探究】
（变条件）本例中，若将“－3＜ x ＜3”变为“ x ≤－3”，则结果又
是什么？
解：原式＝ － ＝｜ x －1｜－｜ x ＋3｜.
∵ x ≤－3，∴ x －1＜0， x ＋3≤0，
∴原式＝－（ x －1）＋（ x ＋3）＝4.
通性通法
有限制条件的根式的化简
（1）有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式
可以通过配方、拆分等方式进行化简；
（2）有限制条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数
时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的
正负.当 n 为偶数时， 先化为｜ a ｜，再根据 a 的正负去绝
对值符号.
【跟踪训练】
已知 x ∈[1，2]，化简（ ）4＋ ＝ .
解析：∵ x ∈[1，2]，∴ x －1≥0， x －2≤0，∴原式＝ x －1＋｜ x －
2｜＝ x －1－（ x －2）＝1.
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1. （多选）若 n ∈N， a ∈R，则下列式子有意义的是（ ）
A. B.
C. D.
解析： （－4）2 n ＞0，故A有意义；（－4）2 n＋1＜0，故B无
意义；C显然有意义；当 a ＜0时， a5＜0，此时 无意义.
2. 若 x ≠0，则｜ x ｜－ ＋ ＝ .
解析：∵ x ≠0，∴原式＝｜ x ｜－｜ x ｜＋ ＝1.
3. 当 有意义时，化简 － ＝ .
解析：因为 有意义，所以2－ x ≥0，即 x ≤2，所以原式＝
－ ＝（2－ x ）－（3－ x ）＝－1.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若 ＋（ a －4）0有意义，则 a 的取值范围是（ ）
A. [2，＋∞）
B. [2，4）∪（4，＋∞）
C. （－∞，2）∪（2，＋∞）
D. （－∞，4）∪（4，＋∞）
解析： 由题意可知， a －2≥0且 a －4≠0，∴ a 的取值范围是 a
≥2且 a ≠4.故选B.
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2. 下列各式正确的是（ ）
A. ＝－3 B. ＝ a
C. ＝2 D. ＝7
解析： 由于 ＝3， ＝｜ a ｜， ＝－7，故
A、B、D错误.故选C.
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3. 已知 m10＝2，则 m ＝（ ）
A. B. －
C. D. ±
解析： 因为 m10＝2，所以 m 是2的10次方根.又10是偶数，所以
2的10次方根有两个，且互为相反数.所以 m ＝± .
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4. 若 a ＜ ，则化简 的结果是（ ）
A. 4 a －1 B. 1－4 a
C. － D. －
解析： ∵ a ＜ ，∴4 a －1＜0，∴ ＝｜4 a －1｜
＝－（4 a －1）＝1－4 a .故选B.
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5. 化简 － ＝（ ）
A. 6 B. 2 x
C. 6或－2 x D. 6或2 x 或－2 x
解析： 原式＝｜ x ＋3｜－（ x －3），当 x ≥－3时，原式＝6；
当 x ＜－3时，原式＝－2 x .故选C.
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6. （多选）下列选项中正确的是（ ）
A. ＝5 B. 64的6次方根是±2
C. ＝±3 D. ＝｜ x ＋ y ｜
解析： n 为奇数时，负数的 n 次方根是一个负数， ＝
－5，故A错误；64的6次方根有两个，为±2，故B正确； ＝
3，故C错误； 是正数，故 ＝｜ x ＋ y ｜，
故D正确.故选B、D.
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7. 若 ＝ ，则实数 a 的取值范围为
解析： ＝｜2 a －1｜， ＝1－2 a .因
为｜2 a －1｜＝1－2 a ，故2 a －1≤0，所以 a ≤ .
.
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8. 已知 y ＝ －｜2－ x ｜，则当2＜ x ＜3时， y ＝ ；当 x ＞3时， y ＝ .
解析： y ＝ －｜2－ x ｜＝ －｜2－ x ｜
＝｜ x －3｜－｜2－ x ｜，当2＜ x ＜3时， y ＝3－ x ＋2－ x ＝5－2
x ；当 x ＞3时， y ＝ x －3＋2－ x ＝－1.
5－2 x
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9. 计算： ＋ ＝ 2 .
解析：法一 原式＝ ＋
＝ ＋ ＝ ＋1＋ －1＝2 .
2
法二 令 x ＝ ＋ ，两边平方得 x2＝6＋2 ＝8.因为 x ＞0，所以 x ＝2 .
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10. 化简：（1） （ a ≤－ ）；
解：∵ a ≤－ ，∴2 a ＋1≤0，
∴ ＝ ＝｜2 a ＋1｜＝－2 a －1.
（2） （ x ＜ y ， n ＞1， n ∈N*）.
解：∵ x ＜ y ，∴ x － y ＜0，
∴当 n 为大于1的偶数时， ＝｜ x － y ｜＝ y － x ；
当 n 为大于1的奇数时， ＝ x － y .
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11. 当 a ＞0时， ＝（ ）
A. x ＝ B. x
C. － x D. － x
解析： ∵ a ＞0，∴ x ＜0， ＝｜ x ｜ ＝－ x
.故选C.
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12. 化简（ ）2＋ ＋ 的结果是（ ）
A. 1－ a B. 2（1－ a ）
C. a －1 D. 2（ a －1）
解析： ∵ 有意义，∴ a －1≥0，即 a ≥1.
∴（ ）2＋ ＋ ＝（ a －1）＋｜1
－ a ｜＋（1－ a ）＝（ a －1）＋（ a －1）＋（1－ a ）＝ a －1，
故选C.
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13. 已知 ＋ ＝－ a － b ，则 ＋ ＝ .
解析：因为 ＋ ＝－ a － b .所以 ＝－ a ， ＝－
b ，所以 a ≤0， b ≤0，所以 a ＋ b ≤0，所以原式＝｜ a ＋ b ｜＋ a
＋ b ＝－（ a ＋ b ）＋ a ＋ b ＝0.
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14. 已知 a ＜ b ＜0， n ＞1， n ∈N*，化简 ＋ .
解：∵ a ＜ b ＜0，∴ a － b ＜0， a ＋ b ＜0.
当 n 是奇数时，
原式＝（ a － b ）＋（ a ＋ b ）＝2 a ；
当 n 是偶数时，原式＝｜ a － b ｜＋｜ a ＋ b ｜＝（ b － a ）＋（－
a － b ）＝－2 a .
∴ ＋ ＝
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